Capitalización Compuesta. Capitalización Simple. Actualización Compuesta y Simple. Equivalencias Financieras. Aplicaciones de la Capitalización y del Descuento. Valores Medios: Unificación de Capitales. Ejemplos resueltos, Más info en nuestra aula virtual: http://www.davincisarriko.com/aula-virtual/

3. MOF - COMPETENCIA 1
FUNDAMENTOS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS
Capitalización Compuesta.
Capitalización Simple.
Actualización Compuesta y Simple.
Equivalencias Financieras.
Aplicaciones de la Capitalización y del Descuento.
Valores Medios: Unificación de Capitales.

5. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
> CÁLCULO DEL MONTANTE
C0 i = cte
...
0 1 2 n
C 1 = C 0 + C 0 i = C 0 ⋅ ( 1+ i )
C 2 = C1 +C1 i = C1(1+ i) = C 0 (1+ i) 2
...
C n = C n−1 +C n−1 i = C n−1(1+ i) = C 0 (1+ i)n
Luego el valor del montante a lo largo de n años es: C n = C 0 (1 + i)n
[
Los intereses obtenidos son I = C n − C 0 = C 0 ⋅ (1 + i)n − 1 ]
> LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
• Nº determinado de años: L ( t ) = ( 1+ i ) t siendo i = cte
• Fechas: y − x = duración de la operación (y> x) L ( x ; y ) = ( 1+ i ) y − x
> CASO i VARIABLE
C0 Cn
...
0 i1 1 i2 2 in n
C1 = C 0 + C 0 i1 = C 0 ⋅ ( 1+ i1 )
C 2 = C 0 ⋅ ( 1+ i1 ) ⋅ (1+ i 2 )
...
n
C n = C 0 ⋅ ( 1+ i1 ) ⋅ (1+ i 2 )...( 1+ in )  El montante obtenido es C n = C 0 ∏ (1 + i j )
j=1
Los intereses obtenidos son I = C n − C 0
-1-

6. EJEMPLO RESUELTO 1
Averiguar el tiempo que permaneció invertido un capital de 800.000 u.m. al 11% de interés efectivo anual si
se sabe que proporcionó un montante de 1.348.046,5 u.m.
Datos: C n = 1.348.046,5 C0 = 800.000 i = 0,11
Se pide: n
Resolución: C n = C 0 (1+ i)n  1.348.046,5 = 800.000(1 + 0,11)n  n = 5 años
EJEMPLO RESUELTO 2
Una persona impone en una cuenta bancaria 500.000 u.m.. y tiene la intención de retirar dicho capital junto
con los intereses al cabo de año y medio. Sabiendo que se aplica la ley de capitalización compuesta,
averiguar el tipo de interés efectivo anual de esta cuenta si el montante obtenido fue de 580.782,37 u.m.
Datos: C 0 = 500.000 C n = 580.782,37 n = 1,5
Se pide: i
Resolución: C n = C 0 (1+ i)n  580.782,37 = 500.000(1 + i)1,5  i = 0,105
EJEMPLO RESUELTO 3
Un capital de 740.000 u.m. se convirtió en 1.049.273,676 u.m. al cabo de cuatro años, siendo los tantos de
los tres últimos años el 9%, 9,5% y 10%, respectivamente. Averiguar cuál fue el t.i. del primer año.
C 0 = 740.000 C n = 1.049.273,676
i1=? i2=0,09 i3=0,095 i4=0,10
0 1 2 3 4
C 4 = C 0 ⋅ (1 + i1 ) ⋅ (1 + i 2 ) ⋅ (1 + i 3 ) ⋅ (1 + i 4 )
1.049.273,676 = 740.000 ⋅ (1 + i1 ) ⋅ (1 + 0,09) ⋅ (1 + 0,095) ⋅ (1 + 0,10)
 i1 = 0,08 = 8%
-2-

7. EJEMPLO RESUELTO 4
Hace 3 años se ha invertido un capital de 500.000 u.m. durante 5 años según la ley financiera de
capitalización L( t ) = (1 + 0,13) t
Debido a la coyuntura económica actual, el deudor quiere devolver el dinero y para ello nos sugiere que le
señalemos las condiciones en las cuales estaríamos de acuerdo en la devolución. Se trata, pues, de calcular
lo que le exigiríamos en concepto de deuda y en concepto de indemnización por la cancelación anticipada,
sabiendo que el dinero que nos abona sólo se puede invertir ahora al 10%.
C0 = 500.000 C5 = C0 (1+0,13)5 = 500.000 (1,13)5 = 921.217,6
0 i = 0,13 3 5
H
C 3 = 500.000 ⋅ (1 + 0,13) 3 = 721.448,5
El deudor tiene que entregar una cantidad complementaria H que cumpla:
(H + C 3 ) ⋅ (1 + 0,10 ) 2 = C 5
(H + 721.448,5) ⋅ 110 2 = 921.217,6
,
H = 39.888,36 u.m.
EJEMPLO RESUELTO 5
Una persona desea cubrir las necesidades futuras de sus hijos y para ello al nacimiento de su primer hijo
deposita 120.000 u.m., en una cartilla de ahorro que le proporciona un 9% anual de interés compuesto.
Al cabo de 5 años, esta persona tiene otro hijo y por tal motivo, divide el montante obtenido en la cartilla, de la
siguiente manera: los 3/5 para el hijo nacido en primer lugar y la parte restante para el segundo hijo.
Averiguar el montante que obtendrá cada hermano al cumplir los 21 años, suponiendo que invierten sus
capitales al tipo de interés del 9%.
Capitalización compuesta, luego C n = C 0 (1 + i)n 3
para el 1er hijo: C 5 = 110.780,9 = C '5
5
C 5 = C 0 (1 + i) 5 = 120.000 ⋅ (1 + 0,09) 5 = 184.634,67
2
para el 2º hijo: C 5 = 73.853,9 = C '5
'
5
Para el 1er hijo C '21 = C '5 ⋅ (1 + i) 21−5 = 110.780,9 ⋅ (1 + 0,09 )16 = 439.834,1 u.m.
Para el 2º hijo C '21 = C '5 ⋅ (1 + i) 21 = 73.853,9 ⋅ (1 + 0,09) 21 = 451.159,3 u.m.
' '
-3-

8. EJEMPLO RESUELTO 6
Una operación financiera esta definida por una prestación de capitales (50.000; x + 1), (60.000; x + 3),
(80.000; x + 6) y por una contraprestación (C; x + 2), (70.000; x + 7) .Sabiendo que i=12% y que la ley
financiera de capitalización es: L( x, y ) = (1 + i) y − x . Averiguar la cuantía del capital C planteando una
equivalencia financiera en y = x+9.
Representamos los capitales en una línea temporal:
50.000 C 60.000 80.000 90.000 i = 0,12
x+1 x+2 x+3 x+6 x+7 y = x+9
Prestación de capitales: (50.000 ; x + 1) (60.000 ; x + 3) (80.000 ; x + 6)
Contraprestación: (C ; X + 2) (70.000 ; X + 7)
Equivalencia financiera en y = x + 9 : Igualamos la prestación y la contraprestación
valoradas en el mismo momento de tiempo según la ley financiera de capitalización
compuesta L( x ; y ) = (1 + i) y − x .
50.000 (1 + 0,12) 8 + 60.000 (1 + 0,12) 6 + 80.000 (1 + 0,12) 3 = C (1 + 0,12) 7 + 70.000 (1 + 0,12) 2
 C = 120.692,9962
-4-

9. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
> CÁLCULO DEL MONTANTE
C0 i = cte
0 1 2 ... n
C1 = C 0 + C 0 i = C 0 ⋅ ( 1+ i )
C 2 = C1 +C 0 i = C 0 (1 + i) + C 0 i = C 0 (1 + 2 i)
...
C n = C n−1 +C 0 i = C 0 [1 + (n − 1) ⋅ i] + C 0 i = C 0 (1 + ni)
Luego el valor del montante a lo largo de n años es: C n = C 0 (1 + n ⋅ i)
Los intereses obtenidos son I = C n − C o = C 0 ·n·i
> LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
• Nº determinado de años: L ( t ) = 1+ t i ( t > 0) siendo i = cte
• Fechas: L ( x ; y ) = 1+ ( y − x ) ⋅ i ( y > x )
> CASO i VARIABLE
C0 Cn
0 i1 1 i2 2 n-1 i n
n
C1 = C 0 ⋅ ( 1+ i1 )
C 2 = C 0 ⋅ ( 1+ i1 ) + C 0 i 2 = C 0 (1+ i1 + i 2 )
...
 n 
C n = C 0 ⋅ ( 1+ i1 + i 2 + ... + in )  C n = C 0 1 +

i 

j
 j=1 
-5-

10. EJEMPLO RESUELTO 7
Hace 4 años una persona prestó a su amigo 120.000 u.m. al 8% de interés simple anual.
Averiguar el capital que deberá devolver el amigo en el momento presente.
C0 = 12.000 C4
0 i = 0,08 4
C n = C 0 (1 + n·i)
C 4 = 120.000(1 + 4 ⋅ 0,08) = 158.400 u.m.
EJEMPLO RESUELTO 8
Se ha invertido un capital de 260.000 u.m. al 9% de interés simple anual durante 3 años.
Calcular el interés producido al final de la operación
C0 = 260.000
0 i = 0,09 3
I = C 3 − C 0 = C 0 (1 + 3 i) − C 0 = C 0 ⋅ 3 i = 26.000 ⋅ 3 ⋅ 0,09 = 70.200 u.m.
EJEMPLO RESUELTO 9
Calcular el capital invertido hace 3 años al 9% de interés simple anual si en el momento actual representa un
montante de 127.000 u.m.
C0 = ? C3 = 127.000
0 i = 0,09 3
C n = C 0 (1 + ni)  C 3 = C 0 (1 + 3 ⋅ i)
127.000 = C 0 (1 + 3 ⋅ 0.09)  C 0 = 100.000 u.m.
-6-

11. EJEMPLO RESUELTO 10
El banco X concede un préstamo de 240.000 u.m. al 9,5% de interés simple anual. El capital a devolver por
parte del prestatario es de 354.000 u.m..
SE PIDE:
Averiguar durante cuánto tiempo permaneció prestado dicho capital.
C0 = 240.000 Cn = 354.000
0 i = 0,095 n=?
C n = C 0 (1 + ni)
C n = C 0 + C 0 ni C n − C 0 = C 0 ni
C n − C 0 354.000 − 240.000
Luego, n = = = 5 años
C 0i 240.000 ⋅ 0,095
EJEMPLO RESUELTO 11
Una persona invierte dos capitales en dos negocios distintos. El primer capital lo invierte al 8% de interés
simple anual y el segundo al 7%. El primer capital es inferior al segundo en 140.000 u.m. y sin embargo, sus
intereses suman 20.000 u.m. más que los del segundo. Sabiendo que esta inversión está referida a un año
averiguar la cuantía de ambos capitales.
C1 Cn1
0 i = 0,08 1
C2 Cn2
0 i = 0,07 1
C 2 = C1 + 140.000 (1)
I1 = I2 + 20.000  C1 ⋅ 0,08 = C 2 ⋅ 0,07 + 20.000 (2)
Resolviendo el sistema: C1 = 2.980.000 u.m. C 2 = 3.120.000 u.m.
-7-

12. ACTUALIZACIÓN COMPUESTA Y SIMPLE
Descuento = diferencia entre la cantidad a pagar en fecha futura y su valor en un momento anterior.
D = Cn − C t
Ct = Valor Descontado Cn = Valor Nominal
t n
>ACTUALIZACIÓN COMPUESTA O DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO = Drc(i)
C0 Cn
0 n
• Valor Descontado: C 0 = C n (1 + i) −n
• [
Descuento: D rc = C n − C 0 = C n − C n (1 + i) −n = C n 1 − (1 + i) −n ]
1
• Ley financiera: A( t ) = (1 + i) − t = o bien A( x; y ) = (1+ i) −( y − x )
L( t )
>DESCUENTO COMERCIAL COMPUESTO = DCC (d = tanto de descuento)
• Valor Descontado: C 0 = C n (1 − d)n  Factor de Actualización = (1− d)n
• [
Descuento: D cc = C n − C 0 = C n − C n (1 − d)n = C n 1 − (1 − d)n ]
• Ley financiera: A( t ) = (1 − d) t o bien A( x; y ) = (1 − d) y − x
RELACIÓN ENTRE EL TANTO DE INTERÉS i Y EL TANTO DE DESCUENTO d PARA QUE EXISTA
EQUIVALENCIA ENTRE EL DRC Y EL DCC:
Igualando los descuentos:
D rc = D cc [
 C n (1 − V n ) = C n 1 − (1 − d)n ]  1 − V n = 1 − (1 − d)n
 d
i = 1 − d
1 
 V n = (1 − d)n  V = 1− d  = 1− d  
1+ i  i
d =
 1+ i
-8-

13. >ACTUALIZACIÓN SIMPLE O DESCUENTO RACIONAL SIMPLE = Drs (i)
C0 Cn
0 n
Cn 1
• Valor Descontado = C 0 = Factor de Actualización = = (1 + ni) −1
1 + ni 1 + ni
Cn C ni
• Descuento D rs = C n − C 0 = C n − = n
1 + ni 1 + ni
• Ley financiera A( t ) = (1+ ti) −1 o bien A( x; y ) = [1 + ( y − x ) ⋅ i]−1
>DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE = Dcs (d)
• Valor Descontado = C 0 = C n (1 − nd)  Factor de Actualización: 1− nd
• Descuento = D cs = C n − C 0 = C n − C n (1 − nd) = C n ·n·d
• Ley financiera A( t ) = 1 − t ⋅ d o bien A( x; y ) = 1 − ( y − x ) ⋅ d
RELACIÓN ENTRE i Y d PARA QUE EXISTA EQUIVALENCIA ENTRE D cs Y EL D cs
 i
d = 1 + n·i
C n ·n·i 
D rs = D cs  = C n ·n·d  
1 + ni  d
i =
 1 − dn
-9-

14. EJEMPLO RESUELTO 12
Calcular el valor efectivo que se obtiene de descontar una letra cuyo nominal es de 350.000 u.m. al 11% de
descuento compuesto anual durante un año. Averiguar también el descuento comercial compuesto.
C0 = ? 350.000
d = 0,11
0 1
C 0 = C n (1 − d)n = 350.000(1 − 0,11)1 = 311.500 u.m.
[ ] [ ]
D cc = C n 1 − (1 − d) n = 350.000 1 − (1 − 0,11)1 = 38.500
EJEMPLO RESUELTO 13
Hallar el valor actual de un capital sabiendo que colocado al 10% de interés simple anual durante 2 años
alcanzó un montante de 720.000 u.m. Averiguar también el descuento racional simple.
C0 = ? C 2 = 720.000
0 i = 0,10 2
Cn C2 720.000
C0 = = = = 600.000 u.m.
1 + ni 1 + 2i 1 + 2 ⋅ 0,10
C n ni 720.000 ⋅ 2 ⋅ 0,10
D rs = = = 120.000 u.m
1 + ni 1 + 2 ⋅ 0,10
EJEMPLO RESUELTO 14
Una entidad bancaria concede a un cliente un crédito de 900.000 u.m. mediante letra a 90 días, descontada
aI 12% anual, con una comisión de 0,25 por ciento y unos timbres de 1.050 u.m..
SE PIDE:
Averiguar el líquido de esta letra.
C0 900.000
d = 0,12
0 90
360
C 0 = C(1 − nd) − COMISIÓN − TIMBRES
0,25
C 0 = C(1 − nd) − C − 1050
100
90
Si sustituimos: C = 900.000 n = y d = 0,12 C 0 = 869.700 u.m. es el valor líquido.
360
- 10 -

15. EJEMPLO RESUELTO 15
Averiguar cuál fue el capital invertido hace 2 años si en el momento presente el montante (capital más interés)
asciende a 302.500 u.m. y la operación se realizó al 10% de interés compuesto anual.
C0 = ? C2
0 i = 0,10 2
C 0 = C n (1 + i) −n  C 0 = C 2 (1 + i) −2 = 302.500 ⋅ (1 + 0,10) −2 = 250.000 u.m
EJEMPLO RESUELTO 16
Hallar el valor actual de un capital C 3 = 518.011,6 que estuvo invertido al 9% de interés compuesto anual
durante 3 años. Averiguar también el descuento racional compuesto de la operación.
C0 = ? C3
0 i = 0,09 3
C 0 = C n (1 + i) −n
C 0 = C 3 (1 + i) −3 = 518.011,6 ⋅ (1 + 0,09) −3 = 400.000 u.m.
D rc = C n (1 − V n )
[ ] [ ] [ ]
D rc = C n 1 − (1 + i) −n = C 3 1 − (1 + i) −3 = 518.011,6 1 − (1 + 0,09 ) −3 = 118 .011' ,6 u.m
EJEMPLO RESUELTO 17
Calcular el valor descontado de una letra si vence al cabo de 60 días cuyo nominal es de 500.000 u.m. y se
aplica un tanto de descuento comercial simple del 12%. Averiguar también el descuento comercial simple
realizado.
C0 500.000
d = 0,12
0 30
360
C 0 = C ⋅ (1 − nd)  C 0 = 500.000·(1 − 60
360
⋅ 0,12) = 490.000 u.m.
D cs = C n ⋅ n ⋅ d = 500.000 · 360 ·0,12 = 10.000 u.m.
60
- 11 -

16. EQUIVALENCIAS FINANCIERAS
> TANTO EFECTIVO ANUAL (i) Y EL TANTO EFECTIVO FRACCIONADO (iK)
CASO CAPITALIZACIÓN COMPUESTA:
C0 = 1 1+ i
0 1
C0 = 1 (1 + ik )k (1 + i)k·n
ik
0 1 n
El periodo dividido en k
partes iguales
C0 = 1 (1 + ih )h (1 + i)h·n
ih
0 1 n
El periodo dividido en h
partes iguales
Tipos de interés equivalentes:
Aplicados al mismo capital inicial, durante el mismo periodo de tiempo, producen igual montante.
RELACIONES ENTRE TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
• TANTO ANUAL ←⎯→ TANTO FRACCIONADO
 i = (1 + ik )k − 1

(1 + i) = (1 + ik )k   NO SON PROPORCIONALES
 i = (1 + i) k − 1
1
 k
• TANTO FRACCIONADO ik ←⎯→ TANTO FRACCIONADO ih
(1 + ik )k = (1 + ih )h NO SON PROPORCIONALES
- 12 -

17. RELACIONES ENTRE TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN SIMPLE
• TANTO ANUAL ←⎯→ TANTO FRACCIONADO
1 + n ⋅ i = 1 + k ·n·ik  i = k·ik SON PROPORCIONALES
• TANTO FRACCIONADO ik ←⎯→ TANTO FRACCIONADO ih
1 + k ·ik = 1 + h ·ih  k ·ik = h ·ih SON PROPORCIONALES
>TANTO NOMINAL ANUAL = jk
Se define el tanto nominal anual capitalizable k-esimalmente como un tipo de interés anual proporcional al
fraccionado. jk = k ⋅ ik
RELACIONES ENTRE TANTOS NOMINALES Y EFECTIVOS EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
jk = k ⋅ ik = k (1 + i) k − 1
1

 

> TANTO ANUAL PREPAGABLE (i*)
C 0 (1− i*) C0
0 1
Sea un capital C0 que se presta en el momento inicial, a un tanto anual prepagable i* (los intereses se abonan
al principio del periodo).
Duración de la operación: 1 periodo
Los intereses que se abonan al principio son: C 0 ⋅ i * , luego el capital neto prestado al principio es:
C 0 − C 0 ⋅ i* = C 0 (1 − i*) , y el capital a devolver por el deudor al final del periodo es C 0 .
1
Se tendrá que verificar que C0 (1 − i*) ⋅ (1 + i) = C0  1 − i* =
1+ i
- 13 -

18. EJEMPLO RESUELTO 18
Sabiendo que un título de renta fija devenga un interés del 8% pagadero semestralmente se quiere calcular el
tanto efectivo de interés.
Dato: j 2 = 0,08 Se pide: i
jk k j 0,08 2
Relación: i = (1 + ) − 1 = (1 + 2 ) 2 − 1 = (1 + ) − 1 = 0,0816
k 2 2
EJEMPLO RESUELTO 19
Se coloca un capital de C u.m. a interés compuesto, que capitalizado semestralmente constituye al cabo de
10 años un montante de cuantía 3C.
SE PIDE:
1. Calcular el tanto efectivo anual.
2. Calcular el tanto nominal anual.
3. Calcular el tanto semestral equivalente.
C C10 = 3C
0 1
2
1 3
... 10
2
1. Cn = C0 (1 + i)n 3C = C(1 + i)10 3 = (1 + i)10  i = 0,11612
j2 = 2(1 + i) 2 − 1 = 2(1 + 0,11612 ) 2 − 1 = 0,11293
1 1
2.

 
 
 

j2
3. i( 2) = = 0,05647
2
EJEMPLO RESUELTO 20
Un depósito a un año ofrece un tipo de interés del 10% prepagable. Calcular el tipo de interés a vencimiento
equivalente.
1
Utilizamos la fórmula 1 − i* = para i* = 0,10 y obtenemos
1+ i
1
1 − 0,10 =  i = 0,1111 = 11,11%
1+ i
Es decir, un tipo de interés del 10% prepagable es equivalente a un 11,11% a
vencimiento.
- 14 -

19. EJEMPLO RESUELTO 21
Una persona desea invertir un capital de 2 millones de u.m. y puede elegir entre las siguientes posibilidades:
a) Colocar el capital al 12% nominal anual capitalizable por semestres.
b) Colocar el capital al 12% nominal anual acumulable por trimestres.
c) Colocar al 12% de interés efectivo anual compuesto.
d) Colocar al 12% de interés efectivo anual simple.
Calcular el montante obtenido en cada una de las posibilidades anteriores al cabo de 2 años.
C 0 = 21
a)
0 1 2
j2 0,12
j 2 = 0,12  i( 2 ) = = = 0,06 C2 = C0 (1 + i( 2 ) )4 = 2.524.954 u.m.
2 2
C0 = 21
b)
0 1 2
j 4 0,12
j 4 = 0,12  i( 4 ) = = = 0,03 C 2 = C 0 (1 + i ( 4 ) ) 8 = 2.533.540,2 u.m.
4 4
C 0 = 21
c)
0 1 2
i = 0,12  C 2 = C 0 ⋅ (1 + i) 2 = 2.508.800 u.m.
C 0 = 21
d)
0 1 2
i = 0,12  C 2 = C 0 ⋅ (1 + 2 ⋅ i) = 2.480.000 u.m.
- 15 -

20. CRITERIO LINEAL – CRITERIO EXPONENCIAL
CONVENIOS utilizados en la práctica para obtener un capital final cuando la duración de la operación no es
un número entero de periodos.
>CRITERIO EXPONENCIAL
c.c
C0 c.c C
X
0 t x
θ
h
C X = C0 (1 + i)x donde x = t + (t = nº entero de periodos)
k
Luego, C X = C0 (1 + i)t + θ
El criterio exponencial consiste en capitalizar C0 usando capitalización compuesta durante el número entero
de periodos y capitalizar el resultado obtenido en capitalización compuesta por la fracción de periodo restante.
>CRITERIO LINEAL
Este criterio consiste en capitalizar C0 a un interés compuesto el número entero de periodos y después,
capitalizar este resultado a un interés simple por la fracción de periodo que restante.
c.c
C0 c.s CX
0 t x
θ
C X = C0 ⋅ (1 + i)t ⋅ (1 + θi)
El montante obtenido según el criterio lineal será mayor que el obtenido según el criterio exponencial.
- 16 -

21. >MÉTODO DEL DIVISOR FIJO
1
Si t se expresa en AÑOS: I = C 0 ⋅ n ⋅ i denominando D = (D =divisor fijo)
i
C0 ⋅ n
I= denominando C 0 ⋅ n = N ( C 0 ⋅ n = nº comercial)
D
N
I=
D
12
Si t se expresa en MESES: D=
i
360
Si t se expresa en DÍAS: D=
i
NOTA: Si el tipo de interés está expresado en porcentaje, entonces
100 1.200 36.000
D= D= D=
i i i
1
El razonamiento es el mismo para el análisis en el descuento simple D = ...
d
- 17 -

22. EJEMPLO RESUELTO 22
Averiguar el montante obtenido de una inversión de 500.000 u.m. si se ha invertido a un interés del 8%
durante 4 años y 2 meses. Utilícese para el cálculo del criterio lineal.
C0 = 500.000
c.c
C t c.s CX
0 4 4 años y 2 meses
C X = C 0 ⋅ (1+ i) t ⋅ (1+ θi)
Calculamos primero: C X = C0 ⋅ (1 + i)t = 500.000 ⋅ (1 + 0,08)4 = 680.244,48
2
Luego: C X = Ct ⋅ (1 + θi) = 680.244,48 ⋅ (1 + ⋅ 0,08) = 689.314,41
12
EJEMPLO RESUELTO 23
Un capital de 100.000 u.m. se invierte durante un tiempo X, a un tipo de interés del 8% proporcionando un
montante de 150.825 u.m.
SE PIDE:
Determinar el valor de X si en el cálculo se tuvo en cuenta el criterio lineal.
C0 = 100.000
c.c
c.s C X = 150.825
0 t x
C X = C 0 ⋅ (1 + i) t ⋅ (1 + θ ⋅ i)
150.825 = 100.000 ⋅ (1 + i) t ⋅ (1 + θ ⋅ i)
1,50825 = (1 + i) t ⋅ (1 + θ ⋅ i) ( en TABLAS )
Luego x es 5 años y unos meses t=5
1,50825 = (1 + 0,08)5 ⋅ (1 + θ ⋅ 0,08)
θ = 0,33112 años
Luego x = 5 años, 3 meses y 29 días.
- 18 -

23. VALORES MEDIOS. UNIFICACIÓN DE CAPITALES.
>CAPITALES MEDIOS
NOTA: En este ejemplo los t/i están asociados a los capitales.
i1 i2 ir Fechas de vencimientos
C1 C 2 ... Cr
(C1; x 1 ) colocado a i1
(C 2 ; x 2 ) colocado a i2
x0 x1 x2 xr ...
(C r ; x r ) colocado a ir
Cm Cm Cm
(C m ; x 1 ) colocado a i1
(C m ; x 2 ) colocado a i 2
x0 x1 x 2 ... xr ...
(C m ; x r ) colocado a ir
CAPITAL MEDIO (Cm ) : Se trata de sustituir la serie de capitales C1 , C2 ,... Cr por otros de cuantía uniforme y
cuyos vencimientos coincidan con los anteriores.
>TANTOS MEDIOS
i1 i2 ir (C1; x 1 ) colocado a i1
C1 C 2 ... Cr (C 2 ; x 2 ) colocado a i2
...
(C r ; x r ) colocado a ir
x0 x1 x2 xr
(C1; x 1 ) colocado a im
im im im (C 2 ; x 2 ) colocado a im
C1 C 2 ... Cr ...
(C r ; x r ) colocado a im
x0 x1 x2 xr
TANTO MEDIO (im ) es un tanto de interés tal que aplicado a un conjunto de capitales dado, por sus
respectivos tiempos, proporciona igual cuantía total de intereses que el que se hubiera obtenido de aplicar a
cada capital su respectivo tipo de interés. Es decir,
r r
 I j (i j ) = I j (im )
j=1 j=1
- 19 -

24. > CAPITAL ÚNICO Y VENCIMIENTO COMÚN
i1 i2 ir
(C1; x 1 ) colocado a i1
C1 C 2 ... Cr
(C 2 ; x 2 ) colocado a i2
...
(C r ; x r ) colocado a ir
x0 x1 x2 xr
it
Ct
(C t ; x t ) colocado a i t
x0 xt xr
Siendo: C t = CAPTAL ÚNICO
x t = VENCIMIENTO COMÚN
Dado un conjunto de capitales (C1; x 1 ) , (C 2 ; x 2 ) ... (C r ; x r ) invertidos a los tipos de interés i1 , i 2 ,...ir ; se trata de
determinar el capital único equivalente (C t ; x t ) al tanto i t .
>VENCIMIENTO MEDIO
VENCIMIENTO MEDIO: Momento en el que vence un único capital C t que sustituye a los anteriores con la
r
condición de que se verifique que C t =  C j .
j=1
Caso particular: Con la ley de Descuento Comercial Simple, el vencimiento medio se calcula usando
r
C n
j =1
j j
nm = r
Cj =1
j
- 20 -

25. EJEMPLO RESUELTO 24
Se quiere sustituir dos capitales C1 y C 2 por otro capital único C. Sabiendo que C1 = 150.000 u.m.,
C 2 = 200.000 u.m. y C = 250.000 u.m. que vencen al cabo de 6, 8 y t años respectivamente. y que el tipo de
interés compuesto es i = 0,08. Calcular el vencimiento que debe de tener el capital a sustituir para que la
operación resulte equivalente.
C1 = 150.000 C 2 = 200.000
0 6 8
C t = 250.000
0 t 8
EQUVALENCIA FINANCIERA EN t=0
C1 ⋅ (1 + i)−6 + C2 ⋅ (1 + i)−8 = C t ⋅ (1 + i)− t
150.000 ⋅ (1,08)−6 + 200.000 ⋅ (1,08)−8 = 250.000 ⋅ (1,08 )− t
0,810317 = (1,08)− t
ln 0,810317 = −t ⋅ ln1,08  t = 2,7329 , es decir, 2 años 8 meses y 24 días.
EJEMPLO RESUELTO 25
Un comerciante tiene en su cartera 4 capitales por importes C, 1’5C, 3C y 4’5C, todos con vencimiento a 2
años y al tipos de interés del 5%, 5’5%, 6% y 7% respectivamente. Calcular el tanto medio anual en régimen
de capitalización compuesta y calcular el tanto nominal anual equivalente al tanto medio anual anterior.
[ ]
4 4
TANTO MEDIO: 
j =1
Ij (i j ) = I (i
j =1
j m) , donde I = Cn − C0 = C0 (1 + i)n − C0 = C0 (1 + i)n − 1
[ ] [ ] [ ]
C ⋅ 1,05 2 − 1 + 1,5C ⋅ 1,055 2 − 1 + 3C ⋅ 1,06 2 − 1 + 4,5C ⋅ 1,07 2 − 1 = [ ]
C ⋅ [(1 + i ) − 1] + 1,5C ⋅ [(1 + i ) − 1] + 3C ⋅ [(1 + i
m
2
m
2
m)
2
− 1] + 4,5C ⋅ [(1 + i
m)
2
]
−1
 im = 0,06277408 2
Calculamos el tanto nominal anual equivalente:
(1 + im )1 = (1 + i(12 ) )12  i(12 ) = 0,0050864379 2  j(12 ) = 12 ⋅ i(12 ) = 0,06103725 5
- 21 -

26. EJEMPLO RESUELTO 26
Una sociedad tiene pendientes de pago 4 letras comerciales de cuantía 2000€, 9.000€, 4.000€ y 10.000€ a
40, 100, 180 y 200 días.
1. Calcular el capital medio según la ley de descuento racional simple al 5%.
2. Calcular el vencimiento medio según la ley de descuento comercial simple.
1. Capital medio
2000 9000 4000 10000
0 40
365
100
365
180
365
200
365
Cm Cm Cm Cm
0 40
365
100
365
180
365
200
365
Equivalencia financiera en t = 0 :
2000 9000 4000 10000
+ + + =
1+ 40
365
⋅ 0,05 1 + 100 ⋅ 0,05 1 + 180 ⋅ 0,05 1 + 365 ⋅ 0,05
365 365
200
Cm Cm Cm Cm
= + + +
1+ ⋅ 0,05 1 + 365 ⋅ 0,05 1 + 365 ⋅ 0,05 1 + 365 ⋅ 0,05
40
365
100 180 200
Cm = 6.234,7703 92 €
2. Vencimiento medio
4
C= C
j =1
j = 25000
0 nm
4
C ⋅ n j j 4
C
j =1 3.700.000
nm = 4
= = 148 días , C = j = 25000 €
25.000
Cj =1
j
j =1
- 22 -

27. EJEMPLO RESUELTO 27
Un comerciante debe a su proveedor 4 letras comerciales, de nominales: 1.000€ con vencimiento a 3 meses,
4.000€ con vencimiento a 4 meses, 3.000€ con vencimiento a 5 meses, y 2.000€ con vencimiento a 6 meses.
Siendo ésta su situación original.
a) El comerciante tras analizar la propuesta de su proveedor, le interesa conocer otras opciones, y para
ello se pregunta siempre respecto a su situación original:
a.1) cual es el vencimiento medio (en meses y días) correspondiente a dichas letras y cuánto tendrá
que pagar en dicho momento, con la ley de descuento comercial simple.
a.2) cual es el capital único equivalente con vencimiento a 4meses, con la ley de descuento racional
compuesto (a un tanto efectivo semestral del 2,5%).
b) Finalmente, el comerciante elige la opción del vencimiento medio (la opción a.1); y el proveedor lo lleva
al descuento al banco. El banco le presenta la siguiente tarifa: tanto de descuento, 7%; comisión de
cobranza, 0,5%; Timbre: 33,66 euros; Gastos de correo: 0,30 euros. Calcule el líquido que recibirá el
proveedor.
a.1) C = C j = 10.000 €
nm =
 C ·n
j j

1.000 × 3 + 4.000 × 4 + 3.000 × 5 + 2.000 × 6
= 4,6 meses
C j 10.000
= 4 meses y 18 días.
−3 −6
4
−5 −6 −6
4
a.2) 1.000 × 1,025 6
+ 4.000 × 1,025 + 3.000 × 1,025 6
+ 2.000 × 1,025 6
= C t × 1,025
C t = 9.975,409 €
b) L = 10.000 × (1 − 138 × 0,07) − 10.000 × 0,005 − 33,66 − 0,30 = 9.647,707 €
360
- 23 -

28. EJEMPLO RESUELTO 28
Se invierten 3.000 euros en capitalización compuesta durante n años a un tanto nominal anual pagadero por
mensualidades. El montante al final de n años es 9.901,16 euros. Y se sabe que los intereses
correspondientes al último mes han sido 98,03 euros. Calcule razonadamente:
1) El tanto efectivo mensual; el tanto nominal anual pagadero mensualmente; y el tanto efectivo anual al
que se ha realizado la operación.
2) El número de años que ha durado la operación.
En el caso de que los 3.000 euros se hubieran invertido durante 18 meses en capitalización simple, y el
montante obtenido fuera 3.450 euros, calcule:
3) El tipo de interés efectivo anual, y el tipo de interés efectivo mensual, al que estuvo invertido la
operación.
4) Los intereses correspondientes al último mes.
3000 9.901,16
0 n
1) Si los intereses correspondientes al último mes han sido 98,03, el capital acumulado hasta el último
mes será 9.901,16 – 98,03 = 9.803,13, y capitalizando el último mes obtenemos el montante final
j( 12 )
9.803,13 × (1 + 12
) = 9.901,16
(12)
 j (12) = 0,12  i (12) = j12 = 0,01  i = (1 + i (12) ) 12 − 1 = 0,126825
j( 12 ) 12n
2) 3.000 × (1 + 12
) = 9.901,16  3.000 × 1,0112n = 9.901,16  n = 10 años
3) 3.000 × (1 + 18 ⋅ i) = 3.450  i = 0,10  i(12) =
12
i
12
= 0,008333
4) I = 3.000·12 ·0,10 = 25 €
1
- 24 -

29. EJEMPLO RESUELTO 29
Una persona ingresó 25.000 euros en un depósito a plazo: durante 3 años y 3 meses (criterio exponencial),
que le proporcionó un tanto anual capitalizable trimestralmente del 3%. Transcurrido dicho plazo, el montante
obtenido lo invirtió en otro depósito, durante 2 años y 2 meses (criterio lineal), que le proporcionó un tanto
efectivo anual equivalente al del depósito anterior más un punto.
Transcurrido dicho plazo, compró un automóvil valorado en 33.000 euros, que lo pagó una parte con el
montante obtenido en los depósitos (redondeados a miles de euros), y el resto firmó 4 letras de nominal
(suma aritmética): N , N , 2N, 2N con vencimiento a 3, 4, 5 y 6 meses. Pero una vez pagada la primera letra,
que coincide que es el 1 de marzo de 2009, negocia con el concesionario las letras pendientes de pago. Y
éste le presenta dos propuestas:
1) pagar una sola letra con vencimiento en el vencimiento medio (valorada con la ley de descuento
comercial simple).
2) pagar una sola letra con vencimiento dentro de 2 meses (valorada al tanto efectivo anual del 6% con la
ley racional simple).
El comprador elige la propuesta a) (la del vencimiento medio); y el concesionario lleva al descuento dicha
letra al banco, el cual le presenta la liquidación conforme a la siguiente tarifa: un tanto de descuento anual del
6%, una comisión de cobranza del 7 por mil, y un timbre de 16,83 euros.
Se pide:
a) Calcule el montante obtenido en el primer depósito (criterio exponencial); así como, el montante
obtenido en el segundo depósito (criterio lineal).
b) Calcule el nominal de las nuevas letras en cada una de las dos propuestas, así como el vencimiento
medio en la propuesta a).
c) Calcule el líquido que cobra el concesionario.
d) Calcule el tanto de rendimiento que el banco obtiene en esta operación utilizando la ley de
capitalización simple.
a) Primer depósito:
j( 4 ) 13
C x = 25.000 × (1 + 4
) = 27.550,261 €
j( 4 ) 4
Tipo de interés efectivo anual i = (1 + 4
) − 1 = 0,03033919
Segundo depósito:
Tipo de interés efectivo anual i′ = i + 0,01 = 0,04033919
C x′ = 27.550,25124 × (1 + i′) 2 × (1 + 12 i′) = 30.018,26296 €
2
- 25 -

30. b) Financia 3.000 €, luego N + N + 2N + 2N = 3.000  N = 500 €
Vencimiento medio:
nm =
 C ·n j j

500 × 1 + 1.000 × 2 + 1.000 × 3
= 2,2 meses = 2 meses y 6 días
C j 2.500
1) Capital que vence en el vencimiento medio: C t = C j = 2.500 €
2) Valoramos todos los capitales en t=0 usando la ley de DRS:
500 × (1 + 12 × 0,06) −1 + 1.000 × (1 + 12 × 0,06) −1 + 1.000 × (1 + 12 × 0,06) −1 = C t × (1 + 12 × 0,06) −1
1 2 3 2
C t = 2.497,561454 €
c) L = 2.500 × (1 − 360 × 0,06) − 2.500 × 0,007 − 16,83 = 2.438,17 €
66
d) El banco adelanta al concesionario la cantidad de 2.455€, y recibe 2.500€ al cabo
de 66 días. El concesionario sólo recibe 2.438,17€ ya que tiene que pagar el timbre.
2.455 × (1 + 66
365
× r ) = 2.500 r = 0,101370  r = 10,1370%
- 26 -

31. MOF - COMPETENCIA 2
ESTUDIO Y VALORACIÓN DE FLUJOS DE CAPITALES
Definiciones - Clasificación de las Rentas - Notaciones.
Rentas Anuales Discretas de Términos Constantes.
Rentas Anuales Discretas de Términos Variables.
Rentas cuya Periodicidad no es Anual:
- Rentas Fraccionadas o con Periodicidad Inferior a un año.
- Rentas Plurianuales o con Periodicidad Superior a un año.

33. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE RENTAS
> DEFINICIONES
RENTA: Un conjunto de capitales (M1; x1) (M2; x2) ...... (Mn; xn) con vencimientos equidistantes
M1 M2 M3 Mn
     
x0 x1 x2 x3 xn-1 xn
Luego x2 - x1 = x3 - x2 =…= xn - xn-1
TERMINO DE LA RENTA: es cada uno de los capitales que la constituyen.
ORIGEN DE LA RENTA: es el momento en el que comienza la operación = x0.
FINAL DE LA RENTA: es el momento en el que se extingue la operación = xn.
DURACION DE LA RENTA: xn - x0
VALOR ACTUAL: Capital equivalente al principio de la operación al conjunto de cobros o pagos futuros.
VALOR FINAL: Capital equivalente al final de la operación al conjunto de cobros o pagos futuros.
> CLASIFICACION DE LAS RENTAS
1. Según la naturaleza de la cualidad de los términos
Ciertas: Son aquéllas en las que todos sus términos representan a capitales determinados y los
vencimientos están fijados.
Aleatorias: Son aquéllas en las que bien alguno de los términos de la renta o alguno de sus
vencimientos viene representado por una variable aleatoria. Un ejemplo de renta aleatoria
la constituye la renta vitalicia en la que su duración depende de la supervivencia de una
persona.
2. Según la medida de los períodos
Discretas: Son aquellas en las que la amplitud de sus intervalos es finita.
Continuas: Son aquellas en las que la amplitud de sus intervalos es infinitesimal.
3. Según el número de términos de que constan las rentas
Temporales: Son aquellas rentas que constan de un número finito de términos.
Perpetuas: Son aquellas rentas que constan de un número ilimitado de términos. Un ejemplo de renta
perpetua lo representa la pensión de jubilación de una persona.
- 27 -

34. 4. Según el momento de la valoración de la renta
Inmediatas: Son aquéllas en las que la valoración actual de la renta tiene lugar en el primer período en
el que la duración de la renta se encuentra dividido y la valoración final tiene lugar en el
último de los periodos.
M1 M2 ··· Mn
V.actual V. final
0 1 2 ··· n
Diferidas: Son aquéllas en las que la valoración actual de la renta tiene lugar en un número
determinado de períodos antes del vencimiento del primer término de la renta. Este
número, que lo indicaremos por d, recibe el nombre de período de diferimiento.
V.Actual M1 M2 ··· Mn
0 d d+1 d+2 ··· d+n
Anticipadas: Son aquéllas en las que la valoración de la renta tiene lugar en un número determinado de
períodos después del vencimiento del último término de la renta. Este número, que lo
indicaremos por f, recibe el nombre de período de anticipación.
M1 M2 ··· Mn V. final
0 1 2 ··· n n+f
5. Según la cuantía de los términos
Constantes: Son aquéllas cuyos términos son todos de igual cuantía. Cuando los términos de la renta
son constantes e iguales a la unidad de capital, se dice que la renta es unitaria
M M ··· M
0 1 2 ··· n
Variables en progresión geométrica: Cada término es igual al término anterior multiplicado por un
número al que llamamos razón de la progresión, es decir Mt = Mt −1·q donde q es la razón.
M1 M1·q ··· M1·qn −1
0 1 2 ··· n
- 28 -

35. Variables en progresión aritmética: Cada término es igual al término anterior más un número fijo al que
llamaremos razón de la progresión, es decir Mt = Mt −1 + π donde π es la razón.
M1 M1 + π ··· M1 + (n − 1)·π
0 1 2 ··· n
6. Según el vencimiento de los términos de la renta
Prepagables: Son aquéllas en las que cada término vence en el extremo inferior del correspondiente
período.
M1 M2 Mn
0 1 2 ··· n
Pospagables: Son aquéllas en las que cada término vence en el extremo superior del correspondiente
período.
M1 M2 Mn
0 1 2 ··· n
A las rentas prepagables algunos autores las denominan con pago anticipado, y las pospagables, rentas
con pago por vencido.
7. Según la amplitud del período de la renta
Entera: Cuando el periodo de la renta coincide con el período de capitalización o de actualización
del tanto de interés. Si el período de la renta es de un año, se dice que la renta es anual.
M1 M2 Mn
i (anual)
0 1 2 ··· n
Plurianual: Cuando el período es superior a un año, se dice que la renta es plurianual o bien, que se
trata de una renta con periodicidad superior a un año. La renta es pluriperiodal siempre
que el período de la renta sea superior a la del tanto.
M M M M
i (anual)
0 2 4 6 2·n
- 29 -

36. Fraccionada: Tomando como referencia la renta entera (anual), si el período de otra es inferior a un año,
se dice que la nueva renta es fraccionada o bien, que se trata de una renta con
periodicidad inferior a un año.
FRACCIONADA DE TÉRMINOS CONSTANTES:
M(k ) M(k ) M(k ) M(k ) M(k ) M(k ) M(k ) M(k ) M(k )
i (anual)
0 1 2 n
FRACCIONADA DE TÉRMINOS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA:
M(k )q M(k )q M(k )q2 M(k )q2 M(k )qn −1 M(k )qn −1
i (anual)
0 1 2 n
FRACCIONADA DE TÉRMINOS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA:
M(k ) M(k ) M(k ) M(k ) + π M(k ) + π M(k ) + (n − 1)·π M(k ) + (n − 1)·π
i (anual)
0 1 2 n
- 30 -

37. FÓRMULAS DE RENTAS
Renta de referencia Valor actual Valor final
Renta anual, de términos constantes, 1 − (1 + i)−n (1 + i)n − 1
( Va)n i = M · = M·an i ( Vs)n i = M · = M·sn i
pospagable, inmediata y temporal i i
 1 − qn·(1 + i)−n  (1 + i)n − qn
M1 · si q ≠ 1 + i M1 · si q ≠ 1 + i
Renta anual, de término variables en  1+ i − q  1+ i − q
 
progresión geométrica, pospagable, A(M1; q)n i =  S(M1; q)n i = 
inmediata y temporal M ·(1 + i)−1n si q = 1 + i M ·(1 + i)n −1n si q = 1 + i
 1  1

 

Renta anual, de término variables en
π n·π·(1 + i)−n π nπ
progresión aritmética, pospagable, A(M1; π)n i = (M1 + )·an i − S(M1; π)n i = (M1 + )·Sn i −
i i i i
inmediata y temporal
Renta plurianual de términos constantes, ( Va)nh] = M·an·h i·Sh1
[ −
( Vs)nh] = M·Sn·h i·Sh1
[ −
i i
pospagable, inmediata y temporal i i

38. RELACIONES ENTRE RENTAS
Valor Actual y Valor Final Valor final  Valor actual × (1 + i)n n = número de periodos de la renta
i k = número de periodos en los que se divide el año
Rentas fraccionadas Fraccionada  × renta entera asociada
jk k × M( k ) = término anual de la renta entera
(1 + i) si es anual
1 k = número de periodos en los que se divide el año
Rentas prepagables Prepagable  Pospagable × (1 + i) k si es fraccionada h = número de años entre dos términos consecutivos
(1 + i)h si es plurianual
Rentas diferidas Diferida  Inmediata × (1 + i) − d El diferimiento no afecta al valor final
d = número de periodos antes del primer periodo de la renta
Rentas anticipadas Anticipada  Inmediata × (1 + i) f La anticipación no afecta al valor actual
f = número de periodos después del ultimo término de la renta
1
( Va) ∞ i = M ·
i
1
Rentas perpetuas Perpetuas  A(M1; q) ∞ i = M1 · si q < 1 + i No tiene sentido calcular el valor final
1+ i − q
π
A(M1; π)n i = (M1 + )·a ∞ i
i

39. EJEMPLO RESUELTO 30
Calcular el valor actual y valor final de una renta anual, de términos constantes iguales a 1.000 € durante 10 años,
pospagable, valorada al tipo de interés anual del 8%.
( Va)10 , 0,08 = 1.000 ·a10 , 0,08 = 6.710'081 €
( Vs)10 , 0,08 = 1.000 ·S10 , 0,08 = 14.486'562€
EJEMPLO RESUELTO 31
Calcular el valor actual de una renta anual de 10 términos, siendo el primero de 1.000 € y el resto
aumentando anualmente en un 10%. Tipo de interés efectivo anual del 5%.
1 − 1'1010 ⋅ 1'05 −10
A(M1 = 1.000 ; q = 1'10)10 , 0,05 = 1.000 ⋅ = 11.846'657 €
1'05 − 1'10
EJEMPLO RESUELTO 32
Calcular el valor actual de una renta de términos anuales, duración n = 20, primer término M1 = 1.000 €, y el
resto aumentando anualmente un 10% sobre la cuantía del primer término. Tipo de interés de valoración del
6%.
100 20·100·1'06 −20
A(M1 = 1.000 ·; π = 0,10 ·1.000 ) 20 ,0,06 = (1.000 + )·a 20 0'06 − = 20.192'965 €
0'06 0'06
EJEMPLO RESUELTO 33
Calcular el valor actual y valor final de una renta de 500 € mensuales, duración n = 10 años, inmediata y
pospagable. Tipo de interés efectivo anual del 8%.
i
( Va)10 , ) ,08 =
(12
0 ·500 ·12·a10 , 0,08 = 41.716'195 €
j(12 )
i
( Vs)10 , ) ,08 =
(12
0 (12 )
·500 ·12·S10 , 0,08 = 90.0062'136 €
j
EJEMPLO RESUELTO 34
Calcular el valor actual de la renta “salarios”, que tendremos que empezar a pagar dentro de un año, siendo
éstos de 12 mensualidades de 100.000 €, más dos pagas extras en junio y diciembre de la misma cuantía
que la mensualidad, aumentando anualmente un 3% sobre el año anterior (tanto el salario mensual como las
pagas extras) y con una duración de 20 años. Tipo de interés efectivo anual del 3%.
1'03 −1·A(M1 = 100.000 ·12; q = 1,03)(12,)0,03 + 1'03 −1·A(M1 = 100.000 · 2; q = 1,03 )10), 0,03
20
(2
i i
= 1'03 −1 ⋅ (12 )
·100.000 ·12·1'03 −1·20 + 1'03 −1 ⋅ (2)
·100.000 · 2·1'03 −1·20
j j
= 22.931.698,38 + 3.798.452'552 = 26.730.150'93 €
- 33 -

40. EJEMPLO RESUELTO 35
El director técnico de una empresa está estudiando establecerse en un determinado municipio con un
proyecto de inversión que presenta los siguientes pagos y cobros:
PAGOS
• Maquinaria: 80.000 € trimestralmente durante 2 años.
• Materia prima: 20.000 € al principio de cada trimestre el primer año, con un incremento anual del 10%
sobre la anualidad del primer año.
• Mano de Obra: 30.000 € mensuales con 2 pagas extras en junio y diciembre de igual cuantía a la
mensualidad incrementándose anualmente de forma acumulativa en un 4%.
• Mantenimiento: 90.000 € cada 3 años.
INGRESOS
• Ventas: El primer año esperan unas ventas de 75.000 € mensuales que se incrementarán anualmente
en un 6% sobre las ventas del año anterior.
Si el tipo de interés es del 6% anual y la duración del proyecto es de 10 años, calcular el beneficio o pérdida
actualizada.
PAGOS
i
P1 = ( Va)( 4 0,06 =
2,
)
( 4)
· 4 ·80.000 ·a 2 , 0,06 = 599.725,84 54 €
j
 i 1
P2 = A(M1 = 20.000 · 4; π = 0,10 ·20.000 · 4)10), 0,06 =
(4
( 4)
·1.06 4 · A(M1 = 80.000 ; π = 8.000)10 , 0,06
j
= 856.360,99 86 €
P3 = A(M1 = 30.000 ·12; q = 1,04)10 , 0,06 + A(M1 = 30.000 ·2; q = 1,04)10), 0,06
(12 ) (2
= 3.206857,0911 + 528.009,0519 = 3.734.866, 143 €
P4 = ( Va)[h,= 306 = 90.000 ·a9 , 0,06 ·S310,06 = 192.283,04 57 €
3 0,
] −
,
INGRESOS
i
I1 = A(M1 = 75.000 ·12; q = 1,06)10 , ) ,06 =
(12
0 (12 )
·75.000 ·12·1,06 −1 ·10 = 8.721.600, 2420 €
j
BENEFICIOS
4
B( t = 0 ) = I( t = 0 ) − P
j =1
j (t =0) = 3.338.364,209 €
- 34 -

41. EJEMPLO RESUELTO 36
Una empresa auxiliar de automoción decide implantar una línea de inyección de aluminio para suministrar
bloques de motor para un automóvil. Para calcular el precio de venta, se tienen en cuenta los siguientes
datos:
- Se compra y acondiciona un pabellón, pagándose 2 millones de u.m. al contado, y el resto mediante 4
letras de igual nominal de 2 millones de u.m. cada una, con vencimiento a 3, 6, 9 y 12 meses.
- Se encarga el desarrollo del proyecto a una ingeniería que cobra 1 millón de u.m. mensuales durante los
seis meses de estudio, mas 5 millones de u.m. en el momento de puesta en marcha de la instalación.
Tras la elaboración del proyecto, comienza la ejecución del mismo que se prolonga por espacio de 6 meses.
Se incurre en los siguientes gastos:
- Compra de un horno de reverbero, de coste 30 millones de u.m., a pagar el 50% al contado, y el resto el
día de puesta en marcha.
- Maquinaria de inyección y diversa, pagándose en tres letras de 5 millones de u.m. cada una con
vencimientos a 6, 12 y 18 meses.
Tras la ejecución y puesta en marcha, comienza la producción de bloques, que se va a mantener durante 10
años. Supone los siguientes gastos:
- Mantenimiento: 1 millón de u.m. al año, más la renovación completa del refractario del horno cada tres
años, que supone 2 millones de u.m..
- Materias primas: mensualmente 10 millones de u.m al principio de cada mes., con un incremento anual del
4% sobre el primer año.
- Energía: 2 millones de u.m. cada dos meses, incrementándose cada año un 3% respecto al anterior.
- Mano de obra: 10 millones de u.m. mensuales, más dos pagas extra en junio y diciembre de igual cuantía,
con un incremento anual por convenio del 3%.
Se toma para todos los cálculos un tanto de valoración del 10% anual.
Se desea calcular el precio de venta unitario en el primer año de producción y en el último, sabiendo que el
número de unidades vendidas es 1000 cada mes durante el primer año, que se incrementa un 5% cada año
respecto al anterior, que el precio de venta tan sólo se incrementa un 1% cada año respecto al anterior, y que
se desea obtener un beneficio del 10% sobre el precio de coste
ESTUDIO DEL EJECUCION DEL 10 AÑOS DE
PROYECTO PROYECTO PRODUCCION
  
|⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯|⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯|⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - - - - - - - ⎯⎯⎯⎯⎯|
12 MESES 11 AÑOS
0 6 MESES
COMIENZO DE LA EJECUCION DEL PUESTA EN MARCHA DE
PROYECTO LA INSTALACION
- 35 -

42. CÁLCULO DE LOS GASTOS ACTUALIZADOS:
1. Pabellón:
1
G1 = 2.000.000 + 2.000.000 ⋅ a 4 ,i( 4 ) = 9.540.040,066 u.m. (i ( 4 ) = (1 + i) 4 − 1 = 0,024113689 )
2. Proyecto:
G 2 = 1.000.000 ⋅ a 6 , i(12 ) + 5.000.000 ⋅ (1 + i) −1 = 10.381.495,58 u.m.
1
(i (12 ) = (1 + i) 12 − 1 = 0,00797414 )
3. Horno:
i
G 3 = 15.000.000 ⋅ 2 ⋅ ⋅ a1, i = ... = 27.938.302,47 u.m.
j2
4. Maquinaria:
G 4 = (1 + i( 2 ) ) −1 ⋅ 5.000.000 ⋅ a 3 , i( 2 ) = ... = 13.011.606,81 u.m.
5. Mantenimiento:
G 5 = (1 + i) −1 ⋅ 1.000.000 ⋅ a10 , i + (1 + i) −1 ⋅ 2.000.000 ⋅ a 9 , i ⋅ S −13 , i = ... = 8.749.399,82 u.m.
6. Materias primas:
G 6 = 1/ Ä(M1 = 10.000.000 ⋅ 12 , π = 400.000 ⋅ 12)10 , i) =
(12
1
i
V 1 ⋅ (1 + i) 12 ⋅ ⋅ A(M1 = 120.000.000 , π = 4.800.000 )10 = ... = 811.317.994,34 u.m.
j12
7. Energía:
i
G 7 = 1/ A(M1 = 2.000.000 ⋅ 6 ,1,03)10), i = V 1 ⋅
(6
⋅ A(M1 = 12.000.000 ,1,03 )10 , 0,10
j6
= ... = 78.166.381,34 u.m.
8. Mano de obra:
G 8 = 1/ A(M1 = 10.000.000 ⋅ 12 ,1,03 )10 , i) + 1/ A(M1 = 10.000.000 ⋅ 2 ,1,03 )10), i
(12 (2
= ... = 784.780.363,5 + 128.213.408,4 = 912.993.771,9 u.m.
8
G T actualizados = G
i=1
i = 1.872.098.994 u.m.
- 36 -

43. CÁLCULO DE INGRESOS ACTUALIZADOS:
1. Ventas:
i
I1 = 1/ A(M1 = 1.000 ⋅ p ⋅ 12 , q = 1,05 ⋅ 1,01)10 , i) = V 1 ⋅
(12
⋅ A(M1 = 12.000 ⋅ p ,1,0605 )10 , 0,10
j12
i 1 − qn ⋅ V n
= V1 ⋅ ⋅ M1 ⋅ = ... = 88.400,517 ⋅ p u.m
j12 1+ i − q
IT actualizados = I1 = 88.400,517 ⋅ p u.m
Para calcular el precio de coste en el primer año, igualamos los ingresos
actualizados a los gastos actualizados:
IT act = G T act p c = 21.177,46 u.m./unidad el 1er año.
Cálculo del precio de venta en el primer año:
p v = p c + 0,10 ⋅ p c = 1,10 ⋅ p c = 23.295,21u.m./unidad el primer año.
Cálculo del precio de venta en el último año:
p v = 23.295,21⋅ (1,01) 9 = 25.477,63 u.m/unidad el último año.
- 37 -

44. EJEMPLO RESUELTO 37
Un estudiante de Ciencias Empresariales ha tenido los siguientes gastos durante los 5 años de carrera:
a) Gastos de matrícula: 20.000 u.m. el 1 de Octubre de cada año con un incremento anual de 15.000 u.m..
b) Gastos de libros: 12.000 u.m. el 1 de Octubre de cada año.
c) Gastos de material: 2.000 u.m. al comienzo de cada uno de los 3 trimestres de cada curso.
d) Gastos de manutención y alojamiento: 45.000 u.m. mensuales a pagar al final de cada mes durante los 9
meses del curso (de Octubre a Junio) creciendo cada año en un 10% sobre la cuantía del año anterior.
En el supuesto de que todas estas cantidades las hubiera ingresado en una Entidad Financiera que
proporciona un interés anual del 9% averiguar el fondo constituido el 1 de Octubre siguiente a la finalización
del curso (supuesto que lo supera anualmente).
1. Gastos de matrícula: Valoramos los
gastos en
M1=20.000 20.000+15.000 20.000+2·15.000 20.000+3·15.000 20.000+4·15.000 este momento
1-octubre 1-octubre 1-octubre 1-octubre 1-octubre 1-octubre
1er curso 2o curso 3er curso 4o curso 5o curso

G1 = S(M1 = 20.000, π = 15.000 )5 , i = 0,09 = 309.355,78
2. Gastos de libros:
G2 = 12.000 ⋅ (1 + 0,09) ⋅ S5 , 0,09 = 78.280,014
3. Gastos de material:
2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000
1-octubre 1-octubre 1-octubre 1-octubre 1-octubre 1-octubre
Hallamos el valor final de los 3 pagos trimestrales en los 5 cursos, y estos valores finales
constituirán una renta anual, constante, postpagable, temporal, n = 5 :
M M M M M
1-octubre 1-octubre 1-octubre 1-octubre 1-octubre 1-octubre
9 6
Término anual constante = M = 2.000 ⋅ R + 2.000 ⋅ R 12 + 2.000 ⋅ R 12 = 6401,59
Luego, G 3 = M ⋅ S 5 , 0,09 = 38.311,7
- 38 -

45. 4. Gastos de mantenimiento y alojamiento:
45 000 45 000 45.000*q 45.000*q 45.000*q2 45.000*q2 45.000*q3 45.000*q3 45.000*q4 45.000*q4
1-oct 1-oct 1-oct 1-oct 1-oct 1 2 9 1-oct
1 2 ... 9 1 2 ... 9 1 2 ... 9 1 2 ... 9
12 ... 12
12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12
Hallamos el valor final de las 9 mensualidades en los 5 cursos, y estos valores finales
constituirán una renta anual, variable en progresión geométrica de q = 11, postpagable y
,
temporal n = 5.
1er término anual = M1 = 45.000 ⋅ S 9 , i12 ⋅ (1 + i12 ) 3 = 425.952,5657
Luego, G 4 = S(M1 = 425.952,5657, q = 1,1)5 , i=0,09 = 3.062.008,2
4
Y por tanto: G T = G
i=1
i = 3.487.956
- 39 -

47. MOF - COMPETENCIA 3
FORMACIÓN DE CAPITALES
Definiciones - Notaciones.
Modelos de Operaciones de Constitución:
Términos Constitutivos Constantes:
- Imposiciones Prepagables.
- Imposiciones Pospagables.
Cuotas de Constitución Constantes:
- Imposiciones Prepagables.
- Imposiciones Pospagables.

49. > CONSTITUCIÓN DE CAPITALES:
Es el plan de ahorro o inversión por el cual, mediante imposiciones periódicas que devengan
cierto interés, se va acumulando un capital de manera que al cabo de un tiempo determinado se
obtenga el capital estipulado, al que denotaremos ¢.
> DEFINICIONES:
Término constitutivo: ( M * / M t ). Es la aportación realizada en el extremo inferior / extremo
t
superior del intervalo.
Intereses generados: ( I* / I t ). Cuantía de intereses producidos en el periodo t.
t
• Si las aportaciones son prepagables I* = (Ft*−1 + M * ) ·i
t t
• Si las aportaciones son pospagables It = Ft −1·i
Cuota de constitución: ( C * / C t ). Es la cuantía en la que se incrementa el fondo en el periodo t,
t
debido a la aportación del momento t y a los intereses generados en ese periodo.
Fondo constituido: ( Ft* / Ft ). Es el montante obtenido mediante las imposiciones y los intereses
correspondientes hasta el momento t. En Ft* no se incluye la aportación del momento t y en Ft se
incluye la aportación del momento t.
Capital pendiente: ( Pt* / Pt ). Diferencia entre el capital a constituir y el fondo constituido hasta el
momento.
Constitución única: Se realiza una única imposición H, de modo que con dicha cantidad y sus
intereses, al cabo de n años se alcance el capital deseado.
Constitución progresiva: Se realizan n imposiciones para constituir el capital ¢. Dichas
imposiciones pueden ser prepagables o pospagables. Utilizaremos siempre el régimen de
capitalización compuesta.
- 43 -

50. > TÉRMINOS CONSTITUTIVOS CONSTANTES – IMPOSICIONES PREPAGABLES
M* M* M* ·· M* ¢
0 1 2 ·· n-1 n
M∗ = cte , i = cte .
t
M*
t Ft* I*
t C*
t
Cálculo del término constitutivo:
¢ = M∗ ·(1 + i) ·S n i  M∗ = ¢ ·(1 + i) -1 ·S n1
−
i
Cálculo del fondo constituido y capital pendiente de constitución:
Ft∗ = M∗ ·(1 + i) ·S t i Pt∗ = ¢ - Ft∗
Cálculo de la cuota de interés:
I∗ = (Ft∗−1 + M∗ ) ·i
t
Cálculo de la cuota de constitución:
C ∗ = M ∗ + I∗
t t t
o
C ∗ = Ft∗ − Ft∗−1
t
o
C ∗ = C ∗−1 ·(1 + i) con C1 = M1 ·(1 + i)
t t
∗ ∗
Cuadro de constitución:
t M*
t I*
t C*
t Ft* Pt*
0 M∗ ------------------ ------------------ ∗
F0 = 0 ¢
1 M∗ ∗ ∗
(F0 + M1 ) ·i ∗ ∗
M1 + I1 ∗ ∗
F0 + C1 ∗
¢ - F1
2 M∗ (F1 + M∗ ) ·i
∗
2 M ∗ + I∗
2 2 F1 + C ∗
∗
2
∗
¢ - F2
     
∗ ∗
n ------------------ (Fn−1 + Mn ) ·i M ∗ + I∗
n n
¢ 0
- 44 -

51. > TÉRMINOS CONSTITUTIVOS CONSTANTES – IMPOSICIONES POSPAGABLES
M M M ·· M ¢
0 1 2 ·· n-1 n
M t = cte , i = cte .
Mt Ft It Ct
Cálculo del término constitutivo:
−
¢ = M ·S n i  M = ¢ · S n 1
i
Cálculo del fondo constituido y capital pendiente de constitución:
Ft = M·S t i Pt = ¢ - Ft
Cálculo de la cuota de interés:
I t = Ft −1 ·i
Cálculo de la cuota de constitución:
C t = Mt + It
ó
C t = Ft − Ft −1
ó
C t = C t −1 ·(1 + i) con C1 = M1
Cuadro de constitución:
t Mt It Ct Ft Pt
0 ------------------ ------------------ ------------------ --------------- ¢
1 M F0 ·i M1 + I1 F0 + C1 ¢ - F1
2 M F1 ·i M 2 + I2 F1 + C 2 ¢ - F2
     
n M Fn−1 ·i M n + In ¢ 0
- 45 -

52. > CUOTAS DE CONSTITUCIÓN CONSTANTES – IMPOSICIONES PREPAGABLES
·· ¢
M1* M2* Mn*
0 1 2 ·· n-1 n
C ∗ = cte , i = cte .
t
C∗
t Ft* I*
t M*
t
Cálculo de la cuota de constitución:
n
C ∗ ¢
¢= j  C∗ =
j =1 n
Cálculo del fondo constituido y capital pendiente de constitución:
t n
C C
¢ ¢
Ft∗ = ∗
j = t· Pt∗ = ¢ - Ft∗ o también Pt∗ = ∗
j = (n − t ) ·
j=1 n j= t +1 n
Cálculo de la cuota de interés:
I∗ = (Ft∗−1 + M∗ ) ·i
t t
Cálculo del término constitutivo:
M ∗ = C ∗ − I∗
t t t con M1 = C ∗ ·(1 + i) −1
∗
ó
M∗ = M1 − ( t − 1) ⋅ C ∗ ⋅ (1 + i) −1 ⋅ i = M1 − ( t − 1) ⋅ M1 ⋅ i
t
∗ ∗ ∗
Cuadro de constitución:
t M*
t I*
t C*
t Ft* Pt*
∗ ¢
0 M1 ------------------ ------------------ ---------------
1 M∗
2
∗ ∗
(F0 + M1 ) ·i C∗ ∗ ∗
F0 + C1 ∗
¢ - F1
2 M∗ (F1 + M∗ ) ·i
∗
2
C∗ F1 + C ∗
∗
2
∗
¢ - F2
     
n ------------------ ∗ ∗
(Fn−1 + Mn ) ·i C∗ ¢ 0
- 46 -

53. > CUOTAS DE CONSTITUCIÓN CONSTANTES – IMPOSICIONES POSPAGABLES
·· ¢
M1 M2 Mn
0 1 2 ·· n-1 n
C t = cte , i = cte .
Ct Ft It Mt
Cálculo de la cuota de constitución:
n
¢
¢= C
j =1
j  C =
n
Cálculo del fondo constituido y capital pendiente de constitución:
t n
C C
¢ ¢
Ft = j = t· Pt = ¢ - Ft o también Pt = j = (n − t ) ·
j =1 n j= t +1 n
Cálculo de la cuota de interés:
I t = Ft −1 ·i
Cálculo del término constitutivo:
Mt = C t − It con M1 = C
ó
Mt = M1 − ( t − 1) ⋅ C ⋅ i = M1 − ( t − 1) ⋅ M1 ⋅ i
Cuadro de constitución:
t M*
t I*
t C*
t Ft* Pt*
0 ------------------ ------------------ ------------------ --------------- ¢
1 C ·(1 + i) −1 0 C F0 + C ¢ - F1
2 C − I2 F1 ·i C F1 + C ¢ - F2
     
n C − In Fn−1 ·i C ¢ 0
- 47 -