Este documento describe los conceptos fundamentales de los determinantes de matrices, incluyendo su definición, propiedades clave y cómo calcularlos. Explica que los determinantes proporcionan información sobre la singularidad de una matriz y su relación con la solución de sistemas de ecuaciones lineales. También cubre los conceptos de menores, cofactores y desarrollo de determinantes por filas o columnas.

1. 1
Tema :
DETERMINANTES

2. 2
HABILIDADES:
1.Describe el concepto de determinante a partir de
su definición.
2. Describe las propiedades más importantes de la
función determinante.
3. Explica la relación entre el valor del determinan-
te de una matriz cuadrada y su singularidad.

3. Hace aproximadamente 2000 años que los
matemáticos chinos conocian bien el concepto
de determinante. Habían encontrado una relación
entre los coeficientes de sistemas de ecuaciones
lineales y la solución de dichos sistemas. En el
mundo occidental, los determinantes fueron
empleados primeramente por Gottfried Wilhen
Leibniz en 1693.
INTRODUCCIÓN:

4. 4
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
Sea A una matriz de orden n , si n=1
se tiene: A=[a], det A= a
DETERMINANTE DE LA MATRIZ DE 1x1
DETERMINANTE DE LA MATRIZ DE 2X2
Se llama determinante de la matriz A de orden
2 al número a11.a22-a12.a21 y escribimos:

5. Determinante de una matriz de orden 3
 312213322311332112322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA 
En el caso de matrices cuadradas de orden 3,
también podemos calcular el determinante de
la siguiente manera:
Copie la primera y segunda columna de la
matriz a su derecha:
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A 
+
-

6. Ejercicios














134
327
145
C














111
122
110
B
a
a
a
42
012
321



2. Para que valor de a el determinante es cero:

7. 7
MENOR DE UNA MATRIZ
Si A es una matriz de orden nxn,
se llama ij- ésimo menor de A a la
matriz: Mij de orden (n-1)x(n-1)
que se obtiene al eliminar la fila i y la
columna j de A.

8. Cofactor
Sea A una matriz de orden n>1. Se
define el cofactor correspondiente al
elemento ai,j , que se denota por Ai,j ,
como el número dado por:
ij
ji
ij MA det)1( 

observemos que los menores
Mi,j son matrices de orden (n-1)

9. Determinante
Sea A=(aij ) una matriz de orden n>1. Se define
el determinante de A , que se denota por
det(A) ó |A|, como el número:
j
n
j
j AaA 1
1
1det 

que se denomina desarrollo por los cofactores de
la primera fila.
ij
ji
ij MA det)1( 
Recuerde que:
Este desarrollo se puede aplicar a cualquier fila o columna de la matriz

10. Ejercicios















1321
3012
1014
2301
B
1. Evalúe el determinante de las siguientes
matrices:















0214
1311
0432
0001
M

11. 11
1. Determinante de la transpuesta
Si A es cualquier matriz cuadrada, entonces:
det(A)= det(A )t
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
2. Si B se obtiene INTERCAMBIANDO dos filas de A,
entonces el determinante cambia de signo:
det B = - det A
(OPERACIÓN ELEMENTAL 1)
3. Si B se obtiene MULTIPLICANDO una fila de A por el
escalar c, entonces el determinante queda multiplicado por c.
det B = c (det A)
(OPERACIÓN ELEMENTAL 2)

12. 12
4. Si B se obtiene sumando a una fila de A un múltiplo de
otra fila de A, entonces el determinante no se altera
det B = det A
(OPERACIÓN ELEMENTAL 3)
5. Determinante de una matriz triangular
El determinante de una matriz triangular está dado
por el producto de los elementos de su diagonal.
















nn
n
n
n
a
aa
aaa
aaaa
0000
.........
...00
...0
...
det 333
22322
1131211
nnaaaa ...332211

13. 6. Determinante de la inversa
Si A es no singular, entonces det(A) 0, y :
=
Es decir una matriz tiene inversa si su determinante
es diferente de cero.

)det(
1
A
)det( 1
A
Si el determinante de una matriz es cero , la matriz no tiene inversa.