Este documento describe modelos matemáticos y la programación lineal. Explica la estructura de los modelos matemáticos y los componentes de un problema de programación lineal. También describe el método simplex para resolver problemas de programación lineal, incluidas sus variantes como la degeneración, óptimos alternativos, solución no acotada y solución no factible.

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INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“Antonio José de Sucre”
Edo. Falcón
Catedra:Investigaciones de operaciones
Investigación de Operaciones: Modelos Matemáticos
Autor: Nelson Manaure Abreu
Punto Fijo, junio de 2020.

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INDICE
Tabla de contenido
INTRODUCCION......................................................................................................................... 3
Modelos matemáticos, suestructura.......................................................................................... 4
Modelos de Programación lineal................................................................................................ 5
Formulación de un modelo de Programación Lineal................................................................. 5
Ejemplo de formulación de Modelo de Programación Lineal .................................................... 6
La forma canónica. La forma típica o estándar......................................................................... 6
El método simplex..................................................................................................................... 7
Método de las dos fases......................................................................................................... 7
Variantes de las aplicaciones del método simplex.................................................................... 8
Degeneración:................................................................................................................... 8
Óptimos alternativos.........................................................................................................10
Solución no acotada..........................................................................................................11
Solución no factible...........................................................................................................12
CONCLUSION ...........................................................................................................................14
BIBIOGRAFÍA............................................................................................................................15

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INTRODUCCION
La investigación de operaciones es una disciplina en la que muchas de las empresas se apoyan para
lograr procesos de toma de decisiones, pues, por medio de ella se aplican diferentes modelos
científicos / matemáticos con el propósito de ofrecer las soluciones más óptimas a determinado
problema.
Es importante que durante el proceso de construcción de los modelos matemáticos, los especialistas
consideren todas las variables que se encuentran relacionadas co la problemática a analizar, de esta
manera se alcanzará un modelo lo más ajustado a la realidad y por ende las soluciones que se
determinarán podrán responder a las necesidades planteadas por las organizaciones.
A lo largo del presente trabajo, se describirán los principales modelos matemáticos enfocados a la
toma decisiones, principalmente, se estará abordando la programación lineal, sus características y
algunos métodos para la formulación y solución de problemas partiendo del objetivo que persigue la
empresa, el cual posteriormente es planteado a través de ecuaciones lineales para su posterior
resolución.
Básicamente, las situaciones que se plantean van enfocadas en maximización de ganancias y la
minimización de costos considerando siempre la mejor distribución de los recursos con los que
cuenta la empresa para llevar a cabo sus operaciones diarias.
Asimismo, se presenta uno de los principales métodos utilizados para la resolución de problemas en
Programación lineal, denominado Método Simplex y se explican detalladamente los pasos a seguir
para su aplicación así como también las variantes que se crearon a partir de este método:
Degeneración, Optimos alternativos, Solución no acotada y Solución no factible en cada caso, se
muestran ejemplos del proceso a seguir para la aplicación estas variantes.

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Modelos matemáticos, su estructura
La matemática proporciona numerosos instrumentos que apoyan la tarea de toma de decisiones.
Entre ellos se puede mencionar el uso de los modelos que permiten un mejor análisis de la situación.
Si bien los modelos utilizan el lenguaje matemático para lograr esta representación, también
suministran un consejo sobre la mejor decisión indicando cuál será el resultado obtenido en caso de
seguir la indicación.
Entre los modelos que utilizan lenguaje matemático se pueden mencionar los modelos de
programación matemática. En torno a la palabra programación se puede afirmar que se usa
comúnmente para referirse a las actividades que se van a llevar a cabo. Aunque en este caso,
programación significa elegir la mejor combinación de valores de las variables que intervienen en el
programa, y lo de matemática se debe a los instrumentos utilizados para hacer la selección.
Con frecuencia, la selección de una alternativa incluye satisfacer varios criterios al mismo tiempo.
Justamente ésta es la estructura de los modelos que se presentan a continuación. En donde se
incluyen variaciones sobre el tipo de funciones que se utilizan, lineales o no lineales; así como los
tipos de variables que intervienen, enteras o reales; también del número de objetivos por alcanzar,
uno o varios; y por último, en torno al número de decisiones sobre la misma variable que requiere el
problema, una o varias.
Resolver un problema real generalmente es muy complicado y no se sabe por dónde empezar. Esto
se debe, entre otras cosas, a que los elementos que en él intervienen son numerosos. También
influye que las relaciones entre estos elementos no son evidentes. Por consiguiente, es difícil
expresar el problema en forma clara. ¿Cómo podría encontrarse la solución de un problema que no
se comprende?
Una forma de abordar un problema es la siguiente: primero, descubrir sus componentes. A
continuación, elegir entre ellos los elementos más importantes, desechando aquellos que no juegan
un papel preponderante. Después, buscar las relaciones entre estos elementos. Por último,
seleccionar algunos objetos o símbolos que permitan representar la situación simplificada. A esta
representación del problema se le denomina: modelo.
Al representar en forma matemática los elementos y relaciones que intervienen en un problema, se
tienen algunas ventajas: permite la utilización de los instrumentos matemáticos ya desarrollados en
la consecución de una solución y proporciona una manera sistemática, explícita y eficiente de
encontrarla. Asimismo permite evaluar distintas soluciones factibles y tomar la mejor decisión.
También es útil para predecir y comparar el comportamiento de la situación representada frente a
diferentes alternativas o en diferentes momentos.
La matemática aporta un gran número de modelos cuya solución puede obtenerse con facilidad a
través de paquetes computacionales. Entre estos modelos pueden mencionarse: los de
programación lineal, los de programación entera, los de programación no-lineal, los de programación
dinámica y los de programación multiobjetivos. Los modelos mencionados en el párrafo anterior
corresponden a distintas versiones de una situación común. Todos son útiles en la representación
de situaciones en las que se pretende encontrar los valores de las variables que maximizan o
minimizan una de las relaciones conocida como función objetivo, respetando las demás relaciones.
Al respecto una publicación de la Universidad Nacional de Mar de Plata (2009) plantea que el
razonamiento y los cálculos simbólicos son fundamentales para la modelización analítica (es decir,
matemática). Por lo tanto, como ocurre con cualquier idioma extranjero, se debe desarrollar una
comprensión de la matemática, que es el idioma de todas las ciencias, incluido el proceso de
modelización analítica (es decir, matemática). Por lo tanto, como ocurre con cualquier idioma

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extranjero, se debe desarrollar una comprensión de la matemática, que es el idioma de todas las
ciencias, incluido el proceso de modelización en IO que apunta a asistir a quien decide.
Los modelos matemáticos emplean símbolos y notaciones, incluidos los números. De este modo,
existen tres conceptos diferentes: la realidad, el modelo mental y su representación. En todas sus
formas, la modelización analítica es un procedimiento que reconoce y verbaliza un problema y luego
lo cuantifica convirtiendo las palabras en expresiones matemáticas.
Modelos de Programación lineal
Es una técnica de investigación de operaciones que consiste en formular problemas en términos de
modelos matemáticos conducidos a maximizar o minimizar los beneficios o costos. La programación
lineal varia un tanto de la programación entera en respecto a la técnica para encontrar los resultados
en función de los valores que asume.
En infinidad de aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc… se presentan
situaciones en la que se exige maximizar o minimizar algunas funciones que se encuentran sujetas
a determinadas limitaciones, llamadas restricciones.
Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver la
situación siguiente: Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias
variables, sujeta a: una serie de restricciones, expresadas por inecuación lineales.
Formulación de un modelo de Programación Lineal
Un problema de programación lineal en dos variables, tiene la siguiente formulación estándar:
Maximizar:
Sujeto a:
Pudiendo cambiarse maximizar por minimizar, y el sentido de las desigualdades.
En un problema de programación lineal intervienen:
 La función f(x,y)=ax+by+c llamada función objetivo y que es necesario optimizar. En esa
expresión x e y son las variables de decisión, mientras que a, b y c son constantes.
 Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su número depende del sistema en
cuestión. El carácter de desigualdad viene impuesto por las limitaciones, disponibilidades o
necesidades, que son: inferiores a… (menores:< o <=); como mínimo de… (mayores: > o
>=). Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en
cualquier de los dos sentidos.

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 Al conjunto de valores x e y que verifican todas y cada una de las restricciones se lo
denomina conjunto (o región) factible. Todo punto de ese conjunto puede ser solución del
problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no puede ser solución.
 La solución óptima del problema será un par de valore (x0,y0) del conjunto factible que haga
que f(x,y) tome el valor máximo o mínimo.
Ejemplo de formulación de Modelo de Programación Lineal
En una urbanización se van a construir casas de dos tipos: A y B. La empresa constructora dispone
para ello de un máximo de 1800 millones de ptas, siendo el coste de cada tipo de casa de 30 y 20
millones respectivamente. El Ayuntamiento exige que el número total de casas no sea superior a 80.
Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es de 4 millones y de 3 millones
por una de tipo B ¿cuántas casas deben construirse de cada tipo para obtener el máximo beneficio?
Capital a invertir
( millones de ptas.)
Demanda del Mercado
(unidades)
Utilidades
(millones ptas)
Tipo A (X1) 30 1 4
Tipo B (X2) 20 1 3
Disponibilidad 1800 80
El modelo de programación lineal es el siguiente:
La forma canónica. La forma típica o estándar.
Los problemas de programación lineal pueden presentarse en la forma estándar, dando la función
objetivo y las restricciones, o bien plantearlos mediante un enunciado
Propiedades de la forma PL estándar
 Todas las restricciones son ecuaciones (con los segundos miembros no negativos) si el
modelo se soluciona por medio del método simplex primal.
 Todas las variables son no negativas.
 La función objetivo puede ser la maximización o la minimización
Una vez planteado el problema se deben seguir los pasos que se describen a continuación:
Paso 1: Leer detenidamente el enunciado: determinar el objetivo, definir las variables y escribir la
función objetivo.
Paso 2: Reordenar los datos del problema y a partir de las cantidades decididas, x e y, escribir el
sistema de inecuaciones que determinan las restricciones.

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Paso 3. Expresar el problema en la forma estándar. En este paso finaliza el planteamiento del
problema. A partir del siguiente paso comienza su resolución.
El método simplex
Uno de los métodos más importantes para la resolución de la programación lineal es el método
Simplex. Es un método algebraico de conceptos geométricos desarrollado en 1947. Es un método
iterativo (repite una serie de pasos fijos) que se inicia encontrando una solución factible inicial. Esta
solución factible inicial es un punto de los vértices del polígono de soluciones factibles. El método
parte de esta solución factible inicial, se plantea si la misma es óptima y si no lo es cusca otra solución
factible y así sucesivamente.
Para iniciar el método se elige el origen (todas las variables de decisión iguales a cero) y luego se
escoge soluciones adyacentes a este punto. Este método sigue una trayectoria a lo largo de las
aristas de la figura de la región factible. Para conocer su trayectoria el método evalúa en cuanto cada
potencial solución mejora y función objetivo (Z) y opta moverse por aquella que tiene una mejor tasa
de mejoramiento.
El método inicia convirtiendo la desigualdad que tenemos en el sistema de ecuaciones cambiando
por restricciones de igualdad equivalentes. Para lograr esto se recurre a las variables de holgura.
Para la simplificación de la idea original, se desarrolló una variante del método Método Simplex
revisado que se acomoda al procesamiento por medio de la computadora. Esta variante utiliza
operaciones con matrices.
La tarea importante de la metodología Simplex es la obtención de las variables de holgura y los
denominados precios sombra. La aplicación del método Simplex permite tareas futuras de post-
optimalidad con los análisis de sensibilidad y programación lineal paramétrica. Todo se ve facilitado
por los programas de computación existentes en el mercado los cuales facilitan la tarea.
Método de las dos fases
Este método se aplica cuando existen restricciones de tipo mayor o igual. El tratamiento de las
restricciones para convertir las desigualdades en igualdades es este caso es el siguiente. Sea
Lo podremos transformar en
Donde YK será una nueva variable denominada variable de holgura.
Si introdujésemos esto en la tabla simplex, nos daría lugar a una base inicial no factible, por lo que
para poder resolver el problema, tendremos que aplicar una técnica diferente. Esta técnica es la del
método de las dos fases .
El método de las dos fases va a realizar un tratamiento de nuestro problema, para que sea posible
aplica el método simplex.

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Para poder crear una base factible inicial que nos permita aplicar el método simplex, al transformar
las desigualdades de tipo mayor o igual en igualdades, introducimos una variable ficticia, que nos
dará lugar a una base canónica.
De acuerdo a la publicación del Instituto Tecnológico Superior de El Mante, los pasos a seguir en el
Método Simplex son:
1. Cambiar las desigualdades a ecuaciones.
2. Agregar variables de holgura a las restricciones (S1, S2).
3. Agregar variable de holgura faltante.
4. Construir la tabla simplex.
5. Agregar las columnas Cj y Cj-Zj.
6. Analizar el renglón Cj-Zj. Si existen números positivos se realizará otra tabla simplex.
7. Determinar que variable X1, X2, X3… Xn sale o que entra.
8. Determinar si sale S1 o S2.
S1= S2=
9. Determinar Nuevo renglón X1, X2.
Nuevo renglón=
10. Determinar valores de nuevo renglón S1, S2.
 Restarle cada uno de los valores del renglón.


Variantes de las aplicaciones del método simplex
Degeneración:
Al aplicar la condición de factibilidad del método simplex, se puede presentar un empate por la
relación mínima, el cual puede romperse arbitrariamente. Cuando esto sucede, al menos una
variable básica será cero en la siguiente iteración, y se dice que la nueva solución está degenerada.
La degeneración puede hacer que las iteraciones simplex ocurran de forma indefinida en ciclos, y
que el algoritmo nunca se termine. La condición también revela que el modelo tiene por lo menos
una restricción redundante
El siguiente ejemplo explica los impactos prácticos y teóricos de la degeneración.
Utilizando las variables de holgura x3 y x4, las tablas de solución son:
En la iteración 0, x3 y x4 empatan como la variable de salida, lo que provoca degeneración en la
iteración 1 porque la variable x4 asume un valor cero. El óptimo se alcanza en una iteración más.

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Gráficamente la solución sería:
Comentarios
1. ¿Cuál es la implicación práctica de la degeneración? Al examinar la solución gráfica se ve
que pasan tres líneas por el punto óptimo (x1=0, x2=2). Como éste es un problema
bidimensional, el punto está sobredeterminado, y una de las restricciones es redundante. En
la práctica, el simple conocimiento de que algunos recursos son superfluos puede ser valioso
durante la fase de implementación de la solución. La información también permite descubrir
irregularidades en la construcción del modelo.
2. Desde el punto de vista teórico, la degeneración puede provocar ciclado. En las iteraciones
simplex 1 y 2, el valor objetivo no mejora (z=180), y por lo tanto es posible que el método
simplex entre en una secuencia repetida de iteraciones que nunca mejoraran el el valor
objetivo ni satisfacen la condición de optimalidad. Aunque haya método para elimina el
ciclado, éstos reducen drásticamente los cálculos.
3. Aun cuando quizá un modelo de PL, no se inicie con restricciones redundantes (en el sentido
directo que se muestra en la figura), el error de redondeo provocado por la computadora en
realidad puede crear condiciones parecidas a la degeneración durante el curso del proceso
de solución de una programación lineal de la vida real. En esos casos las iteraciones se
“detendrán” e un punto de solución, como si imitaran un ciclado. Los códigos comerciales

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tratan de aligerar el problema al perturbar periódicamente los valores de las variables
básicas.
Óptimos alternativos
Un problema de Programación Lineal puede tener una cantidad infinita de óptimos alternativos
cuando la función objetivo es paralela a una restricción obligatoria no redundante (es decir, una
restricción que se satisface como una ecuación en la solución óptima. El siguiente ejemplo
demuestra la importancia práctica de tales soluciones.
La figura que se muestra a continuación demuestra cómo pueden surgir óptimos alternativos en el
modelo de Programación Lineal cuando la función objetivo es paralela a una restricción obligatoria.
Cualquier punto sobre el segmento de línea BC representa un óptimo alternativo con el mismo valor
objetivo z=10
Las iteraciones del modelo se observan en la siguiente tabla.

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La iteración 1 proporciona la solución óptima x1=0, x2= 5/2 y z=10 (punto B de la figura) la existencia
de un óptimo alternativo puede detectarse en la tabla óptima examinando los coeficientes de las
variables no básicas de la ecuación z. El coeficiente cero de la x1 no básica indica que x1 puede
hacerse básica, modificando los valores de las variable básicas sin cambiar el valor de z. la iteración
2 hace justo eso, aplicando x1 y x4 como las variables de entrada y de salida, respetivamente. El
nuevo punto de solución ocurre en C (x1=3, x2=1, z=10).
El método simplex determina sólo puntos de esquina óptimos; es decir, los puntos B y C en el
presente ejemplo. Se puede determinar de manera matemática todos los puntos (x1, x2) sobre el
segmento de línea BC como un promedio ponderado no negativo de los puntos B (x1=0, x2=5/2)
C(X1=3, x2=1), de lo que se concluye
Comentarios. En la práctica, los óptimos alternativos son útiles porque podemos elegir de entre
muchas soluciones sin que se deteriore el valor objetivo. Digamos que en este ejemplo la solución
B muestra que la actividad 2 sólo está en un nivel positivo; en cambio, en C ambas actividades están
en un nivel positivo. Si el ejemplo representa una situación de combinación de productos, puede ser
ventajoso comercializar dos productos en lugar de uno.
Solución no acotada
En algunos modelos de programación lineal, el espacio de soluciones es no acotado en por lo menos
la variable, es decir que las variable pueden incrementarse de forma indefinida sin violar ninguna de
las restricciones. En este caso el valor objetivo asociado también puede ser no acotado.
Un espacio de soluciones o acotado casi siempre indica que el modelo está mal construido. La
irregularidad más probable en tales modelos es que no se han tomado en cuenta algunas
restricciones clave. Otra posibilidad es que las estimaciones de los coeficientes de las restricciones
quizá no sean precisas.
Iteración de inicio

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En la tabla de inicio, tanto x1 como x2 tienen coeficientes negativos en la ecuación z, lo que significa
que al incrementarse sus valores también lo hará el valor objetivo. Aunque x1 debe ser la variable
de entrada (tiene el coeficiente z más negativo), se observa que todos los coeficientes de restricción
bajo x2 son <= 0; lo que significa que x2 puede incrementarse indefinidamente sin violar ninguna de
las restricciones. El resultado es que z puede incrementarse indefinidamente. En la figura que se
muestra a continuación se observa el espacio de soluciones no acotado y también que x2 y z pueden
incrementarse indefinidamente.
Comentarios. Si se hubiera seleccionado x1 como la variable de entrada en la iteración de inicio
(conforme a la condición de optimalidad), a fin de cuentas, una iteración posterior habría producido
una variable de entra con las mismas propiedades de x2.
Solución no factible
Los modelos de Programación Lineal con restricciones inconsistentes no tienen una solución factible.
Esta situación no ocurre si todas las restricciones son del tipo <= con lados derechos no negativos
porque las holguras proporcionan un solución factible obvia. Para otros tipos de restricciones, se
utilizan variables artificiales penalizadas para iniciar la solución. Si al menos una variable artificial es
positiva en la iteración óptima, entonces la Programación Lineal no tiene una solución factible. Desde
el punto de vista práctico, un espacio no factible apunta hacia la posibilidad de que el modelo se
formuló de manera incorrecta.
Gráficamente se obtendría:

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Sujeto a
Aplicando la penalización M=100 para la variable artificial R, la siguiente tabla proporciona la
iteración simplex del modelo
La iteración óptima 1 muestra que la variable artificial R es positiva (=4), es decir que la Programación
Lineal es no factible. En la representación gráfica se ilustra el espacio de soluciones no factibles. Al
permitir que la variable artificial sea positiva, el método simplex de hecho ha invertido la dirección de
la desigualdad de 3x1+4x2>=12 a 3x1+4x2<=12. El resultado es lo que se puede llamar una solución
seudo óptima.

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CONCLUSION
Una vez finalizado el trabajo de investigación, se puede concluir, que los modelos matemáticos son
potentes herramientas las cuales a través del modelaje, aplicación de técnicas y métodos logran
determinar las soluciones más optimas a los problemas de las organizaciones.
En la investigación se pudo revisar distintos modelos matemáticos entre los que destacan
Programación lineal y no lineal, particularmente se abordó lo referente a la primera de ellas y se
evidenció que a partir de loa formulación de problemas mediante a programación lineal se pueden
encontrar soluciones óptimas la cuales posteriormente pueden ser validadas a través de métodos y
técnicas matemáticas.
Se planteó el Método Simplex, a través del cual se facilita la formulación del modelo considerando
las variables que intervienen en el problema y las restricciones que determine la empresa para la
administración de los recursos de los que dispone a fin de obtener los mejores beneficios.
Vimos además que luego de formular el problema, es posible aplicar variantes del método Simplex
que en algunos casos nos permiten reducir los procesos de cálculos que dependiendo de la cantidad
de variables y restricciones pueden llegar a ser complejos. Las variantes estudiadas (Degeneración,
óptimos alternativos, solución no acotada y solución no factible) poseen características propias de
acuerdo a los resultados que generan.
En varios de las textos consultados se plantea que éstos resultados que arrojan los modelos
matemáticos constituyen la base para la aplicación de otros métodos que validan los resultados
obtenidos pero que además determinan el grado de incidencia que tiene cada variable en la función
objetivo que desea alcanzar la organización.

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BIBIOGRAFÍA
Hamdy a Taha. Investigación de Operaciones. Novena Edicion. Pearson. Mexico 2012
Universidad Nacional Mar del Plata. Argentina. Facultad de Ciencias Económicas y Sociales.
Investigación de Operaciones en Administración.. Edición 2009
Narro Ramirez Ana Elena. Aplicación de algunos modelos matemáticos a la toma de decisiones.
Universidad Autónoma Metropolitana Xochimilco.México.1996
Lopez Daniel, Investigación de operaciones I. Instituto Tecnológico Superior del l Mante. Mexico.