matemáticas III

1. Cónicas,
Ecuaciones Paramétricas
y Coordenadas Polares
Santiago Bello
C.I: 26.385.798
Matemática III

2. Sección Cónica (Cónica)
Sección cónica (o simplemente cónica) a
todas las curvas resultantes de las diferentes
intersecciones entre un cono y un plano; si dicho
plano no pasa por el vértice, se obtienen las
cónicas propiamente dichas.
Imagen 1. Los cuatro ejemplos de
intersección de un plano con un cono:
parábola (1), elipse y circunferencia
(2) e hipérbola (3).
Imagen 2. Secciones cónicas.

3. Parábola
Es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta
llamada directriz y un punto exterior a ella llamado foco. El punto medio
entre el foco y la directriz es el vértice, y la recta que pasa por el foco y el
vértice es el eje de la parábola.
Imagen 3. Diferentes elementos de una parábola.

4. Parábola
Ecuaciones
Imagen 4. Ecuación de una parábola vertical
Ecuación estándar o canónica de una parábola La forma estándar o canónica de la
ecuación de una parábola con vértice (h, k) y directriz y = k – p es
(x – h) 2 = 4p( y – k). Eje vertical.
Para la directriz x = h - p, la ecuación es
( y – k) 2 = 4p(x – h). Eje horizontal
El foco se encuentra en el eje a p unidades (distancia dirigida) del vértice. Las
coordenadas del foco son las siguientes:
(h, k + p) Eje vertical.
(h + p, k) Eje horizontal.

5. Parábola
Propiedades geométricas
• Lado recto. segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por
el foco y es paralelo a la directriz.
• Semejanza de todas las parábolas: Dado que la parábola es una sección
cónica, también puede describirse como la única sección cónica que
tiene excentricidad e= 1. La unicidad se refiere a que todas las parábolas
son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala.
• Tangentes a la parábola: La tangente biseca el ángulo entre el foco, el
punto de tangencia y su proyección.
Imagen 6. La tangente biseca el
ángulo entre el foco, el punto de
tangencia y su proyección.
Imagen 5. Parábolas semejantes

6. Parábola
ejemplo
Hallar el foco de una parábola
Hallar el foco de la parábola dada por Y = - ½x 2 - x + ½
Solución: Para hallar el foco, se convierte a la forma canónica o estándar completando el cuadrado.
y = ½- x – ½x 2 Reescribir la ecuación original.
Y= ½(1 - 2x - x 2) Sacar 1/2 como factor.
2y = 1 - 2x - x 2 Multiplicar cada lado por 2.
2y = 1 – (x2 + 2x) Agrupar términos.
2y = 2 – (x2 + 2x + 1) Sumar y restar 1 en el lado derecho.
x 2 + 2x + 1 = - 2y + 2 (x + 1)2 = -2(y – 1) Expresar en la forma estándar o canónica.
Si se compara esta ecuación con (x – h)2 = 4p(y – k), se concluye que
h = -1, k =1 y p = -1/2
Como p es negativo, la parábola se abre hacia abajo. Por tanto, el foco de la parábola se encuentra a p
unidades del vértice, o.
(h, k + p) = (-1, ½). Foco.
A un segmento de la recta que pasa por el foco de una parábola y que tiene sus extremos en la
parábola se le llama cuerda focal. La cuerda focal que es perpendicular al eje de la parábola es el lado
recto (latus rectum).

7. Elipse
Es el lugar geométrico de los puntos del plano
tales que la suma de las distancias a dos puntos
fijos llamados focos es una constante positiva e
igual a la distancia entre los vértices.
Imagen 7. Elipse

8. Elipse
Ecuaciones
En coordenadas cartesianas
• Forma cartesiana centrada en el origen
• Forma cartesiana centrada fuera del origen
En coordenadas polares
• Forma polar centrada en origen
• Formas polares centradas en un
foco

9. • Formas paramétricas
• Curvatura de una
elipse
• Área de una región
con frontera una
elipse
• Perímetro de una
elipse

10. La elipse posee un «eje mayor», trazo AB, y un «eje menor», trazo CD; la mitad de
cada uno de esos ejes recibe el nombre de «semieje», de tal manera que se los
denomina «semieje mayor» y «semieje menor», respectivamente.
Sobre el «eje mayor» existen dos puntos F1 y F2 que se llaman «focos».
El punto Q puede estar ubicado en cualquier lugar del perímetro de la «elipse».
Imagen 8. La elipse y algunas de sus propiedades
geométricas
Elipse
Propiedades geométricas

11. • Puntos de una elipse: Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes
del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde
cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la
longitud del diámetro mayor (d(P,F1)+d(P,F2)=2a).
• Ejes de una elipse: el eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos
puntos opuestos de la elipse. El resultado de la suma de las distancias de
cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje mayor. El eje
menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse.
Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí.
• Excentricidad de una elipse: La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es
la razón entre su semidistancia focal (longitud del segmento que parte del
centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la
letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
Imagen 9. Excentricidad de una elipse

12. • Excentricidad angular de una elipse: La excentricidad angular es el ángulo para
el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad ε
• Constante de la elipse. Como establece la definición inicial de la elipse como lugar
geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus
dos radio vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:
PF1 + PF2 = 2ª
• Directrices de la elipse: Cada foco F de la elipse está asociado con una recta
paralela al semieje menor llamada directriz(ver imagen). La distancia de cualquier
punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia
perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:
Imagen 10. La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse

13. Elipse
Ejemplo

14. Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor
absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos,
llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una
constante positiva.
Imagen 11. Hipérbola

15. Hipérbola
Ecuaciones
• En coordenadas cartesianas
1. Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas (0,0)
2. Ecuación de una hipérbola con centro en el punto (h,k)
Si el eje x es positivo, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad
de una hipérbola siempre es mayor que uno.
Imagen 12. Dos hipérbolas y sus asíntotas en coordenadas
cartesianas.

16. • En coordenadas polares

17. • Formas paramétricas
En todas las fórmulas (h,k) son las coordenadas del centro de la hipérbola, a es la longitud
del semieje mayor, b es la longitud del semieje menor.
Imagen 13. Sección cónica.

18. Hipérbola
Propiedades
• Eje mayor o real: El eje mayor es la recta de la hipérbola donde
pertenecen los focos y los vértices de la misma. Su valor es 2a y es
perpendicular al eje imaginario
• Eje menor o imaginario: El eje menor o imaginario no tiene puntos
en común con la hipérbola. Sin embargo, siempre se cumple que las
perpendiculares lanzadas por sus extremos cortan con las
perpendiculares lanzadas por los extremos del eje mayor en 4
puntos que pueden servir para trazar las asíntotas.
• Asíntotas: Son las rectas r y r' que pasan por el centro de la
hipérbola y verifican que se acercan ramas de la misma tanto más
cuanto más nos alejamos del centro de la hipérbola. Las ecuaciones
de las asíntotas son: r: y= b/a x r': y = -b/a r
• Vértices: Los vértices de una hipérbola son los puntos donde esta
corta a sus ejes.

19. • Focos: Son dos puntos, F1 y F2, respecto de los
cuales permanece constante la diferencia de
distancias (en valor absoluto) a cualquier punto x,
de dicha hipérbola.
• Centro: Punto medio de los vértices y de los focos
de la hipérbola.
• Tangentes: La tangente a una hipérbola en
cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo
formado por los radios vectores de ese punto.
Imagen 14. Hipérbola y sus propiedades

20. Hipérbola
Ejemplo
• Uso de las asíntotas para trazar una hipérbola
Trazar la gráfica de la hipérbola cuya ecuación es 4x2 - y2 = 16.
Solución: Para empezar se escribe la ecuación en la forma
estándar o canónica.
x 2 / 4 - y 2 / 16 = 1
El eje transversal es horizontal y los vértices se encuentran en
(- 2, 0) y (2, 0). Los extremos del eje conjugado se encuentran
en (0, - 4) y (0, 4).

21. Problemas
1) hallar el vértice, el foco y la directriz de la parábola, y trazar su gráfica.
a) y2 = 4x
Solución:
Ecuación y2= 4px
4p= 4
p= 1
V(0,0)
LR= p.4= 4
F(p,0)= (1,0)
Directriz x=p x= 1
Gráfica

22. b) (x+3)2 = -2(y-2)
Solución:
Ecuación (x-h)2 = 4p (y-k)
3 4p=2 2
p= ½
V(3,2)
F (h,k+p) (3,3/2)
LR= p.4= 2
Directriz y=k-p y= 5/2
Eje de la parabola x=h x=3
Gráfica

23. 2) Hallar la ecuación y la gráfica de la parábola con
vértice: (2,3) y foco: (1,2)
Solución:
Ecuación y2= 4px
4p= 4
p= 1
LR= p.4= 4
Directriz x=p x= 1
Gráfica

24. Curvas planas
y
ecuaciones paramétricas.
Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo l,
entonces a las ecuaciones
X=f(t) y y=g(t)
Se les llama ecuaciones paramétricas y a “t” se le llama
parámetro. Al conjunto de puntos (x, y) que se obtiene
cuando t varia en el intervalo l se le llama la grafica de las
ecuaciones paramétricas. A las ecuaciones paramétricas y a
la gráfica, juntas, es a lo que se llama una curva plana, que
se denota por C.

25. Trazado de una curva
Ejemplo
• Trazar la curva dada por las ecuaciones
paramétricas:
• En la siguiente tabla ya se muestran los
resultados:
t -2 -1 0 1 2 3
x 0 -3 -4 -3 0 5
y -1 -1/2 0 1/2 1 3/2

27. Eliminación del parámetro
Procedimiento
Ecuaciones paramétricas dadas
Despejar t de una de las
ecuaciones
Sustituir en la otra ecuación (la
que no fue despejada)
Se obtiene la ecuación
rectangular

28. Eliminación del parámetro
Ejemplo
• Al encontrar la ecuación rectangular que representa la gráfica de un conjunto de ecuaciones
paramétricas se le llama eliminación del parámetro. Por ejemplo, el parámetro del conjunto de
ecuaciones paramétricas del ejemplo 1 se puede eliminar como sigue.
Ecuaciones paramétricas
• x = t2 – 4
• y = t / 2
Despejar t de una de las ecuaciones
• t = 2y
Sustituir en la otra ecuación
• x = (2y)2 - 4
Ecuación rectangular
• x = 4y2 – 4
Una vez eliminado el parámetro, se ve que la ecuación x = 4y 2 – 4 representa una parábola con un eje
horizontal y vértice en (-4, 0). El rango de x y y implicado por las ecuaciones paramétricas puede
alterarse al pasar a la forma rectangular. En esos casos, el dominio de la ecuación rectangular debe
ajustarse de manera que su gráfica coincida con la gráfica de las ecuaciones paramétricas. En el ejemplo
siguiente se muestra esta situación.

29. Ajustar el dominio después de la
eliminación del parámetro
Ejemplo
X= 1 / √t + 1 y y= t / t + 1, t > - 1
Eliminando el parámetro y ajustando el dominio de la ecuación rectangular
resultante.
Solución: Para empezar se despeja t de una de las ecuaciones paramétricas. Por
ejemplo, se puede despejar t de la primera ecuación.
x = 1 / √t + 1 Ecuación paramétrica para x.
x2 = 1 / t + 1 Elevar al cuadrado cada lado.
• t + 1 =1 / x2
• t= 1 / x 2 – 1 = 1 - 2 2 / x 2 Despejar t.
• Sustituyendo ahora, en la ecuación paramétrica para y, se obtiene
• y = t / t + 1 Ecuación paramétrica para y.
• y = (1 - x 2)/x 2 / [ (1 - x 2)/x 2] +1 Sustitución de t por (1 - x 2)/x 2
• y = 1 - x 2. Simplificar.
• La ecuación rectangular, y = 1 - x2, está definida para todos los valores de x, sin
embargo en la ecuación paramétrica para x se ve que la curva sólo está definida
para t > - 1. Esto implica que el dominio de x debe restringirse a valores positivos.

30. Emplear trigonometría para eliminar
un parámetro
Ejemplo
x = 3 cos θ y y= 4 sen θ, 0 ≤ θ ≤ 2 π
Al eliminar el parámetro y hallar la ecuación rectangular correspondiente.
Solución: Para empezar se despejan cos θ y sen θ de las ecuaciones dadas.
cos θ = x / 3 y sen θ = y / 4
Despejar cos θ y sen θ.
A continuación, se hace uso de la identidad sen 2 θ + cos2 θ para formar una
ecuación en la que sólo aparezcan x y y.
• cos2 θ + sin 2 θ = 1 Identidad trigonométrica.
• (x / 3) 2 + (y / 4) 2 = 1 Sustituir.
• x2 / 9 + y2 / 16 = 1 Ecuación rectangular.

31. Cálculo de las ecuaciones paramétricas
para una gráfica dada.
Ejemplo
• Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de 𝑦 = 1 − 𝑥2, usando
cada uno de los parámetros siguientes:
a) t = x b) La pendiente 𝑚 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 en el punto (x , y)
SOLUCION:
a) x = t
𝑦 = 1 − 𝑥 2 = 𝟏 − 𝒕 2
b) 𝑚 = 𝑑𝑦/𝑑𝑥 = 𝑑/𝑑𝑥 (1 − 𝑥 2) = −2𝑥
𝑚 = −2𝑥
𝒙 = − 𝒎/ 𝟐
Y de acuerdo con el resultado del inciso a) se obtiene lo siguiente:
𝑦 = 1 − 𝑡2 𝑦 = 1 −( − 𝑚 /2)2 = 𝟏 − 𝒎2 / 𝟒
Así que de forma definitiva, las ecuaciones paramétricas son:
𝑥 = − 𝑚/2 𝑦 = 1 − 𝑚 2 / 4

32. Curva suave
Es una curva que no posee puntos angulosos. Un
ejemplo puede ser el círculo, la elipse, la parábola, etc.
Una curva C representada por x = f (t) y y= g(t) en un
intervalo I se dice que es suave si f´ y g´ son continuas
en I y no son simultáneamente 0, excepto
posiblemente en los puntos terminales de I. La curva C
se dice que es suave a trozos si es suave en todo sub-
intervalo de alguna partición de I.