1. volumen de cuerpos Geométricos

8. Volumen de los prismas El volumen de cualquier prisma se calcula multiplicando el área de la base, B, por su altura, h. Ejercicio. Calcular el volumen del prisma de la figura. V = B · h Perímetro de la base, p = 5 · 6 cm = 30 cm. 5 cm 3 cm a Apotema: Por Pitágoras, 5 2 = a 2 + 3 2 a 2 = 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16 a = 4 cm. Área de la base: Volumen: V = B · h = 60 · 8 cm 3 = 480 cm 3 IMAGEN FINAL Si el polígono de la base es regular, su área se calcula aplicando la fórmula , siendo p el perímetro de la base y a su apotema.

9. Volumen de las pirámides IMGEN FINAL El volumen de una pirámide es igual a un tercio del área de la base por la altura. Si el polígono de la base es regular, su área se calcula aplicando la fórmula , siendo p el perímetro de la base y a su apotema.

10. Volumen de las pirámides: Ejercicio IMAGEN FINAL Calcular el volumen de la pirámide cuyas dimensiones se indican en la figura. Perímetro de la base: p = 5 · 12 cm = 60 cm. Apotema de la base: aplicando Pitágoras, 20 cm 10 cm h a 2 = 10 2 – 6 2 = 64 a = 8 cm. Área de la base: Volumen: Altura h: nuevamente aplicamos Pitágoras, h 2 = 20 2 – 10 2 = 300 10 cm 6 cm a

11. TIPOS DE PIRÁMIDES

17. Ejemplo. Calcula el volumen de un cilindro de altura 18 cm y radio de la base 5 cm. El volumen del cilindro, como en el caso del prisma, es igual al área de la base por su altura. Si el número de caras de un prisma crece indefinidamente, se transforma en un cilindro. Como la base de un cilindro es un círculo, su área es B =  · r 2 ; por tanto: Volumen del cilindro h r

20. Desarrollo del cono Está formado por : Un segmento de circunferencia Una circunferencia coincidente con el segmento ( la longitud del segmento circular ha de ser la misma que la longitud de la circunferencia)

21. Volumen del cono El volumen del cono, lo mismo que en la pirámide, es igual a un tercio del área de la base por la altura. Ejemplo. El volumen de un cono de altura 12 cm y radio de la base 4 cm es: Si el número de caras de una pirámide crece indefinidamente, se transforma en un cono. Como la base de un cono es un círculo, su área es B =  · r 2 ; por tanto:

25. Volumen de la esfera V esfera = 2 · V semiesfera El volumen de una semiesfera es igual a un tercio del volumen de un cilindro cuya altura y diámetro de la base coinciden con el diámetro de la semiesfera: El volumen de una esfera es igual a cuatro tercios del número  por el cubo del radio. r

26. Volumen de cuerpos redondos: Aplicación Ejercicio . A partir de un tronco de encina se ha construido el recipiente que muestra la figura. ¿Cuál es la capacidad del recipiente? ¿Cuánto pesa, si 1 dm 3 de madera de encina pesa 1,052 kg? La capacidad es la correspondiente al volumen del cono invertido, cuyas dimensiones son: Altura: h = 15 cm. Radio de la base: r = 30 cm. 14 130 cm 3 = 14,13 dm 3 = 14,13 litros. Capacidad: 14,13 litros El peso es el correspondiente al volumen de madera de la parte maciza del tronco: el cilindro menos el hueco del cono. Altura del cilindro: h´ = 20 cm. Radio de su base: R = 30 + 3 = 33 cm. Volumen: V´ =  R 2 h´ V´ = 3,14 · 33 2 · 20 = 68389,2 cm 3  68,39 dm 3 Volumen de madera = V´ – V = 68,39 dm 3 – 14,13 dm 3 = 54,26 dm 3 Peso: P = 1,052 · volumen = 1,052 · 54,26 = 57,08 kg Peso: 57,08 kg R

27. Volumen del tronco de pirámide El volumen del tronco de pirámide se puede obtener haciendo la diferencia entre el volumen de la pirámide completa y el volumen de la pirámide deficiente. Pirámide deficiente Pirámide completa Tronco de pirámide Volumen de la pirámide completa: Volumen de la pirámide deficiente: El volumen del tronco de pirámide es: V = V 1 – V 2

28. Volumen del tronco de cono El volumen del tronco de cono se puede obtener haciendo la diferencia entre el volumen del cono completo y el volumen del cono deficiente. Volumen del cono completo: Volumen del cono deficiente: El volumen del tronco de cono es: V = V 1 – V 2 Cono deficiente Cono completo Tronco de cono r 1 r 2

29. Resolución de problemas PROBLEMA Hacer un dibujo e indicar los datos Plantear la ecuación Puede ser este: Para que la viga sea la mayor posible, el diámetro tiene que ser la diagonal del cuadrado. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa 70 cm. Una serrería tiene que fabricar vigas de base cuadrada a partir de troncos cilíndricos de madera de 6 m de largo y 70 cm de diámetro. ¿Cuáles son las dimensiones aproximadas de la mayor viga que se puede serrar de cada tronco? Resolver la ecuación x 2 + x 2 = 70 2 Interpretar el resultado Cada viga es un prisma cuadrangular de 6 m de altura y 49,50 cm de lado. Llamando x a los catetos, por Pitágoras: x 2 + x 2 = 70 2 2x 2 = 4900 x 2 = 2450 70 cm x x