Modelado y Aplicaciones de Inductores Integrados en Tecnologías de Silicio

Modelado y Aplicaciones de Inductores Integrados
en Tecnologías de Silicio

Instituto Universitario de Universidad de Las Palmas de
Microelectrónica Aplicada Gran Canaria
www.iuma.ulpgc.es www.ulpgc.es

Autor: Francisco Javier del Pino Suárez
Directores: Dr. D. Antonio Hernández Ballester
Dr. D. José Ramón Sendra Sendra

Modelado y Aplicaciones de Inductores Integrados en Tecnologías de Silicio

Índice

 1. Introducción
2. Modelado
3. Experimentos
4. Modelo modificado
5. Modelo paramétrico
6. Herramientas desarrolladas
7. Ejemplo: LNA
8. Conclusiones y líneas abiertas

Modelado y Aplicaciones de Inductores Integrados en

Introducción
 Multitud de estándares para comunicaciones inalámbricas
 Se tiende hacia un único terminal que soporte todos los estándares

LMDS
UMTS
Global GSM
Bluetooth
Satélite
Suburbano
Urbano Edificios

Terminales


Introducción
 Las tecnologías de Silicio (CMOS, BiCMOS,...) son aptas para RF

200 2.0
3.5
180 1.8
3.0
160 1.6

Vcc analógica (V)
Tecnología (nm)

140 1.4 2.5

Vcc digital (V)
120 1.2
2.0
100 1.0

80 0.8 1.5

60 0.6 1.0
40 0.4
0.5
20 0.2

0 0.0 0.0
1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014

Año Año Año
160
180 1.6

160 140
1.4
140 120
1.2
120
100
ft (GHz)
fmax (GHz)

1.0

NF (dB)
100
80 0.8
80
60 0.6
60
40 0.4
40

20 20 0.2

0 0 0.0
2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014

Año Año Año

Problema: integración de los dispositivos pasivos → Inductores


Introducción
 Inductores integrados:
• Bondwires

L ≈ 1nH/mm

Poco Reproducible

Se desperdician patillas

PA D

P IN


Introducción
 Inductores integrados:
• Inductores espirales integrados

s r
w

a
s
w

r

SiO2
Capa epitaxial n

Sustrato p


Introducción
 Los inductores se caracterizan por:

• Inductancia → L
Im(Y11 )
• Factor de Calidad → Q=−
Re(Y11 )

5 6,0
• Los Inductores integrados
5,8
sobre Silicio presentan
4
5,5 Factores de Calidad bajos
Factor de Calidad

Inductancia (nH)
3 5,3

5,0
• Esto se debe a:
2
 Pérdidas resistivas en
4,8
los metales
4,5  Pérdidas en el
1
4,3 sustrato
0 4,0
1
Frecuencia (GHz)


Introducción
 Fenómenos físicos


Introducción
Ls


Introducción
Ls Rs


Introducción
Cp

Ls Rs


Introducción
Cp

Ls Rs

C o x1 C o x2

C sub1 R sub1 C sub2 R sub2


Introducción
 Modelo convencional

Cp

Ls Rs

C o x1 C o x2

C sub1 Rsub1 C sub2 Rsub2


Introducción
 Otros fenómenos físicos:
• Efecto pelicular

r I
⊗ • La corriente se distribuye uniformemente por
f↓ toda la sección del conductor

• La corriente tiende a circular cerca de los
δ
bordes del conductor
r
⊗
I • Aumenta la resistencia
f↑ • Profundidad de penetración: espesor
equivalente de un conductor hueco que tiene
la misma resistencia a una frecuencia
determinada
2
δ=
µ ⋅σ ⋅ω


• Corrientes de torbellino en las pistas interiores

Bprincipal
Btorbellino Btorbellino

I I

Itorbellino

I↑ en el interior
Distribución no uniforme de la corriente R↑ en las vueltas
I↓ en el exterior interiores


• Corrientes de torbellino en el sustrato

B (t)

• -I
⊗ I

Ó x id o

p+Si

⊗ ⊗ • •

Is u b s - Is u b s

Aumentan las pérdidas asociadas al sustrato


Introducción
 Líneas de investigación:

• Modelos
[H.M. Greenhouse][T.H. Lee et al.][A.M. Niknejad, R.G. Meyer]

• Mejora de las prestaciones de los inductores integrados sobre Silicio
 Modificar el proceso (post-procesado)
[A.A. Abidi et al.]
 Modificar el layout (punto de vista del diseñador)
[J.N. Burghartz et al ] [K.B. Ashby et al.] [L.E. Larson et al.]

• Estudio de otros fenómenos físicos que intervienen
 Efecto pelicular
[E. Pettenpaul et al.]
 Corrientes de torbellino en las pistas de metal y en el sustrato
[J. Craninckx, M. Steyaert, et al.] [J.M. Lopez-Villegas et al.]


Índice

1. Introducción
 2. Modelado
3. Experimentos
7. Ejemplo: LNA


Modelado
 Método convencional de extracción de parámetros

Cp

Ls Rs

C o x1 C o x2



Modelado
1. Medida de los parámetros S

S S12 
S med =  11
 S 21 S 22 



Modelado
2. Eliminación de los elementos parásitos que aparecen en la estructura de medida (de-
embedding) → Método de desacoplo de medidas en cuatro pasos

S S12 
S med =  11
 S 21 S 22 


S S12 
S =  11
 S 21 S 22 



Modelado
3. Transformación de los parámetros S en parámetros Y

S S12 
S med =  11
 S 21 S 22 


S S12 
S =  11
 S 21 S 22 


Y Y 
Y =  11 12 
Y21 Y22 


Modelado
4. Determinación de las admitancias de las diferentes ramas del modelo

YL
Cp

Ls Rs

YL = −Y12 = −Y21
C o x1 C o x2
YSUB1 = Y11 + Y12
YSUB1 YSUB 2
YSUB 2 = Y22 + Y21


Modelado
5. Extraer los valores de los elementos circuitales del modelo mediante un proceso de
ajuste aplicado a las admitancias YL, YSUB1, YSUB2

∑ YL (ωi ) − YL' ( L, Rs, Cp, ωi )
2

→ L, Rs, Cp
i

∑ YSUB1 (ωi ) − YL' (Cox1 , Rsub1 , Csub1 , ωi )
2
→ Cox1, Rsub1, Csub1
i

∑ YSUB 2 (ωi ) − YL' (Cox 2 , Rsub 2 , Csub 2 ,ωi )
2
→ Cox2, Rsub2, Csub2
i


Índice

1. Introducción
2. Modelado
 3. Experimentos
7. Ejemplo: LNA


Experimentos
 Experimentos
• Estudios previos
• Librería
• Otras pruebas:
 Inductores con distinto número de lados
 Estudio de la distribución de vías
 Estructuras para el aumento de la inductancia
 Efecto de las corrientes de torbellino


Experimentos
 Estudios previos:
• Evaluar la influencia de los parámetros geométricos en las prestaciones de los
inductores
• ASITIC
• Partimos de una bobina base (r=150µm, n=3.5, w=10µm, s=10µm) y variamos...


Experimentos
inductores
• ASITIC

w↑ s↓ con w+s=cte
7

6 bob4
Factor de calidad

5 bob3
bob2
4

3
bob1
L≈cte
bob6
2 bob7
1 bob8

0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Frecuencia(GHz)


Experimentos
inductores
• ASITIC

w↑
7

6 bob21
bob20
Factor de calidad

5
bob19
4 bob1
L↓
3 bob15
bob16
2
bob17
1 bob18
0
0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5
Frecuencia(GHz)


Experimentos
inductores
• ASITIC

s↑
5
bob25
4
Factor de calidad

bob24
3 bob23
bob22 L↓
2
bob1
1 bob26
0 bob27
0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 bob28
Frecuencia(GHz)


Experimentos
inductores
• ASITIC

r↓
7
6 bob36
bob35
5
Factor de calidad

4
bob34
L↓
bob33
3
bob1
2
bob29
1
bob30
0 bob31
0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5
bob32
Frecuencia(GHz)


Experimentos
inductores
• ASITIC

n↓
8
7 bob10
6 bob9
Factor de calidad

5 bob1
4 bob11 L↓
3 bob12
2 bob13
1
0
0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5

Frecuencia(GHz)


Experimentos
• ASITIC no modela correctamente el efecto pelicular

1,6

1,5
Resistencia Normalizada

1,4

1,3

1,2

1,1

1,0

0,9
1 10
Frecuencia (GHz)


Experimentos
 Librería:
• Objetivo: Librería de inductores en la tecnología BiCMOS de SiGe AMS BYR 0.8

 L = 0.5nH ↔ 5nH
10x5=50 inductores
 f = 0.85GHz, 1.5GHz, 1.8GHz, 2.4GHz y 5.6GHz

• Características comunes en base a los estudios previos

 Nº de lados = 20 (circular)
 Pistas formadas por los metales disponibles unidos por una vía que recorre toda
la espiral
 n = semientero
 s = 1.8 µm (mínimo)


Experimentos
 Librería:
• Procedimiento:
1. Simulaciones con ASITIC (20000 bobinas) (IUMA)
 r = 50 ↔300 µm
 n = 1.5 ↔5.5
 w = 5 ↔50 µm
2. Elección de las estructuras a diseñar (72 bobinas) (IUMA)
3. Diseño (IUMA)
4. Fabricación (AMS)
5. Medida (TECNUN)
6. Caracterización (IUMA)


Experimentos
 Librería:
• Librería final:
 55 bobinas
o 13 inductores con L = 0.5 ↔ 6 nH @ 0.86 GHz

 Factores de calidad mejores que en las librerías existentes
 En algunos casos los inductores con w↑ presentaron Q mejores que los de w ↓ → Efecto
pelicular despreciable

 [Integrated Inductors Library Development for the BYR AMS process]


Experimentos
 Otras pruebas:
• Inductores con distinto número de lados:

9
8
7

Factor de Calidad
6
5
4
4 lados
3
2
1
0
1 10
Frecuencia (GHz)


Experimentos
 Otras pruebas:

9
8
7

Factor de Calidad
6
5
4
8 lados
3 4 lados
2
1
0
1 10
Frecuencia (GHz)


Experimentos
 Otras pruebas:

9
8
7

Factor de Calidad
6
5
4
12 lados
3 8 lados
2 4 lados

1
0
1 10
Frecuencia (GHz)


Experimentos
 Otras pruebas:

9
8
7

Factor de Calidad
6
5
4
20 lados
3 12 lados
2 8 lados
4 lados
1
0
1 10
Frecuencia (GHz)


Experimentos
 Otras pruebas:
• Estudio de la distribución de vías:

8

7

6

Factor de Calidad
5

4

3

2

1
principio y final
0
1 10
Frecuencia (GHz)


Experimentos
 Otras pruebas:

8

7

6

Factor de Calidad
5

4

3

2

1 distribuidas
principio y final
0
1 10
Frecuencia (GHz)


Experimentos
 Otras pruebas:

8

7

6

Factor de Calidad
5

4

3

2
una vía
1 distribuidas
principio y final
0
1 10
Frecuencia (GHz)

 [Effect of the Vias Geometry on the Q Factor of Integrated Shunted Inductors -
Microwave Engineering Junio 2002]


Experimentos
 Otras pruebas:
• Estructuras para el aumento de la inductancia:
 Objetivo: aumentar la L sin que se degrade demasiado el Q
 Procedimiento: compartir el flujo magnético mediante estructuras serie

6 Qbobi6
14 Lbobi6
5
12
4

Factor de calidad
10
Inductancia (nH)

3
8
2
6
1
4
0

2
-1

0 1 10
1 10
Frecuencia (GHz)
Frecuencia (GHz)


Experimentos
 Otras pruebas:

6 Qbobi6
14 Lbobi6
Qbobi10
Lbobi10 5
12
4

Factor de calidad
10
Inductancia (nH)

3
8
2
6
1
4
0

2
-1

0 1 10
1 10
Frecuencia (GHz)
Frecuencia (GHz)


Experimentos
 Otras pruebas:

6 Qbobi6
14 Lbobi6
Qbobi10
Lbobi10 5
12 Qbobi9
Lbobi9
4

Factor de calidad
10
Inductancia (nH)

3
8
2
6
1
4
0

2
-1

0 1 10
1 10
Frecuencia (GHz)
Frecuencia (GHz)


Experimentos
 Otras pruebas:

20
Lbobi7 Qbobi7
18
3
16

14
Inductancia (nH)

Factor de calidad
12
2
10

8

6
1
4

2

0 0
1 10 1 10
Frecuencia (GHz) Frecuencia (GHz)


Experimentos
 Otras pruebas:

20
Lbobi7 Qbobi7
18
Lbobi8 3 Qbobi8
16

14
Inductancia (nH)

Factor de calidad
12
2
10

8

6
1
4

2

0 0
1 10 1 10


Experimentos
 Otras pruebas:
• Efecto de las corrientes de torbellino:
 Experimento:
o rint = 15, 30, 45, 60 y 75 µm
o n = 2.5, 3.5 y 4.5
o w = 10, 15 y 20 µm


Experimentos
 Otras pruebas:
 Seleccionamos las siguientes:


Experimentos
 Otras pruebas:
 Conclusiones:
o El agujero central no influye de manera decisiva en las prestaciones del inductor
o El sustrato juega un papel más importante que las corrientes de torbellino

0.01 Re(YL)
Re(YL) & Re(YSUB1)

Re(YSUB1)

1E-3

1E-4

1 10

Frecuencia (GHz)

 [Layout Constrains for RF Integrated Inductors on Silicon - enviado DCIS 2002]


Índice

1. Introducción
2. Modelado
3. Experimentos
 4. Modelo modificado
7. Ejemplo: LNA


Modelo Modificado
 Surge de la interpretación matemática del modelo
 El modelo convencional predice de forma correcta el funcionamiento de las
ramas de tierra

1
YSUB1 =
1 1
+
jωCox jωC + 1
sub
Rsub


Modelo Modificado
 Surge de la interpretación matemática del modelo
 El modelo convencional predice de forma correcta el funcionamiento de las
ramas de tierra

3,0m
3,0m

2,5m
Real(YSUB1)

Imag(YSUB1)
2,0m 2,5m

1,5m
2,0m
1,0m

500,0µ 1,5m
1 10
Frecuencia (GHz)


Modelo Modificado
 El modelo convencional no predice de forma correcta el funcionamiento de la
rama principal

1
YL = + jωCp
jωLs + Rs


Modelo Modificado
rama principal

0,00

10m

-0,02
Imag(YL)

Real(YL)
-0,04
1m

-0,06

1 10
100µ
1G
1 10G
10
Frecuencia (GHz)
Frecuencia (GHz)

ωLs Rs
Im{YL } = − + ωCp Re{YL } =
Rs 2 + ω 2 Ls 2 Rs 2 + ω 2 Ls 2


Modelo Modificado
rama principal

0,00

10m

-0,02
Imag(YL)

Real(YL)
-0,04
1m

-0,06

1 10
100µ
1 10
Frecuencia (GHz)
Frecuencia (GHz)

ωLs Rs ω 2Cp 2 Rp
Im{YL } = − 2 + ωCp Re{YL } = 2 +
Rs + ω 2 Ls 2 Rs + ω 2 Ls 2 1 + ω 2Cp 2 Rp 2


Modelo Modificado
 Modelo modificado

Cp Rp

Ls Rs

C o x1 C o x2



Modelo Modificado
 Interpretación física
Cp Rp

Ls Rs

C o x1 C o x2



Modelo Modificado
l ⋅t nu w2
Cpt = t m ε ox Cpu = ε ox
s toxM

 nu w2 lt ⋅ t m 
Cp = [ Cpu // Cpt ] = 
t + ε ox
 oxM s  


Modelo Modificado
1 1
Rpt = ρc Rpu = ρc
lt ⋅ t m nu ⋅ w 2

• Rp se comporta como
una resistencia de
 1  contacto
Rp = [ Rpu // Rpt ] = 
 n ⋅ w2 + l ⋅ t  ρc
 ∀ ρc: resistividad de
 u t m 
contacto


Modelo Modificado

 n ⋅ w 2 ⋅ s + l ⋅ t ⋅ t 2
  1  2
Cp Rp = 
2

u t m oxM 1− M 2
 
  l ⋅ t + n ⋅ w 2  ε ρ c

 toxM 1− M 2 ⋅ s   t m u 
 

8

7

6
Cp Rp (x10 ) (F·s)

5
-25

4

3
2

2

1

0
1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
3
Relación Geométrica (x10 )


Modelo Modificado
 Nueva metodología de caracterización
• Rama Principal
1 1
YL = +
Rs + jωLs Rp + 1
jωCp

{ }
Re YL ( LF ) =
Rs
+ ω( LF ) Cp 2 Rp
2

ω ( LF ) Ls
2 2

{ }
Re YL ( HF ) =
Rs
+ ω( HF ) Cp 2 Rp
2

ω ( HF ) Ls
2 2
Resolviendo
este sistema de Ls, Rs, Cp, Rp
{ }
Im YL ( LF ) = −
1
ω( LF ) Ls
+ ω ( LF )Cp ecuaciones

{ }
Im YL ( HF ) = −
1
ω( HF ) Ls
+ ω( HF )Cp

• Rama de Tierra (IDEM)


Modelo Modificado
 Nueva metodología de caracterización Medidas
Modelo Modificado

5.5 5

4
5.0

Factor de Calidad
Inductancia (nH)

3
4.5
2

4.0
1
• Coste computacional
reducido
3.5
1 10
0
1 10 • Buen ajuste
• Significado físico
25% 25%

20% 20%
|Error Relativo Q|
|Error Relativo L|

15% 15%

10% 10%

5% 5%

0% 0%
1 10 1 10

 [Integrated Inductors Modeling and Tools for Automatic Selection and Layout Generation
- ISQED 2002]


Índice

1. Introducción
2. Modelado
3. Experimentos
 5. Modelo paramétrico
7. Ejemplo: LNA


Modelo Paramétrico
 Modelo de la inductancia Ls: µ0 ⋅ n2 ⋅ a 2
Ls = Ke ⋅ + Kt ⋅ l pista
(22 ⋅ r − 14 ⋅ a )

L p is ta/ 2

6

5

a 4
s
w

Ls (nH)
L p rin c ip al 3

r 2

1

0
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
Longitud total (mm)

L p is ta/2


Modelo Paramétrico
 Modelo de la resistencia serie Rs :

f↓
l l
Rs = = R
Y
w ⋅σ ⋅ t w
w

f↑ t t
+ sin
sh
l δ δ
Rs =
l

2σ wδ ch t − cos t
X
δ δ
t Z
2
δ=
µ σω

Mejores resultados con:

t
δ 1D = 3 δ
w


Modelo Paramétrico

w/t=2
1.4

1.3

 Medidas [Waldow & Wolff]
1.2  Modelo [Pettenpaul et al.]
— Modelo Porpuesto
1.1
5%

1.0

0.9
1 10
Frecuencia (GHz)


Modelo Paramétrico

w/t=4
1.5

1.4

1.3
 Modelo [Pettenpaul et al.]
1.2 — Modelo Porpuesto

1.1
5%
1.0

0.9
1 10
Frecuencia (GHz)


Modelo Paramétrico

w/t=6
1.6

1.5

1.4  Medidas [Waldow & Wolff]
 Modelo [Pettenpaul et al.]
1.3
— Modelo Porpuesto
1.2

1.1
5%
1.0

0.9
1 10
Frecuencia (GHz)


Modelo Paramétrico

w/t=12
1.7

1.6

1.5

1.4  Modelo [Pettenpaul et al.]
1.3 — Modelo Porpuesto
1.2

1.1
5%
1.0

0.9
1 10
Frecuencia (GHz)

• Conclusión 1: modelo válido para efecto pelicular débil y moderado
• Conclusión 2: para nuestro caso se puede despreciar el efecto pelicular
o El aumento de Rs debido al efecto pelicular es de menos del 5% para f≈3GHz
o A esa frecuencia el sustrato influye más que la rama principal


Modelo Paramétrico
nu ⋅ w2 ⋅ s + lt ⋅ t m ⋅ tox M 1− M 2
 Modelo de la capacidad Cp: Cp = Cpu Cpt = ⋅ε
tox M 1− M 2 ⋅ s

200

180

160

140

120
Cpmedido (fF)

100

80

60

40

20

0
2,5m 3,0m 3,5m 4,0m 4,5m 5,0m
Cpcalculado/ε

F
ε = 3.22 ⋅10 −11  
m


Modelo Paramétrico
1
 Modelo de la resistencia Rp: Rp = Rpu Rpt = ⋅ ρc
lt ⋅ t m + nu ⋅ w 2

100

90

80

70

60
Rpmedido (Ω )

50

40

30

20

10

0
120M 140M 160M 180M 200M 220M 240M 260M
Rpcalculado/ρ c

ρ c = 2 ⋅10 −7 ( Ω ⋅ m 2 )


Modelo Paramétrico
ε
 Modelo de la capacidad Cox: COX = w ⋅ l ⋅
tox

1.4 1.4

1.2 1.2

1.0 1.0

COX2 (pF)
COX1 (pF)

0.8 0.8

0.6 0.6

0.4 0.4

0.2 0.2
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
1x10 2x10 3x10 4x10 5x10 6x10 7x10 8x10 1x10 2x10 3x10 4x10 5x10 6x10 7x10 8x10

Área (µm) Área (µ m)


Modelo Paramétrico
 Modelo de la resistencia RSUB y la capacidad CSUB:

t A
RSUB = ρ SUB C SUB = ε 0 ⋅ ε Si
A t
Los parámetros ρSUB (resistividad del sustrato) y t (profundidad del sustrato) los extraemos de
forma indirecta a partir de la “frecuencia de resonancia del sustrato”

140
600

120
500
100

400

CSUB1 (fF)
RSUB1 (Ω )

80

300 60

40
200

20
100
0
1x10
4 4
2x10
4
3x10
4
4x10
4
5x10 6x10
4 4
7x10 8x10
4 0 1x10
4
2x10
4
3x10
4
4x10
4 4
5x10 6x10
4 4
7x10
4
8x10

Área (µm) Área (µ m)


Modelo Paramétrico
 Resultados Measurements
Parametric Model
5.5 5

4
5.0

Factor de calidad
Inductancia (nH)

3
4.5
2

4.0
1

3.5 0
1 10 1 10 • Error en L ↓
• Error en Q ↓
• Error en f para Qmax ↓
25% 25%

20% 20%
|Error Relativo Q|
|Error Relativo L|

15% 15%

10% 10%

5% 5%

0% 0%
1 10 1 10


Modelo Paramétrico
 Algoritmo para diseñar inductancias con Q alta

40

35

30

25

Anchura (um)
20

15

10

5

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
Numero de vueltas

L = 3.8 nH
f = 1.8 GHz


Índice

1. Introducción
2. Modelado
3. Experimentos
 6. Herramientas desarrolladas
7. Ejemplo: LNA


Herramientas Desarrolladas
 ¿Qué es lo que necesita un diseñador?
• Una herramienta que le ayude a seleccionar el inductor
• Una herramienta que genere el layout de forma automática
• Simulaciones pre- y post-layout correctas
 ¿Qué es lo que normalmente tiene?
• Listado de inductores caracterizados a una frecuencia determinada


 Modelos en banda estrecha Measurements
Narrow Model

8 7

7 6
2.4GHz
5
6

Factor de Calidad
Inductancia (nH)

4
5
3
4
2
 Valido para una
3 1 frecuencia concreta
2 0  El error aumenta a
1 10 1 10
medida que nos
alejamos de esa
frecuencia
25% 25%

20% 20%
|Error Relativo Q|
|Error Relativo L|

15% 15%

10% 10%

5% 5%

0% 0%
1 10 1 10


 Modelos en banda ancha Measurement
Wide Band Constant Model

4.0 8
7
3.5 6
5

Factor de Calidad
Inductancia (nH)

3.0 4

3
2.5 2
 Válido para un amplio
1
rango de frecuencias
 Permite la utilización
2.0 0
1 10 1 10 de inductores a unas
frecuencias distintas a
las que fueron
diseñadas
25% 25%

20% 20%
|Error Relativo Q|
|Error Relativo L|

15% 15%

10% 10%

5% 5%

0% 0%
1 10 1 10


 Modelos en banda ancha: modelo modificado

Cp Rp

-2
10
Ls Rs

-Real(y12)
C o x1 C o x2

-3
10

C sub1 R sub1 C sub2 Rsub2

-4
10
1GHz 10GHz

Frequency


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