En el presente informe se calculara los desplazamientos , fuerzas , reacciones y esfuerzo en cada punto seleccionado de una armadura cuya representacion se mostrara a continuacion en la siguiente pagina , para calcular lo anteriormente mencionado se hara uso de un metodo de VANGUARDIA y de ultima generacion que se esta utilizando en los mejores institutos de investigacion del mundo
Usos y desusos de la inteligencia artificial en revistas científicas
CALCULO DE LOS ESFUERZOS Y REACCIONES EN CADA ZONA DE UNA ESTRUCTURA METALICA , UTILIZANDO EL CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS
1. Ingeniería Industrial
Juan Carlos
Durand Porras
2015
CURSO:
Mecanica y
Resistencia de
Materiales
GRUPO:
Jueves
CALCULO DE LOS ESFUERZOS Y REACCIONES EN
CADA ZONA DE UNA ESTRUCTURA METALICA ,
UTILIZANDO EL CALCULO POR ELEMENTOS
FINITOS
INTEGRANTES
García Pechortinta, Christian Y.
Segundo Torres, Alfonso.
2. INTRODUCCION
En el presente informe se calculara los desplazamientos , fuerzas , reacciones y
esfuerzo en cada punto seleccionado de una armadura cuya representacion se mostrara a
continuacion en la siguiente pagina , para calcular lo anteriormente mencionado se hara
uso de un metodo de VANGUARDIA y de ultima generacion que se esta utilizando en
los mejores institutos de investigacion del mundo , este metodo es valga la redundancia
, el Metodo de los Elementos Finitos , cuyo uso es utilizado para sistemas complejos de
armaduras , y en sistemas vale decir demasiado complejos para los metodos de antaño ,
el metodo por elementos finitos reduce las hojas de calculo matematico , y hace uso del
ordenador para su ejecucion , hay muchos software que ya tienen insertado un codigo
basado en este metodo , como se vera el presente informe , por ejemplo : El ANSYS ,
un reconocido software de primer mundo de la simulacion no solo en resistencia de
materiales sino tambien en otros rubros de la ingenieria , otro software que sirve de
apoyo para la creacion de codigos de acuerdo al sistema a analizar es el MATLAB ,
(MATRIZ LABORATORY) , como su propio nombre lo dice se hacen uso de matrices
para el calculo y solucion de problemas de alta complejidad en la ingenieria , en el
informe se hara uso de ambos software mencionados lineas arriba , pero cabe recalcar
que nos basaremos en formulas y matrices ya hechas en la teoria y con esa base ,
haremos un diagrama del flujo para crear el codigo en MATLAB ,ejecutaremos despues
el codigo en el mismo software y luego se hara el analisis en ANSYS para contrastar
resultados .
….
3. DESARROLLO DEL TEMA
La estructura a analizar , se saco de un expediente de diseño de sistemas de armaduras ,
pero se calculara por medio de elementos finitos los requerimientos del cliente
La estructura de marco mostrada es compuesta de 10mm*10mm. Considerando
mienbros solidos de seccion cuadrada.
CONSIDERAREMOS COMO PROPIEDADES DEL MATERIAL
E = 10 Gpa
𝛾 = 7.8 𝑔𝑟 − 𝑓 𝑐𝑚3⁄
SECCIONES:
10mm*10mm
Hallaremos las reacciones en los apoyos y los esfuerzos en cada elemento finito.
4. 1. MODELADO DEL CUERPO REAL
Como los miembros de la armadura tienen sección constante, entonces estos mismos
miembros se pueden tomar como elementos finitos. Luego tendremos 3 elementos
finitos.
El área de cada elemento finito será igual a:
A = l2
= 102
= 100 mm2
2. UBICACIONES NODALES
El origen de coordenadas está localizado a la izquierda de la armadura, como se puede
observar en la Figura 2. Las posiciones para cada nodo se pueden ser en el siguiente
cuadro:
NODO X (mm) Y (mm)
(1) 0 3000
(2) 2500 3000
(3) 0 0
(4) 2500 0
6. 5. MATRICES DE RIGIDEZ LOCALES:
Las matrices de rigidez locales se calculan a partir de:
𝑘 𝑟𝑠
𝑒
=
𝐴𝐸
𝑙𝑒
11
11
+
𝐸𝐼1
𝑙𝑒3
22
22
4626
612612
2646
612612
lelelele
lele
lelelele
lele
Para trabajar con la ecuación de rigidez tenemos que transformar esta matriz de rigidez,
utilizando:
𝑘 𝑒
𝑟𝑠 = 𝐿 𝑟𝑡 ∗ 𝑘 𝑒
𝑟𝑠 ∗ 𝐿 𝑡𝑟
6. MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
Se determina a través de la conectividad del modelo, utilizando la siguiente fórmula:
𝐾𝑖𝐽 = ∑ 𝑘 𝑒
𝑟𝑠
𝑠→𝑖
𝑟→𝐽
Como tenemos 4 nodos y en cada nodo hay 3 grados de libertad, la matriz de rigidez
global sera de 12x12.
7. ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO
La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:
𝐹𝑖 = 𝐾𝑖𝐽 𝑄𝐽
Como los nodos (3) y (4) están empotrados, su desplazamiento y giro será cero. Luego
el vector desplazamiento será:
𝑄𝐽
𝑇
= 000000654321 QQQQQQ
7. Entonces tomaremos subsistemas y resolviendo obtenemos:
8. ESFUERZOS
Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento finito, lo dividimos en 2 partes:
N
e
M
ee
Esfuerzo debido a la flexión
6543212
)13()(6)13()(6)( qlzlqmqzqlzlqmqz
l
Ey
ee
e
M
e
Es conveniente analizar el esfuerzo en el extremo medio de cada elemento finito, es
decir: z=0
Además, como nos interesan los esfuerzos máximos, y para el caso de la flexión eso se
da cuando está más alejado del eje neutro, es decir y=D
8. Esfuerzo debido a la tracción
13
23
13
23
r
r
s
s
e
N
e
q
q
q
q
mlml
l
E
Para cada elemento finito obtendremos:
Factor de seguridad = 0.212548
9. 9. DESCRIPCION DEL PROGRAMA
El programa es aplicado para cualquier arreglo de armaduras, de donde como datos de
entrada se ingresará:
- Las coordenadas de cada nodo (en orden desde el nodo 1 hasta el nodo n), todos
respecto del mismo sistema.
- Los nodos correspondientes a cada elemento, en orden.
- Las condiciones de frontera, considerando que para cada nodo se tendrá 3
valores de deformaciones (2 para cada eje y otra para la torsión), de donde si
existe la deformación se colocará 1, en caso contrario 0.
- El módulo de elasticidad para cada elemento.
- El peso propio del material.
- La condición que deberá cumplir e (0 o 1).
- El área correspondiente para cada elemento.
- Las fuerzas externas aplicadas sobre la armadura (los valores no conocidos
como las reacciones se colocan como ceros).
Como resultado se obtendrá la tabla de conectividad y los grados de libertad para cada
elemento de la armadura, los cosenos directores, la matriz de rigidez, las deformaciones
para cada nodo, las fuerzas externas totales aplicadas y los esfuerzos para cada barra.
10. 10. DIAGRAMA DE BLOQUES
INCIO
PLACAS PLANAS
Ingreso de datos:
x=[3000 0;3000 1500;1500 1500;0 1500;1500 0];
c=[1 2;2 3;3 4;3 5;4 5;5 2;5 1]; M=[0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;1;1;1;1];
E=[3.1*10^5;3.1*10^5;3.1*10^5;3.1*10^5;3.1*10^5;3.1*10^5;3.1*10^5];
pe=7.649187*1e-5; e=0; D=50;
A=[50^2*pi/4;50^2*pi/4;50^2*pi/4;50^2*pi/4;50^2*pi/4;50^2*pi/4;50^2*pi/4];
F=[0;0;0;0;0;-2000;-5000;0;0;-3000];
i=1
le(i)=sqrt((x(c(i,2),1)-
x(c(i,1),1))^2+(x(c(i,2),2)-x(c(i,1),2))^2);
cosdir=[cosdir;[i le(i) (x(c(i,2),1)-
x(c(i,1),1))/le(i) (x(c(i,2),2)-x(c(i,1),2))/
le(i)]];
i=length(c)
gld(:,1)=1:3:2*length(c)-
1;gld(:,2)=2:3:2*length(c);gld(:,3)=3:3:2*length(c)+1;T=[];
i=i+1
i=1
Si
No
l=cosdir(i,3);m=cosdir(i,4);
ktw=zeros(6);k=[];kt=zeros(3*length(x));
ltr=[l m 0 0 0 0;-m l 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;0 0 0 l m 0;0 0 0 -m l 0;0
0 0 0 0 1];
ktw([1 4],[1 4])=A(i)*E(i)/le(i)*[1 -1;-1 1];
ktw([2 3 5 6],[2 3 5 6])=E(i)*(pi*D^2/64)/le(i)^3*[12 6*le(i) -12
6*le(i);6*le(i) 4*le(i)^2 -6*le(i) 2*le(i)^2;-12 -6*le(i) 12 -
6*le(i);6*le(i) 2*le(i)^2 -6*le(i) 4*le(i)^2];
k=ltr'*ktw*ltr; kt(T(i,4:9),T(i,4:9))=k; KT=KT+kt;
Fw=zeros(3*length(x),1);
fw=[-pe*A(i)*le(i)*m/2 -pe*A(i)*le(i)*l/2 -pe*A(i)*le(i)^2*l/12 -
pe*A(i)*le(i)*m/2 -pe*A(i)*le(i)*l/2 pe*A(i)*le(i)^2*l/12];
Fwo=ltr'*fw'; Fw(T(i,4:9),1)=Fwo; PT=PT+Fw;
i=length(le)
i=i+1
Si
No
1
i=1
T=[T;[gld(c(i,1),:) gld(c(i,2),:)]];
i=length(c)
i=i+1
No
T=[cosdir(:,1) c T];
ELemento Conectividad GDL
disp(T)
Le l m
disp(cosdir(:,2:end))
Si
KT=zeros(3*length(x));PT=zeros(3*length(x),1);
MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL K
KT
'FUERZAS DE CARGA
PT
1
m=[];
i=1
i=3*length(x)
i=i+1
No
M(i)==1
No
m=[m;[i]];
Si
F1=PT+F;
i=1
j=1
kr(i,j)=KT(m(i),m(j));
j=length(m)
i=i+1
No
f(i)=F(m(i));
j=length(m)
i=i+1
No
q=krf';
Q=M;
i=1
Q(m(i))=q(i);
i=length(m)
i=i+1
No
FT=KT*Q;
DESPLAZAMIENTOS mm o pulg
Q
FUERZAS TOTALES (reacciones y
externas) N o Lb
FT
FUERZAS INCOGNITAS A HALLAR
FT-F1
i=1
ES1(i)=-(E(i)*(D/2)/le(i)^2)*sum([-
6*e*cosdir(i,4);6*e*cosdir(i,3);(3*e-
1)*le(i);6*e*cosdir(i,4);-
6*e*cosdir(i,3);(3*e+1)*le(i)].*[Q(T(i,4:9))]);
i=length(le)
i=i+1
No
Esfuerzo Máximo debido a la
flexion
ES1
2
12. 11. DIGITALIZACION DEL PROGRAMA PARA MATLAB
clc
clear all
format short g
disp(' ____________________________________')
disp(' ')
disp(' MARCOS ')
disp(' ____________________________________')
disp('--------------------------------------------------------------------');
disp('Insertar ([mm. N.] o [pulg. lb.])')
disp(' ');
x=input('Datos de coordenadas nodales [x1 y1;x2 y2;...;xnn ynn] ->');
disp(' ');
c=input('Nodos para cada elemento (en orden): [a1 b1;a2 b2;...;an bn] ->');
disp(' ');
disp('Indicar condiciones de frontera (soportes fijos:0/moviles:1)')
M=input('Condiciones para :[Q1;Q2;Q3;Q4;...;Q(3nn-2) Q(3nn-1) Q(3nn)]->');
disp(' ')
E=input('Modulo de elasticidad para cada elemento [E1;E2;..;En] ->');
disp(' ')
pe=input('Peso propio del material [N/mm3]->');
disp(' ')
e=input('Consideración del e ->');
disp(' ')
A=input('Area para cada elemento [A1;A2..;An]->');
disp(' ')
diam=input('Diametro ->')
disp(' ')
F=input('Fuerzas Externas sin reacciones [F1;F2;F3;F4;...;F]->');
disp('--------------------------------------------------------------------');
%tabla de cosenos directores
cosdir=[];
for i=1:length(c)
le(i)=sqrt((x(c(i,2),1)-x(c(i,1),1))^2+(x(c(i,2),2)-x(c(i,1),2))^2);
cosdir=[cosdir;[i le(i) (x(c(i,2),1)-x(c(i,1),1))/le(i) (x(c(i,2),2)-x(c(i,1),2))/le(i)]];
end
%Tabla de conectividad y GDL
gld(:,1)=1:3:3*length(c)-1;gld(:,2)=2:3:3*length(c);gld(:,3)=3:3:3*length(c)+1;T=[];
gld=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12];
for i=1:length(c)
T=[T;[gld(c(i,1),:) gld(c(i,2),:)]];
end
T=[cosdir(:,1) c T];
disp('ELemento Conectividad GDL')
disp(T)
disp(' Le l m')
disp(cosdir(:,2:end))
format short
%matriz de rigidez y cargas
13. KT=zeros(3*length(x));PT=zeros(3*length(x),1);
for i=1:length(le)
l=cosdir(i,3);m=cosdir(i,4);
ktw=zeros(6);k=[];kt=zeros(3*length(x));
ltr=[l m 0 0 0 0;-m l 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;0 0 0 l m 0;0 0 0 -m l 0;0 0 0 0 0 1];
ktw([1 4],[1 4])=A(i)*E(i)/le(i)*[1 -1;-1 1];
ktw([2 3 5 6],[2 3 5 6])=E(i)*(pi*diam^4/64)/le(i)^3*[12 6*le(i) -12 6*le(i);6*le(i)
4*le(i)^2 -6*le(i) 2*le(i)^2;-12 6*le(i) 12 -6*le(i);6*le(i) 2*le(i)^2 -6*le(i) 4*le(i)^2];
k=ltr'*ktw*ltr;
kt(T(i,4:9),T(i,4:9))=k;
KT=KT+kt;
Fw=zeros(3*length(x),1);
fw=[-pe*A(i)*le(i)*m/2 -pe*A(i)*le(i)*l/2 -pe*A(i)*le(i)^2*l/12 -pe*A(i)*le(i)*m/2 -
pe*A(i)*le(i)*l/2 pe*A(i)*le(i)^2*l/12];
Fwo=ltr'*fw';
Fw(T(i,4:9),1)=Fwo;
PT=PT+Fw;
end
disp(' ')
disp('MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL K')
disp(' ')
disp(KT)
disp('FUERZAS DE CARGA')
disp(PT)
%condiciones de frontera
m=[];
for i=1:3*length(x)
if M(i)==1
m=[m;[i]];
end
end
F1=PT+F;
for i=1:length(m)
for j=1:length(m)
kr(i,j)=KT(m(i),m(j));
end
f(i)=F1(m(i));
end
q=inv(kr)*f';
Q=M;
for i=1:length(m)
Q(m(i))=q(i);
end
FT=KT*Q;
disp(' ')
disp('DESPLAZAMIENTOS mm o pulg')
disp(Q)
disp(' ')
disp('FUERZAS TOTALES (reacciones y externas) N o Lb')
disp(FT)
14. disp('FUERZAS INCOGNITAS A HALLAR')
disp(FT-F1)
%esfuerzos maximos flexion ({e=0 y y=D/2)
for i=1:length(le)
ES1(i)=-(E(i)*(diam)/le(i)^2)*([-6*e*cosdir(i,4);6*e*cosdir(i,3);(3*e-
1)*le(i);6*e*cosdir(i,4);-6*e*cosdir(i,3);(3*e+1)*le(i)]'*[Q(T(i,4:9))]);
end
disp('Esfuerzo Máximo debido a la flexion')
disp(ES1)
disp(' ')
%esfuerzos debidos a la tracción
for i=1:length(le)
ES2(i)=E(i)/le(i)*([-cosdir(i,3);-
cosdir(i,4);cosdir(i,3);cosdir(i,4)]'*[Q(T(i,4:5));Q(T(i,7:8))]);
end
disp('Esfuerzo debido a la tracción')
disp(ES2)
disp(' ')
disp('ESFUERZOS N/mm2 o Lb/pulg2')
disp(ES1+ES2)
D=[];DF=[];
for i=1:length(c)
D=[D;[x(c(i,1),:);x(c(i,2),:)]];
DF=[DF;[x(c(i,1),:)+[Q(T(i,4)),Q(T(i,5))];x(c(i,2),:)+[Q(T(i,7)),Q(T(i,8))]]];
end
plot(D(1:2,1),D(1:2,2),'LineWidth',3)
hold on
plot(DF(1:2,1),DF(1:2,2),'r','LineWidth',2.3)
for i=3:2:2*length(c)-1
plot(D(i:i+1,1),D(i:i+1,2),'LineWidth',3)
plot(DF(i:i+1,1),DF(i:i+1,2),'r','LineWidth',2.3)
end
hold off
grid on
axis([-max(abs(D(:,1)))/2 3/2*max(abs(D(:,1))) -max(abs(D(:,2)))/2
3/2*max(abs(D(:,2)))])
xlabel({['Abscisas de ',int2str(length(x)),' nodos'];'(mm)'},'Color',
[0.2,0.2,0.2],'FontWeight','bold');
ylabel({['Ordenadas de ',int2str(length(x)),' nodos'];'(mm.)'},'Color',
[0.2,0.2,0.2],'FontWeight','bold');
title({'GRAFICO';'DEFORMACION EN ARMADURAS PLANAS';['Numero de
elementos: ',int2str(length(le))]},'Color', [0.2,0.2,0.2],'FontWeight','bold')
legend('Armadura inicial','Armadura deformada',3)
set(gcf,'Color', [0.95,0.95,0.95]);
hold on
x=linspace(0,2.5,500);
y=-0.20833*x.^4+1.04166*x.^3-1.30208*x.^2+3;
plot(x,y,'-')
hold on
y=linspace(0,3,500);
28. CONCLUSIONES
1. Cuando trabajamos con armadura de nodos rígidos, los valores de las fuerzas de
reacción en los apoyos son más altos, esto es debido a que en cada elemento no solo
se somete a esfuerzo de tracción sino también a esfuerzos de flexión.
2. Los valores de las deformaciones en el sistema son más cercanos a la realidad
debido a que estamos considerando el peso de cada elemento, en comparación con
los resultados obtenidos en la tercera práctica, las deformaciones en este caso son
de mayor magnitud, esto se da fundamentalmente por la flexión que ocurre en cada
elemento.
3. Para resolver una armadura con nudos rígidos, tan solo sumamos los efectos de
tracción y de flexión, para nuestra matriz de rigidez, así logramos resolver dicha
armadura por los métodos ya conocidos.
4. Este tipo de análisis es muy recomendado debido a que a partir de éste, podremos
deducir el comportamiento (deformaciones) de cualquier armadura sometida a
diferentes fuerzas e inclusive cargas distribuidas a lo largo de cada elemento
(incluyendo su propio peso).
5. El método por elementos finitos para el cálculo de armaduras en el plano tiene una
tiene una aproximación casi exacta, sólo se comete error por las cifras significativas
que trabaja el MATLAB; al comparar los resultados en forma analítica con la de
elementos finitos el error del cálculo es cero a su vez este método es aplicable a
cualquier estructura en el plano, para ello tenemos que ingresar la tabla de
conectividad, que resultaría tedioso si la estructura consta de muchos elementos. La
ventaja de este método es la facilidad de cálculo por medio del MATLAB, en
nuestro caso, ya que se sigue una rutina y es de fácil cálculo para un número de
elementos muy grade, que resultaría casi imposible de resolverlo analíticamente.
6. Se puede cambiar el área de la sección transversal por una de mayor área o un
material más rígido
7. Se puede usar sección transversal circular; puesto que el momento de inercia de
la barra con respecto a un prisma rectangular evitara un mejor factor de
seguridad
8. El factor de seguridad varía en un rango desde 1.5 a 2.5,
9. Un cambio más estructural puede ser agregarle dos barras rígidas en la siguiente
posición.
29. Glosario
Esfuerzos
Son las fuerzas internas, debido a las cargas, sometidas a un elemento resistente.
Flexion
Es el tipo de deformación que presenta un elemento estructural alargado en una
dirección perpendicular a su eje longitudinal. El término "alargado" se aplica cuando
una dimensión es dominante frente a las otras. Un caso típico son las vigas, las que
están diseñadas para trabajar, principalmente, por flexión. Igualmente, el concepto de
flexión se extiende a elementos estructurales superficiales como placas o láminas.
Método de los elementos finitos
(MEF en castellano o FEM en inglés) es un método numérico general para la
aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales muy utilizado en
diversos problemas de ingeniería y física.
Análisis estructural
Se refiere al uso de las ecuaciones de la resistencia de materiales para encontrar
los esfuerzos internos, deformaciones y tensiones que actúan sobre una estructura
resistente, como edificaciones o esqueletos resistentes de maquinaria. Igualmente
el análisis dinámico estudiaría el comportamiento dinámico de dichas estructuras y la
aparición de posibles vibraciones perniciosas para la estructura.
El módulo de Young o módulo de elasticidad longitudinal
Es un parámetro que caracteriza el comportamiento de unmaterial elástico, según la
dirección en la que se aplica una fuerza. Este comportamiento fue observado y
estudiado por el científico inglés Thomas Young.
30. BIBLIOGRAFIA:
Calculo por elementos finitos “chandrupatla” pg. 106-107
An Introduction to the finite element method. (J N Reddy)
Book _Lewis_04-fundamentals –finite Element-Method Heat-Fluid –flow
Apuntes de clase (teoría de armaduras espaciales).
www.tutoransys/teoria/freevideos/15 (tutorial de Ansys).
