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1. aft
UNSCH-EPIC
Apellidos y Nombres:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
Escuela Profesional de Ingeniería Civil
Curso: Métodos Numéricos (IC-343)
Docente: Mg. Ing. Rocky Ayala Bizarro
1er Examen Parcial
Fecha: 07/07/2022
1. El examen propuesto es absolutamente personal, permitiéndose el uso de
calculadoras, apuntes de clase, formularios y laptop. Si existe dos preguntas iguales
de dos o más alumnos, se les anulará la pregunta y se les descontará 5 puntos a cada
alumno.
2. El examen tiene una duración de 03 horas, pasado ese tiempo por cada 5 minutos
se descontarán 2 puntos.
3. El examen debe entregarse en un solo archivo PDF, cuyo nombre debe iniciar con la
palabra ”E1” seguido del nombre del grupo al cual pertenece ”grupo15” y por último
el nombre y primer apellido del alumno. Ejemplo ”E1_grupo15_EstebanGarcia”, si
algún examen no cumple con estas indicaciones no sera revisado.
4. Se calificará el procedimiento (tablas de iteraciones y formulación del ejercicio
escritos en MATLAB o una hoja de examen), los valores iniciales y la tolerancia serán
asumidos por cada alumno.
5. Se asignará una variable llamada ”alumno” para todos los ejercicios el cual
corresponde a la suma de los cuatro (4) últimos dígitos del código de
estudiante. Ejemplo: código estudiante = 16110956, entonces la variable
”alumno=0+9+5+6=20”, este valor debe ser considerado en cada ejercicio de manera
clara.
6. NO adjuntar o imprimir ningún código de MATLAB en el PDF de entrega, por lo tanto,
cada pregunta tiene que estar desarrollado de forma ordenada y clara.
Problema 01: Sistema de ecuaciones lineales [06 puntos]
Utilice la imagen bridge.png y realice las siguientes operaciones en Matlab:
img = imread(’bridge.png’)
Se debe visualizar la imagen original con imshow(img,[]), imagesc(img) o surf(img).
img = mean(double(img),3)
Inicialmente, la imagen viene en color RGB (256x256x3) de tipo uint8 (entre 0 y 255
enteros). Luego se transforma a punto flotante con double, y finalmente, se promedian
los canales R, G y B para generar una única imagen en escala de grises.
Ahora, su imagen en la variable img corresponde a una matriz de 256x256. Luego se debe
cambiar el tamaño de la matriz mediante la variable ”alumno” con el siguiente código y
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
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Curso: Métodos Numéricos (IC-343)
Docente: Mg. Ing. Rocky Ayala Bizarro
1er Examen Parcial
Fecha: 07/07/2022
debe ser asignado a la variable A.
A=imresize(img,[abs(alumno-18) abs(alumno-18)]).
Se debe visualizar la imagen y la dimensión de la nueva matriz creada (A). Ahora, su
imagen en la variable A corresponde a una matriz cuadrada.
1. Realice el procedimiento del enunciado paso a paso mostrando las imágenes y
matrices que correspondan (1 punto).
2. Genere las matrices As = 1
2
(A + AT
) + 5I, donde I es la matriz identidad y Aa =
1
2
(A − AT
) + 5I. Luego genere un vector de lado derecho b donde bi = ||A(i, ∶)||∞,
por lo tanto, debe generar los sistemas de ecuaciones: Asx = b y Aax = b (1 punto).
3. Resuelva los sistemas Asx = b y Aax = b mediante los métodos de Jacobi y
Gauss-Seidel para una tolerancia absoluta de 10
6
entre iteraciones sucesivas. Evalúe
el residuo. Muestre en un mismo gráfico en escala log-log la evolución del residuo
con las iteraciones. Comente sus resultados (1 puntos).
4. Repita lo anterior para SOR, pero haga un barrido en las variable ω ∈ (0, 2). grafique
el número de iteraciones versus ω para las matrices As y Aa. Comente (1 punto).
5. Resuelva mediante el método de Gradiente Conjugado los sistemas Asx = b y Aax =
b y compare los resultados obtenidos con los puntos 2 y 3 (1 punto).
6. Resuelva los sistemas Asx = b y Aax = b mediante dos métodos directos, compare
y comente los resultados de estos métodos (1 punto).
Problema 02 [06 puntos]:
El método AASHTO 1993 utiliza el número estructural SN para cuantificar la resistencia
estructural que el pavimento requiere para determinada capacidad de soporte del suelo,
tráfico esperado y pérdida de serviciabilidad. Con la ecuación 1 que corresponde al
diseño empírico usada en AASHTO 93 se busca el número estructural requerido por el
proyecto:
log10(W18) = ZR S0 + 9.36 log10(SN + 1) − 0.20 +
log10 (
ΔPSI
4.2 − 1.5)
0.40 +
1094
(SN + 1)5.19
+ 2.32 log10(MR) − 8.07
(1)
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Curso: Métodos Numéricos (IC-343)
Docente: Mg. Ing. Rocky Ayala Bizarro
1er Examen Parcial
Fecha: 07/07/2022
El número estructural requerido por el proyecto, SN, se convierte en espesores de carpeta
asfáltica, base y subbase, mediante coeficientes de capa que representan la resistencia
relativa de los materiales de cada capa. La ecuación de diseño es la siguiente:
SN = a1D1 + a2D2m2 + a3D3m3 (2)
Donde:
ai coeficiente de la capa i (1/pulg.)
Di espesor de la capa i (pulg.)
mi coeficiente de drenaje de la capa i (adimensional)
Table 1: Datos para el diseño
SN – Número estructural requerido por la sección de carretera.
W18 2450000 Número de ejes equivalentes de 80 kN.
ZR -1.645 Desviación estándar normal.
S0 0.4 Error estándar por efecto del tráfico y comportamiento.
ΔPSI 2.00 Variación del índice de serviciabilidad.
MR−subrasante 250 × alumno Módulo resiliente para subrasante.
MR−subase 975 × alumno Módulo resiliente para subbase.
MR−base 1854 × alumno Módulo resiliente para Base.
De acuerdo al enunciado desarrollar los siguientes enunciados.
1. Calcule el número estructura de la subrasante, subase y base mediante 2 métodos
numéricos cerrados según la tabla 1, resuelva hasta conseguir una tolerancia
absoluta de 10
−2
. Evalúe y comente los resultados obtenidos (2 puntos).
2. Empleando 3 métodos numéricos abiertos, determine el número estructural de la
subrasante, subase y base del pavimento según la tabla 1, comente y compare los
resultados, se debe mostrar el procedimiento detallado (2 puntos).
3. Para todos los casos, grafique la convergencia de la solución de todos los métodos
utilizados, compare y comente la respuesta con la solución mediante un software
avanzado (MATLAB o MATHCAD, etc.) (2 puntos).
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1er Examen Parcial
Fecha: 07/07/2022
Problema 03 [08 puntos]
Los problemas de vibraciones libres, sin considerar el amortiguamiento de un sistema,
conduce a la obtención de los valores y vectores propios de una estructura. Con los valores
propios (λ) se hallan las frecuencias (ω, ver ecuación 3 ) y períodos de vibración (T, ver
ecuación 4 ) y los vectores propios (ϕ) son los modos de vibración.
ω = √λ (3)
T =
2π
ω
(4)
El marco uniforme de cuatro niveles con vigas rígidas que se muestra en la figura 1 tiene
masas iguales en todos los niveles equivalentes a m y rigideces ki en cada piso, estos
valores depende de las indicaciones que se detallan a continuación:
A la rigidez de cada nivel (ki) le corresponde los últimos dígitos del código del alumno
(ejemplo: código=16110956 entonces, k1 = 6, k2 = 5, k3 = 9, k4 = 1)
A la masa (m) le corresponde el último dígito del código del alumno (ejemplo:
código=16110956 entonces, m = 6), tener en consideración que estos valores tienen que
ser diferentes de cero (≠ 0).
3.5.6 Modal Analysis in Frequency Domain for State-Space Equation
When state-space modal analysis is carried out in the frequency domain, Equation 3.129 is solved in the
frequency domain. For this purpose, fgi
is Fourier synthesized using FFT and qiðtÞ is obtained using the
Fourier analysis technique given in Section 3.4.4. Note that hjðoÞ is given by:
hjðoÞ ¼ ðiol1Þ1
ð3:131Þ
Once qiðtÞ is obtained, ZðtÞ may be obtained using Equation 3.126.
Example 3.12
Forthemulti-storeyframeshowninFigure3.20,obtaintheshearatthebaseoftheright-sidecolumnforthe
El Centro earthquake. Obtain the response quantity of interest in the time domain using: (i) the mode
summation approach, (ii) the mode acceleration approach; and (iii) the modal state-space analysis.
Assume k=m ¼ 100 ðrads1
Þ2
and percentage critical damping as 5%.
Solution: Stiffness and mass matrices for the frame are:
K ¼
2 2 0 0
2 4 2 0
0 2 6 4
2
6
6
6
4
3
7
7
7
5
k M ¼
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
2
6
6
6
4
3
7
7
7
5
m
k4 k4
k3
k3
2k2 2k2
2k1
2k1
g
x
4
u
3
u
2
u
1
u
m
2m
2m
2m
Figure 3.20 Multi-storey frame
Response Analysis for Specified Ground Motions 145
Figure 1: Marco de varios pisos.
Considerando la idealización de masa concentrada en cada nivel, la matriz M queda
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Fecha: 07/07/2022
definido en la ecuación 5 ,
M =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
m1 0 0 ⋯ 0
0 m2 0 ⋯ 0
0 0 m3 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 0
0 0 0 0 mn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(5)
donde n es el número de pisos. Por otra parte, la matriz de rigidez K queda definido en la
ecuación 6 ,
K =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
k1 + k2 −k2 0 ⋯ 0
−k2 k2 + k3 −k3 ⋯ 0
0 −k3 k3 + k4 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ −kn
0 0 0 −kn kn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(6)
El algoritmo de M
1
2
permite obtener los períodos y modos de vibración en las estructuras.
Para ello se tiene que definir una matriz a partir de las matrices de rigidez K y de masas
M, mediante el siguiente procedimiento. La ecuación 7 puede escribirse de la siguiente
manera:
K ϕ = λ M ϕ (7)
Sea,
ϕ = M
−1
2 ϕ0 (8)
Al reemplazar 8 en 7 se tiene:
K M
−1
2 ϕ0 = λ M
1
2 ϕ0 (9)
Al multiplicar por la izquierda, por M
−1
2 se obtiene:
M
−1
2 K M
−1
2 ϕ0 = λ ϕ0 (10)
Se denomina,
K0 = M
−1
2 K M
−1
2 (11)
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1er Examen Parcial
Fecha: 07/07/2022
De donde, la ecuación 11 se transforma:
K0 ϕ0 = λ ϕ0 (12)
Finalmente, los vectores propios se hallan mediante la siguiente ecuación:
ϕ = M
−1
2 ϕ0 (13)
Teniendo estas consideraciones, resuelva los siguientes enunciados, considerando el
planteamiento y procedimiento respectivo de cada método numérico.
1. Genere las matrices K, M y K0, muestre a detalle los procedimientos considerados (1
punto).
2. Calcule los modos de vibración, frecuencias y periodos de vibración mediante los
método de Jacobi y Jacobi Generalizado, comente y compare los resultados, se debe
mostrar el procedimiento detallado (3 puntos).
3. Del marco de 4 niveles que se muestra en la figura 1, calcule los modos de
vibración, frecuencias y periodos de vibración mediante los métodos numéricos de
Householder, QR, Faddeev-Leverrier y Potencias, comente y compare los resultados
de estos métodos (4 puntos).
6/6