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Escuela Premilitar de Chile
Bernardo O´Higgins Riquelme
Profesora Marcela Poblete H.
III° Medio – matemática Números Complejos II° TRIMESTRE
NOMBRE: ___________________________________________________ Fecha:_____________
INSTRUCCIONES GENERALES:
• Las respuestas deben estar escritas con lápiz pasta.
• Los desarrollos deben quedar registrados en la guía.
• De ser necesario puede entregar hojas adicionales.
I. DEFINICIÓN DE LA UNIDAD IMAGINARIA
Se define la unidad imaginaria 𝑖 como 𝑖 = √−1
II. RAÍZ CUADRADA DE NÚMEROS NEGATIVOS
Para todo 𝑎 ∈ 𝑅+
se tiene: √−𝑎 = √(−1) ∙ 𝑎 = √(−1) ∙ √𝑎 = 𝑖√𝑎
Ejemplos:
a) √−16 = √(−1) ∙ 16 = 𝑖 ∙ √16 = 4 𝑖 b)√−27 = √(−1) ∙ 27 = 𝑖 ∙ √27 = 3𝑖 √3
1. Calcular el valor final de las siguientes raíces cuadradas de números negativos, escribiendo el desarrollo
respectivo y marcando la alternativa correcta.
1) La expresión √−9 + √−25 equivale a
A) 8
B) -8
C) 8𝑖
D) -8𝑖
E) Ninguna de las anteriores
2) El valor de √−27
3
+ √−16 es
A) 3 - 4𝑖
B) -3 + 4𝑖
C) -3 -4𝑖
D) 3 + 4𝑖
E) -7
Unidad: OA/01 Resolver problemas de operatoria en los números complejos C.
• Representan números complejos en el plano, relacionando con vectores e identificando las partes
reales e imaginarias.
• Utilizan los números complejos y sus representaciones pictóricas y simbólicas para encontrar
solución a ecuaciones.
• Determinan la distancia de números complejos de forma simbólica y pictórica.
• Representan la operatoria de números complejos de forma simbólica y en el plano cartesiano.

3) El valor de √−81 − 2√−49 − 3√−1 + 8𝑖 es
A) 0
B) 𝑖
C) −𝑖
D) 2𝑖
E) 1 + 𝑖
III. POTENCIAS DE 𝒊
i = 1
− , por lo que 25
− = )
1
(
25 −
 = 5 1
− = 5i
Como i = (0,1), entonces: ¿cuál es el valor de i2 , i3 , i4 , i5 , ... ?
𝑖1
= 𝑖 𝑖6
= −1 𝑖11
= −𝑖
𝑖2
= −1 𝑖7
= −𝑖 𝑖12
= 1
𝑖3
= −𝑖 𝑖8
= 1 𝑖13
= 𝑖
𝑖4
= 1 𝑖9
= 𝑖 𝑖14
= −1
𝑖5
= 𝑖 𝑖10
= −1 𝑖15
= −𝑖
Esto se puede resumir en la siguiente expresión: i4n+p
= ip
, donde n , p  IN0 y p < 4
De lo anterior se concluye que 𝑖4𝑛+𝑝
= 𝑖𝑝
, con 𝑝 ∈ 𝑍0
+
, 𝑝 < 4
OBS. a) 𝑖0
= 1
b) La suma de cuatro potencias consecutivas de 𝑖 es 0
c) El producto de cuatro potencias consecutivas de 𝑖 es -1
Ejemplo : 𝑖82
= 𝑖4∙20+2
= 𝑖2
= −1
Calcula el valor de las siguientes potencias:
a) i16 d) i42 + i54 - i18
b) i1003 e) i25 + i1003 =
c) i16 f) i20 + 3i22 - 4i16 =

2. Calcular el valor de las siguientes potencias de i, escribiendo el desarrollo respectivo y marcando la
alternativa correcta.
1) El valor de 𝑖73
− 𝑖45
𝑒𝑠:
A) 0
B) 1
C) 𝑖
D) -𝑖
E) -1
2) El valor de (𝑖307
+ 𝑖532)2
es:
A) 0
B) -2𝑖
C) 1+𝑖
D) 1-𝑖
3) La expresión 𝑖43
+ 𝑖44
+ 𝑖45
+ ⋯ + 𝑖56
+ 𝑖57
equivale a:
A) -1
B) −𝑖
C) 1
D) 𝑖
E) 0
IV NÚMEROS COMPLEJOS
Un número de la forma 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, se llama número complejo, en donde 𝒂 y 𝒃 son números reales.
Esta forma de representar al número se le denomina forma binomial o algebraica.
Además 𝑎 : se llama parte real del complejo 𝑧
𝑏 : se llama parte imaginaria del complejo 𝑧
Ejemplo: en el número complejo z = 2 + 3i se tiene:
2: parte real de 𝑧
3: parte imaginaria de 𝑧
Observación: En el complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
1. Si sólo 𝑏 = 0, entonces 𝑧 = 𝑎 (Complejo Real).
2. Si sólo a = 0, entonces 𝑧 = 𝑏𝑖 (Complejo Imaginario Puro).
3. Resolver los siguientes ejercicios de números complejos, escribiendo el desarrollo respectivo cuando
corresponda y marcando la alternativa correcta.
1) La parte imaginaria del complejo 𝑧 = 5 – 3𝑖 es:
A) -3𝑖
B) -5
C) 𝑖
D) 5
E) -3

2) La parte real del complejo 𝑧 = 3𝑖 es:
A) 3
B) 3i
C) 0
D) Otro valor
E) No tiene parte real
3) La suma de los cuadrados entre la parte real y la parte imaginaria del complejo 𝑧 = 3 – 𝑖 es
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) Otro valor
V. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
El complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 puede ser representado en un
gráfico de Argand, mediante un vector.
Ejemplo: La representación, en el gráfico de Argand,
del complejo 𝑧 = 3 + 2𝑖 es
4. Resolver los siguientes ejercicios que involucran la representación gráfica de un número complejo,
marcando la alternativa correcta.
1) El complejo 𝑢 = −2 + 𝑖 está representado por:
2) El gráfico siguiente muestra la representación del complejo.
A) −3𝑖
B) 1 + 3𝑖
C) 3𝑖
D) −1 − 3𝑖
E) 1 − 3𝑖

VI. IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS
Si 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 entonces (𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖) ⟺ (𝑎 = 𝑐) 𝑦 (𝑏 = 𝑑)
Dos complejos son iguales cuando son iguales sus partes reales y también sus partes imaginarias.
Ejemplo: (x, y) = (-2 ,7) entonces x = -2 e y = 7
a) (3, x) = (3, 5) d) (5, y) = (x ,4)
b) (x, 3) = (2, 3) e) (x+5, y – 3) = (2, 4)
c) (x + 3, 2y) = (y, 2 + x) f) (x-8, 2y – 1) = (2x+2, 5)
5. Aplicar conceptos y propiedades de los números complejos, escribiendo el procedimiento
1) El valor de 𝑥 en la igualdad 𝑥 + 5𝑖 = 3 + ( 𝑥 + 2)𝑖 es:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
2) Para que se cumpla la igualdad −3𝑥 + 7𝑖 = 6 + (5𝑦 + 2)𝑖, los valores de 𝑥 e 𝑦 deben ser
respectivamente.
A) -2 y 1
B) -2 y
9
5
C) -2 y -1
D) 2 y -1
E) 2 y 1
3) Los valores de 𝑥 e 𝑦 en la igualdad 2𝑥 + 𝑦 – 2𝑖 = 1 – (3𝑥 + 𝑦)𝑖 son respectivamente iguales.
A) -1 y 1
B) 1 y -1
C) -1 y -3
D) 1 y -3
E) 1 y 2

VII. CONJUGADO DE UN COMPLEJO
Dado un número complejo z, escrito como par ordenado, se define el complejo conjugado de z, como sigue:
Si z = (a, b) entonces el conjugado de z es z = (a , -b)
Ejemplo Sea z = ( -3, 4) entonces z = ( -3, -4)
En su forma binomial: Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, entonces el conjugado de 𝑧 es 𝑧̅ tal que 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖
Ejemplo: Si 𝑧 = −2 + 3𝑖, entonces 𝑧̅ = −2 − 3𝑖 y su representación gráfica es
OBS: El conjugado del conjugado de un complejo es el mismo complejo (𝑧
̿ = 𝑧)
inverso aditivo: si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 entonces su inverso aditivo es −𝑧 = − 𝑎 − 𝑏𝑖.
Determina los inversos aditivos y los conjugados de los siguientes números complejos :
a)(2 , 3 ) b) (-1 , -1) c) (-1 , 0) d) (3 , - 4) e) 0 , -
2
3






6. Resolver los siguientes ejercicios de conjugado de un número complejo, escribiendo el procedimiento
1) El conjugado del complejo 2 + 5𝑖 es:
A) −2 + 5𝑖
B) 2 − 5𝑖
C) −2 – 5𝑖
D) 2 + 5𝑖
E) 5 − 2𝑖
2) El conjugado del conjugado del complejo, 𝑧 = −3 − 6𝑖 es:
A) − 3 − 6𝑖
B) 3 + 6𝑖
C) −3 + 6𝑖
D) 3 – 6𝑖
E) 6 + 3𝑖

3) el conjugado del complejo z representado en la figura es:
A) -2 + i
B) -2 – i
C) 2 + i
D) 2 – i
E) 1 + 2i
PROPIEDADES DE LOS CONJUGADOS: Dados: z, z1 , z2  C , entonces:
El conjugado del conjugado de z:
El conjugado de una suma es igual a la suma de los conjugados: z z z z
1 2 1 2
+ = +
El conjugado de un producto es igual al producto de los conjugados de los factores: z z z z
1 2 1 2
 = 
El conjugado de un cuociente es igual al cuociente de los conjugados:
z
z
z
z
1
2
1
2





 =
La suma de un complejo con su conjugado es igual a dos veces la parte real del
complejo:
z z z
+ = 
2 Re( )
La diferencia de un complejo con su conjugado es igual a dos veces la parte
imaginaria del complejo
z z z i
− = 
2 Im( )
Un complejo es real si y sólo si es igual a su conjugado: z IR z z
  =
VIII. MÓDULO DE UN COMPLEJO
Sea z = a + bi un número complejo, se llama MODULO o
VALOR ABSOLUTO de z al número real |𝑧| definido por:
OBS. i) El módulo de todo complejo distinto de cero es positivo.
ii) Los módulos de 𝑧, 𝑧̅, −𝑧 , − 𝑧
̅̅̅̅̅ son iguales.
Ejemplo: Sea z = 3 + 4i, entonces:
z i
= + = + = =
3 4 3 4 25 5
2 2
1
2
1 2
-1
-2
-1
-2
z
z = a b
2 2
+

Calcula el valor de los siguientes módulos.
a) z1= ( -5, 2)
b) z2 = (0, 3)
c) z3 = (1, -1)
7. Aplicar conceptos y propiedades de los números complejos, escribiendo el procedimiento respectivo y
1) Si 𝑧 = 3 + 4𝑖, entonces |𝑧| es
A) 25
B) ± 5
C) 5
D) -5
E) Otro valor
2) Si 𝑧1 = −2 + 2𝑖 y 𝑧2 = 2 − 2𝑖, entonces |𝑧1| + |𝑧2| es igual a
A) 0
B) 8
C) 4√2
D) 2√2
E) -2√8
3) Si 𝑧 = 2 – 2𝑖, entonces |𝑧|2
es
A) 0
B) 4
C) √8
D) 8
E) 64
OPERATORIA CON NUMEROS COMPLEJOS.
IX. ADICIÓN DE COMPLEJOS
Sean 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖. Entonces, 𝑧1 + 𝑧2 = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖
Ejemplo: Si 𝑧1 = 3 − 4𝑖 y 𝑧2 = 6 + 7𝑖, entonces
𝑧1 + 𝑧2 = 3 − 4 + 6 + 7𝑖 = (3 + 6) + (4 + 7)𝑖 = 9 + 3𝑖

OBS. La SUSTRACCIÓN O RESTA de números complejos está dada por 𝑧1 − 𝑧2 = (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)𝑖
Sean 𝑧1 = (a, b) y 𝑧2 = (c, d), se define la adición en C como:
Ejemplo:(4, -7) + (3, 1) = (4 + 3, -7 + 1) = (7, -6)
Para la resta entre números complejos se debe recordar que: 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑧1 + (− 𝑧2)
Dados los números complejos: z1= ( -5, 2), z2 = (0, 3 ) , z3 = (1,-1) encuentra el valor de :
a) z1 + z2 + z3 =
b) z3 - (z1 - z 2) =
c) z3 -  z2 - (z1 + z2) + z3  =
8.- Resolver las siguientes operaciones con número complejo, escribiendo el procedimiento respectivo y
1) Si 𝑢 = 2 + 5𝑖 y 𝑣 = −3 + 4𝑖, entonces 𝑢 + 𝑣 =?
A) 1 + 9𝑖
B) 5 + 9𝑖
C) 6 + 9
D) −1 + 9𝑖
E) −6 + 20𝑖
2) Si 𝑧 = 3 – 4𝑖, entonces 𝑧̅ + |𝑧| =?
A) 3 + 4𝑖
B) 3 − 𝑖
C) 8 + 5𝑖
D) 8 − 5𝑖
E) 8 + 4𝑖
3) Si 𝑧1 = 2 + 𝑖, 𝑧2 = −4 + 5𝑖 y 𝑧3 = 3 − 4𝑖 , entonces 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 =
A) 1 + 2𝑖
B) 3 + 10𝑖
C) −5 + 10𝑖
D) −1 − 10𝑖
E) 3 − 2𝑖
𝑧1 + 𝑧2 = (a + c, b + d)

X. MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS
Si 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖, entonces 𝑧1 ∙ 𝑧2 = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖)
𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖2
𝑧1 ∙ 𝑧2 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖
EJEMPLO: Sean 𝑎 = 2 − 2𝑖 y 𝑏 = 3 + 𝑖. Entonces
𝑎 ∙ 𝑏 = (2 − 2𝑖)(3 + 𝑖)
𝑎 ∙ 𝑏 = 6 + 2𝑖 − 6𝑖 − 2𝑖2
𝑎 ∙ 𝑏 = 8 − 4𝑖
Dados los números complejos z1 = (a, b) y z2 = (c, d) se define la multiplicación entre ellos como:
𝑧1 ∙ 𝑧2 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 ; 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)
Ejemplo: 1) ( )
( , ) ( , ) ( ) , ( )
5 3 2 4 5 2 3 4 5 4 3 2
 − =  − −   +  −
= (-10 - 12, 20 - 6)
= (-22, 14)
Efectúa los siguientes productos:
a) (1, 5) (3, 3) =
b) (5, 2) (-1, -6) =
c) (-2, 1) (-2,1) =

8. Resolver las siguientes operaciones con número complejo, escribiendo el procedimiento respectivo y
1) Si 𝑢 = 2 − 3𝑖 y 𝑣 = 1 + 𝑖, entonces 𝑢 ∙ 𝑣=
A) 2 − 3𝑖
B) 5 − 𝑖
C) 2 + 3𝑖
D) 5 + 𝑖
E) 5 + 3𝑖
2) Si 𝑎 = 3 − 2𝑖 y 𝑏 = 4 − 𝑖, entonces el valor de 𝑎 ∙ 𝑏
̅ es:
A) 14 + 5𝑖
B) 8 + 6𝑖
C) 10 − 11𝑖
D) 14 − 5𝑖
E) 10 − 5𝑖
3) Si 𝑝 = 2 − 𝑖, 𝑞 = 3 + 𝑖 y 𝑟 = 2 − 𝑖, entonces 𝑝 ∙ (𝑞 − 𝑟)=?
A) 4 + 3𝑖
B) 2 − 3𝑖
C) 4 − 3𝑖
D) 2 + 3𝑖
E) 4 + 2𝑖
XI. INVERSO MULTIPLICATIVO o RECÍPROCO
𝑧−1
=
𝑧̅
𝑧 ∙ 𝑧̅
Ejemplo: El recíproco de 𝑧 = 3 + 2𝑖 es:
Se sabe que 𝑧−1
=
1
𝑧
=
1
3+2𝑖
y al amplificar por su conjugado resulta
1
3 + 2𝑖
=
1
3 + 2𝑖
∙
3 − 2𝑖
3 − 2𝑖
=
3 − 2𝑖
(3 + 2𝑖)(3 − 2𝑖)
=
3 − 2𝑖
9 + 4
=
3
13
−
2
13
𝑖
Para encontrar el inverso multiplicativo debemos efectuar la siguiente multiplicación:
(a, b)  (x, y) = (1,0)

Determina z-1
(inverso multiplicativo) de los siguientes números complejos:
a) (3, 1)
b) (4, -1)
c) (0, 2)
1) Si 𝑏 = 1 − 𝑖, entonces 𝑏−1
=
A) -1+i
B) 1-i
C)
1
2
+
1
2
𝑖
D)
1
2
−
1
2
𝑖
2) Si 𝑎−1
= −𝑖, entonces 𝑎 =?
A) i
B) -i
C) 1
D) -1
E)
1
2
𝑖

XII. DIVISIÓN DE COMPLEJOS
Si 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖, con 𝑧2 distinto de cero, entonces el resultado de la división
𝑧1
𝑧2
se obtiene
amplificando por el conjugado de 𝑧2
𝑧1
𝑧2
=
𝑧1
𝑧2
∙
𝑧2
̅
𝑧2
̅
Ejemplo: Sean 𝑎 = 2 + 3𝑖 y 𝑏 = 3 + 𝑖, entonces
𝑎
𝑏
=
2 + 3𝑖
3 + 𝑖
=
(2 + 3𝑖)
3 + 𝑖
∙
(3 − 𝑖)
3 − 𝑖
=
9 + 7𝑖
10
=
9
10
+
7
10
𝑖
Se define para z = (a , b) y w = (c , d) la división entre ellos , como :
z
w
z w
=  −1
, donde w-1
es el número complejo inverso multiplicativo de w .
Ejemplo: (2,3): (5,4) = (2,3)  





+
−
+ 2
2
2
2
4
5
4
,
4
5
5
= (2,3) 




 −
41
4
,
41
5
= 





41
7
,
41
22
Realizar las siguientes divisiones
a) Z1= 2 – 5i Z2= -3 – 2i, calcular Z1 : Z2=
b) Z1= 2 – 5i y Z2= -3 – 2i, calcular Z1 : Z2=

1) Sean 𝑢 = 2 + 𝑖 y 𝑣 = 1 − 𝑖. Entonces,
𝑢
𝑣
=?
A)
1
2
+
3
2
𝑖
B) 1 − 𝑖
C) 1 +
3
2
𝑖
D)
1
2
−
3
2
𝑖
E) -1 +
3
2
𝑖
2) El valor de
2+3𝑖
𝑖
es:
A) 2 + 3𝑖
B) 2 − 3𝑖
C) 3 − 2𝑖
D) 3 + 2𝑖
E) 5𝑖 + 2
3)
1−𝑖
1+𝑖
=?
A) 𝑖
B)
1
2
𝑖
C) 2𝑖
D) −𝑖
E)
2
𝑖

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