Conjuntos de Números complejos

1. UNIDAD 1
CONJUNTOS NUMÉRICOS
CLASE 4

2. CONJUNTOS DE NÚMEROS COMPLEJOS
En 𝑄 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛, 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 0
En ℝ 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜
Ahora se plantea un nuevo problema. Se trata de resolver una ecuación de este tipo:
x2+ 4 = 0 x2 = - 4
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 = ± −4
No tiene solución en ℝ
Siguiendo el proceso de las sucesivas ampliaciones de los campos numéricos,
definimos un nuevo conjunto numérico para tratar de resolver la ecuación
x2 = a Cuando a < 0

3. DEFINIMOS UN NUEVO CONJUNTO
z = a, b Número complejo
Componente imaginaria
Componente real
Ejemplos de números complejos
𝑧 = −1,3 𝑧 = −
1
2
, 3 𝑧 = −5, −3
𝑧 = 5
3
, −3 𝑧 = 0,3 𝑧 = 2 + 1,0
ℝ ℂ
1
2
1
2
, 0
2 2,0
-3 −3,0
a 𝑎, 0
ℝ
ℂ
a
2
-3
𝑎, 0
−3,0
2,0
−1,3
5
3
, −3
0, −3
El conjunto de números complejos es una extensión del conjunto de números reales
ℂ = 𝑎, 𝑏 /a ε ℝ y bε ℝ
ℝ
0,1

4. UNIDAD REAL Y UNIDAD IMAGINARIA
Llamamos unidad real al par (1,0)
𝟏, 𝟎 = 1
Llamamos unidad imaginaria al par (0,1)
Definimos la unidad imaginaria
−𝟏 = i entonces 𝐢𝟐 = -1
Observemos que en este conjunto ampliado
de los complejos tenemos un número cuyo
cuadrado es número negativo.
𝟎, 𝟏 = i
−4 = −1 . 4 = −1 . 4 = 2i
−8 = −1 . 8 = −1 . 8 = 4.2 i = 2 2 i
−128= −1 . 128 = −1 ∙ 128 = 𝑖 27 = 24 ∙ 23i= 2:2 24:2. 8 i =4 8 i
Observación: Si bien, la raíz cuadrada de un número negativo no tiene solución en el campo de los Reales. Sin embargo,
es posible trabajar con un sistema más grande como lo son los números complejos, que contienen soluciones a la raíz
cuadrada de cualquier número negativo.
Pasos a seguir al reescribir la raíz cuadrada de un número negativo
• Encontrar los cuadrados perfectos del radical.
• Reescribir el radical cumpliendo la igualdad
• Reescribir como i.
EJEMPLOS:
𝑎. 𝑏 = 𝑎 . 𝑏
−1
Propiedad de la
Radicación, que es válida
para el campo de los
complejos.

5. Presentación de un número complejo
(a, 0) = a
(0, b) = b i
Número real
Número imaginario
puro
a, b = a+ b i
Número complejo
imaginario
Forma de par ordenado
Forma binómica
(3,2) = 3+2 i
(-4,5)= - 4+5 i
EJEMPLOS
5
3
, 0 = 5
3
0,
1
2
=
1
2
i
(0,0) = 0
(2 2 ; -1) = 2 2 − i

6. COMPLEJOS CONJUGADOS
z= 𝑎, 𝑏 = a+ b i y 𝑧 = 𝑎, −𝑏 = a- b i
z= −𝑎, 𝑏 = -a +b i y 𝑧 = −𝑎, −𝑏 = -a-b i
Sea z = 2+3 i su complejo conjugado es 𝐳 =2-3i
z = -3-2i su complejo conjugado es 𝐳 =-3+2i
z = − 3 su complejo conjugado es 𝐳 = - 𝟑
z = -2i su complejo conjugado es 𝐳 = 2i
z = 1-2i su complejo conjugado es 𝐳 = 1+2i
IGUALDAD DE COMPLEJOS
Dos números complejos z = a + b i y
w=c +d i son iguales , si y sólo si:
a=c y b = d
EJEMPLO
Indica los valores reales de x e y
2x − 3y i = 5 + 4 i
2x = 5 ⇒ 𝑥 =
5. 𝟐
2 . 𝟐
⇒ 𝑥 =
5 2
2
=
5
2
2
−3y = 4 ⇒ 𝑦 = −
4
3
EJEMPLO

7. POTENCIACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Potencias de i
𝑖0
= 1
𝑖1 = i
𝑖2 = - 1
𝑖3 = 𝑖2. 𝑖1= (-1). i = - i
𝑖4 = 𝑖3. 𝑖1= (-i). i =- 𝑖2= -(-1) = 1
𝑖5
= 𝑖4
. 𝑖1
= 1. i = 𝑖
𝑖6
= 𝑖5
. 𝑖1
= i. i = 𝑖2
= -1
𝑖7 = 𝑖6. 𝑖1= (-1). i = −𝑖
Generalizando
𝑖4𝑛 = 1
𝑖4𝑛:1 = i
𝑖4𝑛:2 = -1
𝑖4𝑛:3
= -i
Forma práctica
𝑖8
= 1
𝑖9 = i
𝑖10
= - 1
𝑖11 = - i
𝑖15 = 𝑖 2 = -1 14 4
3
2
𝑖71 =𝑖3 =- i 4
71
17
3

8. OPERACIONES CON NÚMEROS
COMPLEJOS
EN FORMA BINÓMICA
SUMA
(a +b i) +(c +d i)
a) (2+3 i) +(-4+5 i) = (2 -4 ) +(3+5) i = -2 +8 i = (-2,8)
b) (-
1
2
+ 3 𝑖) + (1 −
4
5
i) = ( -
1
2
+1) + ( 3 -
4
5
)𝑖 =
1
2
+
4
5
i=(
1
2
,
4
5
)
RESTA
(a +b i) - (c +d i)
a) (2+ 3 i) - (-4+5 i) = (2 – (-4) ) +(3- 5) i = 6 -2 i = (6,-2)
b) (-
1
2
+ 3 𝑖) − (1 −
4
5
i) = ( -
1
2
- 1) + ( 3 – (-
4
5
))𝑖 =
;3
2
+
11
5
=(
;3
2
,
11
5
)

9. OPERACIONES CON
NÚMEROS COMPLEJOS
EN FORMA BINÓMICA
MULTIPLICACIÓN
(a +b i) . (c +d i) =
Aplicamos propiedad
distributiva
a) (2+3 i) . (-4+5 i) = 2.(-4) +2.5 i+ 3.i(-4) + 3.𝑖2.5 = -8+10i-12i +15 𝑖2 =
(-8-15) + (10-12) i = -23 -2i
b) 2i .(-3+4i) = 2i. (-3) +2i.4i = -6i +8 𝑖2
c) ( 2- 3 i). ( 2 + 3 i) =( 2)2
-( 3)2
𝑖2
=2-3.(-1)= 2+3=5
(a + b).(a - b) = 𝒂𝟐-𝒃𝟐
COCIENTE
𝐚 + 𝐛 𝐢
𝐜 + 𝐝 𝐢
=
a)
2;i
3:4i
=
2;𝑖 (𝟑;𝟒𝒊)
(3:4𝑖) (𝟑;𝟒𝒊)
=
6;8𝑖;3𝑖:4𝑖2
32: 42 =
6:4. ;1 : ;8;3 𝑖
9:16
=
2;11𝑖
25
=
2
25
-
11
25
i
b)
81
3
2𝑖
=
𝑖. 81
3
2𝑖.𝑖
=
𝑖. 27.3
3
2𝑖2 =
27
3
3
3
i
2(;1)
=
3 3
3
𝑖
;2
= −
3
2
3
3
𝑖

10. PRACTICAMOS
CÁLCULOS COMBINADOS CON NÚMEROS COMPLEJOS
Z =
𝑖36
+ 4𝑖 + 2𝑖
𝑖
+ 4𝑖 2 =
Cálculos auxiliares
𝑖36 = 𝑖0 = 1
4i 2
= 16i2
=16.(−1) = −16
=
1 + 6𝑖
𝑖
− 16 =
1 + 6𝑖 . 𝑖
𝑖 ∙ 𝑖
− 16 =
𝑖 + 6𝑖2
𝑖2
− 16
=
−6 + 𝑖
−1
− 16 =
−6
−1
+
𝑖
−1
− 16 = 6 − 𝑖 − 16 =
1 + 4𝑖 + 2𝑖
𝑖
+ (−16)
z =
−2 + 3𝑖
(4 + 2𝑖)(−1 + 𝑖)
=
−2 + 3𝑖
−4 + 4𝑖 − 2𝑖 + 2𝑖2
=
−2 + 3𝑖
−4 + 2𝑖 − 2
=
−2 + 3𝑖
−6 + 2𝑖
=
−2 + 3𝑖 (−𝟔 − 𝟐𝒊)
−6 + 2𝑖 (−𝟔 − 𝟐𝒊)
12 + 4𝑖 − 18𝑖 − 6𝑖2
36 + 12𝑖 − 12𝑖 − 4𝑖2
=
12 − 14𝑖 − 6. (−1)
36 − 4. (−1)
=
18 − 14𝑖
40
=
18
40
−
14
40
𝑖 =
9
20
−
7
20
∙ 𝑖
−10 − 𝑖

11. Encuentre el complejo z
𝑧(1 − 𝑖)
𝑖
= 2 − 3𝑖 Z (1-i ) = (2-3i ) i 𝑍 =
2𝑖 − 3𝑖2
(1 − 𝑖)
=
2𝑖 − 3(−1)
(1 − 𝑖)
𝑧 =
2𝑖 + 3 (1 + 𝑖)
(1 − 𝑖)(1 + 𝑖)
=
2𝑖 + 2𝑖2 + 3 + 3𝑖
1 + 𝑖 − 𝑖 − 𝑖2
=
5𝑖 − 2 + 3
1 − (−1)
=
1 − 5𝑖
2
=
1
2
−
5
2
𝑖
𝑧𝑖 + 4 = 𝑖 𝑧𝑖 = 𝑖 − 4
𝑧 =
−4 + 𝑖 . 𝑖
𝑖. 𝑖
=
−4𝑖 + 𝑖2
𝑖2
=
−1 − 4𝑖
−1
𝑧 = 1 + 4𝑖

12. Hallar el valor de k , tal que z sea
a) Un número real
b) Un número imaginario puro
𝑧 =
1 − 𝑘𝑖
2 − 𝑖
=
(1 − 𝑘𝑖) ∙ (2 + 𝑖)
2 − 𝑖 . (2 + 𝑖)
=
2 + 𝑖 − 2𝑘𝑖 − 𝑘𝑖2
4 + 2𝑖 − 2𝑖 − 𝑖2
=
2 + 𝑘 + 1 − 2𝑘 𝑖
4 + 5
=
=
(2 + 𝑘) + 1 − 2𝑘 𝑖
9
=
(2 + 𝑘)
9
+
1 − 2𝑘 𝑖
9
a + b i
b = 0
a = 0
𝑎)
(2 + 𝑘)
9
= 0 2+k = 0
K = -2

13. Encuentre el complejo Z y W
Z+W = -1+2i
Z.i+ 1 − 𝑖 . 𝑊 = 1 + 3𝑖
Z = −1 + 2𝑖 − 𝑊
[(1-2i)-W] i +(1−i ). W = 1 + 3i
[(1-2i)-W] i +(1−i ). W = 1 + 3i (1-2i).i –W i +W –W i = 1+3 i
i-2𝑖2 − 2𝑊𝑖 + 𝑊 = 1 + 3𝑖 i+2 +W (1-2i ) = 1+ 3i
W (1-2i ) = 1+3i –i−2 𝑊 =
−1 + 2𝑖
1 − 2𝑖
=
−(1 − 2𝑖)
(1 − 2𝑖)
= -1
Z = −1 + 2𝑖 − 𝑊 Z = -1+2i –(-1) = -1+2i+1 = 2i

14. MÓDULO Y ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO
Los números reales se pueden representar como puntos de una recta.
¿Cómo representamos a los números complejos ?
z=(a , b) = a +b i
PLANO
COMPLEJO
Como puntos en el plano complejo
Parte
imaginaria
Parte
imaginaria

15. DISTANCIA ENTRE DOS NÚMEROS REALES
|2-(-1)|=|-1-2|=|a-b|
|z| se define como la distancia desde el
punto (0,0) al punto (a,b) que representa
al número complejo.
a
b
z = a2 + b2
𝑧 = 22 + 12 = 5
MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO

16. Argumento del número complejo z
tg 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑏
𝑎
a
b
z= 2+i
tg 𝛼 =
1
2
α = arctg
1
2
= 26° 33’ 54,18’’ CON CALCULADORA EN MODO D
Shift tan (
b
a
) = α

17. 𝛽 = arctg
2
;2
= −45 °
𝛽 = 180° −45 ° =135 °
𝛾 = arctg
;1
;1
= 45 °
𝛾 =180° + 45 °= 225°
𝜃 = arctg
;1
2
= −26 ° 33’ 54,18’’
𝜃 = 360° −26 ° 33’
54,18’’= 273° 26′5,82 ′

18. a
b
|z|
cos 𝛼 =
𝑎
|𝑧|
sen 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑏
|𝑧|
cos 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑎
|𝑧|
𝑧 cos 𝛼 = 𝑎
sen 𝛼 =
𝑏
|𝑧|
𝑧 s𝑒𝑛 𝛼 = 𝑏
FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
z=(a , b)= a + b i = |z| cos α + z sen α i = |z| (cos α + i sen α )

19. PRACTICAMOS
𝑧 = −2 + 3𝑖 Forma de par ordenado 𝑧1 = (−2,3)
Módulo 𝑧 = (−2)2+32 = 4 + 9 = 13
Argumento tan 𝛼 =
3
−2
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 tan(
−3
2
) = −56° 18′35,76′′
Forma trigonométrica
Z = 13 (cos 123° 41’ 24,2’’ + i sen 123° 41’ 24,2’’ )
𝛼 = 180° + (56,30°) = 123°41′24,2′′

20. NUESTRO RECORRIDO POR LOS DISTINTOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
NATURALES
ENTEROS
RACIONALES
REALES
ENTEROS POSITIVOS
Se amplia con
ENTEROS NEGATIVOS
ENTEROS
ℤ
RACIONALES ENTEROS
Se amplia con
RACIONALES
FRACCIONARIOS
RACIONALES
ℚ
REALES RACIONALES
Se amplia con
REALES IRRACIONALES
REALES
ℝ
Se amplia con
COMPLEJOS REALES
COMPLEJOS IMAGINARIOS
COMPLEJOS
C