informe del elemento finito

1. PRESENTACION
En la presente exposición daremos una introducción al método
del elemento finito ya que este método numérico es muy útil en
la ingeniería y por consiguiente posee bastante contenido de
cálculo y análisis; resulta relativamente complejo el tratar este
tema más a fondo ya que el tiempo del que disponemos es corto.
El método del elemento finito ofrece una alternativa para la
resolución aproximada de ecuaciones diferenciales. A diferencia
de las técnicas por diferencias finitas, la técnica del elemento
finito divide el dominio de la solución en regiones con formas
sencillas o “elementos”. Se puede desarrollar una solución
aproximada de la EDP para cada uno de estos elementos.
La solución total se genera uniendo, las soluciones
individuales asegurando la continuidad de las fronteras entre los
elementos entonces la EDP se satisface por secciones. El método
del elemento finito usualmente sigue un procedimiento estándar
paso a paso.
El método es adaptable a problemas de difusión de calor, de
mecánica de fluidos, cálculo estructural, campo
electromagnético, campos de velocidades, deformaciones,
presiones, etc.
Dada la dificultad de encontrar la solución analítica de estos
problemas en la práctica ingenieril, los elementos finitos se
convierten en la única alternativa práctica de cálculo.

2. METODO DEL ELEMENTO FINITO
Es un método numérico que sirve para la resolución
ecuaciones diferenciales, utilizado en diversos problemas de
modelamiento en sistemas matemáticos (“físicos” y de
“ingeniera”).
En este método el dominio de la solución se divide en una
malla con puntos discretos o nodos.
Una importante propiedad del método es la convergencia, si se
consideran particiones de elementos finitos sucesivamente más

3. finas, la solución numérica calculada converge rápidamente
hacia la solución exacta del sistema de ecuaciones.
CONCEPTOS PREVIOS:
DISCRETIZACION:
Este paso consiste en dividir el dominio de la solución en
elementos finitos. Los puntos de intersección de las líneas q
forman los lados de los elementos se conocen como nodos, y los
mismos lados se denominan líneas o planos nodales.
ECUACIONES DE LOS ELEMENTOS:
Este paso consiste en desarrollar ecuaciones para aproximar
la solución de cada elemento y consta de dos pasos.
1.- Se debe elegir una función apropiada con coeficientes
desconocidos que se aproximara a la solución.
2.- Se evalúan los coeficientes de modo que la función se
aproxime a la solución de manera óptima.

4. ECUACIONES DE LOS ELEMENTOS:
Debido a su facilidad de manipulación se utilizan polinomios
para este propósito.
En el caso unidimensional la alternativa más sencilla es un
polinomio de primer grado (línea recta).
𝑢(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 …(i) donde:
𝑢(𝑥): Variable dependiente.
𝑎0, 𝑎1: Coeficientes.
𝑥: Variable independiente.
Esta función pasa a través de los valores de 𝑢(𝑥) en los puntos
extremos del elemento en 𝑥1 y 𝑥2, por tanto:
𝑢1 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥1
𝑢2 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥2
Usando la regla de Cramer se obtiene:
𝑎0 =
𝑢1 𝑥2 − 𝑢2 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
; 𝑎1 =
𝑢2 − 𝑢1
𝑥2 − 𝑥1
≪ 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑜𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 ≫.
Siendo:
𝑁1 =
𝑥2 − 𝑥
𝑥2 − 𝑥1
𝑦 𝑁2 =
𝑥−𝑥2
𝑥2 − 𝑥1
Reemplazando en … ( 𝑖) obtenemos:
𝑢 = 𝑁1 𝑢1 + 𝑢2 … ( 𝑖𝑖)

5. ≪ 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 ≫.
Esta ecuación ofrece un medio para predecir valores
intermedios (es decir, para interpolar) entre valores dados 𝑢1y
𝑢1 en los nodos.
La derivada de la ecuación … (𝑖𝑖)
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑑𝑁1
𝑑𝑥
𝑢1 +
𝑑𝑁2
𝑑𝑥
𝑢2
Las derivadas de las N se calculan como sigue.
𝑑𝑁1
𝑑𝑥
= −
1
𝑥2−𝑥1
𝑦
𝑑𝑁2
𝑑𝑥
=
1
𝑥2−𝑥1
Entonces la derivada de … ( 𝑖𝑖) es:
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
𝑥2 − 𝑥1
(−𝑢1 + 𝑢2)
≪ 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑛𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛𝑜𝑑𝑜𝑠>>
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑢2−𝑢1
𝑥2 − 𝑥1
Integrando … (𝑖𝑖) en el intervalo [𝑥1; 𝑥2] se expresa como:
∫ 𝑢𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
= ∫ (𝑁1 𝑢1 + 𝑁2 𝑢2)𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
= ∫ ( 𝑁1 𝑢1) 𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
+ ∫ (𝑁2 𝑢2)𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
Los términos del lado derecho es la integral de un triángulo
rectángulo con base 𝑥2 − 𝑥1 y altura 𝑢.

6. ∫ 𝑁𝑢𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
=
1
2
(𝑥2 − 𝑥1)𝑢
Completando la integral:
∫ 𝑢𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
=
𝑢1+𝑢2
2
(𝑥2 − 𝑥1) <<Regla del
trapecio>>
Obtención de un ajuste óptimo de la función a la solución
Elegido la función de interpolación, se desarrolla la
ecuación que rige el comportamiento del elemento. Esta
ecuación es un ajuste de la función a la solución de la ecuación
diferencial de que se trate.
-Método Directo.
-Método de los residuos ponderados.
-Método variacional.
Los resultados de estos métodos son análogos al ajuste de
curvas; estos métodos especifican relaciones entre las incógnitas
de la ecuación: 𝑢 = 𝑁1 𝑢1 + 𝑢2 … ( 𝑖𝑖) que satisfacen
de manera óptima la EDP.
Matemáticamente las ecuaciones del elemento resultante a
menudo son ecuaciones algebraicas lineales expresadas en
forma matricial: [ 𝑘]{ 𝑢} = {𝐹}
[ 𝑘]: Propiedad del elemento o matriz de rigidez.
{ 𝑢}: Vector columna de las incógnitas en los nodos.
{𝐹}: Vector columna determinado por el efecto de cualquier
influencia externa aplicada a los nodos.

7. CONCLUSION:
El método se puede aplicar a problemas muy diversos como la
propagación de radioactividad de una bomba atómica, el
comportamiento de los diques frente a las olas, simular en
general el comportamiento de fluidos y sólidos, estructuras,
comportamiento de las moléculas como en materiales
piezoeléctricos su aplicación en si es insospechada.
ALGUNAS APLICACIONES DEL ELEMENTO FINITO.
Sobre se utiliza en la ingeniería preventiva, en la prevención del
comportamiento de un producto. En la industria aeronáutica
para una mejor descripción de flexión y torsión.

8. BIBLIOGRAFIA:
-Metodos Numericos para ings. Chapra and Canale 5ed.
-Finite Element Methode. Gouri Dhatt, Gilbert
Tousot, Enmanuel.
- http://www.adina.com/multiphysics.shtml