Hacer conos en la vida real

1. PIRÁMIDE, CONO
Ms.Arturo Donato ESPINOZA CASAS
GEOMETRÍA
SEMANA 14

2. Pirámide
¿Cómo se genera una Superficie Piramidal?
• Se considera una línea poligonal plana
denominada directriz y un punto exterior a
dicho plano denominado vértice, entonces, una
recta denominada generatriz que se mueve
pasando por este punto y apoyándose
constantemente sobre el polígono, genera una
superficie denominada superficie piramidal.

3. Pirámide Regular:
• Es aquella pirámide en la
cual su base es un polígono
regular y sus aristas laterales
son congruentes. Además
sus caras laterales son
triángulos isósceles
congruentes entre sí y su
altura cae en el centro de
gravedad de la base.

4. Área de la Superficie Lateral (ASL)
Área de la Superficie Total (AST)
Volumen (V)

5. Tronco de Pirámide Regular:
• Es la porción de pirámide comprendida
entre la base y la sección plana
determinada por un plano secante a la
pirámide y paralelo a su base.
• Sus caras laterales son regiones trapeciales
isósceles congruentes entre sí, la altura de
cada una de ellas se denomina apotema
del tronco de pirámide.

6. Área de la Superficie Lateral (ASL)
Área de la Superficie Total (AST)
Volumen (V)

7. Semejanza de Pirámides:
Todo plano secante a una pirámide y
paralelo a su base, determina una
pirámide parcial semejante al total, en
dos pirámides semejantes se cumple:
*Sus líneas homólogas son
proporcionales
*Las áreas, de sus bases, de sus
superficies totales; son
proporcionales a los cuadrados de las
longitudes de sus líneas homólogas.
*Sus volúmenes son proporcionales
a los cubos de las longitudes de sus
líneas homólogas.

8. Líneas Homólogas Proporcionales
Razón de Áreas
Razón de Volúmenes

9. Cono
Superficie Cónica:
• Es una superficie generada por
una recta llamada generatriz que
pasando por un punto fijo
denominado vértice se desplaza
por todos los puntos de una
línea curva plana no secante a sí
misma denominada directriz.

10. Cono Circular Recto o de Revolución
• Es aquel cono recto cuya
base es un círculo,
también se denomina
cono de revolución
porque se genera con una
región triangular
rectangular al girar una
vuelta en torno a un
cateto.

11. Desarrollo de la Superficie Lateral de un
Cono de Revolución
El desarrollo de la superficie lateral
de un cono de revolución es un
sector circular cuyo radio es igual a la
longitud de la generatriz de dicho
cono y cuyo arco tiene igual longitud
que la circunferencia que limita la
base.

12. Área de la Superficie Lateral (ASL)
Área de la Superficie Total (AST)
Volumen (V)
θ: Medida del ángulo de desarrollo

13. Tronco de Cono Circular Recto o de
Revolución
• Es la porción de cono circular recto
entre su base y la sección plana
determinada por un plano paralelo a
dicha base. Sus bases son círculos.
También se le denomina tronco de
cono de revolución porque se genera
con una región trapecial rectangular
al girar una vuelta en torno a su lado
perpendicular a sus bases.

14. Desarrollo de la Superficie Lateral de un
Tronco de Cono de Revolución
• El desarrollo de la superficie lateral
de un tronco de cono de
revolución es un trapecio circular
cuyos arcos correspondientes son
de igual longitud que las
circunferencias que limitan las
bases del cono y cuyos lados
laterales son de igual longitud que
los generatrices de dicho tronco.

15. Área de la Superficie Lateral (ASL)
Área de la Superficie Total (AST)
Volumen (V)
En el gráfico, se muestra un tronco
de cono de revolución y el desarrollo
de su superficie lateral.

16. PRACTICAMOS
1. Si: O-ABC es un tetraedro regular, además OA´ = a, OB = b, OC´ = c
y OM = x, siendo 1
+
1 1 1
𝑎 𝑏 𝑐 6
+ = , Determinar “x”
A. 3m
B. 5m
C. 6m
D. 7m
E. 10m

17. 2. Hallar el volumen de una pirámide sabiendo que su base es un trapecio
rectángulo de diagonales perpendiculares y bases 9 y 16 cm. el pie de la
altura coincide con el punto de intersección de las diagonales y el ángulo
diedro cuya arista es la base mayor del trapecio mide 37º
A. 255
B. 288
C. 320
D. 123
E. 450

18. 3. En una pirámide pentagonal regular, el área total es 30 𝑐𝑚2 y el área lateral
es 20 𝑐𝑚2 . Hallar el valor del diedro que forma la cara lateral con la base.
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 80°
E. 45°

19. 4. En la figura se muestra un tronco de cono de revolución de altura cuya
longitud es H y radios R y r. Hallar el volumen del cuerpo que es la
intersección de los conos cuyos vértices son los centros de las bases.
A. .
B. .
C. .
D. .
E. .

20. 5. La altura de un cono recto es igual a 4 m y el radio de su base es igual a 3
m. Calcular a que distancia de su vértice se debe intersecar dicho cono por
un plano paralelo a la base para que la superficie total del pequeño cono
obtenido sea equivalente a la superficie lateral del cono dado.
A. 11
B. 10
C. 7
D. 15
E. 13