EPIA

1. Ing.Agricola
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN
CRISTÓBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS
ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE
INGENIERÍA AGRICOLA
ANÁLISIS MATEMÁTICO II MA-242
SERIES Y SUCESIONES
DOCENTE : Lic. Máximo Ángel Guillén Maldonado
ALUMNOS : xxxxxxxx
WWWWWWW
YYYYYYY
AYACUCHO
xxx 1 MA-242

2. Ing.Agricola
2016
AGRICOLA 2 MA-241

3. ANÁLISIS MATEMÁTICO
Sucesiones y series
16 de octubre de 2016

4. Ing.Agricola
AGRICOLA 2 MA-241

5. Índice general
1. SUCESIONES 5
1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Tabla en LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Practica 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Propiedades de Limites de Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.1. Teorema de la Media Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.2. Teorema de la Media Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.3. Teorema del encaje para sucesiones . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.4. Criterio de la razón para la convergencia de sucesiones . . . 10
1.6. Sucesiones Divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7. Sucesiones Monótonas y acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8. Sucesión de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9. Criterio de Stole-Cesaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.10. Función Gamma (Γ(x)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.11. Teorema de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. SERIES INFINITAS 15
3

6. Ing.Agricola ÍNDICE GENERAL
2.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Series especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1. Series Armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2. Series Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3. Series Telescópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.4. Series Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Criterios de convergencia (Términos positivos) . . . . . . . . . . . 20
2.3.1. Teorema 1: Criterio de Convergencia de Comparación directa 20
2.3.2. Teorema 2: Criterio de Comparación por límite . . . . . . . 20
2.3.3. Teorema 3: Criterio de la Razón o Criterio de DÁlembert o
del cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.4. Teorema 4: Criterio de la Raíz o Criterio de Cauchy . . . . 21
2.3.5. Teorema 5: Criterio de la integral . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.6. Teorema 6: Criterio de RAABE . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Series de Potencias 23
3.1. Operaciones sobre las series potencias . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Series de Taylor y Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
AGRICOLA 4 MA-241

7. Capítulo 1
SUCESIONES
1.1. Definiciones
Definición 1.1 Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los
números entero positivos, cuyo rango es un conjunto arbitrario.
Trataremos solamente de sucesiones de números reales, es decir:
Consideremos una función S : (Z) → R, tal que, ∀n ∈ (Z), S(n) ∈ R, es un
elemento de la sucesión.
En vez de escribir S(n) escribiremos Sn y llamaremos n-ésimo término de la
sucesión.
√
b2 − 4ac
x2 + y2
dx
√
b2 − 4ac
x2 + y2
dx
√
b2 − 4ac
x2 + y2
dx
5

8. Ing.Agricola CAPÍTULO 1. SUCESIONES
Días Horas/Hombre Valor
Lunes 2 2000 estudiantes
Martes 2 8000 Participantes
Miercoles 2 6000 matriculados
Jueves 2 5000
Cuadro 1.1: Tabla 1
1.2. Tabla en LATEX
1.2.1. Ejemplo 1
p q p → q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
1.2.2. Ejemplo 2
Pais Carne Verduras
España 1390 980
Francia 1504 3020
Italia 2010 1040
1.3. Practica 2
utilizacion del comando table
Pais Carne Verduras
España 1390 980
Francia 1540 3020
Italia 2010 1040
Cuadro 1.2: Importaciones en millones de Euros de carne y verduras
AGRICOLA 6 MA-241

9. Ing.Agricola 1.3. PRACTICA 2
Podemos observar en la 1.2 las imoportaciones en millones de Euros de carne
y verduras en Francia España e Italia.
Definición 1.2 Una sucesión {Sn}n≥1, se dice que tiene límite L, si para todo
> 0, existe un número N > 0, tal que: |Sn − L| < , para todo n > N y
denotaremos por:
l´ımn→∝ Sn = L ⇔ ∀ > 0, ∃N > 0/n > N ⇒ |Sn − L| <
Derivada Parcial Respecto de la Variable x
En el gráfico observamos que en el Eje Y la varia-
ble y varía en el intervalo x ∈ [c, d]
En cambio en el Eje X. la sección transversal de
color verde no cambia, se mantiene estable en x0
Figura 1.1: Derivada Parcial respecto de x
Integrales Múltiples
−1
2
5
3
(2x2
− x)dxdy
Ecuación Diferencial Solución Explícita
dy = x.
√
y .dx y =
1
16
x4
d2
y
dx2
− 2
dy
dx
+ y = 0 y = C1ex
+ C2xex
xxx 7 MA-242

10. Ing.Agricola CAPÍTULO 1. SUCESIONES
Definición 1.3 Se dice que una sucesión es convergente cuando tiene límite, en
caso contrario la sucesión es divergente.
1.4. Propiedades de Limites de Sucesiones
Consideremos dos sucesiones convergentes {Sn}n≥1 y {Sn}n≥1 y k, una cons-
tante, entonces:
1. l´ımn→∝ k = k
2. l´ımn→∝ kSn = k l´ımn→∝ Sn
3. l´ımn→∝(Sn ± Sn) = l´ımn→∝ Sn ± l´ımn→∝ Sn
4. l´ımn→∝(Sn.Sn) = l´ımn→∝ Sn. l´ımn→∝ Sn
5. l´ımn→∝
Sn
Sn
= l´ımn→∝ Sn
l´ımn→∝ Sn
, si l´ımn→∝ Sn = 0
La demostración de estas propiedades es análoga, a la de los límites de funciones
reales, por lo tanto se deja para el lector.
Observación 1.1 Para hallar el límite de una sucesión {Sn}n≥1, se calcula el
límite del término n-ésimo de la sucesión Sn cuando n →∝, es decir:
l´ımn→∝ Sn = L
1.5. Teoremas
1.5.1. Teorema de la Media Aritmética
Teorema 1.1 Consideremos una sucesión {an}n≥1 convergente, si l´ımn→∝ an =
a, entonces:
l´ımn→∝
a1+a2+a3+...+an
n = a
Demostracion
AGRICOLA 8 MA-241

11. Ing.Agricola 1.5. TEOREMAS
Como l´ımn→∝ an = a ⇒ an = a + δn, donde: l´ımn→∝ δn = 0, por lo tanto, a la
suma expresamos así:
a1+a2+a3+...+an
n = a+δ1+a+δ2+a+δ3+...+a+δn
n = na
n +na
n +
δ1+δ2+δ3+...+δp
n +
δp+1+δp+2+δp+3+...+δn
n
Como la suma δ1 + δ2 + δ3 + ... + δp = k (constante) por ser suma finita, como:
|δi|i≤p < , entonces:
|δp+1 + δp+2 + ... + δn| < |δp+1|+|δp+1|+...+|δn| < M , por lo tanto su límite
de, a1+a2+a3+...+an
n , es:
l´ımn→∝
a1+a2+a3+...+an
n = a
1.5.2. Teorema de la Media Geométrica
Teorema 1.2 Consideremos una sucesión {an}n≥1 convergente, si l´ımn→∝ an =
a, entonces:
l´ımn→∝
n
√
a1 + a2 + a3 + ... + an = a
Demostracion
Como l´ımn→∝ an = a ⇒ ln(l´ımn→∝ an = ln(a), de donde:
l´ımn→∝(ln(an)) = ln(a), sea
un = n
√
a1 + a2 + a3 + ... + an ⇒ ln(un) = ln n
√
a1 + a2 + a3 + ... + an =
1
n(lna1 + lna2 + lna3 + ... + lnan).
Tomando limite cuando n →∝ y aplicando el teorema de la media geométrica
l´ımn→∝ ln(un) = l´ımn→∝
1
n(lna1 + lna2 + lna3 + ... + lnan
ln(l´ımn→∝ un) = l´ımn→∝
lna1+lna2+lna3+...+lnan
n = ln(l´ımn→∝
n
√
a1 + a2 + a3 + ... + an =
ln(a)
ln(l´ımn→∝ un) = ln(l´ımn→∝
n
√
a1 + a2 + a3 + ... + an = ln(a)
Levantando el logaritmo en ambos miembros:
l´ımn→∝
n
√
a1 + a2 + a3 + ... + an = a
xxx 9 MA-242

12. Ing.Agricola CAPÍTULO 1. SUCESIONES
1.5.3. Teorema del encaje para sucesiones
Teorema 1.3 Si ∀n ∈ Z, ∃N > 0, tal que: an ≤ cn ≤ bn, ∀n > N y si
l´ımn→∝ an = l´ımn→∝ an = L, entonces: l´ımn→∝ cn = L.
Demostracion
Por hipótesis tenemos: l´ımn→∝ an = L ⇔ ∀ > 0, ∃N1 > 0/n > N1 ⇒ |an − L| <
, es decir: L − < an < L + .... (1)
l´ımn→∝ bn = L ⇔ ∀ > 0, ∃N2 > 0/n > N2 ⇒ |bn − L| < ,
es decir: L − < an < L + .... (2)
Sea N = max {N1, N2}, entonces tenemos:
L − < an ≤ cn ≤ bn < L + , de (1), (2) e hipótesis.
Luego tenemos L − < cn < L + ⇒ |cn − L| < . Por lo tanto, dado >
0, ∃N = max {N1, N2}, tal que:
n > N ⇒ |cn − L| < , de donde: l´ımn→∝ cn = L.
1.5.4. Criterio de la razón para la convergencia de sucesiones
Teorema 1.4 Sea {an}n≥1 una sucesión de números reales.
Si l´ımn→∝
Sn−1
Sn
< 1, entonces: l´ımn→∝ Sn = 0, y por lo tanto. La sucesión
{Sn}n≥1, es convergente.
Demostracion
Por hipótesis tenemos: l´ımn→∝
Sn−1
Sn
< 1, sea r un número real, tal que:
l´ımn→∝
Sn−1
Sn
< r < 1 ⇒ ∃N > 0/ l´ımn→∝
Sn−1
Sn
< r, siempre que n > N
Sea p ∈ Z/p > N ⇒ Sn−1
Sn
< r ⇒ |Sp+1| < r |Sn|, de donde:
|Sp+2| < r |Sp+1| < r2
|Sp| , en general se tiene:
|Sp+k| < rk
|Sp|, de donde: −rk
|Sp| < Sp+k < rk
|Sp|,
AGRICOLA 10 MA-241

13. Ing.Agricola 1.6. SUCESIONES DIVERGENTES
como 0 < r < 1 ⇒ l´ımn→∝ rk
= 0.
Luego: l´ımn→∝ −rk
|Sp| = l´ımn→∝ rk
|Sp| = 0.
Tenemos: l´ımn→∝ Sp+k = 0, por lo tanto: l´ımn→∝ Sn = 0
1.6. Sucesiones Divergentes
Se ha dicho que una sucesión es divergente cuando no tiene límite, esto puede
ser, divergente a+ ∝; a− ∝ u oscilante.
Definición 1.4 Sea {Sn}n≥1, una sucesión, diremos que: Sn → + ∝, cuando
n →∝, si para todo M > 0, existe N > 0, tal que : Sn > M, ∀n > N.
Definición 1.5 Sea {Sn}n≥1, una sucesión, diremos que: Sn → − ∝, cuando
n →∝, si para todo M > 0, existe N > 0, tal que : Sn < −M, ∀n > N.
Definición 1.6 Si la sucesión {Sn}n≥1, diverge, pero no a − ∝ ni a + ∝ y
además toma valores positivos y negativos en forma alternada, diremos que la
sucesión:{an}n≥1 , es oscilante.
1.7. Sucesiones Monótonas y acotadas
Definición 1.7 Sea {Sn}n≥1, una sucesión, entonces:
i) Si : Sn ≤ Sn+1, ∀n > N ⇒ la sucesión {Sn}n≥1 es creciente.
ii) Sn+1 ≤ Sn, ∀n > N ⇒ la sucesión {Sn}n≥1 es decreciente.
A un sucesión que sea creciente o decreciente le llamaremos monótona.
Observación 1.2 .
* Si Sn ≤ Sn+1 ⇒ diremos que la sucesión es estrictamente creciente.
* Si Sn+1 ≤ Sn ⇒ diremos que la sucesión es estrictamente decreciente.
xxx 11 MA-242

14. Ing.Agricola CAPÍTULO 1. SUCESIONES
Definición 1.8 Al número A le llamaremos cota inferior de la sucesión {Sn}n≥1,
si A ≤ Sn, ∀n ∈ Z+
, y al número B llamaremos cota superior, si Sn ≤ B, ∀n ∈
Z+
Definición 1.9 Si A es cota inferior de {Sn}n≥1, y A ≥ C, para toda cota
inferior C de {Sn}n≥1; entonces A se le llama la máxima cota inferior de {Sn}n≥1.
Definición 1.10 La sucesión {Sn}n≥1, diremos que esta acotada, si y solo si,
tiene cota superior e inferior, es decir: |Sk| ≤ k, ∀n ∈ Z+
Teorema 1.5 Sea {Sn}n≥1, una sucesión, entonces:
i) Si {Sn}n≥1 es creciente y acotada superiormente, entonces {Sn}n≥1 es
convergente.
ii) Si {Sn}n≥1 es decreciente y acotada inferiormente, entonces {Sn}n≥1 es
convergente.
Demostracion
i) {Sn}n≥1, es acotada superiormente, por hipótesis α =mínima cota superior
de {Sn}n≥1, dado un número > 0, se tiene que α − , no es cota superior
de {Sn}n≥1 , pues α − < α y α es la mínima cota superior de la sucesión
como α no es cota superior, ∃ un número entero positivo N > 0, tal que:
α − < Sn, ∀n > N ........ (1)
Tenemos Sn < α, ∀n ∈ Z+
.......(2), α es la mínima cota superior.
Si Sn ≤ Sn+1, ∀n > N .......(3), ({Sn}n≥1 es creciente por hipótesis).
Luego Sn ≤ Sn, pero n > N.......(4)
De (1),(2),(3) y (4), se tiene que: α− < Sn ≤ Sn ≤ α < α+ , siempre que:
n > N ⇒ {Sn}n≥1, es convergente y su límite es la mínima cota superior.
ii) La demostración es similar que (i).
AGRICOLA 12 MA-241

15. Ing.Agricola 1.8. SUCESIÓN DE CAUCHY
Observación 1.3 El Teorema establece que toda sucesión monótona y acotada
es convergente.
1.8. Sucesión de Cauchy
Definición 1.11 Sea {Sn}n≥1, una sucesión, se dice que es una sucesión de
Cauchy, si para todo > 0, ∃N > 0/m > N, n > N, entonces |Sm − Sn| < .
1.9. Criterio de Stole-Cesaro
Teorema 1.6 Sea {an}n≥1 y {bn}n≥1, dos sucesiones tal que:
Si la sucesión {an}n≥1 es Creciente, y tiene límite superior (an →∝).
Si la sucesión {an}n≥1 es Decreciente, y tiene límite inferior (an → 0).
y si existe el límite igual a uno. Esto es:
l´ımn→∝
an
bn
= l´ımn→∝
an+1−an
bn+1−bn
= 1
1.10. Función Gamma (Γ(x))
Una de las funciones más importantes del Análisis Matemático es la función
Gamma, denotado por: Γ(x)), cuya regla de correspondencia es:
Γ(x) =
∝
0 tx−1
.e−t
dt, ∀x > 0
Se demuestra que esta función esta bien definida, es decir, que la integral impropia
que la define es Convergente, para todo x > 0.
Teorema 1.7 .
Γ(x + 1) = xΓ(x), ∀x > 0, Γ(1) = 1
xxx 13 MA-242

16. Ing.Agricola CAPÍTULO 1. SUCESIONES
Teorema 1.8 La función Gamma: Γ(x) =
∝
0 tx−1
.e−t
dt es convergente ∀x > 0.
Corolario 1.1 Γ(n) = (n − 1)!, si n = 1, 2, 3, 4, ...
Demostracion
Según el teorema Γ(x + 1) = xΓ(x), ∀x ∈ R, X > 0
Si Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1)
Γ(n − 1) = (n − 2)Γ(n − 2)
Γ(n − 2) = (n − 3)Γ(n − 3)
...
Γ(n) = (n − 1)(n − 2)(n − 3)...(1)
Γ(n) = (n − 1)!
Corolario 1.2 .
Γ(n + 1) = n! =
∝
0 tn+1−1
.e−t
dt =
∝
0 tn
.e−t
dt
1.11. Teorema de Stirling
Teorema 1.9 .
l´ımn→∝
n!
nn.e−n.
√
2Πn
= 1
O lo que es lo mismo:
n! = nn
.e−n
.
√
2Πn
Nota 1.1 Es decir para ”n”muygrande, el factorial de ”n” es equivalente a
nn
.e−n
.
√
2Πn
AGRICOLA 14 MA-241

17. Capítulo 2
SERIES INFINITAS
Definición 2.1 Sea {an}n≥1 una sucesión de números reales, entonces a la ex-
presión a1 + a2 + a3 + ... + an + ... se denomina serie infinita de números reales.
A una serie infinita: a1 + a2 + a3 + ... + an + ..., representaremos por:
∝
n=1 an = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
Donde: a1, a2, a3, ..., an, ..., se denomina (o llaman) términos de la serie y an
es llamado el n-ésimo término de la serie.
Ejemplo 2.1 La serie infinita: 1
2 + 2
3 + 3
4 + ... + n
n+1 + ..., es representado por:
∝
n=1
n
n+1 = 1
2 + 2
3 + 3
4 + ... + n
n+1 + ..
Ejemplo 2.2 La serie infinita: 1 + 1
3 + 1
5 + 1
7 + ..., es representado por:
∝
n=1
1
2n−1 = 1 + 1
3 + 1
5 + 1
7 + ...
Definición 2.2 Consideremos una serie infinita ∝
n=1 an y una sucesión de su-
mas parciales: {an}n≥1
Si el l´ımn→∝ Sn = S existe, entonces diremos que la serie infinita {an}n≥1 es
convergente y converge a S.
Si la serie infinita ∝
n=1 an, es convergente, se puede escribir así: ∝
n=1 an =
15

18. Ing.Agricola CAPÍTULO 2. SERIES INFINITAS
l´ımn→∝ Sn = S, al cual llamaremos suma de la serie infinita.
Si la serie infinita ∝
n=1 an es divergente, carece de suma.
Observación 2.1 Si l´ımn→∝ = S existe, entonces la sucesión de las sumas par-
ciales {Sn}n≥1 es convergente, esto es:
Una serie infinita ∝
n=1 an es convergente ⇔ {Sn}n≥1 es convergente.
Observación 2.2 Otra manera de hallar la n-ésima suma parcial de una serie
infinita, es usando la regla telescópica, es decir:
∝
i=1[f(i) − f(i − 1)] = f(n) − f(0)
Como an = 1
n(n+1) ⇔ an = 1
n − 1
n+1, entonces:
sn = a1 + a2 + a3 + ... + an = n
i=1 ai
sn = m
i=1(1
i − 1
i+1) = − n
i=1( 1
i+1 − 1
i ) = −f(n) − f(0)), donde:
f(i) = 1
i+1 ⇔ sn = −( 1
n+1 − 1) = 1 − 1
n+1, es decir:
sn = 1 − 1
n+1 ⇔ l´ımn→∝ sn = 1 existe, entonces:
∝
i=1
1
n(n+1) es convergente y su suma es igual a 1.
∝
i=1
1
n(n+1) = 1
Observación 2.3 1)A veces necesitamos que la serie infinita comience en el tér-
mino a0 o en el a2 o en algún término, si k > 0 es entero, escribiremos:
∝
n=k an = ak + ak+1 + ...
En caso de que carezca de importancia, al índice que se le asigne al primer tér-
mino, se acostumbra con frecuencia escribir an para designar una serie infinita.
2) Puesto que l´ımn→∝(Sn − c), c constante existe ⇔ l´ımn→∝ s(n) esxiste, se de-
duce que podemos omitir un número finito de términos (entre los primeros) de
AGRICOLA 16 MA-241

19. Ing.Agricola 2.1. PROPIEDADES
una serie infinita, sin que se afecta la convergencia o divergencia de la serie, por
supuesto el valor de la suma si existe, quedará afectado.
2.1. Propiedades
1. Si ∝
n=1 an es convergente, entonces: l´ımn→∝ an = 0
2. Si l´ımn→∝ an = 0 entonces la serie infinita ∝
n=1 an es divergente.
3. Si ∝
n=1 an y ∝
n=1 bn son series convergentes con sumas s1 y s2 respectiva-
mente y c ∈ R. Entonces:
∝
n=1 can converge si a cs1, es decir:
∝
n=1 can = c ∝
n=1 an
∝
n=1(an + bn) converge a s1 + s2 es decir:
∝
n=1(an + bn) = ∝
n=1 an + ∝
n=1 bn
∝
n=1(an − bn) converge a s1 − s2 es decir:
∝
n=1(an − bn) = ∝
n=1 an − ∝
n=1 bn
4. Si ∝
n=1 an es divergente y c ∈ R, entonces: ∝
n=1 can es divergente.
5. Si ∝
n=1 an es convergente y ∝
n=1 bn es divergente, entonces: ∝
n=1(an + bn)
es divergente.
Teorema 2.1 Sea {Sn}n≥1 la sucesión de suma sparciales para una serie conver-
gente ∝
n=1 an, entonces: para cualquier > 0, ∃N > 0/ |SR − ST | < siempre
que R > N, T > N.
xxx 17 MA-242

20. Ing.Agricola CAPÍTULO 2. SERIES INFINITAS
2.2. Series especiales
2.2.1. Series Armónicas
La serie armónica es de la forma:
∝
n=1
1
n = 1 + 1
2 + 1
3 + ... + 1
n + ...
La serie armónica es divergente. En efecto Sn = 1 + 1
2 + 1
3 + ... + 1
n
S2n = 1 + 1
2 + 1
3 + ... + 1
n + 1
n+1 + ... + 1
2n, entonces:
S2n − Sn = 1
n+1 + 1
n+2 + ... + 1
2n
2.2.2. Series Geométrica
Una serie geométrica es de la forma:
∝
n=1 arn−1
= a + ar + ar2
+ ... + arn−1
+ ...
La serie geométrica es convergente cuando r < 1 y es divergente cuando r ≥ 1.
En efecto: La n-ésima suma parcial de ésta serie, está dado por:
Sn = a(1 + r + r2
+ ... + rn−1
, además se tiene:
1 − r2
= (1 − r)(1 + r + r2
+ ... + rn−1
Luego Sn = a(1 + r + r2
+ ... + rn−1
) = a(1−rn
)
1−r , r = 1.
Entonces: l´ımn→∝ Sn = l´ımn→∝ a(1−rn
1−r ) = l´ımn→∝
a
1−r − l´ımn→∝
arn
1−r, donde:
l´ımn→∝
arn
1−r, existe y es cero si |r| < 1, por lo tanto l´ımn→∝
a
1−r, si |r| < 1, entonces:
La serie geométrica ∝
n=1 arn−1
, converge cuando |r| < 1, y su suma es a
1−r, es
decir: ∝
n=1 arn−1
= a
1−r,|r| < 1.
Si |r| ≥ 1 ⇒ l´ımn→∝
arn
1−r no existe, por lo tanto la serie geométrica ∝
n=1 arn
es
divergente, cuando |r| ≥ 1.
AGRICOLA 18 MA-241

21. Ing.Agricola 2.2. SERIES ESPECIALES
2.2.3. Series Telescópicas
Una serie telescópica es la suma ∝
n=1 an, donde:
an = bn − bn+1
⇒ ∝
n=1 an = ∝
n=1(bn − bn+1). La serie telescópica es tal, que cada término se
expresa como una diferencia de la forma: an = bn − bn+1.
Esto es:
Sn = ∝
n=1 an = ∝
n=1(bn − bn+1) = (b1 − b2) + (b2 − b3) + ... + (bn − bn+1)
Sn = ∝
n=1 an = ∝
n=1(bn − bn+1) = b1 − bn+1
Nota 2.1 La serie telescópica ∝
n=1 an converge, si y solo si, la sucesión bn con-
verge y se cumple:
l´ımn→∝ Sn = l´ımn→∝ b1 − l´ımn→∝ bn+1
Por lo tanto:
La serie telescópica an converge si y solo si, bn converge y en este caso su suma
es b1 − L.
Sn = ∝
n=1 an = b1 − l´ım
n→∝
bn+1
Sn = ∝
n=1 an = b1 − L
2.2.4. Series Alternadas
Hasta ahora solo hemos estudiado series de números positivos. En esta sección
y en la próxima estudiaremos series con términos positivos y negativos. Los más
simples de tales series son las llamadas SERIES ALTERNADAS, cuyos términos
alternan en signo.
xxx 19 MA-242

22. Ing.Agricola CAPÍTULO 2. SERIES INFINITAS
Ejemplo 2.3 La serie geométrica
∝
n=1(−1
2 )n
= ∝
n=1(−1)n
( 1
2n ), que desarrollando sería:
∝
n=1(−1
2 )n
= 1 − 1
2 + 1
4 − 1
8 + 1
16 − ...
Esta serie: Es una serie geométrica alternada con razón: r = 1
2.
*Las series alternadas pueden tener: Términos pares positivos o los términos
impares pueden ser positivos.
**Una serie Alternante es una serie cuyos términos son alternadamente positivos
y negativos.
2.3. Criterios de convergencia (Términos positivos)
2.3.1. Teorema 1: Criterio de Convergencia de Comparación directa
Consideremos las series infinitas ∝
n=1 an, ∝
n=1 bn, de términos positivos.
Entonces:
1. Si, ∝
n=1 bn, converge y si, an ≤ bn, ∀n ∈ N, entonces la serie ∝
n=1 an es
convergente.
2. Si, ∝
n=1 bn, diverge y si ocurre, an ≥ bn, ∀n ∈ N, entonces la serie ∝
n=1 an
es divergente.
2.3.2. Teorema 2: Criterio de Comparación por límite
Consideremos las series infinitas ∝
n=1 an, ∝
n=1 bn, de términos positivos.
Entonces:
1. Si, l´ımn→∝
an
bn
= L > 0, entonces ambas series convergen o divergen.
2. Si, l´ımn→∝
an
bn
= 0,y ∝
n=1 bn converge. Entonces ∝
n=1 an, converge.
3. Si, l´ımn→∝
an
bn
= + ∝,y ∝
n=1 bn es divergente. Entonces la serie ∝
n=1 an es
divergente.
AGRICOLA 20 MA-241

23. Ing.Agricola 2.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA (TÉRMINOS POSITIVOS)
2.3.3. Teorema 3: Criterio de la Razón o Criterio de DÁlembert o del cociente
Sea ∝
n=1 an una serie de términos positivos, además si,l´ımn→∝
an+1
an
= L .
Entonces puede ocurri lo siguiente:
1. Si, L < 1, en tal caso la serie ∝
n=1 an es absolutamente convergente.
2. Si, L > 1, la serie ∝
n=1 an diverge.
3. Si, L = 1, el criterio no decide.
4. Si, l´ımn→∝
an+1
an
= + ∝ , entonces la serie ∝
n=1 an diverge.
2.3.4. Teorema 4: Criterio de la Raíz o Criterio de Cauchy
Sea ∝
n=1 an una serie de términos positivos, entonces:
1. Si ocurre l´ımn→∝
n
|an| = L > 1 la serie es absolutamente convergente.
2. Si l´ımn→∝
n
|an| = L > 1 o l´ımn→∝
n
|an| =∝ entonces la serie ∝
n=1 an es
divergente.
3. Si, l´ımn→∝
n
|an| = 1 , el criterio de la raiz no es concluyente.
2.3.5. Teorema 5: Criterio de la integral
Sea ”f” una función continua definida ∀x ≥ 1 y además decreciente y que:
f(m) = an, ∀n ∈ Z
Entonces la serie infinita:
∝
n=1 an = ∝
n=1 f(n)
Es convergente o divergente de acuerdo con que laintegral impropia.
∝
1 f(x)dx, converge o diverge.
xxx 21 MA-242

24. Ing.Agricola CAPÍTULO 2. SERIES INFINITAS
2.3.6. Teorema 6: Criterio de RAABE
Sea ∝
n=1 an una serie de términos positivos, tal que:
l´ımn→∝ n 1 − an+1
an
= L
Entonces:
1. Si, L > 1, entonces la serie es convergente.
2. Si, L < 1, entonces la serie es divergente.
3. Si, L = 1, entonces el criterio no decide.
AGRICOLA 22 MA-241

25. Capítulo 3
Series de Potencias
Definición 3.1 Una serie de la forma:
c0 + c1(x − a) + c2(x − a)2
+ ... + cn(x − a)n
+ ..., es decir:
∝
n=0 cn(x − a)n
= c0 + c1(x − a) + c2(x − a)2
+ ... + cn(x − a)n
+ ...
donde: a y los ci, i = 1, 2, 3, .., n son constantes, es llamada serie de potencia en
x − a.
Cuando a = 0, se tiene que la serie ∝
n=0 cn(x)n
que se denomina serie de
potencia en x.
Observación 3.1 1. Cuando x toma un valor particular, obtenemos una serie
numérica de los que ya se ha estudiado.
2. Si una serie converge para ciertos valores de x, podemos definir una función
x haciendo:
f(x) = ∝
n=0 cn(x − a)n
og(x) = ∝
n=0 cn(x)n
,
donde el dominio de estas funciones son todos los valores de x para los cuales
la serie converge.
Observación 3.2 Existen además, series de potencias de la forma:
sum∝
n=0cn[f(x)]n
= c0 + c1f(x) + c2f(x)2
+ ... + cnf(x)n
+ ...
23

26. Ing.Agricola CAPÍTULO 3. SERIES DE POTENCIAS
Donde f(x) es una función de ”x”.
Tal serie se llama, "SERIE DE POTENCIAS.en f(x)".
Teorema 3.1 Si la serie de potencias ∝
n=0 cnxn
, es convergente para x1 = 0,
entonces es convergente ∀”x” tal que:
|x| < |x1|
Corolario 3.1 Si la serie de potencias ∝
n=0 anxn
, diverge para un número x2,
entonces es divergente, ∀x/ |x| > |x2|
Teorema 3.2 Sea ∝
n=0 anxn
, una serie de potencias:
Entonces una de las siguientes condiciones se cumplen:]] i)La serie solamente
converge cuando x = 0. ii)La serie es absolutamente cinvergente para todos los
valores de ”x”. iii)Existe un número γ > 0, tal que la serie es absolutamente
convergente ∀x, para el cual, |x| < y y es divergente, si |x| > y.
Observación 3.3 Si tomamos la serie ∝
n=0 cn(x−n)n
, las condiciones del Teo-
rema anterior se convierten en los siguientes casos:
Caso 1: La serie converge solamente cuando x = a. Caso 2: La serie converge ∀x.
Caso 3: Existe un número, R > 0, tal que la serie es absolutamente convergente
∀x, para los cuales: |x − a| < R y es divergente, ∀x, para el cual |x − a| > R.
Luego los intervalos de convergencia será uno de los siguientes intervalos:
a − R, A + R o [a − R, A + R] o a − R, A + R] o [a − R, A + R
El número R en el caso 3, se llama RADIO DE CONVERGENCIA de la serie
de potencias.
Por convención el Radio de Convergencia es, R = 0 en el caso 1 y R =∝, en el
caso 2.
AGRICOLA 24 MA-241

27. Ing.Agricola 3.1. OPERACIONES SOBRE LAS SERIES POTENCIAS
3.1. Operaciones sobre las series potencias
Cada serie de potencias ∝
n=0 anxn
de fine una función ”f” con Regla de
correspondencia:
f(x) = ∝
n=0 anxn
El dominio de ”f” es el intervalo de convergencia de la serie.
Para derivar o integrar estas funciones se deriva o integra cada uno de los términos
de la serie.
Esto se denomina derivación o integración término a término.
Teorema 3.3 Si la serie de potencias ∝
n=0 cn(x − a)n
para un Radio de Con-
vergencia R > 0, en tal caso la función "f", definida por:
f(x) = c0 + c1(x − a) + c2(x − a)2
+ ... + cn(x − a)n
+ ...
f(x) = ∝
n=0 cn(x − a)n
Es derivable (y por tanto continua) en el intervalo:
a − R, A + R , y :
i) f (x) = c1 + 2c2(x − a) + 3c3(x − a)2
+ ... = ∝
n=0 ncn(x − a)n−1
=
d
dx[ ∝
n=0 cn(x − a)n
] = ∝
n=0
d
dxcn(x − a)n
ii) f(x)dx = c + c0(x − a) + c1
(x−a)2
2 + c2
(x−a)3
3 + ... = c + ∝
n=0 ncn
(x−a)n+1
n+1
3.2. Series de Taylor y Maclaurin
Sea ”f” cualquier función que se pueda representar mediante una serie de
Potencias.
f(x) = c0 + c1(x − a) + c2(x − a)2
+ ... + cn(x − a)n
+ ... ......(1)
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28. Ing.Agricola CAPÍTULO 3. SERIES DE POTENCIAS
Trate de determinar que coeficientes ”cn” tienen que estar en función de ”f”.
Para empezar, observe que si hace x = a, en la ecuación (1), en tal caso todos los
términos después del primero son ÇERO", y se obtiene ””f(a) = c0”.
De acuerdo con el Teorema de Derivada, se puede derivar la serie de la ecuación
(1), término a término.
⇒ f (x) = c1 + 2c2(x − a) + 3c3(x − a)2
+ ..., |x − a| < R .......(2)
y al sustituir x − a, en la ecuación (2) se obtiene:
f (a) = c1 → f (a)
1! = c1
⇒ f (x) = 2c2 + 2,3c3(x − a) + 3,4c4(x − a)2
+ ..., |x − a| < R .......(3)
una vez más si hacemos x − a, en la ecuación (3) resulta:
f (a) = 2c2 → f (a)
2! = c2
⇒ f (x) = 2,3c3 + 2,3,4c4(x − a) + 3,4,5c5(x − a)2
..., |x − a| < R .......(4)
L sustitución x − a, en la ecuación (4) da como resultado:
f (a) = 2,3c4 → f (a)
3! = c3
Si continuamos derivando hasta el n-ésimo término y sustituyendo por x − a,
obtenemos:
f
(n)
(a) = 2,3,4,5...nCn
Cn =
f
(n)
(a)
n!
Teorema 3.4 Si ”f” se puede representar como una serie de potencias en ”a”,
es decir si:
f(x) = ∝
n=0 cn(x − a)n
, |x − a| < R
Por lo tanto, sus coeficientes nos da la fórmula:
Cn =
f
(n)
(a)
n! ......... (5)
AGRICOLA 26 MA-241

29. Ing.Agricola 3.2. SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN
Al sustituir esta fórmula de cn de la ecuación (5) en la serie (1), obtenemos:
f(x) = ∝
n=0
f
(n)
(a)
n! .(x − a)n
f(x) = f(a) + f a
1! (x − a) + f a
2! (x − a)2
+ ... +
f
(n)
(a)
n! (x − a)n
....... (6)
La serie de la ecuación (6) se denomina serie de Taylor de f(x)en”a”.
Para el caso especial a = 0, la serie de Taylor se transforma en:
f(x) = ∝
n=0
f
(n)
(a)
n! .(x)n
⇒ f(0) + f 0
1! x + f 0
2! x2
+ ... +
f
(n)
(0)
n! xn
Como en este caso surge con mayor frecuencia, se le da el nombre especial de
SERIE DE MACLAURIN.
Ejemplo 3.1 Desarrollar en serie de Maclaurin la función f(x) = ex
.
Solucion



f(x) = ex
f(0) = 1
f (x) = ex
f (0) = 1
f (x) = ex
f (0) = 1
...
fn
(x) = ex
fn
(0) = 1
Como el desarrollo de la serie de Maclaurin es:
f(x) = f(0) + f (0)x + f (0)x2
2! + ... + fn(0)xn
n! + ... ...... (2)
Al reemplazar (1) en (2) se tiene:
f(x) = 1 + x + x2
2! + x3
3! + x4
4! + ... + xn
n! + ...
Por lo tanto:
f(x) = ex
= ∝
n=0
xn
n!
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