Este documento describe los diferentes tipos de números reales, incluidos enteros, racionales e irracionales. Explica las operaciones básicas con números enteros y sus propiedades. También cubre potenciación, radicación y cómo racionalizar denominadores. Finalmente, incluye ejemplos y actividades para practicar los conceptos.

1. LOS NÚMEROS REALES

2. Los Números Enteros
Los Números Enteros están conformados por los números
Naturales que son los Enteros Positivos, los Enteros Negativos y el
Cero. Se simbolizan con la letra Z

3. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
ADICIÓN.
• Caso 1: cuando los dos números enteros tienen el mismo signo, se suman
las dos cantidades y el resultado queda con el mismo signo.
• Caso 2: cuando los dos números tienen signos contrarios, se restan las dos
cantidades y el resultado lleva el signo de la cantidad mayor.
SUSTRACCIÓN.
Para sustraer dos números enteros se suma al minuendo el opuesto del
sustraendo y su resultado es otro número entero.
MULTIPLICACIÓN.
Para multiplicar dos o más números enteros se multiplican sus cantidades y el
signo del producto se obtiene teniendo en cuenta la tabla de signos.
DIVISIÓN.
Para dividir dos números enteros se dividen sus valores y el signo de su
resultado se obtiene teniendo en cuenta la tabla de signos.
TABLA DE SIGNOS

4. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
POTENCIACIÓN.
La potenciación de un número entero con exponente un número
natural, se halla multiplicando la base por si misma la veces que
indique el exponente.
Para determinar el signo de su resultado debemos tener en cuenta:
 Si la base es positiva, la potencia será siempre positiva.
 Si la base es negativa la potencia será positiva si el exponente es
par, y si el exponente es impar la potencia será negativa.

5. EJEMPLO 1.
• (-8 ) + (-12) = -20
• (- 6) + ( +15) = 9
• (-8 ) + ( +8 ) = 0
• ( +25) + (-34) = -9
• (+34) + (+66) = 100
EJEMPLO 2.
• (+8 ) - (+4) = (+8 ) + (- 4) = +4
• (+8 ) - (-4 ) = (+8 ) + (+4) = +12
• (- 8 ) - (+4) = (-8 ) + (-4 ) = -12
• (-8 ) - (-4 ) = (-8 ) + (+4) = -4
EJEMPLO 3.
• (-7 ) . (-10) = 70
• (- 4) . ( +15) = -60
• (-8 ) . ( -8 ) = 64
• ( +30) . (-3) = -90
• (+4) . (+16) = 64
EJEMPLO 4.
• (-100 ) ÷ (+25) = -4
• (+ 6) ÷ ( +2 ) = +3
• (-8 ) ÷ ( -1 ) = +8
• (+200) ÷ (-4) = -50
• (-80) ÷ (-8) = +10
EJEMPLO 5.
• (-3)4 = (-3).(-3).(-3).(-3) = 81
• (+5)3 = (+5).(+5).(+5) = 125
• (-2 )5 = (-2).(-2).(-2).(-2).(-2) = -32
• (+4)4 = (+4).(+4).(+4).(+4) =+256
• (-10)2 = (-10).(-10) =+100

6. Se representan con la letra Q, son números de la
forma
donde a, b son números enteros y b no es cero.
Cuando se representan en forma decimal son
decimales finitos o periódicos.
13/4 = 3 ¼ = 3,25.
0,17 = 0,1717171
√4 = ± 2
NÚMEROS
RACIONALES
NÚMEROS
IRRACIONALES
Los números Irracionales se representan
por medio de la letra I. no se pueden
expresar de la forma
Su representación decimal es infinita no
periódica.
√3 = 1,732050808
√2 = 1,414213562
¶ = 3,141592654
e = 2,718281828

7. Operaciones con Números Reales
Propiedades de la adición y multiplicación que se cumplen en los Números
Reales:
PROPIEDADES ADICIÓN MULTIPLICACIÓN
Conmutativa a + b = b + a a . b = b . a
Asociativa (a + b) + c = a + (b + c) (a . b) . c = a . (b . c)
Elemento neutro a + 0 = 0 + a = a a . 1 = 1 . a = a
Opuesto: a + (- a) = 0 Recíproco: a . 1/a = 1 si a≠0

8. ACTIVIDAD 1.
Efectuar las siguientes operaciones aplicando las propiedades de la
adición en los números reales.
1. (-47) + (-18) -15 – (-18) +47
2. 5 √3 + 8 3√2 - √3 + 7 √3 - 10 3√2
3. -3 + 5 – ( - 7 ) + 7
2 6 2
4. -8 3√2 – ( -3 ) 3√2 + 15 3√2 – 8 3√2 + 6 3√2
5. √2 + 2 √2 - 3 √2 - 5 √2
5 3 5 2
6. 3,56 -0,34 + 4,6 – (- 3,45) – 5
PROBLEMAS:
7. Un caracol trata de escalar una
roca de 6m de altura. Durante el día
sube 2m y en la noche resbala 1m.
Determinar en cuantos días alcanza la
parte alta de la roca.
8. En un entrenamiento atlético
Juan y Alejandro recorren, entre los
dos, un total de 13,8 Km. Alejandro y
Nelson recorren un total de 12 Km. Si
Alejandro recorrió la misma cantidad de
kilómetros que Nelson y Juan juntos,
determinar cuántos Km recorrió cada
uno de ellos.
9. El perímetro de una rueda de
bicicleta es 60¶ cm. Determinar el valor
del radio.
10. Un terreno de forma rectangular
tiene las siguientes medidas 4,56 Km
de ancho por 7,2 Km de largo.
Determinar el perímetro del terreno.

9. Efectuemos las operaciones indicadas
aplicando las propiedades de las operaciones
en los números reales:
( 1 + 3√5).(2 √2 – 4) =
2
SOLUCIÓN:
Actividad 2:
1. [ -5(48+(-12))] + [9(-63-(-54))]
1. (2√3 – 5).( -3 √5 – 12)
1. 8 . ( 3 – 4 ) . ( 1 + 5 )
2 7 2 3
4. -81 √3
-27 √2
5. [( -2 + 5 ).( 3 – 1 )]
3 6 4 2
= ( 1 . 2 √2) + ( 1. -4) + ( 3√5 . 2√2) + (3√5 . -4)
2 2
= 2 √2 - 4 + 6 √5 √2 - 12 √5
2 2
= √2 - 2 + 6 √10 - 12 √5

10. La Potenciación.
PROPIEDADES:
Producto de potencias de igual
base: la multiplicación de
potencias de igual base es igual a
la misma base elevada a la suma
de sus exponentes:
am an = am+n
Todo número real,
diferente de cero,
elevado al exponente
cero es igual a uno.
a0 = 1
Cociente de potencias de igual
base: al dividir potencias de igual
base dejamos la misma base y el
exponente del numerador le
sustraemos el exponente del
denominador:
am = am – n
an
Potencia de una potencia: una
potencia elevada a otra potencia
es igual a la misma base elevada
al producto de sus exponentes:
( am )n = amxn
Todo número real,
elevado al exponente
es igual al mismo
número real.
a1 = a
Potencia de un producto: la
multiplicación de dos o más
números reales elevada a una
potencia es igual a:
( a.b)n = an bn
Potencia de un cociente: la división
de dos números reales elevada a
una potencia es igual a:
( a)n = an
b bn

11. TEORÍA DE LOS EXPONENTES
1. Cuando el exponente es
cero
( -4)0 = 1.
[ 5 ]0 = 1.
2
2. Cuando el exponente es
fraccionario.
61/4 = 4√6
(-8 ) 2/3= 3√(-8)2
51/2 = √5
3. Cuando el exponente es
negativo
( 3)-2 = 1
32
2-3/2 = 2-3/2 = 1 = 1
23/2 √23
• ( 4 )-5/2 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 243
9 ( 4 )5/2 √(4 )5 √ ( 22 )5 ( 2 )5 32 32
9 9 32 3 243
• ( 2a1/3b1/2)3. (a-1/2c)-2 = ( 2a1/3b1/2)3. (a-1/2c)-2 = 23 a 3/3 b 3/2 a2/2 c -2
c-1 b-3/2 (c-1 )3 (b-3/2 ) -2 c-3 b6/2
= 23 a 2 b 3/2 c -2 = 8 a2 b3/2- 3 c-2+3 = 8 a2 b-3/2c = 8 a2c
c-3 b3 b3/2
ACTIVIDAD 4: simplificar 2 a -2 b -4 c -2
4a-3 b4c-2

12. RADICACIÓN
√4 = ±2 porque 22 = 4 y (-2)2 = 4
3√8 = 2 porque 23 = 8
√-4 = No tiene solución porque en los números reales no existe
un número cuyo cuadrado sea -4.
3√-8 = -2 porque (-2)3 = -8
PROPIEDADES
Raíz n-ésima de un número elevado a la n. n√an = a.
Raíz de un producto. n√(a.b) = n√a . n√b
Raíz de un cociente. n√ a = n√a
b n√b
Raíz de una raíz. n√ m√a = n.m√a
Raíz de una potencia. n√am = am/n
Simplifiquemos: 3√(108a7b6)
3√108a7b6 = 3√33 22 a3 a3 b3 b3
= 3√33 3√22 3√a3 3√a3 3√a 3√b3 3√b3
= 3. 3√22 a . a . 3√a . b .b
= 3 a2 b2 3√4a
ACTIVIDAD 5.
Simplificar:
• 4√(81a8b5c10 )
• 6√(729 x10 y12 z15)
• 6 √12
24 √6

13. Racionalizar un denominador
 Cuando el denominador es una raíz
cuadrada, consiste en multiplicar el
numerador y el denominador por la
misma raíz.
3m = 3m . √m = 3m √m = 3m √m = 3 √m
2 √m 2 √m . √m 2 (√m )2 2 m 2
 Cuando el denominador es un binomio
que contiene una o las dos raíces
cuadradas. Aplicamos la diferencia de
cuadrados perfectos.
y = y . (√3 - √y) = y. (√3 - √y)
√3 + √y √3 + √y (√3 - √y) (√3)2 - (√y)2
= y. (√3 - √y)
3 - yACTIVIDAD 6: Racionalizar el denominador.
• √a
√a - 2 √3
• √3 + 2
√3 - 2

14. BIBLIOGRAFÍA
Matemáticas. Zona Activa 8. Viviana Uni Muñoz. 2011.
Enfoque a las matemáticas 9. Luz Alexandra Oicatá Ojeda. 2016.
Imagen Números Enteros. http://cmapspublic.ihmc.us/rid=1LK9WD7HR-QLF54L-1VX2/enteros.gif
Imagen Números Racionales.
http://web.educastur.princast.es/proyectos/formadultos/unidades/matematicas_2/ud1/photos/img_25.jpg
Imagen Números Irracionales.
http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//500/553/html/Unidad01/imagenes/3.png
Imagen a/b http://4.bp.blogspot.com/-C0sCNL5Kb68/UNeYgGy-P4I/AAAAAAAACYE/NbS-
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