Matemáticas 1 bach cn anaya. Solucionario

PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
El número áureo
Para hallar la relación entre la diagonal y el lado del pentágono regular, da los si-
guientes pasos:
a) Demuestra que los triángulos BED y BCF son semejantes.
Recordamos los ángulos de un pentágono:
1º. α = = 72°; β = = 54°; 2β = 108°
2º. γ = = 36°
3º.
^
B = 108° – 2 · 36° = 36°
^
E =
^
D = = 72°
Sabíamos que γ = 36°.
El triángulo BEC es idéntico al BED:
^
C =
^
E =
^
D = 72° ⇒
^
F = 72°
Luego los dos triángulos tienen sus ángulos iguales ⇒ son semejantes.
180° – 36°
2
180° – 108°
2
180° – 72°
2
360°
5
Unidad 1. Números reales 1
NÚMEROS REALES1
C
B
D
E
A
F
2β
α
β
β
108°
γ
γ
γ
γ
36°
36°
B
B
E D
F C
γ

b)Llamando l = = = y tomando como unidad el
lado del pentágono, = = = = 1, a partir de
la semejanza anterior has de llegar a la siguiente ecuación:
=
Despejando l obtendrás su valor.
Por ser semejantes (apartado a)) ⇒ = , es decir: = .
Despejamos l:
l (l – 1) = 1 ⇒ l2 – l – 1 = 0 ⇒ l = =
Como l es una longitud, la solución válida es la positiva:
l = . Este es el número áureo, Φ
Página 27
El rectángulo áureo
El rectángulo adjunto tiene la peculiaridad de que
si le suprimimos un cuadrado, el rectángulo que
queda, MBCN, es semejante al rectángulo inicial
ABCD. Comprueba que, efectivamente, en tal caso,
el rectángulo es áureo, es decir:
= Φ (número de oro)
Tomamos como unidad el lado pequeño del rectángulo: = = 1, y llamamos
x = = . Así:
Al ser semejantes los rectángulos, tenemos que: =
Despejamos x:
x (1 + x) = 1 ⇒ x2 + x – 1 = 0 → x = =
–1 ± √5
2
–1 ± √1 + 4
2
1
x
1 + x
1
NCMB
BCAD
AB
AD
1 + √5
2
1 ± √5
2
1 ± √1 + 4
2
1
l – 1
l
1
—
ED
—
FC
—
BD
—
BC
1
l – 1
l
1
EFEDBFBC
ECBDBE
B
C
D
E
1
F
A
A M B
D N C
1A Bx
x
D CN
M
1
1 1 1

Como x es una longitud, la solución válida es la positiva:
x =
Hallamos la razón entre los lados del rectángulo:
= = 1 + x = 1 + = = = Φ
Obtenemos el número de oro.
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1. Halla gráficamente y .
2. Inventa dos números irracionales dados en forma decimal.
Por ejemplo: 2,01001000100001 …
3,122333444455555 …
3. Razonando sobre la figura del margen, CONSTRUCCIÓN DEL NÚMERO ÁUREO, justifica
que si = = 1, entonces = Φ.
• Si = 1, entonces = = = .
• Si = y = 1, aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:
= =
• Por tanto: = + = + = = Φ
Página 31
1. Representa los siguientes conjuntos:
a) (–3, –1) b) [4, + ∞) c) (3, 9] d) (–∞, 0)
1 + √5
2
√5
2
1
2
OBODBD
√5
2
1
√1 + —
4
OB
AB1
2
OA
1
2
ODOCOAAC
BDACAB
√13√6
1 + √5
2
2 – 1 + √5
2
–1 + √5
2
1 + x
1
—
AB
—
AD
–1 + √5
2
√
—
6
√
—
5
√
—
13
2
2
1
1
3
a)
c)
b)
d)
–3
3
–1 0
0 96
0
0
4

2. Representa los siguientes conjuntos:
a) {x/–2 ≤ x < 5} b) [–2, 5) U (5, 7]
c) (–∞, 0) U (3, +∞) d) (–∞, 1) U (1, + ∞)
Página 32
1. Halla los siguientes valores absolutos:
a) |–11| b) |π| c) |– |
d) |0| e) |3 – π| f) |3 – |
g) |1 – | h) | – | i) |7 – |
a) 11 b) π c)
d) 0 e) π – 3 f) |3 – | = 3 –
g) |1 – | = – 1 h) | – | = – i) |7 – | = – 7
2. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:
a) |x| = 5 b) |x| ≤ 5 c) |x – 4| = 2
d) |x – 4| ≤ 2 e) |x – 4| > 2 f ) |x + 4| > 5
a) 5 y –5 b) – 5 ≤ x ≤ 5; [–5, 5]
c) 6 y 2 d) 2 ≤ x ≤ 6; [2, 6]
e) x < 2 o x > 6; (–∞, 2) U (6, +∞) f) x < – 9 o x > 1; (–∞, –9) U (1, +∞)
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1. Simplifica:
a) b) c)
d) e) f)
a) = b) = c) = y2
d) = = e) = = = f) = =
2. ¿Cuál es mayor, o ?
Reducimos a índice común:
= ; =
Por tanto, es mayor .
4
√31
12
√28561
3
√13
12
√29791
4
√31
3
√13
4
√31
√3
8
√348
√81
3
√4
3
√229
√269
√64√2
6
√236
√8
5
√y103
√x2
12
√x84
√x3
12
√x9
8
√81
9
√64
6
√8
5
√y1012
√x812
√x9
√50√50√2√3√3√2√2√2
√2√2
√5
√50√3√2√2
√2
√5
a)
c)
b)
d)
0 1
0 5–2 –2 0 5 7
0 3

3. Reduce a índice común:
a) y b) y
a) = ; = b) = ;
4. Simplifica:
a) (√
—
√
—
)8
b)
5
√
—3
√
—
c)
3
√
—
( )6
a) ( )8
= k b) = c) = x
Página 34
5. Reduce:
a) · b) · c) · ·
a) · = b) · = c) · · =
6. Simplifica:
a) b) c) d)
a) = = b)
6
=
c)
6
=
6
= d)
4
=
4
=
4
7. Reduce:
a) b) c) d)
a)
6
= b)
6
= =
c)
10
= = d)
4
= = 3
8. Suma y simplifica:
a) 5 + 3 + 2 b) + –
c) + – – d) – + + e) – √18a√50a√8√12√50√27√8√2√50√18
√2√25 · 2√9 · 2√x√x√x
4
√34
√ 36
32
10
√8
10
√23
√ 28
25
3
√326
√34
√ 36
32
6
√3
√ 34
33
4
√729
√3
5
√16
√2
√
–
9
3
√
–
3
3
√32
√3
√ a
b c
1
c√ a
b c5√ a3 b5 c
a2 b6 c6
6
√a–1
√1
a√a3
a4
6
√a b
√a3 b3
a2 b2√x–2
√ 1
x2√ x3
x5
4
√a3 · b5 · c
√a · b3 · c3
6
√a3
3
√a2
√a · b
3
√a · b
5
√x
3
√x
8
√278
√2
8
√228
√246
√356
√3
6
√34
15
√2815
√2315
√25
8
√2
4
√2√2
6
√3
3
√9
5
√2
3
√2
6
√x63
√x2
15
√x108
√k
√xx10
√k
9
√132650
9
√132651
3
√51
36
√a1418
√a736
√a1512
√a5
9
√132 650
3
√51
18
√a712
√a5

a) 10
b) 3 + 5 – = 7
c) + – – = + – – =
= 3 + 5 – – 2 = 5
d) – + + = 3 –5 + 2 + 2 = 5 – 3
e) – = 5 – 3 = 2
Página 35
9. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:
a) b) c) d) e)
f) g) h) i ) j )
a) = b) = = c) = =
d) = = e) = = =
f) = = = = g) = =
h) = = = =
i) = = = =
j) = = = =
10. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:
a) b) c) d) e)
f) g) + + h) + 1
√
–
x + √
–
y
1
√
–
x – √
–
y
1
√
–
2 + 1
1
√
–
2 – 1
1
√
–
2
3√
–
2 + 2√
–
3
3√
–
2 – 2√
–
3
1
2√
–
3 – √
–
5
√
–
x + √
–
y
√
–
x – √
–
y
a – 1
√
–
a – 1
x + y
√
–
x + √
–
y
1
√
–
2 + 1
3
√10
5
2
3
√10
10
2
3
√2 · 5
2 · 5
2
3
√22 · 52
2
3
√100
3
√6
2
3
3
√6
6
3
3
√2 · 3
2 · 3
3
3
√22 · 32
3
3
√36
3
√25
10
3
√52
10
1
2
3
√5
2
3
√23 · 5
1
3
√40
2
3
√5
5
2
3
√52
2
3
√25
2√2
3
4√2
6
4
3√2
4
√2 · 32
4
√18
3√2
10
3
5√2
3
√2 · 52
3
√50
√a
a2
1
a √a
1
√a3
√21
3
√7
√3√7
3
3
3
√2
2
3
3
√22
3
3
√4
5√7
7
5
√7
2
3
√
—
100
3
3
√
—
36
1
3
√
—
40
2
3
√
—
25
4
√18
3
√50
1
√a3√7
3
3
3
√
—
4
5
√7
√2a√2a√2a√2 · 32 · a√2 · 52 · a
√2√3√2√3√2√3√23√22 · 3√2 · 52√33
√2√2√2√2√2
√23√2√2 · 52√2 · 32√8√2√50√18
√2√2√2√2
√x

a) = = – 1
b) = =
c) = = + 1
d) =
e) = =
f) = = = 5 + 2
g) + + = + 2 =
h) =
Página 37
1. Calcula en notación científica sin usar la calculadora:
a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 1012 b) 0,486 · 10–5 + 93 · 10–9 – 6 · 10–7
a) (800000 : 0,0002) · 0,5 · 1012 = [(8 · 105) : (2 · 10–4)] · (5 · 1011) =
= (4 · 109) · (5 · 1011) = 20 · 1020 = 2 · 1021
b) 0,486 · 10–5 + 93 · 10–9 – 6 · 10–7 = 4860 · 10 –9 + 93 · 10–9 – 600 · 10–9 =
= (4860 + 93 – 600) · 10–9 = 4353 · 10–9 = 4,353 · 10–6
2. Opera con la calculadora:
a) (3,87 · 1015 · 5,96 · 10–9) : (3,941 · 10–6) b) 8,93 · 10–10 + 7,64 · 10–10 – 1,42 · 10–9
a) 3,87 15 5,96 9 3,941 6
Es decir: 5,85 · 1012
b) 8,93 10 7,64 10 1,42 9
Es decir: 2,37 · 10–10
2√
—
x
x – y
√
—
x + √
—
y + √
—
x – √
—
y
x – y
5√
—
3
2
√2
√2
2
√
—
2 – 1
1
√
—
2 + 1
1
√2
2
√6
30 + 12 √
—
6
6
18 + 12 + 12 √
—
6
6
(3√
—
2 + 2√
—
3 )
2
18 – 12
2√
—
3 + √
—
5
7
2√
—
3 + √
—
5
12 – 5
2√
—
3 + √
—
5
(2√
—
3 – √
—
5 ) (2√
—
3 + √
—
5 )
x + y + 2 √
—
x y
x – y
(√
—
x + √
—
y) (√
—
x + √
—
y)
(√
—
x – √
—
y ) (√
—
x – √
—
y )
√a
(a – 1) (√
—
a + 1)
(a – 1)
(a – 1) (√
—
a + 1)
(√
—
a – 1) (√
—
a + 1)
x √
—
x – x √
—
y + y √
—
x – y √
—
y
x – y
(x + y) (√
—
x – √
—
y )
x – y
(x + y) (√
—
x – √
—
y )
(√
—
x + √
—
y ) (√
—
x – √
—
y )
√2
√
—
2 – 1
2 – 1
√
—
2 – 1
(√
—
2 + 1) (√
—
2 – 1)

1. Halla:
a) log2 16 b) log2 0,25 c) log9 1 d) log10 0,1 e) log4 64
f) log7 49 g) ln e4 h) ln e –1/4 i ) log5 0,04 j ) log6 ( )
a) log2 16 = log2 24 = 4 b) log2 0,25 = log2 2–2 = –2 c) log9 1 = 0
d) log10 0,1 = log10 10–1 = –1 e) log4 64 = log4 43 = 3 f) log7 49 = log7 72 = 2
g) ln e4 = 4 h) ln e–1/4 = –
i) log5 0,04 = log5 5–2 = –2 j) log6 ( )= log6 6–3 = –3
2. Halla la parte entera de:
a) log2 60 b) log5 700 c) log10 43 000
d) log10 0,084 e) log9 60 f) ln e
a) 25 = 32 ; 26 = 64 ; 32 < 60 < 64
5 < log2 60 < 6 → log2 60 = 5, …
b) 54 = 625 ; 55 = 3125 ; 625 < 700 < 3125
4 < log5 700 < 5 → log5 700 = 4, …
c) 104 = 10000 ; 105 = 100000 ; 10000 < 43000 < 100000
4 < log10 43000 < 5 → log10 43000 = 4, …
d) 10–2 = 0,01 ; 10–1 = 0,1 ; 0,01 < 0,084 < 0,1
–2 < log10 0,084 < –1 → log10 0,084 = –1, …
e) 91 = 9 ; 92 = 81 ; 9 < 60 < 81
1 < log9 60 < 2 → log9 60 = 1, …
f) ln e = 1
3. Aplica la propiedad 8 para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de la
calculadora:
a) log2 1 500 b) log5 200 c) log100 200 d) log100 40
En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciación.
a) = 10,55; 210,55 ≈ 1500 b) = 3,29; 53,29 ≈ 200
log 200
log 5
log 1500
log 2
1
216
1
4
1
216

c) = 1,15; 1001,15 ≈ 200 d) = 0,80; 1000,80 ≈ 40
4. Sabiendo que log5 A = 1,8 y log5 B = 2,4, calcula:
a) log5
3
b) log5
a) log5
3
= [2 log5 A – log5 25 – log5 B] = [2 · 1,8 – 2 – 2,4] = ȃ –0,27
b) log5 = log5 5 + log5 A – 2 log5 B = 1 + · 1,8 – 2 · 2,4 = 1 + 2,7 – 4,8 = –1,1
5. Averigua la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica:
ln y = 2x – ln 5
ln y = 2x – ln 5 → ln y = ln e2x – ln 5
ln y = ln → y =
Página 44
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
Números racionales e irracionales
1 Expresa como fracción cada decimal y opera:
0,
)
12 – 5,
)
6 – 0,23
)
+ 3,1
☛ Recuerda que 5,6
)
= ; 0,23
)
= .
– – + = – = –2,6
)
78
2 Demuestra que el producto 4,0
)
9 · 1,3
)
9 es un decimal exacto.
☛ Comprueba, pasando a fracción, que los dos factores son decimales exactos.
4,0
)
9 = = = 4,1 1,3
)
9 = = = 1,4
4,0
)
9 · 1,3
)
9 = 4,1 · 1,4 = 5,74
126
90
139 – 13
90
369
90
409 – 40
90
442
165
31
10
21
90
51
99
12
99
23 – 2
90
56 – 5
9
e2x
5
e2x
5
3
2
3
2
5√A3
B2
–0,8
3
1
3
1
3√A2
25B
5√A3
B2√A2
25B
log 40
log 100
log 200
log 100

3 Calcula: a) b)
a) = = 1,
)
3 b) = = 0,
)
4
4 Indica cuál, de cada par de números, es mayor:
a) y b) 0,52
)
6 y 0,
)
526 c) 4,
)
89 y 2 d) –2,098 y –2,1
a) b) 0,52
)
6 c) 4,
)
89 d) –2,098
5 Observa cómo hemos representado algunos números irracionales:
En el triángulo OAB, = 1, = 1 y = = .
Por tanto, el punto D representa a .
¿Qué números representan los puntos F y H? Justifica tu respuesta.
F representa , pues = = = ( )2 + 12 =
H representa , pues = = ( )2 + 12 =
6 ¿Cuáles son los números racionales a, b, c, d representados en este gráfico?
a =
b =
c =
d = –
Potencias
7 Halla sin calculadora: ( – )–2
( – )–1
+ 4
( )
–2
· (– )
–1
+ 4 = ( )
2
· (– )+ 4 = –4 + 4 = 0
9
4
4
3
4
9
3
4
7
9
1
3
3
4
3
2
1
7
5
7
4
7
2
7
√6√5OGOH√6
√3√2√ —
OD2 +
—
DC 2OCOF√3
√2
√2√12 + 12OAABOB
√2
√6√2
140
99
2
3
4
9
4
3√16
9
√1,3
)
3
√1,
)
7
0 1 D
B
H
GECA
F 2 3
1
2
a b c
d
m es un segmento
cualquiera
m
m
m
m
m
m
m
m
1
0

8 Simplifica, utilizando las propiedades de las potencias:
a) b) c) d)
☛ Mira, en EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS, el n-º 2 c).
a) = b) = =
c) = = 2–8 = d) =
9 Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccio-
nario y simplifica:
a) · b) c)
a) a2/5 · a1/2 = a9/10 = b) = x1/6 = c) a–3/4 =
10 Resuelve, sin utilizar la calculadora:
a) b) c) d) e) f)
a) = 2 b) = 7 c) = 5
d) = = 0,5 e) = 24 = 16 f) = 0,1
11 Expresa como una potencia de base 2:
a) b) (–32)1/5 c) ( )4
a) 2–1/2 b) (–25)1/5 = –2 c) 24/8 = 21/2
12 Calcula utilizando potencias de base 2, 3 y 5:
a) 4 · (– )3
b) (– )4
· ( )–1
·
c) d)
a) 22 · · = = b) · · = =
c) = = =
d) = – =
–3
400
3
52 · 24
32 · 52
–2 · 3 · 5 · 23 · 53
18
125
2 · 32
53
53 · 29 · 34
32 · 52 · 28 · 54
(–5)3 · (–23)3 · (–32)2
32 · 52 · (22 · 5)4
9
256
32
28
1
23
32
2
1
24
–9
2
–32
2
(–3)3
23
1
3
(–30)–1 · 152
103
(–5)3 (–8)3 (–9)2
152 · 204
1
8
2
9
1
2
3
2
1
3
8
√2
1
√2
3
√0,133
√2121
2√1
4
4
√543
√735
√25
3
√0,001
3
√84√0,25
4
√625
3
√343
5
√32
4
√a–36
√x
x2/3
x1/2
10
√a9
1
4
√a3
3
√x2
√x
√a
5
√a2
a2 c8
b6
c7 a5 c
a3 b4 b2
1
256
1
28
32 · 52 · 2–3
23 · 33 · 22 · 52
80
27
24 · 5
33
34 · 24 · 3–2
5–1 · 35
5
2
36 · 25 · 52
36 · 26 · 5
a–3 b–4 c7
a–5 b2 c–1
152 · 8–1
63 · 102
34 · 16 · 9–1
5–1 · 35
36 · 25 · 52
93 · 43 · 5

13 Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica:
a)
b) 161/4 ·
3
·
a) = a–7/4 =
b) (24)1/4 · (22)–1/3 · (22)–1/6 = 2 · 2–2/3 · 2–1/3 = 20 = 1
14 Justifica las igualdades que son verdaderas. Escribe el resultado correcto en
las falsas:
a) = 1 b) (3–2)–3
( )
2
= 1
c) = d) ( )–2
– (–3)–2 =
a) Falsa. =
b) Verdadera. (3–2)–3 · ( )
2
= 36 · ( )
2
= 36 · = = 1
c) Verdadera. = = =
= + =
d) Verdadera. ( )
–2
– (–3)–2 = 32 – = 32 – = 9 – = =
15 Demuestra, utilizando potencias, que:
a) (0,125)1/3 = 2–1 b) (0,25)–1/2 = 2
a) (0,125)1/3 = ( )
1/3
= ( )
1/3
= ( )
1/3
= = 2–1
b) (0,25)–1/2 = ( )
–1/2
= ( )
–1/2
= ( )
–1/2
= (22)1/2 = 21
22
1
4
25
100
1
2
1
23
1
8
125
1000
80
9
81 – 1
9
1
9
1
32
1
(–3)2
1
3
8
15
1
5
1
3
(1/3 – 1/5) (1/3 + 1/5)
(1/3 – 1/5)
(1/32) – (1/52)
1/3 – 1/5
3–2 – 5–2
3–1 – 5–1
36
36
1
36
1
33
1
27
a4
b4
a2 · b–2
a–2 · b2
80
9
1
3
8
15
3–2 – 5–2
3–1 – 5–1
1
27
a2 · b–2
a–2 · b2
1
4
√7
a3/4 · a–1
a · a1/2
1
6
√4√1
4
4
√a3 · a–1
a √a

Radicales
16 Introduce los factores dentro de cada raíz:
a) 2 b) 4
3
c)
d)
3
e) 2 f)
a) = b)
3
= = =
c) = d)
3
=
3
e) = = = f)
3
=
3
=
3
17 Saca de la raíz el factor que puedas:
a) b) 4 c)
d) e) f )
g) h) i)
a) = 2 b) 4 = 4 · 2 = 8 c) = 10
d) = 2a e) = f) =
g) h) = 2 i) =
18 Simplifica:
a) b) c)
4
a)
6
=
6
=
6
= ( )
3/6
= ( )
1/2
=
b)
8
=
8
=
8
= ( )
4/8
= ( )
1/2
=
c)
4
=
4
= ( )
2/4
= ( )
1/2
= =
√5
2
√5
√4
5
4
5
4√52
42√25
16
√1
5
1
5
1
5√(2
)4
10√ 24
104√ 16
10000
√ 3
10
3
10
3
10√(3
)3
10√ 33
103√ 27
1000
√1 +
9
16
8
√0,0016
6
√0,027
5√a
12√ 25a
16 · 9
√a2 + 1√4(a2 + 1)
√1
a
4
a
√13
1
6√13
36√5
b
5a
4√53 · a2
24 · b
3
√a23
√23 · a5
√10√23 · 53√2√2√233
√2
3
√24
a a
√— + —
9 16
√4a2 + 4
√16
a3
1 1
√— + —
4 9√125a2
16b
3
√8a5
√1 000√8
3
√16
√ 3
25√ 3
52√3 · 5
53√8√234
√264
√24 · 22
√3
5√33 · 52
53 · 32√ 3
2x√22 · 3x
x2 · 23
3
√16
3
√243
√42
√43
4
3
√24
3
√3 · 23
3
√151
5
4
√4
√25
9
3
5
√ 3x
8
2
x√ 1
4
3
√3

19 Simplifica los siguientes radicales:
a) b) c)
d) e)
4
f ) :
a) = 2 b) = 33/6 = 31/2 = c) – = –3
d) = = · = ·
e)
4
= = =
f) : = : = 1
20 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor:
a) , , b) , c) , d) , ,
a) , , ; = <
b) , ; <
c) , ; <
d) , , ; < <
21 Realiza la operación y simplifica si es posible:
a) 4 · 5 b) 2 · c)
d) ( )2
e) ( )3
f ) :
a) 20 = 20 = 20 = 180
b) 2 = 2 = 6
c) = =
d) ( )2
= = 2 = 2
e) ( )3
= = = 22 = 4
f) : = 2 : = 2
3
√3
3
√3
3
√3
3
√23 · 3
√2√2√256
√2156
√25
3
√18
3
√2 · 323
√24 · 323
√22 · 3
1
2√1
4√2
8
√1
2√9
2√4 · 27
3 · 8
√2√2 · 34√33 · 2 · 3√27 · 6
3
√3
3
√24
6
√32
3
√12
√1
8
√2
√27
8√4
3
√6√27
4
√72
6
√100
3
√9
12
√10000
12
√6 561
12
√373 248
5
√10
4
√6
20
√10000
20
√7 776
√6
3
√4
6
√16
6
√216
3
√3√2
4
√4
12
√64
12
√81
12
√64
6
√100
3
√9
4
√72
5
√10
4
√6
3
√4√6√2
3
√3
4
√4
√5√5
4
√528
√54
3√2
4
3
2√2
3
√23√34
26
4
√y√2
4
√y
4
√224
√22 · y
12
√26 · y3
3
√223
√33 · 22√3
6
√333
√3
3
√23 · 3
4
√25
8
√625
√81
64
12
√64 y3
3
√–108
6
√27
3
√24

22 Efectúa y simplifica, si es posible:
a) · b) ·
3
c) ( )
3
d) :
☛ En b) y c) puedes expresar los radicales como potencias de bases a y 2, respec-
tivamente.
a) =
b) · · =
c) (6
)
3
= (6
)
3
=
6
= =
d) : = : =
23 Expresa con solo una raíz:
a)
4
√
—3
√
—
b)
3
√
—
2
4
√
—
c) ( · ) :
a)
b) = =
c)
20
= = a
24 Racionaliza los denominadores y simplifica:
a) b) c) d) e)
a) = = =
b) =
c) =
d) = = =
e) = = = 8
8 √8
√8
3√8 + 6√

8 – √

8
√8
√23 · 32 + 3√

25 – √

23
√23
3 – √3
2
3 (3 – √3)
2 · 3
9 – 3 √3
6
3 (3 – √3)
9 – 3
2 – √2
2
(√2 – 1) √

2
2
3
√4
2
3
√4
2
√6
3
2√6
3 · 2
2√3
3√2
2√3
√2 · 32
√72 + 3 √

32 – √

8
√

8
3
3 + √
–
3
√2 – 1
√2
2
3
√2
2√3
√18
20
√a
20
√a21
√a15 · a16
a10
12
√128
12
√2712
√24 · 23
12
√4
√a
5
√a44
√a3
84
6
√3
6
√226
√22 · 3√
3
√

22
3
√√

22 · 3
1
4
1
22√ 1
212√ 1
24√25
29
√a√a
1
3
√a
3
√a
6
√108
6
√22 · 33
√3
√

4
3
√2 √

3
6
√32
√8
√a
√1
a
3
√a√3
3
√2

25 Calcula y simplifica:
a) 5 + 6 – 7 + b) + 2 – –
c) + – – d) ( + ) ( – 1)
a) 25 + 18 – 14 + 6 = 35
b) 2 + 2 – 3 – 21 = –20
c) 5 + 3 – 3 – 2 = 2 +
d) – + – = 2 – + 3 – = + 2
26 Simplifica al máximo las siguientes expresiones:
a) 3 – 2 + 5 – 4
b) – 4 +
c) 7 – 2 +
a) 3 – 2 + 5 – 4 = 6 – 10 + 15 – 4 = 7
b) – 4 + = – + =
c) 7 – 2 + = 21 – 2a + = ( – 2a)
27 Efectúa y simplifica:
a) ( + )2
– ( – )2
b) ( + ) 2
c) ( – ) ( + ) d) (2 – 3 )2
e) ( – 1) ( + 1)
a) ( + + – ) · ( + – + ) = 2 · 2 = 4
b) 2 + 2 = 4 + 2
c) 5 – 6 = –1
d) 20 + 18 – 12 = 38 – 12
e) (2 – 1) = √3√3
√10√10
√10√3√10√12
√6√2√3√2√3√2√3√2√3√2√3
√3√2√2
√2√5√6√5√6√5
√2√5√6√2√3√2√3
3
√3a
106
5
3
√3a
5
3
√3a
3
√3a
3
√3a
5
3
√3a43
√34 · a
√2
5
–53
45√2
5
2
9√2
5
12
5√2
5√ 23
32 · 5
1
3√2 · 32
53√2
5
3
√2
3
√2
3
√2
3
√2
3
√2
3
√2
3
√2 · 333
√2 · 533
√24
3
√
–
3a
5
3
√3a43
√81a
√ 8
45
1
3√ 18
125√ 2
5
3
√2
3
√54
3
√250
3
√16
√2√3√3√2√2√3√3√18√2√12
√6√5√6√5√6√5
3
√2
3
√2
3
√2
3
√2
3
√2
√5√5√5√5√5
√6√3√2√24√45√54√125
3
√250
21
5
3
√54
3
√2
3
√16√80
3
2
√20√45√125

28 Racionaliza y simplifica:
a) b) c)
d) e) f)
a) = = = =
= =
b) = = = = 1 +
c) = = = –
d) = = 3( + 2) = 3 + 6
e) = = = 2 – 3
f) = = =
= = =
29 Racionaliza y efectúa:
a) – b) –
a) = = + 5
b) = =
= = –2 √35
2√
—
7 (–2√
—
5 )
2
(√
—
7 – √
—
5 + √
—
7 – √
—
5 )(√
—
7 – √
—
5 – √
—
7 – √
—
5 )
7 – 5
(√
—
7 – √
—
5 )2
– (√
—
7 + √
—
5 )2
(√
—
7 + √
—
5 )(√
—
7 – √
—
5 )
√2√3
3√
—
3 + 3√
—
2 – 2√
—
3 + 2√
—
2
3 – 2
3 (√
—
3 + √
—
2 ) – 2(√
—
3 – √
—
2 )
(√
—
3 – √
—
2 )(√
—
3 + √
—
2 )
√
–
7 + √
–
5
√
–
7 – √
–
5
√
–
7 – √
–
5
√
–
7 + √
–
5
2
√
–
3 + √
–
2
3
√
–
3 – √
–
2
√2
23√2
23
27√
—
2 – 4 √
—
2
23
9√
—
2 · 32 – 4√
—
2
23
9√
—
18 – 6 √
—
6 + 6 √
—
6 – 4 √
—
2
27 – 4
(3 √
—
6 + 2√
—
2)(3 √
—
3 – 2)
(3√
—
3 + 2)(3√
—
3 – 2)
√5
11(2√
—
5 – 3)
11
11(2√
—
5 – 3)
20 – 9
11(2√
—
5 – 3)
(2√
—
5 + 3)(2√
—
5 – 3)
√5√5
3(√5 + 2)
5 – 4
3(√5 + 2)
(√5 – 2)(√
—
5 + 2)
√3 + √
—
5
4
√3 + √
—
5
–4
√3 + √
—
5
2(3 – 5)
(√3 + √
—
5 )
2(√3 – √
—
5 )(√
—
3 + √
—
5 )
√6
6
6 + √6
6
(2√3 + √
—
2 )√
—
3
2√3 · √
—
3
2√3 + √
—
2
2√3
2√3 + √
—
2
√22 · 3
√6 – 1
3
2(√6 – 1)
3 · 2
2√6 – 2
3 · 2
(2√3 – √
—
2 )√
—
2
3√2 · √
—
2
2√3 – √
—
2
3√2
2√3 – √
—
2
√2 · 32
3 √
–
6 + 2 √
–
2
3 √
–
3 + 2
11
2 √
–
5 + 3
3
√
–
5 – 2
1
2 (√
–
3 – √
–
5 )
2 √
–
3 + √
–
2
√
–
12
2 √
–
3 – √
–
2
√
–
18

30 Opera y simplifica: +
+ = 1 + + 1 – = 2
Notación científica
31 Efectúa y da el resultado en notación científica con tres cifras significativas:
a)
b)
c)
a) 1,41 · 102 b) –1,58 · 105 c) –2,65 · 106
32 Ordena de mayor a menor los números de cada apartado. Para ello, pasa a
notación científica los que no lo estén:
a) 3,27 · 1013; 85,7 · 1012; 453 · 1011
b) 1,19 · 10–9; 0,05 · 10–7; 2 000 · 10–12
a) 8,57 · 1013 > 4,53 · 1013 > 3,27 · 1013
b) 5 · 10–9 > 2 · 10–9 > 1,19 · 10–9
33 Efectúa:
–7,268 · 10–12
34 Expresa en notación científica y calcula:
= 150
35 Considera los números: A = 3,2 · 107 ; B = 5,28 · 104 y C = 2,01 · 105.
Calcula .
0,00793125 = 7,93125 · 10–3
B + C
A
(6 · 104)3 · (2 · 10–5)4
104 · 7,2 · 107 · (2 · 10–4)5
60 0003 · 0,000024
1002 · 72 000 000 · 0,00025
2 · 10–7 – 3 · 10–5
4 · 106 + 105
5,431 · 103 – 6,51 · 104 + 385 · 102
8,2 · 10–3 – 2 · 10–4
(12,5 · 107 – 8 · 109) (3,5 · 10–5 + 185)
9,2 · 106
(3,12 · 10–5 + 7,03 · 10–4) 8,3 · 108
4,32 · 103
√3√3
1
1 – √
—
3 + √
—
3
1 – √
—
3
1
1 + √
—
3 – √
—
3
1 + √
—
3
1
1 +
√
—
3
1 – √
—
3
1
1 –
√
—
3
1 + √
—
3

36 Si A = 3,24 · 106; B = 5,1 · 10–5; C = 3,8 · 1011 y D = 6,2 · 10–6, calcula ( + C )· D.
2 749 882,353 ≈ 2,7499 · 10
Intervalos y valor absoluto
37 Expresa como desigualdad y como intervalo y represéntalos:
a) x es menor que –5.
b) 3 es menor o igual que x.
c) x está comprendido entre –5 y 1.
d) x está entre –2 y 0, ambos incluidos.
a) x < –5; (–∞, –5)
b) 3 ≤ x; [3, +∞)
c) –5 < x < 1; (–5, 1)
d) –2 ≤ x ≤ 0; [–2, 0]
38 Representa gráficamente y expresa como intervalos estas desigualdades:
a) –3 ≤ x ≤ 2 b) 5 < x c) x ≥ –2
d) –2 ≤ x < 3/2 e) 4 < x < 4,1 f ) –3 ≤ x
a) [–3, 2] b) (5, +∞)
c) [–2, +∞) d) [–2, )
e) (4; 4,1) f) [–3, +∞)
39 Escribe la desigualdad que verifica todo número x que pertenece a estos in-
tervalos:
a) [–2, 7] b) [13, + ∞) c) (–∞, 0)
d) (–3, 0] e) [3/2, 6) f) (–∞, + ∞)
a) –2 ≤ x ≤ 7 b) x ≥ 13 c) x < 0
d) –3 < x ≤ 0 e) ≤ x < 6 f) –∞ < x < +∞
40 Expresa como intervalo la parte común de cada pareja de intervalos (A I B)
e (I I J):
a) A = [–3, 2]; B = [0, 5] b) I = [2, ∞); J = (0, 10)
a) [0, 2] b) [2, 10]
3
2
3
2
A
B
–5 0
0 3
–5 0 1
–2 0
–3 20
0
4 4,1 5
–2
–3
5
–2 0
0
3/2

41 Escribe en forma de intervalos los números que verifican estas desigualdades:
a) x < 3 y x ≥ 5 b) x > 0 y x < 4
c) x ≤ –1 y x > 1 d) x < 3 y x ≤ –2
☛ Represéntalos gráficamente, y si son dos intervalos separados, como en a), es-
cribe: (– ∞, 3) U [5, + ∞)
a) (–∞, 3) U [5, ∞) b) (0, 4)
c) (–∞, –1] U (1, ∞) d) (–∞, –2]
42 Expresa, en forma de intervalo, los números que cumplen cada una de estas
expresiones:
a) |x| < 7 b) |x| ≥ 5 c) |2x| < 8
d) |x – 1| ≤ 6 e) |x + 2| > 9 f ) |x – 5| ≥ 1
a) (–7, 7) b) [–∞, –5] U [5, +∞] c) (–4, 4)
d) [–5, 7] e) (–11, 7) f) (–∞, 4] U [6, +∞)
43 Averigua qué valores de x cumplen:
a) |x – 2| = 5 b) |x – 4| ≤ 7 c) |x + 3| ≥ 6
a) 7 y –3
b) –3 ≤ x ≤ 11; [–3, 11]
c) x ≤ –9 y x ≥ 3; (–∞, –9) U [3, ∞)
44 Escribe, mediante intervalos, los valores que puede tener x para que se
pueda calcular la raíz en cada caso:
a) b) c)
d) e) f)
a) x – 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4; [4, +∞)
b) 2x + 1 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ –1 ⇒ x ≥ – ; [– , +∞)
c) –x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0; (–∞, 0]
d) 3 – 2x ≥ 0 ⇒ 3 ≥ 2x ⇒ x ≤ ; (–∞, ]
e) –x – 1 ≥ 0 ⇒ –1 ≥ x; (–∞, –1]
f) 1 + ≥ 0 ⇒ 2 + x ≥ 0 ⇒ x ≥ –2; [–2, +∞)
x
2
3
2
3
2
1
2
1
2
√1 +
x
2
√–x – 1√3 – 2x
√–x√2x + 1√x – 4

45 Halla la distancia entre los siguientes pares de números:
a) 7 y 3 b) 5 y 11 c) –3 y –9 d) –3 y 4
a) |7 – 3| = 4 b) |11 – 5| = 6
c) |–9 – (–3)| = |–9 +3| = |– 6| = 6
d) |4 – (–3)| = 7
46 Expresa como un único intervalo:
a) (1, 6] U [2, 5) b) [–1, 3) U (0, 3] c) (1, 6] I [2, 7) d) [–1, 3) I (0, 4)
a) (1, 6] U [2, 5) = (1, 6] b) [–1, 3) U (0, 3] = [–1, 3]
c) (1, 6] I [2, 7) = [2, 6] d) [–1, 3) I (0, 4) = (0, 3)
Página 47
47 Escribe en forma de intervalo los siguientes entornos:
a) Centro –1 y radio 2 b) Centro 2,5 y radio 2,01
c) Centro 2 y radio 1/3
a) (–1 –2, –1 + 2) = (–3, 1) b) (2,5 – 2,01; 2,5 + 2,01) = (0,49; 4,51)
c) (2 – , 2 + )= ( , )
48 Describe como entornos los siguientes intervalos:
a) (–1, 2) b) (1,3; 2,9) c) (–2,2; 0,2) d) (–4; –2,8)
a) C = = ; R = 2 – =
Entorno de centro y radio .
b) C = = 2,1 ; R = 2,9 – 2,1 = 0,8
Entorno de centro 2,1 y radio 0,8
c) C = = –1 ; R = 0,2 – (–1) = 1,2
Entorno de centro –1 y radio 1,2.
d) C = = –3,4 ; R = –2,8 – (–3,4) = 0,6
Entorno de centro –3,4 y radio 0,6.
–4 + (–2,8)
2
–2,2 + 0,2
2
1,3 + 2,9
2
3
2
1
2
3
2
1
2
1
2
–1 + 2
2
7
3
5
3
1
3
1
3

49 Comprueba si es verdadera o falsa cada una de las siguientes expresiones:
a) |a| < b equivale a –b < a < b b) |–a| = –|a|
c) |a + b| = |a| + |b| d) |a · b| = |a| · |b|
a) Verdadera (siempre que b > 0).
b) Falsa; pues –|a| ≥ 0 y –|a| ≤ 0.
(Solo sería cierta para a = 0).
c) Falsa. Solo es cierta cuando a y b tienen el mismo signo.
En general, |a + b| ≤ |a| + |b|.
d) Verdadera.
Logaritmos
50 Calcula:
a) log2 1 024 b) log 0,001 c) log2 d) log 3
e) log3 f ) log2 g) log1/2 h) logπ 1
a) log2 210 = 10 b) log 10–3 = –3 c) log2 2–6 = –6
d) log
√
—
3
( )2 = 2 e) log3 31/2 = f) log2 23/2 =
g) log1/2 ( )
1/2
= h) 0
51 Calcula, utilizando la definición de logaritmo:
a) log2 64 + log2 – log3 9 – log2 b) log2 + log3 – log2 1
a) 6 – 2 – 2 – =
b) –5 – 3 – 0 = –8
52 Calcula la base de estos logaritmos:
a) logx 125 = 3 b) logx = –2
a) x3 = 125; x = 5
b) x–2 = ; x = 3
1
9
1
9
3
2
1
2
1
27
1
32
√2
1
4
1
2
1
2
3
2
1
2
√3
1
√2
√8√3
√3
1
64

53 Calcula el valor de x en estas igualdades:
a) log 3x = 2 b) log x2 = –2 c) 7x = 115 d) 5–x = 3
a) x = = 4,19 b) 2 log x = –2; x =
c) x = = 2,438 d) x = – = –0,683
54 Halla con la calculadora y comprueba el resultado con la potenciación.
a) log b) log 2,3 · 1011 c) log 7,2 · 10–5
d) log3 42,9 e) log5 1,95 f) log2 0,034
a) 1,085 b) ln (2,3 · 1011) ≈ 26,16 → e26,161 ≈ 2,3 · 1011
c) ln (7,2 · 10–5) ≈ –9,54 → e–9,54 ≈ 7,2 · 10–5 d) 3,42
e) 0,41 f) –4,88
55 Calcula la base de cada caso:
a) logx 1/4 = 2 b) logx 2 = 1/2 c) logx 0,04 = –2 d) logx 4 = –1/2
☛ Aplica la definición de logaritmo y las propiedades de las potencias para despe-
jar x.
En c) , x –2 = 0,04 ⇔ = .
a) x2 = → x = b) x1/2 = 2 → x = 4
c) x–2 = 0,04 → x = 5 d) x–1/2 = 4 → x =
56 Halla el valor de x en estas expresiones aplicando las propiedades de los
logaritmos:
a) ln x = ln 17 + ln 13 b) log x = log 36 – log 9
c) ln x = 3 ln 5 d) log x = log 12 + log 25 – 2 log 6
e) ln x = 4 ln 2 – ln 25
☛ a) Por logaritmo de un producto: ln x = ln (17 · 13)
a) ln x = ln (17 · 13) ⇒ x = 17 · 13 = 221
b) log x = log ⇒ x = = 4
c) ln x = ln 53 ⇒ x = 53 = 125
d) log x = log ⇒ x =
25
3
12 · 25
62
36
9
36
9
1
2
1
16
1
2
1
4
4
100
1
x2
√148
log 3
log 5
log 115
log 7
1
10
2
log 3

e) ln x = ln 24 – ln
ln x = ln 16 – ln 5
ln x = ln ⇒ x =
57 Sabiendo que log 3 = 0,477, calcula el logaritmo decimal de 30; 300; 3 000;
0,3; 0,03; 0,003.
log 30 = log (3 · 10) = log 3 + log 10 = 0,477 + 1 = 1,477
log 300 = log (3 · 102) = log 3 + 2 log 10 = 2,477
log 3000 = 0,477 + 3 = 3,477
log 0,3 = log (3 · 10–1) = 0,477 – 1 = –0,523
log 0,03 = log (3 · 10–2) = 0,477 – 2 = –1,523
log 0,003 = 0,477 – 3 = –2,523
58 Sabiendo que log k = 14,4, calcula el valor de las siguientes expresiones:
a) log b) log 0,1 k2 c) log
3
d) (log k)1/2
a) log k – log 100 = 14,4 – 2 = 12,4
b) log 0,1 + 2 log k = –1 + 2 · 14,4 = 27,8
c) (log 1 – log k) = – · 14,4 = –4,8
d) (14,4)1/2 = = 3,79
59 Sabiendo que ln k = 0,45, calcula el valor de:
a) ln b) ln c) ln
a) ln = ln k – ln e = 0,45 – 1 = –0,55
b) ln = ln k = · 0,45 = 0,15
c) ln = 2 ln e – ln k = 2 – 0,45 = 1,55
60 Calcula x para que se cumpla:
a) x2,7 = 19 b) log7 3x = 0,5 c) 32 + x = 172
a) log x2,7 = log 19 ⇒ 2,7 log x = log 19 ⇒ log x = = 0,47
x = 100,47 = 2,98
log 19
2,7
e2
k
1
3
1
3
3
√k
k
e
e2
k
3
√k
k
e
√14,4
1
3
1
3
√1
k
k
100
16
5
16
5
√25

b) 70,5 = 3x ⇒ x = = 0,88
c) log 32 + x = log 172 ⇒ (2 + x) log 3 = log 172 ⇒ 2 + x =
x = – 2 = 2,685
61 Si log k = x, escribe en función de x:
a) log k2 b) log c) log
a) 2 log k = 2x b) log k – log 100 = x – 2 c) log 10k = (1 + x)
62 Comprueba que = – (siendo a ≠ 1).
= = –
Ha de ser a ≠ 1 para que log a ≠ 0 y podamos simplificar.
Página 48
PARA RESOLVER
63 En 18 g de agua hay 6,02 · 1023 moléculas de este compuesto. ¿Cuál es la ma-
sa, en gramos, de una molécula de agua?
18 : (6,02 · 1023) = 2,99 · 10–23 gramos
64 Tenemos un hilo de cobre de 3 mm de diámetro. ¿Qué longitud debemos to-
mar para que la resistencia sea de 20 omhios?
Resistividad del cobre: ρ = 1,7 · 10–8 Ω · m
☛ La resistencia viene dada por la fórmula R = , donde l es la longitud y s la
sección del hilo.
l = = = 8315,98 metros
65 La velocidad mínima que debe llevar un cuerpo para que escape del campo
gravitatorio terrestre es v = en la que G es la constante de gravita-
ción universal, M la masa de la Tierra y R el radio de la Tierra. Calcula v,
sabiendo que:
G = 6,67 · 10–11 N m2/kg2, M = 5,98 · 1024 kg y R = 6,37 · 106 m.
2 GM
R
20 · π · (0,0015)2
1,7 · 10–8
R · s
ρ
ρl
s
1
6
–1/2 log a
3 log a
–log a + 1/2 log a
3 log a
1
6
log (1/a) + log √
—
a
log a3
1
2
1
2
√10k
k
100
log 172
log 3
log 172
log 3
70,5
3

v = = 11 190,74 m/s
66 Comprueba que √
—
6 + √
—
27 · √
—
6 – √
—
27 es un número entero.
√
—
6 + √
—
27 · √
—
6 – √
—
27 = (6 + ) (6 – ) =
= 62 – ( )2
= = = 3
67 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:
a) – 2a + 3a – b) · 30
c) ( + ) ( – 1)
a) a – 2a + 3a – a =
b) · 30 = = 30
c) – + – = 2 – + 3 – = + 2
68 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:
a) – b) – +
c) + –
a) = = 2
b) – + = – – + 2 + =
= 3 + – – + 2 + = 5
c) + – = + – =
= – – = = =
= –
2√6
3
√2
2
3√
—
2 – 4√
—
6
6
5√
—
6 – √
—
6 + 3√
—
2 – 8√
—
6
6
4√6
3
(√
—
6 – 3√
—
2)
6
5√6
6
4√6
3
2(√
—
6 – 3√
—
2)
–12
5√6
6
4√6
3
2(√
—
6 – 3√
—
2)
6 – 18
5√6
6
√3√2√3√2
√3√2√3
7(3 + √
—
2)
7
2 + √
—
3
4 – 3
√
—
3 + √
—
2
3 – 2
7(3 + √
—
2)
9 – 2
√
—
2 + 1 – √
—
2 + 1
2 – 1
(√
—
2 + 1) – (√
—
2 – 1)
(√
—
2 – 1) (√
—
2 + 1)
4 √
–
2
√
–
3
2
√
–
6 + 3√
–
2
5
√
–
6
1
2 – √
–
3
1
√
–
3 – √
–
2
7
3 – √
–
2
1
√
–
2 + 1
1
√
–
2 – 1
√2√3√3√2√2√3√3√18√2√12
4√
—
2 · 30 √
—
3
4 √
—
2 √
—
3
√3
7√
—
2 – 3 √
—
2
√25 · 3
√a√a√a√a√a
√6√3√2
√3
√
–
98 – √
–
18
√
–
96
8
√a126
√a34
√a2√a3
√9√36 – 27√27
√27√27
√2 · 6,67 · 10–11 · 5,98 · 1024
6,37 · 106

CUESTIONES TEÓRICAS
69 Explica si estas frases son verdaderas o falsas:
a) Todo número entero es racional.
b) Hay números irracionales que son enteros.
c) Todo número irracional es real.
d) Algunos números enteros son naturales.
e) Hay números decimales que no pueden ser expresados como una fracción.
f) Todos los números decimales son racionales.
g) Entre dos números enteros hay siempre otro número entero.
h) Entre dos números racionales siempre hay infinitos números racionales.
i) Entre dos números racionales hay infinitos números irracionales.
j) Los números racionales llenan la recta.
a) V b) F c) V d) V e) V
f) F g) F h) V i) V j) F
70 Si x ∈ Á, explica si es verdadera o falsa cada una de estas afirmaciones:
a) x2 es siempre positivo o nulo.
b) x3 es siempre positivo o nulo.
c) solo existe si x ≥ 0.
d) x–1 es negativo si lo es x.
e) –x2 es siempre negativo.
a) V b) F c) F d) V e) F (puede ser nulo)
71 ¿Cuál es la respuesta correcta?
a) (–27) b) 4
–
a) –3 b) 2–1
72 ¿Entre qué números enteros está el logaritmo decimal de 348?
☛ 102 < 348 < 103. Toma logaritmos.
Entre 2 y 3.
73 Si log x = a , ¿cuál será el valor de log ?
log 1 – log x = –log x = –a
1
x
1
2
3
–3
–9
1
3
3
√x
1/
2–1
–2
√2

74 ¿Cuáles de estas igualdades son verdaderas? Explica por qué:
a) log m + log n = log (m + n)
b) log m + log n = log (m · n)
c) log m – log n =
d) log m – log n = log
e) log x2 = log x + log x
f ) log (a2 – b2) = log (a + b) + log (a – b)
a) Falso. log m + log n = log (m · n) ≠ log (m + n)
b) Verdadero. Es una propiedad de los logaritmos.
c) Falso. log m – log n = log ( )≠
d) Verdadero. Por una propiedad de los logaritmos.
e) Verdadero. log x2 = log (x · x) = log x + log x
f) Verdadero. log (a2 – b2) = log [(a + b) · (a – b)] = log (a + b) + log (a – b)
Página 49
PARA PROFUNDIZAR
75 Si n ≠ 0 es natural, determina para qué valores de n estos números perte-
necen a Z:
a) b) c) n – 5 d) n + e)
a) n par.
b) n = 1 o n = 3.
c) n cualquier natural.
d) Ninguno.
e) n cuadrado perfecto.
76 Si log a = 1 + log b, ¿qué relación hay entre a y b?
log a – log b = 1 → log = 1 → = 10 → a = 10b
77 Si log a + log b = 0, ¿qué relación existe entre a y b?
log (ab) = 0 → ab = 1 → a =
1
b
a
b
a
b
√n
1
2
3
n
n
2
log m
log n
m
n
m
n
log m
log n

78 Sean m y n dos números racionales. ¿Qué puedes decir del signo de m y
n en cada uno de estos casos?
a) m · n > 0 y m + n > 0 b) m · n > 0 y m + n < 0
c) m · n < 0 y m – n > 0 d) m · n < 0 y m – n < 0
a) m > 0, n > 0 b) m < 0, n < 0
c) m > 0, n < 0 d) m < 0, n > 0
79 Demuestra que el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logarit-
mos de los factores.
☛ Para demostrar que loga (P · Q) = loga P + loga Q, hacemos:
loga P = p → P = aP
⇒ P · Q = ap + q
loga Q = q → Q = aq
Toma logaritmos de base a en esta igualdad y sustituye p y q.
loga PQ = loga a p + q → loga PQ = p + q → loga PQ = loga P + loga Q
80 Demuestra que el logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividen-
do menos el logaritmo del divisor. (Repite el procedimiento anterior divi-
diendo las igualdades).
Tenemos que demostrar que loga ( )= loga P – loga Q. Hacemos:
loga P = p → P = ap Dividiendo → = ap – q
loga Q = q → Q = aq loga = loga ap – q → loga = p – q
loga = loga P – loga Q
81 Demuestra que el logaritmo de una potencia es igual al exponente multipli-
cado por el logaritmo de la base.
☛ Hay que demostrar que loga Pn = n · loga P. Haz loga P = p → ap = P, eleva a
n los dos miembros de la igualdad y toma loga .
Tenemos que demostrar que loga Pn = n loga P. Hacemos:
loga P = p → ap = P
Elevando a n:
anp = Pn → loga anp = loga Pn
np = loga Pn → n loga P = loga Pn → loga Pn = n loga P
P
Q
P
Q
P
Q
P
Q
P
Q
por definición
de logaritmo
multiplica
estas
igualdades












82 Demuestra que el logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando
dividido por el índice de la raíz.
☛ Recuerda que = p1/n y repite el proceso del ejercicio anterior.
Tenemos que probar que log = . Hacemos:
log = log P1/n
(*)
= log P =
(*) Ver ejercicio anterior.
83 Demuestra que loga P = log P / log a.
☛ Haz loga P = p → ap = P. Toma logaritmos decimales y luego despeja p.
ap = P → log ap = log P → p log a = log P
Así, loga P = .
84 Si x ∈ N y x > 1, ordena estos números:
x –
– < < < < x
85 Ordena de menor a mayor los números a, a2, 1/a y en estos dos casos:
I) Si a > 1 II) Si 0 < a < 1
I) < < a < a2 II) a2 < a < <
PARA PENSAR UN POCO MÁS
86 Los tamaños estándar de papel se denominan A0, A1, A2, A3, A4, A5… Cada
uno de ellos es la mitad del anterior y semejante a él.
I Teniendo en cuenta lo anterior y sabiendo que la superficie de A0 es 1 m2,
calcula las dimensiones de una hoja A4 (que es la de uso más frecuente)
redondeando hasta los milímetros. Comprueba el resultado midiendo una
hoja A4 que tengas a mano.
1
a
√a√a
1
a
√a
1
x
1
x + 1
–1
x + 1
1
x
1
–x – 1
1
x
1
x
1
x + 1
log P
log a
log P
n
1
n
n
√P
log P
n
n
√P
n
√p
A0
A2
A3
A4
A5
A1

II Demuesta que cualquiera de las hojas anteriores cumple lo siguiente:
Si le añadimos un cuadrado, el rectángulo que se obtiene MNPQ tiene la
peculiaridad de que al suprimirle dos cuadrados da lugar a otro rectángu-
lo MRSQ semejante a él (MNPQ semejante a MRSQ).
I)
La superficie de A0 es 1 m2, es decir:
x y = 1 m2 ⇒ y =
Por la semejanza entre A0 y A1, tenemos que:
= ⇒ = x2 ⇒ y2 = 2x2
( )
2
= 2x2 ⇒ = 2x2 ⇒ 1 = 2x4 ⇒ = x4
x =
4
= , y =
Las dimensiones de A0 son:
largo = m, ancho = m
1
4
√2
4
√2
4
√2
1
4
√2√1
2
1
2
1
x2
1
x
y2
2
x
y/2
y
x
1
x
A1
A0
x
y/2
y
M N
PQ
M R
SQ
A3
A4
A0
x
x/4
y/4
y
A4 x/4
y/4

Las dimensiones de A4 serán:
largo = = 0,297 m = 29,7 cm = 297 mm
ancho = = 0,210 m = 21 cm = 210 mm
II)
La razón entre los lados del rectángulo (A0, A1, …) es: = = ( )2
=
(es la misma en A0, A1…, pues todos ellos son semejantes).
La razón entre los lados del rectángulo MNPQ es:
= = = + 1
Queremos probar que MRQS es semejante a MNPQ; para ello bastará ver que:
= + 1
Veámoslo:
= = = = = + 1
Como queríamos probar.
87 Para numerar las páginas de un libro un tipógrafo ha empleado 2 993 dígi-
tos. ¿Cuántas páginas tiene el libro? (El 0, el 1, el 2… son dígitos. El número
525 se escribe con tres dígitos).
Las 9 primeras páginas → 9 dígitos
De la 10 a la 99 → 90 · 2 = 180 dígitos
De la 100 a la 999 → 900 · 3 = 2 700 dígitos
Llevamos: 9 + 180 + 2 700 = 2 889 dígitos
Nos faltan: 2 993 – 2 889 = 104 dígitos, que pertenecen a números de cuatro cifras.
Luego: 104 : 4 = 26 páginas más.
Así: 999 + 26 = 1025 páginas tiene el libro.
√2
√2 + 1
2 – 1
√2 + 1
(√2 – 1) (√
—
2 + 1)
1
√2 – 1
x/x
y/x – x/x
x
y – x
√2
—
MQ
—
MR
√2
√2 + 1
1
y/x + x/x
x/x
y + x
x
√2
4
√2
4
√2
1/
4
√2
y
x
1
4
4
√2
4
√2
4
x
x
xxy – x
Q S P
M R N
y

¿Cuántas parejas de conejos?
¿Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pa-
reja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a
su vez desde el segundo mes?
Razonando del modo que se propone, llegamos a que el número de parejas, mes a mes, es:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144
Así, el número total de parejas al final del año es de 144 (la que había al principio y otras
143 nuevas).
La sucesión de Fibonacci y el número Φ
Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtene-
mos:
1 1 2 3 5 8 13 21
1 2 1,5 1,66 1,6 1,625 1,619
Comprueba, calculando nuevos cocientes, que el número al que se aproximan es
el número áureo.
= 1,61764…; = 1,61818…; = 1,61797…
Se aproximan al número áureo φ = = 1,61803…
Página 51
Una representación gráfica
¿Cuál es el lado del 8-º? ¿Y del 9-º?
Observa también los rectángulos
que se forman sucesivamente:
Compruébalo para los cuatro si-
guientes rectángulos:
13 : 8, 21 : 13, 34 : 21, 55 : 34
1 + √5
2
144
89
89
55
55
34
21
13
13
8
8
5
5
3
3
2
2
1
1
1
Unidad 2. Sucesiones 1
SUCESIONES2
8 : 5
5 : 32 : 1 3 : 2

El lado del 8º cuadrado es 21 y el lado del 9º cuadrado es 34.
= 1,625; = 1,615; = 1,619…; = 1,617…
Se aproximan al número áureo φ = = 1,61803…
Página 52
1. Di el criterio por el que se forman las sucesiones siguientes y añade dos térmi-
nos a cada una:
a) 3, 8, 13, 18, 23, … b) 1, 8, 27, 64, 125, …
c) 1, 10, 100, 1 000, 10 000, … d) 8; 4; 2; 1; 0,5; …
e) 1, 3, 4, 7, 11, 18, … f) 8, 3, 5, –2, 7, –9, …
g) 1, –2, 3, –4, 5, –6, … h) 20, 13, 6, –1, –8, …
a) Cada término, a partir del segundo, se obtiene sumándole 5 al anterior: a6 = 28, a7 = 33.
b) Cada término es el cubo del lugar que ocupa: b6 = 216, b7 = 343.
c) Cada término, a partir del segundo, se obtiene multiplicando por 10 el anterior:
c6 = 100000, c7 = 1000000.
d) Cada término, a partir del segundo, se obtiene multiplicando por (dividiendo entre 2)
el anterior: d6 = 0,25, d7 = 0,125.
e) Cada término, a partir del tercero, se obtiene sumando los dos anteriores: e7 = 29,
e8 = 47.
f) Cada término, a partir del tercero, se obtiene restando los dos anteriores: f7 = 16,
f8 = –25.
g) Cada término es el número del lugar que ocupa, con signo positivo si es impar, y nega-
tivo si es par: g7 = 7, g8 = –8.
h) Cada término, a partir del segundo, se obtiene restándole 7 al anterior: h6 = –15,
h7 = –22.
Página 53
2. Forma una sucesión recurrente, an, con estos datos:
a1 = 2, a2 = 3, an = an–2 + an–1.
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
3. Escribe los cuatro primeros términos de las sucesiones que tienen como térmi-
no general:
an = 3 + 5(n – 1) bn = 3 · ( )
n–1
cn = (–1)n 2n
dn = (n – 1)(n – 2) en = n2 + (–1)n n2
1
2
1
2
1 + √5
2
55
34
34
21
21
13
13
8

a1 = 3, a2 = 8, a3 = 13, a4 = 18 b1 = 3, b2 = , b3 = , b4 =
c1 = –2, c2 = 4, c3 = –8, c4 = 16 d1 = 0, d2 = 0, d3 = 2, d4 = 6
e1 = 0, e2 = 8, e3 = 0, e4 = 32
4. Construye una sucesión cuya ley de recurrencia sea an = an–1 + n.
Si tomamos, por ejemplo, a1 = 1, entonces quedaría: a2 = 1 + 2 = 3, a3 = 3 + 3 = 6,
a4 = 6 + 4 = 10, a5 = 10 + 5 = 15, a6 = 15 + 6 = 21, a7 = 21 + 7 = 28, …
5. Da el término general de las sucesiones siguientes que no sean recurrentes:
a) 3, 8, 13, 18, 23, … b) 1, 8, 27, 64, 125, …
c) 1, 10, 100, 1 000, 10 000, … d) 8, 4, 2, 1, …
e) 1, 3, 4, 7, 11, 18, … f) 8, 3, 5, –2, 7, –9, …
g) 1, –2, 3, –4, 5, –6, … h) 20, 13, 6, –1, –8, …
a) an = 3 + (n – 1) · 5 b) bn = n3
c) cn = 10n – 1 d) dn = 8 · ( )
n – 1
e) Es recurrente f) Es recurrente
g) gn = (–1)n – 1 · n h) hn = 20 – 7 · (n – 1)
Página 54
1. ¿Cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas? En cada
una de ellas di su diferencia y añade dos términos más:
a) 3, 7, 11, 15, 19, … b) 3, 4, 6, 9, 13, 18, …
c) 3, 6, 12, 24, 48, 96, … d) 10, 7, 4, 1, –2, …
e) 17,4; 15,8; 14,2; 12,6; 11; … f) –18; –3,1; 11,8; 26,7; 41,6; …
a) Es una progresión aritmética con d = 4; a6 = 23, a7 = 27.
b) No es una progresión aritmética.
c) No es una progresión aritmética.
d) Es una progresión aritmética con d = –3; d6 = –5, d7 = –8.
e) Es una progresión aritmética con d = 1,6; e6 = 9,4; e7 = 7,8.
f) Es una progresión aritmética con d = 14,9; f6 = 56,5; f7 = 71,4.
1
2
3
8
3
4
3
2

2. En la sucesión 1a), halla el término a20 y la suma de los 20 primeros térmi-
nos.
a20 = a1 + 19 · d = 3 + 19 · 4 = 3 + 76 = 79
S20 = = = 820
3. En la sucesión 1d), halla el término d40 y la suma de los 40 primeros términos.
d40 = d1 + 39 · (–3) = 10 – 117 = –107
S40 = = = –1940
4. En la sucesión 1e), halla el término e100 y la suma de los 100 primeros térmi-
nos.
e100 = e1 + 99 · (–1,6) = 17,4 – 158,4 = –141
S100 = = = –6180
5. En la sucesión 1f), halla los términos f8 , f17 y la suma f8 + f9 + … + f16 + f17.
f8 = f1 + 7 · 14,9 = –18 + 104,3 = 86,3
f17 = f1 + 16 · 14,9 = –18 + 238,4 = 220,4
En la suma pedida hay 10 sumandos.
S = = = 1533,5
Página 55
6. ¿Cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas? En cada
una de ellas di su razón y añade dos términos más:
a) 1, 3, 9, 27, 81, … b) 100; 50; 25; 12,5; …
c) 12, 12, 12, 12, 12, … d) 5, –5, 5, –5, 5, –5, …
e) 90, –30, 10, –10/3, 10/9, …
a) Es una progresión geométrica con r = 3; a6 = 243, a7 = 729.
b) Es una progresión geométrica con r = ; b5 = 6,25, b6 = 3,125.
c) Es una progresión geométrica con r = 1; c6 = 12, c7 = 12.
d) Es una progresión geométrica con r = –1; d7 = 5, d8 = –5.
e) Es una progresión geométrica con r = – ; e6 = – , e7 = .
10
81
10
27
1
3
1
2
(86,3 + 220,4) · 10
2
(f1 + f17) · 10
2
(17,4 – 141) · 100
2
(e1 + e100) · 100
2
(10 – 107) · 40
2
(d1 + d40) · 40
2
(3 + 79) · 20
2
(a1 + a20) · 20
2

7. Calcula la suma de los 10 primeros términos de cada una de las progresiones
geométricas del ejercicio anterior.
a) a10 = a1 · r9 = 1 · 39 = 19683
S10 = = = 29524
b) b10 = b1 · r9 = 100 · ( )
9
= =
S10 = = ȃ 199,805
c) c10 = 12; S10 = 12 · 10 = 120
d) d10 = –5
S10 = 0
e) e10 = e1 · r9 = 90 · (– )
9
= =
S10 = = ȃ 67,499
8. ¿En cuáles de las progresiones geométricas del ejercicio anterior puedes calcu-
lar la suma de sus infinitos términos? Hállala.
Podemos calcular la suma de sus infinitos términos en las progresiones geométricas
con |r|< 1:
b) S∞ = = = = 200
e) S∞ = = = = 67,5
Página 56
9. Calcula: 12 + 22 + … + 302
= = 9455
30 · 31 · 61
6
30 · (30 + 1) · (60 + 1)
6
90
4
—
3
90
1
1 – (– —)3
e1
1 – r
100
1
—
2
100
1
1 – —
2
b1
1 – r
10
— – 90
6561
1
– — – 1
3
e10 · r – e1
r – 1
–10
2187
–90
19683
1
3
25 1
— · — – 100
128 2
1
— – 1
2
b10 · r – b1
r – 1
25
128
100
512
1
2
19683 · 3 – 1
3 – 1
a10 · r – a1
r – 1

10. Calcula: 502 + 512 + … + 602
(12 + … + 602) – (12 + … + 492) = – =
= 73810 – 40425 = 33385
11. Calcula: 13 + 23 + 33 + … + 153
= 14400
12. Calcula: 23 + 43 + 63 + … + 203
23 + 43 + 63 + … + 203 = (2 · 1)3 + (2 · 2)3 + (2 · 3)3 + … + (2 · 10)3 =
= 23 · 13 + 23 · 23 + 23 · 33 + … + 23 · 103 =
= 23 (13 + 23 + 33 + … + 103) =
= 8 · = 8 · 3025 = 24200
Página 57
1. Representa la sucesión an = y asígnale un valor a su límite.
a1 = 14, a2 = 6, a3 = 4,4; a4 ȃ 3,71;
a5 ȃ 3,33, …, a10 ȃ 2,63, …;
a100 ȃ 2,06; …; a1000 ȃ 2,006, …
lím an = 2
2. Representa la sucesión bn = – 2n + 3 y asigna un valor a su límite.
b1 = 1,25; b2 = 0; b3 = –0,75; b4 = –1; b5 = –0,75;
b6 = 0; b7 = 1,25; b8 = 3; b9 = 5,25; b10 = 8, …,
b100 = 2303, …
lím bn = +∞
n2
4
4n + 10
2n – 1
102 · 112
4
152 · 162
4
49 · 50 · 99
6
60 · 61 · 121
6
5
2
10 15
4
6
8
10
12
14
5
2
10
–2
4
6
8

3. Estudia el comportamiento de estas sucesiones para términos muy avanzados e
indica sus límites:
a) an = b) bn = c) cn = 3 – 2n d) dn = 5 –
a) a10 ȃ 2,83; a100 ȃ 32,83; a1 000 ȃ 332,83, … lím an = +∞
b) b10 ȃ 1,133; b100 ȃ 1,876; b1 000 ȃ 1,987, … lím bn = 2
c) c10 = –1021; c100 ȃ –1,27 · 103, … lím cn = –∞
d) d10 = 4,999; d100 = 4,999999, … lím dn = 5
4. Di, razonadamente, cuáles de las siguientes sucesiones tienen límite:
a) an = – b) bn = (–1)n c) cn = (–1)n n d) dn = (–1)n
a) a10 = –0,02; a100 = –0,0002; a1 000 = –0,000002, … lím an = 0.
b) b10 ȃ 0,714; b11 ȃ –0,733; b100 ȃ 0,962; b101 ȃ –0,962, …
Los términos pares son positivos y tienden a 1; los términos impares son negativos
y tienden a –1. La sucesión no tiene límite.
c) c1 = –1, c2 = 2, c3 = –3, … c1 000 = 1000, c1001 = –1001, …
Los términos impares son negativos y tienden a –∞; los términos pares son positi-
vos y tienden a +∞. La sucesión no tiene límite.
d) d1 = –2; d2 = 0,5; …; d100 = 0,0002; d101 = –0,000196, … lím dn = 0.
Página 61
1. Obtén los ocho primeros valores de an (términos de la sucesión) y de Sn (su-
mas parciales) en cada una de las progresiones siguientes. Calcula en cada una
el lím Sn:
a) 125, 50, 20, … b) 125, –50, 20, … c) 17, –17, 17, …
d) 17, 17, 17, … e) 10; 12; 14,4; … f) 10; –12; 14,4; …
a) a1 = 125, a2 = 50, a3 = 20, a4 = 8, a5 = = 3,2; a6 = = 1,28; a7 = = 0,512;
a8 = = 0,2048.
S1 = 125; S2 = 175; S3 = 195; S4 = 203; S5 = 206,2; S6 = 207,48; S7 = 207,992;
S8 = 208,1968.
Como r = = 0,4 < 1; lím Sn = = = = 208,
∧
3
625
3
125
2
1 – —
5
a1
1 – r
2
5
128
625
64
125
32
25
16
5
2
n2
n
n + 4
2
n2
1
n3
2n – 3
n + 5
2n – 3
6

b) b1 = 125; b2 = –50; b3 = 20; b4 = –8; b5 = 3,2; b6 = –1,28; b7 = 0,512; b8 = –0,2048.
S1 = 125; S2 = 75; S3 = 95; S4 = 87; S5 = 90,2; S6 = 88,92; S7 = 89,432; S8 = 89,2272.
Como r = – = –0,4 < 1; lím Sn = = = ȃ 89,286
c) c1 = 17; c2 = –17; c3 = 17; c4 = –17; c5 = 17; c6 = –17; c7 = 17; c8 = –17.
S1 = 17; S2 = 0; S3 = 17; S4 = 0; S5 = 17; S6 = 0; S7 = 17; S8 = 0.
Sn no tiene límite.
d) d1 = 17; d2 = 17; d3 = 17; d4 = 17; d5 = 17; d6 = 17; d7 = 17; d8 = 17.
S1 = 17; S2 = 34; S3 = 51; S4 = 68; S5 = 85; S6 = 102; S7 = 119; S8 = 136.
lím Sn = +∞.
e) e1 = 10; e2 = 12; e3 = 14,4; e4 = 17,28; e5 = 20,736; e6 = 24,8832; e7 = 29,85984;
e8 = 35,831808.
S1 = 10; S2 = 22; S3 = 36,4; S4 = 53,68; S5 = 74,416; S6 = 99,2992; S7 = 129,15904;
S8 = 164,99084.
Como r = 1,2 > 1; lím Sn = +∞.
f) f1 = 10; f2 = –12; f3 = 14,4; f4 = –17,28; f5 = 20,736; f6 = –24,8832; f7 = 29,85984;
f8 = –35,831808.
S1 = 10; S2 = –2; S3 = 12,4; S4 = –4,88; S5 = 15,856; S6 = –9,0272; S7 = 20,83264;
S8 = –14,999168.
Sn no tiene límite.
Página 64
PARA PRACTICAR
1 Describe el criterio con el que se forman estas sucesiones y añade tres tér-
minos a cada una:
a) 1, , , , , … b) 1, , , 2, , …
c) 2, 5, 10, 17, 26, … d) 0, 3, 8, 15, 24, …
e) 1, 3, 6, 10, 15, …
√5√3√21
5
1
4
1
3
1
2
625
7
125
2
1 + —
5
b1
1 – r
2
5

a) Cada término lo obtenemos dividiendo 1 entre el lugar que ocupa el término:
a6 = , a7 = , a8 =
b) Cada término es la raíz cuadrada del lugar que ocupa: a6 = , a7 = , a8 =
c) Cada término es el cuadrado del lugar que ocupa más 1 unidad: a6 = 37, a7 = 50,
a8 = 65
d) Cada término es el cuadrado del lugar que ocupa menos 1 unidad: a6 = 35,
a7 = 48, a8 = 63
e) Cada término, a partir del segundo, se obtiene sumándole al lugar que ocupa el
término anterior: a6 = 21, a7 = 28, a8 = 36
2 Escribe los cinco primeros términos de las sucesiones cuyos términos gene-
rales son estos:
a) an = 3 + b) bn = c) cn =
d) dn = 2–n e) en = 1 · 2 · 3 · … · n f ) fn =
a) a1 = 3,2; a2 = 3,02; a3 = 3,002; a4 = 3,0002; a5 = 3,00002
b) b1 = 0; b2 = ; b3 = ; b4 = ; b5 =
c) c1 = 1; c2 = ; c3=2; c4 = ; c5 =
d) d1 = ; d2 = ; d3 = ; d4 = ; d5 =
e) e1 = 1; e2 = 2; e3 = 6; e4 = 24; e5 = 120
f) f1 = –1; f2 = 0; f3 = –3; f4 = 0; f5 = –5
3 Escribe el término general de estas sucesiones:
a) , , , , … b) 1, , , , …
c) 0, , , , , … d) 5,1; 5,01; 5,001; 5,0001; …
a) an = b) bn = ( )
n – 1
c) cn = d) dn = 5 +
4 Construye dos sucesiones cuyas leyes de recurrencias sean las siguientes:
a) a1 = 0 a2 = 2 an =
b) a1 = 1 a2 = 2 an =
an –1 · an –2
2
an –1 + an –2
2
1
10n
n2 – 1
n2 + 1
1
3
n
n – 1
24
26
15
17
8
10
3
5
1
27
1
9
1
3
4
5
3
4
2
3
1
2
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
7
3
11
5
5
3
24
5
15
4
8
3
3
2
(–1)n n – n
2
3n – 1
n + 1
n2 – 1
n
2
10n
√8√7√6
1
8
1
7
1
6

a) 0, 2, 1, , , , , , b) 1, 2, 1, 1, , , , , …
5 Busca una ley de recurrencia para definir las siguientes sucesiones:
a) 4, 7, 3, –4, –7, … b) 2, 3, , , , …
a) a1 = 4, a2 = 7, an = an – 1 – an – 2 para n > 2
b) b1 = 2, b2 = 3, bn = para n > 2
6 De las siguientes sucesiones, di cuáles son progresiones aritméticas y escribe su
término general:
a) 1,2; 2,4; 3,6; 4,8; 6; … b) 5; 4,6; 4,2; 3,8; 3,4; …
c) 1, 2, 4, 7, 11, … d) 14, 13, 11, 8, 4, …
a) Es una progresión aritmética con a1 = 1,2 y d = 1,2.
an = 1,2 + (n – 1) · 1,2 = 1,2n.
b) Es una progresión aritmética con b1 = 5 y d = –0,4.
bn = 5 + (n – 1) · (–0,4) = –0,4n + 5,4.
c) y d) no son progresiones aritméticas.
7 De las sucesiones siguientes, indica cuáles son progresiones aritméticas:
a) an = 3n b) bn = 5n – 4
c) cn = d) dn =
e) en = 5 + f) fn = n2 – 1
a) an – an – 1 = 3n – 3(n – 1) = 3n – 3n + 3 = 3
Es una progresión aritmética con d = 3.
b) bn – bn – 1 = 5n – 4 – [5(n – 1) – 4)] = 5n – 4 – 5n + 5 + 4 = 5
Es una progresión aritmética con d = 5.
c) c1 = 1, c2 = , c3 = , c4 = , …
c2 – c1 = ≠ c3 – c2 = . No es una progresión aritmética.
1
6
–1
2
1
4
1
3
1
2
n
2
8 – 3n
4
1
n
bn – 1
bn – 2
1
3
1
2
3
2
1
128
1
16
1
4
1
2
43
32
21
16
11
8
5
4
3
2

d) dn – dn – 1 = – = =
Es una progresión aritmética con d = .
e) en – en – 1 = 5 + – (5 + )= 5 + – 5 – + = .
Es una progresión aritmética con d = .
f) f1 = 0, f2 = 3, f3 = 8, f4 = 15, …
f2 – f1 = 3 ≠ f3 – f2 = 5. No es una progresión aritmética.
8 Calcula los términos a10 y a100 de las siguientes progresiones aritméticas:
a) –4, –2, 0, 2, 4, … b) 2, –3, –8, –13, –18, … c) , 1, , , , …
a) a10 = a1 + 9d = –4 + 9 · 2 = –4 + 18 = 14
a100 = a1 + 99d = –4 + 99 · 2 = –4 + 198 = 194
b) a10 = a1 + 9d = 2 – 9 · 5 = 2 – 45 = –43
a100 = a1 + 99d = 2 – 99 · 5 = 2 – 495 = –493
c) a10 = a1 + 9d = + 9 · = = 3
a100 = a1 + 99d = + 99 · = =
9 Calcula la suma de los 25 primeros términos de las siguientes progresiones
aritméticas:
a) 3, 6, 9, 12, 15, … b) 5; 4,9; 4,8; 4,7; 4,6; …
c) cn = 4n – 2 d) dn =
a) a1 = 3; a25 = a1 + 24d = 3 + 24 · 3 = 75
S25 = = = 975
b) b1 = 5; b25 = b1 + 24d = 5 – 24 · 0,1 = 2,6
S25 = = = 95
c) c1 = 2; c25 = 98
S25 = = = 1250
(2 + 98) · 25
2
(c1 + c25) · 25
2
(5 + 2,6) · 25
2
(b1 + b25) · 25
2
(3 + 75) · 25
2
(a1 + a25) · 25
2
1 – 2n
2
51
2
102
4
1
4
3
4
12
4
1
4
3
4
7
4
3
2
5
4
3
4
1
2
1
2
1
2
n
2
n
2
n – 1
2
n
2
–3
4
–3
4
8 – 3n – 8 + 3n – 3
4
8 – 3(n – 1)
4
8 – 3n
4

d) d1 = ; d25 =
S25 = = = = –312,5
10 De las siguientes sucesiones, ¿cuáles son progresiones geométricas? Escribe
tres términos más en cada una y también su término general.
a) 32, 16, 8, 4, 2, … b) 1; 0,1; 0,01; 0,001; …
c) 1, 4, 9, 16, 25, … d) , 2, 2 , 4, 4 , …
a) Es una progresión geométrica con a1 = 32 y r = .
a6 = 1, a7 = , a8 = ; an = 32 · ( )
n – 1
= = 26 – n
b) No es una progresión geométrica; b6 = 36, b7 = 49, b8 = 64, bn = n2.
c) Es una progresión geométrica con c1 = 1 y r = 0,1.
c6 = 0,00001; c7 = 0,000001; c8 = 0,0000001; cn = 1 · 0,1n – 1 = 0,1n – 1
d) Es una progresión geométrica con d1 = y r = .
d6 = 8; d7 = 8 ; d8 = 16; dn = · ( )n – 1
= ( )n
.
11 Calcula la suma de los 25 primeros términos de las siguientes progresiones
geométricas y halla la suma de los infinitos términos en los casos que sea
posible:
a) a1 = 32, r = b) a1 = 10, r = c) a1 = 2–10, r = 2
S25 = =
a) S25 = = 63,99999809 ȃ 64 S∞ = = = = 64
b) S25 = = 11,1 = S∞ = = = = 11,1
c) S25 = = 32767,99902 ȃ 32768
S∞ = +∞
2–10 · 225 – 2–10
2 – 1
100
9
10
1
1 – —
10
a1
1 – r
100
9
1
10 · (—)25
– 10
10
1
— – 1
10
32
1
—
2
32
1
1 – —
2
a1
1 – r
1
32 · (—)25
– 32
2
1
— – 1
2
a1 · r 25 – a1
r – 1
a25 · r – a1
r – 1
1
10
1
2
√2√2√2√2
√2√2
25
2n – 1
1
2
1
4
1
2
1
2
√2√2√2
–625
2
1 49
(– — – —)· 25
2 2
2
(d1 + d25) · 25
2
–49
2
–1
2

12 Calcula los términos a10, a100 y a1 000, en cada sucesión e indica cuál es su
límite:
a) an = b) an = 1 + c) an =
d) an = e) an = – 1 f) an = 3 – 7n
a) a10 = 0,
)
1; a100 = 0,
)
01; a1000 = 0,
)
001
lím an = 0
b) a10 = 1,1; a100 = 1,001; a1000 = 1,00001
lím an = 1
c) a10 = 2,5; a100 = 2,05; a1000 = 2,005
lím an = 2
d) a10 = 45; a100 = 4995; a1 000 = 499995
lím an = +∞
e) a10 = –0,5; a100 = –0,95; a1000 = –0,995
lím an = –1
f) a10 = –6,7; a100 = –697; a1 000 = –6997
lím an = –∞
Página 65
13 Halla algunos términos muy avanzados de las siguientes sucesiones e indica
cuál es su límite:
a) an = 5n – 10 b) bn = 100 – n
c) cn = d) dn =
a) a10 = 40; a100 = 490; a1 000 = 4990
lím an = +∞
b) b10 = 90; b100 = 0; b1 000 = –900
lím bn = –∞
c) c10 = 0,63; c100 ȃ 0,9603; c1 000 ȃ 0,996
lím cn = 1
d) d10 ȃ 0,476; d100 ȃ 0,498; d1 000 ȃ 0,4998
lím dn = 0,5 =
1
2
n
2n + 1
n – 3
n + 1
5
n
n2 – 10
2
2n + 5
n
10
n2
1
n – 1

PARA RESOLVER
14 Calcula el 15-º término en la siguiente progresión: 3; 2,7; 2,4; 2,1; …
Es una progresión aritmética con a1 = 3 y d = –0,3.
Por tanto, a15 = a1 + 14d = 3 – 0,3 · 14 = 3 – 4,2 = –1,2.
15 Halla el cuarto término de una progresión aritmética en la que d = 3 y
a20 = 100.
a20 = a4 + 16d → a4 = a20 – 16d = 100 – 16 · 3 = 52
16 Calcula la suma de todos los números impares de tres cifras.
Es la suma de los términos de una progresión aritmética en la que el primer térmi-
no es 101, el último es 999, y hay 450 sumandos:
S = = 247500
17 ¿Cuánto vale la suma de los 100 primeros múltiplos de 7?
Queremos calcular la suma de los 100 primeros términos de una progresión aritmé-
tica en la que a1 = 7 y d = 7.
S100 = = = 35350
18 En una progresión aritmética sabemos que d = 3, an = 34 y Sn = 133. Calcula
n y a1.
34 = a1 + 3n – 3 → a1 = 37 – 3n
133 = → 266 = (71 – 3n)n
266 = 71n – 3n2 → 3n2 – 71n + 266 = 0
n = = =
= =
a1 = 37 – 3 · 19 = 37 – 57 = –20 → a1 = –20
19 Los lados de un hexágono están en progresión aritmética. Calcúlalos sabien-
do que el mayor mide 13 cm y que el perímetro vale 48 cm.
Llamamos a los lados a1, a2, a3, a4, a5 y a6.
n = 14/3 (no vale)
n = 19
71 ± 43
6
71 ± √1849
6
71 ± √5041 – 3192
6
(37 – 3n + 34) · n
2





an = a1 + (n – 1) · d → 34 = a1 + (n – 1) · 3
(a1 + an) · n (a1 + 34) · n
Sn = ——— → 133 = ———
2 2
(7 + 700) · 100
2
(a1 + a100) · 100
2
(101 + 999) · 450
2

Sabemos que a6 = 13 cm y que S6 = 48. Por tanto:
48 = 78 – 15d → 15d = 30 → d = = 2 → d = 2
a1 = 13 – 5 · 2 = 13 – 10 = 3 → a1 = 3
Los lados del hexágono miden 3 cm, 5 cm, 7 cm, 9 cm, 11 cm y 13 cm.
20 En un cine, la segunda fila de butacas está a 10 m de la pantalla y la séptima
fila está a 16 m. ¿En qué fila debe sentarse una persona que le guste ver la
pantalla a una distancia de 28 m?
a7 = 16 → a7 = a2 + 5d = 10 + 5d = 16 → d = 1,2
(La distancia entre las dos filas consecutivas es de 1,2 metros).
Buscamos n para que an = 28 m:
an = a1 + (n – 1) · d = 8,8 + (n – 1) · 1,2 = 28 → 8,8 + 1,2n – 1,2 = 28
1,2n = 20,4 → n = 17
La fila 17 está a 28 metros.
21 Escribe los términos intermedios de una progresión aritmética de la que co-
nocemos a1 = –3 y a10 = 18.
a10 = a1 + 9d = –3 + 9d = 18 → d = =
Los términos son: a1 = –3, a2 = – , a3 = , a4 = 4, a5 = , a6 = , a7 = 11,
a8 = , a9 = , a10 = 18.
22 Halla los dos términos centrales de una progresión aritmética de 8 términos
sabiendo que S8 = 100 y que a1 + 2a8 = 48.
Tenemos que calcular a4 y a5. Sabemos que:
Restando a la 2-a
ecuación la 1-a
, queda:
a8 = 23 → a1 = 25 – a8 = 25 – 23 = 2 → a1 = 2
a8 = a1 + 7d = 2 + 7d = 23 → d = 3
Por tanto:
a4 = 11
a5 = 14



a4 = a1 + 3d = 2 + 9 = 11
a5 = a4 + d = 11 + 3 = 14



(a1 + a8) · 8
S8 = ——— = (a1 + a8) · 4 = 100 → a1 + a8 = 25
2
a1 + 2a8 = 48





47
3
40
3
26
3
19
3
5
3
2
3
7
3
21
9
30
15
a6 = a1 + 5d → 13 = a1 + 5d → a1 = 13 – 5d
(a1 + a6) · 6
S6 = ——— → 48 = (13 – 5d + 13) · 3 → 48 = (26 – 5d) · 3
2






23 En una progresión geométrica, a1 = 8 y a3 = 0,5. Calcula a5 y la expresión
de an.
a3 = a1 · r2 = 8r2 = 0,5 → r2 = 0,0625 → r = ± 0,25 = ±
1er
caso: r = 0,25 =
a5 = a1 · r4 = 8 · ( )4
= = 0,03125
an = a1 · rn – 1 = 8 · ( )
n – 1
= =
2o
caso: r = –0,25 = –
a5 = a1 · r4 = = 0,03125
an = 8 · ( )
n – 1
24 En una progresión geométrica de razón r = 3 conocemos S6 = 1 456. Cal-
cula a1 y a4.
S6 = = = = =
= 364a1 = 1456 → a1 = 4
a4 = a1 · r3 = 4 · 27 = 108
25 La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica es igual a 4
y a2 = 1. Calcula a1 y la razón.
4r2 – 4r + 1 = 0 → r = = = → r = → a1 = 2
26 La maquinaria de una fábrica pierde cada año un 20% de su valor. Si costó 4
millones de euros, ¿en cuánto se valorará después de 10 años de funciona-
miento?
– Al cabo de 1 año valdrá → (4 · 106) · 0,8 €
– Al cabo de 2 años valdrá → (4 · 106) · 0,82 €
…
– Al cabo de 10 años valdrá → (4 · 106) · 0,810 ȃ 429496,73 €
1
2
1
2
4
8
4 ± √16 – 16
8
1
a2 = a1 · r = 1 → a1 = —
r
a1 1/r 1
S∞ = — = — = — = 4 → 1 = 4r – 4r2
1 – r 1 – r r – r2







728a1
2
a1 · 729 – a1
2
a1 · r 6 – a1
r – 1
a6 · r – a1
r – 1
1
4
1
32
1
4
1
22n – 5
23
22n – 2
1
4
1
32
1
4
1
4
1
4

27 El 1 de enero depositamos 5 000 € en una cuenta bancaria a un interés anual
del 6% con pago mensual de intereses. ¿Cuál será el valor de nuestro dinero
un año después?
☛ Un 6% anual corresponde a mensual. Cada mes el dinero se multiplica por
1,005.
– Al cabo de 1 mes tendremos → 5000 · 1,005 €
– Al cabo de 2 meses tendremos → 5000 · 1,0052 €
…
– Al cabo de 12 meses tendremos → 5000 · 1,00512 ȃ 5308,39 €
28 Durante 5 años depositamos en un banco 2000 € al 4% con pago anual de in-
tereses.
a) ¿En cuánto se convierte cada depósito al final del quinto año?
b)¿Qué cantidad de dinero hemos acumulado durante esos 5 años?
a) Al final del 5º año:
– Los primeros 2000 € se convierten en 2000 · 1,045 € ȃ 2433,31 €
– Los segundos 2000 € se convierten en 2000 · 1,044 € ȃ 2339,72 €
– Los terceros 2000 € se convierten en 2000 · 1,043 € ȃ 2249,73 €
– Los cuartos 2000 € se convierten en 2000 · 1,042 € = 2163,2 €
– Los quintos 2000 € se convierten en 2000 · 1,04 € = 2080 €
b) Sumamos las cantidades anteriores:
2000 · 1,045 + 2000 · 1,044 + 2000 · 1,043 + 2000 · 1,042 + 2000 · 1,04 =
= 2000(1,045 + 1,044 + 1,043 + 1,042 + 1,04) =
(*)
= 2000 · = 11265,95 €
(*) Suma de una progresión geométrica con a1 = 1,04 y r = 1,04.
29 Estudia el comportamiento de las siguientes sucesiones para términos muy
avanzados e indica cuál es el límite de cada una de ellas:
a) an = 3n2 – 10 b) bn = 3n – n2 c) cn = 10 – 5n + n2
d) dn = (1 – 2n)2 e) en = (4 – n)3 f) fn = 1 – (n + 2)2
a) a10 = 290; a100 = 29990; a1 000 = 2999990
lím an = +∞
b) b10 = –70; b100 = –9700; b1 000 = –997000
lím bn = –∞
1,046 – 1,04
1,04 – 1
6
1 200

c) c10 = 60; c100 = 9510; c1 000 = 995010
lím cn = +∞
d) d10 = 361; d100 = 39601; d1 000 = 3996001
lím dn = +∞
e) e10 = –216; e100 = –884736; e1000 = –988047936
lím en = –∞
f) f10 = –143; f100 = –10403; f1 000 = –1004003
lím fn = –∞
30 Representa gráficamente los 10 primeros términos de las siguientes sucesio-
nes, comprueba que tienden a un número y di cuál es:
a) an = b) bn = 3 + c) cn = – 2 d) dn =
a)
lím an = 2
b)
lím bn = 3
n + 1
2n2
1
n2
(–1)n
n
2n – 1
n
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
an 1 1,5 1,6
)
1,75 1,8 1,83
)
1,86 1,875 1,8
)
1,9
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
bn 2 3,5 2,6
)
3,25 2,8 3,16
)
2,86 3,125 2,8
)
3,1
2 4 6 8 10 n
an
1
2
2
1
4 6 8 10 n
bn
2
3
4

c)
lím cn = –2
d)
lím dn = 0
a) an = b) bn = c) cn = d) dn =
a) a10 = 0,15625; a100 = 0,01656; a1000 = 0,00167
lím an = 0
b) b10 = 0,297; b100 = 0,029997; b1000 = 0,002999997
lím bn = 0
c) c10 = –1; c100 = –0,01; c1 000 = –0,0001
lím cn = 0
d) d10 = 0,0909; d100 = 0,0099; d1000 = 0,000999; d1 001 = –0,000999
lím dn = 0
(–1)n
n + 1
–100
n2
3n
n2 + 1
5
3n + 2
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
cn –1 –1,75 –1,8
)
–1,94 –1,96 –1,97 –1,98 –1,98 –1,99 –1,99
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
dn 1 0,5 0,22 0,16 0,12 0,10 0,08 0,07 0,06 0,06
2 4 6 8 10 n
cn
–2
–1
2 4 6 8 10 n
dn
1
2

32 Comprueba, dando a n valores grandes, que las siguientes sucesiones tien-
den a un número y di cuál es ese número:
a) an = b) bn =
c) cn = 1 + d) dn =
a) a10 = 2,238; a100 = 2,473; a1000 = 2,497
lím an = 2,5 =
b) b10 = –1,970; b100 = –1,9997; b1000 = –1,999997
lím bn = –2
c) c10 = 1,000977; c20 = 1,000000954
lím cn = 1
d) d10 = 0,195; d100 = 0,019995; d1000 = 0,001999995
lím dn = 0
33 Calcula el límite de las siguientes sucesiones:
a) an = b) bn = c) cn =
d) dn = e) en = f ) fn =
a) a10 = 0,7864; a100 = 0,9798; a1000 = 0,9980
lím an = 1
b) b10 = 0,5025; b100 = 0,500025; b1000 = 0,50000025
lím bn = 0,5 =
c) c10 = 9,80; c100 = 30,1; c1000 = 94,90
lím cn = +∞
d) d10 = 1,756; d100 = 1,973; d1000 = 1,997
lím dn = 2
e) e10 = 20,797; e100 = 107,278; e1 000 = 1007,027
lím en = +∞
f) f10 = 0,760; f100 = 0,909; f1000 = 0,969
lím fn = 1
1
2
√n
1 + √n
(1 + n)3
(n – 2)2√4n – 3
n + 2
3n + 1
√n
√n2 + 1
2n
(n – 1)2
n2 + 3
5
2
2n2 – 5
n3
1
2n
1 – 2n2
n2 + 1
5n – 3
2n + 1

34 Comprueba si tienen límite las siguientes sucesiones:
a) an = (–1)n b) bn = 1 + (–1)n
c) cn = d) dn =
a) a100 = 2,01; a101 = –2,0099; a1000 = 2,001; a1 001 = –2,000999
Los términos pares tienden a 2 y los impares a –2.
an no tiene límite.
b) b1 = 0; b2 = 2; b3 = 0; b4 = 2, …
Los términos impares son 0 y los pares son 2.
bn no tiene límite.
c) c1 = 0; c2 = 1; c3 = 0; c4 = 0,5; …; c100 = 0,02
Los términos impares son cero y los pares tienden a cero.
lím cn = 0.
d) d1 = 0; d2 = 1,5; d3 = 0,67; d4 = 1,25; …; d100 = 1,01; d101 = 0,99
lím dn = 1.
35 Dadas las sucesiones an = n2 y bn = , estudia el límite de:
a) an + bn b) an · bn c)
a) An = an + bn = n2 +
A10 = 100,0099; A100 = 10000,0001
lím (an + bn) = +∞
b) Bn = an · bn = n2 · =
B10 = 0,9901; B100 = 0,9999
lím (an · bn) = 1
c) Cn = = = n2(n2 + 1) = n4 + n2
C10 = 10100; C100 = 100010000
lím ( )= +∞
an
bn
n2
1(n2 + 1)
an
bn
n2
n2 + 1
1
n2 + 1
1
n2 + 1
an
bn
1
n2 + 1
n + (–1)n
n
1 + (–1)n
n
2n + 1
n

a) an = (1 + )2n
b) bn = (1 + )n +3
c) cn = (1 + )n2
d) dn = (1 – )–n
a) a10 = 2,6533; a100 = 2,7115; a1000 = 2,7176; a1 000000 = 2,71828; …; lím an = e
b) b10 = 2,6206; b100 = 2,7052; b1000 = 2,7169; b1 000000 = 2,71828; …; lím bn = e
c) c10 = 2,7048; c100 = 2,7181; c1000 = 2,71828; …; lím cn = e
d) d10 = 2,8680; d100 = 2,7320; d1000 = 2,7196; d1 000000 = 2,71828; …; lím dn = e
37 Determina, dando valores grandes a n, cuál es el límite de las siguientes su-
cesiones:
a) an = (2 + )n
b) bn = ( )n
c) cn = (1 + )n2
d) dn = (1 + )n
a) a10 = 1667,988; a100 = 2,987 · 1030
lím an = +∞
b) b10 = 0,00605; b100 = 5,72 · 10–30
lím bn = 0
c) c10 = 13780,61; c100 = 1,64 · 1043
lím cn = +∞
d) d10 = 1,1046; d100 = 1,01005; d1000 = 1,0010005
lím dn = 1
38 Halla el término general de la sucesión: 2, , , , , … y estudia su lí-
mite.
an = = 21/n
a1 = 2; a2 = ȃ 1,4142; a3 = ȃ 1,2599; a4 = ȃ 1,1892; …; a10 ȃ 1,0718
a100 ȃ 1,00696; lím an = 1
39 Dadas las sucesiones an = n + 3 y bn = 2 – n, calcula los siguientes límites:
a) lím (an + bn) b) lím (an – bn) c) lím (an · bn) d) lím
a) An = an + bn = n + 3 + 2 – n = 5
lím (an + bn) = 5
b) Bn = an – bn = n + 3 – (2 – n) = n + 3 – 2 + n = 2n + 1
B10 = 21; B100 = 201; B1 000 = 2001
lím (an – bn) = +∞
an
bn
4
√2
3
√2√2
n
√2
5
√2
4
√2
3
√2√2
1
n2
1
n
n + 2
2n
1
n
1
n
1
n2
1
n + 3
1
2n

c) Cn = an · bn = (n + 3) (2 – n) = 2n – n2 + 6 – 3n = –n2 – n + 6
C10 = –104; C100 = –10094; C1 000 = –1000994
lím (an · bn) = –∞
d) Dn = =
D10 = –1,625; D100 = –1,051; D1000 = –1,005
lím = –1
CUESTIONES TEÓRICAS
40 Sea an una progresión aritmética con d > 0. ¿Cuál es su límite?
Si d > 0, la sucesión se va haciendo cada vez mayor. Por tanto, lím an = +∞.
41 La sucesión 3, 3, 3, 3, …, ¿es una progresión aritmética? ¿Y geométrica?
– Es una progresión aritmética con d = 0.
– También es una progresión geométrica con r = 1.
42 Si an es una progresión geométrica con r = , ¿cuál es su límite?
Al ir multiplicando por sucesivamente, los términos se van aproximando a cero.
Es decir, lím an = 0.
43 En una progresión geométrica cualquiera, a, ar, ar2, ar3, …, comprueba
que: a1 · a6 = a2 · a5 = a3 · a4. ¿Se verifica también a3 · a7 = a4 · a6?
Enuncia una propiedad que exprese los resultados anteriores.
Son iguales
Son iguales
Propiedad: Si an es una progresión geométrica, se verifica que ap · aq = am · an
siempre que p + q = m + n.
44 El número 3,9
)
podemos considerarlo como la suma de los infinitos térmi-
nos de la sucesión: 3, , , , …
Calcula la suma y halla su límite.
3 + + + + … = 3 + 0,9 + 0,99 + 0,999 + … = 3,
)
9
9
1000
9
100
9
10
9
1 000
9
100
9
10



a3 · a7 = (a · r2) · (a · r6) = a2 · r8
a4 · a6 = (a · r3) · (a · r5) = a2 · r8





a1 · a6 = a · (a · r5) = a2 · r5
a2 · a5 = (a · r) · (a · r4) = a2 · r5
a3 · a4 = (a · r2) · (a · r3)= a2 · r5
1
3
1
3
an
bn
n + 3
2 – n
an
bn

Si consideramos la progresión geométrica , , , … y sumamos todos
sus términos, queda:
S∞ = = = = 1
Por tanto: 3 + ( + + + …)= 3 + 1 = 4
45 Inventa dos sucesiones cuyo límite sea infinito y que al dividirlas, la sucesión
que resulte tienda a 2.
Por ejemplo: an = 2n; bn = n + 1
lím an = +∞; lím bn = +∞
lím = lím = 2
46 Inventa dos sucesiones cuyo límite sea 0 y que al dividirlas, la sucesión que ob-
tengas no tienda a 0.
Por ejemplo: an = ; bn =
lím an = 0; lím bn = 0
lím = lím = ≠ 0
PARA PROFUNDIZAR
47 El término central de una progresión aritmética de 17 términos es igual a
11. Calcula la suma de los 17 términos.
El término central es a9. Como a1 + a17 = a2 + a16 = a3 + a15 = … = a9 + a9, enton-
ces:
S17 = = = = = 187
48 La sucesión x2 – x + 1; x2 + 1; x2 + x + 1, ¿es una progresión aritmética?
Si lo fuese, calcula el quinto término y la suma de los cinco primeros térmi-
nos.
Llamamos a1 = x2 – x + 1; a2 = x2 + 1; a3 = x2 + x + 1.
Veamos si la diferencia entre cada dos términos consecutivos es la misma:
a2 – a1 = x2 + 1 – (x2 – x + 1) = x2 + 1 – x2 + x – 1 = x
a3 – a2 = x2 + x + 1 – (x2 + 1) = x2 + x + 1 – x2 – 1 = x
Por tanto, sí es una progresión aritmética con a1 = x2 – x + 1 y diferencia d = x.
22 · 17
2
(11 + 11) · 17
2
(a9 + a9) · 17
2
(a1 + a17) · 17
2
1
2
1
2
an
bn
2
n
1
n
2n
n + 1
an
bn
9
1000
9
100
9
10
9
—
10
9
—
10
9
—
10
1
1 – —
10
a1
1 – r
9
1000
9
100
9
10

Así, tenemos que:
a5 = a1 + 4 · d = x2 – x + 1 + 4x = x2 + 3x + 1
S5 = = =
= (x2 + x + 1) · 5 = 5x2 + 5x + 5
Página 67
49 Dibuja un cuadrado de lado cm y sobre cada lado un triángulo rectángulo
isósceles; después dos, luego cuatro, como indican las figuras:
a) Forma la sucesión de los perímetros de las figuras obtenidas. ¿Cuál es su
límite?
b)Forma también la sucesión de las áreas. ¿Cuál es su límite?
1er
paso: 2º paso: 3er
paso:
Perímetro = 8 cm Perímetro = 8 cm Perímetro = 8 cm
Área = 2 + 2 = 4 cm2 Área = 2 + 1 = 3 cm2 Área = 2 + = cm2
… Paso n-ésimo:
a) 8, 8, 8, 8, …; Pn = 8; lím Pn = 8
b) 4, 3, , …; An = 2 + 2 · ( )
n – 1
; lím An = 2
(que es el área del cuadrado de lado ).√2
1
2
5
2
Perímetro = 8 cm
1
Área = 2 + 2 · (—)n – 1
cm2
2





5
2
1
2
√2
(2x2 + 2x + 2) · 5
2
(x2 – x + 1 + x2 + 3x + 1) · 5
2
(a1 + a5) · 5
2
11
1 1
1/2 1/2 1/4
1/41/2
1/2
11
1 1
√
—
2
√
—
2

50 Los términos de la sucesión 1, 3, 6, 10, 15 se llaman números triangulares
porque se pueden representar así:
Calcula a10 y an.
a1 = 1; a2 = 1 + 2 = 3; a3 = 1 + 2 + 3 = 6; a4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10;
a10 = 1 + 2 + 3 + … + 10 = = = 55
an = 1 + 2 + 3 + … + n =
51 Los términos de la sucesión 1, 5, 12, 22, 35 se llaman números pentagonales
porque se pueden representar así:
Calcula a6, a10 y an.
☛ Esos números se pueden escribir así: 1; 1 + 4; 1 + 4 + 7; 1 + 4 + 7 + 10; 1 + 4 + 7 + 10
+ 13
a1 = 1; a2 = 1 + 4 = 5; a3 = 1 + 4 + 7 = 12; a4 = 1 + 4 + 7 + 10 = 22
Observamos que vamos obteniendo las sumas de los términos de una progresión
aritmética con a1 = 1 y d = 3. En el paso n-ésimo tendremos:
an = 1 + 4 + 7 + … + (1 + (n – 1) · 3) = 1 + 4 + 7 + … + (3n – 2) =
= = =
Por tanto:
a6 = = 17 · 3 = 51; a10 = = 145
29 · 10
2
17 · 6
2
(3n – 1) · n
2
(1 + 3n – 2) · n
2
(1 + (3n – 2)) · n
2
(1 + n) · n
2
11 · 10
2
(1 + 10) · 10
2
221251

52 Utiliza las propiedades de las progresiones para simplificar la expresión del
término general y calcular el límite de las siguientes sucesiones:
a) an = + + + … + b) bn = 2n
( + + + … +
)
a) an = (1 + 2 + 3 + … + n) =
( )= ·
( )=
Hallamos el límite: a10 = 0,55; a100 = 0,505; a1000 = 0,5005; lím an = 0,5 =
b) bn = (1 + 2 + 3 + … + n) =
( )= ·
( )= =
= = = n + 1
b10 = 11; b100 = 101; b1 000 = 1001; lím bn = +∞
PARA PENSAR UN POCO MÁS
53 La sucesión de Fibonacci se puede obtener a partir de una fórmula muy
complicada:
an =
[( )
n
–
( )
n
]
Con ayuda de la calculadora podemos obtener cualquiera de sus términos.
Por ejemplo, sabemos que a6 = 8. Obtengámoslo con la fórmula:
1 5 2 6 1 5 2 6 5
s Calcula de este modo a8 = 21.
s Observa que el sustraendo
( )
n
toma valores muy próximos a 0 pa-
ra n un poco grande.
Esto nos permite obtener un valor muy aproximado de an mediante
( )
n
. Por ejemplo, a7 ≈ 12,98 ≈ 13.
Calcula, así, a10 y a20.
• Para calcular a8 escribimos en la calculadora:
1 5 2 8 1 5 2 8 5
Obtenemos a8 = 21.
1 + √
—
5
2
1
√5
1 – √
—
5
2
1 – √
—
5
2
1 + √
—
5
2
1
√5
2n2(n + 1)
2n2
2n3 + 2n2
2n2
2n2 + 2n3
2n3
n + n2
2
2n
n3
(1 + n) · n
2
2n
n3
2n
n3
1
2
n2 + n
2n2
n + n2
2
1
n2
(1 + n) · n
2
1
n2
1
n2
n
n3
3
n3
2
n3
1
n3
n
n2
3
n2
2
n2
1
n2

• Obtenemos de forma aproximada a10 y a20:
a10 ȃ 55,0036 → a10 = 55
a20 ȃ 6765,00003 → a20 = 6765
54 Dos sucesiones emparejadas
Observa las siguientes sucesiones:
l1 = 1 d1 = 1
l2 = 1 + 1 = 2 d2 = 2 + 1 = 3
l3 = 2 + 3 = 5 d3 = 2 · 2 + 3 = 7
…… ……
ln = ln –1 + dn –1 dn = 2ln –1 + dn –1
s Calcula los diez primeros términos de cada una de estas sucesiones.
s Comprueba que el cociente dn/ln se parece cada vez más a .
Este par de sucesiones fueron construidas por los pitagóricos. Tienen la par-
ticularidad de que no solo son recurrentes sino que cada una ha de recurrir
a la otra.
El límite de dn/ln es , igual que el cociente entre la diagonal, d, y el la-
do, l, de un cuadrado.
• Calculamos los diez primeros términos de cada sucesión:
COCIENTES
l1 = 1 d1 = 1 d1/l1 = 1
l2 = 1 + 1 = 2 d2 = 2 + 1 = 3 d2/l2 = 1,5
l3 = 2 + 3 = 5 d3 = 2 · 2 + 3 = 7 d3/l3 = 1,4
l4 = 12 d4 = 17 d4/l4 ȃ 1,41666…
l5 = 29 d5 = 41 d5/l5 ȃ 1,4137931…
l6 = 70 d6 = 99 d6/l6 ȃ 1,4142857…
l7 = 169 d7 = 239 d7/l7 ȃ 1,4142011…
l8 = 408 d8 = 577 d8/l8 ȃ 1,4142156…
l9 = 985 d9 = 1393 d9/l9 ȃ 1,4142131…
l10 = 2378 d10 = 3363 d10/l10 ȃ 1,4142136…
Los cocientes se aproximan a: ȃ 1,4142135…√2
√2
√2

Problema 1
1. Tres amigos, Antonio, Juan y Pablo, fueron con sus tres hijos, Julio, José y Luis,
a un almacén de frutos secos. Ante un saco de almendras, el dueño les dijo:
—Coged las que queráis.
Cada uno de los seis metió la mano en el saco un número n de veces y, cada
vez, se llevó n almendras (es decir, si uno de ellos metió la mano en el saco 9
veces, cada vez cogió 9 almendras, y, por tanto, se llevó 81 almendras). Ade-
más, cada padre cogió, en total, 45 almendras más que su hijo.
Antonio metió la mano 7 veces más que Luis, y Julio, 15 más que Pablo.
• ¿Cómo se llama el hijo de Antonio?
• ¿Y el de Juan?
• ¿Cuántas almendras se llevaron entre todos?
• 2-º caso: 15 × 3
(x + y) (x – y) = 45
Esto significa que otro de los padres cogió 9 puñados de 9 almendras (81 almen-
dras) y su hijo, 6 puñados de 6 almendras (36 almendras).
• 3er caso: 45 × 1
(x + y) (x – y) = 45
Uno de los padres se llevó 23 puñados de 23 almendras (529 almendras) y su hijo,
22 puñados de 22 almendras (484 almendras).
Como Antonio metió la mano 7 veces más que Luis, Antonio cogió 9 puñados y Luis 2
puñados.
Como Julio metió la mano 15 veces más que Pablo, Julio cogió 22 puñados y Pablo 7
puñados.
Sumando: 2x = 46 → x = 23
Restando: 2y = 44 → y = 22



x + y = 45
x – y = 1
Sumando: 2x = 18 → x = 9
Restando: 2y = 12 → y = 6



x + y = 15
x – y = 3
Unidad 3. Álgebra 1
ÁLGEBRA3

Por tanto:
• Antonio se lleva 9 puñados y José 6.
• Juan coge 23 puñados y Julio 22.
• Pablo se lleva 7 puñados y Luis 2.
• El hijo de Antonio es José, el de Juan es Julio y el de Pablo es Luis.
Por último, el número total de almendras que se llevaron entre todos será:
81 + 36 + 529 + 484 + 49 + 4 = 1183 almendras
Página 69
Problema 2
2. Un galgo persigue a una liebre.
La liebre lleva 30 de sus saltos de ventaja al galgo. Mientras el galgo da dos sal-
tos, la liebre da tres. Tres saltos del galgo equivalen a cinco de la liebre. ¿Cuán-
tos saltos dará cada uno hasta el momento de la captura?
Cada 2 saltos de galgo y 3 de liebre se acerca 1 u el galgo.
Cada 2 · 2 saltos de galgo y 3 · 2 de liebre se acerca 2 u el galgo.
… …
Como la liebre lleva 30 de sus saltos al galgo (90 u de ventaja), serán:
2 · 90 = 180 saltos el galgo
3 · 90 = 270 saltos la liebre
De esta forma el galgo recorre 180 · 5 u = 900 u; y la liebre 270 · 3 u = 810 u.
Como tenía 90 de ventaja: 810 + 90 = 900 u
Por tanto, hasta el momento de la captura el galgo da 180 saltos y la liebre 270.
Página 71
1. Descompón factorialmente los siguientes polinomios:
a) x6 – 9x5 + 24x4 – 20x3 b) x6 – 3x5 – 3x4 – 5x3 + 2x2 + 8x
c) x6 + 6x5 + 9x4 – x2 – 6x – 9
a) x6 – 9x5 + 24x4 – 20x3 = x3 (x3 – 9x2 + 24x – 20)
x6 – 9x5 + 24x4 – 20x3 = x3(x – 2)2 (x – 5)
1 –9 24 –20
2 2 –14 20
1 –7 10 0
2 2 –10
1 –5 0

b) x6 – 3x5 – 3x4 – 5x3 + 2x2 + 8x = x(x5 – 3x4 – 3x3 – 5x2 + 2x + 8)
x2 + x + 2 = 0 → x =
no tiene solución
x6 – 3x5 – 3x4 – 5x3 + 2x2 + 8x = x(x – 1) (x + 1) (x – 4) (x2 + x +2)
c) x6 + 6x5 + 9x4 – x2 – 6x – 9
x2 + 1 = 0 → x2 = –1 → no tiene solución
Así, x6 + 6x5 + 9x4 – x2 – 6x – 9 = (x + 3)2 (x + 1) (x – 1) (x2 + 1)
2. a) Intenta factorizar x4 + 4x3 + 8x2 + 7x + 4.
b) Hazlo ahora sabiendo que es divisible por x2 + x + 1.
a) El polinomio dado no tiene raíces enteras (de hecho, no tiene raíces reales).
b) Hacemos la división:
x4 + 4x3 + 8x2 +7x + 4 x2 + x + 1
–x4 – x3 – x2 x2 + 3x + 4
3x3 + 7x2 + 7x + 4
–3x3 – 3x2 – 3x
4x2 + 4x + 4
–4x2 – 4x – 4
0
Los polinomios x2 + x + 1 y x2 + 3x + 4 son irreducibles (las ecuaciones
x2 + x + 1 = 0 y x2 + 3x + 4 = 0 no tienen solución). Por tanto:
x4 + 4x3 + 8x2 + 7x + 4 = (x2 + x + 1) (x2 + 3x + 4)
1 6 9 0 –1 –6 –9
–1 –1 –5 –4 4 –3 9
1 5 4 –4 3 –9 0
–3 –3 –6 6 –6 9
1 2 –2 2 –3 0
–3 –3 3 –3 3
1 –1 1 –1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
–1 ± √1 – 8
2
1 –3 –3 –5 2 8
1 1 –2 –5 –10 –8
1 –2 –5 –10 –8 0
–1 –1 3 2 8
1 –3 –2 –8 0
4 4 4 8
1 1 2 0

3. Intenta factorizar 6x4 + 7x3 + 6x2 – 1. Hazlo ahora sabiendo que – y son
raíces del polinomio.
El polinomio dado no tiene raíces enteras.
Por tanto:
6x4 + 7x3 + 6x2 – 1 = (x + )(x – )6(x2 + x + 1) = (2x + 1) (3x – 1) (x2 + x + 1)
Página 73
1. Reduce previamente a común denominador las fracciones algebraicas siguien-
tes, y súmalas: ; ; –
m · c · m = x(x + 1)
Reducimos a común denominador:
= =
=
– = – = – = –
Las sumamos:
+ – = + + =
= =
2. Efectúa: + –
+ – = + – =
= + – =
= = = x2 – 3x + 1
x2 – 1
1 + 2x2 – 2x – x2 – x
x2 – 1
1 + 2x(x –1) – x(x + 1)
(x – 1) (x + 1)
x(x + 1)
(x – 1) (x + 1)
2x(x –1)
(x – 1) (x + 1)
1
(x – 1) (x + 1)
x
x – 1
2x
x + 1
1
(x – 1) (x + 1)
x
x – 1
2x
x + 1
1
x2 – 1
x
x – 1
2x
x + 1
1
x2 – 1
–x2 + 8x + 5
x2 + x
x2 + 8x + 7 + x –2 –2x2 –x
x2 + x
–2x2 – x
x(x + 1)
x – 2
x(x + 1)
x2 + 8x + 7
x(x + 1)
2x + 1
x + 1
x – 2
x2 + x
x + 7
x
2x2 – x
x(x + 1)
2x2 + x
x(x + 1)
(2x + 1)x
x(x + 1)
2x + 1
x + 1
x – 2
x(x + 1)
x – 2
x2 + x
x2 + 8x + 7
x(x + 1)
(x + 7) (x + 1)
x(x + 1)
x + 7
x





x = x
x2 + x = x(x + 1)
x + 1 = x + 1
2x + 1
x + 1
x – 2
x2 + x
x + 7
x
1
3
1
2
6 7 6 0 –1 6x2 + 6x + 6 = 0
–1/2 –3 –2 –2 1 6(x2 + x + 1) = 0
6 4 4 –2 0
–1 ±√1 – 4
____
1/3 2 2 2 x = __________ no tiene solución
6 6 6 0
2
1
3
1
2

3. Efectúa estas operaciones:
a) · b) :
a) · = =
= =
b) : = · = =
= =
4. Calcula:
a) : ( · ) b) ·
a) : ( · )= : = · =
= = =
=
b) · = = = =
= = = x2 – 1
Página 75
1. Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) x4 – x2 – 12 = 0 b) x4 – 8x2 – 9 = 0
a) x2 = = 2 y –2
b) x2 = = 3 y –3
9 → x = ±3
–1 → (no vale)
8 ± 10
2
8 ± √64 + 36
2
4 → x = ±2
–3 → (no vale)
1 ± 7
2
1 ± √1 + 48
2
(x2 + 1) (x2 – 1)
x2 + 1
x4 – 1
x2 + 1
x4(x4 – 1)
x4(x2 + 1)
x8 – x4
x6 + x4
(x4 – x2) (x4 + x2)
(x2 + 1)x4
x4 + x2
x4
x4 – x2
x2 + 1
6x2 + 15x + 6
x3 – x2
3(2x2 + 4x + x + 2)
x3 – x2
3(2x + 1) (x + 2)
x2(x – 1)
3(2x + 1)
(x – 1)x
x + 2
x
(x – 1)x
3(2x + 1)
x + 2
x
x
2x + 1
x – 1
3
x + 2
x
x4 + x2
x4
x4 – x2
x2 + 1
x
2x + 1
x – 1
3
x + 2
x
x3 + 3x2 – 7x + 15
2x2 – x – 6
x3 – 2x2 + 3x + 5x2 – 10x + 15
2x2 + 3x – 4x – 6
(x2 – 2x + 3) (x + 5)
(x – 2) (2x + 3)
x + 5
2x + 3
x2 – 2x + 3
x – 2
2x + 3
x + 5
x2 – 2x + 3
x – 2
2x3 – x2 + 9
x2 + 3x – 10
2x3 + 3x2 – 4x2 – 6x + 6x + 9
x2 + 5x – 2x – 10
(x2 – 2x + 3) (2x +3)
(x – 2) (x + 5)
2x + 3
x + 5
x2 – 2x + 3
x – 2
2x + 3
x + 5
x2 – 2x + 3
x – 2
2x + 3
x + 5
x2 – 2x + 3
x – 2

2. Resuelve:
a) x4 + 10x2 + 9 = 0 b) x4 – x2 – 2 = 0
a) x2 = =
No tiene solución.
b) x4 – x2 – 2 = 0 y2 – y – 2 = 0
y = = =
Hay dos soluciones: x1 = – ; x2 =
Página 76
1. Resuelve:
a) – + 1 = x b) – = 4 c) 2 + = x
d) 2 – = x e) – 1 =
a) 1 – x =
1 + x2 – 2x = 2x – 3; x2 – 4x + 4 = 0; x = 2 (no vale)
No tiene solución.
b) 2x – 3 = 16 + x + 7 + 8
x – 26 = 8
x2 + 676 – 52x = 64(x + 7)
x2 + 676 – 52x = 64x + 448
x2 – 116x + 228 = 0; x =
x = 114
c) = x – 2; x = x2 + 4 – 4x; 0 = x2 – 5x + 4
x = =
x = 4
d) 2 – x = ; 4 + x2 – 4x = x; x2 – 5x + 4 = 0
x =
x = 1
4 → (no vale)
1
√x
4
1 → (no vale)
5 ± 3
2
5 ± √25 – 16
2
√x
114
2 → (no vale)
116 ± 112
2
√x + 7
√x + 7
√2x – 3
√8 + 2x√3x + 3√x
√x√x + 7√2x – 3√2x – 3
√2√2
y = –1 → x2 = –1 → No vale
y = 2 → x2 = 2 → x = ± √2
––1 ± 3
2
1 ± √9
2
1 ± √1 + 8
2
x2 = y
→
–1 → (no vale)
–9 → (no vale)
–10 ± 8
2
–10 ± √100 – 36
2

e) – 1 =
3x + 3 = 1 + 8 – 2x + 2
5x – 6 = 2
25x2 + 36 – 60x = 4(8 – 2x)
25x2 – 52x + 4 = 0
x =
Así, x = 2.
2. Para ir de A hasta C hemos navegado a 4 km/h
en línea recta hasta P , y hemos caminado a 5
km/h de P a C. Hemos tardado, en total, 99 mi-
nutos (99/60 horas).
¿Cuál es la distancia, x, de B a P ?
—
AP2 = x2 + 9 = t
—
PC = 6 – x = ( – t)
t =
t = – +
+ =
15 + 12(6 – x) = 99
15 + 72 – 12x = 99
15 = 12x + 27
225(x2 + 9) = 144x2 + 729 + 648x
225x2 + 2 025 = 144x2 + 729 + 648x
81x2 – 648x + 1 296 = 0
x2 – 8x + 16 = 0
x = = 4
Así, la distancia de B a P es de 4 km.
8
2
√x2 + 9
√x2 + 9
√x2 + 9
99
60
6 – x
5
√x2 + 9
4
99
60
6 – x
5
√x2 + 9
4
99
60
6 – x
5
√x2 + 9
4
x = 2
x = 0,08 → no vale
52 ± 48
50
√8 – 2x
√8 – 2x
√8 – 2x√3x + 3
3 km
6 km
x
A
P
B
ARENA
MAR
C



















= – +
99
60
6 – x
5
√x2 + 9
4

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) + = b) + = 4 c) + =
a) 10(x + 3) + 10x = 3x (x + 3)
10x + 30 + 10x = 3x2 + 9x
0 = 3x2 – 11x – 30
x = =
x1 = 5,489; x2 = –1,822
b) 12(x – 2) + 2x (x + 1) = 12x (x – 2)
12x – 24 + 2x2 + 2x = 12x2 – 24x
0 = 10x2 – 38x + 24
0 = 5x2 – 19x + 12; x = =
x1 = 3; x2 =
c) 4x + 4 = 3x2; 0 = 3x2 – 4x – 4
x = =
x1 = 2; x2 =
2. Resuelve:
a) + = 3 b) + = c) – =
a) x (x + 1) + 2x (x – 1) = 3(x2 – 1)
x2 + x + 2x2 – 2x = 3x2 – 3
x = 3
b) 10(x + 3) + 2x (x + 2) = 3(x2 + 5x + 6)
10x + 30 + 2x2 + 4x = 3x2 + 15x + 18
0 = x2 + x – 12
x = = =
x1 = 3; x2 = –4
3
–4
–1 ± 7
2
–1 ± √1 + 48
2
26
35
x2 + 1
x2 – 1
x + 3
x – 1
3
2
x
x + 3
5
x + 2
2x
x + 1
x
x – 1
–2
3
2
–2/3
4 ± 8
6
4
5
3
4/5
19 ± 11
10
5,489
–1,822
11 ± 21,93
6
3
4
1
x2
1
x
2(x + 1)
3(x – 2)
4
x
3
10
1
x + 3
1
x

c) 35(x + 3) (x + 1) – 35(x2 + 1) = 26 (x2 – 1)
35(x2 + 4x + 3) – 35(x2 + 1) = 26(x2 – 1)
35x2 + 140x + 105 – 35x2 – 35 = 26x2 – 26
26x2 – 140x – 96 = 0
x = = =
x1 = 6; x2 =
Página 79
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 23x = 0,53x + 2 b) 34 – x2
=
c) = 186 d) 7x + 2 = 5 764 801
a) 23x = 2–3x – 2; 3x = –3x – 2; 6x = –2; x =
b) 34 – x2
= 3–2; 4 – x2 = –2; x2 = 6; x = ±
x1 = ; x2 = –
c) = 186; 22x – 2 – x – 2 = 186; 2x – 4 = 186
log 2x – 4 = log 186; (x – 4) log 2 = log 186
x = 4 + = 11,54
d) 7x + 2 = 78; x = 6
2. Resuelve:
a) 3x + 3x + 2 = 30 b) 5x + 1 + 5x + 5x –1 =
c) 2log x – log(x + 6) = 3log 2 d) 4log2 (x2 + 1) = log2 625
a) 3x + 3x · 9 = 30
3x (10) = 30; 3x = 3; x = 1
b) 5 · 5x + 5x + =
5x · = ; x = 0
31
5
31
5
31
5
5x
5
31
5
log 186
log 2
22x – 2
2x + 2
√6√6
√6
–1
3
4x – 1
2x + 2
1
9
–8
13
6
–8/13
70 ± 86
26
70 ± √702 – 4 · 13 · (–48)
26

c) log = log 8
x2 = 8x + 48; x2 – 8x – 48 = 0; x = =
x = 12
d) log2 (x2 + 1)4 = log2 54; x2 + 1 = 5; x2 = 4; x = ±2
x1 = 2; x2 = –2
Página 81
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) b) c)
a)
x2 – 9 = 2x – 1; x2 – 2x – 8 = 0
x = = =
x1 = 4; y1 = 7
x2 = –2; y2 = –5
b)
y = 5 – x
x (5 – x) = 6; 5x – x2 = 6; x2 – 5x + 6 = 0
x1 = 2; y1 = 3
x2 = 3; y2 = 2
c) x = 2y + 1
– = 2; = 2 +
3y + 1 = 4 + y + 1 + 4 ; 2y – 4 = 4 ; y – 2 = 2
y2 + 4 – 4y = 4y + 4; y2 – 8y = 0
y = 8 → x = 17
y = 0 (no vale)
x = 17; y = 8
√y + 1√y + 1√y + 1
√y + 1√3y + 1√y + 1√3y + 1
x = 2
x = 3



y + x = xy – 1
xy = 6
4
–2
2 ± 6
2
2 ± √4 + 32
2



y = 2x – 1
y = x2 – 9
x = 2y + 1
√
—
x + y – √
—
x – y = 2



1 1 1
— + — = 1 – —
x y xy
xy = 6





2x – y – 1 = 0
x2 – 7 = y + 2



12
–4 (no vale)
8 ± 16
2
x2
x + 6

2. Resuelve:
a) b) c)
a) y = 1 – x; x2 + x (1 – x) + (1 – x)2 = 21
x2 + x – x2 + 1 + x2 – 2x = 21; x2 – x – 20 = 0
x = = =
x1 = –4; y1 = 5
x2 = 5; y2 = –4
b) x = 27 + y
log = 1
10y = 27 + y; 9y = 27; y = 3
= 10; x = 10y; x = 30
x = 30; y = 3
c) log = 1
5x + 1 = 52y + 2
x = 2y + 1
4y2 + 1 + 4y + y = 20y + 10 – 20y
4y2 + 5y – 9 = 0
y = = =
x1 = 3; y1 = 1
x2 = ; y2 =
Página 82
1. Reconoce como escalonados y resuelve:
a) b)
3x + 4y = 0
2y = –6
5x + y – z = 17





x = 7
2x – 3y = 8
3x + y – z = 12





–9
4
–7
2
–9/4 → x = –7/2
1 → x = 3
–5 ± 13
8
–5 ± √25 + 144
8



x2 + y = 10x – 20y
x + 1 = 2y + 2
x2 + y
x – 2y
x
y
x
y
5 → y = –4
–4 → y = 5
1 ± 9
2
1 ± √1 + 80
2
log (x2 + y) – log (x – 2y) = 1
5x + 1 = 25 y + 1



x – y = 27
log x – 1 = log y



x2 + x y + y2 = 21
x + y = 1














c) d)
2. Resuelve los siguientes sistemas escalonados:
a) b)
c) d)
x = –1
y = –2
z = –2







y =
–10
= –2
5
x =
–5 –y
= –1
3
z = x + 2y + 3 = –2





x + 2y – z = –3
3x + y = –5
5y = –10
b)
x = 1
y = –5
z = 4





y = –5
z = 4
x = 1





y = –5
2z = 8
3x = 3
a)
4x + y – z = 7
2y = 8
3x = 9





x – 5y + 3z = 8
3y – z = 5
4z = 4





x + 2y – z = –3
3x + y = –5
5y = –10





y = –5
2z = 8
3x = 3





x = 8
y = 4
z = –3





y = 4
z = y – 7 = 4 – 7 = –3
x = 11 + z = 11 – 3 = 8





y = 4
x – z = 11
y – z = 7
d)
x = –1
y = 4
z = 4





x = –1
y = 4
z = 2x + y + 2 = –2 + 4 + 2 = 4





3x = –3
5y = 20
2x + y – z = –2
c)
x = 4
y = –3
z = 0







–6
y = — – 3
2
–4y
x = — = 4
3
z = 5x + y – 17 = 20 – 3 – 17 = 0





3x + 4y = 0
2y = –6
5x + y – z = 17
b)
x = 7
y = 2
z = 11







x = 7
y =
2x – 8
= 2
3
z = 3x + y – 12 = 21 + 2 – 12 = 11





x = 7
2x – 3y = 8
3x + y – z = 12
a)
y = 4
x – z = 11
y – z = 7





3x = –3
5y = 20
2x + y – z = –2






3. Resuelve por el método de Gauss:
a) b)
4. Resuelve:
a) b)
2 · 1-ª + 3-ª
2-ª
3-ª : 2





13x – 5z = 13
2x + y – 2z = 1
–2x + 10z = –2
1-ª + 4 · 2-ª
2-ª
3-ª – 3 · 2-ª





5x – 4y + 3z = 9
2x + y – 2z = 1
4x + 3y + 4z = 1
a)
2x – 5y + 4z = –1
4x – 5y + 4z = 3
5x – 3z = 13





5x – 4y + 3z = 9
2x + y – 2z = 1
4x + 3y + 4z = 1





x = 4
y = 2
z = –3







x =
20
= 4
5
y =
14 – 2x
= 2
3
z = –3 – x + 2y = –3 – 4 + 4 = –3





2x + 3y = 14
x – 2y + z = –3
5x = 20
1-ª
2-ª
3-ª + 1-ª





2x + 3y = 14
x – 2y + z = –3
3x – 3y = 6
1-ª
2-ª
3-ª + 2-ª





2x + 3y = 14
x – 2y + z = –3
2x – y – z = 9
b)
x = 1
y = –2
z = 3





x = 1
z = 4 – x = 3
y = 2 – x – z = 2 – 1 – 3 = –2





x + y + z = 2
x + z = 4
x = 1





x + y + z = 2
2x + 2z = 8
2x = 2
1-ª
2-ª + 1-ª
3-ª + 1-ª





x + y + z = 2
x – y + z = 6
x – y – z = 0
a)
2x + 3y = 14
x – 2y + z = –3
2x – y – z = 9





x + y + z = 2
x – y + z = 6
x – y – z = 0





x = 3
y = 4
z = 9







x =
9
= 3
3
y =
8
= 4
2
z = 4x + y – 7 = 9





4x + y – z = 7
2y = 8
3x = 9
d)
x = 15
y = 2
z = 1







z = 1
y =
5 + z
= 2
3
x = 8 + 5y – 3z = 8 + 10 – 3 = 15





x – 5y + 3z = 8
3y – z = 5
4z = 4
c)

1. Resuelve estas inecuaciones:
a) 3x + 2 ≤ 10 b) x – 5 > 1
a) 3x + 2 ≤ 10 → 3x ≤ 8 → x ≤
Soluciones: x / x ≤ = (–∞,
]
b) x – 5 > 1 → x > 6
Soluciones: {x / x > 6} = (6, +∞)
2. Resuelve:
a) b)
a)
No tiene solución
b)
No tiene solución
Página 85
3. Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) x2 – 3x – 4 < 0 b) x2 – 3x – 4 ≥ 0
c) x2 + 7 < 0 d) x2 – 4 ≤ 0



2x ≥ 11 → x ≥ 11/2
3x ≤ 14 → x ≤ 14/3



3x ≤ 8 → x ≤ 8/3
x > 6
2x – 5 ≥ 6
3x + 1 ≤ 15



3x + 2 ≤ 10
x – 5 > 1



8
3



8
3



8
3
x = 2
y =
1
5
z = –1







x = 2
5x – 13
z = ––––––––– = –1
3
2x + 4z + 1 1
y = ––––––––––– = —
5 5





2x – 5y + 4z = –1
2x = 4
5x – 3z = 13
1-ª
2-ª – 1-ª
3-ª





2x – 5y + 4z = –1
4x – 5y + 4z = 3
5x – 3z = 13
b)
x = 1
y = –1
z = 0







x = 1
z =
–1 + x
= 0
5
y = 1 – 2x + 2z = –1





24x = 24
2x + y – 2z = 1
–x + 5z = –1

a) x2 – 3x – 4 < 0 → intervalo (–1, 4)
b) x2 – 3x – 4 ≥ 0 → (–∞, –1] U [4, +∞)
c) x2 + 7 < 0 → No tiene solución
d) x2 – 4 ≤ 0
La parábola y = x2 – 4 queda por debajo del eje x en el intervalo (–2, 2); y cor-
ta al eje x en x = –2 y en x = 2.
Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [–2, 2].
4. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a) b)
a) 2x – 7 > 5 → 2x > 12 → x > 6 → (6, +∞)
x2 – 3x – 4 ≥ 0 → (–∞, –1] U [4, +∞)
Solución: (6, +∞)
• Las soluciones de la primera inecuación son lon puntos del intervalo [–2, 2]. (Ver
apartado d) del ejercicio anterior).



x2 – 4 ≤ 0
x – 4 > 1
b)
x2 – 4 ≤ 0
x – 4 > 1



x2 – 3x – 4 ≥ 0
2x – 7 > 5



y = x2 – 3x – 4
2
4
2 4
–2
–2
Y
X
y = x2 + 7
4
8
2 4
12
–2
Y
X
y = x2 – 3x – 4
2
4
2 4
–2
–2
Y
X

• Las soluciones de la segunda inecuación son:
x – 4 > 1 → x > 5 → (5, +∞)
• Las soluciones del sistema serán los puntos en común de los dos intervalos. Por
tanto, el sistema no tiene solución.
Página 90
PARA PRACTICAR
Ecuaciones
1 Resuelve:
a) 7 – + = –
b) (3x – )· (3x + )– 4 = (3x – 5)2 +
c) + = – 1
a) 189 – 9x – 36 + 9x = 5x + 8 – 15x – 165
10x = –310 ⇒ x = –31
b) 9x2 – – 4 = 9x2 + 25 – 30x +
30x = 30 ⇒ x = 1
c) – x + x – = 2 + x –
x = – ; x = – ⇒ x = –
2 Entre estas seis ecuaciones de primer grado, hay dos que no tienen solu-
ción, dos que tienen infinitas soluciones y dos que tienen solución única.
Identifica cada caso y resuelve las que sea posible:
a) = x – b) x + – 1 = x
c) – = –
d) 0,2x + 0,6 – 0,25(x – 1)2 = 1,25x – (0,5x + 2)2
e) (5x – 3)2 – 5x (4x – 5) = 5x(x – 1)
f ) – = –
(x – 2)2
2
x – 2
2
(x + 1) (x – 2)
2
2x + 1
7
2 + x
4
(x – 1)2
16
1 + x
2
(x + 1)2
16
2
3
3 – x
3
2x + 3
4
x + 1
2
√15
3
√5
√3
√5√3
√15√5√15√5√5√3√15
5
9
4
9
2√
–
3 + x
√
–
3
x – 1
√3
√
–
5 – x
√
–
5
5
9
2
3
2
3
5(x + 11)
9
5x + 8
27
x
3
x + 4
3

a) 2x + 2 = 4x – 2x – 3; 5 = 0
No tiene solución.
b) 3x + 3 – x – 3 = 2x; 0 = 0
Infinitas soluciones.
c) – = –
2x – 8 – 8x = –2x – 8 – 4x; 0 = 0
Infinitas soluciones.
d) 0,2x + 0,6 – 0,25(x2 + 1 – 2x) = 1,25x – (0,25x2 + 4 + 2x)
0,2x + 0,6 – 0,25x2 – 0,25 + 0,5x = 1,25x – 0,25x2 – 4 – 2x
1,45x = –4,35
x = –3
e) 25x2 + 9 – 30x – 20x2 + 25x = 5x2 – 5x; 9 = 0
No tiene solución.
f) 4x + 2 – 7(x2 – x – 2) = 7x – 14 – 7(x2 + 4 – 4x)
4x + 2 – 7x2 + 7x + 14 = 7x – 14 – 7x2 – 28 + 28x
58 = 24x
x =
3 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) + (x – 2)2 = b) 0,5(x – 1)2 – 0,25(x + 1)2 = 4 – x
c) (0,5x – 1) (0,5x + 1) = (x + 1)2 – 9 d) ( – 2)2
– = –
e) x2 – 2x + 2 – 3 = 0 f ) x2 – x – 2 – = 0
g) + = + 1 h) 0,3
)
x2 – x – 1,3
)
= 0
☛ Expresa los decimales periódicos en forma de fracción y obtendrás soluciones
enteras.
a) 2x2 – 2 + 6(x2 + 4 – 4x) = 3x2 + 6
2x2 – 2 + 6x2 + 24 – 24x = 3x2 + 6
5x2 – 24x + 16 = 0
x = =
x1 = 4; x2 =
4
5
4
4/5
24 ± 16
10
(3x – 2)2
8
x(x + 2)
4
x(x – 3)
2
√2√3
x – 1
4
1
8
x + 1
8
x
2
3
2
x2 + 2
2
x2 – 1
3
29
12
8 + 4x
16
x2 + 1 – 2x
16
8 + 8x
16
x2 + 1 + 2x
16

b) 0,5(x2 + 1 – 2x) – 0,25(x2 + 1 + 2x) = 4 – x
0,5x2 + 0,5 – x – 0,25x2 – 0,25 – 0,5x = 4 – x
0,25x2 – 0,5x – 3,75 = 0
x2 – 2x – 15 = 0
x = =
x1 = –3; x2 = 5
c) 0,25x2 – 1 = x2 + 1 + 2x – 9
0 = 0,75x2 + 2x – 7
x = =
x1 = 2; x2 = –
d) ( + 4 – 2x)– = –
3x2 + 48 – 24x – x – 1 = 1 – 2x + 2; 3x2 – 23x + 44 = 0
x = =
x1 = 4; x2 =
e) x = = = = 1 ± =
=
x1 = 1 + *= ; x2 = 1 – *= 2 –
* Esta igualdad se podría probar viendo que: ( – 1)2
= 4 – 2
f ) x = = = =
=
1 ± √9 + 4 √
—
2
2
1 ± √1 + 8 + 4√
—
2
2
1 ± √1 – 4 (–2 – √
—
2 )
2
√3√3
√3√4 – 2√

3√3√4 – 2√

3
√4 – 2√

3
2 ± 2√4 – 2√
—
3
2
2 ± √16 – 8√
—
3
2
2 ± √4 – 8 √
—
3 + 12
2
11
3
4
11/3
23 ± 1
6
2x – 2
8
1
8
x + 1
8
x2
4
3
2
14
3
2
–70/15 = –14/3
–2 ± 5
1,5
5
–3
2 ± 8
2
1 + *=
1 – *= 2 – √3√4 – 2√

3
√3√4 – 2√

3
*= 1 +
*= – √2
1 – √9 + 4 √
—
2
2
√2
1 + √9 + 4 √
—
2
2

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