se trata de resolver una figura sin curvas, solamente cuadrados y rectangulos para encontrar los esfuerzos internos, las deformaciones unitarias por el metodo de las diferencias finitas

1. TALLER 2: CÁLCULO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
USANDO LA FUNCIÓN DE TENSIÓN DE AIRY.
Nombre: Jairo Antonio Valenzuela Aguilar
Código: 116561
Profesor: Diego Andrés Alvarez Marín.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA –SEDE MANIZALES
Julio 20 de 2020

2. TALLER 2: cálculo de esfuerzos y deformaciones
Usando la función de tensión de Airy.
Se pretende hacer el análisis para la siguiente figura con los datos mostrados a continuación.
 Estructura modelada por tensión plana
 Espesor = 1 m
 E = 70 GPa
 ν = 0.30 (coeficiente de Poisson)
 peso propio material = 2700 kgf/m³
 Δ = 5 cm (para las diferencias finitas)
SOLUCIÓN AL EJERCICIO PROPUESTO.
Primero parametrizamos la estructura por el parámetro s y luego sacamos las coordenadas de (s, x) y (s, y)
para poder graficar las curvas paramétricas.

3. Las anteriores coordenadas las copiamos a una hoja de Excel y graficamos las curvas paramétricas de
x(s) y y(s) calculando así las pendientes para cada tramo:
s (m) x (m) s (m) y (m)
0 2 0 1
1.4 3.4 1.4 1
2.2 3.4 2.2 1.8
4 1.6 4 1.8
4.4 1.6 4.4 2.2
6.2 -0.2 6.2 2.2
7 -0.2 7 1.4
8.2 1 8.2 1.4
10 1 10 -0.4
11 2 11 -0.4
12.4 2 12.4 1
x= s+ 2
x = 3.4
x = -s + 5.6
y = 1,6
x = -s + 6
x = - 0.2
x = s- 7.2
x = 1
x = s - 9
x = 2
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 2 4 6 8 10 12 14
x(m)
s (m)
x vs s
y = 1
y = s - 0.4
y = 1,8
y = s - 2.2
y = 2,2
y = -s + 8.4
y = 1,4
y = -s + 9.6
y = - 0,4
y = s - 11.4
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 2 4 6 8 10 12 14
y(m)
s (m)
y vs s

4. Con los datos de las anteriores gráficas de MS Excel editamos el código MAXIMA para graficar y(s), x(s),
y(s) vs x(s).
Para ello utilizamos el siguiente código:

5. Los resultados al ejecutar el código en MAXIMA son los siguientes:

7. La última grafica me dice que hemos ingresado correctamente el código en MAXIMA ya que, no evidenciamos
errores al graficar la figura. La figura se grafica para ciertos valores de s generados en la lista ss (línea 94 del
código).
Ahora procedemos a hallar las ecuaciones de las cargas en el contorno para convertirlas luego en una carga
puntual equivalente mediante el principio de Saint-Venant, posteriormente calcular con estas las reacciones
en el empotramiento y finalmente graficar las cargas a partir del parámetro s.
Hacemos un análisis manualmente como el mostrado en las siguientes imágenes.

8. Para ello utilizamos el siguiente código:
Nota: En las líneas 118 y 119 se define las ecuaciones de las cargas px y py que actúan en el tramo s [2.2 -3.2),
note que aquí px y py actúan como una carga distribuida.
Las reacciones calculadas junto con las cargas aplicadas son las siguientes:

9. Análisis de las reacciones calculadas.
Si observamos el valor, el signo y la posición de las cargas puntuales aplicadas en el contorno de la estructura:
Cdx, Cdy, Cxx, Y y X , podemos decir que las reacciones calculadas son correctas, ya que por ejemplo, el valor
de Rx = - 85.093 KN es un valor negativo (el sentido de Rx es contrario a la convención usada en el cálculo de
sumatoria de fuerzas en x), lo cual es evidente, ya que Cdx y Cxx actúan hacia la derecha (convención positiva).
Se puede verificar el cálculo de las reacciones manualmente y los valores son los mismos que se calcularon
con el código propuesto.
Como se dijo anteriormente, dichas cargas están aplicadas en la estructura como cargas puntuales, pero en
realidad estas están actuando a lo largo de un tramo en la estructura, por lo que nuevamente aplicamos el
principio de Saint –Venant para convertirlas en cargas distribuidas a través del siguiente análisis:

10. Debemos encontrar entonces la ecuación de la recta cd_apoyo. A continuación se muestra el análisis para
calcular cd_apoyo = m*s + b.
El análisis anterior lo ingresamos en el siguiente código, después definimos las cargas (distribuidas) en la
dirección x y la dirección y a lo largo de la estructura por medio del parámetro s. al final se establece las
fuerzas distribuidas en las direcciones x y y aplicadas en el borde de la estructura.
Nota: Xb y Yb (líneas 161 y 169 denotan fuerzas de membrana en las direcciones x y y respectivamente.

11. Al ejecutar el código resultan las gráficas de las fuerzas superficiales en las direcciones x y y respectivamente
tal como se muestran a continuación.
Ahora se debe verificar las siguientes ecuaciones para garantizar que la estructura esta en equilibrio.
Esto en MAXIMA se hace con el siguiente código.
Los resultados del anterior código son los siguientes:
Se evidencia que la sumatoria de fuerzas y de momentos, da como resultado valores cercanos a 1x10-3
,
por tanto se concluye que el procedimiento es correcto.
Finalmente con el siguiente código se define la función potencial V en el contorno, se calculan y se grafican
phi junto con las derivadas parciales de phi en todos los puntos de la lista “ss” generada anteriormente ,y

12. por último los resultados los guardamos en varios archivos de formato txt en un directorio definido por el
usuario.
Debemos tener en cuanta entonces las siguientes formulas:
En MAXIMA las anteriores ecuaciones se realizan con el código a continuación:
Nota: las líneas 192 a 194 me generan unas expresiones muy difíciles de entender, por lo que en máxima
evaluamos a dichas expresiones para diferentes valores de s, esto se realiza en las líneas 197 a 199 del código
mostrado.

13. El resultado del anterior código es el siguiente:
Graficas de phi y sus derivadas parciales en el contorno

14. Archivos txt generados por MAXIMA
Tenemos que extraer los valores de los anteriores archivos a una hoja Excel para poder realizar los cálculos
por el método de las diferencias finitas, pero extraerlos manualmente es muy complicado ya que son muchos
valores. Para ello utilizamos el siguiente código en Matlab y así exportar los resultados a una hoja de Ms
Excel.
Al ejecutar dicho código obtenemos los valores de phi y las derivadas parciales de phi en el contorno del solido
en la hoja de Ms Excel como se muestra en la siguiente imagen:

15. Con máxima pasamos la siguiente ecuación biarmonica a diferencias finitas a través del siguiente código.

16. Dando como resultado la siguiente formula, la cual se pegara en la casilla I18 en la hoja de Excel.
La anterior imagen no muestra la formula completa, ya que esta es bastante larga.
Finalmente hacemos el cálculo de phi en la hoja de Excel.

17. Aquí las casillas de color verde, son valores de phi ficticios que son necesarios para hacer el cálculo de sx, sy
y txy. Dichas casillas se calculan con las siguientes formulas.
Con la anterior imagen el estudiante debe ser capaz de utilizar las anteriores ecuaciones según corresponda.

18. Para hacer el cálculo de sx, sy y txy se utilizan las siguientes formulas:
Una vez hecho los cálculos de sx, sy, txy en la hoja de Excel se grafican en Matlab y con ayuda de este mismo
se calculan ex, ey, ez, ɣxy, s1, s2 y tmax.
Los resultados son los siguientes.
 Gráfico de las deformaciones longitudinales unitarias y angulares:
grafico de ex grafico de ey
gráfico de ez gráfico de ɣxy

19.  Gráficos de los esfuerzos sx, sy y txy.
grafico de sx grafico de sy
grafico de txy
 Graficos de los esfuerzos principales y esfuerzo cortante maximo.
grafico de s2 grafico de s1

20. grafico de tmax
ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS.
 Análisis de las deformaciones ex, ey, ez y ɣxy.
Si observamos la configuración de las cargas aplicadas, las gráficas de ex y ey son coherentes, ya que podemos
observar un alargamiento alrededor de A, y un acortamiento alrededor de B en dirección x. En la zonas E y
D podemos observar que tenemos estiramientos en dirección y , y en la zona C podemos mirar que tenemos
acortamientos tanto en dirección x y y.

21. Note que en la zona A y D tenemos estiramientos en las dos direcciones, por lo que en la zona F es de esperar
que esta sufra unas contracciones en dirección z debido al efecto Poisson, es por eso que en esta zona hay
una gran concentración de curvas de nivel.
En la zona C también se puede reflejar el efecto Poisson, ya que al tener acortamientos en dirección x y y, esta
debe alargarse en dirección del eje z, razón por el cual tenemos valores positivos en la zona C en la gráfica de
ez, y valores negativos en las gráficas de ex y ey para la misma zona.
Finalmente la gráfica de ɣxy, me dice como se está deformando la estructura angularmente, con la siguiente
imagen interpretaremos los valores positivos, negativos y neutros de la gráfica ɣxy.
Como podemos observar, la anterior imagen nos dice como un diferencial de solido se deforma angularmente.
Valores negativos se asocian a deformaciones angulares como la mostrada en G, valores neutros se asimilan
a H y valores mayores a cero representados por deformaciones como la mostrada en C.
 Análisis de los esfuerzos sx, sy y txy.
Después de haber analizado las gráficas de las deformaciones se esperaría que las gráficas de sx y sy sean algo
similares a las gráficas de ex y ey respectivamente.
Se puede observar que en la zona A, E y D tenemos esfuerzos a tracción en las direcciones x y y
respectivamente, razón por la cual en las deformaciones tenemos estiramientos en estas zonas. Por otro lado
tenemos que en la zona B y C, se presentan compresiones.

22. Si observamos las curvas de nivel que hay entre A y B, podemos decir que aquí hay una linealidad de la
variación de esfuerzo sx en este tramo.
La grafica de txy y ɣxy son prácticamente las mismas, ya que solamente están escaladas por una constante G
de la relación txy=Gɣxy, donde G es el módulo de rigidez del sólido. Valores menores a cero me indican que
los esfuerzos cortantes actúan contrario a las manesillas del reloj. Cabe resaltar que en los esfuerzos cortantes,
lo que importa es la magnitud de este, más no su sentido, ya que en la vida real el sentido casi es indiferente.
 Análisis de los esfuerzos principales, esfuerzo cortante máximo y refuerzo óptimo.
Podemos apreciar que en la zona A hay una gran concentración de esfuerzos a tracción, lo que puede causar
grietas en la estructura, es por ello que la gráfica de s1 presenta una gran densidad de líneas negras en esta
zona, las cuales me indican que aquí se debe colocar mucho refuerzo, ya que posiblemente en esta zona será
por donde la estructura intente fallar primero. Ahora con la gráfica de s2 que me indica cómo se va a agrietar
la estructura, podemos decir que en A esta se va a agrietar a 45°, por lo que debemos colocar el refuerzo
a un Angulo de 135° tal como indica las inclinaciones de s1.
En la zona B y C, la estructura presenta sus mayores esfuerzos a compresión (tonalidad azul), razón
por la cual se presentan muchas líneas negras, indicando entonces las inclinaciones en donde se
produce s2.

23. A continuación se sugiere el colocado de refuerzo de la manera óptima en la estructura, tratando de
seguir la orientación de las inclinaciones a partir de la gráfica de s1.
Colocado de refuerzo, siguiendo las orientaciones óptimas.
De la gráfica de tmax se puede observar que en las esquinas de la zona F y C se producen los esfuerzos
cortantes máximos, aquí los colores de tonalidad amarillenta no se alcanzan a distinguir debido a las
inclinaciones (líneas negras). Esta grafica me dice que en las esquinas de F y C se debe tener mayor rigurosidad,
ya que es en estas zonas en donde la estructura podría fallar en primera instancia, es decir si la estructura
fuese hecha de concreto, este puede fallar por primera instancia por esfuerzos de tracción, en segunda
instancia por efectos de esfuerzos cortantes y por ultimo por efectos de compresión.
CONCLUSIONES:
 Al analizar una estructura por el método de las diferencias finitas, utilizando la función de tensión de
Airy, vimos que este es un proceso bastante extenso de realizar, pero fácil de entender siempre y
cuando se tengan los conceptos claros de lo que se está realizando.

24.  El método de diferencias finitas solo se puede aplicar a figuras en donde su composición sea de
rectángulos, ya que si tenemos superficies inclinadas o curvas, estas tendrán unas ecuaciones más
complicadas y extensas de evaluar.
 Podemos decir que la función de tensión de Airy, al resolverla por diferencias finitas podemos obtener
valores muy aproximados a los valores reales, todo dependerá de que tanto tomemos el valor de
delta, pero como se puede evidenciar, para ejercicios prácticos obtenemos valores muy coherentes y
fáciles de interpretar a través de graficas que representen dichos valores.
 Para realizar el proceso completo cabe resaltar que es necesario disponer de software diferentes para
garantizar y asegurar que no se cometan errores humanos como por ejemplo al ingresar las formulas
en una hoja de Ms Excel.
 Este método no se lo utiliza en la vida cotidiana, ya que existen otros métodos como por ejemplo el
método de elementos finitos que puede analizar figuras curvas y difíciles de graficar, con un ahorro
muy significante de tiempo y con las mismas o mejores aproximaciones que el de diferencias finitas
en los resultados, todo dependerá de la sofisticación del software.