El documento define el producto interno como una función que asigna un número real al par ordenado de vectores en un espacio vectorial. Se describen varios productos internos comunes como el producto escalar y el producto vectorial. La norma o longitud de un vector se define como la raíz cuadrada del producto interno de ese vector consigo mismo. Vectores ortogonales son aquellos cuyo producto interno es cero, y una base ortonormal es una base de vectores ortogonales cuya norma es uno.

1. Producto interno
DEFINICIÓN DE PRODUCTO INTERNO
El producto interno, en un e.v. V, es una función que se le asigna a cada par
ordenado de vectores elementos de V, un número real: , que
satisface las siguientes propiedades:
ç
OBSERVACIONES:
El producto interno puede ser real o complejo, pero siempre
nos va a dar un número real.
PRODUCTOS INTERNOS COMUNES O USUALES
1. En el
Ejemplo 1:
Encontrar todos los productos internos posibles de los dos vectores dados u,v que
pertenecen a :
2. En el
Ejemplo 1:
Encontrar todos los productos internos posibles de los dos vectores dados u,v que
pertenecen a :

2. 3. En el
4. En el
5. En el
Ejemplo 1:
Encontrar , de los dos vectores dados u,v que
pertenecen a :
1 0
-2 1
-2 3 -8 3
1 -1 -1 -1
-2 1
3 -1
1 -2 -8 3
0 1 3 -1

3. -2 1
3 -1
-2 3 13
1 -1 2
1 0
-2 1
1 -2 5
0 1 1
En general:
NORMA DE UN VECTOR
La longitud, norma o módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada del
producto interno del mismo vector.
Es decir:
Observaciones:
Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno
( / ).
llamamos desigualdad triangular
Ejemplo 1:
Calcular la norma de los siguientes vectores:
a)
b)

4. c)
VECTORES ORTOGONALES
Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno
( / ).
1. Sean son ortogonales ssi: .
2. Si , entonces S se dice ortogonal si todo par de elementos distintos de
S son ortogonales
OBSERVACIONES
El Ov es ortogonal a cualquier vector pues .
S debe tener por lo menos dos vectores para verificar si es un conjunto
ortogonal
Al comprobar si todos los productos internos son cero entre los
vectores de S, para tener un S conjunto de vectores ortogonales
Si un conjunto es ortogonal entonces es LI
Si es ortogonal, si a cada vector le
multiplicamos por cualquier escalar, siempre en nuevo conjunto va a ser
ortogonal.
Ejemplo 1:
Dados los vectores que son ortogonales obtener un
tercer vector “w” ortogonal a “u” y “v”.
Hacemos el producto cruz para encontrar el tercer vector

5. Ejemplo 2:
Dados los vectores que son ortogonales obtener un
tercer vector “w” ortogonal a “u” y “v”.
Hacemos el producto cruz para encontrar el tercer vector
Base ortogonal
Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno
( / ) y S un sub espacio vectorial de V.
Es una base ortogonal si:
Sea S base de V
Sean los productos internos de dos a dos ortogonales, es decir todos
sus vectores ortogonales entre si.
Sea LI
Base ortonormal
Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno
( / ).
Es una base otonormal si:
Si en el conjunto ortogonal se llega a comprobar que la norma de cada
uno de los vectores es igual a cero