Este documento trata sobre la derivada de una función y sus aplicaciones. Presenta la definición de derivada como el límite de la pendiente de una curva y explica cómo se puede usar la derivada para determinar puntos críticos, extremos y puntos de inflexión de una función. También incluye reglas para derivar funciones algebraicas, exponenciales y logarítmicas.
Prueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 4ºESO
Derivadas
1. 1
Unidad 1 - Tema :
LA DERIVADA DE UNA
FUNCIÓN Y SUS
APLICACIONES
2. 2
Competencias:
. Definir la derivada de una función.
. Interpretar geométricamente la derivada de
una función.
. Determinar los puntos críticos de una función.
. Determinar los extremos absolutos de una
función continua en un intervalo cerrado.
. Describir el concepto de punto de inflexión de
una gráfica.
. Analizar la concavidad de una función a
través de su segunda derivada.
. Resolver problemas de máximos y mínimos de
una función en una variable.
3. 3
La Pendiente de una Curva
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
curva a la pendiente de la recta que
mas se asemeja (ajusta) a la curva.
¿y cuál es esta recta?
33. 33
La Pendiente de una Curva
h
h
h
)f(x)f(x
limm 00
0
t
+
Es el límite de un cociente de
incrementos
x
)f(xx)f(x
limm 00
0
t
+
x
Si h = x
34. 34
Determina la ecuación de la recta tangente a la curva
que tiene por ecuación, en el punto de
abscisa
2
4 xy
1x
y
x
Ejemplo
35. 35
Definición de Derivada
La derivada de una función f con
respecto a la variable x es la función
cuyo valor en x es:
siempre que el límite exista
h
f(x)h)f(x
lim´(x)f
0h
+
Nota 1: f es una función definida en un
intervalo abierto que incluye a x.
36. 36
Observación
La derivada de una función es un límite.
Nota 2: Para calcular ese límite se
requiere que la función esté definida en el
punto.
a-x
f(a)f(x)
lim
h
f(x)h)f(x
lim
ax0h
+
37. 37
REGLAS DE DERIVACIÓN
4. Si f es derivable y c constante, se tiene:
xfcxcf
3. Sea f(x) = xn, entonces:
1
n
nxxf
n
1. Sea f(x) = k, entonces:
0 xf
k
D (c) = 0x
2. Sea f(x) = x, entonces:
1 xf
38. 38
5. Si f y g son funciones derivables y a y b
son constantes se tiene que:
xgxfxgxf +
+
6. Si f y g son funciones derivables, entonces
la derivada del producto es:
xgxfxgxfxgxf +
*
Reglas de Derivación
39. 39
Reglas de Derivación
7. Si f y g son funciones derivables y no
es cero, entonces la derivada del cociente
es:
)(xg
)(
)()()()(
)(
)(
2
xg
xgxfxgxf
xg
xf
8. Si y , entonces la regla
de la cadena se define por:
n
xgxf )()(
)()()(
1
xgxgnxf
n
n
40. 40
Observación
Sea y = f(u) donde u = g(x)
Si todas las derivadas involucradas existen,
entonces otra forma de definir la REGLA DE LA
CADENA es:
dx
du
du
dy
dx
dy
xuy
41. 41
La función exponecial y=ex y la función
logaritmo natural y= ln x
1 e
e
1
y = ex
y = ln x
x
y
42. 42
Definición:
Si x es cualquier número real, entonces
ln y = x si y sólo si ex = y
Teorema
Si p y q son números reales, entonces
i) ii) iii)qp
q
p
e
e
e
qpqp
eee +
pqqp
ee
43. 43
Derivada de funciones exponenciales
i)
ii)
Derivada de funciones logarítmicas
i)
ii)
x
xfxxf
1
)(;ln)(
xgexfexf xgxg
)(;)(
)(
)(
1
)(;ln)( xg
xg
xfxgxf
xx
exfexf )(;)(
Derivadas de funciones EXP y LOG