Expresiones Algebraicas

1. 4. ECUACIONES
4.1. Análisis y Modelación de un sistema de Ecuaciones Lineales
4.2. Métodos de solución de ecuaciones Lineales
4.3. Función Lineal
4.1. ANÁLISIS Y MODELACIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas
miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas,
relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser
números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya
establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas
generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la
ecuación:
La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son
constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que
la satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que
cumpla la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es: 𝑥 = 5
Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin
embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún
valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. También puede ocurrir que haya
varios o incluso infinitos conjuntos de valores que la satisfagan.
En el caso de que todo valor posible de la incógnita haga cumplir la igualdad, la expresión
se llama identidad. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos
expresiones matemáticas, se denominará inecuación. Una ecuación funcional es aquella
en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números
sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación
diferencial.
ECUACIÓN POLINÓMICA
Una ecuación polinómica es una igualdad entre dos polinomios. Realizando las mismas
transformaciones y en el mismo orden, en los dos miembros de la ecuación, puede
conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero, razón por la cual se suele considerar que
una ecuación polinómica es aquella en cuyo primer miembroaparece un polinomio y en cuyo
segundo miembro aparece el cero.
Ejemplo:
𝑥3
𝑦 + 4𝑥 − 𝑦 = −2𝑥𝑦
Sumando 2𝑥𝑦 en ambos miembros, obtenemos:
𝑥3
𝑦 + 4𝑥 − 𝑦 + 2𝑥𝑦 = 0
En cuanto a las ecuaciones polinómicas de grado n de una sola variable sobre los números
reales o complejos, estas pueden resolverse por el método de los radicales cuando 𝑛 < 5.
Se dice que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no está elevada a
ninguna potencia, es decir, su exponente es 1.

2. Una ecuación de primer grado tiene la forma canónica:
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
Con a diferente de cero.
Su solución es la más sencilla: 𝑥 = −
𝑏
𝑎
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Dada la ecuación:
9𝑥 − 9 + 108𝑥 − 6𝑥 − 92 = 16𝑥 + 28 + 396
TRANSPOSICIÓN:
Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros de la
ecuación; normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:
Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad
no varía.
En otras palabras, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro lado
restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6)
La ecuación quedará así:
9𝑥 + 108𝑥 − 6𝑥 − 16𝑥 = 28 + 396 + 9 + 92
Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer
miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes
numéricas, han quedado en el segundo miembro (a la derecha).
SIMPLIFICACIÓN:
El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.
Realizamos la simplificación del primer miembro y simplificamos el segundo
miembro, de tal forma que la ecuación simplificada será:
95𝑥 = 525
DESPEJAR:
Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de la
igualdad. Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la
igualdad no varía.
En otras palabras: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo (en
forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar su signo).
Si dividimos entre un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía.
En otros términos: si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5),
pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sin cambiar su signo). En la ecuación,
debemos pasar el número 95 al otro lado y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin
cambiar de signo):
𝑥 =
525
95
Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en
la que x equivale al número 525
95⁄ . Sin embargo, debemos simplificar.
Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado
diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.

3. En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 =
5,5263157894737)
Por tanto, simplificando, la solución es:
𝑥 =
105
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RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO:
Ejemplo:
Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es igual al doble
de las canicas que tengo menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver
este problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica:
𝑥 + 3 = 2𝑥 − 2
Se podría leer así:
“X número de canicas + 3 canicas es igual a 2 por el número x de canicas menos 2 canicas”.
El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para
ello se sigue este procedimiento:
𝑥 + 3 = 2𝑥 − 2
Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos
independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se
cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:
𝑥 − 2𝑥 = −2 − 3
Que, simplificado, resulta:
−𝑥 = −5
Estaexpresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos
igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que
podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación
por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos
miembros por -1 obtendremos:
𝑥 = 5
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones (una a veces, que se repite
con la otra). Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre
tres tipos distintos de ecuaciones:
ECUACIONES DE LA FORMA 𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒄 = 𝟎
Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las
de primer grado. Tengamos por ejemplo:
𝑥2
− 16 = 0
Pasamos -16 al segundo miembro
𝑥2
= 16
Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta; en este
caso, raíz cuadrada
𝑥 = ±√16
La ecuación tiene las siguientes soluciones
𝑥1 = 4 ⋀ 𝑥2 = −4

4. ECUACIONES DE LAFORMA 𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 = 𝟎
Tengamos:
3𝑥2
+ 9𝑥 = 0
En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de
ambas expresiones:
𝑥(3𝑥 + 9) = 0
Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores
tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera
solución), o:
3𝑥 + 9 = 0
3𝑥 = −9
𝑥 = −
9
3
𝑥 = −3
Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3.
La ecuación tiene las siguientes soluciones
𝑥1 = 0 ⋀ 𝑥2 = −3
ECUACIONES DE LA FORMA 𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
Si tenemos la ecuación cuadrática:
𝒙 𝟐
+ 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟎
Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizamos la fórmula general:
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Si sustituimos las letras por los números, siendo:
a = coeficiente de la incógnita elevada al cuadrado con su signo.
b = coeficiente de la incógnita elevada a uno.
c = coeficiente de la incógnita elevada a cero (el número libre).
Para este caso
𝑎 = 1; 𝑏 = 5 ⋀ 𝑐 = 6
Por lo que:
𝑥 =
−(5) ± √(5)2 − 4(1)(6)
2(1)
𝑥 =
−5 ± √25 − 24
2
𝑥 =
−5 ± √1
2
𝑥 =
−5 ± 1
2
La ecuación tiene las siguientes soluciones
𝑥1 =
−5+1
2
= −
4
2
= −2 ⋀ 𝑥2 =
−5−1
2
= −
6
2
= −3

5. OTRA SOLUCIÓN
Si tenemos la ecuación cuadrática:
𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = 0
También podemos resolver ecuaciones cuadráticas del siguiente modo:
Si hallamos dos números que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual a c, la
expresión:
𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Es equivalente a:
( 𝑥 − 𝑚)( 𝑥 − 𝑛)
Siendo m y n los dos valores (o raíces) de la expresión.
Los valores propuestos son, 𝑚 = −2 y 𝑛 = −3 , puesto que: 2 + 3 = 5 y 2 × 3 = 6.
Luego, la igualdad:
𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = 0
es equivalente a:
( 𝑥 + 2)( 𝑥 + 3) = 0
Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son
1. 𝑥 + 2 = 0 2. 𝑥 + 3 = 0
𝑥1 = −2 𝑥2 = −3