mate

1. POLIEDROS

2. POLIEDROS
Poliedros:
Un poliedro es una figura geométrica
tridimensional y cerrada, cuyas caras son
figuras planas de forma poligonal

3. ELEMENTOS DE UN POLIEDRO

4. Tipos de Poliedros:
Poliedros Regulares :
•Todas sus caras son
polígonos regulares e iguales
•En todos sus vértices se
unen el mismo número de
aristas
Poliedros irregulares
•Los demás
POLIEDROS

5. POLIEDROS
• Tipos de Poliedros:
Poliedros Convexos :
•Todos sus ángulos diedros son
menores de 180º
Cumplen la fórmula de EULER
C+V=A+2
(nº caras+nº vértices= nº aristas +2)
Poliedros Cóncavos
•Tiene algún ángulo diedro mayor
de 180º

6. POLIEDROS REGULARES
Poliedros
Regulares
Sólidos de Platón:
Los sólidos de Platón son
poliedros regulares y convexos.
Sólo existen cinco de ellos:
1.Tetraedro
2.Cubo
3.Octaedro
4.Dodecaedro
5.Icosaedro.
1 2 3 4 5

7. POLIEDROS REGULARES
Tetraedro: Nº Caras 4
Forma de caras
Triangulo
Equilátero
Nº Aristas 6
Nº Vértices 4
Nº Caras concurrentes a
un vértice
3
Nº Vértices contenidos
en cada cara
3

8. POLIEDROS REGULARES
Cubo (Hexaedro): Nº Caras 6
Forma de caras Cuadrado
Nº Aristas 12
Nº Vértices 8
Nº Caras concurrentes a
un vértice
3
Nº Vértices contenidos
en cada cara
4

9. POLIEDROS REGULARES
Octaedro: Nº Caras 8
Forma de caras
Triangulo
Equilátero
Nº Aristas 12
Nº Vértices 6
Nº Caras concurrentes a
un vértice
4
Nº Vértices contenidos
en cada cara
3

10. POLIEDROS REGULARES
Dodecaedro: Nº Caras 12
Forma de caras Pentágono
Nº Aristas 30
Nº Vértices 20
Nº Caras concurrentes a
un vértice
3
Nº Vértices contenidos
en cada cara
5

11. POLIEDROS REGULARES
Icosaedro: Nº Caras 20
Forma de caras
Triangulo
Equilátero
Nº Aristas 30
Nº Vértices 12
Nº Caras concurrentes a
un vértice
5
Nº Vértices contenidos
en cada cara
3

12. PRISMASPRISMAS
Un prisma es un poliedro
formado por dos caras
paralelas iguales, llamadas
bases y por polígonos que
unen las bases, que son
paralelogramos, estos
polígonos se llaman caras
laterales
Arista básica
Arista lateral

13. PRISMAS:
• Según sea el polígono de la base
Prisma regular :
•Las bases son polígonos
regulares
Prisma irregular
•Las bases son polígonos
irregulares
PRISMAS:
• Según sea el polígono de la base

14. PRISMAS:
• Según la forma de la base
Prisma Forma de la base
Triangular Triángulo
Cuadrangular Cuadrado
Rectángular Rectángulo
Pentagonal Pentágono
Hexagonal Hexágono
…. ….

15. PRISMAS:
• Según sean las caras laterales
Prisma recto :
•Caras laterales cuadrados o
rectángulos.
•Las caras laterales son
perpendiculares a la base.
Prisma oblicuo
• Algunas caras laterales rombos o
romboides.
• Algunas caras no son
perpendiculares a la base
PRISMAS:

16. PRISMAS:
• Área de un prisma
El área de un prisma es la superficie
de su desarrollo plano, es decir la
suma del área de sus caras laterales y
del área de sus bases
PRISMAS:
Si PB es el perímetro de la base y h la
altura del prisma
Área lateral = PB x h
Área total = A. lateral + 2 x A. bases
h
h

17. PRISMAS:
• Volumen de un prisma
Es la medida del espacio encerrado
dentro del prisma
PRISMAS:
Volumen del prisma = ÁreaBase x h
h

18. PRISMAS:
• Ortoedro
Es un prisma en el que todas sus
caras son rectángulos o cuadrados
El volumen de un ortoedro se puede
calcular multiplicando sus tres
dimensiones
V= Largo x ancho x alto
PRISMAS:

19. PRISMAS:
• Ortoedro: Teorema de Pitágoras en el espacio
La diagonal de un ortoedro al
cuadrado es igual a la suma de los
cuadrados de su largo, su ancho y su
alto
D2
= a2
+ b2
+ c2
PRISMAS:

20. PIRAMIDES
Una pirámide es un poliedro
formado por un polígono
cualquiera llamado base, siendo
el resto de caras triángulos,
que se unen en un punto llamado
vértice de la pirámide

21. • Según sea el polígono de la base
Pirámide regular :
•La base es un polígono
regular y las caras laterales
iguales
Pirámide irregular
•La base es un polígono
irregular
PIRAMIDES:
• Según sea el polígono de la base

22. PIRAMIDES:
• Según la forma de la base
Pirámide Forma de la base
Triangular Triángulo
Cuadrangular Cuadrado
Rectángular Rectángulo
Pentagonal Pentágono
Hexagonal Hexágono
…. ….

23. • Según sean las caras laterales
Pirámide recta :
•Las caras laterales son
triángulos isósceles
Pirámide oblicua
•No todas sus caras laterales
son triángulos isósceles
PIRAMIDES:

24. PIRAMIDES:
• Área de una pirámide
El área de un pirámide es la superficie de su
desarrollo plano, es decir la suma del área de
sus caras laterales y del área de su base
Área lateral = suma de las áreas de los
triángulos laterales
Si la pirámide es regular todas sus caras
son iguales
Si PB es el perímetro de la base y a apotema de la
cara lateral
Area lateral= (PB x a) / 2
Área total = A. lateral + A. base Arista base
Apotema o
Altura cara lateral

25. PIRAMIDE:
• Volumen de una pirámide
Es la medida del espacio encerrado
dentro de la pirámide
Coincide con la tercera parte del
volumen de un prisma de igual base e
igual altura que la pirámide
h
AB: área de la base
h: altura de la pirámide

26. PIRAMIDE:
• Aplicación de T. Pitágoras en la pirámide
En una pirámide podemos relacionar
la altura de la pirámide y las apotemas
(base y lateral) usando Pitágoras

27. PIRAMIDE:

28. PIRAMIDE:

29. PIRAMIDE:

30. PIRAMIDE:
• Tronco de pirámide
• Es el cuerpo geométrico que resulta
al cortar una pirámide por un plano
paralelo a la base y separar la parte
que contiene al vértice.
• Las caras laterales son trapecios
(isósceles si la pirámide es recta)

31. PIRAMIDE: área tronco de pirámide
• Calcular el área de un tronco de
pirámide de bases cuadradas de lado
10 y 20 cm respectivamente y cuya
arista lateral es de 13 cm.

32. CUERPOS DE REVOLUCIÓN
•Se llaman cuerpos de revolución
a los que se obtienen al girar una
figura plana, alrededor de un eje.

33. CILINDRO:
• Es un cuerpo de revolución que se
obtiene al hacer girar un rectángulo
alrededor de uno de sus lados
altura
GENERATRIZ
radio
generatriz
EJE GIRO
RADIO
BASE
• El desarrollo plano de un cilindro está
formado por:
• Dos círculos que son las bases
del cilindro
•Un rectángulo de base la longitud
de la circunferencia de una de las
bases del cilindro y altura la del
cilindro
• Es un cuerpo de revolución que se
obtiene al hacer girar un rectángulo
alrededor de uno de sus lados
• El desarrollo plano de un cilindro está
formado por:
• Dos círculos que son las bases
del cilindro
•Un rectángulo de base la longitud
de la circunferencia de una de las
bases del cilindro y altura la del
cilindro

34. CILINDRO:
• Área y volumen de un cilindro

35. CONO:
•Se obtiene al girar un triángulo
rectángulo alrededor de uno
de sus catetos.
• El desarrollo plano de un cono está
formado por:
• Un círculo que es la base del
cono
•Un sector circular que es la cara
lateral del cono
radio
generatriz
ejegiro
altura
EJE GIRO
GENERATRIZ
RADIO
BASE

36. CONO:
• Área y volumen del cono
CONO:
• Área y volumen del cono

37. CONO:
• Aplicación del T. Pitágoras en el cono
En un cono la altura, el radio de la
base y la generatriz forman un
triángulo rectángulo, cuya hipotenusa
es g

38. CONO:

39. CONO:

40. CONO: Tronco de cono
• Es el cuerpo geométrico que resulta
al cortar un cono por un plano paralelo
a la base y separar la parte que
contiene al vértice.
• Las cara lateral es un trapecio
circular
• Área del tronco de cono es
Area= Area de las bases + Area lateral
Area lateral = grR )( +π

41. Para calcular el volumen del tronco de cono
Vtronco= V cono grande – V cono pequeño
Por semejanza de triángulos:
( ) 322
1,989153306
3
1
15
4536
6
15
3
cmV
cmx
xx
xx
tronco =⋅−⋅=
=
+=
+
=
π
CONO: Tronco de cono

42. CONO: Tronco de cono
• Aplicación del T. Pitágoras en el tronco de cono

43. ESFERA:
•Se obtiene al girar un semicírculo
alrededor de su diámetro
diámetro
ejegiro
RADIO
CENTRO
EJE DE GIRO

44. ESFERA: elementos de la esfera
•Superficie esférica: superficie engendrada por una circunferencia que gira
sobre su diámetro
•Centro: punto interior que equidista de
cualquier punto de la superficie esférica
•Radio: distancia del centro a cualquier
punto de la superficie esférica
•Cuerda: segmento que une dos puntos
de la superficie esférica
•Diámetro: cuerda que pasa por el
centro de la esfera
cuerda
polos
•Polos: puntos de corte de la superficie
esférica con el eje de giro

45. •círculo máximo: se obtiene al cortar una esfera por
un plano que pasa por el centro. La circunferencia
correspondiente a este círculo se denomina
circunferencia máxima.
•círculo menor: se obtiene si el plano que corta la
esfera no pasa por el centro, y la circunferencia
correspondiente se denomina circunferencia menor.
• Meridianos: círculos máximos que contiene al eje
de giro de la esfera
• Paralelos : círculo menores perpendiculares al eje
de giro
• Ecuador: círculo máximo perpendicular al eje de
giro
ESFERA: elementos de la esfera

46. ESFERA:
• Área y volumen de la esfera
ESFERA:
• Área y volumen de la esfera
El área y el volumen de la esfera coinciden con 2/3 del área y del volumen de un cilindro de
radio igual a la esfera, y de altura su diámetro

47. ESFERA:
• Figuras esféricas
Casquete esférico Cuña esféricaZona esférica Huso esférico
ESFERA:
• Figuras esféricas

48. ESFERA: casquete esférico
•Un casquete esférico es cada una de las partes de la
esfera, obtenidas al cortarla por un plano
•Usando el T. de Pitágoras, podemos relacionar el
radio de la esfera “r” con el radio del casquete “a” y la
altura del casquete “h”.
Área casquete
Volumen casquete

49. ESFERA: zona esférica
•Una zona esférica es la parte de la esfera
comprendida entre dos planos secantes paralelos

50. ESFERA: huso y cuña esférica
• Huso esférico es la parte de la superficies esférica comprendida
entre dos planos secantes que pasan por el centro de la esfera.
• Cuña esférica es la porción de esfera comprendida entre dos planos
secantes que pasan por el centro de la esfera.

51. ESFERA: la esfera terrestre
• Coordenadas geográficas
•Por cada punto de la superficie terrestre pasan un
meridiano y un paralelo
• Su posición angular respecto a dos círculos
máximos determinan las coordenadas geográficas
del punto
• Latitud: es la medida en grados del arco de
meridiano comprendido entre el ecuador y el
punto correspondiente. Su medida va de 0º a 90º
en sentido Norte o Sur.
•Longitud: es la medida en grados del arco
comprendido entre el meridiano cero (M. de
Greenwich) y el que pasa por el punto. Su
medida va de 0º a 180º en sentido Este u Oeste.

52. ESFERA: la esfera terrestre
• Coordenadas geográficas: ejemplos
• Madrid: latitud 40º 28’ N, longitud 3º 42 ‘ O
• Quito: latitud 0º 13 ‘ S, longitud 78º 31’ O
• Helsinki: latitud 60º 10’ N, longitud 24º 56 ‘ E
• Bora Bora: latitud 16º 30’ S, longitud 151º 44’ O

53. 9 4 5
2,5 cm
2 2
−
= =
2 2
h 5 2,5 25 6,25 18,75 4,33 cm= − = − = ≈
( ) ( ) 2
h 9 4 4,33
Área de la base 28,15 cm
2 2
B b+ × + ×
− = = ≈
− Volumen = (Área base) · altura = 28,15 · 6,5 ≈ 182,98 cm3

55. VOLUMENES POLIEDRICOS

56. Otros poliedros

57. Icosaedro truncado
Nº Caras 32
Forma de caras
Pentágonos (12)
Hexágonos (20)
Nº Aristas 90
Nº Vértices 60
Nº Caras concurrentes a
un vértice
1pentágonos
2 hexágonos