Aritmética y algebra

CENTRO PREUNIVERSITARIO

Aritmética y Algebra

Lic. VICTOR YAPUCHURA PLATERO

TACNA - PERU

ii Aritmética y Algebr Centro Pre Universitario de la UNJBG

DERECHOS RESERVADOS – COPYRIGHT Centro Pre Universitario
de la Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann – Tacna

Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, grabada en sistema de
almacenamiento o trasmitida en forma alguna, ni por cualquier procedi-
miento, ya sea electrónico, mecánico, reprográfico, magnético o cual-
quier otro sin autorización previa y por escrito del Centro Pre Universita-
rio

Exclusivo para enseñanza en los claustro de la U.N.J.B.G.

Indice iii

INDICE
Päg.

I
TEORÍA DE CONJUNTOS
1. Conjunto 1
2. Relación de pertenencia 1
3. Determinación de conjuntos 1
4. Clases de conjuntos 1
5. Relaciones entre conjuntos 2
6. Representación grafica de conjuntos 3
7. Operaciones entre conjuntos 4

Problemas resueltos (conjuntos) 6
Problemas propuestos 13

II
SISTEMA DE NUMERACIÓN
1. Base de un sistema de numeración 15
2. Sistema decimal: 15
3. Principales sistemas de numeración 15
4. Escritura de un número de cualquier sistema de numeración 16
5. Escritura literal de los números 16
6. Número capicúa 16
7. Descomposición polinómica de un número 16
8. Descomposición en bloques 17
9. Conversión de números a diferentes bases 17
10. Conversión de sistemas en los números menores que la unidad 19
11. Casos especiales de conversión. 19
Problemas resueltos (sistemas de numeración) 20
CUATRO OPERACIONES 26
1. Suma o adición 26
2. Resta o Sustracción 26
3. Multiplicación 28
4. División: 28

Problemas resueltos (cuatro operaciones) 29

iv Aritmética y Algebr Centro Pre Universitario de la UNJBG

III
PROPIEDAD DE LOS NÚMEROS
I. DIVISIBILIDAD: 36
1) Divisibilidad de Números: 36
2) Notación y representación de los múltiplos de un número: 36
3) Operaciones y Propiedades: 37
4) Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton y Restos Potenciales 37
5) Criterios de divisibilidad 40
II. NÚMEROS PRIMOS 43
1. Conceptos Básicos 43
2. Teorema Fundamental de la Aritmética 45
3. Estudio de los Divisores de un número entero (N) 45
III. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 46
1. Máximo Común Divisor (MCD) 46
2. Mínimo Común Múltiplo (MCM) 48
3. Propiedades de MCD y MCM 49
4. Casos especiales 49

Problemas resueltos (propiedad de los números) 50

IV
NÚMEROS FRACCIONARIOS
1. Clasificación 58
A. Por comparación de sus términos 58
B. Por su denominador: 59
2. MCD y MCM de Números Fraccionarios 61
3. Número Decimal 61

Problemas resueltos (números fraccionarios) 63

V
RAZONES Y PROPORCIONES
I. RAZONES 72
II. PROPORCIONES 72
Proporción Aritmética 72
Proporción Geométrica 73
Promedio: 74
Propiedades 75
Problemas resueltos (razones – proporciones y promedios) 76

Indice v
VI
REGLA DE TRES
1. Regla de 3 simple: 87
2. Regla de 3 Compuesta 88
PORCENTAJES 89
Aplicación: 90

Problemas resueltos (regla de tres y porcentajes) 91

VII
TEORÍA DE EXPONENTES, ECUACIONES EXPONENCIALES Y
VALOR NUMÉRICO
Teoría de exponentes 99
Leyes de exponentes 99
Ecuaciones exponenciales 101

Problemas resueltos 101

VIII
POLINOMIO: GRADO, POLINOMIOS ESPECIALES, OPERACIONES,
PRODUCTOS NOTABLES.
2. Grado de expresiones algebraicas 110
3. Polinomios especiales 111
4. Operaciones con expresiones algebraicas 112
Productos notables 112
a) Binomio al cuadrado: 112
b) Producto de una suma por su diferencia 112
c) Binomio al cubo 113
d) Trinomio al cuadrado 113
e) Producto de un binomio por un trinomio queda una suma 113
o diferencia de cubos. 113
f) Producto de dos binomios que tienen un término común 113
g) Identidades de Legendre 113
h) Identidades de Lagandre 113


vi Aritmética y Algebr Centro Pre Universitario de la UNJBG

IX
DIVISIÓN, TEOREMA DEL RESTO, COCIENTES NOTABLES
I. División algebraica 122
Definición 122
Casos de la División: 122
Método de Ruffini 124
Teorema del resto 124
Cocientes notables 124
Determinación de un termino cualquiera de un C.N. 125


X
FACTORIZACIÓN: DIVERSOS MÉTODOS
Factorización 134
Métodos de factorización 134
1.- factor común 134
2. Método de identidades 135
3. Método del aspa 136
a) Aspa simple 136
b) Aspa doble 137
4. Método de divisores binomios 138
5. Método de artificio de calculo 139
a) Reducción a diferencia de cuadrados 139
b) Método de sumas y restas 140
c) Cambio de variable: 140


XI
MÁXIMO COMÚN DIVISOR – MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, FRACCIONES,
SIMPLIFICACIÓN
I. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios 147
II. Fracciones algebraicas 147
III Simplificación de fracciones 148
Operaciones con fracciones algebraicas 148
* suma y resta: 148
* multiplicación y división : 148


Indice vii

XII
RADICACIÓN, VERDADERO VALOR, ECUACIONES E INECUACIONES
I. Radicación de expresiones algebraicas 158
Leyes de signos 158
Raíz de un monomio 158
Raíz cuadrada de un polinomio 159
Radicales dobles 160
Racionalización 161
II. Verdadero valor de fracciones algebraicas 164
III. Ecuaciones 166
Clasificación de las ecuaciones 166
Ecuaciones de primer grado 167
Ecuaciones de segundo grado 167
Discusión de las raíces de la ecuación de segundo grado 168
Propiedades de las raíces 168
Formación de una ecuación de segundo grado.- 168
IV. Desigualdades e inecuaciones 168
Método de los puntos críticos para resolver inecuaciones: 168


XIII
VALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y FUNCIONES
Valor absoluto 180
Relaciones 182
1. Pares ordenados, producto cartesiano 182
2. Relación 182
3. Dominio y rango de relaciones 183
4. Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano 183
Funciones 183
1. Funciones: 183
2. Dominio y rango de una función 184
3. Gráfica de funciones 185
Composición de funciones 187

BIBLIOGRAFÍA 191

PRESENTACIÓN
El Centro Pre-Universitario de la Universidad Nacional Jorge Basadre Groh-
mann que inició sus actividades el 04 de enero de 1988 gracias al empuje de
sus autoridades y un grupo de docentes

Joven estudiante pensando en tu preparación para el ingreso a la Universi-
dad es que se ha preparado este texto, que nos ha demandado bastante es-
fuerzo humano y material, y que es posible que contenga errores, pero cree-
mos que es así como se avanza, y en el camino se irán corrigiendo. Ahora te
planteamos el reto de que sepas responder ante este esfuerzo

Ing. Salomón Ortiz Quintanilla
Jefe del Centro Pre-Universitario de la UNJBG

I
TEORIA DE CONJUNTOS
1. CONJUNTO

Agrupación de elementos que tienen características similares. Para simbolizar
conjuntos se emplean letras mayúsculas: A, B, C, ...... los elementos del con-
junto se simbolizan con letras minúsculas: a, b, c, ...... por ejemplo:

A c, e, p, u
2. RELACION DE PERTENENCIA

Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de ella.

Ejm: Si A a, b, c, d , e

U a A
c A
f A
g A

3. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

a) Extensión: Un conjunto está por extensión cuando se observa todo y ca-
da uno de sus elementos.

Ejm: Si A 1, 2, 3, 4

b) Comprensión: Un conjunto está determinado por comprensión cuando
sus elementos se caracterizan mediante una propiedad común.

Ejm: Si A x x 4
x ,

4. CLASES DE CONJUNTOS

b) Conjunto Unitario: Conjunto que tiene un solo elemento.

-1 -

2 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG

Ejm:
A x 4 x 6
x ,
A 5

c) Conjunto Vacío: Conjunto que no tiene elementos.

Ejm:
A x 4 x 5
x ,
A

d) Conjunto Finito: Es aquel cuyo elementos es limitado; es decir se pue-
de contar desde el primero hasta el ùtlimo.

Ejm:
A x 3 x 150
x ,
A 3, 4, 5, ..... , 1 50

e) Conjunto Infinitivo: Cuyo número de elemento en ilimitado

A x N 6, 7, 8, 9....
x 5
f) Conjunto Universal: Es aquel conjunto que contiene todos los demás
conjuntos, simbolizados por la letra U.

5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

a) Inclusión: Se dice que A esta incluido en el conjunto B A B ,
cuando todo elemento de A, pertenece a B.
Ejm: Sea
A 1, 2, 3, 4, 5, 6
B 3, 4, 6

Luego B A pero A B

Teoría de Conjuntos 3

b) Conjuntos Iguales: Dos conjuntos son iguales si tiene los mismos ele-
mentos.

Ejm: Sea
A a, b, c, 3
C= 1, 2, 3, 4
B 3, b, a, c

Luego A B pero A C
c) Conjuntos Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen
ningún elemento en común.

Ejm:
A 1, 2, 3, 4
A y B son disjuntos
B 5, 6, 7, 8

d) Conjunto Potencia: Conjunto formado por todos los sub conjuntos que
es posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que es
potencia del conjunto A.
Ejm: Si: A = 2, 3, 4 Hallar la potencia del conjunto A.

Entonces

P( A ) 2 , 3 , 4 , 2, 3 , 2, 4 , 3, 4 , 2, 3, 4 ,
Subconjuto s del A
Por lo tanto del conjunto obtenido se puede decir:
3
Que el conjunto P(A) tiene: 2 = 8 subconjuntos

=>
número de subconjuntos de A=2n(A)

Donde:
n(A): número de elementos A

6. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS

Diagramas de Venn – Euler: Consiste en graficar mediante círculos, elipses,
rectángulos u otras figuras geométricas de área plana, cada uno de los conjun-


tos dados.
U

7. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

a) Unión (A B) : Conjunto que tiene como elementos a aquellos que
pertenecen al conjunto A y/o a B.

A B xx A x B

U Propiedad:
*A B B A
*A A B
*B A B

b) Intersección ( A B ): Conjunto que tiene como elementos aquellos
que pertenecen al conjunto A y B. (elementos comunes a ambos).

A B x x A x B

U
Propiedad:
*A B B A
* (A B) A
* (A B) B
* (A B) (A B)

c) Diferencia (A – B): Conjuntos cuyos elementos pertenecen a A pero
no al conjunto B.

A B x x A x B


U Propiedad:
*A B B A
* (A B) A
* (A B) B
* (A B) (A B) A

d) Diferencia Simétrica (A B): Conjunto que tiene como elementos a
aquellos que pertenecen al conjunto ( A B ) pero no al conjunto
( A B ).

A B x x A B x A B

Propiedad:
U *A B B A
* (A B) (A B)
* Si A y B son disjuntos
A B A B
*A A

c
e) Complemento de un conjunto (A’), (A ): Conjunto cuyos elementos per-
tenecen al universo pero no al conjunto A.
A' x x U x A

U Propiedad:
*A A' U
*A A'
* (A' )' A
* ' U

Observación:
*(A B )' A' B '
*(A B )' A' B '


Nota: El cardinal de un conjunto es número de elementos que tiene un
conjunto

* n(A B) n(A) n(B) n(A B)
*
n(A B C) n(A) n(B) n(C) n(A B) n(A C) n(B C) n(A B C)

PROBLEMAS RESUELTOS (CONJUNTOS)

1. Si: A={ 1, {2}, 3} señale la expresión falsa:
A) {2} A B) {{2}} A C) 3 A D) {1,3} A E) {1, {2}} A

Sol.
1
Elementos {2}
3
En total tenemos 3 elementos en A. Debemos tener presente que si a un ele-
mento le colocamos signos de colección (llaves) se ha formado un conjunto.
Entonces:
{2} A es verdadero
{{2}} A es verdadero
3 A es verdadero
{1,3} A es falso por que {1, 3} no es un elemento de A.
{1, {2}} A es verdadero

Rpta.: ( D )

2. Sea M x m 12 m Z 3 m 3 . Determinar el cardinal de
P(M).
A) 16 B) 18 C) 20 D) 32 E) 24

Solución:
2
Si m = -3 x = (-3+1) = 4
2
Si m = -2 x = (-2+1) = 1
2
Si m = -1 x = (-1+1) = 0
2
Si m = 0 x = (0+1) = 1
2
Si m = 1 x = (1+1) = 4
2
Si m = 2 x = (2+1) = 9


Por tanto : M = { 0, 1, 4, 9}

nM 4
n PM 2 2 16

Rpta.: A

3. De un grupo de 72 personas se sabe que 25 de ellas leen revistas; 7 revis-
tas y periódicos; 8 revistas y libros; 15 solamente libros, 2 revistas, periódi-
co y libros; y el número de personas que sólo leen libros y periódicos, es la
tercera parte de las personas que sólo leen periódicos ¿Cuántas personas
leen periódicos?

A) 24 B) 27 C) 31 D) 35 E) 39
72
Revistas (25) Periódicos

12 5 3x
2
6 x

15
Libros

De la fig:
12 + 5 + 2 + 6 + 3x + x + 15 = 72
25 + 4x + 15 =72
4x = 72 – 40
4x = 32
x=8

leen periódicos:
7 + 4x = 7 + 4 x 8
= 7 + 32 = 39
Rpta.: (E)

2
4. Si : A x Z x 5 x 14 0
¿Cuántos elementos tiene P(A)?
A) 0 B) 4 C) 2 D) 1 E) 3


Sol.:
2
x + 5X – 14 = 0
(x+7)(x–2)=0
x = -7 x=2
A = {-7 , 2}

2
n P( A) 2 4
Rpta.: (B)

5. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos:
A x R x x 6 0
x 1
B x R 1
2
x 1
2
A x R x x 1 0
Son unitarios?
A) A y B B) A y C C) B y C D) Sólo A E) Sólo B
Sol.:
*
x x 6 0
2
x x 6 0
x 3 x 2 0
x 3 x 2

x 4 R
*
x 1
1
2
x 1
x 1
1
2
x 1
x 1
1
x 1 x 1
1 x 1


x 2 R

*
2
x x 1 0
1 1 4 .1 .1
x
2 .1
1 3
x R
2
C
Rpta. : A

6. Si: A x, y x 2 y 2 20 x y2 , x Z , y Z
Hallar el número de elementos del conjunto A.
A) 5 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Sol.:
*
2 2 2
x y 20 x y
2 2 2
y y 20
4 2
y y 20 0
2 2
y 5 y 4 0
2 2
y 5 no y 4
y 2
Si : y=2 x=4
y = -2 x=4

A = { (4,2) (4, -2)}

n(A) = 2
Rpta. : ( C )

7. ¿Qué expresión representa la parte sombreada de la figura?


A B

C

A) (A B) - C B) C (A B)’
C) (A B) - C D) A B C
E) (A B) C’
Sol.:
U
A B

1 7
4
2 3 6

5 C
8
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {3, 4, 5, 6, 7}
C = {2, 3, 6}

Parte sombreada = {2, 6}

* (A B) – C = ???
A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C = {2, 3, 6}
(A B) – C = {1, 4, 5, 7} No

* (A B)= {3, 4, 5}
(A B)’ = {1, 2, 6, 7, 8}
C (A B)’ = {2, 6} Si
Los demás no son.
Rpta. B

8. Si: A B y A D=


Simplificar: A D' B' B A D

A) A B B) A C) B D) E) D B
Sol.:
Gráficamente:
U
B
D
A

Entonces: A D' B' B A D
A B' B A
B
B
Rpta. ( C )

9. Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
* Si : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementos
de C = P(A) P(B) es 12.
* Si A n 2 1 n Z, - 1 n 1 entonces el n(A) es 3
* Si A B = , entonces A = B=

A) VFF B) FFF C) FVF D) VVF E) VVV
Sol.:
2
* Como: n (A) = 2 n[P(A)] = 2 = 4
3
n(B) = 3 n[P(B)] = 2 = 8

Para que P(A) P(B) sea máximo deberían ser disjuntos, pero en este
caso comparten el conjunto vacío.
n (C) n P( A ) m P(B) 1
4 8 1 11 Falso

* Determinación de A:


2
A n 1n Z ; 1 n 1
2 2
12 1, 0 1 , 1 1
0, 1, 0 A -1 , 0
n(A) = 2 Falso

* A B = cuando A y B son conjuntos disjuntos. Por tanto no
necesariamente A = B=
Falso
En conclusión es: FFF
Rpta.: B

10. Para a, b Z ; F y G son conjuntos tales que G . F G es un conjunto
unitario:
2 2
F = {a + 2b , b + 1} y
F G = {a + 4b , b + 1 – 3a}
Hallar F B
A) B){0} C) {10} D) {1} E) {-1}

Sol.:

Si F G es unitario, entonces F también es unitario, así:
2 2
a + 2b = b + 1
2 2
a = b - 2b + 1 a = b-1 ......... 1
2 2
a =(b-1) a = -b + 1 ......... 2
Además, de F G:
a + 4 b = b + 1 – 3a 4a + 3 b = 1 …………….

de
3a 3b 3
4a 3b 1
7a 2
a 2 b 5
7 7
No cumple las condiciones dadas a, b Z.


de y :
4 b 1 3b 1
b 3
a 2 F G 10
Rpta.: ( C )

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. De 50 alumnos de CEPU 15 no hablan en clase, 14 son los que ríen,
24 parecieran ciegos por que no miran a la pizarra; de éstos últimos 5
no hablan y 4 se ríen. ¿Cuántos de los que no ríen hablan y siguen
con la mirada la clase en la pizarra?
A) 6 B) 10 C) 8 D) 7 E) 5

2. 200 personas los sábados practican fútbol, frontón, atletismo, nata-
ción o alguna otra actividad no deportiva. Los que practican tres de
los deportes es el triple de los que practican los cuatro deportes; los
que practican únicamente dos de los deportes es el doble de los que
practican solo tres. 30 practican solo un deporte y 50 se dedican a
otras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personas
practican los cuatro deportes?.
A) 12 B) 10 C) 8 D) 15 E) 17

3. Sean los conjuntos A 1;2;3;4 y B 2;3 entonces se dice que A
y B son:
A) Iguales B) Comparables C) Equivalentes D) Disjuntos E) N.A.

4. El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos se obtuvo que
60% gustan manzana, 50% gustan fresa, 40% gustan piña, 30% gus-
tan manzana y fresa, 20% gustan fresa y piña, 15% gustan manzana
y piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas en-
cuestadas no gustan de los jugos de frutas antes mencionadas?.
A) 10% B) 15% C) 8% D) 12% E) N.A.

5. En una aula de 120 alumnos, 30 eran hombres que no les gustaba la


matemática, 50 eran mujeres que si les gustaba; si el número de hom-
bres que gustaban de la matemática es la tercera parte de las mujeres
que no gustaban de la matemática, ¿A cuántos les gustaban la ma-
temática?
A) 30 B) 50 C) 55 D) 60 E) N.A.

6. Si: A 1; 2;3 ;4 . El enunciado verdadero es:
A) 4 P( A) B) 2 A C) 2;3 A D) 3 A E) 1;2 A

7. Si X, Y y Z son conjuntos tales que X Y Z . Simplificar:
( X Z ) (Y Z ) ( X Y Z ) (Y X )
A) X B) Z C) Y D) U E)

8. De un grupo de 100 estudiantes 49 no llevan el curso de Álgebra y
53 no siguen el curso de Aritmética; si 27 alumnos, no siguen
Aritmética ni Álgebra, cuántos alumnos llevan exactamente uno de
tales cursos.
A) 24 B) 30 C) 36 D) 48 E) 26

9. A y B conjuntos tal que: n( A B ) 17 ; n P( A B) 256 ;
n P( B A) 4 ; Hallar: n P( A B
A) 2 B) 4 C) 28 D) 64 E) 32

10. Dado los siguientes conjuntos iguales:
A x 1; x 2
B 8 x;7 2
C 4; y 2
D z 1; y 1
Calcular E = x + y + z.
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

II
SISTEMA DE NUMERACIÓN
Es un conjunto de reglas y principios para representar cualquier cantidad, con
el fin de buena lectura y escritura de los números.

1. BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN
Se llama así al número fijo de unidades de un orden que se toman para
formar una unidad del orden superior.

Ejem. abcd (n ) n : Base del Sistema

2. SISTEMA DECIMAL:
Cuando la base del sistema es diez

Ejm: 3524

3. PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION

BASE SISTEMA CIFRAS DISPONIBLES
2 Binarios 0, 1
3 Ternario 0, 1, 2
4 Cuaternario 0, 1, 2, 3
5 Quinario 0, 1, 2, 3, 4
6 Senario 0, 1, 2, 3, 4, 5
7 Eptal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
8 Octal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
9 Nonario 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
10 Decimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 α =10
11 Undecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α β=12
12 Duodecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β =12
. . . .
. . . .
. . . .

- 15 -


4. ESCRITURA DE UN NUMERO DE CUALQUIER SISTEMA DE NUMERA-
CION

Base 10: 345, 32 etc
Base 2 : 10(2), 1101(2) etc
Base 6 : 321(6), 4251(6) etc
Base 12: 97(12), 59 (12) etc

5. ESCRITURA LITERAL DE LOS NÚMEROS

ab : número de 2 cifras (10, 11, .........., 99)
abc : número de 3 cifras (100, 101, 102 ...., 999)
aa : número de 2 cifras iguales (11, 22, 33, .....99)
27ab : número de 4 que comienzan en 27.

6. NÚMERO CAPICÚA:
Número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales. Se leen
igual por ambos lados” .

Ejem. 44, 121, 363, 4554, 31213, etc

7. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO:
Es expresarlo como la suma de los valores relativos de cada una de sus ci-
fras de dicho número.

Sea: N abcd.......xyz (n)
m cifras

Descomponiendo en forma polinómica es:

m 1 m 2 m 3 2
N a.n b.n c.n ....... x.n y .n z

Ejm:
3 2
* 3123(4) = 3 x 4 + 1 x 4 + 2 x 4 + 3
2
* abc ( n ) a .n b .n c
* ab a .10 b 10a b

Sistema de Numeración 17

8. DESCOMPOSICIÓN EN BLOQUES:
Se llamará “bloque” a un grupo de cifras.
Ejm.
Descompongamos abcd en bloques

2
abcd ab.10cd
Descompongamos abab en bloques

2
abab ab 10 cd
9. CONVERSIÓN DE NÚMEROS A DIFERENTES BASES
a) CASO 1: De un sistema de base “n” al sistema de base 10 (sistema de-
cimal)
Ejm: Convertir 321, al sistema decimal
Por descomposición polinómica
2
321(5) = 3x5 + 2x5+1 = 75+10+1 = 86
321(5) = 86
Por Ruffini
3 2 1

5 15 85
3 17 86

321(5) = 86

b) CASO 2: Del sistema Decimal a un sistema de base “n”
Ejm:
Convertir 329 al sistema quinario
Por divisiones sucesivas

32’9 5
30 65 5
29 5 13 5
25 15 10 2
15 3
4
0

329 2304 (5)


c) CASO 3: De un sistema de base “n” a otro de base “m” donde
n m 10.

Base n Base m

Base 10

- El primer paso, es transformar la base “n” a base 10.
- El segundo paso, es transformar el número obtenido a base “m”

Ejm: Convertir 341 (5) a base 3
2
- 341 (5) = 3x5 + 4 x 5 + 1 = 75+20+1=96 341(5) = 96
-
96=10120(3)

96 3
96 32 3
0 30 10 3
2 9 3 3
1 3 1
0

341(5) = 10120 (3)

Reglas Prácticas
Todas las cifras son menores que la base: cifra < Base

Ejm: 3a 2b (8) a 8 b 8
Si un número se expresa en dos sistemas distintos:

341(5) = 10120(3)

Vemos que:
A número Mayor Base Mayor
A número Menor Base Menor

Es decir: 203(n) = 104 (m) => n < m


10. CONVERSIÓN DE SISTEMAS EN LOS NÚMEROS MENORES QUE
LA UNIDAD
CASO 1: De base “n” a base 10

1 2 3 4
0, abcd ( n ) a .n b .n c .n d .n

Ejm: Convertir: 0,32(n) a base 10
-1 -2
0,32(4) = 3 x 4 +2 x 4

3 2
4 2
4
12 2 14 7
16 16 8
0,32( 4 ) 0,875

CASO 2: De base 10 a base n

Convertir: 0,390625 a base 4

Se multiplica sólo la parte decimal

0.390625 x 4 = 1,5625
0,5625 x 4 = 2,25
0,25 x 4 = 1,00

0,390625 0,121(4)

11. CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN.

k
a) De base n a base n
Dado el número en base n se le separa en grupos de K cifras a par-
tir de la derecha


Ejm: Expresar 10011101(2) a base 8
3
Vemos que 8 = 2 ; se separa en grupos de 3 cifras

Base 2: 10 011101
(2 )
2 3 5

Base 8: 235(8)

k
b) De base n a base n
k
Dado el número en base n de cada cifra se obtiene k cifras al con-
vertirse a base n.

Ejm: Convertir: 325 (8) a base 2

3 2 5

011 010 101
325 (8) = 011010101 (2)

PROBLEMAS RESUELTOS (SISTEMAS DE NUMERACIÓN)

1. ¿Cómo se representa 234 ( n) en base (n-1)?

A) 297 B) 279 C) 269 D) 299 E) 287

Sol.:

1° Transformamos 234 ( n) a base decimal.
2
234 ( n) 2.n 3.n 4

2
2° El número 2n 3n 4 transformamos a base n-1


2
2n + 3n + 4 n-1
2
- 2n + 2n 2n + 5 n-1
5n + 4 -2n + 2 2
- 5n + 5 7
9

234 ( n) = 279 ( n 1) Rpta. : B

2. Si : abab ( n) 850 ; hallar : (a + b) . n

A) 25 B) 30 C) 45 D) 35 E) 15

Sol.: abab ( n) 850
3 2
an bn an b 850
2
n (an b) ab b 850
2
(an b) (n 1) 850
2
(an + b) (n +1) = 17 x 50

n=7 a=2 b=3

(a + b) x n = ( 2 + 3) x 7 = 5 x 7 = 35

Rpta.: (D)

3. Si un número se convierte a dos sistemas de numeración de bases impa-
res consecutivas se escribe 102 y 201. determinar dicho número en base
10 y dar como respuesta la suma de sus cifras.

A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 7


Sol.:
102 ( 2n 1) 201( 2n 1)
2 2
(2n 1) 2 2(2n 1) 1
2 2
4n 4 n 1 2 8n 8n 2 1
4n 2 12n 0
n(n 3) 0
n 3

entonces: 102 ( 2n 1) 102 (7) 49 2 51
cifras 5 1 6 Rpta. D

4. La suma de dos cifras que forman un número es igual a 9. Si al número
resultante de invertir el orden de las cifras se le suma 9, resulta el número
primitivo; ¿cuál es el cuadrado de dicho número?

A) 2025 B) 2601 C) 2704 D) 2809 E) 2916

Sol.: Sea el número ab
a b 9
Entonces: datos del problema
ba 9 ab

ba p ab
10b a 9 10a b
9b 9 9a
b 1 a
a b 1
Por tanto: a=5 b=4

2 2
Finalmente: ab 54 2916 Rpta. E

5. ¿En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con 3
cifras?


A) 10 B) 15 C) 30 D) 25 E) 20

Sol.: Por dato, tenemos:

1234 abc ( n)
100 (n) abc (n) 1000 (n)
2 3
n abc (n) n

Entonces: n2 1234 n3
n 2 1234 1234 n 3
n 35, ..... 10,.....n
n 11, 12, 13, ....... , 34, 35
35 10
número de términos = 25 Rpta : D
1

6. Si: abc (8) 2 (8 ) cba (8) . Hallar a + b + c
A) 18 B) 16 C) 14 D) 12 E) 10

Sol.:

abc (8) 2 (8) cba (8)
abc (8) 2 cba (8)
abc (8) abc (8) cba (8)
abc (8) cba (8) abc (8)

Por propiedad:
b=7
a+c=7
a + b + c = 14 Rpta. C

7. ¿Cómo se escribe en base 6 el menor de los siguientes números:

545 (b) ; 7a3(8) y 6b5 (a) ;

A) 252 (6) B) 545 (6) C) 209 (6) D) 134 (6) E) 425 (6)


Sol.: Analizando tenemos:
545 (b) ; 7a3(8) y 6b5 (a) ;
5 b a 8 b a
Obtenemos: 5<b<a<8
b= 6 a = 7
Luego:
2
* 545 (6) 5 .6 4 .6 5 209 número menor
2
* 7 a3(8) 7 .8 7 .8 3 507
2
* 6b5 (7) 6 .7 6 .7 5 341

209 = 545 (6) Rpta. B

8. Un número es igual a 6 veces la suma de sus dos cifras. Hallar la diferen-
cia de sus cifras.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Sol.:

Por dato :
ab 6(a b)
10a b 6a 6b
4a=5b

a=5
b=4
a–b=1 Rpta. A

9. Una persona nació en el año 19ab y en el año 1985, tiene (a + b) años.
¿En qué año tendrá ab años?
A) 1995 B) 1999 C) 2002 D) 2020 E) 2000
Sol.: Por dato:
1985 19ab a b
1985 19ab a b
1985 1900 10a b a b
85 11a 2b
a 7
b 4


19ab ab 1974 28 2002 Rpta. C

10. Si 400803 (m) = 300034342 (n) y m + n = 14 . Hallar (m - n)
A) 6 B) 4 C) 5 D) 8 E) 9

Sol.:
Analizando:
8<m 4<n además n < m

Entonces: 4 < n < m m>8
m=9
n=5

m–n=4 Rpta. B


1. Se sabe que: 2a6 ( c ) 1bb (8) . Calcular: a + b + c.
A) 12 B) 15 C) 14 D) 16 E) 13

2. El numeral de dos cifras es “n” veces la suma de sus cifras, si el
numeral que se obtiene al intercambiar los dígitos resulta de mul-
tiplicar la suma de sus cifras multiplicado por:
A) 11+n B) 11-n C) 7+n D) 7-n E) 2n

3. Convertir el número decimal 798 al sistema de base 28. Dar como
respuesta la suma en base 10 de sus cifras.
A) 2 B) 5 C) 6 D) 7 E)15

4. Determine cuantos números de tres cifras existen en base 8 en
los cuales una cifra se repite exactamente dos veces
A) 220 B) 130 C) 147 D) 215 E) 420

5. La base del sistema de numeración en que c(2c)(4c) se escribe


con tres cifras iguales es:
A)8 B)4 C)5 D) 7 E) 11

6. Si aba ( c ) m1c( 9 ) Calcular el valor de b sabiendo que m>5.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

7. Si nn00 mm0 nn0; calcular nm expresado en base 5.
A)21 B) 22 C)34 D) 44 E)32

8. Hallar “a + b + c”. Si:
a 2b (9 ) a72 ( c )
A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20

9. Si se cumple que: T AME T .
Calcular TEAME
A) 64526 B) 62565 C) 46526 D) 46256 E) N.A.

10. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con los
dígitos 1, 2, 3, 4, 5 de manera que no aparezcan el 3 en las dece-
nas?
A) 72 B) 60 C) 24 D) 36 E) 48

CUATRO OPERACIONES

1. Suma o adición: Operación que tiene por finalidad reunir varias cantida-
des en una sola.

S a1 a 2 a 3 ...... an
Sumandos
Suma Total

2. Resta o Sustracción: Operación inversa a la suma.


M–S=D

Diferencia
Minuendo Sustraendo

Propiedad:

M+S+D=2M
Si: abc cba mnp
Se cumple que:

n=9
m+p=9

Complemento Aritmético de un número natural: Es lo que le falta a éste ser
igual a la unidad del orden inmediato superior de su mayor orden.

Ejm.
C.A. (45) = 100 – 45 = 55
C.A. (950) = 1000 – 950 = 50
C.A. ( abc ) = 1000 – abc
En general:

C.A. (abc......... xyz) 10m abc......xyz
m cifras

Otro método: para hallar el C.A a partir del mayor orden de un número, se
restan las cifras de nueve y la última cifras significativa de 10. Si hay ceros al
final, éstos permanecen en el complemento.
Ejm:
C.A. (30521 8 ) 694782
9 10
C.A. (6 8 ) 36
9 10
C.A. ( abcd ) = (9 a )(9 b )(9 c )(10 d )


3. Multiplicación: Operación donde:
Dada dos cantidades multiplicando y multiplicador se halla una tercera
llamada producto.

Producto
Multiplicando Multiplicador

4. División:

D: Dividendo
D d d: divisor
__ c: cociente
r r: residuo

D = dc + r También

Clases de División:
b) División exacta: Cuando el residuo es cero

D d D = dc
__
0 c

Ejm.

8 4 8=4x2
8
0 2

c) División Inexacta:
Por defecto:

D d D = dc+r
__
r c
Donde 0 < r < d


Ejm.

38 6 38 = 6x6+2
36
2 6

Por exceso:

D d D = d(c+1) – re
__
re c+1
Donde 0 < re < d
Ejm.

38 6 38 = 6(6+1) – 4
42
-4 6+1

Propiedad:

1° : r + re = d
2° : rmax = d – 1
3° : rmin = 1

PROBLEMAS RESUELTOS (CUATRO OPERACIONES)

1. La diferencia entre dos números naturales es “x”. Si se resta 5 al minuendo
y se suma 3 al sustraendo ¿Cuál ser la diferencia?

a) x + 5 b) x – 5 c) x + 8 d) x + 2 e) x – 8

Sol.

M–S=D M – 5 – (S + 3) = Dif
M–S=X M – 5 – S – 3) = Dif
M – S – 8 = Dif

X – 8 = Dif .

Rpta. ( e )


2. Si la suma de 2 números es 56 y su cociente es 5 con residuo 2. ¿Cuál es
la suma de sus cifras del producto de dichos números?

a) 6 b) 9 c) 11 d) 12 e) 16

Sol. Sean los números a y b

Por dato:

a + b = 56 ...... (1)

además: c = 5 y residuo = 2

D = dc + r
A = 5b + 2 ........... (2)

De (1) y (2):

a + b = 56
5b + 2 + b = 56
6b = 54

b=9 a = 47

47 x 9 = 423
cifras 4 2 3 9
Rpta. ( b )

3. Hallar las 3 últimas cifras de las suma:

S = 7 + 77 + 777 + 7777 + .......... + 777 ...... 7777
(40 sumandos)

a) 610 b) 801 c) 106 d) 601 e) 810

Sol.

Tenemos la suma:


7
7 7
7 7 7
7 7 7 7 40 sumandos
.......... ......
.......... ......
77...7 7 7 7
.......... 6 1 0

En las unidades: 7 . 40 = 280, colocamos cero y llevamos 28
En las decenas: 7 . 39 + 28 = 301, colocamos 1 y llevamos 30
En las centenas: 7 . 38 + 30 = 296, colocamos 6 y llevamos 29.

Rpta. (a)

4. Al dividir un número de 3 cifras entre otro de dos cifras se obtiene 11 de
cociente y 25 de residuo. Se les toma el complemento aritmético y se les
vuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar la
suma de las cifras del dividendo y del divisor.
a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29
Sol: Sean abc y de los números
abcde
* 25 11 abc 11.de 25 ... (1)

1000 - abc 1000 - de
7
* 19 1000 - abc 7(100 de ) 19 ..... (2)

Reemplazando ec. (1) y (2):
1000 - 11 de - 25 = 700 - 7 de + 19
4 de = 256

de = 64

Entonces: abc 729

cifras 6 4 7 2 9 28 Rpta. (d)


5. Hallar la suma de las cifras del producto:
P 438 999....99
40 cifras
a) 360 b) 270 c) 180 d) 90 e) 450

Sol.

Dando forma a P:
P = 438 x ( 1000 ........00 1 )
40 cifras
P = 438 0000...00 438
40 cifras
Entonces:
43800 ... 0000 –
438
43799...99562
37 cifras
Portando:
cifras 4 3 7 9 x 27 5 6 2
= 360
Rpta. (a)

nmmmm
6. Halle a+b+c+m+n , si abc 2
9
a) 20 b) 22 c) 24 d) 25 e) 23

Sol.

nmmmm
abc 2 * 2x9 =18 dejamos 8 y llevamos 1
9 m 8
* 9xc+1=??? Debe terminar en 8
mmmm = 9. abc 2 c 3
* 9xb+2=??? Debe terminar en 8
abc 2x b 4
9 * 9xa+3=??? Debe terminar en 8
Es decir: a 5 n=4
n mmmm

a+b+c+m+n =5+4+3+8+4 = 24 Rpta (c)


7. Hallar la suma en base 10 de: 23(n) + 35(n)+....+155(n), si los sumandos
están en progresión aritmética.
a) 608 b) 1216 c) 2432 d) 4864 e) 1824
Sol.

Por def. de P.A.:

30(n) – 23(n) = 35(n) – 30(n)
3n – 2n – 3 = 3n + 5 – 3n

n=8

Entonces convirtiendo a base 10: S = 19+24+29+34+ .... +109
109 14
# de términos 19
5
19 109
S .19
2
S 1216
Rpta. (b)

8. Aumentando en 9 los 2 factores de un producto, el resultado aumenta en
549. Hallar uno de los factores si la diferencia de ellas es 18.
a) 36 b) 16 c) 34 d) 17 e) 28
Sol.

Sea: P = a x b

Por dado: (a+9)(b+9) = P+549
ab + 9a + 9b + 81 = ab + 549
9a + 9b = 468
a+b = 52

Entonces:
a b 52
a - b 18
2a 70

a = 35 b = 17 Rpta. (d)

9. Si la diferencia de dos números es 14560 y el duplo del mayor es 60000.


¿En cuánto excede el número 76543 al menor de los dos números?
a) en 61103 b) en 61983 c) en 31103 d) en 62103 e) en 60103
Sol.
Sean a y b los números ( a > b )
2a = 60000 a = 30000
además 30000 – b = 14560 b = 15440
Nos piden: 76543 – 15440 = 61103 Rpta. (a)

10. Si 4ab ba 4 mnp y ab ba w 4 , entonces 2ª + 3b es:
a) 17 ó 22 b) 20 ó 32 c) 18 ó 52 d) 32 ó 20 e) 19 ó 21
Sol. De: ab ba w 4 se obtiene

10a + b – 10 b – a = 10 w + 4
9a – 9b = 10w + 4
9(a – b) = 10w + 4
Tanteando: a – b = 6 w=5
a - b 6 w 5

7 1 (si cumple)
8 2 (si cumple)
9 3 (no cumple)

Además 4ab ba 4 mnp n=9 m+p=9
Reemplazando:
2a+3b=2(7)+3(1)=14+3=17
2a+3b=2(8)+3(2)=16+6=22
Rpta. (a)


1. Si al producto de dos números le incrementamos su cociente, re-
sulta 18. Hallar la suma de dichos números.
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

2. Hallar a+b+c+m+n Si:
a c b
abc 1mn cba , donde
b a c
A) 27 B) 29 C) 31 D) 30 E) 28


3. Hallar un número de 2 cifras que sea igual a 8 veces la suma de
sus cifras.
A) 9 B) 10 C) 72 D) 27 E) 13

4. Calcular la suma de las cifras del producto:
(777...77)(999...99)
10 cifras 10 cifras

A) 90 B) 70 C) 80 D) 20 E) 772

5. Una botella vacía pesa 425 gramos y llena de agua pesa 1175
gramos. ¿Cuántas botellas semejantes serán necesarias para vaciar
en ellas el contenido de un barril de 225 litros.
A) 220 B) 250 C) 280 D) 300 E) N.A.

6. El cociente del producto de tres números consecutivos, entre su
suma es 16. El número intermedio es:
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

7. Si C. A. 1234 ( n ) abcd ( n ) y n32 ( 6) 400
Hallar a b c d
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11

8. La suma de los tres términos de una resta es 4698. Si el minuen-
do es triple del sustraendo. Hallar el complemento aritmético de
la diferencia.
A) 8434 B) 7651 C) 217 D) 5802 E) 7634

9. El número de 3 cifras que restando de su C.A. da como resultado
286, es:
A) 300 B) 367 C) 357 D) 643 E) 721

10. Si CA( SIETE ) TRES . Calcular CA( S E I S)
A) 73 B) 75 C) 77 D) 12 E) 16

III
PROPIEDAD DE LOS NÚMEROS
I. DIVISIBILIDAD: Parte de teoría de números que estudia las condi-
ciones que debe reunir un numeral para ser divisible entre otro.
1) Divisibilidad de Números:
Un número entero es divisible entre otro entero positivo, cuando al di-
vidir el primero entre el segundo el cociente es otro entero y el residuo
cero.
- Cero (0) siempre es múltiplo de todo entero positivo
- Un número entero negativo puede ser múltiplo de un número
entero positivo.

2) Notación y representación de los múltiplos de un número:
Si A es múltiplo de B lo representamos:
A = k B donde k = { ....., -2,-1, 0, 1, 2, ....}
o
A = B (notación Leibniz)

Si un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), se
puede representar como un múltiplo del módulo mas cierto residuo
por defecto:
Ejm.

A B A = B.c + r
__
r c o
A = B+r
Se dice que un número B (módulo) es divisor o divide a A cuando
está contenido un número entero y exacto de veces.
Ejm: Los divisores de 6 son:
1
2
6
3
6
- 36 -

Propiedad de los Números 37

3) Operaciones y Propiedades:
o o
o o o

a a a * Si : 5a = 7 => a = 7
o
o o o

a a a * Si : 21a = 35
o o
o

a a a
o o
3a= 5 => a = 5
0 0
a k a
o
k
o
* Todo número es múltiplo de la base en la cual
a a está escrito más la última cifra.
o

a entero abcd(n) a.n3 b.n2 c.n d
a o o o
o o o n n n d
a.b a b
o
abcd(n) n d
o
Ejm: 23142 6 6 2

4) Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton y Restos Potenciales

a) Sabemos por álgebra que:

o o o o
2 2
a b a2 2ab b2 a a b2 a b2 a b a b2
o o o o o
3 3
a b a3 3a 2b 3ab 2 b3 a a a b3 a b3 a b a b3

o k
0 0
k
- En general: a b a rk Si K Z
+
ó a r a rk si k Z
+

k o
o
n rk K es par
- n r o
k
n r K es impar

Ejm:


o 96 o
17 3 17 396

o 123 o
6 5 6 5123

128
o o
6 5 6 5128

o 128 o
6 1 6 1

OBSERVACIÓN

o o o o
n a n b n c n a b c

Ejm: Calcular el residuo de dividir 129635 7
Sol:
635
o
129 635 7 3

o
7 3 635
o 211
7 33 32
o
211
7 27 9
211
o 0 o
7 7 1 7 2

o 0 o
7 7 1 7 2

o o o
7 7 ( 1)(2) 7 2
o o
7 7 2 7 5 r 5

b) Restos Potenciales
Se llama restos potenciales a todos a todos residuos que dejan las po-
tencias sucesivas enteras y positivas de un número N (diferente de ce-


ro) al ser divididos entre otro “m” (módulo).
Resultados en
Potencias Sucesivas
o Residuos
de N
función m
N
0 o
m +1 1

N
1 o r1
m + r1

N
2 o r2 Restos Potenciales
m + r2

N
3 o r3
m + r3

N
4 o
m + r4 r4

Ejm: Calcular la restos potenciales de 5 respecto al módulo 9.
Sol.:
o
50 0 1 9 1 r0 1
o
51 0 5 9 5 r1 5
o
52 18 7 9 7 r2 7
o o o o
53 9 5 9 7 9 35 9 8 r3 8 gaussiano

o o o
54 9 7 9 7 9 4 r4 4

o o o
55 9 5 9 4 9 2 r5 2

o o o
56 9 5 9 2 9 1 r6 1

o o o
57 9 5 9 1 9 5 r7 5

g=6 Donde g: gaussiano


CONCLUSIÓN:
o
E 6 ; r 1
o
E 6 1 ; r 5
o
o
E 6 2 ; r 7 E Exponente
5E 9 r o
E 6 3 ; r 8 r residuo
o
E 6 4 ; r 4
o
E 6 5 ; r 2
o
Ejm.: Si : 5226 9 r
o
E 226 6 4
r 4
5) CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Conjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un numeral nos permite
anticipar entre que cantidades es divisible dicho numeral.

a) Divisibilidad por 2: Cuando termina en cero 0 cifra par.
Ejm.:
o
abcd 2 d 0, 2, 4, 6, 8
3528

b) Divisibilidad por 5: Cuando termina en cero cinco.
Ejm.:
o
abcd 5 d 0, 5
325

c) Divisibilidad por 4: Cuando sus 2 últimas cifras son ceros o forman un
número múltiplo de 4.
Ejm.:
o
abcde 4 de 00, 04, 08, 12, 16, ......., 96
32432


d) Divisibilidad por 25: Cuando sus 2 últimas cifras son ceros o forman
un número múltiplo de 25.
Ejm.:
o
abcde 25 de 00, 25, 50, 75
87975
n n n n
e) Divisibilidad por 2 ó 5 : Es divisible por 2 ó 5 si sus “n” últimas ci-
n n
fras son ceros o forman un número que sea divisible por 2 ó 5 res-
pectivamente.

Ejm.:
o
Si: n = 3 abcdef 23
o o
abcdef 8 si def 8

o
325 032 8

Nota: Un número es divisible por 8 si sus 3 últimos cifras son ceros o
forman un número que sea divisible por 8.

f) Divisibilidad por 3: Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
Ejm.: * Si:
o o
abcdef 3 a b c d e f 3
*
o o
33456 3 3 3 4 5 6 3
o
21 3
g) Divisibilidad por 9: Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 9.
Ejm.:
Si:
o o
abcdef 9 a b c d e f 9
o o o
39456 9 3 9 4 5 6 9 27 9


h) Divisibilidad por 11: Cuando la diferencia entre la suma de sus cifras
o
impar menos la suma de sus cifras de orden par deberá ser cero o 11 .
Ejm.:
o o
Si: abcdefg 11 a c e g b d f 11
1836547295 8 6 4 2 5 1 3 5 7 9 0

i) Divisibilidad por 7: Cuando la suma algebraica del producto de sus ci-
fras (de derecha a izquierda) por 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1 ..........
o
respectivamente, deberá ser 0 ó 7.
Ejm.:
Si:
o
a b c d e f g 7

1 2 3 1 2 3 1
-
o
a - ( 2b 3c d) 2e 3 f g 7
o
Si : 760493636 7

7 6 0 4 9 3 6 3 6

2 3 1 2 3 1 2 3 1
-
o
27 – 38 + 32 = 21 = 7
j) Divisibilidad por 13: Cuando la suma algebraica del producto de sus
cifras (de derecha a izquierda) por 1, -3, -4, -1, 3, 4, 1, .......... respec-
tivamente, deberá ser múltiplo de 13.
Ejm.:
Si:
o
a b c d e f g h 13

3 1 4 3 1 4 3 1


o
h - (3 g 4 f e) (3d 4c b) 3a 13

Si :
o
5 5 6 4 13

1 4 3 1

o
4 - (18 20 5) 4 - 43 - 39 13

II. NUMEROS PRIMOS

1. Conceptos Básicos

a) Número Primo o Primo Absoluto:

Son números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos divi-
sores la unidad y el mismo.

Ejm. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ..... etc

Es decir 1
2 Divisores
2
1
3 Divisores
3

b) Números Compuestos:

Son números que admiten mas de dos divisores.
Ejm. 4, 6, 8, 9, 10, 12 ...... etc

Es decir


1 1
1
2 Divisores 2 Divisores 2 Divisores
4 4 8
3 4
4
6 8

Nota: La cantidad de divisores de un número compuesto N es:

cd N cd compuesto cd primos 1

c) Números Primos entre si (PESI):

Es cuando un conjunto de dos o más números admiten como único di-
visor común la unidad.
Ejm.
4 y 9 (divisor común 1)
8, 12 y 15 (divisor común 1)
27, 45, 36, 1 (divisor común 1)

Nota:
Todo número primo mayor que 3 siempre es de la forma
0
6 1 ; lo contrario no siempre se cumple.
Números primos más famosos, descubiertos por personalida-
des (universidades) notables.
127
- Lucas en 1877 publicó: 2 – 1, que tiene 39 cifras.
- “Algo probablemente cierto, pero aún no demostrable”.
Todo número par, es la suma de los números primos.
Algo aparentemente cierto.
n
22 1 es primo. FERMAT.
2
- Fórmula de cálculo de los números primos. n –n+41
valido únicamente para n y n 40
Regla para determinar si un número es primo o no:

Se extrae la raíz cuadrada aproximadamente del numeral dado y apli-
cando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores o
iguales a dicha aproximación.

Ejm.

¿ 139 es primo ?


139 11, ........

Entonces:

0
139 = 2 +1
0
139 = 3 +1
0
139 = 5 +4
0
139 = 7 +6
0
139 = 11 + 7
Por lo tanto 139 es primo, por que ninguna división es exacta.

2. Teorema Fundamental de la Aritmética

“Todo entero positivo mayor que uno, se puede descomponer como el pro-
ducto de factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes,
esta descomposición es única”.
Llamado también “Descomposición canónica”

N A . B .C Donde : A, B, C, ......: Factores primos
, , , ..... : Exponentes
Ejm: Descomponer en sus factores primos el número 360
360 2
180 2
90 2
3 2
45 3 => 360 = 2 . 3 . 5
15 3
5 5
1

3. Estudio de los Divisores de un número entero (N)

a) Cantidad de divisores de un número:
Es igual al producto de los exponentes de sus factores primos previa-


mente aumentados en la unidad.

cd (N) ( 1)( 1)( 1).........

Obs: cd(n) = cdcompuesto + cdprimos+1

b) Suma de divisores de un Número:
Esta dado pro:

A 1 1 B 1 1 C 1 1
sd ( N ) .......
A 1 B 1 C 1
c) Producto de los divisores de un número compuesto
Esta dado por:
cd ( N )
Pd N
(N )

d) Suma de las inversas de los Divisores de un número
Esta dado por:

Sd ( N )
SId ( N )
N
Hallar Cd(N), Sd(N) , Pd(N) y SId(N) de 12
2
12 = 2 . 3

cd(N) = ( 2 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 6
2 3 1 32 1 7 8
Sd(N) = . . 28
2 1 3 1 1 2
6
Pd(N) = 12 12 3 1728
28 7
SId(N) =
12 3
III. MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO

1. Máximo Común Divisor (MCD): Se llama MCD de un conjunto de dos
o más números enteros positivos, al entero que cumple dos condicio-


nes:
- Es un divisor común de todos
- Es el mayor posible
Ejm:

NUMEROS Divisores
12 1, 2, 3, 4, 6, 12
18 1, 2, 3, 6, 9, 18

Entonces: MCD (12,18) = 6

Determinación del MCD

i) Por descomposición canónica: MCD es igual al producto de los facto-
res primos comunes elevados a los menores exponentes posibles.
Ejm:
2 2
A=2 .3 .5
3 4 2
B=2 .3 .5
2 2
MCD (A, B) = 2 . 3 . 5

ii) Por descomposición simultánea: MCD es el producto de los factores
comunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se busca
sólo los factores comunes”.
Ejm.
16 18 2
6 9 3
2- 3
MCD (12,18) = 2 x 3 = 6

iii) Algoritmo de Euclides o divisores sucesivas: Procedimiento sistemático
que se aplica repetidamente hasta obtener residuo cero; entonces el
MCD será el último divisor.

Ejm. MCD (18,12) = ???

1 2
MCD
18 12 6
=> MCD(18, 12) = 6
6 0


Ejm2: Hallar MCD de 984 y 264

3 1 2 1 2
iv)
984 264 192 72 48 24
MCD
192 72 48 24 0

MCD (984, 264) = 24

2. Mínimo Común Múltiplo (MCM)
Se halla MCM de un conjunto de dos o más números enteros positivos
al entero que cumple dos condiciones:
- Es un múltiplo de todos
- Es el menor posible.
Ejm:

NUMEROS Divisores
12 12, 24, 36, 48, 60, 72 ....
18 18, 36, 54, 72,

Entonces: MCD (12,18) = 36

Determinación de MCM

i) Por descomposición canónica: MCM es igual al producto de los fac-
tores primos comunes y no comunes elevados a las mayores expo-
nentes posibles.
Ejm:
2 5
A=2 .3 .5
3 4 2
B=2 .3 .5
3 5 2
MCD (A, B) = 2 . 3 . 5

ii) Por descomposición simultánea: MCM es el producto de factores
comunes multiplicados por los respectivos PESI.
Ejm. Hallar el MCM de 18, 24 y 30


18 - 24 - 30
2
9 - 12 - 15
3
3- 4 - 5
3
1- 4 - 5
4
1- 1 - 5
5
1- 1 -1
MCM = 2 x 3 x 3 x 4 x 5
MCM (18, 24, 30) = 360

3. Propiedades de MCD y MCM

Si A y B son PESI, entonces: MCD(A, B) = 1
Si A y B son PESI, entonces: MCM(A, B) = A . B
El producto de dos enteros positivos siempre es igual al producto de su
MCD y MCM. Es decir

MCD(A,B) . MCM(A,B) = A.B

Sea: A=k Donde: , son PESI
B=k
Entonces:
MCD(A,B) = k
MCM(A,B) = k

Si un conjunto de enteros positivos se reeplazan dos o más de ellos
por su MCD o su MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto de
dichos enteros no es alterado.
Es decir:
MCD(A, B, C) = MCD (MCD(A, B) y MCD (B, C)
MCD(A, B, C, D) = MCD [MCD(A, B) y MCD (C, D)]

4. Casos especiales

MCD(a y a+b) = MCD (a y b)
Si a y b son primos entre si, entonces el MCD de a+b y a-b es 1 ó 2.
MCD(a, b) = MCD(a b, m) donde m = MCM(a, b)
ab(a b)
MCD(a, b, a+b) = donde d = MCD(a, b)
d2


PROBLEMAS RESUELTOS (PROPIEDAD DE LOS NUMEROS)

1. Si: aa0bb(b 2) 13 , Hallar: a+b.

a) 7 b) 8 c) 9 d) 17 e) 18

Solución
0
a a 0 b b (b 2) 13

4 3 1 4 3 1
-

4a 3a 0 4b 3b b 2 13
7a 6b 2 0
7a 2 6b

4 5
Entonces:
a 4
a b 9 Rpta. c
b 5

2. Hallar a + b Si: 4ab58a 56

a) 6 b) 7 c) 9 d) 8 e) 10

Solución

8
4ab58a 56
7
Un número es 8 cuando las tres últimas cifras es 8 .
58a 8
580 a 8


8 4 a 8
a 4 8
a 4

Además es 7 cuando:

4ab58a 7

231 231
- +
8 3a b 10 24 a 7

26 2a b 7
26 8 b 7

18 b 7
b 4
a b 8 Rpta. d

3. Hallar el resto al dividir 10 50 entre 7 .
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Solución
10 50 7
10 50 = 7 3 50
7 3 50
25 25
= 7 32 7 7 2

= 7 7 2 25 7 2 24.2
8
= 7 2 3 .2 7 7 1 8 .2

= 7 (7 1).2 7 7 2

= 7 2
Por tanto el resto es 2. Rpta. b


4. Hallar “n”, Si N 6 162 n tiene 40 divisores.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1
Solución

N 6 162n
n
N 3.2. 2.3 4
N 3 .2 .2 n .3 4 n
N 2 n 1.3 4 n 1

por cantidad de divisores
(n+1+1)(4n+1+1) = 40
(n+2)(4n+2) = 40
2(n+2)(2n+1) = 40
(n+2)(2n+1) = 20
(n+2)(2n+1) = 4x5
n 2 Rpta. a

5. Hallar la diferencia de dos números enteros sabiendo que su MCD es 48
y que su suma es 288.
a) 96 b) 192 c) 240 d) 288 e) 144
Solución
Sean A y B los números:
A k.
si : , son PESI
B k.
Entonces:
MCD(A,B) = 48
k = 48

A B 288
k k 288
k( ) 288
48( ) 288
6

5 1


A = k = (48)(5) = 240
B = k = (48)(1) = 48

A - B = 240 – 48 = 192 Rpta. b

1019
6. Si 2 a...br ( 7 ) Hallar “r”
a) 2 b) 6 c) 4 d) 2 e) 8

Solución

21019 a...br ( 7 ) Todo número es múltiplo de la base en la cual
está escrito más la última cifra.

21019 7 r
2 3 x 339 2
7 r
339
23 .2 2 7 r
339
7 1 .4 7 r

(7 1).4 7 r
7 4 7 r
r=4 Rpta. c

a b ab
7. Si ab 7 3 , ab 7 5 ; Hallar el residuo de dividir ab 7
a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
Solución

a
ab 7 3
10
a 10
ab 7 3

a0 5 5
ab 7 310 7 32 7 7 2


= 7 7 25 7 2 3.2 2
= 7 (7 1).4 7 7 4
= 7 4
a0
ab 7 4 ..........

b
ab 7 5 .............

Multiplicando y :
a0 b
ab .ab 7 4 7 5

a0 b
ab 7 20
ab
ab 7 6
r=6 Rpta. c

8. El número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Si
se cuentan de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobran 6.
¿Cuántas páginas tiene el libro?
a) 524 b) 512 c) 534 d) 547 e) 564

Solución

Sea el número de páginas: abc y 500 abc 600
3 2

abc 5 4

7 6


3 3 2

abc 5 5 4

7 7 6

3 1

abc 5 1

7 1

abc MCM (3;5;7) 1

abc 105 1
abc 105t 1 t = 5, porque 500 abc 600
abc 105(5) 1
abc 524
Rpta. a

9. Hallar dos números enteros sabiendo que su producto es igual a 12 ve-
ces su MCM y que su suma es igual a 6 veces su MCD. Indicar el menor
de dichos números.
a) 10 b) 14 c) 20 d) 12 e) 16

Solución

Sean los números:
A k.
si : , son PESI
B k.

AB = 12 MCM(A;B)
k .k = 12 k
k = 12

A + B = 6 MCD(A;B)

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