Teoria de Juegos

1. Realizado por:
Betty Bolaños
C.I.E82296378
Porlamar, Mayo 2014
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN PORLAMAR

2. Introducción
En el presente trabajo de investigación se pretende realizar un enfoque
de la teoría de juegos con el fin de conocer a fondo cual es su ciencia, desde
su origen y que es exactamente, por otro lado, a través de esta investigación
deberemos conocer cuales son las aplicaciones de la teoría de juegos y sus
aplicaciones, es decir, en que áreas es aplicable la teoría de juegos con
ejemplos muy prácticos.
La Teoría de Juegos se desarrollo con el simple hecho de que un
individuo se relacione con otro u otros. Hoy en día se enfrenta cotidianamente a
esta teoría, en cualquier momento, tenemos por ejemplo cuando nos
inscribimos en un nuevo semestre en la universidad, cuando la directiva toma
la decisión sobre el monto que se va a cobrar, la directiva está realizando un
juego con sus clientes, en este caso los alumnos. Para el hombre la
importancia que representa la Teoría de Juegos es evidente, pues a diario se
enfrenta a múltiples situaciones que son juegos.
Actualmente la Teoría de Juegos se ocupa sobre todo de que ocurre
cuando los hombres se relacionan de forma racional, es decir, cuando los
individuos se interrelacionan utilizando el raciocinio. Sin embargo, la Teoría de
Juegos tiene todas las respuestas a los todos problemas del mundo.

3. 1. Teoría de Juegos
Es una teoría matemática que pretende describir y predecir el
comportamiento de los agentes económicos. Muchas decisiones dependen de
las expectativas que se tengan sobre el comportamiento de los demás agentes
económicos.
Ejemplo:
Juego de las monedas: Dos jugadores lanzan simultáneamente una moneda
cada uno. Si ambos obtienen el mismo resultado, el jugador 1 paga al 2 una
unidad; si obtienen distinto resultado, es 2 quien paga a 1 una unidad.
2. Los elementos de la teoría de juegos
1. Jugadores.
2. Acción.
3. Información.
4. Estrategia.
5. Recompensa.
6. Resultado.
7. Equilibrio.
8. Concepto o solución de equilibrio.
Ejemplo:
Decisiones relacionadas con la fecundidad: Dos parejas viven juntas y
cada una tiene que decidir el número de hijos que van a tener. La crianza
de los hijos tiene un coste si son nuestros de “c” unidades monetarias por
hijo. Por otra parte, como las dos parejas viven juntas, los hijos de la otra
también imponen un coste, éste coste es igual a “d” por hijo ajeno. Tener
hijos también genera beneficios, cada pareja sólo obtiene beneficios de sus

4. propios hijos. El beneficio total de tener “n” hijos es igual a A(n). Si cada
pareja puede tener como máximo dos hijos.
3. Herramientas de la Teoría de Juegos
Fisher establece que un juego en forma extensiva se compone de los
siguientes elementos:
1. El conjunto de jugadores, quienes toman decisiones y son racionales
(intentan maximizar su utilidad).
2. Un árbol del juego.
3. La información que dispone un jugador en cada nodo en el que le toca
decidir.
4. Las estrategias de cada jugador, las cuales guiarán al jugador hacia la
acción a elegir cuando llega a cada nodo (conjuntos de información).
5. Los resultados de los jugadores, los cuales se muestran en los nodos
terminales del árbol del juego.
4. Definición de la teoría de juego entre dos jugadores
El equilibrio de Nash o equilibrio de Cournot o equilibrio de Cournot y Nash
o equilibrio del miedo es, en la teoría de los juegos, un “concepto de solución”
para juegos con dos o más jugadores, el cual asume que:
 Cada jugador conoce y ha adoptado su mejor estrategia, y
 Todos conocen las estrategias de los otros.
5. Identificación de las estrategias del jugador I y II
Considere el siguiente juego, en el cual el jugador I tiene dos opciones para
escoger, y el jugador II tiene tres alternativas para cada elección del jugador I.
La matriz de beneficios T se muestra a continuación:
Jugador II
j=1 j=2 j=3
Jugador I i=1 4 1 3

5. i=2 2 3 4
______________________________________
La Matriz de Beneficios
En la matriz de beneficios, las dos filas (i = 1, 2) representan las dos
estrategias posibles que el jugador I puede emplear, y las tres columnas (j = 1,
2, 3) representan las dos estrategias posibles que el jugador II puede emplear.
La matriz de beneficios esta orientada al jugador I, lo que significa que un valor
positivo tij es ganancia para el jugador I y una pérdida para el jugador II,
mientras que un tij negativo representa ganancia para el jugador II y una
pérdida para el jugador I. Por ejemplo, si el jugador I utiliza la estrategia 2
mientras que el jugador II aplica la estrategia 1, el jugador I recibe t21 = 2
unidades y por lo tanto el jugador II pierde 2 unidades. Obviamente, en nuestro
ejemplo el jugador II siempre pierde; sin embargo, el objetivo es minimizar el
beneficio del jugador I.
6. Definición de las ecuaciones para la resolución del problema
Es aquella en donde en cada término de la ecuación aparece únicamente una
variable o incógnita elevada a la primera potencia. Por ejemplo:
a 11 X1 + a 12 X2 + a 13 X3 + ... + a 1n Xn = C1 (1)
Es una ecuación algebraica lineal en las variables X1, X2, X3, ... , Xn. Se
admite que los coeficientes a11, a12, a13, ... , a1n y el término independiente
C1, son constantes reales.
7. Identificación de la estrategia punto de silla
Esta es una de las técnicas para analizar y resolver un problema de juegos.
No es el caso más común en la teoría de juegos.
Se llama punto de silla a aquel elemento αij de la matriz de consecuencias
tal que se cumple:
a) αij es el mínimo elemento de la fila “i”.
b) αij es el máximo elemento de la columna “j”.

6. Si un juego tiene por punto de silla un elemento (h,k), donde h es la
estrategia del jugador A y k es la estrategia del jugador B, entonces el jugador
A debe escoger la estrategia h y el jugador B la estrategia k entonces el juego
finaliza en una jugada y su valor es: αhk. Si existen dos o más puntos de silla,
éstos deben ser idénticos.
Supongamos un juego bipersonal de suma cero en el cual el jugador A
dispone de tres estrategias (a1, a2, a3) y el jugador B dispone de cuatro
estrategias que son: (b1, b2, b3, b4), la matriz de consecuencias es.
Si el jugador A selecciona la estrategia a1, el valor mínimo que puede obtener
es 30.
Si selecciona la estrategia a2, el valor mínimo que puede obtener es 35.
Si selecciona la estrategia a3, el valor mínimo que puede obtener es 28.
El objetivo del jugador A es maximizar sus mínimas ganancias.
Si el jugador B selecciona la estrategia b1, lo máximo que puede perder es 40.
Si selecciona la estrategia b2, lo máximo que puede perder es 35.
Si selecciona la estrategia b3, lo máximo que puede perder es 36.
Si selecciona la estrategia b4, lo máximo que puede perder es 38.
El objetivo del jugador B es minimizar la máxima pérdida.
Como el jugador A tiene por objetivo maximizar sus mínimas ganancias
entonces escogerá la estrategia a2, de la misma manera, el jugador B tiene por
objetivo minimizar la máxima pérdida, en consecuencia escogerá la estrategia
b2. De esta manera el juego finaliza en una jugada y tiene por valor:
α22= { a2, b2} = 35
Como es evidente, es un juego de suma cero ya que el jugador A gana 35 y el
jugador B pierde idéntica cantidad. En este caso decimos que el elemento (a2,

7. b2) = 35, es un punto de silla, ya que es el mínimo de la fila “i” y es al mismo
tiempo el máximo de la columna “j”. Obviamente este no es el caso más común
en la teoría de juegos.
8. Desarrollo del método algebraico
Consiste en la determinación de los valores de probabilidad de la aplicación
de cada una de las estrategias por parte de cada uno de los jugadores. Este
tipo de solución es aplicable cuando no existe un punto de silla y
preferiblemente cuando la matriz de consecuencias es cuadrada.
Para una mejor comprensión, se considera un juego bipersonal en el cual
cada uno de los oponentes maneja dos estrategias. La matriz de
consecuencias es la siguiente.
p1: es la probabilidad de que el jugador A escoja la estrategia a1.
p2: es la probabilidad de que el jugador A escoja la estrategia a2.
q1: es la probabilidad de que el jugador B escoja la estrategia b1.
q2: es la probabilidad de que el jugador B escoja la estrategia b2.
Si el jugador A escoge la estrategia a1, la consecuencia esperada
ponderada con los valores de probabilidad será:

8. De manera que la consecuencia esperada es que el jugador A gane
16,25 y el jugador B pierda idéntica cantidad. La aplicación de esta técnica, se
complica por su laboriosidad cuando la resolución es manual y cada jugador
tiene más de dos estrategias.
9. Desarrollo del método del sub – juego
Una estrategia de comportamiento b de un juego en forma extensiva, es
equilibrio perfecto de sub-juegos si la restricción de b o F, es un equilibrio de
Nash, para todo sub-juego propio de F.
Sea Fx un sub-juego de F, toda combinación estratégica b puede
descomponerse en un par (b – x, bx), siendo bx una combinación estratégica
en Fx y b-x una combinación estratégica en el juego truncado F-x ( bx ).
10. Desarrollo del método gráfico
Fang, Hipel y Kilgour proponen el siguiente modelo gráfico para un juego no
cooperativo. Este consiste en un conjunto N = {1; 2;:::; n} de jugadores, un

9. conjunto U = {1; 2;:::;u} de escenarios, una familia de grafos dirigidos Di = (U;Ai)
para cada jugador Ni ∈ , y una familia de funciones de pago NiUKi ∈ℜ→ ,: .
El modelo se completa definiendo el conjunto de movimientos que un
jugador puede realizar para cambiar (unilateralmente) de escenario y así
obtener los grafos dirigidos Di. Dado que en el juego el objetivo es aumentar los
pagos que recibe el jugador, tenemos las siguientes definiciones:
Dado un escenario g y un jugador i, el conjunto de los escenarios que el
jugador puede alcanzar unilateralmente desde g se denota por Si(g). Si
además, i recibe un pago estrictamente mayor, los escenarios de mejora
unilateral para i son:
)}()(:)({)( gKqKgSqgS iiiI ≥∈=+

10. Conclusión
La Teoría de Juegos consiste en razonamientos circulares, los cuales no
pueden ser evitados al considerar cuestiones estratégicas. La intuición no
educada no es muy fiable en situaciones estratégicas, razón por la que se debe
entrenar.
Para un especialista en Teoría de Juegos el ser deshonesto, etc., sería
un error comparable al de un matemático que no respeta las leyes de la
aritmética porque no le gustan los resultados que está obteniendo.
Se dice que un jugador posee una estrategia dominante si una estrategia
particular es preferida a cualquier otra estrategia a disposición de él.
Estrategia mixta es una combinación de dos estrategias escogidas al azar, una
cada vez, según determinadas probabilidades, en contraste con una estrategia
pura que no contiene tales elementos de azar.

11. Referencias Electrónicas
http://www.aulafacil.com/cursosenviados/cursomicroeconomia/Lecc-18.htm
http://www.auladeeconomia.com/microap-material9b.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_de_Nash
http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640S/SpanishG.htm
http://fceioperativa.unse.edu.ar/asignaturas/Investigacion_Operativa_II/at/teoria
Juegos.pdf
http://www.monografias.com/trabajos24/ecuaciones-lineales/ecuaciones-
lineales.shtml
http://www.fcs.edu.uy/archivos/Nota03.pdf