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1. UNIVERSIDAD TECNICA ESTATAL DE
QUEVEDO
INTEGRANTES :
LUCERO ALVAREZ FREDDY
SANCHEZ PIN OSVALDO
WINTER ENRIQUE MONTES
MONTUFAR AYALA BYRON.
MATERIA: ANALISIS DE FLUJO DE POTENCIA

2. Método de Newton-Raphson
• Este método nos ayuda a resolver problemas de
flujos de potencia. Este se inicia por el análisis de
la solución de un problema en que intervienen
solamente 2 ecuaciones y dos variables.

3. • La segunda ecuación que contiene una función h2 tal que:
• El símbolo u representa un control independiente que se considera
constante

4. • valores especificados respectivos b1 y b2.se
designaran las correcciones Δx1
(0) y Δx2
(0) como los
valores que se tienen que sumar a x1
(0) y x2
(0) para
dar las soluciones correctas x1
* y x2
*.

5. • El símbolo u representa un control independiente
que se considera constante
• Al expandir la ecuación en series
de Taylor se tiene

6. • El termino ɗg1 /ɗx1І(0) indica que la derivada
parcial se evalúa para los valores estimados x1
(0) y
x2
(0).

7. • Donde la matriz cuadrada de derivadas parciales
se llama jacobiana J o, en este caso J(0) para indicar
que se han usado los estimados iniciales X1
(0) y
X2
(0) para calcular los valores numéricos de las
derivadas parciales.

8. • Se pueden determinar los valores de Δx1
(0) y Δx2
(0)
al resolver las ecuaciones de error, ya sea por
factorización triangular de la jacobiana o (para
problemas muy pequeños) invirtiendo la matriz.

9. Ejemplo
• Encuentre x1 y x2 a partir de la siguientes ecuaciones no
lineales por medio del método de newton-rapshson.
• Considere el parámetro u como un número fijo igual a 1.0 y
seleccione las condiciones iniciales x1
(0) =0rad y x2
(0)=1.0. El
índice de precisión de ε es 10-5.

10. Solución
• La derivada parcial con respecto a las x conduce a
• Donde u=1
• PRIMERA ITERACION .con u=1 y mediante los estimados iniciales
de x1 y x2 , se calculan los errores.

11. Cálculos de errores

12. Segunda iteracion

13. • Estas correcciones también exceden el índice de
precisión, así que se continúa iterando con los
nuevos valores corregidos

14. • Al continuar con la tercera iteración, se encuentra
que las correcciones Δx1
(3) y Δx2
(3) son (cada una)
más pequeñas en magnitud que la tolerancia
estipulada de 10-5.asi, se calcula la solución.

15. 9.4 LA SOLUCION DE FLUJOS DE
POTENCIA DE NEWTON-RAPHSON

16. Se expresaran los voltajes de barra y las de admitancias de línea de forma polar
para aplicar el método de Newton- Raphson a la solución de ecuaciones de flujo
de potencia. Cuando en las ecuaciones (9.6) y (9.7) 𝑛 se hace igual a 𝑖 y los
términos correspondientes se separan de las sumatorias , se obtiene
Estas ecuaciones se pueden derivar fácilmente con respecto a los ángulos y a las
magnitudes de voltaje . Los términos que incluyen 𝑮𝒊𝒊 y 𝑩𝒊𝒊 surgen de la definición de
𝒀𝒊𝒋 en la ecuación ( 9.1) y del hecho de que el ángulo (𝜹𝒏−𝜹𝒊) sea cero cuando 𝒏 =
𝒊
.

17. Por simplicidad, ahora se
escribirán las ecuaciones de
error para un sistema de
cuatro barras y será obvia la
forma de extender estas
ecuaciones para los sistemas
con mas de cuatro barras.

18. Para la potencia real 𝑷𝒊 se tiene
Los últimos tres términos se pueden multiplicar y dividir por su respectivas magnitudes
de voltaje sin alterar sus valores , y de esta manera se obtiene

19. Como se vera mas adelante hay ciertas ventajas al poner la ecuación en esta forma .Una
ecuación similar para los errores se puede escribir para la potencia reactiva 𝑸𝒊 ,

20. Cada barra del sistema que no es de compensación tiene dos ecuaciones parecidas a
∆𝑷𝒊 y ∆𝑸𝒊. Al juntar todas las ecuaciones de error en forma de una matriz – vector se
llega a la ecuación (9.45)

21. No se pueden incluir los errores para la barra de compensación porque ∆𝑷𝟏 y ∆𝑸𝟏
están indefinidos cuando 𝑷𝟏 y 𝑸𝟏 no se programan.
La forma partida de la ecuación (9.45) hace énfasis en los cuatro tipos diferentes de
derivadas parciales que están en la jacobiana 𝑱. Los elementos de 𝑱𝟏𝟐 y 𝑱𝟐𝟐 tienen
multiplicadores de la magnitud de voltaje porque así resulta una jacobiana mas simple y
simétrica. Al seleccionar este formato se ha usado la siguiente identidad
Y las correcciones son y ,como se muestra.

22. La solución de la ecuación (9.45) se encuentra por iteración de la siguiente manera:

23. Usar los nuevos valores 𝜹𝒊
(𝟏)
y | 𝑉𝑖 | 𝟏
como los valores iniciales de la iteración 2 y
continua el proceso.
En términos mas generales ,las ecuaciones actualizadas para los valores iniciales de las
variables de estado son

24. Para el sistema de cuatro barras ,la submatriz 𝑱𝟏𝟏 tiene la forma
Por otro lado cada termino en la sumatoria de la ecuación (9.38) contiene a 𝜹𝒊 y así , el típico
elemento en la diagonal de 𝑱𝟏𝟏 es

25. Los elementos de la submatriz 𝑱𝟏𝟐 se encuentra fácilmente al calcular en primer lugar la
expresión para la derivada y entonces ,multiplicar por |𝑽𝒋| para obtener
La comparación con la ecuación da
Es el resultado mas útil porque reduce el calculo involucrados en la formación de la
jacobiana ,puestos que los elementos fuera de la diagonal de 𝑱𝟏𝟐 son simplemente los
negativos de los elementos en 𝑱𝟐𝟏 .De manera análoga se encuentran los elementos de la
diagonal de 𝑱𝟏𝟐 ,con lo cual se tiene

26. Y al comparar este resultado con las ecuaciones (9.56) y (9.57) se llega a la ecuación
Finalmente los elementos fuera de la diagonal y en la diagonal de la
submatriz 𝑱𝟐𝟐 de la jacobiana son

27. Y al comparar este resultado con las ecuaciones (9.56) y (9.57) se llega a la ecuación
Finalmente los elementos fuera de la diagonal y en la diagonal de la
submatriz 𝑱𝟐𝟐 de la jacobiana son

28. Los resultados desarrollados anteriormente se juntaran en las siguientes definiciones:
Elementos fuera de la diagonal 𝒊 ≠ j
Elementos fuera en la diagonal 𝒊 = j

29. Las interrelaciones entre los elementos en la cuatro submatrices de la jacobiana se pueden ver
mas claramente si se usan las definiciones para volver a escribir la ecuación (9.45) en la forma
siguiente:

30. Hasta aquí se a considerado todas las barras que no son de compensación así como las
barras de carga .Ahora se consideraran también las barras de voltaje controlado.