Matematica

4
TABLA DE CONVERSIONES
UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES
Educación a Distancia.
Huancayo.
Impresión Digital
SOLUCIONES GRAFICAS SAC
Jr. Puno 564 - Hyo.
Telf. 214433

5
INDICE
PRESENTACIÓN
UNIDAD TEMÁTICA I
NÚMEROS REALES...................................................................................... 9
REGLA DE LOS SIGNOS: ............................................................................. 9
REGLAS IMPORTANTES PARA RESOLVER OPERACIONES ARITMÉTICAS........... 10
REPRESENTACIÓN DE LOS REALES: ........................................................... 10
CONJUNTOS NUMÉRICOS:......................................................................... 10
Magnitudes conmensurables ...................................................................... 12
Magnitudes inconmensurables ................................................................... 12
SISTEMA DE NÚMEROS REALES ................................................................. 14
ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES ..................................... 15
RELACIÓN DE ORDEN EN R ....................................................................... 17
EJERCICIOS DE APLICACIÓN: .................................................................... 17
UNIDAD TEMÁTICA II
ECUACIONES........................................................................................... 21
Ecuación ................................................................................................. 21
EJERCICIOS RESUELTOS........................................................................... 26
Ejercicios Sobre Ecuaciones Cuadráticas y de Grado Superior ........................ 28
SISTEMAS DE ECUACIONES....................................................................... 33
SISTEMAS CONSISTENTES Y NO CONSISTENTES ......................................... 33
PROBLEMAS RESUELTOS........................................................................... 35
MÉTODOS DE SOLUCIÓN .......................................................................... 36
Solución usando eliminación por sustitución................................................. 39
Solución por igualación ............................................................................. 40
UNIDAD TEMÁTICA III
INECUACIONES........................................................................................ 45
INECUACIONES........................................................................................ 45
IDEA DE INTERVALO................................................................................. 48
DESIGUALDADES:.................................................................................... 53
APLICACIONES DE LAS DESIGUALDADES.................................................... 53
Ejercicios Resueltos:................................................................................. 56
VALOR ABSOLUTO.................................................................................... 63
EJERCICIOS RESUELTOS:.......................................................................... 64
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO...................................................... 68
UNIDAD TEMÁTICA IV
FUNCIONES............................................................................................. 77
FUNCIÓN LINEAL...................................................................................... 77
Función cuadrática ................................................................................... 85

6
UNIDAD TEMÁTICA V
MATRICES ............................................................................................... 99
MATRIZ: ................................................................................................. 99
ELEMENTOS Y ORDEN DE UNA MATRIZ.................................................. 99
CLASES DE MATRICES .............................................................................103
Adición de matrices .................................................................................105
Multiplicación de una Matriz por un escalar .................................................109
Producto de matrices ...............................................................................109
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS
INCÓGNITAS USANDO MATRICES .............................................................112
UNIDAD TEMÁTICA VI
LÍMITES .................................................................................................121
IDEA DE LIMITES:...................................................................................121
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN:........................................................................122
EJERCICIOS DE APLICACIÓN ....................................................................126
EJERCICIOS RESUELTOS..........................................................................131
UNIDAD TEMÁTICA VII
DERIVADAS............................................................................................139
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.......................................139
EJERCICIOS ESUELTOS............................................................................144
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ..........................................150
GRÁFICA DE FUNCIONES MEDIANTE DERIVADA..........................................153
UNIDAD TEMÁTICA VIII
INTEGRALES...........................................................................................159
INTEGRAL INDEFINIDA ............................................................................160
INTEGRAL DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS...........................................171
INTEGRALES DEFINIDAS Y SUS APLICACIONES ..........................................173

7
El sistema de educación a distancia es una modalidad que brinda
oportunidad por lo general a quienes por diversos factores no pueden
asistir al ciclo de educación regular; en este sentido el contacto físico con
el docente es en menor proporción respecto al programa indicado
anteriormente.
Teniendo en cuenta este aspecto hemos diseñado el presente texto
de manera que el estudiante pueda comprender cada uno de las
UNIDADES TEMÁTICAS de una manera muy sencilla
El presente texto contiene una parte teórica y una parte práctica en
cada uno de los capítulos. En la parte práctica, desarrollamos ejercicios
tipos de manera que cuando el estudiante quiera resolver los ejercicios
propuestos tenga un modelo por lo menos para que les pueda servir de
guía. Nos diferenciamos de otros autores, en el sentido en que cada uno
de los ejercicios se explica a detalle, y si por allí algún estudiante no
comprenda tiene al lado la resolución de los ejercicios o problemas con
más detalle, indicando la propiedad que se viene utilizando.
Utilizamos esta manera de desarrollar el texto para que el
estudiante tenga necesidad de tener presente al docente lo menos
posible. Asimismo cada en capítulo, luego de los ejercicios resueltos el
estudiante tiene actividades de trabajo práctico; de manera que va
ejercitando en forma progresiva y al final no se sature con todo aquello
que contiene el UNIDAD TEMÁTICA.
Presentamos ejemplos primero de nivel básico y luego los de mayor
nivel para que el estudiante pueda familiarizarse y de esta manera dar un

8
tratamiento adecuado a los ejercicios y/o problemas de su práctica que
tengan un mayor nivel.
En cuanto a los contenidos temáticos hemos organizado el texto en
8 UNIDADES TEMÁTICAS. LA UNIDAD TEMÁTICA I, II y III trata respecto
a lo que es los números reales y sus aplicaciones. LA UNIDAD TEMÁTICA
IV se trata respecto a funciones lineales y cuadráticas. En LA UNIDAD
TEMÁTICA V desarrollamos lo referente a matrices. El UNIDAD TEMÁTICA
VI contiene lo referente a los Límites de una función. En el UNIDAD
TEMÁTICA VII desarrollamos todo lo referente a las derivadas y sus
aplicaciones. Por último en el UNIDAD TEMÁTICA VIII el estudiante
encontrará lo referente a las Integrales y sus aplicaciones.
Agradecemos a todas las personas que nos ayudan a concretizar el
presente material, en especial a nuestros estudiantes, por ser ellos los
que nos perfilan a utilizar cada vez mejor nuestras estrategias
EL AUTOR

9
NÚMEROS REALES
Los conjuntos más importantes dentro de las matemáticas los constituyen
definitivamente, los conjuntos numéricos. De igual forma es primordial
el estudio de las diferentes propiedades y operaciones que pueden
definirse entre ellos. En este UNIDAD TEMÁTICA se sintetiza el estudio las
dos operaciones directas (adición y multiplicación) y se enuncian los
axiomas, las propiedades y reglas que deben tenerse en cuenta en el
momento de realizar las operaciones algebraicas básicas.
Posteriormente se presenta una descripción de los diferentes sistemas
numéricos y se muestra cómo se constituye el sistema de los números
reales.
Al finalizar el estudio del presente UNIDAD TEMÁTICA el estudiante:
Identifica las operaciones básicas entre los números.
Analiza los diferentes sistemas numéricos.
Identifica y aplica las diferentes propiedades las operaciones
aritméticas.
REGLA DE LOS SIGNOS:
La adición de números con signos iguales, se suman los números y el
resultado lleva el mismo signo.
Si los números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el
signo del mayor.
Ejemplo:
-5 - 8 = -13
5 - 8 = -3
En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado
es positivo. Si los números son signos opuestos, el resultado es negativo.

10
Ejemplo:
5 x 8 = 40
5 x (-8) = -40
REGLAS IMPORTANTES PARA RESOLVER OPERACIONES ARITMÉTICAS
Cuando se tienen expresiones aritméticas que incluyen diversas
combinaciones se recomienda tener en cuenta las siguientes
observaciones:
• Primero resolver todo lo que esté dentro de símbolos de agrupación.
• Evaluar las expresiones exponenciales.
• Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a
derecha.
• Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha.
Por ejemplo:
REPRESENTACIÓN DE LOS REALES:
CONJUNTOS NUMÉRICOS:
A lo largo de la historia el hombre ha sentido la necesidad de expresar
diversas situaciones utilizando conjuntos numéricos. Para el ser humano
es importante contar lo que tiene, lo que quiere, lo que necesita, lo que
comparte, lo que da. Esa fue la razón que tuvo para crear los diferentes
conjuntos de números, empezando por los naturales

11
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (ℕℕℕℕ)
El conjunto de los naturales 0;1;2;3,..., surgió de la necesidad de contar
objetos de nuestra realidad; y se simboliza así:
ℕℕℕℕ= {0;1;2;3;...}
Los números naturales conforman un conjunto ordenado y se representan
sobre la recta numérica así:
ℕℕℕℕ= { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ....... } .
Se pueden clasificar en:
Pares positivos = {x/x = 2 n , n ∈ N } e
Impares positivos = { x/x = 2 n − 1, n ∈ N }.
Después de utilizar los números naturales y de realizar operaciones con
ellos se ve la necesidad de trabajar con otras cantidades al intentar
resolver las siguientes interrogantes:
¿Cómo indicar temperaturas bajo 0?
¿Cómo diferenciar alturas y profundidades de la tierra?
¿Cómo expresar que se debe algo?
¿Cómo resolver operaciones como 9 - 12 cuya solución no se encuentra en
el conjunto de los números naturales?
De esta forma surge la necesidad de ampliar el conjunto de los números
naturales, surgiendo de esta manera el conjunto de los números enteros.
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS ( ℤℤℤℤ)
El conjunto de los enteros {...,-2,-1, 0, 1, 2, ...} es el que está formado
por todos los naturales y sus correspondientes inversos aditivos.
Este conjunto se simboliza así:
ℤℤℤℤ==== {...;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5,...}
0 1 2 3 …

12
Antecesor, sucesor y números enteros consecutivos
Sea “n” un entero, entonces su antecesor es n − 1 y su sucesor es
n + 1. Se dice que los números n y n+1 son enteros consecutivos.
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES (ℚℚℚℚ)
El conjunto de los números racionales está formado por todos aquellos
números que se pueden escribir de la forma a/b, tales que a, b
pertenecen a ℤℤℤℤy b es diferente de 0. Este conjunto se simboliza por:
ℚℚℚℚ = { a / b: a, b ∈ ℤℤℤℤ ∧ b ≠ 0 }.
Magnitudes conmensurables
Dos magnitudes son conmensurables si la razón entre sus medidas se puede
expresar como un número racional a/b, en donde a y b son números naturales y b
diferente de 0.
Magnitudes inconmensurables
Dos magnitudes son inconmensurables si la razón entre sus medidas
se puede expresar como un número irracional, es decir aquel cuya
expresión decimal es infinita no periódica.
El conjunto de los números irracionales (I)
Los números irracionales son aquellos cuya expresión decimal es infinita
no periódica.
Durante el desarrollo de la geometría se sugirió la necesidad de un nuevo
tipo de números reales. La longitud de la diagonal de un cuadrado no se
puede expresar utilizando números racionales. De la misma manera, la
proporción entre la circunferencia y el diámetro de un círculo no es un
número racional. Estos y otros casos muestran la necesidad de introducir

13
los números irracionales. Ninguna de las expansiones decimales
mencionadas en los apartados anteriores, puede representarse un número
irracional. Por ejemplo, e = 2.7182… y pi π = 3,1415926535… son
números irracionales, y sus expansiones decimales son necesariamente
infinitas y no periódicas. El conjunto de los números racionales junto con
el de los irracionales forman el conjunto de los números reales.
1.1
1. Realiza un diagrama de Venn haciendo la relación entre los
conjuntos de los números naturales, enteros, racionales e
irracionales.
2. ¿Son números racionales aquellos números divididos entre cero?
Dar una explicación.
3. Investiga qué significa la representación decimal de un número,
que es representación decimal finita, representación decimal
infinita.
4. ¿A Qué conjunto numérico pertenecen los siguientes números?
• 3/5; 9/4; 7/3; e; 5 (½)
; 0,17; 0,17171717…
5. Escribe con tus palabras la definición de un número
irracional.

14
SISTEMA DE NÚMEROS REALES
Es un conjunto “ℝℝℝℝ” con dos operaciones internas: Adición y Multiplicación
y una relación de orden entre sus elemento, que nos permite ver si un
elemento es mayor, menor o igual (simbolizado por <, > o =
respectivamente), que el valor intrínseco que representa otro elemento
del mismo conjunto; que satisfacen axiomas de los números reales.
Los números reales están conformados por todos los conjuntos numéricos,
es decir: el conjunto de los números Naturales, Enteros, Racionales e
Irracionales; a este conjunto de los números reales se puede representar
por puntos que se encuentran en una recta, llamada RECTA REAL
En la recta real (como en toda recta) hay infinitos puntos; cada punto corresponde a
un número real; a esta correspondencia que hay entre la recta real y los números
reales se llama “correspondencia biunívoca” entre el conjunto de puntos de la
recta y el conjunto de los números reales. En otras palabras, en la recta real hay
tantos puntos como números reales existen:
AXIOMA: El conjunto de los Números Reales; es un conjunto que está
provisto de dos operaciones internas, adición y multiplicación y de
axiomas relacionados con la igualdad y la relación de orden, un axioma de
distribución y de multiplicación respecto a la adición.
- -3 -2 -1 0 1 2 3
--2,5
3,2
0,7
--1,8
1,17
5 12
--0,72
∞− ∞+

15
ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES
En ℝestán definidas las operaciones internas de adición y multiplicación
que satisfacen los siguientes axiomas:
Adición
vidad)(conmutatiRbaabbaA ∈∀+=+ ,;:1
Por ejemplo:
4 + 2 = 2 + 4
idad)(asociativRcbacbacbaA ∈∀++=++ ,,;)()(:2
Por ejemplo:
(4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)
)aditivoneutrodelexistenciaaaa
quetalcondenotasequecerorealnúmeroA
(00
0""!:3
=+=+
∃
Por ejemplo:
7 + 0 = 0 + 7 = 0
)(0)(:
)"("""!,:4
aditivoinversodelexistenciaaaquetal
adenotasequeadeopuestoRacadaParaA
=−+
−∃∈
Por ejemplo:
6 + (-6) = 0
Multiplicación
vidad)(conmutatiRbaabbaM ∈∀×=× ,;:1
Por ejemplo:
4 . 2 = 2 . 4
idad)(asociativRcbacbacbaM ∈∀××=×× ,,;)()(:2
Por ejemplo:

16
4 . (2 . 9) = (4 . 2) . 9
)(11
"1"""!:3
tivomultiplicaneutrodelexistenciaaaa
quetalcondenotasequeunorealnúmeroM
=×=×
∃
Por ejemplo:
8 .1 = 1 . 8 = 8
)(1:
""""!,:
1
1
4
tivomultiplicainversodelexistenciaaaquetal
adenotasequeadeinversoRacadaParaM
=×
∃∈
−
−
Por ejemplo:
8 . (8-1
) = 1
Distributividad
)(,,;)(: vidaddistributiRcbacabacbaD ∈∀×+×=+×
Por ejemplo:
4 . (2 + 9) = 4 . 2 + 4 . 9
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES:
bd
cbda
d
c
b
a
xiii
acb
b
a
cademáscbacbaxii
Rbaabbaxi
Rbabababax
babababaix
ciónmultiplicaennCancelacióbacycbcaSiviii
adiciónlaennCancelacióbacbcaSivii
Rbababavi
Rbabababav
Raaaiv
Raaaiii
RaaaaSiii
Raaai
×+×
=+
=×⇔=+=⇔=−
∈∀−−=−
∈∀−=∨=⇔=
≠∨≠⇔≠×=∨=⇔=×
=⇒≠×=×
=⇒+=+
∈∀×=−−
∈∀×−=−=−
∈∀−=−
∈∀=×=×
∈∀=≠
∈∀−−=
−−
)
)
,);()
,;)
)000(;000)
.....0:)
.....:)
,;))(()
,);()()()
;)1()
;000)
;)(;0:)
);()
22
11

17
RELACIÓN DE ORDEN EN R
PROPIEDADES:
0.,0,0,,;.)(
00:)
00:)
)00()00(0.
)00()00(0.)
)00()00(0.
)00()00(0.)
00:)
00:)
)(00:)
:)
..0:)
..0:)
:)
)(;:)
)......(:)
)00(0)
)(....
:
2)
111
22
22
11
11
11
22
≠≠≠∈∀=
=∧=⇒+
<⇔<≥∧≥
≥∧≤∨≤∧≥⇒≤
>∧<∨<∧>⇒<
≤∧≤∨≥∧≥⇒≥
<∧<∨>∧>⇒>
>>⇒<<
>>⇒<<
>⇒>
−>−⇒<
>⇒<∧<
<⇒>∧<
+<+⇒<∧<
∈∀+<+⇒<
<⇒<∧<
≠>∈∀≥
><=
−−−
−−
−−
−−
babadondeRbabaab
babaSixv
babaybaSixiv
bababa
bababaxiii
bababa
bababaxii
babaSixi
babaSix
signomismoeltienenayaaaSiix
babaSiviii
cbcacbaSivii
cbcacbaSivi
dbcadcbaSiv
adiciónlaenmonotoníadeLeyRccbcabaSiiv
TransitivaLeycacbbaSiiii
asiaRaaii
triconomíadeleybaobaoba
verificasesiguientes
scondicionelasdeunasólobyarealesnúmerosDadoi
EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
1. −+
∈∈ RbyRaSi : . Encontrar el valor de verdad de la siguiente
proposición:
0
)(
.
>
−
+
ba
bba
Solución:
Para facilitar el trabajo, trabajaremos con la regla de los signos:

18
−+
∈−⇒∈ RaRaSi : Es decir: −=−∧+= aa
+−
∈−⇒∈ RbRbSi : Es decir: +=−∧−= bb
Ahora reemplazando tenemos:
)()(
)())((
)(
.
−−+
−+−+
=
−
+
ba
bba
)()(
)()(
)(
.
−−+
−+−
=
−
+
ba
bba
[ ])()()(
.
−−++
−
=
−
+
ba
bba
)()()(
.
+++
−
=
−
+
ba
bba
+
−
=
−
+
ba
bba
)(
.
−=
−
+
ba
bba
)(
.
Lo que nos indica que 0
)(
.
<
−
+
ba
bba
.
Por lo tanto la proposición es falsa.
2. Decir si es verdadera o falsa siguiente expresión:
4
3
:
ba
abaSi
+
<→<
Solución
Partiremos de la hipótesis:
ba <
Entonces:
4
3
34
33
ab
a
aba
abaaba
+
<⇒
+<⇒
+<+⇒<

19
1.2
Si ++
∈−∈ RbyRa )( ¿Cuales son siempre verdades?
Los Números reales es un conjunto que incluye al conjunto
de los Números Naturales, Enteros, Racionales e
Irracionales; en este conjunto se cumple la densidad, es
decir entre dos número reales diferentes siempre existirá otro número
real.
Por otro lado es un sistema en el cual se realizan únicamente dos
operaciones directas (Adición y Multiplicación), por lo cual presentamos
axiomas sólo para estas dos operaciones; producto de estos axiomas
resultan las propiedades tanto para las operaciones directas como para la
ley de orden; no desconocemos la división y la sustracción como
operación, sino más bien lo consideramos como operaciones inversas.
Asimismo es oportuno indicar la ley de signos muy practicada y conocida
por todo estudiante desde el nivel secundario.
Bittinger, Marvin L.
2002
Cálculo para Ciencias Económico-
Administrativas. Editorial Addison
Wesley. Séptima Edición
Haeussler, Ernest F. Matemáticas para Administración,
)(....
:
2
triconomíadeleybaobaoba
verificasesiguientes
scondicionelasdeunasólobyarealesnúmerosDado
><=

20
2001 Economía, Ciencias Sociales y de la Vida
Editorial Prentice Hall. Octava Edición.
Figueroa G. R.
2000
Matemática Básica 1. Editorial América, 8va.
Edición. Lima - Perú
Lázaro C. Moisés
1998
Matemática Básica. Tomos I y II, Edit.
Moshera SRL, 3ra. Edición,
Mitacc, Máximo – Luis Toro Tópicos de Cálculo, TOMO I, Lima Perú, 2da
edición
Santibáñez M., José
1998
Aritmética. Colección Euclides, Editora
Maqueti.
Venero B. A.
1994
Matemática básica. Ediciones Gemar. Lima –
Perú
Nº 1
Nombres: __________________________________________________
Apellidos: ___________________________ Fecha :_________________
Ciudad __________________________
Semestre:___________________
1. Dar dos ejemplos en donde se apliquen las siguientes leyes:
• Conmutativa de adición
• Conmutativa de multiplicación
• Asociativa de adición
• Asociativa de multiplicación
• Distributiva de multiplicación sobre adición
2. En el intervalo de los números –1 y 1 incluyéndose a sí mismos, decir
qué números son:
• Números naturales (N)
• Números enteros (Z)
• Números racionales (Q)
• Números irracionales (I)
3. Representar en la recta real los siguientes números: π , e, -3/5, 8/9, 27/9

21
ECUACIONES
Gran parte del interés en el estudio de las matemáticas se debe a su
aplicabilidad en la solución de problemas prácticos; en el análisis de una
situación en particular que presenta un problema cuantificable se definen
exactamente las interrogantes que se plantean. De esta forma se
identifican posteriormente las diferentes “variables” involucradas y sus
relaciones, para llegar a un modelo matemático que represente las
condiciones y diferentes relaciones del problema.
Generalmente estos modelos requieren de igualdades que se satisfacen
para algunos valores particulares de las variables. Estas “igualdades” se
denominan ecuaciones y corresponden al tema del presente UNIDAD
TEMÁTICA en el cual nos centramos en el estudio de las ecuaciones más
sencillas: las ecuaciones lineales.
Las ecuaciones lineales pueden contener una o más incógnitas. Las
ecuaciones lineales con una incógnita corresponden al tema de la primera
parte de este UNIDAD TEMÁTICA. Posteriormente se abordan las
ecuaciones lineales con dos incógnitas y la interpretación gráfica de las
mismas, al introducir el concepto de función lineal.
Al terminar el estudio del presente UNIDAD TEMÁTICA, el
estudiante:
• Resuelve ecuaciones de primer y segundo grado.
• Resuelve ecuaciones de grado superior.
• Soluciona un sistema de ecuaciones lineales en dos variables.
Utiliza el método de eliminación por adición, sustitución e
igualación para solucionar un sistema de ecuaciones.
Ecuación
Se entiende por ecuación a una igualdad entre 2 expresiones en la cual
está presente al menos una variable, la cual recibe el nombre de
incógnita.

22
Sea la ecuación:
2142
=− xx
Podríamos analizar cuales son las raíces de esta ecuación:
Si x = 3 21)3(4)3( 2
=−⇒
F...21129 =−
Si x=-3 .21)3(4)3( 2
=−−−⇒
V...21129 =+
Si x=7 .21)7(4)7( 2
=−⇒
V...212849 =−
Por lo tanto se dice que -3 y 7 son las raíces de la ecuación:
Es decir: C.S.={-3;7}
Ecuación Lineal:
Son aquellas ecuaciones polinomiales que se reducen a la forma:






−=⇒≠=+
b
a
SCaconbaxxP ..0;0:)(
Ejemplo:
Sea la ecuación 043 =+x
Entonces el conjunto solución es:





−
=
3
4
..SC
Ecuación Cuadrática:
Son aquellas ecuaciones cuya forma general es:
0;0:)( 2
≠=++ aconcbxaxxP

Para encontrar el C. S. de estas ecuaci
factorización o en todo caso por la fórmula general:
Ejemplo:
Sea la ecuación 53 2
+x
0)2)(13( =+− xx
Igualando cada factor a cero, se tiene:
3
1
13
013
=
=
=−
x
x
x 2+
x
x
Entonces el conjunto solución es:
Fórmula General Para resolver una Ecuación Cuadrática
Sea la ecuación:
2
+ax
Entonces: las raíces de la ecuación se pueden encontrar a través de la
fórmula:
x =
Análisis de las raíces
Sea la ecuación:
2
ax +
Se llama discriminante a la expresión:
Es decir: Discriminante =
Para encontrar el C. S. de estas ecuaciones, se puede resolver por
factorización o en todo caso por la fórmula general:
025 =−x
Igualando cada factor a cero, se tiene:
2
0
−=
=
el conjunto solución es:






−=
3
1
,2..SC
Fórmula General Para resolver una Ecuación Cuadrática
0;0 ≠=++ aconcbx
a
acbb
2
42
−±−
Análisis de las raíces:
21;0 xxraícesconcbx ∧=+
Se llama discriminante a la expresión: acb 42
−
Es decir: Discriminante = acbD 42
−=∆=
3x2
+ 5x - 2
3x -1
x +2
Los factores son: (3x
23
ones, se puede resolver por
Fórmula General Para resolver una Ecuación Cuadrática:
2
1 -x
+2 +6x
+5x
Los factores son: (3x-1)(x+2)

24
04: 2
=− acbSi 04: 2
<− acbSi
Las raíces son reales y
diferentes
Rxxyxx ∈≠ 2121 ;
Las raíces son iguales
Rxxyxx ∈= 2121 ;
Las raíces son complejas
no reales y conjugadas
biax
biax
Rxxyxx
−=
+=
∉≠
2
1
2121 ;
Propiedades de las raíces en las ecuaciones cuadráticas:
Sea la ecuación: 21
2
;0 xxraícesconcbxax ∧=++
i) Suma de Raíces:
a
b
xx −=+ 21
ii) Producto de Raíces:
a
c
xx =⋅ 21
Ejemplo:
Sea la ecuación 0253 2
=−+ xx
Se puede observar que: 25,3 −=== cyba
La suma de raíces es:
3
5
3
5
−=
−
=
−
=
a
b
S
El producto de raíces es:
3
2
3
2
−=
−
==
a
c
P
Ecuación Cúbica:
04: 2
>− acbSi

25
Llamada también ecuación polinomial de tercer grado; su forma general
es:
0;023
≠=+++ acondcxbxax
Estas ecuaciones por lo general tienen tres raíces 321, xyxx . En este
sentido la ecuación factorizada será:
0,0))()(( 321 ≠=−−− AxxxxxxA
PROPIEDADES:
En toda ecuación de la forma 0;023
≠=+++ acondcxbxax , de
raíces 321, xyxx , se cumple:
1. Suma de Raíces:
a
b
xxx −=++ 321
2. Suma de Producto Binario de Raíces:
a
c
xxxxxx =++ 323121
3. Producto de Raíces:
a
d
xxx −=321 ..
Ecuación Cuártica:
Llamada también ecuación polinomial de cuarto grado; su forma general
es:
0234
=++++ edxcxbxax
Estas ecuaciones por lo general tienen cuatro raíces 4321 ,, xyxxx . En
este sentido la ecuación factorizada será:
0,0))()()(( 4321 ≠=−−−− AxxxxxxxxA

26
PROPIEDADES:
Sea la ecuación: 0234
=++++ edxcxbxax con raíces
4321 ,, xyxxx , se cumple que:
1. Suma de Raíces:
a
b
xxxx −=+++ 4321
2. Suma de Productos Binario de Raíces:
a
c
xxxxxx =+++ 433121 ...
3. Suma de Productos Ternarios de Raíces:
a
d
xxxxxxxxx =+++ 432321321 ...
4. Producto de Raíces:
a
e
xxxx =4321 ..
En el presente texto, las ecuaciones de grado mayor a 2 lo
resolveremos por lo general utilizando el método de RUFFINNI
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Resuelva las siguientes ecuaciones
3
24
3
13)
)
13131715)
+=+
+=+
+=−
x
xc
dbxcmxb
xxa
Solución:
a. 13131715 −=− xx
17131315 +=− xx
302 =x
2
30
=x

27
15=x
b. dbxcmx +=+
cdbxmx −=−
cdxbm −=− )(
bm
cd
x
−
−
=
c. 3
24
3
13 +=+
x
x
2
6
4
352 +
=
+ xx
)6(2352 +=+ xx
3121252 −=− xx
940 =x
40
9
=x
2.1
Encontrar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones::
12
4
9
3
6
2
3
1
)
1313175)
18534)
)
−
=
−
+
−
+
−
+=−
+=−
+=+
xxxx
d
xxc
xxb
abxbaxa

28
Ejercicios Sobre Ecuaciones Cuadráticas y de Grado Superior
2. Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
74)
652)
0143)
015228)
633)
02811)
234
23
2
2
2
2
=−+
=−+
=−−
=+−
=+
=+−
xxxxf
xxxe
xxd
xxc
xxb
xxa
Solución:
a. 028112
=+− xx
Luego de factorizar se tiene:
0)4)(7( =−− xx
Luego igualamos cada factor a cero:
7
07
∧=
∧=−
x
xx
Por lo tanto el C. S. es:
b. xx 633 2
=+
0)1( 2
=−x
Luego igualamos el factor
1
01
=
=−
x
x
Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
122
−
0
actorizar se tiene:
0
Luego igualamos cada factor a cero:
4
04
=
=−
x
x
Por lo tanto el C. S. es: { }7,4.. =SC
Luego igualamos el factor a cero:
Por lo tanto el C. S. es: { }1.. =SC
Factorizando por aspa simple:
x2
-11x + 28
x - 7
x - 4
Los factores son: (x
3x2
-6x+3 =3(
x2
-2x + 1
x
x
Los factores son: (x
Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
11x + 28
7 -7x
4 -4x
-11x
Los factores son: (x-7)(x-4)
6x+3 =3(x2
-2x+1)
2x + 1
- 1 -1x
- 1 -1x
-2x
Los factores son: (x-1)(x-1)

c. 015228 2
=+− xx
)32)(54( −− xx
Luego igualamos el factor a cero:
4
5
54
054
=
=
∧=−
x
x
x
OBS: Nótese que cada vez que se damos la respuesta
(Conjunto Solución) los números colocamos de menor a
mayor.
d. Para dar solución a esta ecuación, tenemos que utilizar la fórmula
general (para encontrar las raíces)
0143 2
=−− xx
Como la ecuación, debe tener la forma:
Entonces los valores de a, b y c son:
Utilizando la fórmula
2
()4( −±−−
=x
0=
uego igualamos el factor a cero:
2
3
32
032
=
=
=−
x
x
x






=
2
3
,
4
5
.. SC
: Nótese que cada vez que se damos la respuesta
Para dar solución a esta ecuación, tenemos que utilizar la fórmula
general (para encontrar las raíces)
ecuación, debe tener la forma:
2
=++ cbxax
Entonces los valores de a, b y c son: 43 −== ba
a
acbb
x
2
42
−±−
= se tiene:
)3(2
)1)(3(4)4 2
−−−
8x2
-22x +15
4x
2x
Los factores son: (4x
29
: Nótese que cada vez que se damos la respuesta
Para dar solución a esta ecuación, tenemos que utilizar la fórmula
0=
1−=c
se tiene:
22x +15
- 5 -10x
- 3 -12x
-22x
Los factores son: (4x-5)(2x-3)

30
6
12164 +±
=x
6
724
6
284 ±
=
±
=x
3
72 ±
=x





 +−
=
3
72
,
3
72
.. SC
Ahora trabajemos con algunos ejercicios con ecuaciones de
grado mayor a dos
e. 652 23
=−+ xxx
Ordenando el polinomio se tiene:
0652 23
=−−+ xxx
Para dar solución utilizaremos el método de Ruffini:
..
..
PTdeldivisores
ITdeldivisores
Raíces ±= : 632,1 ±±±±=Raíces
Factorizando por Ruffini se tiene:
La expresión queda transformada en dos factores:
)34)(2( 2
++− xxx
1 +2 -5 -6
2 2 +8 +6
1 + 4 +3 0

31
Seguidamente el segundo factor factorizando por aspa se tiene:
)1)(3)(2( ++− xxx
13,2 −=−== xyxx
Por lo tanto: { }2,1,3.. −−=SC
f. 1274 234
−=−+ xxxx
Ordenando el polinomio se tiene:
01247 234
=+−−+ xxxx
Las posibles raíces de la ecuación son:
12632,1 ±±±±±=Raíces
La expresión quedará como sigue:
)3)(2)(2( 2
−++− xxxx
Ahora el tercer factor tiene que factorizarse por la fórmula general,
donde 31,1 −=== cyba
a
acbb
x
2
42
−±−
= se tiene:
1 +1 -7 -4 +12
2 2 +6 -2 -12
1 +3 -1 -6 0
-2 -2 -2 +6
1 1 -3 0

32
2
131
2
1211
)1(2
)3)(1(4)1(1 2
±
=
+±
=
−−±
=x
Los dos primeros factores igualando a cero se tiene:
2,2 −== xx
Por lo tanto el conjunto solución es





 +−
−=
2
131
,2,
2
131
,2..SC
2.2
Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones
0201293)
0163)
026)
0423)
0912))
234
2
2
2
2
=++−−
=−−
=+−
=−+
=−−
xxxxe
xxd
xxc
xxb
xxfa

33
L1
x
y
L2
SISTEMAS DE ECUACIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES:
Cuando dos variables, por ejemplo x, y deben satisfacer simultáneamente
un conjunto de ecuaciones, tenemos un sistema de ecuaciones. Si el
sistema se compone de dos ecuaciones se dice que se tiene un sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo el siguiente sistema, es un
sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
04yx3 =−+
05yx2 =+−
Los valores de las variables, que satisfacen simultáneamente las dos
ecuaciones se denominan soluciones o conjunto solución del sistema.
Además como cada ecuación representa una función lineal (recta) en el
plano, el conjunto solución del sistema consiste de los puntos de Inter.-
sección de las dos rectas.
Ejemplo
Dado el sistema:
1
5
=−
=+
yx
yx
Podemos ver que el punto 3x = y 2y = satisface simultáneamente las dos
ecuaciones:
Para la ecuación 1, al sustituir: 523yx =+=+
Para la ecuación 1, al sustituir: 123yx =−=−
Gráficamente el punto de corte de las dos rectas 5yx =+ y 1yx =− corresponde al
punto de coordenadas )2,3( . Se deja al estudiante como ejercicio verifica lo anterior.
SISTEMAS CONSISTENTES Y NO CONSISTENTES
Supóngase que se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Sean 1L y 2L las rectas que dichas ecuaciones representan. Se pueden
presentar tres situaciones relativas a la intersección de las rectas. Figuras
a, b o c.
Figura a

34
L1
x
y
L2
x
y
L1 = L2
Figura b
Figura c
En la figura a las rectas se cortan en un punto dado, es decir el sistema
tiene una solución única. Si las rectas son paralelas como en la figura b,
las rectas no tienen punto de intersección y por lo tanto el sistema no
tiene solución.
Además las dos ecuaciones pueden representar una misma recta, es decir
una de las ecuaciones es múltiplo de la otra, como en la figura c y por lo
tanto el sistema tiene infinitas soluciones.
A los sistemas de ecuaciones que tienen solución se les llama sistemas consistentes. Los
sistemas mostrados en las figuras a y b son sistemas consistentes. El sistema de la
figura a es un sistema consistente independiente porque tiene solución única (un solo
punto de corte). El sistema de la figura c tiene infinitas soluciones y se denomina sistema
consistente dependiente. La figura b corresponde a un sistema inconsistente; estos
sistemas no tienen solución.

35
PROBLEMAS RESUELTOS
Ejemplo
El siguiente sistema de ecuaciones
1
5
=−
=+
yx
yx
Tiene solución única pues las rectas que representan se cortan
únicamente en el punto (3,2). Por lo tanto el sistema es consistente
independiente.
Ejemplo
xy
yx
−=
=−
3
2
No tiene solución. Al ordenar las ecuaciones, despejando en la forma
Bmxy += tenemos:
yx
yx
=+
=−
3
2
Como la pendiente es 1m = en ambos casos las rectas son paralelas y por
lo tanto el sistema no tiene solución. Es decir el sistema es inconsistente.
Ejemplo
5055
10
=+
=+
yx
yx
Tiene infinitas soluciones porque la segunda ecuación es un múltiplo de la
primera; esto se puede verificar multiplicando ambos lados de la primera
ecuación obteniendo así la segunda ecuación. Por lo tanto es un sistema
consistente dependiente.

36
2.3
Determinar si los siguientes sistemas tienen una, ninguna o infinitas so-
luciones. Clasifique los sistemas como consistentes (dependientes o
independientes) o inconsistentes.
1. 5yx3 =−
4y8x2 =−
2. 2x3y +=
5x3y =−
3. y5x4 =−
6y3x2 =−
4. 8y2x =−
9y4x =−
5. 6y3x3 −=−
2yx −=−
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
Dado un sistema de ecuaciones en general, se desea conocer los valores
de las variables que satisfacen simultáneamente dichas ecuaciones. Para
esto existen métodos de solución que dependen del tipo de sistema y sus
características particulares.
A continuación se presentan los métodos de solución usuales para los
sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables.
Solución usando eliminación por adición
En general, la solución de un sistema de ecuaciones consiste en una serie de pasos,
mediante los cuales se transforma el sistema en un sistema equivalente (es decir que
tiene la misma solución) que tenga una forma “más conveniente”, es decir, se eliminan
algunas de las variables.
El método de solución usando eliminación por adición consiste en eliminar una de las
variables al sumar o restar las ecuaciones originales o múltiplos de estas.

37
Ejemplo
Resolver el siguiente sistema usando eliminación por adición.
10
523
=+
=−
xy
yx
Por conveniencia ordenamos el sistema de tal forma que los términos x, y
queden alineados:
5y2x3 =−
20y2x2 =+
Nótese que los términos en “y” tienen el mismo coeficiente pero de diferente signo. Al
sumarse las dos ecuaciones término a término obtenemos:
250x5 =+
Es decir el término en “y” se elimina; la última ecuación tiene por solución:
25x5 =
5
5
25
x ==
El sistema equivalente puede escribirse en la forma:
5x =
20y2x2 =+
Sustituyendo 5x = en la segunda ecuación se obtiene:
20y2)5(2 =+
20y210 =+
101020y2 =−=
5
2
10
y ==

38
La solución del sistema original está descrita por el sistema equivalente:
{ }5,5.. =SC
Ejemplo
Resolver el siguiente sistema usando eliminación por adición.
8y2x3 =−
10y6x4 =+
Multiplicando la primera ecuación por (-4) y la segunda ecuación por (3) obtenemos el
sistema equivalente:
32y8x12 −=+−
30y18x12 =+
Al sumar las ecuaciones se pueden eliminar los términos en x para obtener:
2y260 −=+
Despejando y se tiene:
13
1
26
2
y −=−=
13
1y −=
Sustituyendo
13
1
y −= en la segunda ecuación se tiene:
30
13
1
18x12 =





−+
30
13
18
x12 =−
13
18
30x12 +=
13
18)13(30
x12
+
=

39
39
102
156
408
x ==
Entonces la solución del sistema es
39
102
x = ,
13
1
y −=






−=
13
1
,
39
102
..SC
Solución usando eliminación por sustitución
En este método se despeja una de las variables en una de las ecuaciones
y se sustituye en la otra para obtener una ecuación lineal con una
incógnita que debe resolverse.
Ejemplo
Hallar la solución del sistema usando eliminación por sustitución.
4yx5 =−
6y2x =+
Podemos despejar x de la segunda ecuación para obtener:
y26x −=
Se sustituye la ecuación anterior en la primera ecuación para obtener:
4yx5 =−
4y)y26(5 =−−
4y1130 =−
Despejando y se tiene:
y11430 =−
y1126 =

40
11
26
y =
Conocido el valor de y podemos encontrar x:
y26x −=






−=
11
26
26x
11
52
6x −=
11
5266
11
52)11(6
x
−
=
−
=
11
14
x =
Solución por igualación
Este método es semejante al anterior, se despeja la misma variable en las dos
ecuaciones y se igualan las expresiones obtenidas. El siguiente ejemplo ilustra el método.
Ejemplo
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación.
10yx8 =+
6yx3 =+−
Despejando y en ambas ecuaciones obtenemos el sistema equivalente:
x810y −=
6x3y +=
Se igualan las expresiones obtenidas para y:
6x3x810 +=−

41
Esta es una ecuación lineal en x, resolviendo obtenemos:
6x3x810 +=−
x3x8610 +=−
x114 =
11
4
x =
Podemos hallar y usando:
x810y −=
Sustituyendo el valor de x en la ecuación:






−=
11
4
810y
11
32)11(10
11
32
10y
−
=−=
11
78
y =
2.4
1. Resolver el sistema de ecuaciones usando eliminación por adición
• 8yx3 =−
12yx =+
• 6y2x5 =+
9y4x3 =+−
2. Resolver el sistema de ecuaciones usando eliminación por
sustitución
• 2y4x −=−
7y4x2 =+
• 11y4x6 −=−
6y2x3 =+

42
3. Resolver el sistema de ecuaciones usando eliminación por
igualación
• 4yx2 =−
8yx5 −=
• 10q2p3 =+
8qp =+−
El presente capítulo trata la aplicación de los números reales; básicamente
la resolución de una ecuación ya sea con una o dos variables, para ello
tendrá que hacer uso de las propiedades de los números reales y del
álgebra, por que aquí el trabajo es más con variables, es decir utilizar
estrategias para resolver una ecuación; para esto el estudiante debe
manejar operaciones con expresiones algebraicas al mismo tiempo
recordar los métodos de factorización: Por agrupación, Método del aspa
para ecuaciones cuadráticas y el método de Ruffini para ecuaciones de
grado superior; luego de factorizar la ecuación cada factor igualaremos a
cero y despejamos la variable. Como producto de todo ello obtenemos las
raíces o soluciones de una ecuación el cual lo indica como conjunto
(conjunto solución); y si alguna de las respuestas o raíces no pertenece al
campo de los números reales, no pertenecerá al conjunto solución de la
ecuación.
En este UNIDAD TEMÁTICA también estudiamos los sistemas de
ecuaciones lineales de dos variables y se introdujeron los conceptos de
sistemas consistentes e inconsistentes. Se mostraron los métodos de
solución usando eliminación por adición, eliminación por sustitución y por
igualación; para que el estudiante pueda elegir el método más adecuado.
Teniendo en cuenta que por lo general cumple: para un sistema con dos
variables debemos tener dos ecuaciones, si en el sistema se encuentran 3
variables deben existir tres ecuaciones; y así sucesivamente. También
presentamos la interpretación geométrica de un sistema de ecuaciones, es
decir la gráfica de una línea recta en el plano cartesiano; teniendo en
cuenta las propiedades en las rectas paralelas y perpendiculares.

43
2002
Espinoza Ramos, Eduardo
2002
Matemática Básica. Primera Edición. Edit. JJ
Lima – Perú
Figueroa G. R.
2000
Lázaro C. Moisés
1998
Lázaro C. Moisés
2006
Cálculo Integral., Edit. Moshera SRL, 3ra.
Edición, Lima – Perú
edición
Nº 2
Nombre______________________________________________________
Apellidos___________________________ Fecha : __________________
Ciudad __________________________
Semestre:___________________
1. −+
∈∈ RbyRaSi : . Encontrar el valor de verdad de la siguiente
proposición: 0
.
<
−
−
ba
abb
2. Encontrar el conjunto solución de la siguiente ecuación:
20
2
15
5
8
3
10
=
−
+
−
+
− xxx

44
04112)
04195)
2
2
=−−
=−−
xxb
xxa
0324413 23
=−+− xxx
5. Encontrar el conjunto solución del siguiente sistema:
558
1343
−=−
=−
yx
yx

45
INECUACIONES
En muchas situaciones es necesario comparar dos cantidades y
determinar de ellas es mayor o menor que la otra. Para realizar este tipo
de análisis es necesario, utilizar el concepto de desigualdad y sus
propiedades. En el presente UNIDAD TEMÁTICA se estudiarán tales
conceptos y se aplicarán en la solución de inecuaciones.
Al finalizar el estudio del presente UNIDAD TEMÁTICA, el estudiante:
• Identifica y aplica el concepto de desigualdad y sus propiedades.
• Resuelve inecuaciones lineales.
• Resuelve problemas de aplicación de desigualdades.
INECUACIONES
Podemos definir una inecuación como una desigualdad en la cual, hay
involucradas una o varias variables o incógnitas. Los siguientes son
ejemplos de inecuaciones:
532
≥−+ yzx
043 23
<+− yy
2
5
4
8
3
−≥− x
x
La primera corresponde a una inecuación en las variables x, y, z. La
segunda es una inecuación en la única variable y, pero de tercer grado. La
tercera inecuación es de primer grado en la variable x.
Inecuaciones lineales (o de primer grado)
Sea ( ) Bmxxp += un polinomio lineal. (con m y B constantes, 0≠m ), Si una
desigualdad es de la forma ( ) 0>xp ó bien ( ) 0<xp , se dice que es una
inecuación lineal. Los siguientes son ejemplos de inecuaciones lineales:

46
423 >−x
xx 2765 −≤−−
43810 +≥+ xx
( ) ( ) 16532
22
+≤−−− xxx
Nótese que aunque las últimas tres inecuaciones no están
dadas en la forma ( ) 0≥xp (ó ( ) 0≤xp ) podemos rescribir-las,
hasta obtener la forma descrita (lineal).
La segunda inecuación puede ser manipulada algebraicamente en un
proceso que transforma gradualmente la desigualdad en otra desigualdad
equivalente, utilizando las propiedades enunciadas anteriormente.
xx 2765 −≤−−
Al sumar 65 +x en ambos lados de la desigualdad:
65276565 ++−≤++−− xxxx
1330 +≤ x
Esta desigualdad es de la forma ( ) 0≥xp donde ( )xp es lineal.
La última inecuación, puede ser re-escrita (al desarrollar los binomios al
cuadrado)
( ) ( ) 16532
22
+≤−−− xxx
( ) 1659644 22
+≤+−−+− xxxxx
1659644 22
+≤−+−+− xxxxx
16552 +≤− xx

47
Sumando 5 en ambos lados y restando 2x, tenemos:
521655252 +−+≤+−− xxxx
2130 +≤ x
Resolver una inecuación lineal significa hallar los valores de la variable
que satisfacen la desigualdad. Para esto podemos continuar el proceso
anterior “despejando x”, para la anterior desigualdad. Restando 21 de
ambos lados:
21213210 −+≤− x
x321≤−
Dividiendo por 3 (como 3 > 0, el signo de la inecuación NO cambia).
x
3
3
3
21
≤−
x≤− 7
Lo cual significa que para x≤− 7 se satisface la desigualdad original:
( ) ( ) 16532
22
+≤−−− xxx
Por ejemplo si x=0 > -7. Veamos que x = 0 satisface la desigualdad:
Tenemos:
( ) ( ) ( ) ( ) 594302032
2222
−=−=−−−=−−− xx
( ) 440545 −=−=−x
y como –5 < -4, se satisface la desigualdad.
Ahora tomemos x = -10 < -7. (como –10 no es mayor o igual que –7 no
satisface la desigualdad).
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2516914431231021032
222222
−=−=−−−=−−−−−=−−− xx
( ) 54410545 −=−−=−x

48
Pero –25>-54 luego x = -10 no satisface la desigualdad original.
El conjunto de puntos que satisface una inecuación se denomina
conjunto solución.
En este caso tenemos:
Conjunto solución ={x |x≥-7}
El conjunto solución puede darse, también, usando notación de intervalos:
Conjunto solución = [ )+∞− ,7
IDEA DE INTERVALO
La notación de intervalo se utiliza para describir algunos tipos de
conjuntos de números reales. Dichos intervalos son pues, subconjuntos
de los números reales que pueden ser representados en la recta real. Un
intervalo es cerrado y se escribe [a, b] si los números reales a y b
satisfacen:
bxa ≤≤
Donde x describe los números que están en el intervalo. Gráficamente se
representan como:
Obsérvese que el intervalo cerrado INCLUYE los extremos a y b.
Por otro lado si a<x<b (ambas desigualdades estrictas) se tiene el
intervalo abierto (a, b), donde x describe los números que están en el
intervalo. En el intervalo abierto no se incluyen los extremos a y b en el
conjunto descrito por (a, b). La figura 3.2 muestra un intervalo abierto.
Un intervalo puede ser semiabierto (o semicerrado). Por ejemplo [a, b) designa el
conjunto de números reales x tales que:
[
a
]
bFigura 3.1 Intervalo Cerrado
(
a
)
bFigura 3.2 Intervalo Abierto

49
bxa <≤
De manera semejante (a, b] designa el conjunto de números reales tales
que:
bxa ≤<
La figura 3.3 muestra los intervalos [a, b) y (a, b].
Un intervalo como ( ]b,∞− designa el conjunto de números reales x, que
satisfacen: bx ≤ (ó también, podemos escribir, bx ≤<∞− )
De manera similar pueden definirse los intervalos ( )b,∞− , ( )∞,a , [ )∞,a .
El conjunto ∞≤≤∞− x es el intervalo abierto ( )∞∞− , .
En los siguientes ejemplos se resuelven algunas inecuaciones lineales,
expresando el conjunto solución en notación de intervalo y
representándolo gráficamente en la recta real.
]
b
Figura 3.4
∞−
Figura 3.5
∞− ∞+
[
a
)
b
[a, b)
a b
Figura 3.3
(
a
]
b
(a, b]
ba

50
Ejemplo
Hallar el conjunto solución de:
12318 ≤+− x
sumando 18 en ambos lados:
181218318 +≤++− x
303 ≤x
Dividiendo por 3 (como 3>0 , el signo de la desigualdad NO cambia):
3
30
3
3
≤x
10≤x
Conjunto solución = {x | 10≤x }
En notación de Intervalo podemos escribir: ( ]10,∞−
Ejemplo
Hallar el conjunto solución de:
[ ] 2
61086243 xxxxx −+≥−−
Realizando el producto indicado tenemos:
22
61086612 xxxxx −+≥−−
Agrupando términos semejantes:
xxxxxxxx 6661086666 2222
−+−+≥−+−
]
10Figura 3.6
∞−

51
1020 +≥ x
x210 ≥−
x≥−
2
10
x≥− 5
Conjunto solución = {x | 5−≤x }. En notación de intervalo: es: ( ]5,∞−
Ejemplo
Resolver para x:
( )
4
2
5
3
410
−
+
<
− xx
El número 3 que está dividiendo pasamos a multiplicar
( )
4
2
15410
−
+
<−
x
x
Ahora pasamos a multiplicar -4
( )( ) ( )2154104 +>−− xx
Al realizar los productos indicados:
30151640 +>+− xx
xx 40153016 +>−
x5514 >−
x>−
55
14
]
5Figura 3.7∞−

52
Conjunto solución = {x |
55
14
−<x }
En notación de intervalo: es:






−∞−
55
14
,
3.1
En los siguientes ejercicios, hallar el conjunto solución,
expresándolo en notación de intervalo y representándolo en la
recta real.
1. 417 −≥−x
2. 10253 +≤+ ww
3. ( ) ( ) ( )xxx −≤+−− 3523310
4.
6
53
4
2
31 +
−≥
+− zz
5. ( ) ( ) yyy 12453
22
+<−−−
6.
7
15
3
24
5
42
7
+
<
−
−
−
− xxx
7.
3
12
3
2442 +
≥
−
−
−
− x
x
x
x
x
8. [ ] ( )15110 −≤−− xx
9. ( ){ }tt 3842325 +−−−>−
)
55
14
−Figura 3.8
∞−

53
DESIGUALDADES:
Es la relación que existe entre dos expresiones reales de diferente
valor. Los símbolos que se utilizan para expresar una desigualdad
son:
> “es mayor que””
< “es menor que”
≤ “es menor o igual que”
≥ “es mayor o igual que”
Clases de Desigualdades:
a. Desigualdad Absoluta: Llamada También desigualdad
incondicional, se caracteriza porque mantiene el sentido de su
signo de la relación para cualquier sistema de valores reales
atribuidos a sus variables.
012
>+x ; IRx ∈∀
b. Desigualdad Relativa: Desigualdad condicional es aquella que
mantiene el sentido de su signo de relación solo para valores
reales particulares atribuidos a su variable.
152 +>+ xx ; 4−>⇒ x
APLICACIONES DE LAS DESIGUALDADES
En problemas que involucran utilidades mínimas, es posible aplicar el
concepto de desigualdad lineal, para encontrar el mínimo número de
unidades que deben venderse para alcanzar este nivel mínimo de utilidad.
Ejemplo
Una empresa tiene costos de producción de $600 por unidad de producto.
Los costos fijos son de 2’000.000; si el precio de venta es $8000 por
unidad de producto, determinar el número mínimo de unidades que deben
venderse para que la empresa registre utilidades.

54
Si q representa el número de unidades producidas y vendidas, U(q), I(q),
C(q) las funciones de Utilidad, Ingreso Total y Costo Total
respectivamente, entonces:
u(q) = I(q)- C(q)
por las condiciones del problema:
C(q) = Costo Fijo + Costo Variable
C(q) = 2’000.000 + 6000 q
I(q) = 8000 q
U(q) = 8000 q – [ 2’000.000 + 6000 q ]
U(q) = 8000 q – 2’000.000 - 6000 q
U(q) = 2000 q - 2’000.000
Además, para tener utilidades u(q) debe ser mayor que cero: u(q) > 0,
es decir:
2000 q - 2’000.000 > 0
Al resolver para q, tenemos:
2000 q > 2’000.000
q >
2000
2000000
q > 1000
Como q > 1000, entonces habrá utilidades si 1001≥q unidades: deben
venderse al menos 1001 unidades de este producto.

55
Ejemplo
En el problema anterior si el número de unidades es 1000=q y se
requieren utilidades de $80.000 en este nivel de producción, ¿cuál debe
de ser el precio mínimo de venta?
Tenemos:
I = 1000 p
C = 2’000.000 + 6000 (1000)
U = I – C = 1000 p – [ 2’000.000 +6’000.000]
U = 1000 p – 8’000.000
Además 80000≥u
Entonces: 1000 p – 8’000.000 80000≥
Al resolver para p, tenemos:
1000 p 80000000.000'8 +≥
000.080'81000 ≥p
1000
000.080'8
≥p
para obtener utilidades mínimas de $ 80.000, el precio de venta mínimo
debe ser de $ 8.080
3.2
1. El costo de publicación de un nuevo libro de texto es de $9.000 por
unidad. Si los costos fijos son de $7’200.000 y el precio de venta es
de $15.000 por unidad, determinar el mínimo número de unidades
que deben venderse para obtener utilidades.
2. En el problema anterior, para el mismo nivel de producción,
determinar el precio de venta para obtener utilidades mínimas de
3’000.000.
8080≥p

56
3. El precio de venta de un producto es 200
q
000.10
+ en pesos por
unidad, cuando los consumidores están en disposición de adquirir q
unida-des de dicho producto. ¿Cuál es el mínimo número de
unidades que deben venderse para que los ingresos sean superiores
a $1’500.000?
Inecuaciones:
Inecuaciones de Primer Grado:
Es toda inecuación que admite una de las formas:
0<+ bax ; 0>+ bax
0≤+ bax ; 0≥+ bax
Inecuaciones de Segundo Grado:
Son los que admiten una de las formas:
02
<++ cbxax ; 02
≤++ cbxax
02
>++ cbxax ; 02
≥++ cbxax
Ejercicios Resueltos:
1. Hallar el conjunto solución de “X”:
251
2
3
+≤− xx
Resolución: 35
2
3
≤− xx
3
2
7
≤− x
67 ≤− x
67 −≥x

57
7
6
−≥x C. S. [ ∝+− ;
7
6
2. Hallar el conjunto solución de: 062
≥−− xx
Resolución:
0)2)(3( ≥+− xx
03 =−x ; 02 =+x
3=x ; 2−=x
La respuesta viene dada por los intervalos de signo positivo,
porque la expresión es mayor o igual a cero
c. s.= ] [ +∞−∞− ;32; U
3. Halla el conjunto solución de “X”:
( ) ( ) ( ) ( ) 03253
7654
≤−+− xxxx
Resolución:
0;
2
3
;5;3
0;032;05;03
==−==
==−=+=−
xxxx
xxxx
+
-2 3
+∞
-∞
-+
-
-5 0 3 +∞-∞ 3/2
+ + +-

58
La respuesta corresponderá a los valores donde los intervalos son
de signo negativo, porque la expresión es menor o igual a cero
4. Halla el conjunto a solución de “X”
( ) ( ) ( ) ( ) 021212
4562
>+−+− XXXX
( ) ( )( ) ( ) ( ) 0212112
4462
>+−++− XXXXX
Tenemos que aclarar al lector que cuando una expresión es
positiva, utilice el criterio de simplificarla:
Por teoría sabemos que toda expresión que esté elevado a un
exponente par siempre será positiva, y si es positiva pueda ser
simplificada.
Por lo tanto la expresión queda así:
( )( ) 021 >++ XX
Los valores críticos hallaremos igualando a cero cada factor
2
2
1
12
02;012;01;022
−==−=±=
=+=−=+=−
XXXX
XXXX
los valores x=-1 y x=-2 serán los únicos puntos frontera de los
intervalos
La respuesta estará determinada por los intervalos de signo
positivo, porque la inecuación tiene el signo mayor o igual a cero.
++
-√2 -1 0 +∞
-
½ √2 2-2-∞
[ ]






−= 3;
2
3
0;5.. Usc

59
Sin embargo tenemos que exceptuar a los valores que hemos
simplificado, siempre y cuando están dentro de los intervalos
positivos ( 2
2
1
== xyx )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
1143
51122
112212
1982432
≤
−−−
−+−−
XXX
XXXX
RESOLUCION: ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
11143
51222
1111212
19433
≤
−+−−
−−−+
XXXX
XXXX
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
1143
51222
111312
19433
≤
+−−
−−−+
XXX
XXXX
La inecuación quedaría representada de la siguiente manera:
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
0
111143
55122222
101212
18422
≤
++−−−
−−−−−++
XXXXX
XXXXXXX
Ubicando los valores críticos dentro de la recta numérica tenemos:
[ ]5;21;12;.. UUsc −−∞−=
( )
( )
( )
( )2
4
1
2
2
3
2
3
+
−
<
+
−
X
X
X
X
RESOLUCION:
( )
( )
( )
( ) 0
2
4
1
2
2
3
2
3
<
+
−
−
+
−
X
X
X
X






−+∞−−∞−= 2;
2
1
;12;.. Usc
- --
-√2 -1 1 +∞½
+ +
4/3 √2 5-∞
+

60
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) 0
12
1422
22
2323
<
++
+−−+−
XX
XXXX
( )( ) 0
12
44422
22
325325
<
++
+−+−−+−
XX
XXXXXX
( )( ) 0
21
2
22
23
<
++
+
XX
XX
( )
( )( ) 0
21
2
22
2
<
++
+
XX
XX
( ) 022
<+XX 2;0 −== XX
2;.. −∞−=SC
7. Halla el conjunto solución de “X”.
( )( )
( )( ) 2;2;0
24
66
22
22
≠>
−−
−+−−
X
XX
XXXX
SOLUCIÓN:
( )( )( )( )
( )( )( )( ) 0
2222
2323
>
−+−+
+−−+
XXXX
XXXX
( )( )
( )( ) 0
22
33
>
+−
−+
XX
XX
+∞−−∞−= ;32;23;.. UUsc
+ ++
-3 -√2 3 +∞-∞ √2
- -

8. Halla el conjunto solución de “X
( )(
( ) ( 484
131
235
33 2
+++
−−
XXX
XXX
RESOLUCION:
( )(
( ) ( 84
01
235
232
+++
−+−
XXX
XXX
Factorizando por Ruffini:
4848 23
−++ XXX
( )( )(
( ) ( )(24
411
5
2
+−+
+−−
XXX
XXX
−=..sc
12130 23
+−+ XXX
+
-6 -4-5-∞
-
Halla el conjunto solución de “X”:
)
)
0
484
12
≥
+
+
X
X
)
)
0
484
1213
≥
++
+−
X
X
Factorizando por Ruffini:
48
)( )
)( )
0
46
34
≥
+
−
X
X
∞−− ;32;14;6 UU
12
+
-3 -2 0-1
-
1 2
61
+
+∞
-
2 3

62
0
)6)(2(
4
34 2
3
<
+−
−
XX
X
RESOLUCION
4,6.
0
6
4
0
6
4
−=∴
>
+
−
→<
+
−
PS
X
X
X
X
( )( )
...
4;22;6..
;22;
22022 24 2
RCIALSOLUCIONPAPS
UPSU
UU
UNIVERSOXXXX
=
−−=∩⇒
∞−∞−=∴
⇒−+→>−→−
3.3
Resolver las siguientes inecuaciones:
0
12
2
)
0
362
23
)
2
3
23
2
)
2
4
2
)
0
)2(
2
)
)53(2194)
2
2
2
2
2
2
≥
+−
−+
≤
+−
−−
+
<
−
+
>
−
−
<
−−
++
+>−
xx
xx
f
xx
xx
e
xx
d
x
x
x
x
c
xxx
xx
b
xxa
0324413) 23
≥−+− xxxg

63
VALOR ABSOLUTO
Definición: Si “x” es un número real, entonces el valor absoluto de “x” es
aquel número que se forma a partir de “x” pero sin considerar su signo;
por esto se dice que el valor absoluto convierte a cualquier número en
otro similar pero con signo positivo.





<−
=
>
=
0,
00
0,
xsix
xsi
xsix
x
1. PROPIEDADES GENERALES.
2
2 2
1 . ;
2 . 0 ;
3 . ;
4 . ;
x x x
x x
x x x
x x x
= ∀ ∈ ℜ
≥ ∀ ∈ ℜ
= ∀ ∈ ℜ
= − ∀ ∈ ℜ
2 2
a. S ien d o x y d o s n ú m ero s reales tenem o s:
* *
; 0
5. , :
6. , : 1 . ; 2.
7. , :
8 . : , :
x y x y
xx
y
y y
a b a b a b
a b a b a b a b a b
a b a b a b
C o ro la rio a b a b a b
∧
=
= ≠
∀ ∈ ℜ + ≤ +
∀ ∈ ℜ − ≤ + − ≤ −
∀ ∈ ℜ ≤ ⇔ ≤
∀ ∈ ℜ − ≥ −
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
)()
)(0)
yxyxyxii
yxyxyyxi
−=∨=⇔=
−=∨=∧≥⇔=

64
EJERCICIOS RESUELTOS:
1. Resolver:
a. 2132 =−x
b. xx 243 =−
Solución:
a. 2132 =−x
Como el segundo miembro no lleva variable utilizaremos sólo
la segunda parte de la fórmula.
Es decir:
)( yxyxyx −=∨=⇔=
Entonces la expresión 2132 =−x se descompone en
dos ecuaciones:
)( yxyx −=∨=
21322132 −=−∨=− xx
32123212 +−=∨+= xx
182242 −=∨= xx
2
18
2
24 −
=∨= xx
912 −=∨= xx
Por lo tanto
{ }12,9.. −=SC
x y

65
b. xx 243 =−
Como en el segundo miembro hay presencia de variable
utilizaremos toda la fórmula
)(0 yxyxyyx −=∨=∧≥⇔=
)243243(02243 xxxxxxx −=−∨=−∧≥⇔=−
5
4
40
)454(0
)423423(
2
0
=∨−=∧≥⇔
=∨−=∧≥⇔
=+∨−=−∧≥⇔
xxx
xxx
xxxxx
2. Resolver:
a. 8425 =−− x
b. 4342
+=− xxx
c. ( ) 015424
2
=−−−− xx
Solución:
a. 8425 =−− x
Utilizando la propiedad se tiene:
4251225
84258425
−=−∨=−
−=−−∨=−−
xx
xx

66
∨=− 1225 x . La segunda parte es una expresión
incoherente (valor absoluto de una cantidad nunca es
negativa)
Por lo tanto sólo resolvemos la primera parte
1225 =− x
2
17
2
7
2
17
2
7
17272
51225122
12251225
=∨−=
−
−
=∨
−
=
−=−∨=−
−−=−∨−=−
−=−∨=−
xx
xx
xx
xx
xx






−=
2
17
,
2
7
..SC
b. 4342
+=− xxx
Utilizando la fórmula se tiene:
)434434(043 22
−−=−∨+=−∧≥+ xxxxxxx
)04047(
3
4
)04047(43
)04340434(043
22
22
22
=+−∨=−−∧
−
≥
=+−∨=−−∧−≥
=++−∨=−−−∧≥+
xxxxx
xxxxx
xxxxxxx
Utilizando la fórmula general en cada caso del paréntesis se
tiene:
)1(2
)4)(1(4)1(1
)1(2
)4)(1(4)7(7 22
−−±
=∨
−−−±
= xx
2
1611
2
16497 −±
=∨
+±
= xx
2
151
2
657 −±
=∨
±
= xx Expresión imaginaria

La respuesta a la inecuación sale de:
±
=
2
657
x
Interceptando con
valores son realmente mayores que
Por lo tanto el
c. ( ) 24
2
−−x
( ) 24
2
−−x
24
2
−−x
( )(54 −− xx
(
54
054
=−
=−−
x
x
positivo)
9
45
54
54
=
+=
∧=−
=−
x
x
x
x
Por tanto: C
La respuesta a la inecuación sale de:














≈
+
=
≈
−
=
⇒
53,7
2
657
53,0
2
657
65
x
x
Interceptando con
3
4−
≥x , nos damos cuenta que ambos
valores son realmente mayores que
3
4− .
Por lo tanto el





 +−
=
2
657
,
2
657
..SC
0154 =−−x
154241542
2
−−−−=−− xxx
0154 =−−x
) 034 =+−x
)( )
34
0340
−=−∧
=+−
x
x
Imposible (valor absoluto siempre es
1
454
54
−=∧
+−=∧
−=−∧
x
x
x
{ }9;1.. −=SC
4−x
4−x
4−x
Los factores son:
67
, nos damos cuenta que ambos
15
Imposible (valor absoluto siempre es
1542
2
−−− x
-5 -5 4−x
+3 +3 4−x
-2 4−x
Los factores son: ( 4−x -5).( 4−x +3)

68
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Propiedades:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) 0.8
0.7
0.6
0.5
.4
.3
.2
0.1
<−+⇔<
>−+⇔>
≤−+⇔≤
≥−+⇔≥
−<∨>⇔>
<<−∧>⇔<
−≤∨≥⇔≥
≤≤−∧≥⇔≤
bababa
bababa
bababa
bababa
axaxax
axaoaax
axaxax
axaaax
1. Resolver la inecuación:
5≤x
Solución:
( )
[ ] SCxx
xx
.5;55
55055
=−∈⇔≤
≤≤−∧≥⇔≤
4≥x
Solución:
SCxx
xx
xxx
xxx
.,44,4
4,,44
4,,44
444
=∞∪−∞−∈⇔≥
−∞−∪∞∈⇔≥
−∞−∈∨∞∈⇔≥
−≤∨≥⇔≥

69
SCxxxx
xxxxx
xxxx
xxxxxx
solución
xxx
.2,0321
11111321
333321
321321
:Re
321
=∈⇔<−+−+
<−<−⇒<−⇔<−+−+
<−⇔<−+−+
<−+−+⇔<−+−+
<−+−+
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]
( )( ) 01242663
0663.663663
:Re
663
222
222
2
≤−−−⇔+≤−−
≤+−−−++−−⇔+≤−−
+≤−−
xxxxxxx
xxxxxxxxx
solución
xxx
( )( )( )
[ ] [ ] SCxxxx
CP
xxxxxxx
.6,20,2663
6,2,0,2:..
0262663
2
2
=∪−∈⇔+≤−−
−
≤+−−⇔+≤−−
[ ] SCx
xxx
xx
resolución
x
.,,,
:
=−∞−∪∞∪−∈⇔
−≤∨≥∨≤≤−⇔



 ≥∨≤⇔






−≤




 −∨≥




 −⇔
≥−
4422
4422
162
79
22
2
72x972x9

70
( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 012105121051225
202;
2
1
012;1225
:Re
2
1
12
5
≥−−−∗−+−⇔−≥−
≠⇒≠−≠⇒≠−−≥−
−
≥
−
xxxxxx
xxxxxx
solución
xx
[ ] [ ] ( )






−





∞∪∞−=
∞∪∞−∈⇔
≥−





−⇔≥−−⇔
2,
2
1
,3
7
11
,.:tantolopor
,3
7
11
,
03
7
11
093*117
SC
x
xxxx
[ ]
[ ]
SCx
xx
xx
xx
xxx
resolución
x
.,,
;,,
;
:
=∞∪∞−∈⇒
≠∞−∪∞∈⇒
<∨>⇒
−<−∨>−⇒
≠⇒≠−>−
<
−
21
2
3
12
12
132132
2
3
032132
1
32
1
[ ] [ ]
[ ] [ ]4646
04060406
0
4
6
01
4
46
:Re
1
4
46
22
22
22
2
>∧<−∨<∧>−⇔
>−∧<−−∨<−∧>−−⇔
<
−
−−
⇔>+
−
−−
−>
−
−−
xxxxxxxx
xxxxxxxx
x
xxx
x
xx
solución
x
xx

71
9. Resolver la inecuación
( )[ ]
[ ]
[ ] ( )( )[ ]
( )[ ]
[ ]
( ) ( ) φα
α
==<+−∪<+−⇔
<+−∨<+−⇔
+−−<−∨+−>−⇔+−>−
−>−+−∧≥−∨<−∧∈
=∞∪−∞−∈⇔−≤∨≥⇔
−−≤−∨−≥−⇔
−≥−⇔≥−+−
−>−+−
...05075
05075
631263126312
...cuadráticainecuaciónlaoResolviend
15120101
:
,24,42
512x512x
x512x05x12x
:pordadoestáradical-sub.expresión
laporgeneradoU,UNIVERSOEl
:
1512
22
22
222
2
soluciónxxxx
xxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
ahora
xxx
xx
resolución
xxx
U
U
[ ] ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) [ ]
..4,
1,,24,
,11,,24,
11
SCx
x
x
xxxx
=−∞−∈⇔
∪∞−∩∞∪−∞−∈⇔
∩∞∪∞−∩∞∪−∞−∈⇔
∈∧≥∨<∧∈⇔
φ
φ
φU
10.Resolver la inecuación:
[ ]
[ ]
( )
( )
[ ]
SCx
xx
x
x
xx
xx
.7,54,00,4
7,54,00,4
,44,7,5
4,4,75,00,
,44,7,5
4,4,75,00,
=∪∪−∈⇔
∈∨∪−∈⇔
∞∪−∞−∩∈∨
∨−∩∞∪∪∞−∈⇔
∞∪−∞−∈∧∈∨
∨−∈∧∞∪∪∞−∈⇔

72
( )
( )( )( )
( )( )( ) 0
1
422
:
,....4221644:
0;:;0
1
1644
:ementeequivalenttenemosmiembros,ambos4restando
:Re
4
1
204
23
23
23
≥
+
−+−
−+−=+−+
≥=≥
+
+−+
≥
+
+−
x
xxx
obtenemos
Ruffinizzzzzzosfactorizam
xzhacemos
x
xxx
solución
x
xx
( )( )
[ ]
[ ] ..,44,2,2
,44,2,2
42
,42,
042
SCx
xx
xx
x
xx
=∞∪−∞−∪−∈⇔
∞∪−∞−∈∨−∈⇔
≥∨≤⇔
∞∪∞−∈⇔
≥−−⇔

73
3.4
Encontrar el conjunto solución de:
a. xx 243 =−
b. 4
1
23
=
−
+
x
x
c. 8732
−=+ xxx
d. ( ) 08161
2
=+−−− xx
e. 738 ≤− x
f. 842
>−x
g. 443 +≤− xx
h. 4
4
1
<
−
−
x
x
i. 2232
≤+− xx
Una vez que el estudiante maneje las ecuaciones del capítulo anterior será
mucho más fácil trabajar con inecuaciones. En este capítulo el trabajo es
más con intervalos, Un intervalo es un subconjunto de los números reales,
es decir una porción o una parte de los números reales; ya sea
considerando a los valores de los extremos (Intervalo cerrado) o sin
considerar a los mismos (Intervalo abierto).
También aquí es oportuno hablar sobre la Ley de Orden en los números
reales, porque nos dan un sustento para poder resolver las inecuaciones
de una manera similar que cuando se trabaja con ecuaciones; la diferencia
está básicamente en el conjunto solución, una ecuación con una variable
tiene única solución mientras una inecuación con una variable presenta
infinitas soluciones.
Tenemos que aclarar que si bien es cierto una inecuación se parece mucho
en su resolución a una ecuación; también hay detalles que no debemos
confundir: Por decir recomendamos que cuando el término principal de la
expresión algebraica tenga signo negativo no se prosiga con el trabajo,
primero se cambie de signo para continuar con el trabajo.

74
En el siguiente ejemplo
62 <− x
Lo que no se debería hacer es
2
6
−
<x
Primero se debe cambiar de signo en el primer miembro
62 −>x
Y luego recién despejamos la variable
2
6−
>x
3−>x
Por lo tanto el
>+∞−∈< ;3:. xSC
El mismo criterio utilizamos para resolver una inecuación de grado mayor
a 2. Por otro lado en una ecuación racional (Fraccionaria) si en uno de los
miembros existe variable en el denominador, se puede pasar a multiplicar
al otro miembro; en el caso de inecuaciones no podemos hacer lo mismo,
en este caso lo que se tiene que utilizar es la propiedad:
)(00: 11
signomismoeltienenayaaaSi −−
>⇒>
Por ejemplo si queremos resolver 0
62
4
=
−
−
X
X
Se tiene que proseguir de la siguiente manera: 624 −=− XX
Mientras que al resolver
0
62
4
<
−
−
X
X
Se tiene que proseguir así

75
( )( ) 0624 <−− XX
A todo ello debemos agregar el uso de algunas propiedades, para resolver
inecuaciones en general.
En la primera parte presentamos ejercicios sobre ecuaciones lineales, para
luego presentar su aplicación a problemas financieros, finalmente
resolvemos inecuaciones de grado superior.
2002
Haeussler, Ernest F.
2001
Matemáticas para Administración,
Economía, Ciencias Sociales y de la Vida
2002
Matemática Básica. Primera Edición. Edit. JJ
Lima – Perú
Lázaro C. Moisés
1998
edición
Venero B. A.
1994
Perú

76
Nº 3
Nombre____________________________________________
Apellidos__________________________ Fecha: __________________
Ciudad _______________________
Semestre____________________
1. Hallar el conjunto solución de:
3x – 1 ≥ 5x - 2
Expresar la respuesta en notación de intervalo y representarlo en la
recta real.
2. Hallar el conjunto solución de:
( x - 3 )2
– ( x - 4 )2
< 2 – {4 ( 8x + 6 ) }
Expresar la respuesta en notación de intervalo y expresarlo en la recta
real.
3. MP Company produce chaquetas, con un costo total de mano de obra
de 1.2 N dólares, donde N denota el número de artículos producidos. El
costo total de materiales es 0.3N. Si hay costos fijos de US $6000 para
la planta de producción. ¿Cuántas chaquetas debe vender MP Company
para obtener utilidades, si el precio de venta por chaqueta es US$3?
4. Hallar el conjunto solución:
0)4)(1()4( 2
≥+−+ xxx
5. Resolver la siguiente ecuación: xxx 2762
−=−
xx 91247 −≤−

77
FUNCIONES
FUNCIÓN LINEAL
En la primera parte de este UNIDAD TEMÁTICA se presentaron las ecuaciones lineales en
una variable y su solución. Sin embargo estas no son las únicas ecuaciones lineales que
existen.
Consideremos la ecuación: 0cbyax =++ siendo a, b, c números reales
donde a y b no son simultáneamente cero. Esta ecuación representa la
forma general de una ecuación lineal de dos variables. Además esta
ecuación tiene un número infinito de soluciones
Al finalizar el estudio del presente UNIDAD TEMÁTICA, el estudiante:
• Identifica y aplica sus conocimientos de ecuaciones para graficar
una función lineal.
• Encuentra la ecuación de línea recta.
• Identifica la función cuadrática.
• Define y encuentra la ecuación del eje de simetría y las coordenadas
del vértice.
• Traza la gráfica de funciones cuadráticas.
MODELO MATEMÁTICO E INTERPRETACIÓN GRÁFICO ANALÍTICA
Todas las parejas ordenadas de números reales (x,y) que satisfacen la ecuación No. 6.1,
pueden ser representadas por puntos en el plano cartesiano xy.
0cbyax =++

78
Ecuación No. 4.1
A este conjunto de puntos del plano se les denomina conjunto solución y
constituyen la gráfica de 0cbyax =++ . Figura 4.1
Se puede reescribir la ecuación de la forma:
b
c
x
b
a
y −−= Ecuación No. 4.2
Al despejar y: en este caso se afirma que “y” está en función de “x”. Donde “x” se
denomina variable independiente y “y” variable dependiente.
Haciendo
b
a
m −=
b
c
B −= en la ecuación No. 6.2 puede reescribise como:
Bmxy += Ecuación No. 4.3
A las ecuaciones 4.1 y 4.3 se les denomina funciones lineales y ambas representan la
misma recta. Al número m se le denomina pendiente de la recta y geométricamente es el
valor de la tangente del ángulo que forma la recta con el eje x positivo.
Cuando x=0 obtenemos:
By:entoncesB)0(my =+=
Donde al número B se le llama intercepto con el eje Y. Gráfica No. 4.2
Figura 4.1
ax+by+c=0
x
y

79
Figura 4.2
Ejemplo
Hallar el ángulo de inclinación de una recta L que pasa los puntos A(-3,2)
y B(1,5)
Sabemos que:
12
12
)(
xx
yy
mTg
−
−
==α
Reemplazando se tiene:
)3(1
25
)(
−−
−
=αTg
4
3
31
3
)( =
+
=αTg .
Por lo tanto el ángulo solicitado es 37º (porque Tg de 37º es 3/4)
Ejemplo
Representar gráficamente la recta 2x3y +=
En este caso la pendiente es 3m = y 2B = , es decir la recta corta al eje y
en 2y = .
Para determinar algunos puntos de la recta asignamos valores a x y
determinamos el respectivo valor de y:
Si x=0; entonces 22)0(3y =+=
Si x=1; entonces 5232)1(3y =+=+=
Si x=2; entonces 8262)2(3y =+=+=
De lo anterior obtenemos las parejas ordenadas (0,2); (1,5), (2,8) que
pertenecen a la gráfica de la recta. Debemos tener en cuenta que éstas
no son las únicas parejas ordenadas que pertenecen a la recta. La gráfica
No. 4.3 representa la función 2x3y += :
y
α
Intercepto con el
eje y
x
m = tgα
ax+by+c=0

80
(0,2)
(1,5)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 0.5 1 1.5 2 2.5
y
x
y=3x+2
)xx(myy 11 −=− Ecuación No. 4.5
Figura 4.3
Determinación de la ecuación de una recta
La ecuación de una recta en particular puede hallarse si se conocen dos puntos que
pertenecen a la recta, o si se conocen un punto y la pendiente de la recta. A continuación
se describe la forma como se puede determinar la ecuación de la recta y se presentan
algunos ejemplos.
Pendiente de una recta y forma punto pendiente de la ecuación de
la recta
Si se conocen los puntos )y,x(A 11 y )y,x(B 22 que pertenecen a una recta L,
la pendiente Lm de la recta L está dada por:
12
12
L
xx
yy
m
−
−
= Ecuación No. 4.4
Conociendo la pendiente m de la recta y un punto )y,x( 11 en la recta,
podemos encontrar la ecuación de la recta, conocida como la ecuación
punto pendiente:
Ejemplo
Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(0,3) y B(3,6)
Para este caso tenemos que: )3,0(A)y,x( 11 = y )6,3(B)y,x( 22 = entonces:
1
3
3
03
36
xx
yy
m
12
12
==
−
−
=
−
−
=

81
Esto quiere decir que 1αtg = donde α es el ángulo que forma la recta con
el eje x positivo. El ángulo α cuya 1αtg = donde 0
45α =
Para usar
12
12
xx
yy
m
−
−
= se habrían podido tomar )6,3()y,x( 11 = y )3,0()y,x( 22 = y
el resultado sería el mismo:
1
3
3
30
63
xx
yy
m
12
12 =
−
−
=
−
−
=
−
−
=
Esto significa que el orden en que se toman los puntos no importa pues el valor
de la pendiente no varía.
Tenga en cuenta que los puntos del plano cartesiano, son
parejas ordenadas y por lo tanto la pareja )a,b()b,a( ≠ ; por
ejemplo )3,5()5,3( ≠
Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta del ejemplo anterior, Conocida la pendiente m=1 y tomando
cualquiera de los puntos )3,0(A ó )6,3(B , podemos usar la forma punto
pendiente de la ecuación de la recta )xx(myy 11 −=− .
Tomando )y,x( 11 como el punto A; es decir 0x1 = y 3y1 = entonces:
)xx(myy 11 −=−
)0x(13y −=−
x3y =− entonces:
3xy += Ecuación de la recta
Si se toma )y,x( 11 como el punto B; es decir 3x1 = y 6y1 = entonces
obtenemos los mismos resultados:
)xx(myy 11 −=−
)3x(16y −=−
3x6y −=−
63xy +−=
3xy += Ecuación de la recta
Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos )5,4(M y )1,3(N .

82
α2α1
L2L1
y=3x+1
(1,2)
4
3
2
1
31 2
L2
Haciendo )1,3()y,(xy)5,4()y,x( 2211 == tenemos que la pendiente m es:
4
1
4
43
51
xx
yy
m
12
12
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
Entonces: )xx(myy 11 −=−
)4x(45y −=−
16x45y −=−
516x4y +−=
11x4y −=
Rectas paralelas
Dos rectas 1L y 2L son paralelas si el ángulo que forman con el eje x
positivo es el mismo, por lo tanto sus pendientes son iguales. Figura No.
4.4 Es decir si: 21 αα = , entonces 21 αtgαtg = y por lo tanto 21 mm =
Figura 4.4
Ejemplo
Una recta pasa por el punto )2,1(A y es paralela a la recta 1x3y += . Hallar
su ecuación. Al realizar este tipo de problemas es conveniente realizar
una gráfica. Sean 1L : 1x3y += y 2L la recta buscada. Entonces 2L pasa por
)2,1(A
Figura 4.5

83
Como 1L es paralela a 2L entonces
3mm 21 == . Conocida la pendiente m=3 y el punto
)2,1(A
podemos usar la forma punto pendiente:
)xx(myy 11 −=−
)1x(32y −=−
3x32y −=−
23x3y +−=
1x3y −=
Rectas perpendiculares
Dos rectas 1L y 2L son perpendiculares si el ángulo que se forma entre ellas es de
0
90 . Es decir:
1mm 21 −=∗
Ejemplo:
Halle la ecuación de la recta que pasa por )2,6(A y es perpendicular a la
recta 5x2y +−= . Hallar su ecuación.
Sean 1L : 5x2y +−= y 2L la recta buscada. En la figura 4.6 se observan las
dos rectas perpendiculares.
Se tiene 2m1 −= ?m2 = y si sabemos que 1mm 21 −=∗ entonces al sustituir
obtenemos:
1m)2( 2 −=−
2
1
2
1
m2 =
−
−
=
2L Tiene pendiente
2
1
m2 = y pasa por el punto )2,6(A podemos usar la
forma punto pendiente:
)xx(myy 11 −=−

84
)6x(
2
1
2y −=−
2
6
2
x
2y −=−
3x
2
1
2y −=−
23x
2
1
y +−=
1x
2
1
y −=
4.1
1. En los siguientes ejercicios determinar la pendiente de la recta y
la intersección con el eje y:
• 5x3y −=
• 1x4y +−=
• 6x
5
1
y +−=
2. Hallar el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos
P(-1,3) y Q(5,11).
3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-1,4) y (2,-3)
4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-2,2) y es paralela a
01yx3 =+−
5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1,2) y es
perpendicular a 3x5y +=
A(6,2)90o
y= -2x+5
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6 7
x
y
L2
Figura 4.6

85
Función cuadrática
En la primera parte del UNIDAD TEMÁTICA, se presentaron las funciones
lineales, cuya gráfica es una línea recta. Aunque la función lineal es muy
sencilla, en muchos casos el comportamiento de diversos fenómenos no
puede modelarse a partir de dicha función.
En la práctica son muchos y variados los tipos de funciones que se
presentan. Entre estas funciones, la función cuadrática es una de las de
mayor aplicación. Junto a la ecuación lineal corresponde a las funciones
polinómicas más sencillas y fáciles de analizar. En el presente UNIDAD
TEMÁTICA se abordan las funciones cuadráticas, analizando su
comportamiento y trazando su gráfica.
Uno de los polinomios más conocidos es el polinomio de la forma:
( ) cbxaxxp ++= 2
0≠a
Este polinomio de “segundo grado” se denomina “función cuadrática” y la
gráfica que la representa se conoce como parábola. La condición 0≠a es
necesaria pues si 0=a , tendríamos una línea recta.
Cualquier función por lo tanto, que pueda representarse en la forma
descrita por la ECUACIÓN 1, corresponde a una parábola.
Ejemplo
Las funciones
232
+−= xxy
4105 2
−+= xxy
16 2
+−= xy
son funciones cuadráticas o “parábolas”.

86
x
y
Interpretación gráfico – analítica
Para construir la gráfica de una función cuadrática ( ) cbxaxxp ++= 2
debe
tenerse en cuenta, inicialmente el signo de a. Si 0>a , se dice que la
parábola “abre hacia arriba”, (estrictamente, la función es “concava” hacia
arriba), como en la figura 5.1.
( ) cbxaxxp ++= 2
con 0>a
Figura 5.1.
Si 0<a , como en la figura 5.2, se dice que la parábola abre hacia abajo.
(Estrictamente, la función es “concava hacia abajo” ).
( ) cbxaxxp ++= 2
con 0<a
Figura 5.2.
De las gráficas anteriores puede, además, concluirse que éstas, son
“simétricas” respecto a una recta vertical. Aunque dicha recta vertical no
hace parte de la gráfica de la función es útil para su construcción, ya que
gracias a la simetría, el comportamiento de la función es el mismo en
ambos lados de dicha recta. En otras palabras al doblar la página del
dibujo de cualquier parábola sobre esta recta vertical, las dos mitades que
se obtienen, “coinciden”. A esta recta, se le denomina eje de simetría.
x
y

87
Los puntos indicados con las letras A y B, en las figuras 8.1 y 8.2,
respectivamente, corresponden a los puntos de corte del eje de simetría
con la parábola. Cada uno de estos puntos es el respectivo “vértice” de la
parábola correspondiente.
La ecuación de la recta vertical que corresponde al eje de simetría es:
a
b
x
2
−=
además, como el vertice corresponde al punto de corte del eje de simetría
con la parábola, la ordenada del vértice corresponde a la imagen de
a
b
x
2
−= bajo la función ( ) cbxaxxp ++= 2
, por lo tanto, las coordenadas del
vértice son: 











−−
a
b
p
a
b
V
2
,
2
Ejemplo
Hallar las coordenadas del vertice de la función ( ) 4123 2
−+= xxxp y hallar la
ecuación de su eje de simetría.
Identificamos 3=a , 12=b , 4−=c , por lo tanto:
a
b
x
2
−=
( )32
12
−=
6
12
−= 2−=
2−=x es la ecuación del eje de simetría. Para hallar las coordenadas del
vértice debemos evaluar la función en 2−=x ; es decir hallar ( )2−p
( ) ( ) ( ) 4212232
2
−−+−=−p ( ) 42443 −−=
( ) 424122 −−=−p
( ) 162 −=−p

88
( -2, -16 )
Eje de simetría( ) 4123 2
−+= xxxp
-20
-2 -1
-4
Vértice
luego las coordenadas del vertice son:












−−
a
b
p
a
b
V
2
,
2
( )16,2 −−=
ademas como 3=a y 0>a , la parábola abre hacia arriba.
La figura 5.3 muestra la gráfica de la función:
Figura 5.3
4.2
En los siguientes ejercicios determinar, por simple inspección si
la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Encontrar
además las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de
simetría.
1. ( ) 8102 2
+−= xxxp
2. ( ) 10153 2
+−−= xxxf

89
3. ( ) 6105 2
+−−= xxxg
4. ( ) 12
+= xxh
Análisis y trazado de la función cuadrática
Consideremos la función cuadrática:
( ) cbxaxxp ++= 2
podemos reescribir ( )xp como:
( )
a
b
c
a
b
bxaxxp
44
22
2
−+++=
en donde se suma y resta el término
a
b
4
2
para completar un trinomio
cuadrado perfecto, agrupando los tres primeros términos:
( )
a
b
c
a
b
bxaxxp
44
22
2
−+





++=
( )
a
b
c
a
a
a
b
x
a
a
baxxp
44
22
2
−+





++=
( )
a
b
c
a
ab
bx
a
a
axxp
44
2
2
2
2
−+





++=
Al factorizar a, en el primer paréntesis; tenemos:
( )
a
b
c
a
b
a
bx
xxp
44
2
2
2
2
−+





++= α
La expresión entre paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto; es decir
podemos reescribir ( )xp tenemos:

90
0>a












−−
a
b
p
a
b
V
2
,
2
a
b
x
2
−=
a
b
c
a
b
a
b
a
b
p
4222
22
−+





+−=





− α
a
b
c
4
2
−=
Ahora bien si 0>a , la parábola abre hacia arriba y por tanto en
a
b
x
2
−= ;
( )xp tiene un valor “mínimo”. Para mostrar lo anterior, obsérve-se que si
a
b
x
2
−≠ , entonces 0
2
2
>





+
a
b
x , con 0>a luego:
a
b
c
a
b
c
a
b
xa
a
b
p
4422
222
−>−+





+=





−
Es decir, para cualquier valor de
a
b
x
2
−≠ el valor de la función será mayor
que 





−
a
b
p
2
. En la figura 5.4, se muestra lo anterior:
Figura 5.4
Por otro lado si 0<a , como 0
2
2
>





+
a
b
x , con
a
b
x
2
−≠ , el producto
0
2
2
<





+
a
b
xa ; por lo tanto:
a
b
c
a
b
c
a
b
xa
a
b
p
4422
222
−<−+





+=





−
con 0<a la parábola abre hacia abajo y por el análisis mostrado se
concluye que ( )xp tiene un valor máximo en
a
b
x
2
−= , en conclusión si 0<a

91
para cualquier valor de
a
b
x
2
−≠ , el valor de la función será menor que






−
a
b
p
2
. Esto se muestra en la figura 5.5
Figura 5.5
Obsérvese además en la figura 8.5 que cuando 0=x , cy = . Al evaluar la
función en 0=x tenemos:
( ) ( ) ( ) ccbap ++=++= 00000
2
( ) cp =0
al punto de coordenadas ( )c,0 se le denomina intercepto con el eje y .
Como la ecuación es cuadrática debe tener dos soluciones por el teorema
fundamental del Álgebra, que corresponde a los puntos de corte de la
función ( ) 02
=++= cbxaxxp . (Sin embargo no siempre la función corta al eje
x).
Si 042
>− acb la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes que
corresponden a dos puntos diferentes de corte de la función con el eje x .
0<a












−−
a
b
p
a
b
V
2
;
2
a
b
x
2
−=

92
Si 042
=− acb la ecuación tiene una solución repetida dos veces (o de
multiplicidad 2) y corresponde a un solo punto de corte con el eje x . En
este caso, este punto coincide con el vértice de la función.
Si 042
<− acb la ecuación no tiene solución en los números reales. Esto
significa que la gráfica no corta al eje x .
Ejemplo
Hallar los puntos de corte de la función ( ) 542
−−= xxxp con el eje x . Al
factorizar deben encontrarse dos números cuyo producto sea –5 y cuya
suma sea –4.
Tomando los números –5 y –1
tenemos: (-5)(+1) = -5 y, -5 + 1 = -4.
Es decir ( ) ( )( )15542
+−=−−= xxxxxp
Al resolver 0542
=−− xx
tenemos ( )( )15 +− xx
Es decir
( )
5
05
05
=
=−
=−
x
x
x
ó
( )
1
01
01
−=
=+
=+
x
x
x
Luego la función corta al eje x en 5=x y en 1−=x .
Ejemplo
Hallar los puntos de corte de la función
( ) 232 2
−−= xxxf con el eje x .
Usando la ecuación cuadrática tenemos:
2=a , 3=b , 2−=c .

93
a
acbb
x
2
42
−±−
=
( )( )
( ) 4
1693
22
22433 2
+±−
=
−−±−
=
4
53
4
253 ±−
=
±−
=x
tenemos las soluciones:
2
1
4
2
4
53
==
+−
=x
2
4
8
4
53
−=
−
=
−−
=x
Ejemplo
Determinar si la función ( ) 832
++= xxxf intercepta al eje x .
Tenemos que:
1=a , 3=b , 8=c .
Al analizar el “discriminante” acb 42
−
tenemos: ( )( ) 02332981434 22
<−=−=−=− acb ,
luego la función ( ) 832
++= xxxf no corta al eje x , pues la ecuación
832
++ xx no tiene solución en los números reales.
Ejemplo
Determinar las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría, la
intersección con el eje y , las intersecciones con el eje x y traza la gráfica
de la función:
( ) 12 2
−−= xxxf
en primer lugar identificamos

94
2=a , 1=b , 1−=c .
Por lo tanto la ecuación del eje de simetría es:
( )
( ) 4
1
22
1
2
=
−
−=−=
a
b
x
La coordenada y del vértice es:
8
9
1
4
1
8
1
1
4
1
16
1
21
4
1
4
1
2
4
1
2
2
−=−−=−−





=−−





=





=





− f
a
b
f
Las coordenadas del vértice son 





−
8
9
,
4
1
y como 02 >=a , el vértice
corresponde a un mínimo de la función.
En 0=x , ( ) ( ) 110020
2
−=−−=f .
Luego ( )1,0 − corresponde a las coordenadas de la intersección de la gráfica
con el eje y .
Para hallar las intersecciones con el eje x , se resuelve la ecuación:
012 2
=−− xx
Al aplicar la fórmula cuadrática tenemos:
a
acbb
x
2
42
−±−
=
( ) ( ) ( )( )
( ) 4
31
4
91
4
811
22
12411
2
±
=
±
=
+±
=
−−−±−−
=
Entonces:
1
4
4
4
31
==
+
=x
2
1
4
2
4
31
−=
−
=
−
=x

95
Las intersecciones con el eje x son los puntos con coordenadas ( )0,1 y






− 0,
2
1
. Ppara la construcción de la gráfica podemos hacer una tabla de
valores auxiliar:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
( )xfy = 20 9 2 -1 0 5 14
4.3
Dadas las siguientes funciones, determinar las coordenadas del
vértice, la ecuación del eje de simetría, los puntos de corte con los
ejes y realizar la gráfica de la función.
1. ( ) 92
−= xxf
2. ( ) 62 2
−−= xxxf
3. ( ) 12
++= xxxf
4. ( ) 442
+−= xxxf
( ) 12 2
−−= xxxf
1=x
2
1
−=x Vértice 





−
8
9
,
4
1
Intersección
eje y en
1−=y
Eje de
simetría
4
1
=x
x
y

96
En este UNIDAD TEMÁTICA estudiamos las ecuaciones lineales,
comenzamos con el concepto de ecuación que es una igualdad entre dos
expresiones algebraicas, que satisface para ciertos valores de las variables
involucradas. Una variable es una incógnita en una ecuación cuyo valor
numérico se desconoce y que representa una cantidad específica. Se
introdujo el concepto de ecuación lineal, su solución y aplicaciones
prácticas.
También se analizó la función lineal, su modelo matemático e
interpretación gráfico analítica (representación en el plano cartesiano), así
como la ecuación de una recta, rectas paralelas, perpendiculares,
pendiente de una recta y sus propiedades.
Para graficar una función se podría ir asignando valores a la variable X,
para que al reemplazar en la ecuación que se propone para dicha función
ir hallando los valores de la variable Y. Encontrado pares ordenados los
cuales se puede ubicar en eje de coordenadas rectangulares.
Asimismo el capítulo contiene Función Cuadrática en esta parte del texto
se habla sobre La Parábola, teniendo en cuenta sus elementos para
poderlos graficar con mayor facilidad.
Es necesario tener en cuenta que estas funciones cuadráticas tienen dos
formas básicas:
( ) cbxaxxp ++= 2
con 0>a y
( ) cbxaxxp ++= 2
con 0<a
En el primer caso la grafica de la parábola es abierta hacia arriba en el
segundo caso, la gráfica de la parábola es abierta hacia abajo.

97
2002
Haeussler, Ernest F.
2001
Matemáticas para Administración,
Economía, Ciencias Sociales y de la Vida
2005
Análisis Matemático, Cuarta Edición. Edit. JJ
Lima – Perú
Figueroa G. R
2000
Geometría Analítica. Editorial América, 6ta
edición, Lima - Perú
Figueroa G. R.
2000
Lázaro C. Moisés
2001
Relaciones y Funciones., Edit. Moshera
SRL, 3ra. Edición, Lima - Perú
edición
Venero B. A.
1994
Perú
Nº 4
Nombre_______________________ Apellidos______________________
Fecha _____________ Ciudad _________________Semestre____________________
1. Determine la ecuación de la recta 2L que pasa por los puntos A(2,5)
y es perpendicular a la recta 062:1 =−− yxL .
2. Determine la ecuación general de la recta que pasa por el punto
A(4,7) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos B(-3,5) y
C(2,15).

98
3. Sean las rectas paralelas: 052)1(:1 =−++ yxaL y 063:2 =++ayxL . Calcular
el valor de “a”.
4. Dadas las siguientes funciones determinar, por simple inspección, si
la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. Hallar, además, las
coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría.
a) ( ) 152
+−= xxxp
b) ( ) 864 2
−+= xxxp
5. A la expresión acb 42
− se le denomina “dicriminante”. Determine si
las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas. Justifique su
respuesta.
a) Si el discriminante de ( ) cbxaxxf −+= 2
es mayor que cero, la
función no corta al eje x .
b) Si el discriminante de ( ) cbxaxxf −+= 2
es igual a cero, la función
corta al eje x en un solo punto.
6. Para las siguientes funciones, determinar: las coordenadas del
vértice, definiendo si corresponden a un máximo o un mínimo; la
ecuación del eje de simetría; los puntos de corte con los ejes. Trazar
la gráfica de la función.
a) ( ) 103 2
−+= xxxp
b) ( ) 1642
++= xxxq
c) ( ) 252
+= xxg

99
MATRICES
Una de las herramientas más poderosas de las matemáticas son las
matrices. La solución de muchos problemas de aplicación se puede
simplificar mediante el ordenamiento de los datos usando matrices y
aprovechando sus propiedades.
Al terminar el estudio del presente UNIDAD TEMÁTICA, el estudiante:
• Identifica los elementos y orden de una matriz.
• Define las operaciones con matrices.
• Efectúa operaciones con matrices.
• Resuelve sistema de ecuaciones con dos variables, utilizando las
matrices.
MATRIZ:
Una matriz es un arreglo rectangular de números que generalmente se
simboliza usando corchetes. Las matrices se pueden representar por letras
mayúsculas.
Ejemplo
A continuación se muestra una matriz A.










−
−
=
360
753
841
A
ELEMENTOS Y ORDEN DE UNA MATRIZ
Los elementos son los números que componen la matriz. Las matrices
están compuestas por filas (constituidas por los elementos en renglones
horizontales) y por columnas (constituidas por los elementos en hileras
verticales).

100
La matriz A del ejemplo anterior tiene 3 filas y 3 columnas. Los elementos de la primera
fila de A son 1, -4, 8. Los elementos de la segunda columna de A son –4, 5, 6.
El tamaño de una matriz se determina a partir del número de filas y el
número de columnas. Una matriz C de tamaño m x n tiene m filas y n
columnas. La matriz A del ejemplo anterior es de tamaño 3 x 3.
La matriz B es de orden 2 x 4 pues tiene 2 filas y 4 columnas.






−−
−
=
1210
3864
B
Una característica esencial de las matrices es la posición de un elemento
dentro de la matriz. El elemento ubicado en la posición determinada por la
fila i y la columna j se designa con la notación ija
Ejemplo
Sea A la matriz:






−
−
=
054
381
A
El tamaño de A es 2 x 3 pues A tiene 2 filas y 3 columnas. El elemento
que ocupa la posición correspondiente a la primera fila y la segunda
columna es:
8a12 =
El elemento correspondiente a la segunda fila y tercera columna es
0a23 = .
Cuando una matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se
dice que la matriz es cuadrada.

101
Ejemplo
La matriz A=









−
918
6-05
402
es una matriz cuadrada porque tiene 3 filas y 3
columnas. Podemos escribir 3x3A para referirnos a la matriz cuadrada A.
Ejemplo
La matriz
















=
nn1n
n111
a...a
.....
.....
.....
a...a
B
es la matriz nxnB cuadrada de tamaño nxn.
Se dice que las matrices A y B son iguales si y sólo si las matrices tienen
el mismo tamaño y cada elemento ija de la matriz A es igual a cada
elemento ijb . Matemáticamente lo podemos escribir como:
Dados ijijijij baBA;Bb,Aa =⇔=⇒∈∈
Ejemplo
Describir una matriz C que tenga m filas y n columnas. Es decir la matriz
mnC :
Ejemplo
Dada la matriz D, determinar el orden de la matriz y los elementos 14d
33d , 55d .










−
−
−
=
7206
5105
10834
D
El tamaño de la matriz es 4x3D porque D tiene 3 filas y 4 columnas.
• 14d es elemento en la primera fila y la cuarta columna, entonces 14d =
10












=
mnm
n
cc
cc
C
..
....
....
..
1
111

102
• 33d es elemento en la tercera fila y la tercera columna, entonces 33d =
2
• 55d no existe pues el tamaño de la matriz es 3x4
Ejemplo
Hallar los valores de x, y, z, w de tal manera que las matrices dadas sean
iguales.






−
+
=




 −
z21510
w8x6
zy2
4x3
Las matrices tienen el mismo orden (2 x 2). Para que sean iguales, los elementos
correspondientes deben ser iguales. Es decir:
(1)x6x3 +=− (2)w84 =
(3)10y2 = (4)z215z −=
Al resolver las ecuaciones tenemos:
• Ecuación 1: x6x3 +=−
x263 =−
x23 =−
2
3
x −=
• Ecuación 2:
w84 =
8
4
w =
2
1
w =
• Ecuación 3: 10y2 =
2
10
y =
5y =
• Ecuación 4: z215z −=
15z2z =+
15z3 =
5
3
15
z ==
La matriz obtenida es:

103
=




 +
=




 −−
=




 −
510
4)2/3(3
5)5(2
4)2/3(3
2y2
4x3






510
42/9
Ejemplo
Determinar el valor x, y, z, w para que las matrices dadas sean iguales.





 +
=





x6y4
z310w5
4
y3
Las matrices no pueden ser iguales porque tienen diferente orden.
Ejemplo
Determinar el valor x, y para que las matrices dadas sean iguales






=





=
28
107
B
2y4
x53
A
BA ≠ . Pues 1111 ba ≠ 1111 b73a =≠=
CLASES DE MATRICES
MATRIZ FILA
Una matriz como [ ]0834A = se llama matriz renglón o matriz fila. En
este caso la matriz A es de orden 1 x 4.
MATRIZ COLUMNA
La matriz










=
4
3
8
C se denomina matriz columna. El orden de C es 3 x 1.

104
MATRIZ NULA
La matriz tal que todos sus elementos son cero se denomina matriz cero
de tamaño m x n. La matriz 3x40 es:










=
000
000
000
0
MATRIZ IDENTIDAD
La matriz identidad I es la matriz cuadrada de tamaño n x n tal que todos
los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto son cero. Los
elementos de la diagonal principal son los elementos ija de cualquier
matriz A, en los que i = j, es decir, ambos subíndices son iguales.






=
10
01
I 2x2
Nótese que 1ay1a 2211 == es decir, los elementos de la diagonal principal
son iguales a uno.












=
1000
0100
0010
0001
I 4x4
Nótese que 1aaaa 44332211 ====
Ejemplo
Dada la matriz 3x3C determine los elementos de la diagonal principal.










−− 310
752
348
Los elementos de la diagonal principal son: 8a11 = 5a22 = 3a33 −=

105
5.1
En los ejercicios 1a 4 determine el orden de la matriz y los elementos
pedidos. ¿Cuáles son los elementos de la diagonal principal?.
1. 





=
53
48
A 342212 a,a,a
2. 





−−
=
61017
100436
B 1525233211 b,b,b,b,b
3.










=
319
080
076
C 2132,12 cc,c
4.










−
−=
4350
2410
8006
D 2443333411 d,d,d,d,d
5. Construya una matriz renglón de tamaño 1 x 5
6. Construya una matriz columna de tamaño 6 x 1
7. Construya las matrices identidad de tamaño 3 x 3 y 5 x 5
8. Investigar el significado de los términos matriz triangular
superior y matriz triangular inferior. Dar tres ejemplos de
cada una.
Adición de matrices
Dadas las matrices A y B, ambas de tamaño m x n (m filas y n columnas
cada matriz) definimos BAC += como la matriz que resulta de sumar los
elementos correspondientes de cada matriz, esto es:
ijijij baC +=
n.....3,2,1j
m.....3,2,1i
=
=
Donde C tiene tamaño m x n
Ejemplo 1
Sumar las siguientes matrices

106










=









 −
=
2-2
14
03-
B
38
46
75
A
A y B tienen tamaño 3 x 2. Sea BAC += . Entonces C también tiene
tamaño 3 x 2.
235)3(5bac 111111 =−=−+=+=
707bac 121212 −=+−=+=
1046bac 212421 =+=+=
514bac 222222 =+=+=
1028bac 313131 =+=+=
123)2(3bac 323232 =−=−+=+=
Obtenemos:









 −
=










−
−
+









 −
110
510
72
22
14
03
38
46
75
Ejemplo 2
Dadas las matrices A, B y C; hallar A-C; sabiendo que A=B.
2 1
3 2
x y
A
y
− 
=  − 
5 2
1 2
y x
B
x
− − 
=  + 
2 5
4 1
C
− 
=  − 
RESOLUCIÓN
A B= → 2 1 5x y− = − 2 6x y+ =
3 1y x− = + 2x y+ =

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