SlideShare una empresa de Scribd logo

HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf

•
•
V
ValentinMamaniArroyo3

libro de algebra

Educación
1 de 445
Descargar para leer sin conexión
HUGO ALBERTO RINCÓN MEJÍA ÁLGEBRA LINEAL FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM 2006
ÁLGEBRA LINEAL 2ª edición, 2006 ©Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ciencias ISBN: 968-36-9263-X La presente obra fue impresa bajo demanda por vez primera en los talleres de Publidisa Mexicana SA de CV en el mes de junio de 2006. Publidisa Mexicana SA de CV Calzada Chabacano Nº 69, Planta Alta Colonia Asturias Deleg. Cuauhtémoc 06850 México DF www.publidisa.com
. A mis padres, Hugo Armando Rincón Orta y Angelina Aurelia Mejı́a Arzate, con todo mi cariño, por haber esperado demasiado de mı́.
Introducción Este texto contiene el material de los cursos Álgebra Lineal I y Álgebra Lineal II como los he impartido a lo largo de varios años. Tiene algunas caracterı́sticas especiales: Comienza con operaciones asociativas, monoides, tablas de multiplicar. Esto es porque pienso que la definición de Espacio vectorial puede resultar muy com- plicada para un alumno, y hago esto para que no se pierdan las consecuencias de cada axioma. En el capı́tulo de Espacios vectoriales, no sólo se demuestra la existencia de bases, sino que se da una demostración de que las bases para un espacio vec- torial tienen el mismo cardinal. La demostración es una aplicación del Lema de Zorn, en donde se puso mucho cuidado en presentar el argumento de manera clara en todos sus detalles. Se presentan dos capı́tulos acerca de espacios con producto interior. El primer capı́tulo incluye la teorı́a que los estudiantes de Fı́sica necesitan con urgencia, mientras que el último capı́tulo usa la teorı́a de espacios invariantes. En este capı́tulo se estudian los operadores normales, autoadjuntos, unitarios que son tan importantes para los estudiantes de Fı́sica cuántica. Se hacen ejemplos detallados de cálculos de formas canónicas y se hace énfasis en la teorı́a de diagonalización simultánea. Como aplicación, se presentan las cadenas de Markov, y se caracteriza la situación en que las potencias de una matriz cuadrada convergen. Agradezco la ayuda que me han prestado algunos de mis estudiantes. Entre éstos puedo recordar a Ricardo Hernández Barajas, Alina Madrid Rincón, Antonie- ta Campa, Patricia Pellicer Covarrubias, Alejandro Alvarado Garcı́a y Saúl Juárez v
Ordóñez. Especialmente agradezco a Rolando Gómez Macedo, por la lectura cuida- dosa que realizó, señalando una buena cantidad de errores tipográficos y de notación. Agradezco la gran ayuda prestada por los matemáticos Julio César Guevara y Guilmer González Flores quienes revisaron cuidadosamente el libro y me señalaron una gran cantidad de diagramas, dibujos y detalles de estilo que habı́a que corregir. Agradezco a Angélica Macı́as y a Nancy Mejı́a por el diseño de la cubierta del libro. Este libro se benefició grandemente del interés que puso en él la M. en C. Ana Irene Ramı́rez Galarza, a quien estoy profundamente agradecido. A pesar de todo, es inevitable que permanezcan errores en el libro, de los cuales sólo yo soy responsable. Agradeceré a las personas que hagan favor de señalármelos. Para terminar, quisiera manifestar el gusto que me da trabajar en la Facultad de Ciencias, donde los profesores entregan lo mejor de sı́ mismos a sus alumnos, sin regatear esfuerzos y sin ambición de lucro. Trabajar en el Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias ha sido uno de los eventos más afortunados que me han ocurrido. Aprovecho esa oportunidad para manifestar mi aprecio y reconocimiento a mis compañeros del grupo de Álgebra, quienes casi todos fueron mis maestros. Agradezco al profesor César Rincón Orta, por su e paciencia y por el afecto inagotable que me ha brindado siempre. Gracias, Tı́o. jemplo, sus enseñanzas, su vi
Índice general 1. Operaciones asociativas 1 1.1. Semigrupos y monoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Tablas de multiplicar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2. Monoides con cancelación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Subgrupos y restricción de funciones. . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1. Producto de copias de un anillo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2. Espacios vectoriales 19 2.1. Espacios vectoriales y subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. El subespacio generado por un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5. Conjuntos parcialmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6. Lema de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.7. Dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3. Transformaciones lineales 67 3.1. Transformaciones lineales, núcleos e imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2. La propiedad universal de las bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3. La matriz de una transformación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.4. Suma y producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.5. La matriz de cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4. Sistemas de ecuaciones lineales 111 4.1. Operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.1.1. Matrices reducidas y escalonadas . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.2. La inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.3. Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.4. Espacios duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.4.1. Cálculo de la base dual para un espacio de dimensión finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.4.2. La dimensión del espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.5. La transpuesta de una función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5. Espacios con producto interior I 151 5.1. Productos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.2. La norma inducida por un producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.2.1. El Teorema de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.3. La traza y la adjunta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.4. Ortogonalidad y el Teorema de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.4.1. Matrices respecto a una base ortonormal . . . . . . . . . . . . 168 5.4.2. Representación de elementos del espacio dual . . . . . . . . . 169 5.5. El operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.6. Propiedades del operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.7. Transformaciones lineales y productos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.8. Operadores unitarios en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.9. Movimientos rı́gidos (Isometrı́as) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6. Determinantes 185 6.1. Funciones n-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6.1.1. Factorización única como producto de ciclos . . . . . . . . . . 189 6.1.2. Estructura cı́clica y signo de una permutación . . . . . . . . . 195 6.2. El desarrollo por renglones del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.3. Invertibilidad y el determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 6.4. La regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 6.5. Similitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 7. Polinomios con coeficientes en R 231 7.1. Polinomios y el algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 7.2. La estructura algebraica de R[{] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 viii
8. Vectores propios y diagonalización 247 8.1. Vectores y valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 8.2. El polinomio caracterı́stico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 8.3. Espacios propios y diagonalizabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 8.4. Matrices diagonalizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 8.5. El polinomio mı́nimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 8.5.1. El polinomio mı́nimo y diagonalizabilidad . . . . . . . . . . . 273 9. Subespacios T-invariantes 283 9.1. Subespacios Winvariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 9.2. Subespacios T-cı́clicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 9.3. Polinomio caracterı́stico y polinomio mı́nimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 9.4. El Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 9.5. Diagonalización simultánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 9.5.1. El centralizador de un operador diagonalizable . . . . . . . . . 303 10.Formas canónicas 313 10.1. Lemas básicos de descomposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 10.2. La matriz compañera de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 10.3. Matrices diagonales por bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 10.4. El p-zoclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 10.5. Sumandos cı́clicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 10.6. Espacios cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 10.7. Forma canónica racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 10.7.1. Diagrama de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 10.8. Más acerca de los diagramas de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 10.9. Forma canónica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 10.10. Cadenas de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 10.10.1.Lı́mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 10.10.2.Procesos aleatorios y Cadenas de Markov . . . . . . . . . . . . 389 11.Espacios con producto interior II 407 11.1. Operadores normales, autoadjuntos, unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 11.2. Operadores normales, I = C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 11.3. Operadores autoadjuntos, I = R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 11.4. Operadores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 11.5. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 ix
11.5.1. Proyecciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 11.6. El teorema espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 Algunas notaciones utilizadas en el libro 423 Bibliografı́a 429 Índice alfabético 430 x
Capı́tulo 1 Operaciones asociativas 1.1. Semigrupos y monoides Para mayor información sobre estos temas, recomendamos al lector los libros de Jacobson [3] y Rotman [7], aunque como lo que necesitaremos es bastante poco, esperamos que baste con lo que se presenta aquı́. Definición 1 Una operación en un conjunto [ es una función : [ × [ $ [= Muchas veces escribiremos d e en lugar de escribir ((d e)) = Definición 2 Decimos que la operación : [ × [ $ [ es asociativa si { (| }) = ({ |) } ;{ | } 5 [= En este caso la pareja ordenada ([ ) se llama semigrupo. Ejemplo 1 Son semigrupos: 1. (N +) 2. (N ) donde denota la multiplcación usual, 3. (€ ([) _), 4. (€ ([) ^) 5. ({i : [ $ [ | i es una función} ) Son semigrupos. 1
2 CAPÍTULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS Ejemplo 2 1. (Z ) no es un semigrupo: 1 = 1 0 = 1 (1 1) 6= (1 1) 1 = 1= 2. Consideremos la operación de diferencia de conjuntos en € ({0 1}) = { {0} {1} {0 1}} observando que {0 1} = {0 1} = = {0 1} ({0 1} {0 1}) 6= ({0 1} {0 1}) {0 1} = = Concluı́moa que (€ ({0 1}) ) no es un semigrupo. 1.1.1. Tablas de multiplicar Definición 3 Sea una operación en un conjunto finito {d1 d2 === dq} la tabla de multiplicar de es el arreglo cuadrado d1 d2 · · · dl · · · dm · · · dq d1 d1 d1 d1 dl d1 dm d1 dq d2 . . . dl dl d1 dl dm . . . dm dm d1 dm dl . . . dq dq d1 dq dm dq dq Ejemplo 3 En el conjunto {0 1} se pueden definir 16 operaciones. Para convencer- nos de ello, calculemos la cardinalidad de n {0 1} × {0 1} i $ {0 1} | i es una función o = Notemos lo siguiente: cada uno de los cuatro elementos de {0 1}×{0 1}tiene que ir a dar a 0 ó a 1 bajo una función de las de arriba. Entonces debe ser claro que hay 2 2 2 2 = 16 elementos en el conjunto de funciones cuya cardinalidad estamos calculando. De estas 16 operaciones hay 8 asociativas. Mencionamos algunas:
1.1. SEMIGRUPOS Y MONOIDES 3 1. 0 1 0 0 0 1 0 0 es asociativa. 2. Por la misma razón, 0 1 0 1 1 1 1 1 es asociativa. 3. La disyunción lógica b 0 1 0 0 1 1 1 0 es asociativa. 4. La conjunción lógica a 0 1 0 0 0 1 0 1 es asociativa. 5. Definamos por: { | = | ;{ | 5 {0 1} = Es claro que las dos maneras de poner paréntesis en { | } nos produce el mismo resultado: }= La tabla correspondiente es 0 1 0 0 1 1 0 1 = 6. Dualmente, 0 1 0 0 0 1 1 1 =
4 CAPÍTULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS Hasta este momento hemos escrito 6 de las 8 operaciones asociativas que se pueden definir en {0 1} = Ejercicio 1 Encuentre las otras dos operaciones asociativas que se pueden definir en {0 1} = Para mostrar una operación que no es asociativa en el conjunto {0 1} tomemos la tabla de la implicación, “ , ”: , 0 1 0 1 1 1 0 1 = No es asociativa pues, 0 , (0 , 0) = 0 , 1 = 1 pero (0 =, 0) =, 0 = 1 =, 0 = 0= Definición 4 Sea una operación asociativa en V= 1. h 5 V es un neutro izquierdo para si h { = { ;{ 5 V= 2. h 5 V es un neutro derecho para si { h = { ;{ 5 V= 3. h 5 V es un neutro para si h es un neutro izquierdo y derecho para = Observación 1 Si h es un neutro izquierdo para y i es un neutro derecho para la misma operación, entonces h = i= Demostración. h = h i = i= La primera igualdad se da porque i es neutro derecho y la segunda porque h es neutro izquierdo. Observación 2 Si h i son dos neutros izquierdos distintos para una operación , entonces no tiene neutro. Ejemplo 4 Un semigrupo con dos neutros izquierdos: * 0 1 0 0 1 1 0 1 = Nótese que no hay neutro derecho.
1.1. SEMIGRUPOS Y MONOIDES 5 1.1.2. Monoides con cancelación Definición 5 Una terna (P h) es un monoide si (P ) es un semigrupo y h es neutro para . Definición 6 Sea (P h) un monoide y supongamos que d e = h d e 5 P diremos que d es inverso por la izquierda de e y que e es inverso por la derecha de d= Observación 3 Si { es inverso por la izquierda de d y } es inverso derecho de d d 5 P entonces { = }= Demostración. } = h } = ({ d) } = { (d }) = { h = {= 1. En un monoide el inverso de un elemento (si existe) es único. 2. Si { } son inversos izquierdos de d, entonces d no tiene inverso derecho (y por lo tanto no tiene inverso). Demostración. Se sigue inmediatamente de la Observación anterior. Ejemplo 5 Consideremos el monoide ¡ NN LgN ¢ = La función : N $ N tal que (n) = n + 1 tiene inverso izquierdo porque es inyectiva, no tiene inverso derecho porque no es suprayectiva. La función iq : N $ N n 7$ ½ n 1 si n A 0 q si n = 0 es un inverso izquierdo para para cada q 5 N. La función tiene una infinidad de inversos izquierdos en el monoide ¡ NN LgN ¢ y claro, no puede tener inverso= Ejercicio 2 Diga como se reflejan en una tabla de multiplicar los siguientes hechos: 1. La operación es conmutativa (es decir d e = e d, para cada d y e). 2. El elemento d es cancelable por la izquierda. 3. El elemento d es cancelable por la derecha. 4. d tiene inverso por la derecha. 5. h es neutro izquierdo para la operación.
6 CAPÍTULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS 1.2. Grupos Definición 7 Un grupo es un monoide (P h) en el que cada elemento tiene inverso. Definición 8 si la operación en un grupo (P h) es conmutativa, diremos que el grupo es conmutativa (o abeliano) Observación 4 1. En un grupo cada elemento tiene un único inverso. 2. En un grupo d { = h implica que d es el inverso de { (y que { es el inverso de d). Demostración. Se sigue de la Observación 3. Ejercicio 3 Sea [ un conjunto, denotemos El| ([) el conjunto de biyecciones de [ a [= Demuestre que (El| ([) Lg[) es un grupo. Ejemplo 6 Tomemos [ = {0 1 2}. Hay 6 biyecciones en el conjunto anterior. {0 1 2} x $ {0 1 2} 0 7$ 0 1 7$ 2 2 7$ 1 es una, y {0 1 2} [ $ {0 1 2} 0 7$ 1 1 7$ 2 2 7$ 0 es otra. Obsérvese que x [ 6= [ x= Ejercicio 4 Muestre que si |[| 3 entonces (El| ([) Lg[) es un grupo no conmutativo. Recordemos que en un monoide P, un inverso izquierdo y un inverso derecho de d 5 P tienen que coincidir. En particular, en un grupo (J h) el inverso de cada elemento es único, de hecho podemos demostrar lo siguiente:
1.2. GRUPOS 7 Teorema 1 En un grupo (J h) son equivalentes 1. e es el inverso de d= 2. d es el inverso de e. 3. d e = h. 4. e d = h= Demostración. 1) / 2) e es el inverso de d / ((d e = h) a (e d = h)) / / ((e d = h) a (d e = h)) / d es el inverso de e= 2) , 3) Es claro. 3) , 4) Por c), e es inverso derecho de d= Como J es un grupo, d tiene un inverso } (que es inverso por los dos lados). Entonces e = } y ası́ e es inverso izquierdo de d= 4) , 1) Análogo al argumento de arriba. Corolario 1 En un grupo (J h) valen las siguientes afirmaciones: 1) Denotemos por d31 al inverso de d= La función ( )31 : J $ J es inyectiva y suprayectiva (de hecho, es autoinversa). 2) ({ |)31 = |31 {31 = 3) ¡ ({)31¢31 = {= Demostración. 1) Simplemente notemos que d d31 = h = d31 d implica que d es el inverso de d31 = Es decir, ¡ (d)31¢31 = d= 2) Se sigue de que { | |31 {31 = { h {31 = h= 3) Visto en 1). Notación 1 Es común que la operación para un grupo se denote con +, en este caso, el neutro se denota 0 y el inverso de d se denota d , en lugar de d31 =
8 CAPÍTULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS 1.2.1. Subgrupos y restricción de funciones. Definición 9 Si [ D se define la función inclusión lD [ : [ $ D { 7$ { de esta manera podemos pensar la inclusión de un conjunto en otro como una función. Definición 10 Sea [ D | sea i : D $ E una función. En este caso podemos tomar la composición de lD [ con i, es decir, D E [ - i 6 lD [ ¡ ¡ ¡ ¡ µ il[ D Llamaremos i|[ a la composición i lD [= i|[ se llama la restricción de i a [. Observación 5 Si es una operación en V, y [ es un subconjunto de V, entonces [ × [ es un subconjunto de V × V y entonces podemos considerar |[×[ : [ × [ $ V V × V V [ × [ - W 6 lV×V [×[ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ µ W|[×[ Notemos que |[×[ : [ ×[ $ V no es una operación en [, puesto que el codominio no es [= Sin embargo, si nosotros tuviéramos que ;{ | 5 [ { | 5 [ podrı́amos tomar |[×[ : [ × [ $ [. En este caso diremos que [ es un subconjunto de V cerrado bajo = Observación 6 Sea operación en V y sea [ un subconjunto de V cerrado bajo = Entonces:
1.2. GRUPOS 9 1. asociativa , |[×[ es asociativa. 2. conmutativa , |[×[ es conmutativa. Definición 11 Sea (J h) un grupo y V un subconjunto de J, diremos que V es un subgrupo de J si ¡ V |V×V i ¢ es un grupo. Ejercicio 5 Son equivalentes para un subconjunto V de J con (J h) grupo: 1. V es un subgrupo de J= a) V es cerrado bajo = b) h 5 V= c) v 5 V , v31 5 V= Ejercicio 6 Demuestre que 1. La intersección de dos subgrupos de un grupo J es un subgrupo de J. 2. La intersección de una familia {K}M[ de subgrupos de J es un subgrupo de J= Ejercicio 7 Si [ es un subconjunto de un grupo J, entonces la intersección de la familia de subgrupos que contienen a [ es el menor subgrupo que contiene a [= Se llama el subgrupo generado por [ y lo denotaremos h[i = Ejemplos 7 1. El subgrupo generado por el neutro de un grupo (J h) es {h} = a) {h} es cerrado bajo = b) h 5 {h} = c) h31 = h 5 {h} = Entonces {h} es un subgrupo que contiene a h= Es claro que es el subgrupo que genera {h} (no puede haber otro subgrupo más pequeño que contenga h). 2. El subgrupo de (Z + 0) generado por 2 es 2Z=
10 CAPÍTULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS a) 2 5 2Z= b) 2Z es cerrado bajo la suma. c) 0 5 2Z d) 2n = 2 (n) 5 2Z= Entonces 2Z es un subgrupo de Z que contiene a 2. Si K es un subgrupo de Z que contiene a 2 debe de contener también a 0 (2) = 2 a 2 2 = 4, a 0 (4) = 4..., a 2n a 0 2n = 2n a 2n 2 a 0(2n 2) = 2 (n + 1) ... Es decir, K debe contener a 2Z. Por lo tanto 2Z es el menor subgrupo de Z que contiene a 2= 3. El subgrupo de Z generado por q es qZ= Es análogo al anterior. 4. Todos los subgrupos de Z son de la forma qZ con q 5 N= a) Un subgrupo K de Z tiene que contener por lo menos al neutro 0. Si K = {0} entonces K = 0Z= b) Si K 6= 0Z, tomemos un entero p distinto de 0 que pertenezca a K. Si p ? 0 notemos que 0 p = p A 0 es un elemento de K= Ası́ que K contiene enteros positivos. Otra manera de decir esto es: K _ Z+ 6= B= Usemos el principio del buen orden para convencernos de que podemos tomar el menor entero positivo que pertenece a K= Entonces q 5 K y por lo tanto qZ K= c) Tomemos un elemento de K, { digamos, y apliquemos el algoritmo de la división a { y q: t q { u 0 6 u ? q como { = tq + u, entonces u = { tq = { + (t) q 5 K. De aquı́ vemos que u tiene que ser 0, pues de nos ser ası́, u serı́a un elemento de K más pequeño que el más pequeño Q ). Como u = 0 entonces { = tq 5 qK= 5. El subgrupo de Z generado por {q p} es qZ + pZ = {q}1 + p}2 | }1 }2 5 Z} = (q; p) Z donde (q; p) denota el máximo común divisor de q y p=
1.2. GRUPOS 11 a) Primero convenzámonos de que {q}1 + p}2 | }1 }2 5 Z} es un subgrupo de Z que contiene tanto a q como a p= (Es cerrado bajo la suma, contiene al 0, es cerrado bajo tomar inversos, y contiene a q y a p= b) Supongamos ahora que K es un subgrupo de Z que contiene a q, y a p. Entonces también debe contener al subgrupo generado por q, es decir qZ K. Lo mismo puede decirse de pZ= Como K es cerrado bajo la suma entonces qZ + pZ K= Por lo tanto, qZ + pZ es el subgrupo generado por {q p}. c) Ahora, qZ + pZ = gZ, para algún natural g. Es fácil comprobar que es el máximo común divisor de q y p= 6. qZ _ pZ = [q; p] Z donde [q; p] hq denota el mı́nimo común múltiplo de q y p= Teorema 2 Si j 5 J entonces hji = {j} | } 5 Z} =1 Demostración. 1. h = j0 5 {j} | } 5 Z} 2. j} jz = j}+z 5 {j} | } 5 Z}, (ejercicio). 3. (j} )31 = j3} 5 {j} | } 5 Z}, (ejercicio). Luego, {j} | } 5 Z} es un subgrupo de J que contiene a j = j1 . Por lo tanto hji 6 {j} | } 5 Z} = Por otra parte, se demuestra por inducción, que j} 5 hji ;} 5 Z. Esto nos da la igualdad entre {j} | } 5 Z} y hji = Observación 7 Si [ J entonces h[i = © dn1 1 dn2 2 dn3 3 ===dnq q | q 5 N dl 5 [ nl 5 Z ª = Ejemplo 8 Las simetrı́as del cuadrado son un subgrupo de El| {1 2 3 4} = Ejercicio 8 Si J es un grupo, entonces 1 j} se define de la manera siguiente: 1. j0 = h, el neutro. 2. jn+1 = jn j 3. jn = ¡ j1 ¢n n A 0=
12 CAPÍTULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS 1. ;j 5 J ;} z 5 Z j} jz = j}+z = 2. ;j 5 J ;} 5 Z j3} = (j} )31 = 3. ;j 5 J ;} z 5 Z (j} )z = j}z = Definición 12 Sea Y un conjunto de puntos en el plano euclidiano, una función i : Y $ Y es una simetrı́a de Y si respeta las distancias entre puntos de Y= Observación 8 Sea Y finito, como en la definición anterior, entonces una simetrı́a de Y es una biyección: Demostración. Si { 6= | son elementos de Y , entonces su distancia es distinta de 0 por lo tanto g (i ({) i (|)) = g ({ |) 6= 0. En particular, { 6= |= Por lo tanto i es inyectiva. Como i es inyectiva, y Y es finito, entonces i es biyectiva. Observación 9 Si Y es un subconjunto finito del plano, entonces {i : Y $ Y | i es simetrı́a} es un subgrupo de El|(Y )= Demostración. 1. La composición de dos simetrı́as es una simetrı́a: Supongamos que i j son dos simetrı́as de Y y que { | 5 Y= Entonces glvw ((j i) ({) (j i) (|)) = glvw (j (i ({)) j (i (|))) = = glvw (i ({) i (|)) = glvw ({ |) = 2. La función identidad LgY es una simetrı́a. 3. Si i es una simetrı́a, entonces i31 también lo es: sean { | 5 Y entonces { = i (x) | = i (y) (recordemos que i es suprayectiva). Entonces glvw ¡ i31 ({) i31 (|) ¢ = glvw ¡ i31 (i (x)) i31 (i (y)) ¢ = = glvw (x y) = glvw (i (x) i (y)) = glvw ({ |) = En particular, si 1 2 3 4 son los vértices de un cuadrado, las simetrı́as del con- junto de vértices del cuadrado son los elementos de un subgrupo de El| {1 2 3 4} = Contemos el número de simetrı́as del cuadrado: el número posible de imágenes de 1 es 4= La imagen del 3 queda determinada por la imagen de 1= 2 tiene que ir a dar a un vecino de la imagen de 1 (dos posibilidades). Esto ya determina la imagen de 4= En total hay 4 × 2 = 8 simetrı́as del cuadrado. Observando la figura anterior, vemos que las 8 simetrı́as del cuadrado son 4 reflexiones (sobre los ejes de simetrı́a) y 4 rotaciones (incluyendo la identidad).
1.3. ANILLOS 13 Figura 1.1: 1.3. Anillos Definición 13 Un anillo es una quinteta (U + 0 1) tal que: 1. (U + 0) es un grupo conmutativo. 2. (U 1) es un monoide. 3. se distribuye sobre +, por los dos lados, es decir que u (v + w) = (u v) + (u w) ;u v w 5 U= y (v + w) u = (v u) + (w u) ;u v w 5 U= Cuando en un anillo la operación es conmutativa, el anillo se llama anillo conmutativo. Hay que notar que la suma en un anillo siempre es conmutativa. Ejemplos 9 1. (Z += 0 1) es un anillo.
14 CAPÍTULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS 2. (Zq += 0 1) es un anillo. 3. (Q += 0 1) es un anillo. 4. (R += 0 1) es un anillo. Ejemplo 10 Tomemos un conjunto [. Consideremos € ([) definamos en € ([) una suma de la manera siguiente: D + E =: (D ^ E) (D _ E) (esto se llama la diferencia simétrica de D y de E y también se denota por D{E). Definamos ahora el producto de D y de E como su intersección: D _ E= Proposición 1 Veremos que (€ ([) + _ [) es un anillo. Demostración. Lo único no trivial que hay que demostrar es que + es asociativa (y que la intersección se distribuye sobre la suma). Comparemos D + (E + F) con (D + E) + F = F + (D + E) = F + (E + D) (la suma es conmutativa). Veremos que D + (E + F) es inalterado por el intercambio D #$ F y con esto habremos terminado. En efecto: D + (E + F) = [D _ Ef _ Ff ] ^ [D _ F _ E] ^ [E _ Ff _ Df ] ^ [F _ Ef _ Df ] Notemos que los uniendos de enmedio son invariantes bajo el intercambio de D con F, mientras que los extremos se mapean uno en el otro, cuando uno intercambia D con F. La siguiente es una verificación de la igualdad anterior. D + (E + F) = (D(E + F)) ^ ((E + F)D) = = (D _ [(EF) ^ (FE)]f ^ ([(EF) ^ (FE)] _ Df ) = = (D _ [(E _ Ff ) ^ (F _ Ef )]f ) ^ ([(E _ Ff ) ^ (F _ Ef )] _ Df ) = = (D _ [(E _ Ff )f _ (F _ Ef )f ]) ^ [(E _ Ff _ Df ) ^ (F _ Ef _ Df )] = = (D _ [(Ef ^ F) _ (Ff ^ E)]) ^ [(E _ Ff _ Df ) ^ (F _ Ef _ Df )] = = ([(D _ Ef ) ^ (D _ F)] _ (Ff ^ E)) ^ [(E _ Ff _ Df ) ^ (F _ Ef _ Df )] = = [[(D _ Ef ) _ (Ff ^ E)] ^ [(D _ F) _ (Ff ^ E]] ^ [(E _ Ff _ Df ) ^ (F _ Ef _ Df )] = = [[(D _ Ef _ Ff ) ^ ] ^ [ ^ (D _ F _ E)]] ^ [(E _ Ff _ Df ) ^ (F _ Ef _ Df )] = = [(D _ Ef _ Ff ) ^ (D _ F _ E)] ^ [(E _ Ff _ Df ) ^ (F _ Ef _ Df )]= Ejercicio 9 Complete los detalles de la demostración de que (€([) + _ [) es un anillo.
1.3. ANILLOS 15 1.3.1. Producto de copias de un anillo. Definición 14 Sea (U + 0 1) un anillo y sea [ un conjunto. U[ es el conjunto de las funciones de [ a U= Si tenemos dos elementos de U[ , i y j, podemos sumarlas por medio de la definición: ¡ i+̃j ¢ ({) =: i ({) + j ({) = Del lado izquierdo de la ecuación anterior tenemos la suma que se está definiendo y del lado derecho la suma en el anillo U. Notemos que +̃ es una operación en U[ y que es conmutativa, asociativa con neutro: 0̂ la función constante y notemos también que la función i tiene inverso aditivo: i= i calculada en { da i ({). Definimos el producto en U[ , de manera similar: (i˜ j) ({) =: i ({) j ({) = Es una verificación rutinaria la de la asociatividad de ˜ , y la distributividad de ˜ sobre +̃= El neutro del producto es la función constante 1̂= Teorema 3 Sea (U + 0 1) un anillo. Entonces valen las siguientes afirmaciones: 1. ;u 5 U 0 u = u 0 = 0= 2. ;u v 5 U ((u + v = 0) , (u = v a v = u)) = 3. ;u 5 U (1) u = u = u (1). 4. ;u v 5 U [(u) v = (u v) = u (v)]. 5. (u) (v) = u v. Demostración. 1. 0 + (u 0) = (u 0) = u (0 + 0) = u 0 + u 0= Cancelamos u 0 para obtener u 0 = 0. Análogamente, obtenemos 0 u = 0. 2. Esta es una propiedad de los grupos. 3. (1) u + u = (1) u + 1 u = (1 + 1) u = 0 u = 0= Análogamente, u (1) = u= 4. u v + (u) v = 0 u = 0= Además =u (v) + u v = u (v + v) = u 0 = 0. 5. (u) (v) = (u (v) = ( (u v))) = u v= Definición 15 Un anillo (U + 0 1) es un
16 CAPÍTULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS 1. Anillo conmutativo si es conmutativa. 2. Dominio si (U {0} 1) es un monoide con cancelación.. 3. Anillo con división si (U {0} 1) es un grupo. 4. Campo si (U {0} 1) es un grupo abeliano. Observación 10 Todo campo es un dominio pero hay dominios que no son campos. Demostración. Que un campo es un dominio, se sigue del hecho de que un grupo es un monoide con cancelación. Por otra parte (Z + 0 1) es un dominio que no es campo. Definición 16 Una unidad en un anillo U es un elemento con inverso multiplica- tivo. El conjunto de las unidades para un anillo U lo denotaremos U× . Ejemplo 11 Consideremos el anillo de los enteros módulo q, Zq. Entonces Z× q = {d̄ 5 Zq | (d; q) = 1} = En efecto: Si (d; q) = 1, entonces hay una combinación entera de d y gh q, d}+qz = 1. De aquı́ es claro que d} = 1̄, por lo que ¯ } es el inverso multiplicativo de d̄= Recı́procamente, si d̄ tiene inverso multiplicativo ¯ }, entonces d} = 1̄= Esto equivale a d} q 1, es decir que q | (d} 1), que se puede expresar como: z 5 Ztal que qz = d} 1, o sea que 1 = d} qz= De aquı́ vemos que (d; q) = 1= Corolario 2 Zq es un campo / q es un primo. Demostración. Zq es un campo / Zq {0̄} = Z× q = {d̄ | (d; q) = 1} / © 1̄ 2̄ === q 1 ª = {d̄ 5 Zq | (d; q) = 1} / [(n; q) = 1 ;n 5 Z, tal que 1 6 n ? q] / q es primo. Ejercicio 10 Demostrar la unicidad de t y de u en el Ejemplo 4c.
1.3. ANILLOS 17 Ejercicio 11 Una máquina acepta palabras de ocho letras (definidas como suce- siones de ocho letras del alfabeto, inclusive si no tiene significado) e imprime una palabra de ocho letras consistente de las primeras 5 letras de la primera palabra segui- da de las últimas tres letras de la segunda palabra. Demuestre que el conjunto de las palabras de ocho letras con esta regla de multiplicación es un semigrupo. ¿Serı́a éste el caso si la máquina imprime las cuatro primeras letras de la primera palabra seguidas de las cuatro últimas de la segunda palabra? ¿Alguno de estos dos sistemas tiene neutro? Ejercicio 12 Sea (P 1) un monoide y sea p 5 P. Defı́nase un nuevo producto p por d p e = d p e. Demuestre que esto define un semigrupo, ¿bajo que condiciones hay neutro? Ejercicio 13 Sea V un semigrupo, x un objeto que no pertenece a V= Tómese P = V ^ {x} y extendamos el producto en V a un producto binario en Pdefiniendo xd = d = dx ;d 5 P. Demuéstrese que (P x) es un monoide. Ejercicio 14 Sea J un conjunto finito con una operación binaria y un neutro h= Demuéstrese que J es un grupo / su tabla de multiplicar tiene las siguientes propiedades: 1. Todo renglón y columna de la tabla contiene cada elemento de J= 2. Para cada par de elementos { | de J {h} sea U un rectángulo en el cuerpo de la tabla que tiene h en uno de sus vértices, { un vértice en el mismo renglón que h y | un vértice en la misma columna que h entonces el cuarto vértice depende sólo de la pareja ({ |) y no de la posición de h= Ejercicio 15 Encuentre los inversos multiplicativos de 2 8 11 13 15 en Z17 {0̄} y en Z53 {0̄} = Ejercicio 16 Muestre que si la suma y la multiplicación en un anillo (U + 0 1) son conmutativas, entonces una distributividad implica la otra. Ejercicio 17 Mostrar que en un anillo U, u 0 = 0 = 0 u ;u 5 U= Ejercicio 18 Suponga que en un anillo (U + 0 1) 0 = 1= ¿Cuántos elementos tiene U? Escriba las tablas de sumar y de multiplicar.
18 CAPÍTULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS Ejercicio 19 ¿Qué pasarı́a si en un anillo además se tuviera que la suma se dis- tribuyera sobre el producto? ¿Puede pasar esto? ¿Cómo serı́a U? Ejercicio 20 ¿Por qué un campo debe tener por lo menos dos elementos? Ejercicio 21 Considere el conjunto n d + e s 2 | d e 5 Q o súmense y multiplı́quense como reales. ¿Es esto un campo? ¿Quién es el recı́proco de un elemento d + e s 2 6= 0? Ejercicio 22 Considere el conjunto © d + e s 1 | d e 5 Z ª súmense y multiplı́quense como complejos. ¿Es esto un anillo? ¿Quiénes son los elementos con recı́proco? Ejercicio 23 Compruebe la regla de los signos en un anillo: 1. (d) (e) = (de) = 2. (d) (e) = (de) = 3. (d) (e) = de= Ejercicio 24 Tomemos el anillo (€ (N) + _ N) resuelva las ecuaciones: 1. [ + 2N = {2n + 1 | n 5 N} = 2. [ + {0 1 2 9} = {0 3} = 3. [ _ = N= 4. [ _ ( + [) = = (Aquı́, “resolver” quiere decir, encontrar todas las solu- ciones).
Capı́tulo 2 Espacios vectoriales 2.1. Espacios vectoriales y subespacios Definición 17 Un espacio vectorial es una quinteta (Y +̃ 0̄ I · : I × Y $ Y ) tal que: 1. ³ Y +̃ 0 ´ es un grupo abeliano. 2. · : I × Y $ Y satisface: a) 1 ·  y =  y, ; y 5 Y= b) (fg) ·  y = f · (g ·  y), ;f g 5 I ; y 5 Y= c) (f + g) ·  y = f y+̃g y, ;f g 5 I ; y 5 Y= d) f · ¡  y+̃ z ¢ = f ·  y+̃f ·  z ;f 5 I ; y  z 5 Y= Los elementos de Y se llaman vectores, los de I se llaman escalares, y cuando sea claro como se definieron las operaciones, escribiremos I Y en lugar de toda la quinteta ordenada. I Y se lee: Y es un espacio vectorial sobre el campo I= Ejemplo 12 (R [{] + 0̄ R · : R × R [{] $ R) es un espacio vectorial.. Ejemplo 13 ³ Rq +̃ 0 R · : R× Rq $ R ´ es un espacio vectorial, con las opera- ciones definidas de la manera siguiente: 1. (d1 d2 === dq) +̃ (e1 e2 === eq) = (d1 + e1 d2 + e2 === dq + eq). 2. f · (d1 d2 === dq) = (fd1 fd2 === fdq) = 19
20 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Teorema 4 Si Y es un espacio vectorial sobre I, entonces 1. 0 ·  y =  0, ; y 5 Y . 2. d · 0 =  0 ;d 5 I= 3. (1) y =  y, ; y 5 Y= Demostración. 1.  0+̃ (0 ·  y) = 0 ·  y = (0 + 0) ·  y = 0 ·  y+̃0 ·  y. Cancelando 0 ·  y, obtenemos  0 = 0 ·  y. 2. Sea d 5 I, entonces  0+̃ ³ d · 0 ´ = d ·  0 = d · ³  0+̃ 0 ´ = d ·  0+̃d ·  0. Cancelando d · 0, obtenemos:  0 = d · 0= 3. 1 ·  y+̃ (1) ·  y = (1 + (1)) ·  y = 0 ·  y =  0. De aquı́ que (1) ·  y =  y= Ejemplo 14 Sea I un campo y sea [ un conjunto. Entonces I[ = {i : [ $ I | i es una función} = Se define la suma de funciones de la manera usual, y el producto de un elemento de I por una función también de la manera usual: 1. i+̃j : [ $ I es la función tal que ¡ i+̃j ¢ ({) = i ({) + j ({) = 2. f · i : [ $ I es la función tal que (f · i) ({) = f (i ({)) = Entonces: ¡ I[ +̃ 0̂ I · : I × I[ $ I[ ¢ es un espacio vectorial. Demostración. Que ¡ I[ +̃ 0̂ ¢ es un grupo conmutativo, se deja como ejerci- cio. Propiedades del producto por escalares: 1. (1 · i) ({) = 1 · i ({) = i ({) ;{ 5 [= Por lo tanto las funciones 1 · i y i coinciden. 2. [(fg) · i] ({) = (fg) · i ({) = f (gi ({)) = f ((gi) ({)) = (f · (g · i)) ({), ;{ 5 [ por lo que las funciones [(fg) · i] y (f · (g · i)) coinciden. 3. [(f + g) (i)] ({) = (f + g) (i ({)) = fi ({) + gi ({) = = (fi) ({) + (gi) ({) = (fi + gi) ({) ;{ 5 [= Por lo tanto, (f + g) (i) = (fi + gi). 4. £ f · ¡ i+̃j ¢¤ ({) = f £¡ i+̃j ¢ ({) ¤ = f [i ({) + j ({)] = = f (i ({)) + f (j ({)) = (f · i) ({) + (f · j) ({) = ¡ f · i+̃f · j ¢ ({) ;v 5 [= Por lo tanto f · ¡ i+̃j ¢ = f · i+̃f · j=
2.1. ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS 21 Observación 11 Tomemos un campo I y tomemos [ = {1 2 === q} × {1 2 === p} un elemento D en I[ se llama una matriz de q × p con coeficientes en I= Por costumbre, uno escribe Dlm en lugar de escribir D (l m) = También por costumbre, uno suele escribir una matriz D en la forma de un arreglo rectangular: 3 E E E C D11 D12 D13 · · · D1p D21 D22 D23 · · · D2p . . . Dq1 Dq2 Dq3 Dqp 4 F F F D = Ejemplos 15 De acuerdo a las definiciones: 1. (D + E)lm = Dlm + Elm; (l m) 5 {1 2 === q} × {1 2 === p} = 2. µ 2 3 5 6 7 8 ¶ + µ 0 7 8 9 5 4 ¶ = µ 2 10 13 15 12 12 ¶ = 3. (fD)lm = fDlm ; (l m) 5 {1 2 === q} × {1 2 === p} = 4. 2 µ 3 4 5 6 7 8 ¶ = µ 6 8 10 12 14 16 ¶ = Definición 18 Sea ¡ Y +̃ 0̂ I=· : I × Y $ Y ¢ un espacio vectorial, y sea Z Y= Diremos que Z es un subespacio vectorial de Y si ³ Z +̃|Z×Z  0 I ·|I×Z : I × Z $ Z ´ es un espacio vectorial. Cuando esto pase, escribiremos Z 6 I Y= Proposición 2 Z 6 I Y / ; ? = i) Z es cerrada bajo +̃ ii)  0 5 Z= iii) ;d 5 I ; z 5 Z d ·  z 5 Z= Demostración. ,) i) Que +̃|Z×Z sea una operación en Z significa que +̃|Z×Z : Z × Z $ Z es decir, que sumando dos elementos de Z se obtiene un elemento de Z= Esto es lo mismo que decir que Z es cerrado bajo +̃=
22 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES ii) El neutro de +̃|Z×Z debe coincidir con el neutro de +̃ que es  0= Por lo tanto  0 5 Z= iii) Que ·|I×Z : I × Z $ Z es una función con dominio I × Z y codominio Z significa exactamente lo mismo que ;d 5 I ; z 5 Z d ·  z 5 Z= +) Supongamos que se cumplen i), ii) y iii). Por el inciso i), tenemos que +̃|Z×Z es una operación en Z= Por herencia, +̃|Z×Z es asociativa y conmutativa. Lo anterior, junto con ii), nos dicen que ³ Z +̃|Z×Z  0 ´ es un monoide. Ahora, de la condición iii) y del Teorema 4 tenemos que  z = (1) ·  z 5 Z, ; z 5 Z= Concluı́mos que ³ Z +̃|Z×Z  0 ´ es un grupo conmutativo Es una cuestión sencilla comprobar que el producto ·|I×Z : I × Z $ Z satisface las propiedades pedidas a un producto por escalares. Ası́ que ³ Z +̃|Z×Z  0 I ·|I×Z ´ es un espacio vectorial.1 Ejemplo 16 C (R) = {i : R $ R | i es continua} es un subespacio de RR : 1. La suma de dos funciones continuas es continua. 2. La función constante 0̂ es continua. 3. El producto de un escalar por una función continua es continua. Recordemos que I([) = {i : [ $ I | sop (i) es finito} = Aquı́ hay que recordar también que sop (i) = {{ 5 Dom (i) | i ({) 6= 0} = Entonces Ejemplo 17 I([) 6 I[ pues: 1. La suma de dos funciones i j 5 I[ , de soporte finito es de soporte finito, puesto que sop ¡ i+̃j ¢ sop(i) ^ sop(j). (La unión de dos conjuntos finitos es finita, y un subconjunto de un conjunto finito es finito). 1 Por ejemplo, (fg) ·  z = f · (g ·  z) para cualesquiera escalares f g y cualquier  z 5 Z porque lo anterior se cumple para cualquier vector en Y=
2.2. EL SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO 23 2. La función constante 0̂ tiene soporte , que es finito. 3. Si f es un escalar y i es una función de soporte finito, entonces f·i tiene soporte finito ya que sop(f · i) sop(i) ((fi) ({) 6= 0 , f (i ({)) 6= 0 , i ({) 6= 0). Definición 19 Si D 5 Pq×p (I) su transpuesta es la matriz Dw 5 Pp×q (I) tal que Dw lm = Dml= Definición 20 Decimos que una matriz D 5 Pq×q (I) es simétrica si D = Dw . Ejemplo 18 Denotemos por Sq = {D 5 Pq×q (I) | D es simétrica} = Entonces Sq 6 Pq×q (I) = Demostración. 1. Supongamos que D E son matrices simétricas. Entonces (D+ E)w ml = (D + E)lm = Dlm + Elm = Dw lm + Ew lm = Dml + Eml = (D + E)ml. Por lo tanto (D + E)w = D + E, es decir, D + E también es simétrica. 2. La matriz de ceros es simétrica: Oml = 0 = Olm= 3. Si D es simétrica y f es un escalar, entonces (fD)lm = fDlm = fDml = (fD)ml = (fD)w lm = Ejemplo 19 Denotemos por Tq = {D 5 Pq×q (I) | Dlm = 0 si l A m} =(el conjunto de las matrices triangulares superiores). Entonces Tq 6 Pq×q (I) = 1. Supongamos que D E son matrices triangulares superiores y sea l A m. En- tonces (D + E)lm = Dlm + Elm = 0 + 0 = 0= Por lo tanto D + E es una matriz triangular superior. 2. La matriz de ceros es triangular superior:: Olm = 0 si l m= 3. Si D es triangular superior, f es un escalar, e l A m entonces (fD)lm = fDlm = f0 = 0= 2.2. El subespacio generado por un conjunto Teorema 5 Si {Z}M[ es una familia de subespacios vectoriales del espacio I Y entonces _ {Z}M[ también es un subespacio de Y=
24 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Demostración. 1. Sean  {  | 5 _ {Z}M[, entonces  {  | 5 Z, ; 5 [. Como cada Z es cerrada bajo la suma, entonces  { +  | 5 Z ; 5 [= Por lo tanto  { +  | 5 _ {Z}M[ = 2.  0 5 Z, ; 5 [ por lo tanto  0 5 _ {Z}M[ = 3. u 5 I  { 5 _ {Z}M[ , u 5 I  { 5 Z ; 5 [ , u { 5 Z ; 5 [ , u { 5 _ {Z}M[. Definición 21 Sean I Y un espacio vectorial y [ un subconjunto de Y , definimos L ([) = _ {Z 6 Y | [ Z} = L ([) se llama el subespacio de Y generado por [, debido a que es el menor subes- pacio de Y que incluye a [= Teorema 6 L ([) es el menor subespacio de Y que incluye a [= Demostración. Como L ([) = _ {Z 6 Y | [ Z} es una intersección de subespacios de Y , entonces L ([) también lo es, de acuerdo con el Teorema 5. Por otra parte, si Z es un subespacio de Y que incluye a [ entonces pertenece a la familia de subespacios que estamos intersectando al definir L ([) = Por lo tanto L ([) 6 Z. Ejemplo 20 Sea I Y y  y 5 Y . Entonces L ({ y}) = {f ·  y | f 5 I} =: I y= Demostración. ) {f ·  y | f 5 I} =: I y es un subespacio de Y que contiene a  y : 1. f y + g y = (f + g) y 5 I y= Por lo que I y es cerrado bajo la suma. 2.  0 = 0 y 5 I y= 3. f 5 I n y , f (n y) = (fn) y 5 I y= 4.  y = 1 y 5 I y. Como I y es un subespacio vectorial que contiene a  y, debe entonces ser mayor o igual que el menor subespacio que tiene la propiedad, es decir que L ({ y}) I y= ) Por otra parte, como  y 5 L ({ y}) 6 Y , cada múltiplo escalar de  y debe estar en L ({ y}), es decir, I y L ({ y}) =
2.2. EL SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO 25 Ejemplo 21 L ({(1 2)}) = {(n 2n) | n 5 R} 6 R2 = x y Observación 12 Z 6 Y / Z = L (Z). Demostración. +) Obvio. ,) Como Z Z 6 Y entonces L (Z) 6 Z= Por definición, un conjunto siempre está incluı́do en el subespacio que genera. Por lo tanto, Z L (Z) = Definición 22 Si Z1 Z2 6 Y , Z1 + Z2 =: L (Z1 ^ Z2) = Proposición 3 Si Z1 Z2 6 Y , entonces Z1 + Z2 = { z1 +  z2 |  z1 5 Z1,  z2 5 Z2}. Demostración. Denotemos con V al conjunto { z1 +  z2 |  z1 5 Z1  z2 5 Z2} = Este conjunto es un subespacio de Y que incluye tanto a Z1 como a Z2: En efecto: 1. Supongamos que  z1  x1 5 Z1 y que  z2  x2 5 Z2, entonces ( z1 +  z2) + ( x1 +  x2) = ( z1 +  x1) + ( z2 +  x2) 5 V= 2.  0 =  0 + 0 5 V= 3. f · ( z1 +  z2) = f z1 + f z2 5 V=
26 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES 4. ; z 5 Z1  z =  z + 0 5 V= Por lo tanto Z1 V= 5. ; z 5 Z2  z =  0 +  z 5 V= Por lo tanto Z2 V= Entonces V es un subespacio de Y que incluye a Z1 ^ Z2= Por lo tanto L (Z1 ^ Z2) 6 V= Por otra parte, ; z1 5 Z1  z2 5 Z2 tenemos que ambos elementos pertenecen a Z1 ^ Z2, ası́ que  z1  z2 5 L (Z1 ^ Z2) = Por lo tanto  z1 +  z2 5 L (Z1 ^ Z2) = Entonces V L (Z1 ^ Z2) = Teorema 7 Si [ I Y y [ 6= entonces L ([) = {1 {1 + === + q { | q 5 N {l 5 [ l 5 I} = Demostración. Denotemos con h[i al conjunto {1 {1 + === + q { | q 5 N {l 5 [ l 5 I} = Es claro que h[i es cerrado bajo la suma, que contiene a  0 y que es cerrado bajo multiplicación por escalares. Entonces es un subespacio que incluye a [= Por lo tanto L ([) h[i Por otra parte, dados cualesquiera vectores  {1 {2 {3 === {q 5 [ y escalares d1 d2 d3 === dq entonces, como [ L ([) tenemos que  {1 {2 {3 === {q 5 L ([) que como es un subespacio, también contiene a los múltiplos d1 {1 d2 {2 d3 {3 === dq {q de  {1 {2 {3 === {q respectivamente. Como L ([) es un subespacio, entonces d1 {1 + d2 {2 + d3 {3 + === + dq {q 5 L ([) ;d1 d2 d3 === dq 5 I ; {1 {2 {3 === {q 5 [= Por lo tanto h[i L ([).
2.2. EL SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO 27 Definición 23 Dada {Z}M[ una familia de subespacios de I Y , definimos X {Z}M[ =: L ¡ ^ {Z}M[ ¢ = Es decir, la suma de una familia de subespacios es el subespacio de I Y generado por la unión de la familia de subespacios. Teorema 8 P {Z}M[ es el menor subespacio de Y que incluye cada Z= Demostración. Primero notemos que Z ^ {Z}M[ L ¡ ^ {Z}M[ ¢ =: X {Z}M[ = Ahora, si Z ] 6 Y , ; 5 [, entonces ^ {Z}M[ ], por lo que L ¡ ^ {Z}M[ ¢ 6 ]= De lo anterior, vemos que L ¡ ^ {Z}M[ ¢ = P {Z}M[ es el menor subespacio que incluye a cada Z. Observación 13 [ Y , L ([) L ( ) = Demostración. L ([) es el menor subespacio que incluye a [ y por otra parte, [ L ( ) 6 Y . Proposición 4 Para cada [ Y , se tiene que L ([ ^ ) = L ([) + L ( ) = L (L ([) ^ L ( )) = Demostración. L ([) + L ( ) = L (L ([) ^ L ( )) es cierta, por definición. Ahora, [ ^ L ([) ^ L ( ) L (L ([) ^ L ( )) , , L ([ ^ ) L (L ([) ^ L ( )) = Por otra parte, [ [ ^ , L ([) L ([ ^ ). Análogamente, L ( ) L ([ ^ ). Por lo tanto, L ([) ^ L ( ) L ([ ^ ) ası́ que L (L ([) ^ L ( )) L ([ ^ ) = De la proposición anterior basta recordar que L ([ ^ ) = L ([) + L ( ).
28 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Teorema 9 (Ley Modular) Si [ ] son subespacios de I Y tales que [ 6 entonces _ ([ + ]) = [ + ( _ ]) = Demostración. ) [ ( _ ]) , también [ ( _ ]) ([ + ]) = Por lo tanto [[ + ( _ ]) ] a [[ + ( _ ]) ([ + ])] = Entonces [ + ( _ ]) _ ([ + ]) = ) Sea  | 5 _([ + ]) entonces  | =  {+ }, con  { 5 [  } 5 ]= Basta demostrar que  } 5 _ ]. Pero  } =  |  { 5 + [ = (ya que [ 6 ), además  } 5 ]= Definición 24 Sean Z1 Z2 6 Y se dice que Y es la suma directa de Z1 y Z2 si: 1. Z1 _ Z2 = n  0 o y 2. Z1 + Z2 = Y= En esta situación, escribiremos Y = Z1 L Z2= Cuando Z1 _ Z2 = n  0 o . escribiremos Z1 + Z2 = Z1 L Z2= Teorema 10 Son equivalentes para Z N 6 Y : 1. Y = Z L N= 2. N 6 Y y es máximo con la propiedad de que Z _ N = n  0 o = 3. N 6 Y y es mı́nimo con la propiedad de que Z + N = Y= Demostración. 1) , 2) Es claro que Z _N = n  0 o = Veamos que N es máximo con esta propiedad: N ¡ N´6 Y , N´_ (N + Z) = N + (N´_ Z) (por la Ley modular). Por otra parte, N´_(N + Z) = N´_Y = N´. Por lo tanto N´= N´_(N + Z) = N+(N´_ Z) = Ası́ que (N´_ Z) 6= n  0 o , pues de otra forma N´= N= En resumen: N ¡ N´6 Y , (N´_ Z) 6= n  0 o =
2.2. EL SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO 29 1) , 3) Resta demostrar que N es mı́nimo con la propiedad de que N +Z = Y : Supongamos que N´¡ N 6 Y= Entonces N _ (N´+ Z) = N´+ (N _ Z) = N´+ n  0 o = N´. Entonces N´+ Z 6= Y ya que en caso contrario, N = N´ = 2) , 1) Basta demostrar que Z +N = Y= Supongamos que Z +N $ Y . Entonces  { 5 Y (Z + N) = Ası́ que N ¡ N + L ({ {}). Ahora,  z 5 Z _ (N + L ({ {})) ,  z 5 Z a  z =  n +  { para alguna 5 I (note que 6= 0 implica que  { 5 Z + N Q ) por lo tanto  z =  n 5 Z _ N = n  0 o = Es decir, Z _ (N + L ({ {})) = n  0 o contradiciendo que N es máximo con esta propiedad.. Por lo tanto, Z + N = Y y ası́ Z L N = Y= 3) , 1) Ejercicio. Ejemplo 22 En RR sean P (R) = © i 5 RR | i ({) = i ({) ª I (R) = © i 5 RR | i ({) = i ({) ª = Entonces P (R) I (R) 6 RR (la demostración de esto se deja como ejercicio), además: 1. Para i 5 P (R)_I (R), i ({) = i ({) = i ({) = Esto implica que 2i ({) = 0= Por lo tanto, i ({) = 0 ;{ 5 R= Por lo tanto i = 0̂. 2. Para i 5 RR i ({) = i({)+i(3{) 2 + i({)3i(3{) 2 5 P (R) + I (R). Concluı́mos que RR = P (R) L I (R) = Ejemplo 23 Sea i ({) = ½ sen ({) si { 6 0 {3 7{ si { 0 cuya gráfica se muestra a conti- nuación:
30 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES x y i ({) Tomando s ({) = i({)+i(3{) 2 , y q ({) = i({)3i(3{) 2 , vemos las gráficas de i s y q: -3 -2 -1 1 2 3 4 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y i ({) s ({) q ({)
2.2. EL SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO 31 Ejemplo 24 En Pq(R) sean Sq(R) = {D 5 Pq(R) | D = Dw }, sea Aq(R) = {D 5 Pq(R) | D = Dw }. Entonces Sq (R) Aq (R) 6 Pq (R), (Ejercicio). Además: 1. D 5 Sq (R) _ Aq (R) , D = Dw = D , D = 3 E C 0 · · · 0 . . . ... . . . 0 · · · 0 4 F D = 2. Para F 5 Pq (R) F = 1 2 (F + Fw )+1 2 (F Fw ) = Como 1 2 (F + Fw ) es simétrica y 1 2 (F Fw ) es antisimétrica, entonces F 5 Sq (R) + Aq (R) = Por lo tanto Pq (R) = Sq (R) + Aq (R) = Por lo tanto Pq (R) = Sq (R) L Aq (R) = Teorema 11 Son equivalentes para Z N 6 I Y : 1. Y = Z L N= 2. ; y 5 Y ! z 5 Z ! n 5 N tal que  y =  z +  n= 3. Y = Z + N y  0 se puede escribir de manera única en la forma  z +  n con  z 5 Z y  n 5 N= Demostración. 1) , 2) Es claro que ; y 5 Y  y =  z +  n con  z 5 Z y  n 5 N (Y = Z + N). Ahora supóngase que  y =  z1 +  n1 =  z +  n, con  z1 5 Z n1 5 N entonces  z1  z =  n  n1 5 Z _ N = n  0 o , por lo tanto  z1 =  z y  n =  n1. Con lo que queda demostrada la unicidad.. 2) , 3) Inmediato. 3) , 1) Basta demostrar que Z _ N = n  0 o . Sea  { 5 Z _ N entonces  0 =  0 + 0 =  { + ( {) = Por lo tanto  { =  0= Proposición 5 [ I Y , L ([) = S [ finito L ( ). Demostración. ) [ , L ( ) L ([). En particular, L ( ) L ([), para cada subconjunto finito de [. Por lo tanto S [ finito L ( ) L ([) = ) Si [ es finito, no hay nada que demostrar. Podemos suponer que [ es infinito, y en particular, que es 6= = Si  0 6=  y 5 L ([), entonces  y = d1 {1 + d2 {2 + === + dn {n,
32 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES con n 5 N dl 5 I {l 5 [= Entonces  y 5 L ({ {1 {2 === {n}) note que { {1 {2 === {n} es finito. Por lo tanto L ([) S [ finito L ( ) = 2.3. Dependencia e independencia lineal Definición 25 V Y es linealmente dependiente (o= g=) si  { 5 L (V { {}) = Ejemplo 25 n  0 o es linealmente dependiente:  0 5 n  0 o = L () = L ³n  0 o n  0 o´ = Observación 14 Son equivalentes para V I Y : 1. V es o= g= 2.  { 5 V tal que L (V) = L (V { {}) = Demostración. 1) , 2) Sea  { 5 L(V{ {}). Entonces V{ {} V , L(V{ {}) 6 L(V). Por otra parte,  { 5 L (V { {}) , { {} L (V { {}) = Como también se tiene que V { {} L (V { {}) entonces ({ {} ^ V { {}) L (V { {}) = Es decir que V L (V { {}). Por lo tanto L (V) 6 L (V { {}) = 2) , 1)Si L (V) = L (V { {}) para algún  { 5 L entonces  { 5 L (V) = L (V { {}) = Teorema 12 V = { {1 {2 === {q} I Y es o= g=. / l 5 {1 === q} tal que  {l 5 L ({ {m | m ? l}) = Demostración. +)  {l 5 L ({ {m | m ? l}) L (V { {l}) (que existe dado que V es o= g=), entonces  {p = P l=1 l6=p l {l, además m A p implica que m = 0 (p es máximo), por lo tanto:  {p = X l=1 l?p l {l 5 L ({ {m | m ? l})
2.3. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL 33 Teorema 13 Son equivalentes para I Y : 1. es o= g= 2.  { 5 tal que L () = L ( { {}) = 3. finito, tal que es o= g= 4. finito, tal que  0 = P  |lM dl |l con algún dl 6= 0= Además, si es finito y = { {1 === {q}: 5. l 5 {1 ===q} tal que  {l 5 L ({ {m | m ? l}) = Demostración. Con lo que se ha demostrado hasta este momento, únicamente falta demostrar la equivalencia de 4) con las demás proposiciones. 3) , 4) = { {1 {2 === {q} o= g= ,  {l 5 tal que  {l 5 L ( { {l}) ,  {l = P m=1 m6=l dm {m ,  0 = P m=1 dm {m con dl = 1 6= 0= 4) , 3) Supongamos que = { |1 |2 === |q} a 0 = P l=1 dl |l con algún dl 6= 0= Sea dg 5 {d1 === dq} tal que dg 6= 0= Ası́, tenemos que dg |g = q X l=1 l6=g dl |l esto implica que  |g = q X l=1 l6=g µ 1 dg ¶ dl |l 5 L ( { |g}) = Por lo tanto, es o= g= Ejemplo 26 En I [{] V = {1 { {2 === {q ===} no es o= g= Demostración. Sea W V W finito , W = {{l1 {l2 === {ln } = Si {o 5 L ¡ W © {o ª¢ entonces {o = l1 {l1 + l2 {l2 + === + ln {ln con ln 6= o Q . Por lo tanto V no es o= g=
34 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Definición 26 V I Y es o= l= (linealmente independiente) si V no es o= g= Ejemplo 27 I Y es o= l= Pues si fuera linealmente dependiente,  { 5 tal que  { 5 L ( { {}) Q = Observación 15 Son equivalentes para  { 5I Y : 1. { {} es o= l= 2.  { 6=  0= Demostración. { {} es o= l= / ¬ ( } 5 { {} tal que  } 5 L ({ {} { }})) / ; } 5 { {}  } 65 L ({ {} { }}) /  { 65 L ({ {} { {}) = L () = n  0 o /  { 6=  0= Proposición 6 V W Y V o= g= , W es o= g= Demostración. V o= g= ,  { 5 V W tal que  { 5 L (V { {}) = Pero L (V { {}) L (W { {}) = ,  { 5 L (W { {}) y W es o= g= Corolario 3  0 5 V , n  0 o V , V es o= g= Corolario 4 V W Y W o= l= , V es o= l= Teorema 14 Son equivalentes para V I Y : 1. V es o= l= 2. Todo subconjunto finito W de V es o= l=
2.4. BASES 35 Demostración. 1) , 2) Por el Corolario 4. 2) , 1) Por contrapuesta. Si V es o= g= entonces  { 5 V tal que  { 5 L (V { {}) = S V{ {} finito L ( ) ,  { 5 L (W) para algún subconjunto finito W de V { {}. ,  { 5 L (W) = L ([W ^ { {}] { {}), por lo que W ^ { {} es o= g= En resumen: si V es o= g= entonces algún subconjunto finito W de V es o= g= Corolario 5 Son equivalentes para I Y : 1. es o= l= 2. ; { 5 L ( { {}) $ L () = 3. ; tal que es finito, es o= l= 4. ; tal que es finito,  0 = P  |lM dl |l , dl = 0 ;l= 2.4. Bases Definición 27 Decimos que I Y genera I Y , si L () = Y . También se dice que es un conjunto generador de I Y= Observación 16 Dado que Y 6 I Y y L (Y ) = Y , entonces Y es un conjunto generador de Y . Ası́, todo espacio vectorial tiene conjuntos generadores. Definición 28 I Y es una base para I Y si es o= l= y genera I Y= Ejemplo 28 {1 { {2 ==={q ===} es una base para I [{] = Notación 2 1. J (I Y ) = {[ Y | [ es o= l=} 2. G (I Y ) = {[ Y | [ genera I Y } = Teorema 15 Son equivalentes para I Y : 1. es base de Y= 2. es un elemento máximo en J (Y ) = 3. es un elemento mı́nimo en G (Y ) =
36 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Demostración. 1) , 2) Es claro que 5 J (I Y ) basta demostrar que es máximo. Supóngase que $ 0 entonces  { 5 0 = Dado que L () =I Y entonces ^ { {} es o= g= ( { 5I Y =L() =L([ ^ { {}] { {}) = Pero ^ { {} 0 , por lo que 0 @ 5 J (I Y ) = 2) , 3) Dado que 5 J (I Y ), basta demostrar que L () =I Y= Sea  { 5 Y es claro que si 1. si  { 5 entonces  { 5 L () = 2. si  { 65 entonces ^ { {} es linealmente dependiente, y entonces hay alguna combinación lineal  0 = 1 {1 + === + q {q + q+1 { con  {l 5 y con algún coeficiente distinto de 0= Notemos que q+1 6= 0 pues en caso contrario tendrı́amos que es o= g= Por lo tanto  { = 1 q+1 [1 {1 === q {q] es decir,  { 5 L () = Concluı́mos que 5 G (I Y ) = 3) , 1) Basta demostrar que es o= l= ; { 5 L ( { {}) ¡I Y =L() = , es o= l= Definición 29 I Y es finitamente generado si [ Y [ finito tal que [ 5 G (Y ) = Observación 17 [ 5 G (Y ) / el único subespacio de I Y que incluye a [ es Y= Teorema 16 I Y finitamente generado por [ , [ tal que es base para Y= Demostración. 1. Si [ es mı́nimo en G (I Y ) tomemos = [= 2. Si [ no es mı́nimo en G (I Y ) entonces [1 $ [ tal que [1 5 G (Y ) = Entonces [1 ya es una base de I Y en cuyo caso tomamos = [1 o bien [2 $ [1 tal que [2 5 G (Y ) = Ası́, mientras podamos, podemos repetir el argumento para obtener una sucesión de subconjuntos generadores de Y : [ % [1 % === Notemos que este proceso termina, pues si consideramos la sucesión de las cardina- lidades de los conjuntos de arriba, obtenemos: |[| ¢ |[1| ¢ |[2| === que termina, por el principio del buen orden. Termina precisamente cuando hemos encontrado un generador mı́nimo [n=
2.4. BASES 37 Teorema 17 Sea I Y finitamente generado, J 5 G (I Y ) L 5 J (I Y ) = Entonces |L| 6 |J| = Demostración. Podemos suponer que L 6 J (ya que si L J el resultado es inmediato). Sea J = { |1  |2 === |p} con L _ J = { |1 === |n} n ? p (esto se puede conseguir, reenumerando los vectores, si hiciera falta). Sea  {1 5 L(L _ J) { {1  |1 |2 ===  |p} es o=g= (porque  {1 5 L({ |1  |2 === |p})). Ahora, como { {1  |1 |2 === |p} L, se tiene que m A n tal que  |m 5 L({ {1 === |m31}) y ası́ es claro que L ({ {1  |1 |2 ===  |p} { |m}) = L ({ |1 |2 === |p}) =I Y= Lo que se ha hecho es tomar un elemento de JL ( |m) y cambiarlo por un ele- mento  {1 de LJ, de tal manera que se obtiene un nuevo conjunto generador (J1 = [J { |m}] ^ { {1}). De esta manera podemos repetir el argumento, con J1 e L= Notemos ahora que (L _ J1) = { {1  |1 |2 ===  |n} tiene un elemento más que (L _ J):  {1= Si tuviéramos que repetir el argumento una vez más, obtendrı́amos un nuevo conjunto generador J2, tal que |(L _ J1)| ? |(L _ J2)| === 6 |J| esto implica que el número de veces que se puede aplicar el argumento es finito, y debe ser claro que el proceso termina hasta que L Jn es decir hasta que L = L _ Jn por lo que |L| 6 |Jn| = |J| = En R3 J = {(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)} 5 G (R3 ) = Por lo tanto un conjunto linealmente independiente en R3 tiene a lo más 3 elementos. Es decir [ R3 |[| A 3 , [ es o=g= 1. {(1 0 0 1) (0 1 0 2) (0 0 1 3) (0 0 1 4) (1 2 3 4)} genera R4 y 2. {(1 0 0 1) (0 1 0 2) (0 0 1 0} es o= l= en R4 =
38 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Demostración. 1. Para ver que el primer conjunto genera R4 resolvamos { (1 0 0 1) + | (0 1 0 2) + } (0 0 1 3) + v (0 0 1 4) + w (1 2 3 4) = = (d e f g) que como sistema de ecuaciones tiene la matriz aumentada 3 E E C 1 0 0 0 1 d 0 1 0 0 2 e 0 0 1 1 3 f 1 2 3 4 4 g 4 F F D con forma escalonada y reducida: 3 E E C 1 0 0 0 1 d 0 1 0 0 2 e 0 0 1 0 13 4f g + d + 2e 0 0 0 1 10 g d 2e 3f 4 F F D = 2. Veamos ahora que {(1 0 0 1) (0 1 0 2) (0 0 1 0} es o= l= en R4 : Una manera de verlo es notando que en el conjunto anterior, ningún vector es combinación lineal de los anteriores. Otra, es resolviendo { (1 0 0 1) + | (0 1 0 2) + } (0 0 1 0) = (0 0 0 0) : 3 E E C 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 2 0 0 4 F F D cuya forma escalonada y reducida es 3 E E C 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 4 F F D es decir, { = 0 | = 0 } = 0= Ahora sean L = ; A A ? A A = 3 E E C 1 0 0 1 4 F F D 3 E E C 0 1 0 2 4 F F D 3 E E C 0 0 1 0 4 F F D A A @ A A J = ; A A ? A A = 3 E E C 1 0 0 1 4 F F D 3 E E C 0 1 0 2 4 F F D 3 E E C 0 0 1 3 4 F F D 3 E E C 0 0 1 4 4 F F D 3 E E C 1 2 3 4 4 F F D A A @ A A
2.4. BASES 39 entonces L _ J = ; A A ? A A = 3 E E C 1 0 0 1 4 F F D 3 E E C 0 1 0 2 4 F F D A A @ A A = Como J genera Y , entonces ; A A ? A A = 3 E E C 0 0 1 0 4 F F D A A @ A A ^ J es o= g= por lo que algún vector en la lista 3 E E C 0 0 1 0 4 F F D 3 E E C 1 0 0 1 4 F F D 3 E E C 0 1 0 2 4 F F D 3 E E C 0 0 1 3 4 F F D 3 E E C 0 0 1 4 4 F F D 3 E E C 1 2 3 4 4 F F D es combinación lineal de los anteriores. Es fácil ver que éste no es el primero, ni el segundo, ni el tercero. El cuarto vector no puede ser f=o= de los anteriores, pues tendrı́a que ser múltiplo del primero (observar las dos primeras coordenadas). El quinto vector es f=o= del primero y del cuarto vectores de la lista: 3 E E C 0 0 1 0 4 F F D 3 E E C 1 0 0 1 4 F F D 3 E E C 0 1 0 2 4 F F D 3 E E C 0 0 1 3 4 F F D 3 E E C 0 0 1 4 4 F F D = Resolvamos { 3 E E C 0 0 1 0 4 F F D + | 3 E E C 1 0 0 1 4 F F D + } 3 E E C 0 1 0 2 4 F F D + w 3 E E C 0 0 1 3 4 F F D = 3 E E C 0 0 1 4 4 F F D =
40 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Cuya matriz aumentada es: 3 E E C 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 2 3 4 4 F F D, con forma escalonada y reducida: 3 E E C 1 0 0 0 1 3 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 4 3 4 F F D = Por lo que 3 E E C 0 0 1 4 4 F F D = 1@3 3 E E C 0 0 1 0 4 F F D + 4@3 3 E E C 0 0 1 3 4 F F D = Ahora, podemos quitar 3 E E C 0 0 1 4 4 F F D del conjunto ; A A ? A A = 3 E E C 0 0 1 0 4 F F D 3 E E C 1 0 0 1 4 F F D 3 E E C 0 1 0 2 4 F F D 3 E E C 0 0 1 3 4 F F D 3 E E C 0 0 1 4 4 F F D 3 E E C 1 2 3 4 4 F F D A A @ A A obteniendo: ; A A ? A A = 3 E E C 0 0 1 0 4 F F D 3 E E C 1 0 0 1 4 F F D 3 E E C 0 1 0 2 4 F F D 3 E E C 0 0 1 3 4 F F D 3 E E C 1 2 3 4 4 F F D A A @ A A que sigue generando R4 y que incluye al conjunto L= Teorema 18 Si I Y es finitamente generado, entonces todas las bases de Y son finitas y tienen el mismo número de elementos. Demostración. Sea Y un subconjunto generador finito, y 0 dos bases de Y= Por el teorema anterior, || |0 | 6 || = Ahora, 5 J (Y ) 0 5 G (Y ) , || 6 | ´| = Simétricamente, tenemos que | ´| 6 || =
2.4. BASES 41 Definición 30 Sea I Y finitamente generado y una base de I Y= La dimensión de I Y es || = Teorema 19 Son equivalentes para I Y con dim(Y ) = q : 1. es base. 2. 5 J (Y ) a || = q= 3. 5 G (Y ) a || = q= 4. = { {1 === {q} a ; { !1 === q 5 I tal que  { = 1 {1 + === + q {q= Demostración. 1) , 2) Es claro, por el Teorema 18. 2) , 1) Basta demostrar que J (Y ) es máximo. Supóngase que $ 0 . Como la dim(I Y ) es q esto significa que hay un conjunto generador con q elementos (una base). Por lo tanto un conjunto con más de q elementos como 0 debe ser o= g= Por lo tanto, $ 0 , 0 es o= g= 1) , 3) Es inmediato del Teorema 18. 3) , 1) Hay que ver que es mı́nimo en G (Y ) = Si 0 $ entonces @ 5 G (Y ) ya que 0 5 G (Y ) 5 J (Y ) , || 6 |0 | ? || = 1) , 4) Sea  y 5I Y entonces  y = 1 {1 + === + q {q con l 5 I= Si además,  y = 1 {1 + === + q {q entonces  0 =  y  y = 1 {1 + === + q {q (1 {1 + === + q {q) = = (1 1) {1 + === + (q q) {q y como es o= l=, tenemos que 0 = (1 1) = === = (q q), es decir que 1 = 1 === q = q= 4) , 1) Es claro que genera I Y , ahora, si  0 = q P l=1 l {l entonces, dado que también se tiene que  0 = q P l=1 0 ·  {l la hipótesis de unicidad implica que 0 = 1 = === = q, por lo tanto es o= l=
42 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Ejemplo 29 En I [{] Sq (I) = {i 5 I [{] | grad (i) 6 0}^{0 ({)} es un subespacio de I [{] y = {1 { {2 === {q } es una base de Sq (I) = Escojamos ahora q + 1 elementos distintos en I d0 d1 === dq . Definamos el polinomio il = q Q m=0 m6=l ({ dm) q Q m=0 m6=l (dl dm) Notemos que il (du) = ½ 1 si u = l 0 si u 6= l = Si q P l=0 lil = 0 ({) 5 Sq (I) entonces evaluando en dltenemos que l = 0 y esto pasa para cada l 5 {0 === q} = Por lo tanto {i0 === iq} es o= l= y como |{i0 === iq}| = q+1 tenemos que {i0 === iq} es una base para Sq (I) = Ası́, si queremos un polinomio en Rq cuya gráfica en R2 pase por los q + 1 puntos del plano (d0 g0) === (dq gq) es fácil ver que j ({) = g0i0 + === + gqiq, cumple lo requerido. Ejemplo 30 Construyamos un polinomio v ({) cuya gráfica pase por los puntos (3 3) (2 1) (1 0) (2 4) (5 1) : Denotemos d0 = 3 d1 = 2 d2 = 1 d3 = 2 d4 = 5 il = q Q m=0 m6=l ({ dm) q Q m=0 m6=l (dl dm) i0 = ({ + 2) ({ + 1) ({ 2) ({ 5) (3 + 2) (3 + 1) (3 2) (3 5) = 1 80 {4 1 20 {3 9 80 {2 + 1 5 { + 1 4
2.4. BASES 43 i1 = ({ + 3) ({ + 1) ({ 2) ({ 5) (2 + 3) (2 + 1) (2 2) (2 5) = 1 28 {4 + 3 28 {3 + 15 28 {2 19 28 { 15 14 i2 = ({ + 3) ({ + 2) ({ 2) ({ 5) (1 + 3) (1 + 2) (1 2) (1 5) = 1 36 {4 1 18 {3 19 36 {2 + 2 9 { + 5 3 i3 = ({ + 3) ({ + 2) ({ + 1) ({ 5) (2 + 3) (2 + 2) (2 + 1) (2 5) = 1 180 {4 1 180 {3 + 19 180 {2 + 49 180 { + 1 6 i4 = ({ + 3) ({ + 2) ({ + 1) ({ 2) (5 + 3) (5 + 2) (5 + 1) (5 2) = 1 1008 {4 + 1 252 {3 1 1008 {2 1 63 { 1 84 = Ahora, 3i0 + (1) i1 + 0i2 + 2i3 + 5i4 = = 3 µ 1 80 {4 1 20 {3 9 80 {2 + 1 5 { + 1 4 ¶ + + (1) µ 1 28 {4 + 3 28 {3 + 15 28 {2 19 28 { 15 14 ¶ + +4 µ 1 180 {4 1 180 {3 + 19 180 {2 + 49 180 { + 1 6 ¶ 1 µ 1 1008 {4 + 1 252 {3 1 1008 {2 1 63 { 1 84 ¶ = v ({) = 1 20 {4 17 60 {3 9 20 {2 + 143 60 { + 5 2 = -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 4 x y v ({)
44 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Teorema 20 Si es o= l= en un espacio vectorial I Y de dimensión q, entonces I Y base tal que = Demostración. Sea 0 una base de I Y= Como 0 genera I Y y es o= l=, entonces || 6 |0 | = Sea = { |1 ===  |p} y 0 = { {1 === {q} y reordenemos los elementos de y 0 de manera que _ 0 = { |1 =  {1 ===  |n =  {n} = Entonces n 6 p 6 q= 1. Si n = p entonces _ 0 = , por lo que 0 y no hay nada que demostrar. 2. Si n ? p, entonces { |n+1 {1 === {q} es o= g= Entonces existe un vector que es combinación lineal de los anteriores (y no es  |n+1 porque es 6=  0, por ser parte de un conjunto o= l=) Entonces l 5 {n === q} tal que  {l 5 L ({ |n+1} ^ { {m | m ? l}) (l A n, porque si l 6 n entonces { |n+1 {1 === {l} que es o= l= Q )= , L ({ |n+1} ^ { {m | m 5 {1 === q} { {l}}) = L ({ |n+1 {1 === {q}) = L ({ {1 === {q}) =I Y= Entonces { |n+1}^{ {m | m 5 {1 === q} { {l}} es un conjunto generador de I Y con q elementos, por lo que es una base de I Y= Tomemos 0 ´= { |n+1} ^{ {m | m 5 {1 === q} { {l}} y repitamos el argumento, con y 0 ´ , notando que ahora, _ 0 ´= { |1 === |n |n+1} Con un elemento más en la intersección. El argumento se puede repetir hasta obtener una base tal que _ = { |1 === |n |n+1 === |p} = = Observación 18 Si I Y es un espacio vectorial de dimensión q y Z 6 Y entonces I Z tiene base y dim(Z) 6 dim (Y ) = Demostración. Todo subconjunto de Z que sea o= l= también es o= l= en Y= Un subconjunto linealmente independiente de I Y tiene a lo más q elementos. Tomemos un subconjunto V1 de Z o= l= (si hay: por ejemplo ). Si es máximo o= l= entonces V1 ya es un base de Z= Si no lo es, es porque hay un conjunto V2 que contiene propiamente a V1 (y por lo tanto tiene más elementos). Podemos repetir el argumento mientras no encontremos un conjunto o= l= máximo. Ası́ obtenemos V1 ¡ V2 ¡ === ¡ Vn sucesión de conjuntos o= l= en donde cada conjunto tiene por lo menos un elemento más que el anterior. Por lo tanto q |Vn| n 1. Con esto vemos que el proceso termina, y termina cuando hemos encontrado una base de Z=
2.4. BASES 45 Teorema 21 Sea I Y un espacio vectorial de dimensión q. Entonces Z1 Z2 6I Y , dim (Z1 + Z2) = dim (Z1) + dim (Z2) dim (Z1 _ Z2) = Demostración. Sea 1 una base de Z1 _ Z2. Como 1 Z1 es o= l=, entonces 1 Z1 tal que 1 ^ 1 es una base de Z1= De la misma manera, 2 Z2 tal que 1 ^ 2 es una base de Z2= (Notar que 2 _ 1 = pues un elemento  z en 2 _ 1 pertenecerı́a a L (1), con lo que 1 ^ 1 serı́a o= g= Q ). Nuestro objetivo es demostrar que 1 ^ 1 ^ 2 =: es una base para Z1 + Z2. 1. 1 ^ 1 ^ 2 genera Z1 + Z2 : L (1 ^ 1 ^ 2) = L ((1 ^ 1) ^ (1 ^ 2)) = = L (1 ^ 1) + L (1 ^ 2) = Z1 + Z2= 2. 1 ^ 1 ^ 2 es linealmente independiente: Si 1 ^ 1 ^ 2 fuera o= g= entonces habrı́a en 1 ^ 1 ^ 2 un vector que depende linealmente de los anteriores (escrı́banse primero los elementos de 1 después los de 1 y por último los de 2). Como 1 ^ 1 es o= l=, por ser una base de Z1 entonces habrı́a un elemento  {m de 2 que es f=o= de los elementos anteriores. Digamos que  {m =  | +  } + X l l?m {l,  | 5 L (1)  } 5 L (1) entonces  { =:  {m X l l?m {l =  | +  },  | 5 L (1)  } 5 L (1) entonces  { 5 L (2) _ L (1 ^ 1) Z1 _ Z2= Como 1 es una base de Z1 _ Z2, entonces  { 5 L (1). Pero entonces 1 ^ { {} es o= g= pero por otra parte  {m X l l?m {l = X o fo  zo,  zo 5 1 ,  {m = X l l?m {l + X o fo  zo , 1 ^ { {1 === {m} es o=g= pero también es un subconjunto de 1 ^ 2 que es o= l= por ser una base de Z2 Q = Esta contradicción muestra que 1 ^ 1 ^ 2 es o= l=
46 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Por último, dim (Z1 + Z2) = ¯ ¯ ¯1 ^ 1 ^ 2 ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯1 ^ 1 ¯ ¯ ¯ + |2| + |1| |1| = = dim (Z1) + dim (Z2) dim (Z1 _ Z2) = 2.5. Conjuntos parcialmente ordenados Definición 31 Un conjunto parcialmente ordenado (COPO) es una pareja (V 6) donde V es un conjunto y 6 es una relación de orden en V= Recordemos que una relación en un conjunto V es de orden si es reflexiva, simétrica y transitiva. Definición 32 Sea (V 6) un COPO, un elemento { 5 V es máximo si ¬ (| 5 V tal que [{ 6 |] a [{ 6= |]) = Es decir, { es máximo cuando no hay elementos mayores que {= Otra manera de decir que { es máximo en V es: { 6 | | 5 V , { = |= Definición 33 Un COPO es una cadena (o conjunto totalmente ordenado) si ;{ | 5 V { 6 | b | 6 {= Ejemplo 31 (N |) no es una cadena: 2 6| 3 a 3 6| 2= Definición 34 Sea (V 6) un COPO, 1. { 5 V es el elemento mayor, si v 6 { ;v 5 V= Denotaremos may(V) al mayor elemento de V, cuando lo haya.
2.5. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS 47 Figura 2.1: 2. { 5 V es el elemento menor, si { 6 v ;v 5 V= Observación 19 Si (V 6) es un COPO y W V entonces W × W V × V= Como 6 es una relación en V (6 V × V “la relación 6 es un subconjunto de V × V), entonces [6 _ (W × W)] W × W Denotemos 6 _ (W × W) por 6W = La relación 6W es una relación de orden en W= V × V W W × W - lqf 6 lqf - lqf 6 lqf Ejemplo 32 Por ejemplo (N |) es un COPO, y {1 2 3 === 10} N. Observación 20 No se deben confundir los conceptos de máximo y mayor. En el ejemplo anterior, no hay elemento mayor y hay 5 elementos máximos. Sea (V 6)un COPO y sea D V= Una cota superior para D en V es un elemento x 5 V tal que d 6 x ;d 5 D= Ejemplo 33 Una cota superior para {1 2 === 10} en (N |) es 7560=
48 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES 945 8 7560 0 1080 7 7560 0 840 9 7560 0 = Definición 35 Sea (V 6)un COPO y sea D V= Una cota inferior para D en V es un elemento o 5 V tal que o 6 d ;d 5 D= Notación 3 Sea (V 6)un COPO y sea D V= Denotaremos por D al conjunto de cotas superiores para D, denotaremos por D el conjunto de cotas inferiores de A. Definición 36 (V 6)un COPO y sea D V= 1. Si existe un menor elemento en el conjunto de cotas superiores de D lo lla- maremos el supremo de D= En sı́mbolos: sup (D) =: men ¡ D ¢ = 2. Si existe un menor elemento en el conjunto de cotas inferiores de D lo lla- maremos el ı́nfimo de D= En sı́mbolos: ı́nf (D) =: may ¡ D ¢ = Ejemplo 34 En (N |) el conjunto de cotas superiores para dos números q p es el conjunto de sus múltiplos comunes, y el menor de los múltiplos comunes es su mı́nimo común múltiplo. Es decir sup {q p} = men {e | q divide a e p divide a e } = p=f=p= {q p} = Ejemplo 35 Un subconjunto D de R con el orden usual, tiene supremo si está aco- tado por arriba (es decir, si tiene cota superior). Esto se conoce como Teorema del Supremo. Ejemplo 36 Sea (€ ([) ) el COPO de los subconjuntos de un conjunto [, con el orden parcial dado por la inclusión. Entonces: sup {D E} = men { | D E } = D ^ E= ı́nf {D E} = may { | D E} = D _ E=
2.5. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS 49 Figura 2.2: Ejemplo 37 En el COPO ({1 2 3 === 10} |), 1. sup {2 3} = 6= 2. inf{6 9} = 3= 3. {4 6} = {2 1} = 4. {3 5} = = Por lo que {3 5} no tiene supremo. Observación 21 El supremo de un conjunto D en un COPO (V 6) si existe, es único. Demostración. Sean x y y dos supremos para D. Entonces x y 5 D = Como x es el menor elemento de D y y 5 D entonces x 6 y. Por simetrı́a, y 6 x= Ası́ que x = y= Notación 4 Escribiremos d ? e ó d ¡ e para indicar que d 6 e a d 6= e= Observación 22 Sea D V (V 6) un COPO. Son equivalentes para x 5 V : x no es el supremo de D= x no es cota superior de D b (x es cota superior de D, pero no es la menor). (d 5 D tal que x ? d) b (y 5 D tal que y ? x)Las definiciones anteriores nos servirán para demostrar resultados para espacios vectoriales no necesaria- mente finitamente generados. Por ejemplo necesitaremos demostrar que todo espacio vectorial tiene base. En la sección siguiente introduciremos (como axio- ma) el Lema de Zorn.
50 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Figura 2.3: 2.6. Lema de Zorn Axioma 1 (Lema de Zorn) Sea (V 6) un COPO no vacı́o, si toda cadena en V tiene una cota superior en V, entonces D contiene elementos máximos. Ejemplo 38 Sea [ un conjunto y consideremos el COPO (€ ([) ) = Si {}M[ es una cadena en € ([) entonces ^ {}M[ es una cota superior para la cadena y pertenece a € ([) = El Lema de Zorn nos dice que € ([) tiene un elemento máximo y es claro que éste es [= Ejemplo 39 Un ideal de Z es un subconjunto cerrado bajo la resta, entonces un ideal de Zresulta ser un subgrupo aditivo y por lo tanto es de la forma qZ, q 5 Z. Defi- namos U (Z) = {D $ Z | D es un ideal propio} = De nuevo es claro que (U (Z) ) es un COPO (por ser un subconjunto de € (Z)). U (Z) 6= , y si {D}M[ es una cadena en U (Z), entonces ^ {D}M[ es una cota superior para la cadena (hace falta ver que es un ideal). El Lema de Zorn nos garantiza la existencia de ideales máximos propios. De hecho, son de la forma sZ, con s un número primo. Teorema 22 Todo espacio vectorial I Y tiene base. Demostración. (J (Y ) ) es un COPO, donde J (Y ) = {L Y | L es o= l=} =
2.6. LEMA DE ZORN 51 Además J (Y ) 6= pues 5 J (Y ) = Tomemos {L}M[ una cadena en J (Y ) = Es claro que ^ {L}M[ es una cota superior para la cadena, veamos que sigue perteneciendo a J (Y ) = Sea I finito ^ {L}M[ entonces I = { {1 {2 === {n} con  {l 5 Ll digamos. Como {L}M[ es una cadena, entonces {Ll }lM{1===n} también lo es y entonces uno de los elementos de esta familia es el mayor. Entonces ^ {Ll }lM{1===n} = Lm por lo que I finito Lm que es o= l=, por hipótesis. Luego I es o= l= Como todo subconjunto finito de ^ {L}M[ es o= l=, entonces ^ {Ll }lM{1===n} 5 J (Y ) = El Lema de Zorn nos garantiza la existencia de un elemento máximo en J (Y ), pero un elemento ası́, es una base. Definición 37 dim(I Y ) = || /$ base I Y= Más adelante demostraremos que la anterior definición es buena, es decir que cualesquiera dos bases de un espacio vectorial I Y tienen la misma cardinalidad. Esto ya lo sabemos para espacios finitamente generados. Pero hay espacios vectoriales que no son finitamente generados, como el espacio de los polinomios con coeficientes reales en donde hay un conjunto linealmente independiente infinito: © 1 { {2 === ª ver el Corolario 5. Teorema 23 Todo subconjunto L o= l= en un espacio vectorial I Y está incluı́do en una base de I Y= Demostración. Apliquemos el Lema de Zorn al COPO T = ({M Y | L M a M es o= l=} ) = La demostración es semejante a la del Teorema 22. Lo que obtenemos es un conjunto E máximo en T = Resta demostrar que además de que E es máximo en T también es máximo en J (Y ) = Si E $ E´ , entonces E´ no pertenece a T . Como incluye a L, lo que sucede es que no es o= l= Por lo tanto E es o= l= máximo.
52 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES 2.7. Dimensión Teorema 24 Z 6I Y , Z´ 6 Y tal que Y = Z L Z´. Demostración. Sea /$ edvh Z. Como hemos visto, un conjunto o= l= se puede extender a una base de I Y . Por lo tanto /$ edvh Y con . Sean 0 = Z´= L (0 ) = Entonces: 1. I Y = L () = L ³ ^ 0 ´ = L () + L (0 ) = Z + Z´ = 2. Si  { 5 Z _ Z´entonces  { 5 L ()  { 5 L (0 ) = Digamos que  { = X l xl ,  xl 5  { = X m ym ,  ym 5 0 = Entonces  {  { =  0 = P l xl ( P m ym) que es combinación lineal del conjunto o= l= = Por lo tanto, todos los coeficientes son 0= En especial,  { =  0= El siguiente Teorema es de gran importancia, pues nos dice que cualesquiera dos base de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad, con lo que se puede definir la dimensión de un espacio vectorial como la cardinalidad de una base. Teorema 25 Sean D E dos bases para I Y , entonces |D| = |E| = Demostración. Haremos uso del Lema de Zorn. Sea T = n (L{ I{) | L{ D I{ : L{ À$ E h (E [I{ (L{)]) ^ L{ i /$ o=l= Y o definimos la relación 6 en T por: (L{ I{) 6 (L| I|) si L{ L| a I||L{ = I{=
2.7. DIMENSIÓN 53 Vale la pena hacer énfasis en todo lo que se está pidiendo de T : Para cada pareja (L{ I{) se está pidiendo que (E [I{ (L{)]) sea ajeno con L{ y que su unión sea linealmente independiente en Y . Nótese que a E se le quita la imagen de L{ bajo I{ y se reemplaza con L{. 1. Veamos primero que (T 6) es un COPO. a. (L{ I{) 6 (L{ I{) ya que L{ L{ a I{|L{ = I{= b. [(L{ I{) 6 (L| I|)] a [(L| I|) 6 (L{ I{)] , L{ L|, L| L{= Por lo que L{ = L|= Además I{|L| = I|= Pero también I{|L| = I{|L{ = I{= c. [(L{ I{) 6 (L| I|)] a [(L| I|) 6 (L} I})] , L{ L| L} y L} I} AA$ E inc. % = %I| L| además L| I| AA$ E inc. % = %I{ L{
54 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Entonces I}|L{ = ¡ I}|L| ¢ |L{ = (I|)|L{ = I{= Por lo que L{ L} y I}|L{ = I{, es decir que (I{ L{) 6 (I} L}) =T 6= : ( ) 5 Ṫ : AA$ E y E () ^ es o= l en I Y= 2. Sea {(L{ I{)}{M[ una cadena en T= Definimos I : ^ {L{}{M[ $ E por  y 7$ I| ( y) si  y 5 L| = a. Tenemos que ver que esta función está bien definida: Si  y 5 L| a  y 5 L} dado que (L| I|) (L} I}) forman parte de una cadena, entonces (L| I|) 6 (L} I}) o (L} I}) 6 (L| I|) = Sin perder generalidad supongamos que (L| I|) 6 (L} I}) = Ası́ tenemos que I} ( y) = I}|L| ( y) = I| ( y) = b. Veamos ahora que I es inyectiva: si  y 6=  z  y  z 5 ^ {L{}{M[, entonces  y 5 L|  z 5 L} | } 5 [. Podemos suponer sin perder generalidad que (L| I|) 6 (L} I}) por lo tanto  y  z 5 L}= Además I ( y) = I| ( y) = I} ( y) 6= I} ( z) = I ( y) (recordar que I} es inyectiva). Por lo tanto I es inyectiva. c. Veamos ahora que · EI µ ^ {M[ {L{} ¶¸ ^ µ ^ {M[ {L{} ¶ es o= l en I Y= · EI µ ^ {M[ {L{} ¶¸ ^ µ ^ {M[ {L{} ¶ = · E µ ^ {M[ {I (L{)} ¶¸ ^ µ ^ {M[ {L{} ¶ = ·µ _ {M[ {EI (L{)} ¶¸ ^ µ ^ {M[ {L{} ¶ = Ası́, si { y1 === yq} _ {M[ {EI(L{)} y { z1 ===  zp} ^ {M[ {L{}, entonces { z1 ===  zp} L|, p. a. | 5 [ (por ser {(L{ I{)}{M[ una cadena) y { y1 === yq} EI (L|). Entonces { y1 === yq  z1 ===  zp} EI (L|) ^ L| que es o= l= Hemos demostrado que cualquier subconjunto finito de · EI µ ^ {M[ {L{} ¶¸ ^ µ ^ {M[ {L{} ¶ es o= l= d. Por último, veamos que · EI µ ^ {M[ {L{} ¶¸ µ ^ {M[ {L{} ¶ son conjuntos ajenos: Supongamos que hay  y 5 · EI µ ^ {M[ {L{} ¶¸ _ µ ^ {M[ {L{} ¶ . Entonces  y 5 · EI µ ^ {M[ {L{} ¶¸ = ·µ _ {M[ {EI(L{)} ¶¸ y  y 5 L{ p. a. { 5 [= Entonces  y 5 EI (L{) _ L{ p. a. { 5 [ Q =
2.7. DIMENSIÓN 55 e. Con todo lo anterior, hemos demostrado que ¡ ^ {L{}{M[ I ¢ 5 T. Además es claro que es cota superior para la cadena {(L{ I{M[)}{M[ = 3. Por el Lema de Zorn, T tiene algún elemento máximo (P j) = En particular P A j A$ E y Ej (P) ^ P /$ o= l Y= Supongamos que ( y 5 Ej (P)) a (DP 6= ) = Entonces (E (j (P) ^ { y})) ^ P /$ o= l Y (2.1) además L ³ (E (j (P) ^ { y})) ^ P ´ 6= Y (pues de lo contrario  y 5 L ³ E (j (P) ^ { y}) ^ P ´ y ası́ E (j (P)) ^ P serı́a o= g= Q ) entonces DP * L ³ (E (j (P) ^ { y})) ^ P ´ = (en caso contrario, D = (DP) ^ P L ³ (E (j (P) ^ { y})) ^ P ´ por lo que Y = L (D) L ³ (E (j (P) ^ { y})) ^ P ´ Q =) Como DP * L ³ (E (j (P) ^ { y})) ^ P ´  z 5 DP tal que  z @ 5 L ³³ E (j (P) ^ { y}) ^ P ´´ = (2.2) Definamos P̄ = P ^ { z} y j̄ por j̄ : P̄ E = j : P E j( z) =  y - lq|hfw= - lq|hfw= 6 lqf= 6 lqf= Tenemos que ¡ P̄ j̄ ¢ 5 T : E ¡ j̄ ¡ P̄ ¢¢ ^ P̄ = [E (j (P) ^ { y})] ^ (P ^ { z}) que es o= l= por 2.1 y 2.2. Además [E (j (P) ^ { y})] y P ^ { z} son ajenos (obsérvese 2.2). Pero entonces (P j) ¡ ¡ P̄ j̄ ¢ Q = La contradicción viene de la hipótesis ( y 5 Ej (P)) a (DP 6= ) =
56 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Por lo tanto Ej (P) = b DP = = 4. Si DP = entonces D P D= Por lo que D = P y h (Ej (D)) ^ D i /$ Y= o=l Pero como D es o= l= máximo, entonces Ej (D) = por lo que E j (D) E= Por lo tanto j es una biyección entre D y E= Por lo tanto |D| = |E| = Si Ej (P) = entonces j es suprayectiva, por lo que |D| |P| |E| = En cualquier caso, |D| |E| = Por simetrı́a, |E| |D| = Por el Teorema de Cantor- Schroeder-Bernstein, |D| = |E| = Teorema 26 Si |D| 6 |E| y |E| 6 |D|, entonces |D| = |E|. Demostración. ([2]). Sean D i AA$ E y D AA j $ E funciones inyectivas. Tomemos e1 5 E= Si e1 5 Im (i) entonces !d1 5 D tal que i (d1) = e1= Si d1 5 Im (j) entonces !e2 5 E tal que d1 = j (e2) continuamos mientras sea posible. Obtenemos una sucesión e1 i #| d1 j #| e2 i #| d2 i #| ==== Tenemos tres posibilidades: La sucesión anterior termina en una dn porque dn @ 5 Im (j) = (2.3) La sucesión anterior termina en una em porque em @ 5 Im (i) = (2.4) La sucesión anterior no termina. (2.5) Empezando con una d1 en D podemos repetir el anterior procedimiento, obteniendo una sucesión d1 j #| e1 i #| d2 j #| e2 i #| ==== De nuevo, uno tiene las tres posibilidades mencionadas arriba. Definamos ED =: {e1 5 E | (2.3)}
2.7. DIMENSIÓN 57 ED =: {e1 5 E | (2.4)} E =: {e1 5 E | (2.5)} y definamos análogamente, DD DE D= Ahora, observemos que DD i|DD AA³ ED es una biyección: Si la sucesión d1 j #| e1 i #| d2 j #| e2 i #| ==== i #| dn terminó, entonces la sucesión i (d1) i #| d1 j #| e1 i #| d2 j #| e2 i #| ==== i #| dn también terminó. Por lo tanto la correspondencia d1 7$ i (d1) va de DD a ED= Es claro que todos los elementos de ED provienen de un elemento de DD= (Los elementos de E que no están en la imagen de i pertenecen a EE). De la misma manera, EE j|EE AA³ DE es una biyección, y también D i|D AA³ E es una biyección. Por lo tanto |DD| = |ED| |EE| = |DE| y |D| = |E|. Por lo tanto |D| = ¯ ¯ ¯DD ^ DE ^ D ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ED ^ EE ^ E ¯ ¯ ¯ = |E| =
58 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Ejercicios Ejercicio 25 Demostrar que en el ejemplo 11, ¡ I[ +̃ 0̂ ¢ es un grupo conmutativo. Ejercicio 26 Mostrar que ; 5 I ;D E 5 Pq×p (I), se tiene que (D + E)w = Dw + Ew = Ejercicio 27 Si I Y es un espacio vectorial y  y  z 5 Y , entonces L ({ y  z}) = L ({ y}) + L ({ z}) = { y +  z | 5 I} = Ejercicio 28 L () = L ³n  0 o´ = n  0 o . Ejercicio 29 Demuestre 3) , 1) en el Teorema 13. Ejercicio 30 Demostrar que P (R) I (R) 6 RR = Ejercicio 31 Demostrar que Sq (R) Aq (R) 6 Pq (R). Ejercicio 32 Considere el sistema de ecuaciones con coeficientes en I: { + 2| + 5v w 3{ + 6| + 3} + 21v 2w 5{ + 10| + 3} + 31v w 3{ + 6| + 2} + 19v + 2w = 0 = 0 = 0 = 0= 1. Tome I = R y muestre que el conjunto V de soluciones es un subespacio de R5 . Encuentre una base para V= 2. Lo correspondiente,. con I = Z5= 3. Lo correspondiente,. con I = Z7= 4. Lo correspondiente,. con I = Z11= Ejercicio 33 Demostrar que 1 2 (F + Fw ) es simétrica y 1 2 (F Fw ) es antisimétrica, ;F 5 Pq (R) = Ejercicio 34 Muestre que n i : R $ R | i es continua y 0 = R 1 0 i o 6 RR .
2.7. DIMENSIÓN 59 Ejercicio 35 Muestre que V = © i 5 RR | i sus dos primeras derivadas existen y i´ ´({) = i ({) ª es un subespacio del espacio C (R) = © i 5 R2 | i(q) ({) existe ;q 5 N ;{5 R ª = Ejercicio 36 Muestre que sen({) y cos({) son un conjunto linealmente independien- te del espacio V del ejercicio anterior. Ejercicio 37 Construir un polinomio cuya gráfica pase por los puntos (3 3) (1 1) (0 0) (5 1) = Ejercicio 38 Digamos que i : R $ R tiene perı́odo A 0 si i ({ + ) = i ({) ;{ 5 R= En este caso diremos que i es periódica. Por ejemplo, sen({) tiene perı́odo 2= 1. i : R $ R de perı́odo y j : R $ R de perı́odo = u u 5 Q {0} , i + j es periódica= 2. Diga un perı́odo para i + j= 3. ¿Es Z = {i : R $ R |i tiene perı́odo 2q q 5 Z} un subespacio de RR ? 4. ¿{sen(q{) | q 5 N} Z? -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 -1.0 -0.5 0.5 1.0 x y sen(10x) -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0 x y sen(10x+210)
60 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 39 ¿Es {sen(q{) | q 5 {1 2 3}} o= l en RR ? . Ejercicio 40 Sea J = ½ (1 2 3 4 5) (2 1 4 3 5) (1 1 1 1 1) (1 2 3 4 1) (0 1 0 1 0) (3 3 7 7 10) (2 1 4 3 0) ¾ 1. Encontrar un subconjunto o= l= de J que genere el mismo subespacio que J= 2. Encontrar un subconjunto o= l= de J que genere el mismo subespacio que J y que contenga los elementos (0 1 0 1 0) (3 3 7 7 10). Ejercicio 41 ¿Cuántas matrices escalonadas y reducidas hay en P3×4 (Z2)? Ejercicio 42 Respecto al ejercicio anterior, ¿cuántas matrices escalonadas y reduci- das hay de rangos 1 2 3 respectivamente? Ejercicio 43 ¿Cuántas matrices antisimétricas hay de 5×5 con coeficientes en Z3? Dé una base para el espacio de las matrices antisimétricas de 5 × 5 con coeficientes en Z3. Ejercicio 44 Construya un polinomio v ({)cuya gráfica pase por los puntos (3 3) (2 1) (1 0) y tal que su derivada en 0 sea 1. Ejercicio 45 Construya un polinomio v ({)cuya gráfica pase por los puntos (3 3) (2 1) (1 0) y tal que su integral de 1 a 1sea 0. Ejercicio 46 Muestre que { x y}6= es o= l= / { x +  y  x  y}6= es o= l= Ejercicio 47 Muestre que la afirmación anterior es falsa si uno retira la hipótesis de que los elementos sean distintos (tome  y =  0 y vea que pasa). Ejercicio 48 Muestre que son equivalentes para Z1 Z2 6 I Y : 1. Y = Z1 L Z2= Recuerde que esto significa que Y = Z1 + Z2 a Z1 _ Z2 = n  0 o =
2.7. DIMENSIÓN 61 2. ;1 base de Z1 ;2 base de Z2 , 1 es ajena con 2 y 1 ^2 es una base de Y= Ejercicio 49 Considere Tq = {D 5 Pq (R) | Dlm = 0 l A m} = ¿Cuál es la dimensión de Tq?. Ejercicio 50 Considere Lq = {D 5 Pq (R) | Dlm = 0 l ? m} = ¿Cuál es la dimensión de Lq? Ejercicio 51 Considere Dq = {D 5 Pq (R) | Dlm = 0 l 6= m} = ¿Cuál es la dimensión de Dq? Ejercicio 52 Considere Sq = {D 5 Pq (R) | Dlm = Dml ;l m} = ¿Cuál es la dimen- sión de Sq? Ejercicio 53 Compruebe que dim (Tq + Sq) = dim (Tq) + dim (Sq) dim (Tq _ Sq) = Se define el rango de una matriz D como dim (L ({D1 === Dp})) es decir la di- mensión del espacio generado por los renglones de D= Ejercicio 54 Demostrar que el rango de una matriz escalonada es el número de renglones distintos de cero, notando que un renglón distinto de cero no puede ser combinación lineal de los renglones debajo. Ejercicio 55 Demostrar que si las matrices D E 5 Pq×p (R) son reducidas y escalonadas y tienen el mismo espacio de renglones, entonces D = E. Ejercicio 56 Suponga que las matrices D y E son reducidas y escalonadas y que se obtienen aplicando operaciones elementales a la misma matriz F= Demuestre que D = E. Ejercicio 57 Dé una base para las matrices diagonales de 3 × 3 con coeficientes en R. Ejercicio 58 Dé una base para las matrices simétricas de 4 × 4 con coeficientes en R= Ejercicio 59 Dé una base para las matrices antisimétricas de 4 × 4 con coeficientes en R=
62 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 60 Dé una base para el espacio de las matrices triangulares superiores (ceros debajo de la diagonal principal) de 3 × 3 con coeficientes en R= Ejercicio 61 Muestre que el conjunto {(1 2 3 4) (0 1 4 3)} se puede completar a una base de R4 , con cualesquiera dos elementos de la base canónica. Sugerencia: Muestre que si uno forma una matriz que tenga como renglones a los elementos del conjunto dado y dos elementos de la base canónica (por ejemplo 3 E E C 1 2 3 4 0 1 4 3 0 0 1 0 0 0 0 1 4 F F D tiene rango 4.) Ejercicio 62 Tomemos el conjunto {(1 2 3 4) (0 2 3 4)}. Entonces la matriz 3 E E C 1 2 3 4 0 2 3 4 1 0 0 0 0 0 0 1 4 F F D, tiene rango 3, por lo que el conjunto {(1 2 3 4) (0 2 3 4) (1 0 0 0) (0 0 0 1)} es o= g= Encuentre todas las bases de R3 que contienen a (1 2 3 4) (0 2 3 4) y a dos elementos de la base canónica. Ejercicio 63 Sean ; A A ? A A = 3 E E C 5 6 3 5 4 F F D 3 E E C 5 9 2 9 4 F F D 3 E E C 7 3 3 1 4 F F D 3 E E C 5 7 2 0 4 F F D A A @ A A ; A A ? A A = 3 E E C 7 9 7 2 4 F F D 3 E E C 9 8 4 1 4 F F D 3 E E C 0 5 6 8 4 F F D A A @ A A en R4 . Llamemos Z1 al subespacio generado por el primer conjunto de vectores y Z2 al generado por el segundo conjunto de vectores. Encontrar las dimensiones de Z1 Z2 Z1 + Z2 Z1 _ Z2= Encontrar bases 3 1 2 3
2.7. DIMENSIÓN 63 de los subespacios correspondientes al diagrama. Z1 + Z2 3 % - Z1 #0 2 /$ Z2 - % 1 Z1 _ Z2 = Ejercicio 64 Muestre que hay bases como en el ejercicio anterior, para cualesquiera dos subespacios Z1 Z2 de un espacio vectorial I Y= (No suponga que dim (Y ) es finita). Ejercicio 65 Sea [ R, definamos Q[ =: n R i $ R | i (u) = 0 ;u 5 [ o = 1. Muestre que Q[ 6 RR . 2. Suponga que R= Muestre que Q[ _ Q = Q[ = 3. Demuestre que [ ^ = R / Q[ _ Q = © 0̂ ª = 4. ([ ^ ) $ R , Q[ _ Q 6= © 0̂ ª = 5. Q[ + Q Q[K = 6. ¡ RR Q[ + Q ¢ , ([ _ = ) 7. ¡ RR = Q[ L Q ¢ / h ([ _ = ) a ³ [ ^ = R ´i = 8. j 5 RR , tal que j (u) 6= 0 , Q{u} L L (j) = RR . 9. Usando lo anterior muestre que Q{u} es máximo en £© 0̂ ª RR ¢ . Ejercicio 66 Encuentre un subespacio Z máximo en £© 0̂ ª RR ¢ tal que (Z 6= Qu) ; u 5 R=
64 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 67 Demuestre que si D E son conjuntos, entonces (|D| 6 |E|) b (|E| 6 |D|) = Sugerencia: Considere == ½µ [ [ i[ AA$ E ¶ | [ D ¾ , defina un orden J en = por: µ [ [ i[ AA$ E ¶ J µ i AA$ E ¶ si ([ y i AA$ E E % = %i[ [ es decir, i|[ = i[= Muestre que = no es vacı́o, que J es un orden parcial, que toda cadena en = está aco- tada por arriba. Concluya que = contiene un elemento máximo (P iP ) = Observe que P = D b i (P) = E. Concluya. Ejercicio 68 Muestre que son equivalentes para Z ] 6 I Y : 1. Y = Z L ]= 2. ] es mı́nimo en {X 6 Y | Z + X = Y } = Ejercicio 69 1. Muestre que cualquier segmento de recta en el plano (que tenga más de un punto) tiene tantos puntos como el intervalo [0 1] = 2. Use lo anterior para mostrar que cualesquiera dos intervalos cerrados infinitos tienen la misma cardinalidad. 3. Muestre también que cualesquiera dos intervalos abiertos no vacı́os tienen la misma cardinalidad. 4. Usando el Teorema de Cantor-Schröeder-Bernstein muestre que un intervalo abierto no vacı́o tiene la misma cardinalidad que un intervalo cerrado infinito (y la misma cardinalidad de un intervalo que incluye un extremo y excluye al otro, como (0 2] o [2 8)). 5. Muestre que el intervalo [0 1) tiene tantos puntos como [0 4). 6. Muestre que (1 1) tiene tantos puntos como R.
2.7. DIMENSIÓN 65 Ejercicio 70 Use el Teorema de Cantor-Schröeder-Bernstein para demostrar que |N| = |N × N| = Ejercicio 71 Sugerencia: muestre que las siguientes funciones son inyectivas. N AA$ N × N q 7$ (q 0) N × N AA$ N (q p) 7$ 2q 3p Ejercicio 72 Muestre que la unión de dos conjuntos ajenos con la misma cardi- nalidad que N, sigue siendo de la misma cardinalidad de |N|. Por ejemplo, Muestre que N× {0 1} = © (q 0) | q 5 N+ ª ^ © (0 p) | p 5 N+ ª ^ {(0 0)} tiene |N| elementos. Sugerencia: el primer uniendo corresponde biyectivamente con los pares positivos, el segundo con el conjunto de impares. Ejercicio 73 Muestre que si I es finito y ajeno con [ infinito entonces |[ ^ I| = |[| = Sugerencia: suponga que I = {{1 {2 === {n} Supongamos además que I _ N = = Note que {0 1 === n 1} ^ {n n + 1 ====} = N y que N +n $ {n n + 1 ====} es una biyección. Concluya que |N| = |{0 1 === n 1} ^ {n n + 1 ====}| = ¯ ¯ ¯I ^ N ¯ ¯ ¯ = Ahora use que [ incluye una copia de N Q digamos. Ası́ que [ ^I = ([Q)^Q = ([Q) ^ (Q ^ I) = Ejercicio 74 (Opcional). Muestre, usando el Lema de Zorn, que si [ es un conjunto infinito entonces |[| = |[ × {0 1}| Sugerencia: Sea D = (Ã ] ] AA i] ³ ] × {0 1} ! | 6= ] D ) ordenado por: ( i ) b (] i]) si ] y ] i] AA³ ] × {0 1} inclus. % = % inclus. i AA³ × {0 1}
66 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES la inclusión. Note que D no es vacı́o porque como [ es infinito, entonces [ incluye una copia de N. Note también que si (P iP ) es un elemento máximo en D, entonces el conjunto DP no puede contener una copia de N, por lo que debe ser finito.
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf
HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf

Recomendados

Notas de algebra lineal
Notas de algebra linealNotas de algebra lineal
Notas de algebra linealencinamarisel
 
Algebra lineal
Algebra linealAlgebra lineal
Algebra linealNILO COLQUEPISCO PAUCAR
 
Algebra_Lineal (3) GABRIELA GERONIMO.pdf
Algebra_Lineal (3) GABRIELA GERONIMO.pdfAlgebra_Lineal (3) GABRIELA GERONIMO.pdf
Algebra_Lineal (3) GABRIELA GERONIMO.pdfRoberto Carlos Castro Catari
 
Algebra lineal 2
Algebra lineal 2Algebra lineal 2
Algebra lineal 2Christian Torrico Avila
 
METODOS M. DE LA FÍSICA. OSCAR REULA.pdf
METODOS M. DE LA FÍSICA. OSCAR REULA.pdfMETODOS M. DE LA FÍSICA. OSCAR REULA.pdf
METODOS M. DE LA FÍSICA. OSCAR REULA.pdfNATALYALMANZAAVILA
 
Calculo tensorial bueno
Calculo tensorial buenoCalculo tensorial bueno
Calculo tensorial buenoalejandro Dowling
 
Metodos de la fisica matematica
Metodos de la fisica matematicaMetodos de la fisica matematica
Metodos de la fisica matematicaFabian Romero
 
ejercicio de variable compleja
ejercicio de variable compleja ejercicio de variable compleja
ejercicio de variable compleja Soledad Serapio
 

Recomendados

Notas de algebra lineal
Notas de algebra linealNotas de algebra lineal
Notas de algebra linealencinamarisel
 
Algebra lineal
Algebra linealAlgebra lineal
Algebra linealNILO COLQUEPISCO PAUCAR
 
Algebra_Lineal (3) GABRIELA GERONIMO.pdf
Algebra_Lineal (3) GABRIELA GERONIMO.pdfAlgebra_Lineal (3) GABRIELA GERONIMO.pdf
Algebra_Lineal (3) GABRIELA GERONIMO.pdfRoberto Carlos Castro Catari
 
Algebra lineal 2
Algebra lineal 2Algebra lineal 2
Algebra lineal 2Christian Torrico Avila
 
METODOS M. DE LA FÍSICA. OSCAR REULA.pdf
METODOS M. DE LA FÍSICA. OSCAR REULA.pdfMETODOS M. DE LA FÍSICA. OSCAR REULA.pdf
METODOS M. DE LA FÍSICA. OSCAR REULA.pdfNATALYALMANZAAVILA
 
Calculo tensorial bueno
Calculo tensorial buenoCalculo tensorial bueno
Calculo tensorial buenoalejandro Dowling
 
Metodos de la fisica matematica
Metodos de la fisica matematicaMetodos de la fisica matematica
Metodos de la fisica matematicaFabian Romero
 
ejercicio de variable compleja
ejercicio de variable compleja ejercicio de variable compleja
ejercicio de variable compleja Soledad Serapio
 
Calculo diferencial
Calculo diferencialCalculo diferencial
Calculo diferencialPascual Onofre
 
Álgebra lineal y geometría ( PDFDrive ).pdf
Álgebra lineal y geometría ( PDFDrive ).pdfÁlgebra lineal y geometría ( PDFDrive ).pdf
Álgebra lineal y geometría ( PDFDrive ).pdfWaldirGuillermoGalar
 
-Problemas resueltos
-Problemas resueltos-Problemas resueltos
-Problemas resueltosMIGUEL SALDIVAR HERNANDEZ
 
Libro ed lat
Libro ed latLibro ed lat
Libro ed latJuan Timoteo Cori
 
Documento completo _---matematica basica para agronomia
Documento completo _---matematica basica para agronomiaDocumento completo _---matematica basica para agronomia
Documento completo _---matematica basica para agronomiaHaydee Melo Javier
 
Perez calculo1
Perez calculo1Perez calculo1
Perez calculo1Jessica Primadonna
 
Perez calculo1
Perez calculo1Perez calculo1
Perez calculo1Fuchi sascvnbdv
 
notas de calculo
notas de calculonotas de calculo
notas de calculoPedro Tellez Cuevas
 
Perez, calculo1
Perez, calculo1Perez, calculo1
Perez, calculo1Ruddy Trujillo
 
Perez calculo1
Perez calculo1Perez calculo1
Perez calculo1Diego Palma
 
Antologia calculo ii
Antologia calculo iiAntologia calculo ii
Antologia calculo iiMeymorsal
 
Algebra_lineal (2) HECTOR MARTINEZ.pdf
Algebra_lineal (2) HECTOR MARTINEZ.pdfAlgebra_lineal (2) HECTOR MARTINEZ.pdf
Algebra_lineal (2) HECTOR MARTINEZ.pdfRoberto Carlos Castro Catari
 
Algebra lineal para estudiantes de Ingenieria y Ciencias.pdf
Algebra lineal para estudiantes de Ingenieria y Ciencias.pdfAlgebra lineal para estudiantes de Ingenieria y Ciencias.pdf
Algebra lineal para estudiantes de Ingenieria y Ciencias.pdfJesusRenatoMontoyaMo
 
Apuntes
ApuntesApuntes
ApuntesBrasil2014JPM
 
Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09UNI - UCH - UCV - UNMSM - UNFV
 
Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09Gaola Olave
 
Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09dcanales2010
 
Apuntes lineal
Apuntes linealApuntes lineal
Apuntes linealErick Eduardo Acosta Pérez
 
Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09y1r2m
 
Diseño de Experimentos.pdf
Diseño de Experimentos.pdfDiseño de Experimentos.pdf
Diseño de Experimentos.pdfOsbaldoTurpoGebera1
 
Linear-Algebra-Friedberg-Insel-Spence-4th-E.pdf
Linear-Algebra-Friedberg-Insel-Spence-4th-E.pdfLinear-Algebra-Friedberg-Insel-Spence-4th-E.pdf
Linear-Algebra-Friedberg-Insel-Spence-4th-E.pdfValentinMamaniArroyo3
 
Introduccion_al_Albebra_Lineal_3ra_Edici.pdf
Introduccion_al_Albebra_Lineal_3ra_Edici.pdfIntroduccion_al_Albebra_Lineal_3ra_Edici.pdf
Introduccion_al_Albebra_Lineal_3ra_Edici.pdfValentinMamaniArroyo3
 

Más contenido relacionado

Similar a HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf

Álgebra lineal y geometría ( PDFDrive ).pdf
Álgebra lineal y geometría ( PDFDrive ).pdfÁlgebra lineal y geometría ( PDFDrive ).pdf
Álgebra lineal y geometría ( PDFDrive ).pdfWaldirGuillermoGalar
 
Documento completo _---matematica basica para agronomia
Documento completo _---matematica basica para agronomiaDocumento completo _---matematica basica para agronomia
Documento completo _---matematica basica para agronomiaHaydee Melo Javier
 
Antologia calculo ii
Antologia calculo iiAntologia calculo ii
Antologia calculo iiMeymorsal
 
Algebra lineal para estudiantes de Ingenieria y Ciencias.pdf
Algebra lineal para estudiantes de Ingenieria y Ciencias.pdfAlgebra lineal para estudiantes de Ingenieria y Ciencias.pdf
Algebra lineal para estudiantes de Ingenieria y Ciencias.pdfJesusRenatoMontoyaMo
 
Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09Gaola Olave
 
Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09dcanales2010
 
Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09y1r2m
 

Similar a HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf (20)

Calculo diferencial
Calculo diferencialCalculo diferencial
Calculo diferencial
 
Álgebra lineal y geometría ( PDFDrive ).pdf
Álgebra lineal y geometría ( PDFDrive ).pdfÁlgebra lineal y geometría ( PDFDrive ).pdf
Álgebra lineal y geometría ( PDFDrive ).pdf
 
-Problemas resueltos
-Problemas resueltos-Problemas resueltos
-Problemas resueltos
 
Libro ed lat
Libro ed latLibro ed lat
Libro ed lat
 
Documento completo _---matematica basica para agronomia
Documento completo _---matematica basica para agronomiaDocumento completo _---matematica basica para agronomia
Documento completo _---matematica basica para agronomia
 
Perez calculo1
Perez calculo1Perez calculo1
Perez calculo1
 
Perez calculo1
Perez calculo1Perez calculo1
Perez calculo1
 
notas de calculo
notas de calculonotas de calculo
notas de calculo
 
Perez, calculo1
Perez, calculo1Perez, calculo1
Perez, calculo1
 
Perez calculo1
Perez calculo1Perez calculo1
Perez calculo1
 
Antologia calculo ii
Antologia calculo iiAntologia calculo ii
Antologia calculo ii
 
Algebra_lineal (2) HECTOR MARTINEZ.pdf
Algebra_lineal (2) HECTOR MARTINEZ.pdfAlgebra_lineal (2) HECTOR MARTINEZ.pdf
Algebra_lineal (2) HECTOR MARTINEZ.pdf
 
Algebra lineal para estudiantes de Ingenieria y Ciencias.pdf
Algebra lineal para estudiantes de Ingenieria y Ciencias.pdfAlgebra lineal para estudiantes de Ingenieria y Ciencias.pdf
Algebra lineal para estudiantes de Ingenieria y Ciencias.pdf
 
Apuntes
ApuntesApuntes
Apuntes
 
Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09
 
Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09
 
Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09
 
Apuntes lineal
Apuntes linealApuntes lineal
Apuntes lineal
 
Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09Algebra lineal 08_09
Algebra lineal 08_09
 
Diseño de Experimentos.pdf
Diseño de Experimentos.pdfDiseño de Experimentos.pdf
Diseño de Experimentos.pdf
 

Más de ValentinMamaniArroyo3

Linear-Algebra-Friedberg-Insel-Spence-4th-E.pdf
Linear-Algebra-Friedberg-Insel-Spence-4th-E.pdfLinear-Algebra-Friedberg-Insel-Spence-4th-E.pdf
Linear-Algebra-Friedberg-Insel-Spence-4th-E.pdfValentinMamaniArroyo3
 
Introduccion_al_Albebra_Lineal_3ra_Edici.pdf
Introduccion_al_Albebra_Lineal_3ra_Edici.pdfIntroduccion_al_Albebra_Lineal_3ra_Edici.pdf
Introduccion_al_Albebra_Lineal_3ra_Edici.pdfValentinMamaniArroyo3
 
Introducción al Álgebra Lineal - Serge Lang - 2ed.pdf
Introducción al Álgebra Lineal - Serge Lang - 2ed.pdfIntroducción al Álgebra Lineal - Serge Lang - 2ed.pdf
Introducción al Álgebra Lineal - Serge Lang - 2ed.pdfValentinMamaniArroyo3
 
Matrices y Cálculo Diferencial - Washington Medina - 1ed.pdf
Matrices y Cálculo Diferencial - Washington Medina - 1ed.pdfMatrices y Cálculo Diferencial - Washington Medina - 1ed.pdf
Matrices y Cálculo Diferencial - Washington Medina - 1ed.pdfValentinMamaniArroyo3
 
problemas-de-fisica-general-volkenshtein-1.pdf
problemas-de-fisica-general-volkenshtein-1.pdfproblemas-de-fisica-general-volkenshtein-1.pdf
problemas-de-fisica-general-volkenshtein-1.pdfValentinMamaniArroyo3
 
iniciacion-al-estudio-del-algebrapdf.pdf
iniciacion-al-estudio-del-algebrapdf.pdfiniciacion-al-estudio-del-algebrapdf.pdf
iniciacion-al-estudio-del-algebrapdf.pdfValentinMamaniArroyo3
 
LIBRO DE ÁLGEBRA PARA ESTUDIANTES DE MATEMÁTICAS Y EDUCACIÓN CORTADO oooo.pdf
LIBRO DE ÁLGEBRA PARA ESTUDIANTES DE MATEMÁTICAS Y EDUCACIÓN CORTADO oooo.pdfLIBRO DE ÁLGEBRA PARA ESTUDIANTES DE MATEMÁTICAS Y EDUCACIÓN CORTADO oooo.pdf
LIBRO DE ÁLGEBRA PARA ESTUDIANTES DE MATEMÁTICAS Y EDUCACIÓN CORTADO oooo.pdfValentinMamaniArroyo3
 
Álgebra Elemental Monografía 26.pdf
Álgebra Elemental Monografía 26.pdfÁlgebra Elemental Monografía 26.pdf
Álgebra Elemental Monografía 26.pdfValentinMamaniArroyo3
 

Más de ValentinMamaniArroyo3 (10)

Linear-Algebra-Friedberg-Insel-Spence-4th-E.pdf
Linear-Algebra-Friedberg-Insel-Spence-4th-E.pdfLinear-Algebra-Friedberg-Insel-Spence-4th-E.pdf
Linear-Algebra-Friedberg-Insel-Spence-4th-E.pdf
 
Introduccion_al_Albebra_Lineal_3ra_Edici.pdf
Introduccion_al_Albebra_Lineal_3ra_Edici.pdfIntroduccion_al_Albebra_Lineal_3ra_Edici.pdf
Introduccion_al_Albebra_Lineal_3ra_Edici.pdf
 
Introducción al Álgebra Lineal - Serge Lang - 2ed.pdf
Introducción al Álgebra Lineal - Serge Lang - 2ed.pdfIntroducción al Álgebra Lineal - Serge Lang - 2ed.pdf
Introducción al Álgebra Lineal - Serge Lang - 2ed.pdf
 
Matrices y Cálculo Diferencial - Washington Medina - 1ed.pdf
Matrices y Cálculo Diferencial - Washington Medina - 1ed.pdfMatrices y Cálculo Diferencial - Washington Medina - 1ed.pdf
Matrices y Cálculo Diferencial - Washington Medina - 1ed.pdf
 
problemas-de-fisica-general-volkenshtein-1.pdf
problemas-de-fisica-general-volkenshtein-1.pdfproblemas-de-fisica-general-volkenshtein-1.pdf
problemas-de-fisica-general-volkenshtein-1.pdf
 
iniciacion-al-estudio-del-algebrapdf.pdf
iniciacion-al-estudio-del-algebrapdf.pdfiniciacion-al-estudio-del-algebrapdf.pdf
iniciacion-al-estudio-del-algebrapdf.pdf
 
LIBRO DE ÁLGEBRA PARA ESTUDIANTES DE MATEMÁTICAS Y EDUCACIÓN CORTADO oooo.pdf
LIBRO DE ÁLGEBRA PARA ESTUDIANTES DE MATEMÁTICAS Y EDUCACIÓN CORTADO oooo.pdfLIBRO DE ÁLGEBRA PARA ESTUDIANTES DE MATEMÁTICAS Y EDUCACIÓN CORTADO oooo.pdf
LIBRO DE ÁLGEBRA PARA ESTUDIANTES DE MATEMÁTICAS Y EDUCACIÓN CORTADO oooo.pdf
 
Álgebra Elemental Monografía 26.pdf
Álgebra Elemental Monografía 26.pdfÁlgebra Elemental Monografía 26.pdf
Álgebra Elemental Monografía 26.pdf
 
ALGEBR 0 LI CHI.pdf
ALGEBR 0 LI CHI.pdfALGEBR 0 LI CHI.pdf
ALGEBR 0 LI CHI.pdf
 
ALG SKO TODO.pdf
ALG SKO TODO.pdfALG SKO TODO.pdf
ALG SKO TODO.pdf
 

Último

2024 - Expo Visibles - Visibilidad Lesbica.pdf
2024 - Expo Visibles - Visibilidad Lesbica.pdf2024 - Expo Visibles - Visibilidad Lesbica.pdf
2024 - Expo Visibles - Visibilidad Lesbica.pdfBaker Publishing Company
 
EXPANSIÓN ECONÓMICA DE OCCIDENTE LEÓN.pptx
EXPANSIÓN ECONÓMICA DE OCCIDENTE LEÓN.pptxEXPANSIÓN ECONÓMICA DE OCCIDENTE LEÓN.pptx
EXPANSIÓN ECONÓMICA DE OCCIDENTE LEÓN.pptxPryhaSalam
 
Heinsohn Privacidad y Ciberseguridad para el sector educativo
Heinsohn Privacidad y Ciberseguridad para el sector educativoHeinsohn Privacidad y Ciberseguridad para el sector educativo
Heinsohn Privacidad y Ciberseguridad para el sector educativoFundación YOD YOD
 
Dinámica florecillas a María en el mes d
Dinámica florecillas a María en el mes dDinámica florecillas a María en el mes d
Dinámica florecillas a María en el mes dstEphaniiie
 
Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.
Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.
Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.José Luis Palma
 
UNIDAD DPCC. 2DO. DE SECUNDARIA DEL 2024
UNIDAD DPCC. 2DO. DE SECUNDARIA DEL 2024UNIDAD DPCC. 2DO. DE SECUNDARIA DEL 2024
UNIDAD DPCC. 2DO. DE SECUNDARIA DEL 2024AndreRiva2
 
Manual - ABAS II completo 263 hojas .pdf
Manual - ABAS II completo 263 hojas .pdfManual - ABAS II completo 263 hojas .pdf
Manual - ABAS II completo 263 hojas .pdfMaryRotonda1
 
CALENDARIZACION DE MAYO / RESPONSABILIDAD
CALENDARIZACION DE MAYO / RESPONSABILIDADCALENDARIZACION DE MAYO / RESPONSABILIDAD
CALENDARIZACION DE MAYO / RESPONSABILIDADauxsoporte
 
celula, tipos, teoria celular, energia y dinamica
celula, tipos, teoria celular, energia y dinamicacelula, tipos, teoria celular, energia y dinamica
celula, tipos, teoria celular, energia y dinamicaFlor Idalia Espinoza Ortega
 
OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptx
OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptxOLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptx
OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptxjosetrinidadchavez
 
ACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptx
ACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptxACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptx
ACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptxzulyvero07
 
TECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptx
TECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptxTECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptx
TECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptxKarlaMassielMartinez
 
La empresa sostenible: Principales Características, Barreras para su Avance y...
La empresa sostenible: Principales Características, Barreras para su Avance y...La empresa sostenible: Principales Características, Barreras para su Avance y...
La empresa sostenible: Principales Características, Barreras para su Avance y...JonathanCovena1
 
Registro Auxiliar - Primaria 2024 (1).pptx
Registro Auxiliar - Primaria 2024 (1).pptxRegistro Auxiliar - Primaria 2024 (1).pptx
Registro Auxiliar - Primaria 2024 (1).pptxFelicitasAsuncionDia
 
ACERTIJO DE LA BANDERA OLÍMPICA CON ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA. Por JAVI...
ACERTIJO DE LA BANDERA OLÍMPICA CON ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA. Por JAVI...ACERTIJO DE LA BANDERA OLÍMPICA CON ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA. Por JAVI...
ACERTIJO DE LA BANDERA OLÍMPICA CON ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
 
TEMA 13 ESPAÑA EN DEMOCRACIA:DISTINTOS GOBIERNOS
TEMA 13 ESPAÑA EN DEMOCRACIA:DISTINTOS GOBIERNOSTEMA 13 ESPAÑA EN DEMOCRACIA:DISTINTOS GOBIERNOS
TEMA 13 ESPAÑA EN DEMOCRACIA:DISTINTOS GOBIERNOSjlorentemartos
 

Último (20)

2024 - Expo Visibles - Visibilidad Lesbica.pdf
2024 - Expo Visibles - Visibilidad Lesbica.pdf2024 - Expo Visibles - Visibilidad Lesbica.pdf
2024 - Expo Visibles - Visibilidad Lesbica.pdf
 
EXPANSIÓN ECONÓMICA DE OCCIDENTE LEÓN.pptx
EXPANSIÓN ECONÓMICA DE OCCIDENTE LEÓN.pptxEXPANSIÓN ECONÓMICA DE OCCIDENTE LEÓN.pptx
EXPANSIÓN ECONÓMICA DE OCCIDENTE LEÓN.pptx
 
Heinsohn Privacidad y Ciberseguridad para el sector educativo
Heinsohn Privacidad y Ciberseguridad para el sector educativoHeinsohn Privacidad y Ciberseguridad para el sector educativo
Heinsohn Privacidad y Ciberseguridad para el sector educativo
 
Dinámica florecillas a María en el mes d
Dinámica florecillas a María en el mes dDinámica florecillas a María en el mes d
Dinámica florecillas a María en el mes d
 
Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.
Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.
Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.
 
UNIDAD DPCC. 2DO. DE SECUNDARIA DEL 2024
UNIDAD DPCC. 2DO. DE SECUNDARIA DEL 2024UNIDAD DPCC. 2DO. DE SECUNDARIA DEL 2024
UNIDAD DPCC. 2DO. DE SECUNDARIA DEL 2024
 
Manual - ABAS II completo 263 hojas .pdf
Manual - ABAS II completo 263 hojas .pdfManual - ABAS II completo 263 hojas .pdf
Manual - ABAS II completo 263 hojas .pdf
 
Unidad 3 | Metodología de la Investigación
Unidad 3 | Metodología de la InvestigaciónUnidad 3 | Metodología de la Investigación
Unidad 3 | Metodología de la Investigación
 
CALENDARIZACION DE MAYO / RESPONSABILIDAD
CALENDARIZACION DE MAYO / RESPONSABILIDADCALENDARIZACION DE MAYO / RESPONSABILIDAD
CALENDARIZACION DE MAYO / RESPONSABILIDAD
 
celula, tipos, teoria celular, energia y dinamica
celula, tipos, teoria celular, energia y dinamicacelula, tipos, teoria celular, energia y dinamica
celula, tipos, teoria celular, energia y dinamica
 
OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptx
OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptxOLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptx
OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2024.pptx
 
ACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptx
ACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptxACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptx
ACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptx
 
Repaso Pruebas CRECE PR 2024. Ciencia General
Repaso Pruebas CRECE PR 2024. Ciencia GeneralRepaso Pruebas CRECE PR 2024. Ciencia General
Repaso Pruebas CRECE PR 2024. Ciencia General
 
TECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptx
TECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptxTECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptx
TECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptx
 
Medición del Movimiento Online 2024.pptx
Medición del Movimiento Online 2024.pptxMedición del Movimiento Online 2024.pptx
Medición del Movimiento Online 2024.pptx
 
La empresa sostenible: Principales Características, Barreras para su Avance y...
La empresa sostenible: Principales Características, Barreras para su Avance y...La empresa sostenible: Principales Características, Barreras para su Avance y...
La empresa sostenible: Principales Características, Barreras para su Avance y...
 
Registro Auxiliar - Primaria 2024 (1).pptx
Registro Auxiliar - Primaria 2024 (1).pptxRegistro Auxiliar - Primaria 2024 (1).pptx
Registro Auxiliar - Primaria 2024 (1).pptx
 
Sesión de clase: Defendamos la verdad.pdf
Sesión de clase: Defendamos la verdad.pdfSesión de clase: Defendamos la verdad.pdf
Sesión de clase: Defendamos la verdad.pdf
 
ACERTIJO DE LA BANDERA OLÍMPICA CON ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA. Por JAVI...
ACERTIJO DE LA BANDERA OLÍMPICA CON ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA. Por JAVI...ACERTIJO DE LA BANDERA OLÍMPICA CON ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA. Por JAVI...
ACERTIJO DE LA BANDERA OLÍMPICA CON ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA. Por JAVI...
 
TEMA 13 ESPAÑA EN DEMOCRACIA:DISTINTOS GOBIERNOS
TEMA 13 ESPAÑA EN DEMOCRACIA:DISTINTOS GOBIERNOSTEMA 13 ESPAÑA EN DEMOCRACIA:DISTINTOS GOBIERNOS
TEMA 13 ESPAÑA EN DEMOCRACIA:DISTINTOS GOBIERNOS
 

HUGO_ALBERTO_RINCON_MEJIA_ALGEBRA_LINEAL.pdf

  • 1.
  • 2. HUGO ALBERTO RINCÓN MEJÍA ÁLGEBRA LINEAL FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM 2006
  • 3. ÁLGEBRA LINEAL 2ª edición, 2006 ©Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ciencias ISBN: 968-36-9263-X La presente obra fue impresa bajo demanda por vez primera en los talleres de Publidisa Mexicana SA de CV en el mes de junio de 2006. Publidisa Mexicana SA de CV Calzada Chabacano Nº 69, Planta Alta Colonia Asturias Deleg. Cuauhtémoc 06850 México DF www.publidisa.com
  • 4. . A mis padres, Hugo Armando Rincón Orta y Angelina Aurelia Mejı́a Arzate, con todo mi cariño, por haber esperado demasiado de mı́.
  • 5.
  • 6. Introducción Este texto contiene el material de los cursos Álgebra Lineal I y Álgebra Lineal II como los he impartido a lo largo de varios años. Tiene algunas caracterı́sticas especiales: Comienza con operaciones asociativas, monoides, tablas de multiplicar. Esto es porque pienso que la definición de Espacio vectorial puede resultar muy com- plicada para un alumno, y hago esto para que no se pierdan las consecuencias de cada axioma. En el capı́tulo de Espacios vectoriales, no sólo se demuestra la existencia de bases, sino que se da una demostración de que las bases para un espacio vec- torial tienen el mismo cardinal. La demostración es una aplicación del Lema de Zorn, en donde se puso mucho cuidado en presentar el argumento de manera clara en todos sus detalles. Se presentan dos capı́tulos acerca de espacios con producto interior. El primer capı́tulo incluye la teorı́a que los estudiantes de Fı́sica necesitan con urgencia, mientras que el último capı́tulo usa la teorı́a de espacios invariantes. En este capı́tulo se estudian los operadores normales, autoadjuntos, unitarios que son tan importantes para los estudiantes de Fı́sica cuántica. Se hacen ejemplos detallados de cálculos de formas canónicas y se hace énfasis en la teorı́a de diagonalización simultánea. Como aplicación, se presentan las cadenas de Markov, y se caracteriza la situación en que las potencias de una matriz cuadrada convergen. Agradezco la ayuda que me han prestado algunos de mis estudiantes. Entre éstos puedo recordar a Ricardo Hernández Barajas, Alina Madrid Rincón, Antonie- ta Campa, Patricia Pellicer Covarrubias, Alejandro Alvarado Garcı́a y Saúl Juárez v
  • 7. Ordóñez. Especialmente agradezco a Rolando Gómez Macedo, por la lectura cuida- dosa que realizó, señalando una buena cantidad de errores tipográficos y de notación. Agradezco la gran ayuda prestada por los matemáticos Julio César Guevara y Guilmer González Flores quienes revisaron cuidadosamente el libro y me señalaron una gran cantidad de diagramas, dibujos y detalles de estilo que habı́a que corregir. Agradezco a Angélica Macı́as y a Nancy Mejı́a por el diseño de la cubierta del libro. Este libro se benefició grandemente del interés que puso en él la M. en C. Ana Irene Ramı́rez Galarza, a quien estoy profundamente agradecido. A pesar de todo, es inevitable que permanezcan errores en el libro, de los cuales sólo yo soy responsable. Agradeceré a las personas que hagan favor de señalármelos. Para terminar, quisiera manifestar el gusto que me da trabajar en la Facultad de Ciencias, donde los profesores entregan lo mejor de sı́ mismos a sus alumnos, sin regatear esfuerzos y sin ambición de lucro. Trabajar en el Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias ha sido uno de los eventos más afortunados que me han ocurrido. Aprovecho esa oportunidad para manifestar mi aprecio y reconocimiento a mis compañeros del grupo de Álgebra, quienes casi todos fueron mis maestros. Agradezco al profesor César Rincón Orta, por su e paciencia y por el afecto inagotable que me ha brindado siempre. Gracias, Tı́o. jemplo, sus enseñanzas, su vi
  • 8. Índice general 1. Operaciones asociativas 1 1.1. Semigrupos y monoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Tablas de multiplicar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2. Monoides con cancelación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Subgrupos y restricción de funciones. . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1. Producto de copias de un anillo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2. Espacios vectoriales 19 2.1. Espacios vectoriales y subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. El subespacio generado por un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5. Conjuntos parcialmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6. Lema de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.7. Dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3. Transformaciones lineales 67 3.1. Transformaciones lineales, núcleos e imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2. La propiedad universal de las bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3. La matriz de una transformación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.4. Suma y producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.5. La matriz de cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4. Sistemas de ecuaciones lineales 111 4.1. Operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.1.1. Matrices reducidas y escalonadas . . . . . . . . . . . . . . . . 118
  • 9. 4.2. La inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.3. Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.4. Espacios duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.4.1. Cálculo de la base dual para un espacio de dimensión finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.4.2. La dimensión del espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.5. La transpuesta de una función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5. Espacios con producto interior I 151 5.1. Productos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.2. La norma inducida por un producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.2.1. El Teorema de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.3. La traza y la adjunta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.4. Ortogonalidad y el Teorema de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.4.1. Matrices respecto a una base ortonormal . . . . . . . . . . . . 168 5.4.2. Representación de elementos del espacio dual . . . . . . . . . 169 5.5. El operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.6. Propiedades del operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.7. Transformaciones lineales y productos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.8. Operadores unitarios en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.9. Movimientos rı́gidos (Isometrı́as) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6. Determinantes 185 6.1. Funciones n-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6.1.1. Factorización única como producto de ciclos . . . . . . . . . . 189 6.1.2. Estructura cı́clica y signo de una permutación . . . . . . . . . 195 6.2. El desarrollo por renglones del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.3. Invertibilidad y el determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 6.4. La regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 6.5. Similitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 7. Polinomios con coeficientes en R 231 7.1. Polinomios y el algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 7.2. La estructura algebraica de R[{] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 viii
  • 10. 8. Vectores propios y diagonalización 247 8.1. Vectores y valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 8.2. El polinomio caracterı́stico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 8.3. Espacios propios y diagonalizabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 8.4. Matrices diagonalizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 8.5. El polinomio mı́nimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 8.5.1. El polinomio mı́nimo y diagonalizabilidad . . . . . . . . . . . 273 9. Subespacios T-invariantes 283 9.1. Subespacios Winvariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 9.2. Subespacios T-cı́clicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 9.3. Polinomio caracterı́stico y polinomio mı́nimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 9.4. El Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 9.5. Diagonalización simultánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 9.5.1. El centralizador de un operador diagonalizable . . . . . . . . . 303 10.Formas canónicas 313 10.1. Lemas básicos de descomposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 10.2. La matriz compañera de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 10.3. Matrices diagonales por bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 10.4. El p-zoclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 10.5. Sumandos cı́clicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 10.6. Espacios cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 10.7. Forma canónica racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 10.7.1. Diagrama de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 10.8. Más acerca de los diagramas de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 10.9. Forma canónica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 10.10. Cadenas de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 10.10.1.Lı́mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 10.10.2.Procesos aleatorios y Cadenas de Markov . . . . . . . . . . . . 389 11.Espacios con producto interior II 407 11.1. Operadores normales, autoadjuntos, unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 11.2. Operadores normales, I = C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 11.3. Operadores autoadjuntos, I = R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 11.4. Operadores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 11.5. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 ix
  • 11. 11.5.1. Proyecciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 11.6. El teorema espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 Algunas notaciones utilizadas en el libro 423 Bibliografı́a 429 Índice alfabético 430 x
  • 12. Capı́tulo 1 Operaciones asociativas 1.1. Semigrupos y monoides Para mayor información sobre estos temas, recomendamos al lector los libros de Jacobson [3] y Rotman [7], aunque como lo que necesitaremos es bastante poco, esperamos que baste con lo que se presenta aquı́. Definición 1 Una operación en un conjunto [ es una función : [ × [ $ [= Muchas veces escribiremos d e en lugar de escribir ((d e)) = Definición 2 Decimos que la operación : [ × [ $ [ es asociativa si { (| }) = ({ |) } ;{ | } 5 [= En este caso la pareja ordenada ([ ) se llama semigrupo. Ejemplo 1 Son semigrupos: 1. (N +) 2. (N ) donde denota la multiplcación usual, 3. (€ ([) _), 4. (€ ([) ^) 5. ({i : [ $ [ | i es una función} ) Son semigrupos. 1
  • 13. 2 CAPÍTULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS Ejemplo 2 1. (Z ) no es un semigrupo: 1 = 1 0 = 1 (1 1) 6= (1 1) 1 = 1= 2. Consideremos la operación de diferencia de conjuntos en € ({0 1}) = { {0} {1} {0 1}} observando que {0 1} = {0 1} = = {0 1} ({0 1} {0 1}) 6= ({0 1} {0 1}) {0 1} = = Concluı́moa que (€ ({0 1}) ) no es un semigrupo. 1.1.1. Tablas de multiplicar Definición 3 Sea una operación en un conjunto finito {d1 d2 === dq} la tabla de multiplicar de es el arreglo cuadrado d1 d2 · · · dl · · · dm · · · dq d1 d1 d1 d1 dl d1 dm d1 dq d2 . . . dl dl d1 dl dm . . . dm dm d1 dm dl . . . dq dq d1 dq dm dq dq Ejemplo 3 En el conjunto {0 1} se pueden definir 16 operaciones. Para convencer- nos de ello, calculemos la cardinalidad de n {0 1} × {0 1} i $ {0 1} | i es una función o = Notemos lo siguiente: cada uno de los cuatro elementos de {0 1}×{0 1}tiene que ir a dar a 0 ó a 1 bajo una función de las de arriba. Entonces debe ser claro que hay 2 2 2 2 = 16 elementos en el conjunto de funciones cuya cardinalidad estamos calculando. De estas 16 operaciones hay 8 asociativas. Mencionamos algunas:
  • 14. 1.1. SEMIGRUPOS Y MONOIDES 3 1. 0 1 0 0 0 1 0 0 es asociativa. 2. Por la misma razón, 0 1 0 1 1 1 1 1 es asociativa. 3. La disyunción lógica b 0 1 0 0 1 1 1 0 es asociativa. 4. La conjunción lógica a 0 1 0 0 0 1 0 1 es asociativa. 5. Definamos por: { | = | ;{ | 5 {0 1} = Es claro que las dos maneras de poner paréntesis en { | } nos produce el mismo resultado: }= La tabla correspondiente es 0 1 0 0 1 1 0 1 = 6. Dualmente, 0 1 0 0 0 1 1 1 =
  • 15. 4 CAPÍTULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS Hasta este momento hemos escrito 6 de las 8 operaciones asociativas que se pueden definir en {0 1} = Ejercicio 1 Encuentre las otras dos operaciones asociativas que se pueden definir en {0 1} = Para mostrar una operación que no es asociativa en el conjunto {0 1} tomemos la tabla de la implicación, “ , ”: , 0 1 0 1 1 1 0 1 = No es asociativa pues, 0 , (0 , 0) = 0 , 1 = 1 pero (0 =, 0) =, 0 = 1 =, 0 = 0= Definición 4 Sea una operación asociativa en V= 1. h 5 V es un neutro izquierdo para si h { = { ;{ 5 V= 2. h 5 V es un neutro derecho para si { h = { ;{ 5 V= 3. h 5 V es un neutro para si h es un neutro izquierdo y derecho para = Observación 1 Si h es un neutro izquierdo para y i es un neutro derecho para la misma operación, entonces h = i= Demostración. h = h i = i= La primera igualdad se da porque i es neutro derecho y la segunda porque h es neutro izquierdo. Observación 2 Si h i son dos neutros izquierdos distintos para una operación , entonces no tiene neutro. Ejemplo 4 Un semigrupo con dos neutros izquierdos: * 0 1 0 0 1 1 0 1 = Nótese que no hay neutro derecho.
  • 16. 1.1. SEMIGRUPOS Y MONOIDES 5 1.1.2. Monoides con cancelación Definición 5 Una terna (P h) es un monoide si (P ) es un semigrupo y h es neutro para . Definición 6 Sea (P h) un monoide y supongamos que d e = h d e 5 P diremos que d es inverso por la izquierda de e y que e es inverso por la derecha de d= Observación 3 Si { es inverso por la izquierda de d y } es inverso derecho de d d 5 P entonces { = }= Demostración. } = h } = ({ d) } = { (d }) = { h = {= 1. En un monoide el inverso de un elemento (si existe) es único. 2. Si { } son inversos izquierdos de d, entonces d no tiene inverso derecho (y por lo tanto no tiene inverso). Demostración. Se sigue inmediatamente de la Observación anterior. Ejemplo 5 Consideremos el monoide ¡ NN LgN ¢ = La función : N $ N tal que (n) = n + 1 tiene inverso izquierdo porque es inyectiva, no tiene inverso derecho porque no es suprayectiva. La función iq : N $ N n 7$ ½ n 1 si n A 0 q si n = 0 es un inverso izquierdo para para cada q 5 N. La función tiene una infinidad de inversos izquierdos en el monoide ¡ NN LgN ¢ y claro, no puede tener inverso= Ejercicio 2 Diga como se reflejan en una tabla de multiplicar los siguientes hechos: 1. La operación es conmutativa (es decir d e = e d, para cada d y e). 2. El elemento d es cancelable por la izquierda. 3. El elemento d es cancelable por la derecha. 4. d tiene inverso por la derecha. 5. h es neutro izquierdo para la operación.
  • 17. 6 CAPÍTULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS 1.2. Grupos Definición 7 Un grupo es un monoide (P h) en el que cada elemento tiene inverso. Definición 8 si la operación en un grupo (P h) es conmutativa, diremos que el grupo es conmutativa (o abeliano) Observación 4 1. En un grupo cada elemento tiene un único inverso. 2. En un grupo d { = h implica que d es el inverso de { (y que { es el inverso de d). Demostración. Se sigue de la Observación 3. Ejercicio 3 Sea [ un conjunto, denotemos El| ([) el conjunto de biyecciones de [ a [= Demuestre que (El| ([) Lg[) es un grupo. Ejemplo 6 Tomemos [ = {0 1 2}. Hay 6 biyecciones en el conjunto anterior. {0 1 2} x $ {0 1 2} 0 7$ 0 1 7$ 2 2 7$ 1 es una, y {0 1 2} [ $ {0 1 2} 0 7$ 1 1 7$ 2 2 7$ 0 es otra. Obsérvese que x [ 6= [ x= Ejercicio 4 Muestre que si |[| 3 entonces (El| ([) Lg[) es un grupo no conmutativo. Recordemos que en un monoide P, un inverso izquierdo y un inverso derecho de d 5 P tienen que coincidir. En particular, en un grupo (J h) el inverso de cada elemento es único, de hecho podemos demostrar lo siguiente:
  • 18. 1.2. GRUPOS 7 Teorema 1 En un grupo (J h) son equivalentes 1. e es el inverso de d= 2. d es el inverso de e. 3. d e = h. 4. e d = h= Demostración. 1) / 2) e es el inverso de d / ((d e = h) a (e d = h)) / / ((e d = h) a (d e = h)) / d es el inverso de e= 2) , 3) Es claro. 3) , 4) Por c), e es inverso derecho de d= Como J es un grupo, d tiene un inverso } (que es inverso por los dos lados). Entonces e = } y ası́ e es inverso izquierdo de d= 4) , 1) Análogo al argumento de arriba. Corolario 1 En un grupo (J h) valen las siguientes afirmaciones: 1) Denotemos por d31 al inverso de d= La función ( )31 : J $ J es inyectiva y suprayectiva (de hecho, es autoinversa). 2) ({ |)31 = |31 {31 = 3) ¡ ({)31¢31 = {= Demostración. 1) Simplemente notemos que d d31 = h = d31 d implica que d es el inverso de d31 = Es decir, ¡ (d)31¢31 = d= 2) Se sigue de que { | |31 {31 = { h {31 = h= 3) Visto en 1). Notación 1 Es común que la operación para un grupo se denote con +, en este caso, el neutro se denota 0 y el inverso de d se denota d , en lugar de d31 =
  • 19. 8 CAPÍTULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS 1.2.1. Subgrupos y restricción de funciones. Definición 9 Si [ D se define la función inclusión lD [ : [ $ D { 7$ { de esta manera podemos pensar la inclusión de un conjunto en otro como una función. Definición 10 Sea [ D | sea i : D $ E una función. En este caso podemos tomar la composición de lD [ con i, es decir, D E [ - i 6 lD [ ¡ ¡ ¡ ¡ µ il[ D Llamaremos i|[ a la composición i lD [= i|[ se llama la restricción de i a [. Observación 5 Si es una operación en V, y [ es un subconjunto de V, entonces [ × [ es un subconjunto de V × V y entonces podemos considerar |[×[ : [ × [ $ V V × V V [ × [ - W 6 lV×V [×[ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ µ W|[×[ Notemos que |[×[ : [ ×[ $ V no es una operación en [, puesto que el codominio no es [= Sin embargo, si nosotros tuviéramos que ;{ | 5 [ { | 5 [ podrı́amos tomar |[×[ : [ × [ $ [. En este caso diremos que [ es un subconjunto de V cerrado bajo = Observación 6 Sea operación en V y sea [ un subconjunto de V cerrado bajo = Entonces:
  • 20. 1.2. GRUPOS 9 1. asociativa , |[×[ es asociativa. 2. conmutativa , |[×[ es conmutativa. Definición 11 Sea (J h) un grupo y V un subconjunto de J, diremos que V es un subgrupo de J si ¡ V |V×V i ¢ es un grupo. Ejercicio 5 Son equivalentes para un subconjunto V de J con (J h) grupo: 1. V es un subgrupo de J= a) V es cerrado bajo = b) h 5 V= c) v 5 V , v31 5 V= Ejercicio 6 Demuestre que 1. La intersección de dos subgrupos de un grupo J es un subgrupo de J. 2. La intersección de una familia {K}M[ de subgrupos de J es un subgrupo de J= Ejercicio 7 Si [ es un subconjunto de un grupo J, entonces la intersección de la familia de subgrupos que contienen a [ es el menor subgrupo que contiene a [= Se llama el subgrupo generado por [ y lo denotaremos h[i = Ejemplos 7 1. El subgrupo generado por el neutro de un grupo (J h) es {h} = a) {h} es cerrado bajo = b) h 5 {h} = c) h31 = h 5 {h} = Entonces {h} es un subgrupo que contiene a h= Es claro que es el subgrupo que genera {h} (no puede haber otro subgrupo más pequeño que contenga h). 2. El subgrupo de (Z + 0) generado por 2 es 2Z=
  • 21. 10 CAPÍTULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS a) 2 5 2Z= b) 2Z es cerrado bajo la suma. c) 0 5 2Z d) 2n = 2 (n) 5 2Z= Entonces 2Z es un subgrupo de Z que contiene a 2. Si K es un subgrupo de Z que contiene a 2 debe de contener también a 0 (2) = 2 a 2 2 = 4, a 0 (4) = 4..., a 2n a 0 2n = 2n a 2n 2 a 0(2n 2) = 2 (n + 1) ... Es decir, K debe contener a 2Z. Por lo tanto 2Z es el menor subgrupo de Z que contiene a 2= 3. El subgrupo de Z generado por q es qZ= Es análogo al anterior. 4. Todos los subgrupos de Z son de la forma qZ con q 5 N= a) Un subgrupo K de Z tiene que contener por lo menos al neutro 0. Si K = {0} entonces K = 0Z= b) Si K 6= 0Z, tomemos un entero p distinto de 0 que pertenezca a K. Si p ? 0 notemos que 0 p = p A 0 es un elemento de K= Ası́ que K contiene enteros positivos. Otra manera de decir esto es: K _ Z+ 6= B= Usemos el principio del buen orden para convencernos de que podemos tomar el menor entero positivo que pertenece a K= Entonces q 5 K y por lo tanto qZ K= c) Tomemos un elemento de K, { digamos, y apliquemos el algoritmo de la división a { y q: t q { u 0 6 u ? q como { = tq + u, entonces u = { tq = { + (t) q 5 K. De aquı́ vemos que u tiene que ser 0, pues de nos ser ası́, u serı́a un elemento de K más pequeño que el más pequeño Q ). Como u = 0 entonces { = tq 5 qK= 5. El subgrupo de Z generado por {q p} es qZ + pZ = {q}1 + p}2 | }1 }2 5 Z} = (q; p) Z donde (q; p) denota el máximo común divisor de q y p=
  • 22. 1.2. GRUPOS 11 a) Primero convenzámonos de que {q}1 + p}2 | }1 }2 5 Z} es un subgrupo de Z que contiene tanto a q como a p= (Es cerrado bajo la suma, contiene al 0, es cerrado bajo tomar inversos, y contiene a q y a p= b) Supongamos ahora que K es un subgrupo de Z que contiene a q, y a p. Entonces también debe contener al subgrupo generado por q, es decir qZ K. Lo mismo puede decirse de pZ= Como K es cerrado bajo la suma entonces qZ + pZ K= Por lo tanto, qZ + pZ es el subgrupo generado por {q p}. c) Ahora, qZ + pZ = gZ, para algún natural g. Es fácil comprobar que es el máximo común divisor de q y p= 6. qZ _ pZ = [q; p] Z donde [q; p] hq denota el mı́nimo común múltiplo de q y p= Teorema 2 Si j 5 J entonces hji = {j} | } 5 Z} =1 Demostración. 1. h = j0 5 {j} | } 5 Z} 2. j} jz = j}+z 5 {j} | } 5 Z}, (ejercicio). 3. (j} )31 = j3} 5 {j} | } 5 Z}, (ejercicio). Luego, {j} | } 5 Z} es un subgrupo de J que contiene a j = j1 . Por lo tanto hji 6 {j} | } 5 Z} = Por otra parte, se demuestra por inducción, que j} 5 hji ;} 5 Z. Esto nos da la igualdad entre {j} | } 5 Z} y hji = Observación 7 Si [ J entonces h[i = © dn1 1 dn2 2 dn3 3 ===dnq q | q 5 N dl 5 [ nl 5 Z ª = Ejemplo 8 Las simetrı́as del cuadrado son un subgrupo de El| {1 2 3 4} = Ejercicio 8 Si J es un grupo, entonces 1 j} se define de la manera siguiente: 1. j0 = h, el neutro. 2. jn+1 = jn j 3. jn = ¡ j1 ¢n n A 0=
  • 23. 12 CAPÍTULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS 1. ;j 5 J ;} z 5 Z j} jz = j}+z = 2. ;j 5 J ;} 5 Z j3} = (j} )31 = 3. ;j 5 J ;} z 5 Z (j} )z = j}z = Definición 12 Sea Y un conjunto de puntos en el plano euclidiano, una función i : Y $ Y es una simetrı́a de Y si respeta las distancias entre puntos de Y= Observación 8 Sea Y finito, como en la definición anterior, entonces una simetrı́a de Y es una biyección: Demostración. Si { 6= | son elementos de Y , entonces su distancia es distinta de 0 por lo tanto g (i ({) i (|)) = g ({ |) 6= 0. En particular, { 6= |= Por lo tanto i es inyectiva. Como i es inyectiva, y Y es finito, entonces i es biyectiva. Observación 9 Si Y es un subconjunto finito del plano, entonces {i : Y $ Y | i es simetrı́a} es un subgrupo de El|(Y )= Demostración. 1. La composición de dos simetrı́as es una simetrı́a: Supongamos que i j son dos simetrı́as de Y y que { | 5 Y= Entonces glvw ((j i) ({) (j i) (|)) = glvw (j (i ({)) j (i (|))) = = glvw (i ({) i (|)) = glvw ({ |) = 2. La función identidad LgY es una simetrı́a. 3. Si i es una simetrı́a, entonces i31 también lo es: sean { | 5 Y entonces { = i (x) | = i (y) (recordemos que i es suprayectiva). Entonces glvw ¡ i31 ({) i31 (|) ¢ = glvw ¡ i31 (i (x)) i31 (i (y)) ¢ = = glvw (x y) = glvw (i (x) i (y)) = glvw ({ |) = En particular, si 1 2 3 4 son los vértices de un cuadrado, las simetrı́as del con- junto de vértices del cuadrado son los elementos de un subgrupo de El| {1 2 3 4} = Contemos el número de simetrı́as del cuadrado: el número posible de imágenes de 1 es 4= La imagen del 3 queda determinada por la imagen de 1= 2 tiene que ir a dar a un vecino de la imagen de 1 (dos posibilidades). Esto ya determina la imagen de 4= En total hay 4 × 2 = 8 simetrı́as del cuadrado. Observando la figura anterior, vemos que las 8 simetrı́as del cuadrado son 4 reflexiones (sobre los ejes de simetrı́a) y 4 rotaciones (incluyendo la identidad).
  • 24. 1.3. ANILLOS 13 Figura 1.1: 1.3. Anillos Definición 13 Un anillo es una quinteta (U + 0 1) tal que: 1. (U + 0) es un grupo conmutativo. 2. (U 1) es un monoide. 3. se distribuye sobre +, por los dos lados, es decir que u (v + w) = (u v) + (u w) ;u v w 5 U= y (v + w) u = (v u) + (w u) ;u v w 5 U= Cuando en un anillo la operación es conmutativa, el anillo se llama anillo conmutativo. Hay que notar que la suma en un anillo siempre es conmutativa. Ejemplos 9 1. (Z += 0 1) es un anillo.
  • 25. 14 CAPÍTULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS 2. (Zq += 0 1) es un anillo. 3. (Q += 0 1) es un anillo. 4. (R += 0 1) es un anillo. Ejemplo 10 Tomemos un conjunto [. Consideremos € ([) definamos en € ([) una suma de la manera siguiente: D + E =: (D ^ E) (D _ E) (esto se llama la diferencia simétrica de D y de E y también se denota por D{E). Definamos ahora el producto de D y de E como su intersección: D _ E= Proposición 1 Veremos que (€ ([) + _ [) es un anillo. Demostración. Lo único no trivial que hay que demostrar es que + es asociativa (y que la intersección se distribuye sobre la suma). Comparemos D + (E + F) con (D + E) + F = F + (D + E) = F + (E + D) (la suma es conmutativa). Veremos que D + (E + F) es inalterado por el intercambio D #$ F y con esto habremos terminado. En efecto: D + (E + F) = [D _ Ef _ Ff ] ^ [D _ F _ E] ^ [E _ Ff _ Df ] ^ [F _ Ef _ Df ] Notemos que los uniendos de enmedio son invariantes bajo el intercambio de D con F, mientras que los extremos se mapean uno en el otro, cuando uno intercambia D con F. La siguiente es una verificación de la igualdad anterior. D + (E + F) = (D(E + F)) ^ ((E + F)D) = = (D _ [(EF) ^ (FE)]f ^ ([(EF) ^ (FE)] _ Df ) = = (D _ [(E _ Ff ) ^ (F _ Ef )]f ) ^ ([(E _ Ff ) ^ (F _ Ef )] _ Df ) = = (D _ [(E _ Ff )f _ (F _ Ef )f ]) ^ [(E _ Ff _ Df ) ^ (F _ Ef _ Df )] = = (D _ [(Ef ^ F) _ (Ff ^ E)]) ^ [(E _ Ff _ Df ) ^ (F _ Ef _ Df )] = = ([(D _ Ef ) ^ (D _ F)] _ (Ff ^ E)) ^ [(E _ Ff _ Df ) ^ (F _ Ef _ Df )] = = [[(D _ Ef ) _ (Ff ^ E)] ^ [(D _ F) _ (Ff ^ E]] ^ [(E _ Ff _ Df ) ^ (F _ Ef _ Df )] = = [[(D _ Ef _ Ff ) ^ ] ^ [ ^ (D _ F _ E)]] ^ [(E _ Ff _ Df ) ^ (F _ Ef _ Df )] = = [(D _ Ef _ Ff ) ^ (D _ F _ E)] ^ [(E _ Ff _ Df ) ^ (F _ Ef _ Df )]= Ejercicio 9 Complete los detalles de la demostración de que (€([) + _ [) es un anillo.
  • 26. 1.3. ANILLOS 15 1.3.1. Producto de copias de un anillo. Definición 14 Sea (U + 0 1) un anillo y sea [ un conjunto. U[ es el conjunto de las funciones de [ a U= Si tenemos dos elementos de U[ , i y j, podemos sumarlas por medio de la definición: ¡ i+̃j ¢ ({) =: i ({) + j ({) = Del lado izquierdo de la ecuación anterior tenemos la suma que se está definiendo y del lado derecho la suma en el anillo U. Notemos que +̃ es una operación en U[ y que es conmutativa, asociativa con neutro: 0̂ la función constante y notemos también que la función i tiene inverso aditivo: i= i calculada en { da i ({). Definimos el producto en U[ , de manera similar: (i˜ j) ({) =: i ({) j ({) = Es una verificación rutinaria la de la asociatividad de ˜ , y la distributividad de ˜ sobre +̃= El neutro del producto es la función constante 1̂= Teorema 3 Sea (U + 0 1) un anillo. Entonces valen las siguientes afirmaciones: 1. ;u 5 U 0 u = u 0 = 0= 2. ;u v 5 U ((u + v = 0) , (u = v a v = u)) = 3. ;u 5 U (1) u = u = u (1). 4. ;u v 5 U [(u) v = (u v) = u (v)]. 5. (u) (v) = u v. Demostración. 1. 0 + (u 0) = (u 0) = u (0 + 0) = u 0 + u 0= Cancelamos u 0 para obtener u 0 = 0. Análogamente, obtenemos 0 u = 0. 2. Esta es una propiedad de los grupos. 3. (1) u + u = (1) u + 1 u = (1 + 1) u = 0 u = 0= Análogamente, u (1) = u= 4. u v + (u) v = 0 u = 0= Además =u (v) + u v = u (v + v) = u 0 = 0. 5. (u) (v) = (u (v) = ( (u v))) = u v= Definición 15 Un anillo (U + 0 1) es un
  • 27. 16 CAPÍTULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS 1. Anillo conmutativo si es conmutativa. 2. Dominio si (U {0} 1) es un monoide con cancelación.. 3. Anillo con división si (U {0} 1) es un grupo. 4. Campo si (U {0} 1) es un grupo abeliano. Observación 10 Todo campo es un dominio pero hay dominios que no son campos. Demostración. Que un campo es un dominio, se sigue del hecho de que un grupo es un monoide con cancelación. Por otra parte (Z + 0 1) es un dominio que no es campo. Definición 16 Una unidad en un anillo U es un elemento con inverso multiplica- tivo. El conjunto de las unidades para un anillo U lo denotaremos U× . Ejemplo 11 Consideremos el anillo de los enteros módulo q, Zq. Entonces Z× q = {d̄ 5 Zq | (d; q) = 1} = En efecto: Si (d; q) = 1, entonces hay una combinación entera de d y gh q, d}+qz = 1. De aquı́ es claro que d} = 1̄, por lo que ¯ } es el inverso multiplicativo de d̄= Recı́procamente, si d̄ tiene inverso multiplicativo ¯ }, entonces d} = 1̄= Esto equivale a d} q 1, es decir que q | (d} 1), que se puede expresar como: z 5 Ztal que qz = d} 1, o sea que 1 = d} qz= De aquı́ vemos que (d; q) = 1= Corolario 2 Zq es un campo / q es un primo. Demostración. Zq es un campo / Zq {0̄} = Z× q = {d̄ | (d; q) = 1} / © 1̄ 2̄ === q 1 ª = {d̄ 5 Zq | (d; q) = 1} / [(n; q) = 1 ;n 5 Z, tal que 1 6 n ? q] / q es primo. Ejercicio 10 Demostrar la unicidad de t y de u en el Ejemplo 4c.
  • 28. 1.3. ANILLOS 17 Ejercicio 11 Una máquina acepta palabras de ocho letras (definidas como suce- siones de ocho letras del alfabeto, inclusive si no tiene significado) e imprime una palabra de ocho letras consistente de las primeras 5 letras de la primera palabra segui- da de las últimas tres letras de la segunda palabra. Demuestre que el conjunto de las palabras de ocho letras con esta regla de multiplicación es un semigrupo. ¿Serı́a éste el caso si la máquina imprime las cuatro primeras letras de la primera palabra seguidas de las cuatro últimas de la segunda palabra? ¿Alguno de estos dos sistemas tiene neutro? Ejercicio 12 Sea (P 1) un monoide y sea p 5 P. Defı́nase un nuevo producto p por d p e = d p e. Demuestre que esto define un semigrupo, ¿bajo que condiciones hay neutro? Ejercicio 13 Sea V un semigrupo, x un objeto que no pertenece a V= Tómese P = V ^ {x} y extendamos el producto en V a un producto binario en Pdefiniendo xd = d = dx ;d 5 P. Demuéstrese que (P x) es un monoide. Ejercicio 14 Sea J un conjunto finito con una operación binaria y un neutro h= Demuéstrese que J es un grupo / su tabla de multiplicar tiene las siguientes propiedades: 1. Todo renglón y columna de la tabla contiene cada elemento de J= 2. Para cada par de elementos { | de J {h} sea U un rectángulo en el cuerpo de la tabla que tiene h en uno de sus vértices, { un vértice en el mismo renglón que h y | un vértice en la misma columna que h entonces el cuarto vértice depende sólo de la pareja ({ |) y no de la posición de h= Ejercicio 15 Encuentre los inversos multiplicativos de 2 8 11 13 15 en Z17 {0̄} y en Z53 {0̄} = Ejercicio 16 Muestre que si la suma y la multiplicación en un anillo (U + 0 1) son conmutativas, entonces una distributividad implica la otra. Ejercicio 17 Mostrar que en un anillo U, u 0 = 0 = 0 u ;u 5 U= Ejercicio 18 Suponga que en un anillo (U + 0 1) 0 = 1= ¿Cuántos elementos tiene U? Escriba las tablas de sumar y de multiplicar.
  • 29. 18 CAPÍTULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS Ejercicio 19 ¿Qué pasarı́a si en un anillo además se tuviera que la suma se dis- tribuyera sobre el producto? ¿Puede pasar esto? ¿Cómo serı́a U? Ejercicio 20 ¿Por qué un campo debe tener por lo menos dos elementos? Ejercicio 21 Considere el conjunto n d + e s 2 | d e 5 Q o súmense y multiplı́quense como reales. ¿Es esto un campo? ¿Quién es el recı́proco de un elemento d + e s 2 6= 0? Ejercicio 22 Considere el conjunto © d + e s 1 | d e 5 Z ª súmense y multiplı́quense como complejos. ¿Es esto un anillo? ¿Quiénes son los elementos con recı́proco? Ejercicio 23 Compruebe la regla de los signos en un anillo: 1. (d) (e) = (de) = 2. (d) (e) = (de) = 3. (d) (e) = de= Ejercicio 24 Tomemos el anillo (€ (N) + _ N) resuelva las ecuaciones: 1. [ + 2N = {2n + 1 | n 5 N} = 2. [ + {0 1 2 9} = {0 3} = 3. [ _ = N= 4. [ _ ( + [) = = (Aquı́, “resolver” quiere decir, encontrar todas las solu- ciones).
  • 30. Capı́tulo 2 Espacios vectoriales 2.1. Espacios vectoriales y subespacios Definición 17 Un espacio vectorial es una quinteta (Y +̃ 0̄ I · : I × Y $ Y ) tal que: 1. ³ Y +̃ 0 ´ es un grupo abeliano. 2. · : I × Y $ Y satisface: a) 1 ·  y =  y, ; y 5 Y= b) (fg) ·  y = f · (g ·  y), ;f g 5 I ; y 5 Y= c) (f + g) ·  y = f y+̃g y, ;f g 5 I ; y 5 Y= d) f · ¡  y+̃ z ¢ = f ·  y+̃f ·  z ;f 5 I ; y  z 5 Y= Los elementos de Y se llaman vectores, los de I se llaman escalares, y cuando sea claro como se definieron las operaciones, escribiremos I Y en lugar de toda la quinteta ordenada. I Y se lee: Y es un espacio vectorial sobre el campo I= Ejemplo 12 (R [{] + 0̄ R · : R × R [{] $ R) es un espacio vectorial.. Ejemplo 13 ³ Rq +̃ 0 R · : R× Rq $ R ´ es un espacio vectorial, con las opera- ciones definidas de la manera siguiente: 1. (d1 d2 === dq) +̃ (e1 e2 === eq) = (d1 + e1 d2 + e2 === dq + eq). 2. f · (d1 d2 === dq) = (fd1 fd2 === fdq) = 19
  • 31. 20 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Teorema 4 Si Y es un espacio vectorial sobre I, entonces 1. 0 ·  y =  0, ; y 5 Y . 2. d · 0 =  0 ;d 5 I= 3. (1) y =  y, ; y 5 Y= Demostración. 1.  0+̃ (0 ·  y) = 0 ·  y = (0 + 0) ·  y = 0 ·  y+̃0 ·  y. Cancelando 0 ·  y, obtenemos  0 = 0 ·  y. 2. Sea d 5 I, entonces  0+̃ ³ d · 0 ´ = d ·  0 = d · ³  0+̃ 0 ´ = d ·  0+̃d ·  0. Cancelando d · 0, obtenemos:  0 = d · 0= 3. 1 ·  y+̃ (1) ·  y = (1 + (1)) ·  y = 0 ·  y =  0. De aquı́ que (1) ·  y =  y= Ejemplo 14 Sea I un campo y sea [ un conjunto. Entonces I[ = {i : [ $ I | i es una función} = Se define la suma de funciones de la manera usual, y el producto de un elemento de I por una función también de la manera usual: 1. i+̃j : [ $ I es la función tal que ¡ i+̃j ¢ ({) = i ({) + j ({) = 2. f · i : [ $ I es la función tal que (f · i) ({) = f (i ({)) = Entonces: ¡ I[ +̃ 0̂ I · : I × I[ $ I[ ¢ es un espacio vectorial. Demostración. Que ¡ I[ +̃ 0̂ ¢ es un grupo conmutativo, se deja como ejerci- cio. Propiedades del producto por escalares: 1. (1 · i) ({) = 1 · i ({) = i ({) ;{ 5 [= Por lo tanto las funciones 1 · i y i coinciden. 2. [(fg) · i] ({) = (fg) · i ({) = f (gi ({)) = f ((gi) ({)) = (f · (g · i)) ({), ;{ 5 [ por lo que las funciones [(fg) · i] y (f · (g · i)) coinciden. 3. [(f + g) (i)] ({) = (f + g) (i ({)) = fi ({) + gi ({) = = (fi) ({) + (gi) ({) = (fi + gi) ({) ;{ 5 [= Por lo tanto, (f + g) (i) = (fi + gi). 4. £ f · ¡ i+̃j ¢¤ ({) = f £¡ i+̃j ¢ ({) ¤ = f [i ({) + j ({)] = = f (i ({)) + f (j ({)) = (f · i) ({) + (f · j) ({) = ¡ f · i+̃f · j ¢ ({) ;v 5 [= Por lo tanto f · ¡ i+̃j ¢ = f · i+̃f · j=
  • 32. 2.1. ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS 21 Observación 11 Tomemos un campo I y tomemos [ = {1 2 === q} × {1 2 === p} un elemento D en I[ se llama una matriz de q × p con coeficientes en I= Por costumbre, uno escribe Dlm en lugar de escribir D (l m) = También por costumbre, uno suele escribir una matriz D en la forma de un arreglo rectangular: 3 E E E C D11 D12 D13 · · · D1p D21 D22 D23 · · · D2p . . . Dq1 Dq2 Dq3 Dqp 4 F F F D = Ejemplos 15 De acuerdo a las definiciones: 1. (D + E)lm = Dlm + Elm; (l m) 5 {1 2 === q} × {1 2 === p} = 2. µ 2 3 5 6 7 8 ¶ + µ 0 7 8 9 5 4 ¶ = µ 2 10 13 15 12 12 ¶ = 3. (fD)lm = fDlm ; (l m) 5 {1 2 === q} × {1 2 === p} = 4. 2 µ 3 4 5 6 7 8 ¶ = µ 6 8 10 12 14 16 ¶ = Definición 18 Sea ¡ Y +̃ 0̂ I=· : I × Y $ Y ¢ un espacio vectorial, y sea Z Y= Diremos que Z es un subespacio vectorial de Y si ³ Z +̃|Z×Z  0 I ·|I×Z : I × Z $ Z ´ es un espacio vectorial. Cuando esto pase, escribiremos Z 6 I Y= Proposición 2 Z 6 I Y / ; ? = i) Z es cerrada bajo +̃ ii)  0 5 Z= iii) ;d 5 I ; z 5 Z d ·  z 5 Z= Demostración. ,) i) Que +̃|Z×Z sea una operación en Z significa que +̃|Z×Z : Z × Z $ Z es decir, que sumando dos elementos de Z se obtiene un elemento de Z= Esto es lo mismo que decir que Z es cerrado bajo +̃=
  • 33. 22 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES ii) El neutro de +̃|Z×Z debe coincidir con el neutro de +̃ que es  0= Por lo tanto  0 5 Z= iii) Que ·|I×Z : I × Z $ Z es una función con dominio I × Z y codominio Z significa exactamente lo mismo que ;d 5 I ; z 5 Z d ·  z 5 Z= +) Supongamos que se cumplen i), ii) y iii). Por el inciso i), tenemos que +̃|Z×Z es una operación en Z= Por herencia, +̃|Z×Z es asociativa y conmutativa. Lo anterior, junto con ii), nos dicen que ³ Z +̃|Z×Z  0 ´ es un monoide. Ahora, de la condición iii) y del Teorema 4 tenemos que  z = (1) ·  z 5 Z, ; z 5 Z= Concluı́mos que ³ Z +̃|Z×Z  0 ´ es un grupo conmutativo Es una cuestión sencilla comprobar que el producto ·|I×Z : I × Z $ Z satisface las propiedades pedidas a un producto por escalares. Ası́ que ³ Z +̃|Z×Z  0 I ·|I×Z ´ es un espacio vectorial.1 Ejemplo 16 C (R) = {i : R $ R | i es continua} es un subespacio de RR : 1. La suma de dos funciones continuas es continua. 2. La función constante 0̂ es continua. 3. El producto de un escalar por una función continua es continua. Recordemos que I([) = {i : [ $ I | sop (i) es finito} = Aquı́ hay que recordar también que sop (i) = {{ 5 Dom (i) | i ({) 6= 0} = Entonces Ejemplo 17 I([) 6 I[ pues: 1. La suma de dos funciones i j 5 I[ , de soporte finito es de soporte finito, puesto que sop ¡ i+̃j ¢ sop(i) ^ sop(j). (La unión de dos conjuntos finitos es finita, y un subconjunto de un conjunto finito es finito). 1 Por ejemplo, (fg) ·  z = f · (g ·  z) para cualesquiera escalares f g y cualquier  z 5 Z porque lo anterior se cumple para cualquier vector en Y=
  • 34. 2.2. EL SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO 23 2. La función constante 0̂ tiene soporte , que es finito. 3. Si f es un escalar y i es una función de soporte finito, entonces f·i tiene soporte finito ya que sop(f · i) sop(i) ((fi) ({) 6= 0 , f (i ({)) 6= 0 , i ({) 6= 0). Definición 19 Si D 5 Pq×p (I) su transpuesta es la matriz Dw 5 Pp×q (I) tal que Dw lm = Dml= Definición 20 Decimos que una matriz D 5 Pq×q (I) es simétrica si D = Dw . Ejemplo 18 Denotemos por Sq = {D 5 Pq×q (I) | D es simétrica} = Entonces Sq 6 Pq×q (I) = Demostración. 1. Supongamos que D E son matrices simétricas. Entonces (D+ E)w ml = (D + E)lm = Dlm + Elm = Dw lm + Ew lm = Dml + Eml = (D + E)ml. Por lo tanto (D + E)w = D + E, es decir, D + E también es simétrica. 2. La matriz de ceros es simétrica: Oml = 0 = Olm= 3. Si D es simétrica y f es un escalar, entonces (fD)lm = fDlm = fDml = (fD)ml = (fD)w lm = Ejemplo 19 Denotemos por Tq = {D 5 Pq×q (I) | Dlm = 0 si l A m} =(el conjunto de las matrices triangulares superiores). Entonces Tq 6 Pq×q (I) = 1. Supongamos que D E son matrices triangulares superiores y sea l A m. En- tonces (D + E)lm = Dlm + Elm = 0 + 0 = 0= Por lo tanto D + E es una matriz triangular superior. 2. La matriz de ceros es triangular superior:: Olm = 0 si l m= 3. Si D es triangular superior, f es un escalar, e l A m entonces (fD)lm = fDlm = f0 = 0= 2.2. El subespacio generado por un conjunto Teorema 5 Si {Z}M[ es una familia de subespacios vectoriales del espacio I Y entonces _ {Z}M[ también es un subespacio de Y=
  • 35. 24 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Demostración. 1. Sean  {  | 5 _ {Z}M[, entonces  {  | 5 Z, ; 5 [. Como cada Z es cerrada bajo la suma, entonces  { +  | 5 Z ; 5 [= Por lo tanto  { +  | 5 _ {Z}M[ = 2.  0 5 Z, ; 5 [ por lo tanto  0 5 _ {Z}M[ = 3. u 5 I  { 5 _ {Z}M[ , u 5 I  { 5 Z ; 5 [ , u { 5 Z ; 5 [ , u { 5 _ {Z}M[. Definición 21 Sean I Y un espacio vectorial y [ un subconjunto de Y , definimos L ([) = _ {Z 6 Y | [ Z} = L ([) se llama el subespacio de Y generado por [, debido a que es el menor subes- pacio de Y que incluye a [= Teorema 6 L ([) es el menor subespacio de Y que incluye a [= Demostración. Como L ([) = _ {Z 6 Y | [ Z} es una intersección de subespacios de Y , entonces L ([) también lo es, de acuerdo con el Teorema 5. Por otra parte, si Z es un subespacio de Y que incluye a [ entonces pertenece a la familia de subespacios que estamos intersectando al definir L ([) = Por lo tanto L ([) 6 Z. Ejemplo 20 Sea I Y y  y 5 Y . Entonces L ({ y}) = {f ·  y | f 5 I} =: I y= Demostración. ) {f ·  y | f 5 I} =: I y es un subespacio de Y que contiene a  y : 1. f y + g y = (f + g) y 5 I y= Por lo que I y es cerrado bajo la suma. 2.  0 = 0 y 5 I y= 3. f 5 I n y , f (n y) = (fn) y 5 I y= 4.  y = 1 y 5 I y. Como I y es un subespacio vectorial que contiene a  y, debe entonces ser mayor o igual que el menor subespacio que tiene la propiedad, es decir que L ({ y}) I y= ) Por otra parte, como  y 5 L ({ y}) 6 Y , cada múltiplo escalar de  y debe estar en L ({ y}), es decir, I y L ({ y}) =
  • 36. 2.2. EL SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO 25 Ejemplo 21 L ({(1 2)}) = {(n 2n) | n 5 R} 6 R2 = x y Observación 12 Z 6 Y / Z = L (Z). Demostración. +) Obvio. ,) Como Z Z 6 Y entonces L (Z) 6 Z= Por definición, un conjunto siempre está incluı́do en el subespacio que genera. Por lo tanto, Z L (Z) = Definición 22 Si Z1 Z2 6 Y , Z1 + Z2 =: L (Z1 ^ Z2) = Proposición 3 Si Z1 Z2 6 Y , entonces Z1 + Z2 = { z1 +  z2 |  z1 5 Z1,  z2 5 Z2}. Demostración. Denotemos con V al conjunto { z1 +  z2 |  z1 5 Z1  z2 5 Z2} = Este conjunto es un subespacio de Y que incluye tanto a Z1 como a Z2: En efecto: 1. Supongamos que  z1  x1 5 Z1 y que  z2  x2 5 Z2, entonces ( z1 +  z2) + ( x1 +  x2) = ( z1 +  x1) + ( z2 +  x2) 5 V= 2.  0 =  0 + 0 5 V= 3. f · ( z1 +  z2) = f z1 + f z2 5 V=
  • 37. 26 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES 4. ; z 5 Z1  z =  z + 0 5 V= Por lo tanto Z1 V= 5. ; z 5 Z2  z =  0 +  z 5 V= Por lo tanto Z2 V= Entonces V es un subespacio de Y que incluye a Z1 ^ Z2= Por lo tanto L (Z1 ^ Z2) 6 V= Por otra parte, ; z1 5 Z1  z2 5 Z2 tenemos que ambos elementos pertenecen a Z1 ^ Z2, ası́ que  z1  z2 5 L (Z1 ^ Z2) = Por lo tanto  z1 +  z2 5 L (Z1 ^ Z2) = Entonces V L (Z1 ^ Z2) = Teorema 7 Si [ I Y y [ 6= entonces L ([) = {1 {1 + === + q { | q 5 N {l 5 [ l 5 I} = Demostración. Denotemos con h[i al conjunto {1 {1 + === + q { | q 5 N {l 5 [ l 5 I} = Es claro que h[i es cerrado bajo la suma, que contiene a  0 y que es cerrado bajo multiplicación por escalares. Entonces es un subespacio que incluye a [= Por lo tanto L ([) h[i Por otra parte, dados cualesquiera vectores  {1 {2 {3 === {q 5 [ y escalares d1 d2 d3 === dq entonces, como [ L ([) tenemos que  {1 {2 {3 === {q 5 L ([) que como es un subespacio, también contiene a los múltiplos d1 {1 d2 {2 d3 {3 === dq {q de  {1 {2 {3 === {q respectivamente. Como L ([) es un subespacio, entonces d1 {1 + d2 {2 + d3 {3 + === + dq {q 5 L ([) ;d1 d2 d3 === dq 5 I ; {1 {2 {3 === {q 5 [= Por lo tanto h[i L ([).
  • 38. 2.2. EL SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO 27 Definición 23 Dada {Z}M[ una familia de subespacios de I Y , definimos X {Z}M[ =: L ¡ ^ {Z}M[ ¢ = Es decir, la suma de una familia de subespacios es el subespacio de I Y generado por la unión de la familia de subespacios. Teorema 8 P {Z}M[ es el menor subespacio de Y que incluye cada Z= Demostración. Primero notemos que Z ^ {Z}M[ L ¡ ^ {Z}M[ ¢ =: X {Z}M[ = Ahora, si Z ] 6 Y , ; 5 [, entonces ^ {Z}M[ ], por lo que L ¡ ^ {Z}M[ ¢ 6 ]= De lo anterior, vemos que L ¡ ^ {Z}M[ ¢ = P {Z}M[ es el menor subespacio que incluye a cada Z. Observación 13 [ Y , L ([) L ( ) = Demostración. L ([) es el menor subespacio que incluye a [ y por otra parte, [ L ( ) 6 Y . Proposición 4 Para cada [ Y , se tiene que L ([ ^ ) = L ([) + L ( ) = L (L ([) ^ L ( )) = Demostración. L ([) + L ( ) = L (L ([) ^ L ( )) es cierta, por definición. Ahora, [ ^ L ([) ^ L ( ) L (L ([) ^ L ( )) , , L ([ ^ ) L (L ([) ^ L ( )) = Por otra parte, [ [ ^ , L ([) L ([ ^ ). Análogamente, L ( ) L ([ ^ ). Por lo tanto, L ([) ^ L ( ) L ([ ^ ) ası́ que L (L ([) ^ L ( )) L ([ ^ ) = De la proposición anterior basta recordar que L ([ ^ ) = L ([) + L ( ).
  • 39. 28 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Teorema 9 (Ley Modular) Si [ ] son subespacios de I Y tales que [ 6 entonces _ ([ + ]) = [ + ( _ ]) = Demostración. ) [ ( _ ]) , también [ ( _ ]) ([ + ]) = Por lo tanto [[ + ( _ ]) ] a [[ + ( _ ]) ([ + ])] = Entonces [ + ( _ ]) _ ([ + ]) = ) Sea  | 5 _([ + ]) entonces  | =  {+ }, con  { 5 [  } 5 ]= Basta demostrar que  } 5 _ ]. Pero  } =  |  { 5 + [ = (ya que [ 6 ), además  } 5 ]= Definición 24 Sean Z1 Z2 6 Y se dice que Y es la suma directa de Z1 y Z2 si: 1. Z1 _ Z2 = n  0 o y 2. Z1 + Z2 = Y= En esta situación, escribiremos Y = Z1 L Z2= Cuando Z1 _ Z2 = n  0 o . escribiremos Z1 + Z2 = Z1 L Z2= Teorema 10 Son equivalentes para Z N 6 Y : 1. Y = Z L N= 2. N 6 Y y es máximo con la propiedad de que Z _ N = n  0 o = 3. N 6 Y y es mı́nimo con la propiedad de que Z + N = Y= Demostración. 1) , 2) Es claro que Z _N = n  0 o = Veamos que N es máximo con esta propiedad: N ¡ N´6 Y , N´_ (N + Z) = N + (N´_ Z) (por la Ley modular). Por otra parte, N´_(N + Z) = N´_Y = N´. Por lo tanto N´= N´_(N + Z) = N+(N´_ Z) = Ası́ que (N´_ Z) 6= n  0 o , pues de otra forma N´= N= En resumen: N ¡ N´6 Y , (N´_ Z) 6= n  0 o =
  • 40. 2.2. EL SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO 29 1) , 3) Resta demostrar que N es mı́nimo con la propiedad de que N +Z = Y : Supongamos que N´¡ N 6 Y= Entonces N _ (N´+ Z) = N´+ (N _ Z) = N´+ n  0 o = N´. Entonces N´+ Z 6= Y ya que en caso contrario, N = N´ = 2) , 1) Basta demostrar que Z +N = Y= Supongamos que Z +N $ Y . Entonces  { 5 Y (Z + N) = Ası́ que N ¡ N + L ({ {}). Ahora,  z 5 Z _ (N + L ({ {})) ,  z 5 Z a  z =  n +  { para alguna 5 I (note que 6= 0 implica que  { 5 Z + N Q ) por lo tanto  z =  n 5 Z _ N = n  0 o = Es decir, Z _ (N + L ({ {})) = n  0 o contradiciendo que N es máximo con esta propiedad.. Por lo tanto, Z + N = Y y ası́ Z L N = Y= 3) , 1) Ejercicio. Ejemplo 22 En RR sean P (R) = © i 5 RR | i ({) = i ({) ª I (R) = © i 5 RR | i ({) = i ({) ª = Entonces P (R) I (R) 6 RR (la demostración de esto se deja como ejercicio), además: 1. Para i 5 P (R)_I (R), i ({) = i ({) = i ({) = Esto implica que 2i ({) = 0= Por lo tanto, i ({) = 0 ;{ 5 R= Por lo tanto i = 0̂. 2. Para i 5 RR i ({) = i({)+i(3{) 2 + i({)3i(3{) 2 5 P (R) + I (R). Concluı́mos que RR = P (R) L I (R) = Ejemplo 23 Sea i ({) = ½ sen ({) si { 6 0 {3 7{ si { 0 cuya gráfica se muestra a conti- nuación:
  • 41. 30 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES x y i ({) Tomando s ({) = i({)+i(3{) 2 , y q ({) = i({)3i(3{) 2 , vemos las gráficas de i s y q: -3 -2 -1 1 2 3 4 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y i ({) s ({) q ({)
  • 42. 2.2. EL SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO 31 Ejemplo 24 En Pq(R) sean Sq(R) = {D 5 Pq(R) | D = Dw }, sea Aq(R) = {D 5 Pq(R) | D = Dw }. Entonces Sq (R) Aq (R) 6 Pq (R), (Ejercicio). Además: 1. D 5 Sq (R) _ Aq (R) , D = Dw = D , D = 3 E C 0 · · · 0 . . . ... . . . 0 · · · 0 4 F D = 2. Para F 5 Pq (R) F = 1 2 (F + Fw )+1 2 (F Fw ) = Como 1 2 (F + Fw ) es simétrica y 1 2 (F Fw ) es antisimétrica, entonces F 5 Sq (R) + Aq (R) = Por lo tanto Pq (R) = Sq (R) + Aq (R) = Por lo tanto Pq (R) = Sq (R) L Aq (R) = Teorema 11 Son equivalentes para Z N 6 I Y : 1. Y = Z L N= 2. ; y 5 Y ! z 5 Z ! n 5 N tal que  y =  z +  n= 3. Y = Z + N y  0 se puede escribir de manera única en la forma  z +  n con  z 5 Z y  n 5 N= Demostración. 1) , 2) Es claro que ; y 5 Y  y =  z +  n con  z 5 Z y  n 5 N (Y = Z + N). Ahora supóngase que  y =  z1 +  n1 =  z +  n, con  z1 5 Z n1 5 N entonces  z1  z =  n  n1 5 Z _ N = n  0 o , por lo tanto  z1 =  z y  n =  n1. Con lo que queda demostrada la unicidad.. 2) , 3) Inmediato. 3) , 1) Basta demostrar que Z _ N = n  0 o . Sea  { 5 Z _ N entonces  0 =  0 + 0 =  { + ( {) = Por lo tanto  { =  0= Proposición 5 [ I Y , L ([) = S [ finito L ( ). Demostración. ) [ , L ( ) L ([). En particular, L ( ) L ([), para cada subconjunto finito de [. Por lo tanto S [ finito L ( ) L ([) = ) Si [ es finito, no hay nada que demostrar. Podemos suponer que [ es infinito, y en particular, que es 6= = Si  0 6=  y 5 L ([), entonces  y = d1 {1 + d2 {2 + === + dn {n,
  • 43. 32 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES con n 5 N dl 5 I {l 5 [= Entonces  y 5 L ({ {1 {2 === {n}) note que { {1 {2 === {n} es finito. Por lo tanto L ([) S [ finito L ( ) = 2.3. Dependencia e independencia lineal Definición 25 V Y es linealmente dependiente (o= g=) si  { 5 L (V { {}) = Ejemplo 25 n  0 o es linealmente dependiente:  0 5 n  0 o = L () = L ³n  0 o n  0 o´ = Observación 14 Son equivalentes para V I Y : 1. V es o= g= 2.  { 5 V tal que L (V) = L (V { {}) = Demostración. 1) , 2) Sea  { 5 L(V{ {}). Entonces V{ {} V , L(V{ {}) 6 L(V). Por otra parte,  { 5 L (V { {}) , { {} L (V { {}) = Como también se tiene que V { {} L (V { {}) entonces ({ {} ^ V { {}) L (V { {}) = Es decir que V L (V { {}). Por lo tanto L (V) 6 L (V { {}) = 2) , 1)Si L (V) = L (V { {}) para algún  { 5 L entonces  { 5 L (V) = L (V { {}) = Teorema 12 V = { {1 {2 === {q} I Y es o= g=. / l 5 {1 === q} tal que  {l 5 L ({ {m | m ? l}) = Demostración. +)  {l 5 L ({ {m | m ? l}) L (V { {l}) (que existe dado que V es o= g=), entonces  {p = P l=1 l6=p l {l, además m A p implica que m = 0 (p es máximo), por lo tanto:  {p = X l=1 l?p l {l 5 L ({ {m | m ? l})
  • 44. 2.3. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL 33 Teorema 13 Son equivalentes para I Y : 1. es o= g= 2.  { 5 tal que L () = L ( { {}) = 3. finito, tal que es o= g= 4. finito, tal que  0 = P  |lM dl |l con algún dl 6= 0= Además, si es finito y = { {1 === {q}: 5. l 5 {1 ===q} tal que  {l 5 L ({ {m | m ? l}) = Demostración. Con lo que se ha demostrado hasta este momento, únicamente falta demostrar la equivalencia de 4) con las demás proposiciones. 3) , 4) = { {1 {2 === {q} o= g= ,  {l 5 tal que  {l 5 L ( { {l}) ,  {l = P m=1 m6=l dm {m ,  0 = P m=1 dm {m con dl = 1 6= 0= 4) , 3) Supongamos que = { |1 |2 === |q} a 0 = P l=1 dl |l con algún dl 6= 0= Sea dg 5 {d1 === dq} tal que dg 6= 0= Ası́, tenemos que dg |g = q X l=1 l6=g dl |l esto implica que  |g = q X l=1 l6=g µ 1 dg ¶ dl |l 5 L ( { |g}) = Por lo tanto, es o= g= Ejemplo 26 En I [{] V = {1 { {2 === {q ===} no es o= g= Demostración. Sea W V W finito , W = {{l1 {l2 === {ln } = Si {o 5 L ¡ W © {o ª¢ entonces {o = l1 {l1 + l2 {l2 + === + ln {ln con ln 6= o Q . Por lo tanto V no es o= g=
  • 45. 34 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Definición 26 V I Y es o= l= (linealmente independiente) si V no es o= g= Ejemplo 27 I Y es o= l= Pues si fuera linealmente dependiente,  { 5 tal que  { 5 L ( { {}) Q = Observación 15 Son equivalentes para  { 5I Y : 1. { {} es o= l= 2.  { 6=  0= Demostración. { {} es o= l= / ¬ ( } 5 { {} tal que  } 5 L ({ {} { }})) / ; } 5 { {}  } 65 L ({ {} { }}) /  { 65 L ({ {} { {}) = L () = n  0 o /  { 6=  0= Proposición 6 V W Y V o= g= , W es o= g= Demostración. V o= g= ,  { 5 V W tal que  { 5 L (V { {}) = Pero L (V { {}) L (W { {}) = ,  { 5 L (W { {}) y W es o= g= Corolario 3  0 5 V , n  0 o V , V es o= g= Corolario 4 V W Y W o= l= , V es o= l= Teorema 14 Son equivalentes para V I Y : 1. V es o= l= 2. Todo subconjunto finito W de V es o= l=
  • 46. 2.4. BASES 35 Demostración. 1) , 2) Por el Corolario 4. 2) , 1) Por contrapuesta. Si V es o= g= entonces  { 5 V tal que  { 5 L (V { {}) = S V{ {} finito L ( ) ,  { 5 L (W) para algún subconjunto finito W de V { {}. ,  { 5 L (W) = L ([W ^ { {}] { {}), por lo que W ^ { {} es o= g= En resumen: si V es o= g= entonces algún subconjunto finito W de V es o= g= Corolario 5 Son equivalentes para I Y : 1. es o= l= 2. ; { 5 L ( { {}) $ L () = 3. ; tal que es finito, es o= l= 4. ; tal que es finito,  0 = P  |lM dl |l , dl = 0 ;l= 2.4. Bases Definición 27 Decimos que I Y genera I Y , si L () = Y . También se dice que es un conjunto generador de I Y= Observación 16 Dado que Y 6 I Y y L (Y ) = Y , entonces Y es un conjunto generador de Y . Ası́, todo espacio vectorial tiene conjuntos generadores. Definición 28 I Y es una base para I Y si es o= l= y genera I Y= Ejemplo 28 {1 { {2 ==={q ===} es una base para I [{] = Notación 2 1. J (I Y ) = {[ Y | [ es o= l=} 2. G (I Y ) = {[ Y | [ genera I Y } = Teorema 15 Son equivalentes para I Y : 1. es base de Y= 2. es un elemento máximo en J (Y ) = 3. es un elemento mı́nimo en G (Y ) =
  • 47. 36 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Demostración. 1) , 2) Es claro que 5 J (I Y ) basta demostrar que es máximo. Supóngase que $ 0 entonces  { 5 0 = Dado que L () =I Y entonces ^ { {} es o= g= ( { 5I Y =L() =L([ ^ { {}] { {}) = Pero ^ { {} 0 , por lo que 0 @ 5 J (I Y ) = 2) , 3) Dado que 5 J (I Y ), basta demostrar que L () =I Y= Sea  { 5 Y es claro que si 1. si  { 5 entonces  { 5 L () = 2. si  { 65 entonces ^ { {} es linealmente dependiente, y entonces hay alguna combinación lineal  0 = 1 {1 + === + q {q + q+1 { con  {l 5 y con algún coeficiente distinto de 0= Notemos que q+1 6= 0 pues en caso contrario tendrı́amos que es o= g= Por lo tanto  { = 1 q+1 [1 {1 === q {q] es decir,  { 5 L () = Concluı́mos que 5 G (I Y ) = 3) , 1) Basta demostrar que es o= l= ; { 5 L ( { {}) ¡I Y =L() = , es o= l= Definición 29 I Y es finitamente generado si [ Y [ finito tal que [ 5 G (Y ) = Observación 17 [ 5 G (Y ) / el único subespacio de I Y que incluye a [ es Y= Teorema 16 I Y finitamente generado por [ , [ tal que es base para Y= Demostración. 1. Si [ es mı́nimo en G (I Y ) tomemos = [= 2. Si [ no es mı́nimo en G (I Y ) entonces [1 $ [ tal que [1 5 G (Y ) = Entonces [1 ya es una base de I Y en cuyo caso tomamos = [1 o bien [2 $ [1 tal que [2 5 G (Y ) = Ası́, mientras podamos, podemos repetir el argumento para obtener una sucesión de subconjuntos generadores de Y : [ % [1 % === Notemos que este proceso termina, pues si consideramos la sucesión de las cardina- lidades de los conjuntos de arriba, obtenemos: |[| ¢ |[1| ¢ |[2| === que termina, por el principio del buen orden. Termina precisamente cuando hemos encontrado un generador mı́nimo [n=
  • 48. 2.4. BASES 37 Teorema 17 Sea I Y finitamente generado, J 5 G (I Y ) L 5 J (I Y ) = Entonces |L| 6 |J| = Demostración. Podemos suponer que L 6 J (ya que si L J el resultado es inmediato). Sea J = { |1  |2 === |p} con L _ J = { |1 === |n} n ? p (esto se puede conseguir, reenumerando los vectores, si hiciera falta). Sea  {1 5 L(L _ J) { {1  |1 |2 ===  |p} es o=g= (porque  {1 5 L({ |1  |2 === |p})). Ahora, como { {1  |1 |2 === |p} L, se tiene que m A n tal que  |m 5 L({ {1 === |m31}) y ası́ es claro que L ({ {1  |1 |2 ===  |p} { |m}) = L ({ |1 |2 === |p}) =I Y= Lo que se ha hecho es tomar un elemento de JL ( |m) y cambiarlo por un ele- mento  {1 de LJ, de tal manera que se obtiene un nuevo conjunto generador (J1 = [J { |m}] ^ { {1}). De esta manera podemos repetir el argumento, con J1 e L= Notemos ahora que (L _ J1) = { {1  |1 |2 ===  |n} tiene un elemento más que (L _ J):  {1= Si tuviéramos que repetir el argumento una vez más, obtendrı́amos un nuevo conjunto generador J2, tal que |(L _ J1)| ? |(L _ J2)| === 6 |J| esto implica que el número de veces que se puede aplicar el argumento es finito, y debe ser claro que el proceso termina hasta que L Jn es decir hasta que L = L _ Jn por lo que |L| 6 |Jn| = |J| = En R3 J = {(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)} 5 G (R3 ) = Por lo tanto un conjunto linealmente independiente en R3 tiene a lo más 3 elementos. Es decir [ R3 |[| A 3 , [ es o=g= 1. {(1 0 0 1) (0 1 0 2) (0 0 1 3) (0 0 1 4) (1 2 3 4)} genera R4 y 2. {(1 0 0 1) (0 1 0 2) (0 0 1 0} es o= l= en R4 =
  • 49. 38 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Demostración. 1. Para ver que el primer conjunto genera R4 resolvamos { (1 0 0 1) + | (0 1 0 2) + } (0 0 1 3) + v (0 0 1 4) + w (1 2 3 4) = = (d e f g) que como sistema de ecuaciones tiene la matriz aumentada 3 E E C 1 0 0 0 1 d 0 1 0 0 2 e 0 0 1 1 3 f 1 2 3 4 4 g 4 F F D con forma escalonada y reducida: 3 E E C 1 0 0 0 1 d 0 1 0 0 2 e 0 0 1 0 13 4f g + d + 2e 0 0 0 1 10 g d 2e 3f 4 F F D = 2. Veamos ahora que {(1 0 0 1) (0 1 0 2) (0 0 1 0} es o= l= en R4 : Una manera de verlo es notando que en el conjunto anterior, ningún vector es combinación lineal de los anteriores. Otra, es resolviendo { (1 0 0 1) + | (0 1 0 2) + } (0 0 1 0) = (0 0 0 0) : 3 E E C 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 2 0 0 4 F F D cuya forma escalonada y reducida es 3 E E C 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 4 F F D es decir, { = 0 | = 0 } = 0= Ahora sean L = ; A A ? A A = 3 E E C 1 0 0 1 4 F F D 3 E E C 0 1 0 2 4 F F D 3 E E C 0 0 1 0 4 F F D A A @ A A J = ; A A ? A A = 3 E E C 1 0 0 1 4 F F D 3 E E C 0 1 0 2 4 F F D 3 E E C 0 0 1 3 4 F F D 3 E E C 0 0 1 4 4 F F D 3 E E C 1 2 3 4 4 F F D A A @ A A
  • 50. 2.4. BASES 39 entonces L _ J = ; A A ? A A = 3 E E C 1 0 0 1 4 F F D 3 E E C 0 1 0 2 4 F F D A A @ A A = Como J genera Y , entonces ; A A ? A A = 3 E E C 0 0 1 0 4 F F D A A @ A A ^ J es o= g= por lo que algún vector en la lista 3 E E C 0 0 1 0 4 F F D 3 E E C 1 0 0 1 4 F F D 3 E E C 0 1 0 2 4 F F D 3 E E C 0 0 1 3 4 F F D 3 E E C 0 0 1 4 4 F F D 3 E E C 1 2 3 4 4 F F D es combinación lineal de los anteriores. Es fácil ver que éste no es el primero, ni el segundo, ni el tercero. El cuarto vector no puede ser f=o= de los anteriores, pues tendrı́a que ser múltiplo del primero (observar las dos primeras coordenadas). El quinto vector es f=o= del primero y del cuarto vectores de la lista: 3 E E C 0 0 1 0 4 F F D 3 E E C 1 0 0 1 4 F F D 3 E E C 0 1 0 2 4 F F D 3 E E C 0 0 1 3 4 F F D 3 E E C 0 0 1 4 4 F F D = Resolvamos { 3 E E C 0 0 1 0 4 F F D + | 3 E E C 1 0 0 1 4 F F D + } 3 E E C 0 1 0 2 4 F F D + w 3 E E C 0 0 1 3 4 F F D = 3 E E C 0 0 1 4 4 F F D =
  • 51. 40 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Cuya matriz aumentada es: 3 E E C 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 2 3 4 4 F F D, con forma escalonada y reducida: 3 E E C 1 0 0 0 1 3 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 4 3 4 F F D = Por lo que 3 E E C 0 0 1 4 4 F F D = 1@3 3 E E C 0 0 1 0 4 F F D + 4@3 3 E E C 0 0 1 3 4 F F D = Ahora, podemos quitar 3 E E C 0 0 1 4 4 F F D del conjunto ; A A ? A A = 3 E E C 0 0 1 0 4 F F D 3 E E C 1 0 0 1 4 F F D 3 E E C 0 1 0 2 4 F F D 3 E E C 0 0 1 3 4 F F D 3 E E C 0 0 1 4 4 F F D 3 E E C 1 2 3 4 4 F F D A A @ A A obteniendo: ; A A ? A A = 3 E E C 0 0 1 0 4 F F D 3 E E C 1 0 0 1 4 F F D 3 E E C 0 1 0 2 4 F F D 3 E E C 0 0 1 3 4 F F D 3 E E C 1 2 3 4 4 F F D A A @ A A que sigue generando R4 y que incluye al conjunto L= Teorema 18 Si I Y es finitamente generado, entonces todas las bases de Y son finitas y tienen el mismo número de elementos. Demostración. Sea Y un subconjunto generador finito, y 0 dos bases de Y= Por el teorema anterior, || |0 | 6 || = Ahora, 5 J (Y ) 0 5 G (Y ) , || 6 | ´| = Simétricamente, tenemos que | ´| 6 || =
  • 52. 2.4. BASES 41 Definición 30 Sea I Y finitamente generado y una base de I Y= La dimensión de I Y es || = Teorema 19 Son equivalentes para I Y con dim(Y ) = q : 1. es base. 2. 5 J (Y ) a || = q= 3. 5 G (Y ) a || = q= 4. = { {1 === {q} a ; { !1 === q 5 I tal que  { = 1 {1 + === + q {q= Demostración. 1) , 2) Es claro, por el Teorema 18. 2) , 1) Basta demostrar que J (Y ) es máximo. Supóngase que $ 0 . Como la dim(I Y ) es q esto significa que hay un conjunto generador con q elementos (una base). Por lo tanto un conjunto con más de q elementos como 0 debe ser o= g= Por lo tanto, $ 0 , 0 es o= g= 1) , 3) Es inmediato del Teorema 18. 3) , 1) Hay que ver que es mı́nimo en G (Y ) = Si 0 $ entonces @ 5 G (Y ) ya que 0 5 G (Y ) 5 J (Y ) , || 6 |0 | ? || = 1) , 4) Sea  y 5I Y entonces  y = 1 {1 + === + q {q con l 5 I= Si además,  y = 1 {1 + === + q {q entonces  0 =  y  y = 1 {1 + === + q {q (1 {1 + === + q {q) = = (1 1) {1 + === + (q q) {q y como es o= l=, tenemos que 0 = (1 1) = === = (q q), es decir que 1 = 1 === q = q= 4) , 1) Es claro que genera I Y , ahora, si  0 = q P l=1 l {l entonces, dado que también se tiene que  0 = q P l=1 0 ·  {l la hipótesis de unicidad implica que 0 = 1 = === = q, por lo tanto es o= l=
  • 53. 42 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Ejemplo 29 En I [{] Sq (I) = {i 5 I [{] | grad (i) 6 0}^{0 ({)} es un subespacio de I [{] y = {1 { {2 === {q } es una base de Sq (I) = Escojamos ahora q + 1 elementos distintos en I d0 d1 === dq . Definamos el polinomio il = q Q m=0 m6=l ({ dm) q Q m=0 m6=l (dl dm) Notemos que il (du) = ½ 1 si u = l 0 si u 6= l = Si q P l=0 lil = 0 ({) 5 Sq (I) entonces evaluando en dltenemos que l = 0 y esto pasa para cada l 5 {0 === q} = Por lo tanto {i0 === iq} es o= l= y como |{i0 === iq}| = q+1 tenemos que {i0 === iq} es una base para Sq (I) = Ası́, si queremos un polinomio en Rq cuya gráfica en R2 pase por los q + 1 puntos del plano (d0 g0) === (dq gq) es fácil ver que j ({) = g0i0 + === + gqiq, cumple lo requerido. Ejemplo 30 Construyamos un polinomio v ({) cuya gráfica pase por los puntos (3 3) (2 1) (1 0) (2 4) (5 1) : Denotemos d0 = 3 d1 = 2 d2 = 1 d3 = 2 d4 = 5 il = q Q m=0 m6=l ({ dm) q Q m=0 m6=l (dl dm) i0 = ({ + 2) ({ + 1) ({ 2) ({ 5) (3 + 2) (3 + 1) (3 2) (3 5) = 1 80 {4 1 20 {3 9 80 {2 + 1 5 { + 1 4
  • 54. 2.4. BASES 43 i1 = ({ + 3) ({ + 1) ({ 2) ({ 5) (2 + 3) (2 + 1) (2 2) (2 5) = 1 28 {4 + 3 28 {3 + 15 28 {2 19 28 { 15 14 i2 = ({ + 3) ({ + 2) ({ 2) ({ 5) (1 + 3) (1 + 2) (1 2) (1 5) = 1 36 {4 1 18 {3 19 36 {2 + 2 9 { + 5 3 i3 = ({ + 3) ({ + 2) ({ + 1) ({ 5) (2 + 3) (2 + 2) (2 + 1) (2 5) = 1 180 {4 1 180 {3 + 19 180 {2 + 49 180 { + 1 6 i4 = ({ + 3) ({ + 2) ({ + 1) ({ 2) (5 + 3) (5 + 2) (5 + 1) (5 2) = 1 1008 {4 + 1 252 {3 1 1008 {2 1 63 { 1 84 = Ahora, 3i0 + (1) i1 + 0i2 + 2i3 + 5i4 = = 3 µ 1 80 {4 1 20 {3 9 80 {2 + 1 5 { + 1 4 ¶ + + (1) µ 1 28 {4 + 3 28 {3 + 15 28 {2 19 28 { 15 14 ¶ + +4 µ 1 180 {4 1 180 {3 + 19 180 {2 + 49 180 { + 1 6 ¶ 1 µ 1 1008 {4 + 1 252 {3 1 1008 {2 1 63 { 1 84 ¶ = v ({) = 1 20 {4 17 60 {3 9 20 {2 + 143 60 { + 5 2 = -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 4 x y v ({)
  • 55. 44 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Teorema 20 Si es o= l= en un espacio vectorial I Y de dimensión q, entonces I Y base tal que = Demostración. Sea 0 una base de I Y= Como 0 genera I Y y es o= l=, entonces || 6 |0 | = Sea = { |1 ===  |p} y 0 = { {1 === {q} y reordenemos los elementos de y 0 de manera que _ 0 = { |1 =  {1 ===  |n =  {n} = Entonces n 6 p 6 q= 1. Si n = p entonces _ 0 = , por lo que 0 y no hay nada que demostrar. 2. Si n ? p, entonces { |n+1 {1 === {q} es o= g= Entonces existe un vector que es combinación lineal de los anteriores (y no es  |n+1 porque es 6=  0, por ser parte de un conjunto o= l=) Entonces l 5 {n === q} tal que  {l 5 L ({ |n+1} ^ { {m | m ? l}) (l A n, porque si l 6 n entonces { |n+1 {1 === {l} que es o= l= Q )= , L ({ |n+1} ^ { {m | m 5 {1 === q} { {l}}) = L ({ |n+1 {1 === {q}) = L ({ {1 === {q}) =I Y= Entonces { |n+1}^{ {m | m 5 {1 === q} { {l}} es un conjunto generador de I Y con q elementos, por lo que es una base de I Y= Tomemos 0 ´= { |n+1} ^{ {m | m 5 {1 === q} { {l}} y repitamos el argumento, con y 0 ´ , notando que ahora, _ 0 ´= { |1 === |n |n+1} Con un elemento más en la intersección. El argumento se puede repetir hasta obtener una base tal que _ = { |1 === |n |n+1 === |p} = = Observación 18 Si I Y es un espacio vectorial de dimensión q y Z 6 Y entonces I Z tiene base y dim(Z) 6 dim (Y ) = Demostración. Todo subconjunto de Z que sea o= l= también es o= l= en Y= Un subconjunto linealmente independiente de I Y tiene a lo más q elementos. Tomemos un subconjunto V1 de Z o= l= (si hay: por ejemplo ). Si es máximo o= l= entonces V1 ya es un base de Z= Si no lo es, es porque hay un conjunto V2 que contiene propiamente a V1 (y por lo tanto tiene más elementos). Podemos repetir el argumento mientras no encontremos un conjunto o= l= máximo. Ası́ obtenemos V1 ¡ V2 ¡ === ¡ Vn sucesión de conjuntos o= l= en donde cada conjunto tiene por lo menos un elemento más que el anterior. Por lo tanto q |Vn| n 1. Con esto vemos que el proceso termina, y termina cuando hemos encontrado una base de Z=
  • 56. 2.4. BASES 45 Teorema 21 Sea I Y un espacio vectorial de dimensión q. Entonces Z1 Z2 6I Y , dim (Z1 + Z2) = dim (Z1) + dim (Z2) dim (Z1 _ Z2) = Demostración. Sea 1 una base de Z1 _ Z2. Como 1 Z1 es o= l=, entonces 1 Z1 tal que 1 ^ 1 es una base de Z1= De la misma manera, 2 Z2 tal que 1 ^ 2 es una base de Z2= (Notar que 2 _ 1 = pues un elemento  z en 2 _ 1 pertenecerı́a a L (1), con lo que 1 ^ 1 serı́a o= g= Q ). Nuestro objetivo es demostrar que 1 ^ 1 ^ 2 =: es una base para Z1 + Z2. 1. 1 ^ 1 ^ 2 genera Z1 + Z2 : L (1 ^ 1 ^ 2) = L ((1 ^ 1) ^ (1 ^ 2)) = = L (1 ^ 1) + L (1 ^ 2) = Z1 + Z2= 2. 1 ^ 1 ^ 2 es linealmente independiente: Si 1 ^ 1 ^ 2 fuera o= g= entonces habrı́a en 1 ^ 1 ^ 2 un vector que depende linealmente de los anteriores (escrı́banse primero los elementos de 1 después los de 1 y por último los de 2). Como 1 ^ 1 es o= l=, por ser una base de Z1 entonces habrı́a un elemento  {m de 2 que es f=o= de los elementos anteriores. Digamos que  {m =  | +  } + X l l?m {l,  | 5 L (1)  } 5 L (1) entonces  { =:  {m X l l?m {l =  | +  },  | 5 L (1)  } 5 L (1) entonces  { 5 L (2) _ L (1 ^ 1) Z1 _ Z2= Como 1 es una base de Z1 _ Z2, entonces  { 5 L (1). Pero entonces 1 ^ { {} es o= g= pero por otra parte  {m X l l?m {l = X o fo  zo,  zo 5 1 ,  {m = X l l?m {l + X o fo  zo , 1 ^ { {1 === {m} es o=g= pero también es un subconjunto de 1 ^ 2 que es o= l= por ser una base de Z2 Q = Esta contradicción muestra que 1 ^ 1 ^ 2 es o= l=
  • 57. 46 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Por último, dim (Z1 + Z2) = ¯ ¯ ¯1 ^ 1 ^ 2 ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯1 ^ 1 ¯ ¯ ¯ + |2| + |1| |1| = = dim (Z1) + dim (Z2) dim (Z1 _ Z2) = 2.5. Conjuntos parcialmente ordenados Definición 31 Un conjunto parcialmente ordenado (COPO) es una pareja (V 6) donde V es un conjunto y 6 es una relación de orden en V= Recordemos que una relación en un conjunto V es de orden si es reflexiva, simétrica y transitiva. Definición 32 Sea (V 6) un COPO, un elemento { 5 V es máximo si ¬ (| 5 V tal que [{ 6 |] a [{ 6= |]) = Es decir, { es máximo cuando no hay elementos mayores que {= Otra manera de decir que { es máximo en V es: { 6 | | 5 V , { = |= Definición 33 Un COPO es una cadena (o conjunto totalmente ordenado) si ;{ | 5 V { 6 | b | 6 {= Ejemplo 31 (N |) no es una cadena: 2 6| 3 a 3 6| 2= Definición 34 Sea (V 6) un COPO, 1. { 5 V es el elemento mayor, si v 6 { ;v 5 V= Denotaremos may(V) al mayor elemento de V, cuando lo haya.
  • 58. 2.5. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS 47 Figura 2.1: 2. { 5 V es el elemento menor, si { 6 v ;v 5 V= Observación 19 Si (V 6) es un COPO y W V entonces W × W V × V= Como 6 es una relación en V (6 V × V “la relación 6 es un subconjunto de V × V), entonces [6 _ (W × W)] W × W Denotemos 6 _ (W × W) por 6W = La relación 6W es una relación de orden en W= V × V W W × W - lqf 6 lqf - lqf 6 lqf Ejemplo 32 Por ejemplo (N |) es un COPO, y {1 2 3 === 10} N. Observación 20 No se deben confundir los conceptos de máximo y mayor. En el ejemplo anterior, no hay elemento mayor y hay 5 elementos máximos. Sea (V 6)un COPO y sea D V= Una cota superior para D en V es un elemento x 5 V tal que d 6 x ;d 5 D= Ejemplo 33 Una cota superior para {1 2 === 10} en (N |) es 7560=
  • 59. 48 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES 945 8 7560 0 1080 7 7560 0 840 9 7560 0 = Definición 35 Sea (V 6)un COPO y sea D V= Una cota inferior para D en V es un elemento o 5 V tal que o 6 d ;d 5 D= Notación 3 Sea (V 6)un COPO y sea D V= Denotaremos por D al conjunto de cotas superiores para D, denotaremos por D el conjunto de cotas inferiores de A. Definición 36 (V 6)un COPO y sea D V= 1. Si existe un menor elemento en el conjunto de cotas superiores de D lo lla- maremos el supremo de D= En sı́mbolos: sup (D) =: men ¡ D ¢ = 2. Si existe un menor elemento en el conjunto de cotas inferiores de D lo lla- maremos el ı́nfimo de D= En sı́mbolos: ı́nf (D) =: may ¡ D ¢ = Ejemplo 34 En (N |) el conjunto de cotas superiores para dos números q p es el conjunto de sus múltiplos comunes, y el menor de los múltiplos comunes es su mı́nimo común múltiplo. Es decir sup {q p} = men {e | q divide a e p divide a e } = p=f=p= {q p} = Ejemplo 35 Un subconjunto D de R con el orden usual, tiene supremo si está aco- tado por arriba (es decir, si tiene cota superior). Esto se conoce como Teorema del Supremo. Ejemplo 36 Sea (€ ([) ) el COPO de los subconjuntos de un conjunto [, con el orden parcial dado por la inclusión. Entonces: sup {D E} = men { | D E } = D ^ E= ı́nf {D E} = may { | D E} = D _ E=
  • 60. 2.5. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS 49 Figura 2.2: Ejemplo 37 En el COPO ({1 2 3 === 10} |), 1. sup {2 3} = 6= 2. inf{6 9} = 3= 3. {4 6} = {2 1} = 4. {3 5} = = Por lo que {3 5} no tiene supremo. Observación 21 El supremo de un conjunto D en un COPO (V 6) si existe, es único. Demostración. Sean x y y dos supremos para D. Entonces x y 5 D = Como x es el menor elemento de D y y 5 D entonces x 6 y. Por simetrı́a, y 6 x= Ası́ que x = y= Notación 4 Escribiremos d ? e ó d ¡ e para indicar que d 6 e a d 6= e= Observación 22 Sea D V (V 6) un COPO. Son equivalentes para x 5 V : x no es el supremo de D= x no es cota superior de D b (x es cota superior de D, pero no es la menor). (d 5 D tal que x ? d) b (y 5 D tal que y ? x)Las definiciones anteriores nos servirán para demostrar resultados para espacios vectoriales no necesaria- mente finitamente generados. Por ejemplo necesitaremos demostrar que todo espacio vectorial tiene base. En la sección siguiente introduciremos (como axio- ma) el Lema de Zorn.
  • 61. 50 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Figura 2.3: 2.6. Lema de Zorn Axioma 1 (Lema de Zorn) Sea (V 6) un COPO no vacı́o, si toda cadena en V tiene una cota superior en V, entonces D contiene elementos máximos. Ejemplo 38 Sea [ un conjunto y consideremos el COPO (€ ([) ) = Si {}M[ es una cadena en € ([) entonces ^ {}M[ es una cota superior para la cadena y pertenece a € ([) = El Lema de Zorn nos dice que € ([) tiene un elemento máximo y es claro que éste es [= Ejemplo 39 Un ideal de Z es un subconjunto cerrado bajo la resta, entonces un ideal de Zresulta ser un subgrupo aditivo y por lo tanto es de la forma qZ, q 5 Z. Defi- namos U (Z) = {D $ Z | D es un ideal propio} = De nuevo es claro que (U (Z) ) es un COPO (por ser un subconjunto de € (Z)). U (Z) 6= , y si {D}M[ es una cadena en U (Z), entonces ^ {D}M[ es una cota superior para la cadena (hace falta ver que es un ideal). El Lema de Zorn nos garantiza la existencia de ideales máximos propios. De hecho, son de la forma sZ, con s un número primo. Teorema 22 Todo espacio vectorial I Y tiene base. Demostración. (J (Y ) ) es un COPO, donde J (Y ) = {L Y | L es o= l=} =
  • 62. 2.6. LEMA DE ZORN 51 Además J (Y ) 6= pues 5 J (Y ) = Tomemos {L}M[ una cadena en J (Y ) = Es claro que ^ {L}M[ es una cota superior para la cadena, veamos que sigue perteneciendo a J (Y ) = Sea I finito ^ {L}M[ entonces I = { {1 {2 === {n} con  {l 5 Ll digamos. Como {L}M[ es una cadena, entonces {Ll }lM{1===n} también lo es y entonces uno de los elementos de esta familia es el mayor. Entonces ^ {Ll }lM{1===n} = Lm por lo que I finito Lm que es o= l=, por hipótesis. Luego I es o= l= Como todo subconjunto finito de ^ {L}M[ es o= l=, entonces ^ {Ll }lM{1===n} 5 J (Y ) = El Lema de Zorn nos garantiza la existencia de un elemento máximo en J (Y ), pero un elemento ası́, es una base. Definición 37 dim(I Y ) = || /$ base I Y= Más adelante demostraremos que la anterior definición es buena, es decir que cualesquiera dos bases de un espacio vectorial I Y tienen la misma cardinalidad. Esto ya lo sabemos para espacios finitamente generados. Pero hay espacios vectoriales que no son finitamente generados, como el espacio de los polinomios con coeficientes reales en donde hay un conjunto linealmente independiente infinito: © 1 { {2 === ª ver el Corolario 5. Teorema 23 Todo subconjunto L o= l= en un espacio vectorial I Y está incluı́do en una base de I Y= Demostración. Apliquemos el Lema de Zorn al COPO T = ({M Y | L M a M es o= l=} ) = La demostración es semejante a la del Teorema 22. Lo que obtenemos es un conjunto E máximo en T = Resta demostrar que además de que E es máximo en T también es máximo en J (Y ) = Si E $ E´ , entonces E´ no pertenece a T . Como incluye a L, lo que sucede es que no es o= l= Por lo tanto E es o= l= máximo.
  • 63. 52 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES 2.7. Dimensión Teorema 24 Z 6I Y , Z´ 6 Y tal que Y = Z L Z´. Demostración. Sea /$ edvh Z. Como hemos visto, un conjunto o= l= se puede extender a una base de I Y . Por lo tanto /$ edvh Y con . Sean 0 = Z´= L (0 ) = Entonces: 1. I Y = L () = L ³ ^ 0 ´ = L () + L (0 ) = Z + Z´ = 2. Si  { 5 Z _ Z´entonces  { 5 L ()  { 5 L (0 ) = Digamos que  { = X l xl ,  xl 5  { = X m ym ,  ym 5 0 = Entonces  {  { =  0 = P l xl ( P m ym) que es combinación lineal del conjunto o= l= = Por lo tanto, todos los coeficientes son 0= En especial,  { =  0= El siguiente Teorema es de gran importancia, pues nos dice que cualesquiera dos base de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad, con lo que se puede definir la dimensión de un espacio vectorial como la cardinalidad de una base. Teorema 25 Sean D E dos bases para I Y , entonces |D| = |E| = Demostración. Haremos uso del Lema de Zorn. Sea T = n (L{ I{) | L{ D I{ : L{ À$ E h (E [I{ (L{)]) ^ L{ i /$ o=l= Y o definimos la relación 6 en T por: (L{ I{) 6 (L| I|) si L{ L| a I||L{ = I{=
  • 64. 2.7. DIMENSIÓN 53 Vale la pena hacer énfasis en todo lo que se está pidiendo de T : Para cada pareja (L{ I{) se está pidiendo que (E [I{ (L{)]) sea ajeno con L{ y que su unión sea linealmente independiente en Y . Nótese que a E se le quita la imagen de L{ bajo I{ y se reemplaza con L{. 1. Veamos primero que (T 6) es un COPO. a. (L{ I{) 6 (L{ I{) ya que L{ L{ a I{|L{ = I{= b. [(L{ I{) 6 (L| I|)] a [(L| I|) 6 (L{ I{)] , L{ L|, L| L{= Por lo que L{ = L|= Además I{|L| = I|= Pero también I{|L| = I{|L{ = I{= c. [(L{ I{) 6 (L| I|)] a [(L| I|) 6 (L} I})] , L{ L| L} y L} I} AA$ E inc. % = %I| L| además L| I| AA$ E inc. % = %I{ L{
  • 65. 54 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Entonces I}|L{ = ¡ I}|L| ¢ |L{ = (I|)|L{ = I{= Por lo que L{ L} y I}|L{ = I{, es decir que (I{ L{) 6 (I} L}) =T 6= : ( ) 5 Ṫ : AA$ E y E () ^ es o= l en I Y= 2. Sea {(L{ I{)}{M[ una cadena en T= Definimos I : ^ {L{}{M[ $ E por  y 7$ I| ( y) si  y 5 L| = a. Tenemos que ver que esta función está bien definida: Si  y 5 L| a  y 5 L} dado que (L| I|) (L} I}) forman parte de una cadena, entonces (L| I|) 6 (L} I}) o (L} I}) 6 (L| I|) = Sin perder generalidad supongamos que (L| I|) 6 (L} I}) = Ası́ tenemos que I} ( y) = I}|L| ( y) = I| ( y) = b. Veamos ahora que I es inyectiva: si  y 6=  z  y  z 5 ^ {L{}{M[, entonces  y 5 L|  z 5 L} | } 5 [. Podemos suponer sin perder generalidad que (L| I|) 6 (L} I}) por lo tanto  y  z 5 L}= Además I ( y) = I| ( y) = I} ( y) 6= I} ( z) = I ( y) (recordar que I} es inyectiva). Por lo tanto I es inyectiva. c. Veamos ahora que · EI µ ^ {M[ {L{} ¶¸ ^ µ ^ {M[ {L{} ¶ es o= l en I Y= · EI µ ^ {M[ {L{} ¶¸ ^ µ ^ {M[ {L{} ¶ = · E µ ^ {M[ {I (L{)} ¶¸ ^ µ ^ {M[ {L{} ¶ = ·µ _ {M[ {EI (L{)} ¶¸ ^ µ ^ {M[ {L{} ¶ = Ası́, si { y1 === yq} _ {M[ {EI(L{)} y { z1 ===  zp} ^ {M[ {L{}, entonces { z1 ===  zp} L|, p. a. | 5 [ (por ser {(L{ I{)}{M[ una cadena) y { y1 === yq} EI (L|). Entonces { y1 === yq  z1 ===  zp} EI (L|) ^ L| que es o= l= Hemos demostrado que cualquier subconjunto finito de · EI µ ^ {M[ {L{} ¶¸ ^ µ ^ {M[ {L{} ¶ es o= l= d. Por último, veamos que · EI µ ^ {M[ {L{} ¶¸ µ ^ {M[ {L{} ¶ son conjuntos ajenos: Supongamos que hay  y 5 · EI µ ^ {M[ {L{} ¶¸ _ µ ^ {M[ {L{} ¶ . Entonces  y 5 · EI µ ^ {M[ {L{} ¶¸ = ·µ _ {M[ {EI(L{)} ¶¸ y  y 5 L{ p. a. { 5 [= Entonces  y 5 EI (L{) _ L{ p. a. { 5 [ Q =
  • 66. 2.7. DIMENSIÓN 55 e. Con todo lo anterior, hemos demostrado que ¡ ^ {L{}{M[ I ¢ 5 T. Además es claro que es cota superior para la cadena {(L{ I{M[)}{M[ = 3. Por el Lema de Zorn, T tiene algún elemento máximo (P j) = En particular P A j A$ E y Ej (P) ^ P /$ o= l Y= Supongamos que ( y 5 Ej (P)) a (DP 6= ) = Entonces (E (j (P) ^ { y})) ^ P /$ o= l Y (2.1) además L ³ (E (j (P) ^ { y})) ^ P ´ 6= Y (pues de lo contrario  y 5 L ³ E (j (P) ^ { y}) ^ P ´ y ası́ E (j (P)) ^ P serı́a o= g= Q ) entonces DP * L ³ (E (j (P) ^ { y})) ^ P ´ = (en caso contrario, D = (DP) ^ P L ³ (E (j (P) ^ { y})) ^ P ´ por lo que Y = L (D) L ³ (E (j (P) ^ { y})) ^ P ´ Q =) Como DP * L ³ (E (j (P) ^ { y})) ^ P ´  z 5 DP tal que  z @ 5 L ³³ E (j (P) ^ { y}) ^ P ´´ = (2.2) Definamos P̄ = P ^ { z} y j̄ por j̄ : P̄ E = j : P E j( z) =  y - lq|hfw= - lq|hfw= 6 lqf= 6 lqf= Tenemos que ¡ P̄ j̄ ¢ 5 T : E ¡ j̄ ¡ P̄ ¢¢ ^ P̄ = [E (j (P) ^ { y})] ^ (P ^ { z}) que es o= l= por 2.1 y 2.2. Además [E (j (P) ^ { y})] y P ^ { z} son ajenos (obsérvese 2.2). Pero entonces (P j) ¡ ¡ P̄ j̄ ¢ Q = La contradicción viene de la hipótesis ( y 5 Ej (P)) a (DP 6= ) =
  • 67. 56 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Por lo tanto Ej (P) = b DP = = 4. Si DP = entonces D P D= Por lo que D = P y h (Ej (D)) ^ D i /$ Y= o=l Pero como D es o= l= máximo, entonces Ej (D) = por lo que E j (D) E= Por lo tanto j es una biyección entre D y E= Por lo tanto |D| = |E| = Si Ej (P) = entonces j es suprayectiva, por lo que |D| |P| |E| = En cualquier caso, |D| |E| = Por simetrı́a, |E| |D| = Por el Teorema de Cantor- Schroeder-Bernstein, |D| = |E| = Teorema 26 Si |D| 6 |E| y |E| 6 |D|, entonces |D| = |E|. Demostración. ([2]). Sean D i AA$ E y D AA j $ E funciones inyectivas. Tomemos e1 5 E= Si e1 5 Im (i) entonces !d1 5 D tal que i (d1) = e1= Si d1 5 Im (j) entonces !e2 5 E tal que d1 = j (e2) continuamos mientras sea posible. Obtenemos una sucesión e1 i #| d1 j #| e2 i #| d2 i #| ==== Tenemos tres posibilidades: La sucesión anterior termina en una dn porque dn @ 5 Im (j) = (2.3) La sucesión anterior termina en una em porque em @ 5 Im (i) = (2.4) La sucesión anterior no termina. (2.5) Empezando con una d1 en D podemos repetir el anterior procedimiento, obteniendo una sucesión d1 j #| e1 i #| d2 j #| e2 i #| ==== De nuevo, uno tiene las tres posibilidades mencionadas arriba. Definamos ED =: {e1 5 E | (2.3)}
  • 68. 2.7. DIMENSIÓN 57 ED =: {e1 5 E | (2.4)} E =: {e1 5 E | (2.5)} y definamos análogamente, DD DE D= Ahora, observemos que DD i|DD AA³ ED es una biyección: Si la sucesión d1 j #| e1 i #| d2 j #| e2 i #| ==== i #| dn terminó, entonces la sucesión i (d1) i #| d1 j #| e1 i #| d2 j #| e2 i #| ==== i #| dn también terminó. Por lo tanto la correspondencia d1 7$ i (d1) va de DD a ED= Es claro que todos los elementos de ED provienen de un elemento de DD= (Los elementos de E que no están en la imagen de i pertenecen a EE). De la misma manera, EE j|EE AA³ DE es una biyección, y también D i|D AA³ E es una biyección. Por lo tanto |DD| = |ED| |EE| = |DE| y |D| = |E|. Por lo tanto |D| = ¯ ¯ ¯DD ^ DE ^ D ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ED ^ EE ^ E ¯ ¯ ¯ = |E| =
  • 69. 58 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Ejercicios Ejercicio 25 Demostrar que en el ejemplo 11, ¡ I[ +̃ 0̂ ¢ es un grupo conmutativo. Ejercicio 26 Mostrar que ; 5 I ;D E 5 Pq×p (I), se tiene que (D + E)w = Dw + Ew = Ejercicio 27 Si I Y es un espacio vectorial y  y  z 5 Y , entonces L ({ y  z}) = L ({ y}) + L ({ z}) = { y +  z | 5 I} = Ejercicio 28 L () = L ³n  0 o´ = n  0 o . Ejercicio 29 Demuestre 3) , 1) en el Teorema 13. Ejercicio 30 Demostrar que P (R) I (R) 6 RR = Ejercicio 31 Demostrar que Sq (R) Aq (R) 6 Pq (R). Ejercicio 32 Considere el sistema de ecuaciones con coeficientes en I: { + 2| + 5v w 3{ + 6| + 3} + 21v 2w 5{ + 10| + 3} + 31v w 3{ + 6| + 2} + 19v + 2w = 0 = 0 = 0 = 0= 1. Tome I = R y muestre que el conjunto V de soluciones es un subespacio de R5 . Encuentre una base para V= 2. Lo correspondiente,. con I = Z5= 3. Lo correspondiente,. con I = Z7= 4. Lo correspondiente,. con I = Z11= Ejercicio 33 Demostrar que 1 2 (F + Fw ) es simétrica y 1 2 (F Fw ) es antisimétrica, ;F 5 Pq (R) = Ejercicio 34 Muestre que n i : R $ R | i es continua y 0 = R 1 0 i o 6 RR .
  • 70. 2.7. DIMENSIÓN 59 Ejercicio 35 Muestre que V = © i 5 RR | i sus dos primeras derivadas existen y i´ ´({) = i ({) ª es un subespacio del espacio C (R) = © i 5 R2 | i(q) ({) existe ;q 5 N ;{5 R ª = Ejercicio 36 Muestre que sen({) y cos({) son un conjunto linealmente independien- te del espacio V del ejercicio anterior. Ejercicio 37 Construir un polinomio cuya gráfica pase por los puntos (3 3) (1 1) (0 0) (5 1) = Ejercicio 38 Digamos que i : R $ R tiene perı́odo A 0 si i ({ + ) = i ({) ;{ 5 R= En este caso diremos que i es periódica. Por ejemplo, sen({) tiene perı́odo 2= 1. i : R $ R de perı́odo y j : R $ R de perı́odo = u u 5 Q {0} , i + j es periódica= 2. Diga un perı́odo para i + j= 3. ¿Es Z = {i : R $ R |i tiene perı́odo 2q q 5 Z} un subespacio de RR ? 4. ¿{sen(q{) | q 5 N} Z? -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 -1.0 -0.5 0.5 1.0 x y sen(10x) -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0 x y sen(10x+210)
  • 71. 60 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 39 ¿Es {sen(q{) | q 5 {1 2 3}} o= l en RR ? . Ejercicio 40 Sea J = ½ (1 2 3 4 5) (2 1 4 3 5) (1 1 1 1 1) (1 2 3 4 1) (0 1 0 1 0) (3 3 7 7 10) (2 1 4 3 0) ¾ 1. Encontrar un subconjunto o= l= de J que genere el mismo subespacio que J= 2. Encontrar un subconjunto o= l= de J que genere el mismo subespacio que J y que contenga los elementos (0 1 0 1 0) (3 3 7 7 10). Ejercicio 41 ¿Cuántas matrices escalonadas y reducidas hay en P3×4 (Z2)? Ejercicio 42 Respecto al ejercicio anterior, ¿cuántas matrices escalonadas y reduci- das hay de rangos 1 2 3 respectivamente? Ejercicio 43 ¿Cuántas matrices antisimétricas hay de 5×5 con coeficientes en Z3? Dé una base para el espacio de las matrices antisimétricas de 5 × 5 con coeficientes en Z3. Ejercicio 44 Construya un polinomio v ({)cuya gráfica pase por los puntos (3 3) (2 1) (1 0) y tal que su derivada en 0 sea 1. Ejercicio 45 Construya un polinomio v ({)cuya gráfica pase por los puntos (3 3) (2 1) (1 0) y tal que su integral de 1 a 1sea 0. Ejercicio 46 Muestre que { x y}6= es o= l= / { x +  y  x  y}6= es o= l= Ejercicio 47 Muestre que la afirmación anterior es falsa si uno retira la hipótesis de que los elementos sean distintos (tome  y =  0 y vea que pasa). Ejercicio 48 Muestre que son equivalentes para Z1 Z2 6 I Y : 1. Y = Z1 L Z2= Recuerde que esto significa que Y = Z1 + Z2 a Z1 _ Z2 = n  0 o =
  • 72. 2.7. DIMENSIÓN 61 2. ;1 base de Z1 ;2 base de Z2 , 1 es ajena con 2 y 1 ^2 es una base de Y= Ejercicio 49 Considere Tq = {D 5 Pq (R) | Dlm = 0 l A m} = ¿Cuál es la dimensión de Tq?. Ejercicio 50 Considere Lq = {D 5 Pq (R) | Dlm = 0 l ? m} = ¿Cuál es la dimensión de Lq? Ejercicio 51 Considere Dq = {D 5 Pq (R) | Dlm = 0 l 6= m} = ¿Cuál es la dimensión de Dq? Ejercicio 52 Considere Sq = {D 5 Pq (R) | Dlm = Dml ;l m} = ¿Cuál es la dimen- sión de Sq? Ejercicio 53 Compruebe que dim (Tq + Sq) = dim (Tq) + dim (Sq) dim (Tq _ Sq) = Se define el rango de una matriz D como dim (L ({D1 === Dp})) es decir la di- mensión del espacio generado por los renglones de D= Ejercicio 54 Demostrar que el rango de una matriz escalonada es el número de renglones distintos de cero, notando que un renglón distinto de cero no puede ser combinación lineal de los renglones debajo. Ejercicio 55 Demostrar que si las matrices D E 5 Pq×p (R) son reducidas y escalonadas y tienen el mismo espacio de renglones, entonces D = E. Ejercicio 56 Suponga que las matrices D y E son reducidas y escalonadas y que se obtienen aplicando operaciones elementales a la misma matriz F= Demuestre que D = E. Ejercicio 57 Dé una base para las matrices diagonales de 3 × 3 con coeficientes en R. Ejercicio 58 Dé una base para las matrices simétricas de 4 × 4 con coeficientes en R= Ejercicio 59 Dé una base para las matrices antisimétricas de 4 × 4 con coeficientes en R=
  • 73. 62 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 60 Dé una base para el espacio de las matrices triangulares superiores (ceros debajo de la diagonal principal) de 3 × 3 con coeficientes en R= Ejercicio 61 Muestre que el conjunto {(1 2 3 4) (0 1 4 3)} se puede completar a una base de R4 , con cualesquiera dos elementos de la base canónica. Sugerencia: Muestre que si uno forma una matriz que tenga como renglones a los elementos del conjunto dado y dos elementos de la base canónica (por ejemplo 3 E E C 1 2 3 4 0 1 4 3 0 0 1 0 0 0 0 1 4 F F D tiene rango 4.) Ejercicio 62 Tomemos el conjunto {(1 2 3 4) (0 2 3 4)}. Entonces la matriz 3 E E C 1 2 3 4 0 2 3 4 1 0 0 0 0 0 0 1 4 F F D, tiene rango 3, por lo que el conjunto {(1 2 3 4) (0 2 3 4) (1 0 0 0) (0 0 0 1)} es o= g= Encuentre todas las bases de R3 que contienen a (1 2 3 4) (0 2 3 4) y a dos elementos de la base canónica. Ejercicio 63 Sean ; A A ? A A = 3 E E C 5 6 3 5 4 F F D 3 E E C 5 9 2 9 4 F F D 3 E E C 7 3 3 1 4 F F D 3 E E C 5 7 2 0 4 F F D A A @ A A ; A A ? A A = 3 E E C 7 9 7 2 4 F F D 3 E E C 9 8 4 1 4 F F D 3 E E C 0 5 6 8 4 F F D A A @ A A en R4 . Llamemos Z1 al subespacio generado por el primer conjunto de vectores y Z2 al generado por el segundo conjunto de vectores. Encontrar las dimensiones de Z1 Z2 Z1 + Z2 Z1 _ Z2= Encontrar bases 3 1 2 3
  • 74. 2.7. DIMENSIÓN 63 de los subespacios correspondientes al diagrama. Z1 + Z2 3 % - Z1 #0 2 /$ Z2 - % 1 Z1 _ Z2 = Ejercicio 64 Muestre que hay bases como en el ejercicio anterior, para cualesquiera dos subespacios Z1 Z2 de un espacio vectorial I Y= (No suponga que dim (Y ) es finita). Ejercicio 65 Sea [ R, definamos Q[ =: n R i $ R | i (u) = 0 ;u 5 [ o = 1. Muestre que Q[ 6 RR . 2. Suponga que R= Muestre que Q[ _ Q = Q[ = 3. Demuestre que [ ^ = R / Q[ _ Q = © 0̂ ª = 4. ([ ^ ) $ R , Q[ _ Q 6= © 0̂ ª = 5. Q[ + Q Q[K = 6. ¡ RR Q[ + Q ¢ , ([ _ = ) 7. ¡ RR = Q[ L Q ¢ / h ([ _ = ) a ³ [ ^ = R ´i = 8. j 5 RR , tal que j (u) 6= 0 , Q{u} L L (j) = RR . 9. Usando lo anterior muestre que Q{u} es máximo en £© 0̂ ª RR ¢ . Ejercicio 66 Encuentre un subespacio Z máximo en £© 0̂ ª RR ¢ tal que (Z 6= Qu) ; u 5 R=
  • 75. 64 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 67 Demuestre que si D E son conjuntos, entonces (|D| 6 |E|) b (|E| 6 |D|) = Sugerencia: Considere == ½µ [ [ i[ AA$ E ¶ | [ D ¾ , defina un orden J en = por: µ [ [ i[ AA$ E ¶ J µ i AA$ E ¶ si ([ y i AA$ E E % = %i[ [ es decir, i|[ = i[= Muestre que = no es vacı́o, que J es un orden parcial, que toda cadena en = está aco- tada por arriba. Concluya que = contiene un elemento máximo (P iP ) = Observe que P = D b i (P) = E. Concluya. Ejercicio 68 Muestre que son equivalentes para Z ] 6 I Y : 1. Y = Z L ]= 2. ] es mı́nimo en {X 6 Y | Z + X = Y } = Ejercicio 69 1. Muestre que cualquier segmento de recta en el plano (que tenga más de un punto) tiene tantos puntos como el intervalo [0 1] = 2. Use lo anterior para mostrar que cualesquiera dos intervalos cerrados infinitos tienen la misma cardinalidad. 3. Muestre también que cualesquiera dos intervalos abiertos no vacı́os tienen la misma cardinalidad. 4. Usando el Teorema de Cantor-Schröeder-Bernstein muestre que un intervalo abierto no vacı́o tiene la misma cardinalidad que un intervalo cerrado infinito (y la misma cardinalidad de un intervalo que incluye un extremo y excluye al otro, como (0 2] o [2 8)). 5. Muestre que el intervalo [0 1) tiene tantos puntos como [0 4). 6. Muestre que (1 1) tiene tantos puntos como R.
  • 76. 2.7. DIMENSIÓN 65 Ejercicio 70 Use el Teorema de Cantor-Schröeder-Bernstein para demostrar que |N| = |N × N| = Ejercicio 71 Sugerencia: muestre que las siguientes funciones son inyectivas. N AA$ N × N q 7$ (q 0) N × N AA$ N (q p) 7$ 2q 3p Ejercicio 72 Muestre que la unión de dos conjuntos ajenos con la misma cardi- nalidad que N, sigue siendo de la misma cardinalidad de |N|. Por ejemplo, Muestre que N× {0 1} = © (q 0) | q 5 N+ ª ^ © (0 p) | p 5 N+ ª ^ {(0 0)} tiene |N| elementos. Sugerencia: el primer uniendo corresponde biyectivamente con los pares positivos, el segundo con el conjunto de impares. Ejercicio 73 Muestre que si I es finito y ajeno con [ infinito entonces |[ ^ I| = |[| = Sugerencia: suponga que I = {{1 {2 === {n} Supongamos además que I _ N = = Note que {0 1 === n 1} ^ {n n + 1 ====} = N y que N +n $ {n n + 1 ====} es una biyección. Concluya que |N| = |{0 1 === n 1} ^ {n n + 1 ====}| = ¯ ¯ ¯I ^ N ¯ ¯ ¯ = Ahora use que [ incluye una copia de N Q digamos. Ası́ que [ ^I = ([Q)^Q = ([Q) ^ (Q ^ I) = Ejercicio 74 (Opcional). Muestre, usando el Lema de Zorn, que si [ es un conjunto infinito entonces |[| = |[ × {0 1}| Sugerencia: Sea D = (Ã ] ] AA i] ³ ] × {0 1} ! | 6= ] D ) ordenado por: ( i ) b (] i]) si ] y ] i] AA³ ] × {0 1} inclus. % = % inclus. i AA³ × {0 1}
  • 77. 66 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES la inclusión. Note que D no es vacı́o porque como [ es infinito, entonces [ incluye una copia de N. Note también que si (P iP ) es un elemento máximo en D, entonces el conjunto DP no puede contener una copia de N, por lo que debe ser finito.