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UNIDAD 5
2 6 0
5.3. Interés simple
En la actualidad el uso del dinero tiene diferentes vertientes, ya sea para gastar en bienes y
servicios o para invertir en un negocio, en una propiedad, etc., sin embargo, cuando se utiliza
el dinero para cualquiera de las dos anteriores opciones, y si el dinero no se tiene en propiedad,
este causa un sobrepago que normalmente denominamos interés. El manejo del interés se da
a partir de dos características, la primera cuando los intereses no forman parte de la propia
deuda, es decir no se capitalizan; la segunda es cuando los intereses se van a acumulando, es
decir se capitalizan. En este apartado se hablará de la primera característica.
Por ejemplo una de las principales funciones de los bancos y las financieras es prestar
dinero a las personas y empresas, en otras palabras otorgan créditos; facilitando la devolución
del dinero en plazos de tiempo, estableciendo un plazo para cancelar la deuda que se adquiere
al pedir prestado dinero para comprar o trabajar.
El crédito conlleva la aplicación de una de tasa de interés (sobrepago) a las operaciones
de préstamo de dinero; en éstas se calcula el costo del dinero en relación al monto solicitado y
a la tasa de interés vigente.
El interés
Es el precio que se paga por el uso del dinero a lo largo de un periodo de tiempo.
La tasa de interés para una transacción determinada se expresa explícitamente de
manera frecuente; es decir: una asociación de ahorro y préstamo que puede ofrecer 6.5% de
rendimiento al año sobre sus depósitos de ahorro, o una compañía hipotecaria puede ofrecer
hipotecas de 20 años de viviendas a una tasa de interés de 12%.
Algunas veces la tasa de interés está implícita en la transacción que se efectúa, por
ejemplo, algunos bancos comerciales ofrecen cuentas corrientes gratis a los clientes que
mantienen un saldo mínimo de x cantidad, debido a que esta misma cantidad x podría ganar
interés si fuera depositado en una cuenta de ahorro, existe un costo de interés implícito para
los clientes del banco por mantener el saldo mínimo en sus cuentas.
El interés simple es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En
consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir,
la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés
es calculado sobre la misma base.
Interés simple, es también la ganancia sólo del capital (principal, stock inicial de efectivo) a
la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el periodo de transacción comercial.

análisis matemático financiero
2 6 1
La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en
un momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (periodos
menores de un año).
El monto que obtenemos con el interés simple aumenta linealmente (progresión
aritmética). Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial, es indiferente la frecuencia
en la que estos intereses son cobrados o pagados. El interés simple no se capitaliza.
Suposiciones generales para calcular el interés
• Certeza. Es la suposición usada más restrictiva, se supone que todos los valores actuales
y futuros sean conocidos, y si no, se utilizarán técnicas que permitan su cálculo.
• Periodos discretos de tiempo. Este tiempo debe ser dividido en intervalos anuales
considerando desde que inicia hasta que termina el último día del año. El presente
inmediato se considera como el final del año cero.
• Cálculo de interés anual. Este interés se calcula una vez al año y el cálculo se hace al
final del mismo lo cual reafirma los periodos discretos de tiempo.
i cit
=
Debido a estas suposiciones puede definirse la ecuación para el interés
simple como:
Donde:
I = interés simple
C = capital inicial
i = tasa de interés anual
t = tiempo de inversión
Ejemplo 13
Si se realiza una inversión que produzca una entrada de efectivo dentro de dos años a
cambio de un flujo inmediato de efectivo, entonces se dice que tiene un flujo al final del
año cero y una entrada al final del año dos.
Ejemplo 14
Se realiza una inversión de $5 000 el día 15 de marzo, luego de esta fecha se vuelve el
tiempo cero, una entrada de efectivo de esa inversión ocurrirá dos años más tarde, es decir,
para el 15 de marzo del año dos, produciendo entradas de $1 000

UNIDAD 5
2 6 2
Flujo de efectivo
0 1 2
$5 000 $1 000
Ejemplo 15
¿En cuánto se convierte un capital de $1 600 000 a 10% en dos años a interés simple?
Como el interés que produce 1 peso en 1 año es de 10/100 pesos = 0.1 pesos, el
interés total es:
C = $1 600 000
t = 1 año
i = 0.1
Cit
I =
C = ($1 600 000) (0.1) (1) = $160 000
Al final del primer año retiramos los intereses y el capital sigue siendo el mismo
$1 600 000. En el segundo año, el capital vuelve a producir otros $160 000
En los dos años el interés producido es:
$160 000 + $160 000 = $320 000
Por lo tanto, el capital se convierte a los dos años en:
1 600 000 + 320 000 = 1 920 000 pesos
Se puede obtener directamente el interés a los dos años:
I = (1 600 000) (0.1) (2) = 320 000 pesos
En general, si C es el capital, i es la tasa de interés anual y t es el tiempo en años,
entonces el interés simple es:
i cit
=
Si el tiempo viene dado en meses la fórmula es:
12
número de meses
t =
Si el tiempo viene expresado en días la fórmula es:
360
número de días
t =
El interés simple tiene la propiedad de que el capital inicial permanece constante
durante un plazo.

2 63
Ejemplo 16
Calcular el interés simple comercial de:
a) $2 500 durante 8 meses a 8%
b) $60 000 durante 63 días a 9%
c) $12 000 durante 3 meses a 8.5%
d) $15 000 a 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre del
mismo año.
a) C = $2 500
t = 8 meses
i= 0.08
Sustituyendo valores:
I = (2 500) (8/12) (0.08) = $133.33
b) C = $60 000
t = 63 días
i = 0.09
I = (60 000) (63/360) (0.09) = $945
c) C = $12 000
t = 3 meses
i = 0.085
I = (12 000) (3/12) (0.085) = $255
d) C = $15 000
i = 0.10
t =165 días
I = (15 000) (0.10/360) (165) = $687.50
Ejemplo 17
¿Cuál será el interés que se obtenga de un capital de $30 000 si se ha invertido durante 4
años a una tasa de interés de 14%?
C =$30 000
i =0.14
t = 4

UNIDAD 5
2 64
i = =
($30 000)(0.14)(4) $16 800
Monto simple
Se define como el valor acumulado del capital. Es la suma del capital más el interés, su ecuación es:
m c i
= +
Pero si se sustituye
I= Cit
Se tiene:
(1 )
m c cit c it
= + = +
Ejemplo 18
Una persona pide un préstamo por $10 000 a una tasa de interés de 4.5% anual durante
1 año, ¿cuál será el monto que pagará al final de este tiempo?
C =$10 000
i =0.045
t = 1
(1 )
m c it
= +
(1 ) $10 000(1 0.045(1)) $10 450
m c it
⇒ = + = + =
Por lo tanto el monto a pagar será de: $10 450
Ejemplo 19
¿Calcular el monto a pagar de una deuda de $75 000 al 1 de mayo, si se firmó un pagaré
el 16 de marzo del año en curso con un interés de 12%?
Utilizando las conversiones de tiempo de días a años (t/360)
t = 46 días = 0.127 777 años
i = 0.12
C = $75 000
(1 )
m c it
= +
75 000(1 0.12(0.127 777)) $76 150
m = + =
El monto a pagar será de:
M = $76 150

2 65
Gráficas del problema de interés simple
{ }
( , ( ))/ ( )
f t f t m f t cit c
= = = +
Para graficar un problema de interés simple, se
define una función lineal cuyo dominio es el
tiempo y cuyo rango o imagen es el interés
obtenido en determinado periodo de tiempo.
Donde: Ci es la pendiente de la función, C es la ordenada en el origen, todos mayores
a cero; esto no es otra cosa que la ecuación del monto simple.
Ejemplo 20
Elaborar la gráfica que presenta el monto de un capital de $1 a una tasa de interés simple
de 2% anual, determinando su dominio e imagen.
C = 1
i = 0.02
t = variable
( )
f t cit c
= +
f(t) = 1(0.02)t + 1
f(t) = 0.02 t + 1
f(t) = 1 + 0.02 t
Graficando entre 0 y 6
Dominio [0, 6] e imagen [1, 1.12]
0 1 2 3 4 5 6 7
1,6
0,8
f ( t )
t

UNIDAD 5
2 66
Valor presente
Para encontrar el capital inicial que se requiere invertir durante cierto tiempo a determinada
tasa de interés para producir cierto monto, se requiere de un valor presente.
( 1)
m cit c c it
= + = +
Despejando C se tiene el valor presente:
1
m
c
it
=
+
Ejemplo 21
Encontrar el valor presente de $1 400 pagaderos dentro de 5 años, si la tasa de interés
es de 2% anual.
Sustituyendo los datos proporcionados directamente en la ecuación obtenemos:
1 400 1 400
$1 272.72
1 (0.02)5 1.1
c = = =
+
Ecuaciones de valor
En ocasiones es necesario reemplazar una deuda o una serie de deudas por otra o por otro
conjunto de ellas con diferentes vencimientos. Para que tanto el acreedor como el deudor estén
satisfechos con el nuevo esquema de pagos, el valor de éstos debe ser equivalente al valor del
esquema original.
Las ecuaciones de valor son una igualdad o equivalencia entre dos colecciones de
obligaciones evaluadas en un mismo periodo. Cabe mencionar la importancia de determinar
para cada caso la fecha de valuación llamada fecha focal, ya que los montos de las obligaciones,
en los casos de interés simple varían respecto al tiempo.
Los diagramas de tiempo valor son una buena herramienta para el cálculo de las
ecuaciones de valor equivalentes.
1 2
X X
Obligaciones A
Consideradas en
el tiempo 2
Fecha de
valuación
Obligaciones B
Consideradas en
el tiempo 2
X X
n –1 n

2 67
Ejemplo 21
Una empresa firma un pagaré por $180 000 a 90 días a 6%; 30 días después, firma otro
pagaré por $120 000 a 90 días sin intereses, 60 días después de la primera fecha, acuerda
pagar $40 000 y recoger los pagarés reemplazando éstos por uno sólo a 120 días, contados
desde la última fecha, con un rendimiento de 12%. Determine el pago convenido.
180 000 120 000 40 000 X
0 90
30 60 180
150
120
Se determina la fecha focal de 180 días, se deben calcular los diferentes valores en
esta fecha para plantear la ecuación de valores equivalentes.
Valores recientes:
x
 
⇒ + +
 
 
1
40 000 1 (0.12)
3
Valores anteriores:
     
⇒ + + + +
     
     
1 1 1
180 000 1 (0.06) 1 (0.12) 120 000 1 (0.12)
4 4 6
Se igualan valores:
1
40 000 1 (0.12)
3
x
 
+ + =
 
 
1 1 1
180 000 1 (0.06) 1 (0.12) 120 000 1 (0.12)
4 4 6
     
+ + + +
     
     
40 000 1.04 180 000 1.015 1.03 120 000 1.02
x        
+ = + =
       
41 600 188 181 122 400
x + = +
41 600 310 581
x + =
x = −
310 581 41 600
$268 981
x = 0

UNIDAD 5
2 68
Actividad 1
1. Calcule el valor de la variable desconocida para cada uno de los siguientes problemas:
Depósitos en el año cero Tasa de interés Número de años Cantidad final
$10 000 8 % 12
$12 000 4 $14 000
11 % 7 $7 000
$8 000 4 % $9 000
$900 5 % $1 200
12 % 10 $35 000
$70 000 14 $80 000
$500 13 $1 000
2. Usted le pide prestados $2 000 a un banco en estos momentos y acuerda pagar el
préstamo haciendo un pago de $2 800, tres años después ¿qué tasa de interés le está
cobrando el banco?
3. Se depositan diez pagos anuales de $2 000 cada uno a una cuenta que paga 85% de
interés. Los pagos comenzarán 5 años más tarde, ¿cuánto dinero estará disponible
inmediatamente después del último pago?
4. ¿Cuál es el valor actual en el año cero de una anualidad de 10 pagos que paga $10 000
al año, si el primer pago se recibe 6 años después y si la tasa de descuento es 15%?
5. Encontrar el valor actual, a 5% de interés simple, de $1 800 000 con vencimiento en
9 meses.

2 69
5.4 Interés compuesto
Con anterioridad hablamos de progresiones geométricas, de las cuales la aplicación más
clara es la que consideramos en el momento de calcular el interés compuesto sobre un
capital prestado.
Cuando una persona deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo, el
banco paga intereses. Esos intereses se van acumulando e integrando a la propia deuda y a
esto se le conoce como capitalización. Es importante mencionar que en la actualidad el tipo
de interés que se maneja con mayor regularidad en los procesos comerciales y financieros es el
interés compuesto y uno de los principales ejemplos son las tarjetas de crédito.
Interés compuesto
Es la cantidad que resulta de sumar al capital inicial todos los intereses calculados al final de
cada uno de los periodos contemplados en un tiempo determinado.
El crecimiento natural es una variación proporcional a la cantidad presente en todo
instante; tal es el caso del crecimiento de las bacterias o el de las células del cuerpo, cuyo
crecimiento es continuo en el tiempo. En la capitalización a interés compuesto encontramos
un crecimiento continuo en función del tiempo.
Periodo de capitalización
Ejemplo 22
Si un interés se capitaliza 4 veces al año, el periodo de capitalización es de 3 meses. Es decir
que en un año se tienen cuatro trimestres.
Frecuencia de capitalización
Es el número de veces por año en que el interés se suma al capital.
Ejemplo 23
Si un interés se capitaliza trimestralmente, la frecuencia de capitalización es 4.

UNIDAD 5
2 7 0
Conversión de pagos simples a compuestos
Cuando una cantidad acordada de dinero se deposita en una cuenta que soporta un interés y se le
permite que obtenga intereses por varios años, el valor monetario resultante recibe el nombre de
cantidad compuesta. Nos referimos al depósito de original como el capital. Al proceso de añadir
interés y determinar la cantidad compuesta resultante se le llama compuesto. La frecuencia del
compuesto es el número de veces anuales que el interés se le añade a la cuenta de depósito.
Ejemplo 24
Una persona deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo, el banco pagará intereses
¿en cuánto se convierte un capital de $1 600 000 a 10% en dos años a interés compuesto?
a) El depósito se efectúa en el año cero. Al final del primer año la cantidad compuesta
disponible es:
Cantidad compuesta = $1 600 000 + $1 600 000 (10%)
= $1 600 000 + $1 600 000 (0.1)
= $1 600 000 + $160 000
= $1 760 000
b) Al final del primer año los $160 000 ganados no se retiran, por lo que el capital,
al empezar el segundo año, es de $1 760 000.
Cantidad compuesta = $1 760 000 + $1 1760 000 (10%)
= $1 760 000 + $1 1760 000 (0.1)
= $1 760 000 + $1 176 000
= $1 936 000
En el primer año la ganancia del capital es de:
$1 600 000 (0.1) = $160 000
En el segundo año el interés de $1 760 000 es:
($1 760 000) (0.1) = $176 000
Al final de los dos años el interés producido es:
$160 000 + $176 000 = $336 000
Utilizando el ejemplo anterior en donde el capital de $1 600 000 aumentó a una
cantidad compuesta de $1 936 000 en un periodo de dos años. El incremento del capital inicial
$336 000 se debió enteramente al interés. Se ganó la cantidad de $160 000 en el año 1, y
$176 000 en el año 2.

2 7 1
De los $336 000 ganados al final del periodo, $176 000 se produjeron en el segundo
año debido a 10% que se aplicó a $160 000 de los primeros intereses ganados en el primer año,
ya que se mantuvo en depósito en el segundo año; los $176 000 es el interés ganado sobre el
interés y recibe el nombre de interés compuesto.
La ecuación básica se puede obtener con las variables involucradas junto con sus
representaciones simbólicas.
Se tiene entonces que:
C = capital en el tiempo cero
i = tasa de interés anual
n = tiempo o número de periodos sobre los que el capital genera intereses compuestos.
Ct
= cantidad compuesta después de t años.
La cantidad compuesta disponible un año después que el principal se ha depositado es:
C1
= C + C (i) ⇒ C1
= C(1 + i)
Si a C1
se le permite ganar intereses por un año entonces:
C2
= C1
+ C1
(i) ⇒ C2
= C1
(1 + i)
Sustituyendo C1
C2
= C( 1 + i)(1 + i) ⇒ C2
= C(1 + i)2
Entonces de acuerdo con los datos del ejemplo la ecuación quedará:
C = ($1 600 000) (1 + 0.1)2
= $1 936 000
1
100
n
t
i
c c
 
= +
 
 
En general, el capital final o cantidad compuesta (Ct
) que se obtiene
a partir de un capital C en t años al tanto por ciento anuales (i), se
calcula con la fórmula.
Cuando el capital inicial se invierte durante varios periodos
y al final de cada periodo se suman los intereses obtenidos al capital y se reinvierten, se están
calculando intereses sobre intereses devengados.
Ejemplo 25
Encontrar el capital compuesto sobre $8 000 después de 3 años, si la tasa de interés anual
es de 4%.
C = $8 000
i = 4%
n = 3 años

UNIDAD 5
2 7 2
1
100
n
t
i
c c
 
= +
 
 
3
3
3
4
8000 1 8000(1 0.4)
100
c
 
= + = +
 
 
3
3 8000(1.4) 8000(2.744) 21 952
c = = =
C3
= $21 952
Monto compuesto o valor futuro
(1 )n
m c i
= +
Es la cantidad que resulta de sumar al capital inicial todos los intereses
calculados al final de cada uno de los periodos contemplados en el lapso
considerado; dicho de otra forma es el capital más los intereses capitalizados.
El monto de un capital al final de un periodo se obtiene multiplicando dicho capital
por el factor (1 + i), al final del segundo periodo se tiene:
(1 )(1 )
m c i i
= + +
Al final del tercer periodo:
(1 )(1 )
m c i i
= + + (1+i)
Generalizando:
(1 )n
m c i
= +
Donde:
M = monto compuesto
C = capital a invertir
i = interés ganado
n = tiempo
Ejemplo 26
Un banco ofrece una tasa de 10% para cuentas de ahorro. Encontrar el monto de un
depósito de $5 000 después de 5 años.
C = $5 000
i = 10%
n = 5 años
(1 )n
m c i
= +
5 5
5 000(1 0.1) 5 000(1.1) 5 000(1.61 051)=8 052.55
m = + = =
$8 052.55
m =

2 73
Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes
Cuando se realiza una operación financiera, se pacta una tasa de interés anual que rige durante
el lapso que dure la operación; se le llama así porque representa el porcentaje de rendimiento
aparente y se denota por (i)m
.
Sin embargo si el interés se capitaliza semestral, trimestral o mensualmente, la
cantidad efectiva pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual. La tasa
efectiva anual es menor que la tasa nominal anual debido a que el interés de esta última se
capitaliza m veces al año.
Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización serán equivalentes
si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto.
Tasa efectiva:
1 1
m
ic
i
m
 
= + −
 
 
De esta fórmula se puede despejar la tasa nominal
Tasa nominal:
1
(1 ) 1
m m
i m i
 
= + −
 
 
Nota: en caso de que el dinero se invierta durante n años, se tiene
la equivalencia:
m n
m
n i
i
m
 
+ = +
 
 
(1 ) 1
Ejemplo 27
¿Cuál será la tasa efectiva de interés equivalente a una tasa nominal de 5% anual convertible
bimestralmente?
im
= 0.05
m = 6
m n
m
n i
i
m
 
+ = +
 
 
(1 ) 1
Sustituyendo:
6
0.05
1 1
6
i
 
= + −
 
 

UNIDAD 5
2 74
i = (1.008 333 333)6
– 1
i = 1.0 510 531 – 1
i = 0.0 510 531
Porlotanto,latasaefectivaequivalenteseráde0.0 510 531,queesaproximadamente
5.11%
Ejemplo 28
Encontrar la tasa nominal im
convertible trimestralmente, equivalente a una tasa efectiva de
5% anual.
i = 0.05
m = 4
1
(1 ) 1
m m
i m i
 
= + −
 
 
1 1
4 4
4 (1 0.05) 1 4 (1.05) 1
m
i
   
= + − = − =
   
   
4 1.012 1 4(0.012) 0.049 088
m
i  
= − = =
 
4.9%
m
i =
La tasa nominal convertible trimestralmente será de 0.049 088 que es
aproximadamente 4.91%
Cálculo de la tasa de interés efectiva
En la fórmula del interés compuesto, si se conoce el valor presente C, el valor futuro M y el
tiempo n, sólo queda determinar el valor de i.
(1 )n
m c i
= +
(1 )n
m
i
c
= +
Despejando i se tiene:
1
1
n
m
i
c
 
= −
 
 

2 75
Ejemplo 29
¿Cuál es la tasa de interés anual efectiva, necesaria para que un capital inicial de $1 200 se
incremente a $1 600 en 6 años?.
M = $1 600
C = $1 200
n = 6
1
1
6
6
1 600
1 (1.3 333 333) 1 0.049 115
1200
i i i
 
= − ⇒ = − ⇒ =
 
 
Por lo tanto, i = 4.91%
Cálculo del tiempo
Utilizando la ecuación del monto compuesto
M = C ( 1 + i )n
Despejando n
m c n i
= + +
log log log(1 )
m P n i
− = +
log log log(1 )
m c
n
i
−
=
+
log log
log(1 )
Ejemplo 30
Encontrar el tiempo n, en que un capital de $2 000 se convertirá en $3 500 si la tasa de
interés efectiva es de 4% anual.
M = $3 500
C = $200
i = 0.04
Sustituyendo valores en:
m c
n
i
−
=
+
log log
log(1 )
n
− −
= = = =
+
log3 500 log 2 000 3.54 407 3.30 103 0.24 304
14.271 286
log(1 0.04) 0.01 703 0.01 703
Por lo tanto:
n = 14.27 años

UNIDAD 5
2 76
Valor actual a interés compuesto
El valor actual a interés compuesto de un dinero que se reciba en fecha futura es aquel capital
que, a interés compuesto, tendrá en el mismo tiempo un monto equivalente a la suma de
dinero que se reciba en la fecha convenida.
Si el interés es efectivo:
(1 )n
m c i
= +
Si el interés es nominal:
1
mn
m
i
m c
m
 
= +
 
 
Donde:
C = Capital inicial o valor presente
i = interés efectivo
im
= interés nominal
n = tiempo
m = número de veces que se capitaliza el interés
La fórmula general del interés compuesto permite calcular el equivalente de un capital
en un momento posterior.
Utilizando la ecuación:
(1 )n
m c i
= +
Se obtiene:
Para una tasa efectiva:
(1 )n
m
c
i
=
+
O bien para una tasa nominal:
1
1
mn
m
mn
m
m i
c m
m
i
m
−
 
= = +
 
   
+
 
 
Ejemplo 31
Hallar el valor presente de $5 000 pagaderos en 5 años, a la tasa efectiva anual de 6%.
C = $5 000
i = 0.06
n = 5

2 77
Sustituyendo valores en:
(1 )n
m
c
i
=
+
5 5
5 000 5 000
(1 0.06) (1.06)
c = = =
+
5 000
3 736.29
1.3 382
c = =
C = $3 736.29
Ejemplo 32
Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga 15% con capitalización
trimestral, para disponer de $20 000 al cabo de 10 años.
im
= 0.15 efectiva trimestral
n = 10 años
m = 4
M = $20 000
C =?
1
mn
m
m
c
i
m
=
 
+
 
 
(10)(4) 40
20000 20000
(1 0.0375)
0.15
1
4
c = = =
+
 
+
 
 
40
20 000 20 000
4 586.75
(1.035) 4.3 607
c = = =
$4 586.75
c =
Actividad 2
1. Un joven empresario quiere saber cuál es el valor futuro de 14 000 que tiene disponibles
en este momento para ahorrar. Si la tasa de interés compuesto que asigna el banco es de
8% capitalizable bimestralmente y desea ahorrarlos durante 8 años.
2. Un prestamista desea ganar 15% anual sobre préstamos, cobrando intereses capitalizables
semestralmente. ¿Cuál es la tasa nominal que deberá cobrar?

UNIDAD 5
2 78
3. Dos amigos desean saber cuál será el monto de 13 000 y 20 000 pesos respectivamente si
ambos ahorran ese dinero durante 8 años a 5.5% de interés, el primero trimestralmente
y el segundo semestralmente.
5.5 Evaluación de alternativas financieras de negocio
En la actualidad de los negocios, los procesos de toma de decisiones se dan a partir de llevar a
cabo adecuadas evaluaciones de diferentes opciones o alternativas, y el caso financiero no está
exento de ello. Por ello, es que la evaluación se debe llevar de la manera más objetiva posible,
donde la visión cuantitativa sea la base de una decisión efectiva. Hoy en día todas las empresas
deben de llevar a cabo una evaluación de alternativas financieras, si es que desean permanecer
en el mercado y desarrollarse en su entorno de negocios.
Para llevar a cabo una evaluación efectiva, primeramente hay que identificar si hay o
no alternativas de negocio, para enfrentarse a la toma de decisiones. Pero, ¿qué es la evaluación
de alternativas? La evaluación de alternativas de negocio consiste en comparar los costos con los
beneficios que estos generan, para así decidir sobre la conveniencia de llevarlos o no a cabo.
Esto pretende afrontar el problema de la asignación de recursos en forma explícita,
recomendando a través de distintas técnicas, la selección de una determinada iniciativa por
encima de otras alternativas del proyecto.
Se debe mencionar que la evaluación de alternativas de un negocio puede verse desde
una perspectiva financiera, económica y social en donde las dos primeras determinan la
capacidad de rentabilidad de un proyecto desde una cuestión meramente cuantitativa.
Para la evaluación social, interesa el flujo de recursos reales utilizados y producidos
por el negocio. Para la determinación de los costos y beneficios pertinentes, la evaluación social
precisará de la situación del país con la ejecución del proyecto versus esta misma situación pero
sin la realización del proyecto en cuestión.
Análisis de alternativas
Una vez generadas las alternativas y sus probables consecuencias cuantitativas, se selecciona la
mejor de ellas. Para ello se recomienda hacer las siguientes consideraciones.
1. Encontrar una diferenciación en tamaño de la alternativa, pues no se puede
llevar a cabo el mismo análisis para una alternativa mayor que otra. No se puede
invertir en un negocio más de lo que es posible de redituar.

2 79
2. Considerar el método de análisis a aplicar, existen dos modalidades: los cualitativos
y los cuantitativos. Los métodos cuantitativos proporcionan un grado mayor
de precisión que los cualitativos, lo que reduce la incertidumbre y aumenta la
probabilidad de obtener éxito. Sin embargo, en la realidad la mezcla estratégica
de las dos modalidades coadyuva en la toma de decisiones más efectiva.
De esta forma, podemos definir a la evaluación de una alternativa de negocio como
un plan al cual si se le asignan recursos de capital y se le proporcionan insumos podrá generar
un bien o servicio que permita satisfacer una necesidad.
Objetivo
La evaluación de alternativas de negocio de inversión tiene por objetivo conocer su rentabilidad
económica y social de manera que resuelva una necesidad humana en forma eficiente, segura
y rentable, asignando así de manera adecuada los recursos económicos con que se cuentan a la
mejor alternativa.
Conozcamos entonces cuáles pueden ser estos métodos que permiten llevar a cabo el
análisis de alternativas, a través de los métodos cuantitativos.
Valor del dinero a través del tiempo
Es la relación que existe entre el interés y el tiempo lo que define el valor del dinero.
El dinero modifica su valor en el tiempo, por ello cualquier empresa debe considerar el
tiempo en las inversiones o préstamos que realiza, así como en la esquematización de las
diferentes alternativas.
Ahora bien, existen tres razones de peso para considerar el valor del dinero en el tiempo:
• El riesgo de ser infructuosos: riesgo de no recibir el capital en el momento futuro.
• El riesgo inflacionario: es el riesgo de que con el monto recibido no se obtenga el
mismo grado de satisfacción en el futuro que hoy.
• Costo de oportunidad: del uso del capital en un momento y no en otro o para una
situación y no para otra.
Valor futuro: Interés simple o interés compuesto
Cualquier inversión razonable o dinero depositado, debe dar un aumento de valor en el tiempo.
La diferencia entre ambos intereses radica en que el interés compuesto genera intereses sobre
los intereses, en cambio en el interés simple, el interés es sólo función del capital.

UNIDAD 5
2 8 0
Ejemplo con interés simple
Supongamos que un empresario hace un préstamo a un año a uno de sus trabajadores
por $10 000 sin intereses. También tiene la opción de depositar la misma cantidad en un
banco durante una año que da un interés anual del 10% y finalmente también debe considerar
la opción de depositar la misma cantidad de capital, pero esta inversión pone como plazo
mínimo 3 años. ¿Cuál sería la mejor alternativa de negocio?
a) Préstamo al empleado:
$10 000
b) Depósito en el banco a un año:
$11 000
c) Depósito en el banco a tres años:
$13 000
En términos meramente matemáticos, parecería fácil decidir y seleccionar una
alternativa, ya que de primera instancia la opción 3 es la que mayor ganancia reditúa, sin
embargo, habría que contextualizar muy bien las opciones, y esa es una actividad inherente a la
evaluación de alternativas de negocio, es decir, el contextualizar las respuestas a la situación.
En nuestro caso la opción c) da mayor interés, pero que tal si el empresario a los
dos años requiere por un imprevisto su dinero, la respuesta sería que no podría hacer
uso de su capital hasta el término del periodo pactado, pero observemos si el empresario
decide hacerle el préstamo a su empleado, en primera instancia no recibiría ningún interés
por el préstamo, y parecería que es la peor opción o alternativa, sin embargo, que tal si
ese empleado ha sido un excelente colaborador y además esto incide en una motivación
personal que se verá reflejada en un mayor nivel de aportación del empleado a través de su
trabajo en la empresa y esto genera más utilidades para el negocio.
Como podemos observar el proceso de evaluación de alternativas debe ir acompañado
de una adecuada contextualización y la visión estratégica del proyecto o negocio.
Ejemplo con interés compuesto
Supongamos que un inversionista deposita $10 000 en un banco a una tasa anual de
10%. ¿Cuánto tendrá al cabo de un año y al cabo de tres? ¿Cuál es la mejor opción?
a) Luego de un año, el inversionista tendrá:
$11 000
b) Al tercer año habrá conseguido tener:
$13 310

2 8 1
Y nuevamente la pregunta sería cuál es la mejor opción; la respuesta es: depende de la
contextualización y situación del inversionista y la empresa.
Y = Monto del capital
Y = i + Xi
1+ni
1+3i
1+2i
1+i
0 1 2 3 n–2 n–1 n
Crecimiento del interés compuesto Periodos
Equivalencia asumiendo interés compuesto
En la mayoría de las estimaciones de las operaciones financieras se aplica el interés compuesto
por ser el más conveniente para tratar de respetar el valor del dinero en el tiempo. La forma en
que se manejan los flujos de efectivo puede ser de las siguientes formas:
• Flujos de efectivo únicos.
• Series uniformes de flujos de efectivo.
• Flujos de efectivo con gradientes aritméticos.
• Flujos de efectivo con gradientes geométricos.
Flujos de efectivo únicos
Expresando gráficamente esto tenemos:
1 2 3 n–1 n
Valor presente y valor futuro periodos
Monto en F
el futuro
P
Dinero
presente

UNIDAD 5
2 8 2
Expresado matemáticamente tenemos:
F = P(1 + i)n
Donde
F = cantidad futura (monto)
P = cantidad presente (capital)
n = número de periodos (tiempo)
i = tasa de interés
Esto significa que para una cantidad de dinero prestada en el presente a un interés i
en n periodos de tiempo encontrará su equivalencia en el futuro, encontrando el valor al cual
corresponderá tener el dinero en el presente o en el futuro, una vez liquidado el préstamo, lo
cual nos permite tomar una decisión financiera más efectiva.
Ejemplo 33
Un inversionista solicita un préstamo al banco por la cantidad de $100 000 para comprar
máquinas despachadoras de café y refrescos para su negocio. El préstamo lo pagará al cabo
de 5 años, pagando por ello una tasa de interés de 22% anual. ¿Cuánto pagará al término
del periodo?
i = 22% = 0.22
P = 100 000
n = 5
F = P(1 + i)n
Sustituyendo
F = 100 000 (1 + 0.22)5
F = 270 270.80
El costo de su inversión expresada en pesos es: $170 270.80 (lo que pidió prestado
y lo que realmente pagó, da como resultado el costo de la inversión).
Esto es lo que hay que evaluar, si con la inversión y operación de las máquinas
despachadoras se recupera lo que tiene que pagar y si aun después de la liquidación
del préstamo queda un excedente.
Series uniformes de flujos de efectivo
Como su nombre lo expresa, significa que al final de cada periodo, se depositará un efectivo
que en todo momento será constante, para ello será necesario llevarlo a equivalencias en el
presente y en el futuro.

2 83
Representado gráficamente tenemos una serie de depósitos constantes al término de
cada periodo y su equivalencia en el futuro.
A A A A A A A
Serie uniforme de flujos de efectivo y cantidad futura
F
0 1 2 3 n–2 n–1 n
Expresado matemáticamente tenemos:
(1 ) 1
( )
n
i
F a
i
+ −
=
Donde:
F = cantidad futura total acumulada al final de los periodos.
A = flujo neto al final de cada periodo.
n = numero de periodos en los cuales se estarán acumulando las cantidades A.
i = interés a pagar en cada periodo acumulado.
Esto significa que irá depositando cantidades iguales al final de cada periodo, en
tiempos iguales, y que en cada uno de ellos se cargará un interés fijo, que además es acumulativo
lo que incrementará el monto y lo llevará a equivalente en el tiempo, para su uso como si fuera
en el presente.
Ejemplo 34
El inversionista que solicitó un préstamo para máquinas despachadoras, quiere rentar uno
de sus kioscos y necesita saber cuánto recibirá al final del tercer año, si la renta se incrementa
en 05% mensual y la renta actual es de $25 000.
(1 ) 1
( )
n
i
F a
i
+ −
=
Sustituyendo:
36
(1 .05) 1
2 5000( )
.05
F
+ −
=
F = $2 395 908.06

UNIDAD 5
2 84
Flujos de efectivo con gradientes aritméticos
Como los negocios generan flujos de efectivo crecientes y decrecientes en incrementos
y decrementos constantes en cada periodo, se convierte en una necesidad, adquirir los
conocimientos y las habilidades necesarias para poder calcular estas variaciones y determinar
si la alternativa de negocio fue o será la adecuada.
Expresando gráficamente esto es:
g
g

g
g
A1
1 2 3 n–2 n–1 n
Flujos de efectivo de gradiente aritmético
La expresión matemática de lo anterior es:
A2
= g
2
1
= ( )
(1 ) 1
n
n
a g
i i
−
+ −
Donde:
A2
= flujos de gradiente del año 2 en adelante.
g = cantidad gradiente constante que se incrementará en cada flujo en cada periodo.
i = interés que se pagará en cada periodo.
n = periodos en los que se lleva a cabo el movimiento de la inversión.
Esto significa que A1
, que es el flujo de efectivo del primer año, se verá incrementado en
un gradiente g de magnitud constante a partir del año dos, y por lo tanto a partir del segundo año y
para cada año hasta el año n2
, se irán incrementando flujos de efectivo constantes de gradiente g.
Si embargo, en el siguiente esquema podemos ver de manera equivalente cómo se
van incrementando los flujos de efectivo en periodos iguales a tamaños de g iguales, lo que lo
convierte en una forma equivalente de observar el incremento constante de gradiente g a los
flujos de efectivo futuros.

2 85

A2
A1
1 2 3 n–2 n–1 n
Flujos de efectivo equivalente
Ejemplo 35
El inversionista que cuenta con kioscos para servicio de cafetería y centros para sap piensa
abrir una cuenta de ahorros que paga una tasa de 16% anual. Su primer depósito será
de $50 000 y debido a que las ganancias por sus negocios se incrementan gradualmente,
también desea ahorrar incrementando sus depósitos en 10% anual constante. ¿Qué cantidad
deberá ahorrar, para que la cantidad acumulada al final de 5 años sea la misma?
2
1
= ( )
(1 ) 1
n
n
a g
i i
−
+ −
Sustituyendo:
2 5
1 5
=50 000+5 000 ( )
0.16 (1 0.16) 1
a −
+ −
2
1 5
=50 000 + 5 000 ( )
0.16 1.1 003 416
a −
A2
2
A = 50 000 + 5 000(6.25 4.54)
−
A2
= 50 000 + 5 000 (1.71)
A2
= 55 000 + 8 550
A2
= 58 550
Flujos de efectivo con gradientes geométricos
Pensando en qué momentos podemos tener flujos de efectivo de gradiente geométrico,
concluimos que esta situación se presenta en situaciones inflacionarias o en épocas de
recesión, donde los flujos de efectivo se incrementan o decrementan de manera constante en
un factor Kth.

UNIDAD 5
2 86
Expresado de manera gráfica tenemos:
AI
AI–1
AI–2

A3
A2
A1
1 2 3 n–2 n–1 n
Flujos de efectivo con gradiente geométrico
Expresado de manera matemática tenemos:
1
1 (1 ) /(1 )
( )
n n
j i
P a
i j
 
− + +
=  
−
 
Para:
i j
≠
1
= ( )
1
n a
P
j
+
Para:
i j
=
Donde:
P = valor presente de los flujos de efectivo.
n = periodos de cambio.
A1
= flujo neto de efectivo en cada periodo.
j = porcentaje fijo de cambio de cada flujo de efectivo.
Ejemplo 36
Un inversionista desea destinar un fondo de ahorro para construir un nuevo sap. Este
nuevo negocio contará con más servicios y nuevas tecnologías de tratamientos, la construcción
del centro se llevará a cabo en un año, mismo en el que se presentan situaciones inflacionarias
debido a los cambios políticos en el país. Los costos de construcción se incrementarán en 3.5%
trimestral. Si el inversionista inicia su ahorro depositándolo en una cuenta bancaria que paga
2.5% trimestral. ¿Cuánto tendría que depositar el inversionista si el primer pago de construcción
es de $100 000 y suponiendo que deberá pagarlo en el primer trimestre de la obra?

2 87
1
1 (1 ) /(1 )
=
( )
n n
j i
P a
i j
 
− + +
 
−
 
Para:
i j
≠
Sustituyendo:
4 4
1 (1 0.035) /(1 0.25)
=100 000
(0.025 0.035)
P
 
− + +
 
−
 
Para i≠ j
P = 360 000
5.6. Ecuaciones de valor
Existen diferentes problemas en los cálculos financieros, pero uno de ellos que es básico y muy
importante es el de las inversiones equivalentes, es decir, que en valor del dinero y el tiempo
produzcan el mismo resultado económico, lo cual puede ser supuesto y resuelto a través de las
ecuaciones de valor equivalente.
Lo anterior también puede utilizarse, para resolver entre diversas alternativas de
negocio existentes y desde el punto de vista financiero, es fundamental plantear ecuaciones de
valor equivalentes, para que por medio de ellas se logre identificar la opción que más satisfaga
las expectativas del inversionista.
Ecuación de valor
Es una igualdad entre dos conjuntos de obligaciones, valuadas todas a una misma fecha llamada
fecha focal.
Fecha focal o fecha de valuación
Es la fecha que se elige para efectuar la equivalencia para cada caso y determina con exactitud
los montos de las obligaciones. Recordando que para los casos de interés simple los montos
varían de acuerdo con el tiempo.
La fecha focal es elegida arbitrariamente en la línea de tiempo a la cual harán referencia
las obligaciones y pagos para definir la ecuación de valor correspondiente.
Lo importante de un buen análisis para la determinación de esta fecha, se fundamenta
en el hecho de que debe corresponder estrictamente a lo pactado en los pagarés.

UNIDAD 5
2 88
Si una persona decide en determinado tiempo cambiar la forma de liquidar alguna
de las obligaciones que haya acordado, mediante pagos de cantidades diferentes a las previstas
inicialmente y en tiempos distintos a los previamente establecidos, esto es posible siempre y
cuando sea equivalente el monto a pagar del monto inicial.
Derivado de lo anterior es importante recordar que:
1. Un mismo monto situado en dos fechas desiguales es diferente.
2. Cuando las fechas focales cambian producen variaciones en la determinación de
lo montos.
3. Únicamente si las fechas coinciden, es posible sumar, restar o igualar
distintos montos.
Si una persona adquiere una deuda que pagará entregando $100 el día de hoy y $50
dentro de un año, y decide liquidar su deuda con un pago único en este momento, sería un
error hacer el pago por la cantidad de $150 ya que debe solicitar una bonificación por el pago
anticipado de $50 que vence en un lapso de un año. En el supuesto que tanto el acreedor como
el deudor se sujeten a las reglas del interés simple, deben pactar una tasa de interés para la
operación, con lo cual se determinará el valor actual de los $50. Por lo tanto, si la tasa anual es
de 5% el valor actual de los $50 es:
Utilizando la fórmula:
( )
1
s
P
rt
=
+
Donde:
P = Capital inicial.
S = Monto.
r = Tasa de interés.
t = Tiempo medido en años.
Sustituyendo:
50
( )
1 (0.05)(1)
P =
+
P = 47.62
De lo cual podemos afirmar que si la persona desea hacer un pago único el día de hoy
el monto será de $147.62
Continuando con el ejemplo, supongamos que el deudor no cuenta con los $100 para
pagarlos en este momento y solicita al acreedor una prorroga de un año para liquidar su deuda,
si el interés es el mismo el pago que deberá de hacer es:

2 89
Utilizando la fórmula:
( )
1
s
P
rt
=
+
Donde:
S = monto
P = capital inicial
r = tasa de interés
t = tiempo medido en años
( )
1
s
P
rt
=
+
Despejamos el monto:
(1 )
s P rt
= +
Sustituyendo en la fórmula tenemos:
S = (100) (1 (0.05)(1))
+
S = (100) (1.05)
S = 105
Por lo tanto el pago total a un año es de $155, de lo cual se puede resumir:
$100 ahora y $50 en un año son equivalentes
$147.62 ahora si la tasa de interés
En la resolución de problemas en los cuales se deban combinar diferentes capitales, estos
deben ser trasladados a la misma fecha, la cual se conoce como fecha focal o fecha de comparación.
Un método recomendado para la definición de una ecuación de valor es:
a) Elaborar un diagrama de tiempo donde se coloquen las obligaciones de un lado
de la línea y los pagos del otro.
b) Definir la fecha focal.
c) Plantear la ecuación de valor donde se igualen las obligaciones originales y los
correspondientes pagos, trasladando los montos a la fecha focal. Resulta evidente
que el traslado de los pagos puede darse de dos formas tomando como referencia
la fecha focal: la primera el traslado en el tiempo en sentido positivo (derecha) y
la segunda es en sentido negativo (izquierda), si se hace un traslado positivo se
capitaliza el pago, por lo tanto se aplican las fórmulas del monto, en cambio, si se
hace un traslado negativo se descuenta aplicando la fórmula de valor presente.

UNIDAD 5
2 9 0
Ejemplo 37
Una persona adquiere una deuda donde debe pagar $300 en 6 meses y $400 en un año. Si
decide que hace un pago único el día de hoy por el equivalente de su deuda teniendo una
tasa de interés simple de 20% ¿Cuál es el monto a pagar?
a) Elaboración del diagrama de tiempo.
Fecha focal
Deudas originales
$300 $400
0 6 12
$x pago al contado
Obligaciones
b) Definición de la fecha focal. Se tomará como fecha focal el día de hoy.
c) Planteamiento de la ecuación de valor.
Para el primer monto tendríamos:
1 ( )
1
s
P
rt
=
+
Para el segundo monto tenemos:
2 =( )
1
s
P
rt
+
El monto total a pagar a la fecha de hoy es:
Pt
= P1
+ P2
1 2
t
2
1
= ( ) ( )
1 1
s s
P
r t r t
+
+ +
Como el primer monto a pagar estaba definido a seis meses, eso equivale a medio
año o 0.5 de año, por lo tanto el t1
es 0.5
Sustituyendo tenemos:
300 400
( ) ( )
1 (0.20)(0.5) 1 (0.20)(1)
t
P = +
+ +
O también:
300 400
( ) ( )
1 1 (0.20)(1)
1 (0.20)( )
2
t
P = +
+
+

2 9 1
300 400
( ) ( )
1.1 1.2
t
P = +
Pt
=272.72+ 333.33
Pt
= 606.05
Nota: Es recomendable para plantear una ecuación de valor asignar x a la
variable que se va a calcular.
300 400
$606.05
1 1 (0.20.1)
1 (0.20. )
2
x = + =
+
+
Ejemplo 38
Una persona debe $1 000 a pagar en un año a un interés de 14%. Si realiza un trato en el
que liquidará su deuda en dos pagos de la misma cantidad a los 3 y 9 meses, ¿de cuánto
serán los pagos si se respeta el interés inicial?
Es necesario calcular cuál será el monto de la deuda de $1 000 a un año con un
interés de 14%.
(1 ) 1 000(1 (0.14 1)) 1 140
s P rt
= + = + ⋅ =
Pagos
Fecha focal
$1 140 Pagos al año
0 3 6 9 12
$x 3 meses
$x 9 meses
Obligaciones
b) Definición de la fecha focal. Se tomará como fecha focal el día de pago en 12 meses.
Para el primer pago tenemos:
(1 )
s P rt
= +

UNIDAD 5
2 9 2
Para el segundo pago tenemos:
(1 )
s P rt
= +
Total a pagar:
1 2
(1 ) (1 )
s P rt P rt
= + + +
Sustituyendo:
3 1
(1 (0.14)( ) (1 (0.14)( )
4 4
s P
= + + +
O también:
(1 (0.14)(0.75) (1 (0.14)(0.25)
s P P
= + + +
Como:
S = 1 140 obtenido anteriormente
Tenemos ahora que:
1 140 = 1.10P + 1.035P
Sumando:
1 140 = 2.135P
Despejando P
1 140
532.71
2.135
P = =
Cada pago será de $532.71
Nota: es recomendable en el planteamiento de la ecuación asignar x a la
variable a calcular.

3 1
(1 (0.14. )) (1 (0.14. )) 1 140
4 4
x x
+ + + =

1.105 1.035 1 140
x x
+ =
Ejemplo 39
Una persona contrae una deuda de $6 000, acordando un primer pago de $2 000, después
de 4 meses, un segundo pago 8 meses después de la fecha inicial de $2 000. Si la tasa de
interés es de 9% ¿qué cantidad deberá pagar a los 12 meses para saldar la deuda?
b) Definición de la fecha focal. La fecha será el último día de pago.

2 93
Pagos
Fecha focal
$6 000
0 4 8 12
$x 4 meses
$x 8 meses
Obligaciones
Nota: Es recomendable asignar la variable x para el valor a calcular.
x = P ( 1 + r t) – P ( 1 + r t) – P ( 1 + r t)
Sustituyendo tenemos:
2 1
= 6 000(1 (0.09)(1)) 2 000(1 (0.09)( ) 2 000(1 (0.09)( )
3 3
x + − + − +
x = (6 000) (1.09) – 1.06 – 1.03
x = 6 540 – 2 120 – 2 060
x = 2 360
Nota: Es recomendable en el planteamiento de la ecuación asignar x a la
variable a calcular.
2 1
=6 000 (1 (0.09 1))– 2 000 (1 (0.09 )– 2 000(1 (0.09 )
3 3
x + ⋅ + ⋅ + ⋅
Las ecuaciones de valor pueden presentarse también en los casos del interés compuesto,
para esta situación se tiene que si se desea conocer el valor de una cantidad en el futuro sólo basta
con aplicar el factor (1+i)n
, y si se desea conocer el valor presente se aplicará el factor (1+i)-n
.
Ejemplo 40
Una persona adquiere dos deudas, por una de ellas debe pagar $3 000 pasados 2 años y por
la otra debe pagar $2 000 al final del primer año. Se fija una tasa de interés anual de 12%
convertible cuatrimestralmente. ¿Cuánto es el monto que debe pagar el deudor si quiere
saldar su deuda hoy?

UNIDAD 5
2 94
Fecha focal
1 2
x $2 000 $3 000
2 000 (1.04)–3
b) Definición de la fecha focal. La fecha focal es hoy.
–3 –6
2 000(1.04) 3 000(1.04) 1 778 2 370.94 $4 148.94
x = + = + =
Ejemplo 41
Se compra un vehículo a un particular por la cantidad de $50 000 el comprador da un
adelanto de $10 000 y firma 2 pagarés de $5 000 cada uno que serán efectivos en los
siguientes dos años. Si se carga un interés de 7% convertible semestralmente, ¿de cuánto
debe ser el tercer pago que se efectuará al tercer año?
Fecha focal
1 2 3
$5 000 $5 000 x
Total: $50 000
Adelanto: $10 000
Saldo: $40 000
b) Definición de la fecha focal. Se toma como fecha focal el día del tercer pago.
3 2
40 000(1 0.035) 5 000(1 0.035) 5 000(1 0.035)
x = + − + − +

2 95
40 000(1.1 087) 5 000(1.0712) 5 000(1.035)
x = − −
44 348 5 356 5 175
x = − −
$3 3817
x =
Este resultado se puede comprobar con la siguiente tabla:
Tasa de interés
Cantidad original 0.035 40 000
+ Interés al primer año 1 400
Total al primer año 41 400
– Primer abono 5 000
Saldo 36 400
+ Interés del segundo año 0.035 1 274
Total al segundo año 37 674
– Segundo abono 5 000
Saldo 32 674
+ Interés del tercer año 0.035 1 143.59
Total 33 817.59
Actividad 3
1. ¿Cuántos años se necesitan para que un depósito de $100 000 aumente a $120 000
cuando el interés anual es compuesto a 6%?
2. Un préstamo de $12 000 se pagará como el capital y el interés al final del año 3 haciendo
un pago de $15 000, ¿cuál es la tasa de interés sobre el préstamo?
3. Un inversionista contrae una deuda de $80 000, acordando un primer pago de $12 000
después de 3 meses, un segundo pago 6 meses después de la fecha inicial de $12 000. Si la
tasa de interés es de 6%, ¿qué cantidad deberá pagar a los 12 meses para saldar la deuda?

UNIDAD 5
2 96
5.7. Anualidades
En general se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales
de tiempo. Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema, aunque no
siempre se refieran a periodos de pago anuales. Algunos ejemplos de anualidades son:
• Pagos mensuales por renta.
• Cobro quincenal o semanal por sueldo.
• Abonos quincenales o mensuales a una cuenta de crédito.
• Pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.
Concepto
Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones:
1. Todos los pagos son de igual valor.
2. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.
3. Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie a la misma tasa.
4. El número de pagos debe ser igual al número de periodos.
Un ejemplo común de esta clase de pagos es la compra de una casa o un vehículo a
través de un crédito, el pago de una pensión, etcétera.
Al intervalo de tiempo entre cada uno de los pagos de la anualidad se le conoce como
intervalo de pago o periodo de renta.
Al tiempo transcurrido desde el comienzo del primer periodo hasta el final del último
se le llama plazo de la anualidad.
La renta periódica es el monto de cada uno de los pagos expresada en unidades monetarias.

2 97
Clasificación
Las anualidades pueden clasificarse a partir de diferentes criterios como se muestra en la
siguiente tabla:
Criterio Tipo Definición
Tiempo
Ciertas
Son aquellas en las que sus fechas de pago son fijas. Ejemplo, la compra
de un bien en la que se fija la fecha del primer pago y la del último.
Contingentes
Son aquellas en las que la fecha del primer pago, la fecha del último, o
ambas, no se fijan de antemano; depende de algún hecho en particular
que deberá ocurrir, pero que no se sabe cuando. Ejemplos, las pensiones
privadas, las del seguro social y las pólizas de seguros.
Interés
Simples
Son aquellos en las que el periodo de pago coincide con el de capitalización
de los intereses. Por ejemplo, el pago de una renta mensual x con
intereses al y% anual capitalizable mensualmente.
Generales Son aquellos cuyo periodo de interés e intervalo de pago no coinciden.
Pagos
Vencidos
También se conocen como anualidades ordinarias y se trata de casos
en los que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de
cada periodo.
Anticipados
Son aquellos en los que los pagos se efectúan al inicio del intervalo del
pago, debiendo efectuarse el primer pago de inmediato. Por ejemplo,
las primas de seguros y rentas sobre la propiedad.
Iniciación
Inmediatas
• Anticipada
• Vencida
Son aquellas que se cobran inmediatamente después de la formalización
del contrato. Por ejemplo, la compra de bienes con pagos a mensualidades
y la primera se paga en el momento de la compra o un mes después.
Diferidas
Son aquellas en las que los cobros o pagos serán un tiempo después de
adquirido el bien.

UNIDAD 5
2 98
Monto de una anualidad
Para calcular el monto de una anualidad es necesario sumar cada una de las rentas periódicas
con su respectivo interés compuesto, por ejemplo:
Una persona deposita anualmente $500 en una cuenta que le paga 6% de interés
capitalizable anualmente, ¿cuál será el monto acumulado de la cuenta, después de realizar el
cuarto depósito?
a) Diagrama de tiempo.
Hoy Fecha focal
$1 140 Pagos al año
0 1 2 3 4
$500 $500 $500 $500
500(1.06)
500(1.06)2
500(1.06)3
b) Descripción de los pagos realizados.
Cuarto pago $500
Tercer pago 500 (1.06) $530
Segundo pago 500 (1.06)2
$561
Primer pago 500 (1.06)3
$595.51
Monto de la anualidad $2 186.31
Determinación del monto
Para el ejemplo anterior no es de gran dificultad realizar los cálculos de cada uno de los
pagos para determinar el monto total de la anualidad, pero en caso de tener gran número
de pagos, el proceso se vuelve complejo y tedioso.
Considérese una anualidad ordinaria en donde R es el pago hecho al final de
cada uno de los n periodos e i es la tasa de interés por periodo. El diagrama de tiempo
es el siguiente:

2 99
Valor presente Monto
R R ... R R
0 1 2 ... n–1 n Periodos
Ya que el primer pago se realiza al final del primer periodo, ganará intereses por (n-1)
periodos. El segundo pago ganará intereses por (n-2) periodos, etc. El pago final no genera
intereses. Si la fecha focal se localiza en el periodo n, entonces el monto o valor futuro de la
anualidad viene dado por:
1 2 –2 –1
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
n n
m r r i r i r i r i
= + + + + + ⋅⋅⋅ + + + +
Por lo tanto, podemos ver el diagrama de tiempo de la siguiente forma:
R R ... R R
0 1 2 ... n–1 n Periodos
1 ( 1 + i )
1 ( 1 + i )r–2
1 ( 1 + i ) r–1
n
s
El símbolo n
s se utiliza para representar el monto de un número de n pagos de una
unidad monetaria cada uno, a una tasa de interés por periodo igual a i.
Factorizando la ecuación se tiene que:
1 2 –2 –1
1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
n n
m r i i i i
 
= + + + + + ⋅⋅⋅ + + + +
 
Los sumandos dentro de los corchetes de la ecuación anterior constituyen una
progresión geométrica, donde el primer término es 1, la razón común es (1+ i) y el total de
términos es n. El álgebra demuestra que la suma de términos de una progresión geométrica es
igual a:
1
( – 1)
– 1
a r
s
r
=
Donde a es el primer término y r es la razón común, sustituyendo los valores del
problema sobre anualidades sobre la fórmula general, tenemos:
1 (1 ) – 1 (1 ) – 1
(1 ) – 1
n n
n
i i
s r r
i i
 
+ +
 
= =
+

UNIDAD 5
3 0 0
Donde:
n
s = el monto de una anualidad ordinaria de n pagos.
R = valor de cada pago periódico.
i = tasa de interés.
n = número de periodos.
Ejemplo 42
Una persona deposita $500 anuales en una cuenta que paga 6% anual ¿qué cantidad habrá
en la cuenta después de que se realice el cuarto depósito?
(1 ) – 1
n
n
i
s r
i
+
=
Tenemos:
R = 500
i = 0.06
n = 4
Sustituyendo:
4
4
(1 0.06) – 1
500 2 187.31
0.06
s
+
= =
Valor presente de una anualidad ordinaria
Para calcular el valor presente de una anualidad, se realiza la suma de los valores presentes de
cada uno de los pagos.
Suponga que tiene una anualidad con pagos de una unidad de moneda R (pesos, dólares,
centavos, etc.), durante n periodos, a una tasa de interés i por periodo. A partir de esto se realizan
descuentos de cada pago hasta el principio de la anualidad, esta suma se representa como n
a .
R R ... R R
0 1 2 ... n–1 n Pagos
1 ( 1 + i )–1
1 ( 1 + i )–2
.
.
.
1 ( 1 + i )r–1
1 ( 1 + i )–r
n
a

3 0 1
Si se escribe la suma de todos los pagos descontados teniendo como fecha focal el
inicio de la anualidad tenemos:
–1 –2 –( –1) –
(14 ) (1 ) (1 ) (1 )
n n
n
a i i i i
= + + + + ⋅⋅⋅ + + + +
Ésta es una expresión que corresponde a una progresión aritmética, donde el primer
término es (1+ i)-1
, la razón común es (1+ i)-1
y el número de términos es igual a n. Sustituyendo
estos valores en la fórmula general de progresiones geométricas tenemos:
{ }
–1 –1
–1
(1 ) (1 ) 1
(1 ) 1
n
i i
a
i
 
+ + −
 
=
+ −
Si se multiplica el numerador y el denominador por (1+ i) obtenemos:
– – –
(1 ) (1 ) 1 (1 ) 1 1(1 )
1 (1 ) 1 1
n n n
n
i i i i
a
i i i i
+ + − + − − +
= = = =
− + − − −
Para obtener el valor de An
, todo lo que debemos hacer es multiplicar por R, quedando
la siguiente fórmula:
–
1 (1 ) n
n
i
a r
i
− +
=
Donde:
An
= Valor presente de una anualidad ordinaria con n número de pagos.
R = Valor de cada pago.
i = Tasa de interés por periodo.
n = Número de pagos.
Ejemplo 43
El señor Rodríguez adquiere un compromiso de pago de $1 000 al final de cada año
durante los siguientes 5 años. Si se maneja con una tasa de interés 7% anual, ¿cuál es el
equivalente en efectivo al día de hoy de la deuda?
Se tiene:
–
1 (1 ) n
n
i
a r
i
− +
=
Sustituyendo:
–5
1 (1 0.07)
1 000 4 100.20
0.07
n
a
− +
= =

UNIDAD 5
3 0 2
Actividad 4
1. Calcule el valor de la variable desconocida para cada uno de los problemas de anualidad
de interés compuesto.
Número de pagos Cantidad de pago Tasa de interés Cantidad compuesta
3 $1 000 8 %
7 $8 000 6 %
3 $2 000 $7 820
10 13 % $80 000
5 $500 $4 000
$6 400 2 % $104 470
20 $4 000 $204 000
$4 750 11 % $79 429
8 10 % $100 000
$9 000 16 % $31 554
2. Calcule el valor de la variable desconocida para cada uno de los problemas de valor
actual de una anualidad.
$ Número de pagos Cantidad de un pago Tasa de interés
$2 000 9 %
$1 000 7 %
$5 000 14 %
$116 000 $8 000 %
$95 000 8 %
$100 000 $17 699 12 %
$8 000 $1 498 16 %
$88 000 $11 000 %
$200 000 $40 000 %
$300 000 17 %
3. Un contrato que cuesta $7 000 produce una anualidad de cuatro años de $2 000 anuales.
El primer pago se recibirá un año después ¿cuál es la tasa de rendimiento implícita en
este contrato?

3 0 3
5.8. Amortización y depreciación
Una de las aplicaciones de las progresiones aritméticas y de las geométricas la encontramos en
el cálculo de las depreciaciones a activos físicos.
La depreciación es la pérdida del valor de un activo físico como consecuencia de ser usado.
Para resolver las situaciones de depreciaciones es conveniente definir los siguientes conceptos.
1. Costo. Es el valor que un activo físico tiene en el momento de su adquisición.
2. Valor de salvamento. Es el valor del activo físico que se registra al final de su
vida útil.
3. Depreciación total. Es la cantidad que resulta de restar al costo del activo físico
el valor de salvamento.
4. Fondo para depreciación. Es el fondo donde se acumula una parte de las utilidades
de la empresa para reemplazar determinado activo físico al final de su vida útil.
5. Valor en libros de un activo físico. Es la cantidad que resulta de restar al costo
original del activo físico el fondo para la depreciación acumulada.
Causas de la depreciación
1. La duración física del activo; se incluyen las causas por:
• Agotamiento.
• Desgaste.
• Envejecimiento.
2. La duración económica del activo; se incluyen las causas por:
• Explotación por tiempo limitado.
• Envejecimiento técnico.
• Envejecimiento económico.
3. La duración del activo según la contabilidad; se incluyen las causas por:
• Consolidación.
• Política de dividendos.
• Políticas tributarias.

UNIDAD 5
3 0 4
Cálculo de la depreciación
Para poder calcular la depreciación hay que tener en cuenta:
1. El valor a depreciar.
2. El valor de recupero.
3. La vida útil.
4. El método a aplicar.
1. Valor a depreciar. Se refiere al costo de adquisición, sin olvidar, el valor que el bien
pueda tener para la empresa al dejar de ser útil en su actividad (se refiere al posible
valor de recupero).
Valor a depreciar Costo de adquisición del bien - Valor de recupero estimado al finalizar el uso
=
2. Valor de recupero (recuperación). Es la estimación del valor que el bien tendrá para la
empresa una vez finalizada su utilización. Surge de la diferencia entre el precio de venta
estimado y todas las erogaciones necesarias para retirar el bien de servicio.
Valor de recupero Precio de venta estimado - Erogaciones para retirar el bien del servicio
=
3. Vida útil. Es la duración que se le asigna a un bien como elemento de provecho para
la empresa.
Las bases utilizadas para la determinación de la vida útil son:
• Tiempo en años.
• Capacidad de producción (producción total).
• La elección de la base dependerá de la característica del bien y del uso que se le dará.
Métodos de depreciación
Son los métodos que permiten estimar el gasto por depreciación de los activos fijos:
1. Método de depreciación lineal.
2. Método de depreciación acelerado.
El valor estimado de la depreciación de un activo físico varía de acuerdo con el método
seleccionado para su determinación, sin embargo, la depreciación total a lo largo de la vida útil
del activo no puede ir más allá del valor de recuperación.

3 0 5
Método de depreciación lineal o en línea recta
La aplicación de este método de línea recta, supone que el activo se desgasta por igual en cada
periodo contable, este método se emplea con frecuencia debido a que es sencillo de calcular.
c s
d
n
−
=
Donde:
D = monto de depreciación anual
C = costo del activo
S = valor de desecho
n = años de vida útil
Ejemplo 44
Utilizando el método de línea recta, depreciar una máquina con un valor de $585 000,
cuyo valor de desecho es de $40 000 y se estima una vida útil de 6 años.
C = $585 000
S = $40 000
n = 6
c s
d
n
−
=
Sustituyendo:
585 000 40 000 545 000
90 833.333
6 6
c s
d
n
−
−
= = = =
D= $90 833
Por tanto la depreciación anual es de:
$90 833.33
Método de depreciación acelerada
En este método se recupera la inversión inicial original de los activos fijos y diferidos a través
de la vía fiscal. Producen un gasto por depreciación más grande en los primeros años del uso
del activo fijo, que en los últimos años de su vida útil. Algunos de los métodos de depreciación
acelerada son:

UNIDAD 5
3 0 6
a) Método de depreciación creciente: Este método supone que el desgaste que se produce
es inferior en los primeros años y que aumenta progresivamente con el tiempo.
• Creciente por suma de dígitos.
b) Método de depreciación decreciente: Este método determina cuotas de depreciación
con disminución progresiva hacia los últimos años de la vida útil.
• Decreciente a porcentaje fijo sobre saldo.
Método de depreciación creciente
• Creciente por suma de dígitos de años. El método establece la identificación del
factor o fracción de depreciación La depreciación para cada año quedará expresada por
la fracción cuyo denominador es la suma de los números (desde 1 hasta n) de los años
de vida esperada del activo; y como numerador, el entero que corresponda al ordenar de
mayor a menor los años de vida útil del activo.
Identificación del denominador:
año 1 + año 2 + año 3 + .... + año n = denominador
O puede también utilizarse la fórmula:
( 1)
2
n n
s denominador
+
= =
Donde n corresponde al tiempo de vida útil.
Identificación del numerador:
año n año n-1 año n-2 .... año 2 año 1
Ejemplo 45
Si la vida útil de un activo se estima en seis años, identificar las fracciones de depreciación.
El denominador corresponde a la suma de los números de 1 a n:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
Y el numerador corresponde a los años en orden invertido:
año: 1º 2º 3º 4º 5º 6º
6 5 4 3 2 1
Y la fracción que se depreciará cada año es: ( año/21 )
Depreciación:
6 5 4 3 2 1
21 21 21 21 21 21
Generalizando la fracción puede expresarse como:
1
( 1)
k n
i
n k
f
i
=
− −
=
∑

3 0 7
Para obtener la depreciación al final de cada año se multiplica la fracción por la
base de depreciación.
( )
i k
d c s f
= −
y la depreciación acumulada se obtiene multiplicando la base de depreciación
por la suma de las fracciones acumuladas hasta el año en cuestión.
1
( )
j
j k
k
d c s f
=
 
= −  
 
∑
Donde : j es el año en el que interesa calcular la depreciación acumulada.
Ejemplo 46
Utilizando los resultados de los ejercicios uno y dos, obtener la depreciación total acumulada
para el cuarto año.
Del ejercicio uno se tiene:
(C – S) = $545 000
Del ejercicio dos se tienen las fracciones:
6 5 4 3 2 1
21 21 21 21 21 21
Entonces la depreciación acumulada para j = 4 será:
4
6 5 4 3
(545 000) (545 000)(0.8 571) 467 142.86
21 21 21 21
d
 
= + + + = =
 
 
D4
= $467 142.86
En la siguiente tabla se muestra un concentrado del cálculo del gasto anual por
depreciación, de acuerdo con el método de la suma de dígitos de años.
Método: suma de dígitos de años
Año Fracción Depreciación anual Depreciación total
1 6/21 155 714.29 155 714.29
2 5/21 129 761.90 285 476.19
3 4/21 103 809.52 389 285.71
4 3/21 77 857.14 467 142.85
5 2/21 51 904.76 519 047.61
6 1/21 25 952.38 544 999.99
El método da como resultado una importe de depreciación mayor en el primer año y
una cantidad cada vez menor en los años subsecuentes de vida útil.

UNIDAD 5
3 0 8
Método de depreciación decreciente
• Decreciente a porcentaje fijo sobre saldo. En este método se aplicará un porcentaje
constante sobre el valor en libros o valor por depreciar del activo. Puesto que el valor en
libros disminuye cada año, los cargos por depreciación son elevados al principio y luego
se hacen cada vez menores al aplicar el porcentaje fijo.
Sean:
C = El costo inicial que se supone igual al reemplazo.
V1,
V2,
V3,
......., Vk
= los valores en libros al final de los años 1, 2, ..., k;
n = El número de años de vida útil.
r = El porcentaje fijo.
el valor en libros al final del primer año:
1 0 0 (1 )
v v v r c cr r
= − = − −
Al final del segundo año:
2 1 1 1(1 ) (1 )(1 )
v v v r v r c r r
= − = − = − −
Sucesivamente para el año n:
(1 )n
n
v c r
= −
Utilizando esta fórmula es posible conocer el valor en libros al final de cualquier año
que será igual al valor de salvamento (S).
(1 )n
n
v s c r
= = −
Bajo este método la depreciación anual será dada por la siguiente fórmula:
1r
n n
d v
= −
Ejemplo 47
Una compañía tiene un equipo cuyo valor es de $55 000. Se calcula que su vida útil será
de 4 años y que al final de ella su valor de desecho será de $10 000. Determínese la tasa de
depreciación que debe aplicarse.
C = $55 000
S = Vn
= $10 000
n = 4 años
(1 )n
n
v s c r
= = −
Haciendo el despeje de r se tiene:
1 n
s
r
c
= −

3 0 9
4
10 000
1 1 0.3 672 0.6 328
55 000
r = − = − =
Por tanto el porcentaje a aplicar será de:
r = 63.28%
Amortización
Una amortización es la disminución o extinción gradual de cualquier deuda durante un
tiempo determinado. La amortización de un préstamo se da cuando el prestatario paga
al prestamista un reembolso de dinero prestado en un cierto plazo con tasas de interés
estipuladas. Conceptos relacionados.
Definiciones fundamentales
Amortización. Cualquier pago periódico o no destinado a reponer el principal de una deuda.
Liquidación. Cualquier pago que incluye la amortización y el pago de intereses de una deuda.
Fondo de amortización. Cantidad de recursos monetarios que se acumulan con el
objetivo de amortizar una inversión o deudas a través de una imposición cierta con tasa
y plazos preestablecidos.
Término o cuota del fondo de amortización. Los abonos colocados a la tasa del fondo de
amortización y cuyo monto corresponde con l al de u del que se desea amortizar.
En la actualidad es común contraer créditos o deudas para la adquisición de bienes.
Una forma de pago de estas deudas consiste en definir un número de pagos cada cierto tiempo
de una cantidad establecida, como ya estudiamos en capítulos anteriores a esto se le conoce
como anualidad. Se puede considerar que cada pago realizado se compone tanto del interés
como del pago del préstamo, por lo tanto, conforme se van realizando los pagos el saldo
deudor disminuye y en consecuencia el interés asociado al saldo decrece. Por lo tanto conforme
la deuda va disminuyendo, mayor parte del pago estará destinada a liquidar el saldo deudor, a
este proceso se le conoce como amortización.

UNIDAD 5
3 1 0
Formulario
Pago periódico
1 (1 ) n
ci
r
i −
=
− +
Donde:
R es la renta periódica
C es el monto de la anualidad
i es la tasa de interés
n es en número de pagos
Capital insoluto
1 (1 ) n
n
i
ra r
i
−
− +
=
Donde:
i es la tasa de interés
Total de intereses
pagados
n R–C
Donde:
C es el monto de la anualidad
Determinación del pago de amortización
Ejemplo 48
Una persona adquiere una deuda de $2 000 con una tasa de interés de 10% anual, si debe
saldar la deuda en tres pagos anuales, ¿de qué monto son los pagos?
Como ya se sabe:
1 (1 ) n
ci
r
i −
=
− +
Donde:
R = Monto a pagar.
C = Monto de la anualidad.
i = Tasa de interés.
n = Número de pagos.
Por lo tanto si se tiene que:
C = 2 000
i = 0.10
n = 3

3 1 1
Sustituyendo en la fórmula:
3
2 000(0.10)
1 (1 0.10)
r −
=
− +
3
200
1 (1.10)
r −
=
−
200
1 (0.7 513)
r =
−
200
0.2 486
r =
804.23
r =
Por lo tanto se requieren tres pagos de $804.23 para saldar la deuda.
Ejemplo 49
Una persona compra un automóvil mediante un crédito de $200 000 y que será pagado
en un plazo de 2 años con una tasa de interés 3% capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el
monto de los pagos mensuales? y ¿cuánto es el cargo total debido a los intereses?
Si se tiene que:
C = 200 000
.03
0.0025
12
i = =
n = (12)(2) = 24
Sustituyendo en la fórmula inicial se tiene que:
1 (1 ) n
ci
r
i −
=
− +
24 24
200 000(0.0 025) 500 500 500
8 596.24
1 (1 0.0 025) 1 (1.0 025) 1 0.9 418 0.0 582
r − −
= = = = =
− + − −
Por lo tanto se deben realizar 24 pagos de:
$8 596.24
De lo anterior se tiene que:
(8 596.24)(24) = 206 309.81
Si a esto le restamos la anualidad de 200 000 quedan 6 309.81 producto de
los intereses.

UNIDAD 5
3 1 2
Actividad 5
1. Una persona hace una compra de $5 000 mediante un crédito, acordando que la
liquidación la realizará por medio de 10 pagos iguales, si la tasa de interés es de 12%
compuesto bimestralmente, ¿de cuánto serán los pagos fijos?
2. $150 000 se liquidan mediante 18 pagos trimestrales durante 5 años a una tasa de
interés de 29% anual, ¿a cuánto ascienden los pagos?
3. Para la compra de un departamento una persona recurre a un préstamo a crédito de
$1 200 000, si debe saldar el crédito por medio de pagos trimestrales durante los
siguientes 15 años a una tasa de 14% convertible trimestralmente, ¿de qué cantidad
serán los pagos a realizar? ¿Cuánto pagará esta persona de interés?
Tablas de amortización
El proceso de liquidación de una deuda puede expresarse mediante una tabla, la cual se
conoce como tabla de amortización, en ésta pueden enunciarse diversos conceptos. Veamos
el siguiente ejemplo:
Ejemplo 50
Se adquiere un crédito de $1 000 a pagar durante cuatro anualidades con una tasa de
interés de 10% al año.
Si sabemos que
C = 1 000
i = 0.1
n = 4
sustituyendo en la fórmula general se tiene:
1 (1 ) n
ci
r
i −
=
− +
4 4
1 000(0.1) 100 100 100
315.46
1 (1 0.1) 1 (1.1) 1 0.6 830 0.3 170
r − −
= = = = =
− + − −
Por lo tanto para liquidar la deuda deberán realizarse cuatro pagos de $315.46,
cada uno de estos pagos se compone tanto del interés al saldo, como del abono al
capital, tal como lo muestra la siguiente tabla:

3 1 3
Periodo Capital al inicio del periodo Interés del periodo(i = 0.1) Pago fijo Abono al capital
0 1 000
1 784.54 100 315.46 215.46
2 547.53 78.45 315.46 237.01
3 285.92 53.85 315.46 261.61
4 –0.95 28.59 315.46 286.87
Total 260.89 1 261.84 1 000.95
Actividad 6
1. Un préstamo de $20 000 se amortizará con 12 pagos iguales realizados semestralmente.
Si la tasa de interés es de 14% convertible cuatrimestralmente. Determinar el pago
semestral y realizar la tabla de amortización.
2. Realice la tabla de amortización para un crédito de $50 000 con un interés de 4%
convertible bimestralmente. Con pagos semestrales durante 3 años.
3. Se compra un departamento de $1 450 000 con un enganche de $800 000 y pagos
semestrales a 5 años. Si la tasa de interés es de 7% capitalizable mensualmente. Calcule
el pago periódico y realice la tabla de amortización.
Determinación de la deuda pendiente de amortización. Capital insoluto
El capital insoluto es el saldo de la deuda pendiente de pagar, este dato es importante ya que
con frecuencia la parte deudora quiere liquidar la parte restante de su deuda por medio de un
pago único. O el acreedor desea traspasar la deuda por lo que se vuelve indispensable conocer
el saldo pendiente de amortizar.
Para el caso de que la deuda sea saldada en pocos pagos, si se necesita conocer el saldo
insoluto basta con construir una tabla de amortización y verificarlo. Pero en el caso de que se
haya preestablecido un gran número de pagos, este proceso puede ser tedioso.
Por lo que es mejor adoptar el siguiente método:

UNIDAD 5
3 1 4
1. Determinar el monto del pago periódico.
2. Calcular con el dato anterior el monto de la anualidad que queda pendiente de
pagar, tomando en cuenta que se desea saber únicamente los pagos que faltan por
realizar, por lo que al total de pagos habrá que restarle los ya realizados.
Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 51
Un señor adquiere un crédito de $10 000 a 10 años con interés de 7.5% capitalizable
mensualmente. ¿Cuál es el capital insoluto después de haber realizado 7 pagos?
Tenemos:
C = 10 000
i = 0.075/12 = 0.006
n = 10
Sustituimos para conocer el monto del pago periódico:
1 (1 ) n
ci
r
i −
=
− +
10
10000(0.006) 60 60
1 033.33
1 (1 0.006) 1 0.9419 0.0580
r −
= = = =
− + −
Una vez conocido el pago se calculará el monto de las anualidades que no han sido
saldadas. Para esto es necesario tomar en cuenta que el total de periodos de pago son
10 y que hasta el momento se han hecho 7, por lo que falta por realizar 3 pagos.
Por lo tanto:
R = 1 033.33
i = 0.006
n = 3
1 (1 ) n
i
c r
i
−
− +
=
Sustituyendo:
3
1 (1 0.006) 1 (0.9822)
1 033.3 1 033.3
0.006 0.006
c
−
− + −
= = =
0.0 178
1 033.3 1 033.3(2.9643) 3 063.07
0.006
= =
Por lo tanto el saldo insoluto en el séptimo periodo es de $3 063.07, lo cual se
puede comprobar si se realiza la respectiva tabla de amortización.

3 1 5
Periodo Capital al inicio del periodo Interés del periodo (i=0.006) Pago fijo Abono al capital
0 10 000
1 9 026.67 60 1 033.33 973.33
2 8 047.50 54.16 1 033.33 979.19
3 7 062.46 48.29 1 033.33 985.04
4 6 071.50 42.37 1 033.33 990.96
5 5 074.60 36.43 1 033.33 996.90
6 4 071.72 30.45 1 033.33 1 002.88
7 3 062.82 24.43 1 033.33 1 008.90
8 2 047.86 18.38 1 033.33 1 014.95
9 1 026.82 12.29 1 033.33 1 021.04
10 –0.35 6.16 1 033.33 1 027.17
Total 332.95 10 333.30 10 000.35
Actividad 7
1. Se solicita un préstamo para la compra de una camioneta por $360 000, si se hacen pagos
mensuales durante 4 años y la tasa de interés es de 5.3% capitalizable mensualmente.
¿Cuál es el saldo insoluto después de 2.5 años?
2. Una persona compra un estéreo por $20 000 y acuerda realizar pagos semanales. Si la
tasa de interés es de 7% convertible semestralmente. ¿Cuánto adeuda en la semana 30?
3. Una deuda de $450 000, con interés de 2.3% convertible trimestralmente, se
amortiza mediante pagos mensuales durante 15 años. Determine el saldo insoluto
después de 7.5 años.

UNIDAD 5
3 1 6
Cálculo del interés en un periodo determinado
Otro de los conceptos importantes en las amortizaciones es el interés correspondiente a un
cierto periodo, esto es posible a partir del concepto anterior. Si calculamos el capital insoluto
del periodo anterior éste se multiplica por la tasa de interés, con lo que se obtiene el interés
del periodo.
Ejemplo 52
Un préstamo de 2 000 se paga trimestralmente durante 2 años, si el interés es de 3%
convertible mensualmente. Determine el monto del pago y el interés que se genera en el
pago 20.
Si se sabe que:
1 (1 ) n
ci
r
i −
=
− +
C = 2 000
i = .03/12 = 0.0025
n = 12(4) = 48
Sustituyendo:
48
2 000(0.0 025) 5 5
44.27
1 (1 0.0 025) 1 (0.8 871) 0.1 129
r −
= = = =
− + −
Por lo tanto deben realizarse 48 pagos de $44.27
Para calcular el interés en el pago 20 es necesario conocer el capital insoluto en
el periodo anterior, a saber, el 19 y después multiplicar el resultado por la tasa
de interés.
Por lo tanto:
1 (1 ) n
i
c r
i
−
− +
=
R = 44.27
i = 0.0025
n = 48 – 19 = 29
Sustituyendo:
29
1 (1 0.0 025) 1 0.9 301
44.27 44.27
0.0 025 0.0 025
c
−
− + −
= = =
0.0 699
44.27 44.27(27.94) 1 236.91
0.0 025
= =

3 1 7
Finalmente:
i = 1 236.91(0.0 025)= 3.09
Queda como ejercicio al lector comprobar que esta cantidad coincide con la tabla de amortización
correspondiente al ejercicio.
Actividad 8
1. Se adquiere un televisor de plasma por $45 000 mediante un crédito de 12% anual
a pagos mensuales durante 2 años. ¿Cuánto se paga por concepto de intereses en la
mensualidad 18?
2. Se compra un servidor de $1 560 000 mediante un crédito, acordando pagos
bimestrales durante 3 años a una tasa de interés de 4.6% convertible trimestralmente.
¿Cuál es la cantidad por intereses en el pago 7, 11 y 17?
3. Una persona consigue un préstamo de $4 150 000 a pagar en 40 años, si la tasa de
interés es de 4% convertible semestralmente y realiza sus abonos cada mes. ¿Cuánto
paga en total de interés? ¿Cuál es el pago por intereses en el periodo 35, 145 y 406?
5.9. VPN y TIR: Elementos fundamentales para evaluar la efectividad de
un proyecto
La evaluación de la efectividad de un proyecto de inversión tiene por objetivo conocer
su rentabilidad económica y social, de manera que solvente una necesidad humana en
forma eficiente, segura y rentable, determinando los recursos económicos con que cuente
la mejor alternativa.
Un proyecto de inversión se define como un método organizado y evaluado, al cual si
se le asigna capital y se le proporcionan insumos podrá formar un bien o servicio que permita
satisfacer una necesidad.
Se pueden extraer algunos puntos importantes en relación con la evaluación de la
efectividad de un proyecto de inversión:

UNIDAD 5
3 1 8
• Correcta asignación de los recursos.
• Igualar el valor adquisitivo de la moneda presente con la moneda futura y estar
seguros de que la inversión será realmente rentable.
• Decidir el ordenamiento de varios proyectos en función de su rentabilidad.
• Tomar una decisión de aceptación o rechazo.
Un proyecto de inversión contiene siempre un grado de riesgo, ya que se basa en
estimaciones futuras, por lo cual es conveniente realizar un estudio minucioso para disminuir
esa probabilidad de riesgo.
Por ello el desarrollo y formación de indicadores financieros, que muestren de manera
adecuada las características importantes del proyecto de inversión, nos permiten tomar
decisiones en tiempo y forma, las cuales repercutirán de manera importante en la consolidación
o truncamiento del proyecto.
Tipos de proyectos
1. Desde el punto de vista financiero:
a) No rentables. Tienen salidas de fondos definidos y cuantificables, pero que no
están orientados hacia la obtención de lucro o utilidad monetaria. Por ejemplo, los
proyectos de investigación.
b) Rentables. Se obtiene una utilidad directa y palpable.
c) No medibles. Son proyectos que tienen cuantificadas las salidas de efectivo,
pero no pueden determinar una utilidad con cierto grado de seguridad. Por
ejemplo, el desarrollo de un nuevo producto.
d) Reemplazo. Son proyectos que representan el análisis de la temporalidad de la vida
útil de un bien, prorrogada por nuevos gastos de mantenimiento y reparación de
los bienes existentes. Ejemplo de ello es la sustitución de maquinaria obsoleta
por nueva.
e) Expansión: Son los proyectos que aumentan la actual capacidad instalada de
producción o de venta. Un ejemplo de lo anterior es el hecho de incrementar la
inversión de activos fijos.
2. Desde el punto de vista de la finalidad del proyecto:
• Proyectos de reducción de costos.
• Proyectos de nuevos productos.
• Proyectos de diversificación de servicios.

3 1 9
• Proyectos de nuevos mercados.
• Proyectos de reemplazo de equipo.
• Proyectos de investigación y desarrollo.
3. Por el tamaño y actividades de la empresa:
• Proyectos para toda la empresa.
• Proyectos por divisiones.
• Proyectos por departamentos.
• Proyectos por productos o servicios.
Indicadores financieros
Los indicadores financieros son obtenidos directamente de los estados financieros proforma.
Se seccionan para el análisis y la evaluación de sus componentes o cuentas más representativas.
Para ello se utiliza lo que se conoce como razones financieras.
Los principales indicadores, recomendados para evaluar un proyecto de inversión son
los siguientes:
• Tasa interna de rendimiento o de retorno (TIR).
• Valor presente neto (VPN).
• Índice del valor presente neto (IVPN).
• Periodo de recuperación de la inversión (PRI).
• Tasa promedio de rendimiento o de retorno (TPR).
• Tasa de rendimiento estimada mínima aceptada (TREMA).
• Costo anual equivalente uniforme (CAUE).
• Tasa promedio de rendimiento o de retorno (TPR).
Nos ocuparemos de aquellas que aportan los criterios de evaluación más importantes.
Valor presente neto (VPN)
Es la diferencia entre la suma de los valores presentes de los flujos futuros y la inversión inicial.
Esto significa que:
• Indica la generación neta de recursos a valor presente.
• Obtiene flujos netos de efectivo (FNE).
• Realiza evaluaciones económicas.
• Permite evaluar inversiones individuales.
• Elegir entre varias propuestas de inversión competitivas.

UNIDAD 5
3 2 0
• Mide el impacto en la riqueza del accionista producida por el conjunto de
inversiones que constituyen la cartera de posibilidades de un inversionista.
• Es el criterio de evaluación de capital elegido.
La forma matemática de calcular el VPN es a través de esta ecuación:
1
= (1 ) 1
x n
x
x
x
vPn F i
=
−
=
+ −
∑
Donde:
VPN = valor presente neto.
Fx
= flujo de efectivo.
t = tasa de descuento.
i = inversión inicial.
El valor presente neto es un indicador que comprende la actualización de los flujos del
proyecto a lo largo del horizonte de evaluación y considera que todos los beneficios en relación
a los costos deben ser comparados en el presente.
• Si el VPN es positivo se considera que el proyecto es favorable, ya que cubre
el nivel mínimo de rechazo representado por la tasa de descuento, y representa
el excedente que queda para el inversionista después de haberse recuperado la
inversión, los gastos financieros y la rentabilidad exigida por éste.
• Si el VPN es igual o cercano a cero, el proyecto apenas cubre el costo mínimo.
• Si el VPN es negativo, la rentabilidad está por debajo de la tasa de aceptación y por
lo tanto es un proyecto que debe descartarse.
Existen cuatro formas de calcular los indicadores VPN y TIR, para ello los datos se
toman del estado de resultados. Las modalidades son:
1. Producción constante, sin inflación, sin financiamiento.
2. Producción constante, con inflación y sin financiamiento.
3. Producción constante, con inflación y con financiamiento.
4. Producción variable, sin inflación y con financiamiento.
En el caso de la comparación de proyectos se deberá considerar que un proyecto es
mejor que otro cuando el VPN sea mayor.
Por lo tanto, si al flujo del proyecto se le descuentan los intereses y amortizaciones, el
saldo equivaldría a la recuperación del aporte del inversionista más la ganancia por el exigible

3 2 1
y un excedente igual al VPN del proyecto, que representaría la ganancia adicional a la mejor
alternativa de la inversión.
El tamaño óptimo corresponde al mayor valor actual neto de las alternativas
analizadas, es decir, cuando la diferencia entre ingresos y egresos actualizados se maximiza.
Si se determina la función curva, este punto se obtiene cuando la primera derivada es igual
a cero y la segunda es menor que cero, para asegurar que el punto sea máximo.
El mismo resultado se obtiene si se analiza el incremento de VPN que se logra con
aumentos de tamaño; en este caso.
Ejemplo 53
Una empresa de dulces desea hacer una inversión en equipo relacionado con el manejo
de materiales. Se estima que el nuevo equipo tiene un valor en el mercado de $100 000 y
representará para la compañía un ahorro en mano de obra y desperdicios de materiales del
orden de $40 000 anuales.
Se toma en consideración que la vida útil estimada para el nuevo equipo es de cinco años,
al final de los cuales se espera una recuperación monetaria de $20 000. Se recomienda
considerar que la empresa ha fijado una TREMA (tasa de rendimiento mínima aceptable)
de 25%.
a) Utilizando la ecuación de VPN tenemos:
1 2 3
0 2 3
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
n
n
a a a a
vPn a
K K K K
 
= + + + +
 
+ + + +
 
b) Sustituyendo los valores en la ecuación.
2 3 4 5
40 000 40 000 40 000 40 000 60000
100 000
(1 0.25) (1 0.25) (1 0.25) (1 0.25) (1 0.25)
vPn
 
 
= − + + + + +
 
 
+ + + + +
 
 
VPN = $14 125
Como el VPN es positivo, se recomienda la compra del nuevo equipo.
Ejemplo 54
Se trata de la misma empresa con el mismo proyecto de inversión, pero ahora los
inversionistas fijan una TREMA de 40%, ¿qué ocurre con el VPN?
1 2 3
0 2 3
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
n
n
a a a a
vPn a
K K K K
 
= + + + +
 
+ + + +
 

UNIDAD 5
3 2 2
a) Sustituyendo los valores en la ecuación
2 3 4 5
40 000 40 000 40 000 40 000 60 000
100 000
(1 .40) (1 .40) (1 .40) (1 .40) (1 .40)
vPn
 
 
= − + + + + +
 
 
+ + + + +
 
 
VPN = –$14 875
Como el VPN resultó negativo, la rentabilidad está por debajo de la tasa de
aceptación, por lo tanto el proyecto debe descartarse.
En la gráfica observamos la representación del VPN respecto a la tasa que esperan
los inversionistas. Notamos como la TREMA queda por arriba de lo que ofrece
el proyecto.
vPn
14.1
25 40 Trema
14.8
Selección de proyectos mutuamente excluyentes
Esta metodología consiste en la selección de una alternativa entre varias mutuamente excluyentes,
para ello existen varios procedimientos equivalentes y son:
1. Valor presente de la inversión total.
2. Valor presente del incremento en la inversión.

3 2 3
Valor presente de la inversión total
El valor de la alternativa que se prefiera con este procedimiento deberá ser mayor a cero, ya que con
esto se asegura que el rendimiento que se alcanza es mayor que el interés mínimo atractivo.
Ejemplo 55
Nuevamente la empresa anterior debe seleccionar una de las alternativas, utilizando una
TREMA de 25%
a) Primeramente se calcula el VPN para cada alternativa:
1 2 3
0 2 3
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
n
n
a a a a
vPn a
K K K K
 
= + + + +
 
+ + + +
 
2 3 4 5
40 000 40 000 40 000 40 000 40 000
100 000 7 571
(1 .25) (1 .25) (1 .25) (1 .25) (1 .25)
vPn
 
 
= − + + + + + =
 
 
+ + + + +
 
 
2 3 4 5
40 000 40 000 40 000 40 000 40 000
100 000 = 35 142
(1 .25) (1 .25) (1 .25) (1 .25) (1 .25)
vPn
 
 
= − + + + + +
 
 
+ + + + +
 
 
2 3 4 5
40 000 40 000 40 000 40 000 40 000
100 000 = 35 142
(1 .25) (1 .25) (1 .25) (1 .25) (1 .25)
vPn
 
 
= − + + + + +
 
 
+ + + + +
 
 
b) Se comparan los VPN obtenidos y se encuentra que el mayor corresponde a la
alternativa B.
A = 7 571
B = 35 142
C = 18 600
Ejemplo 56
Un empresario desea saber en qué proyecto debe invertir, de tal manera que elija la
alternativa que sea inmejorable.
a) Primeramente se calculan los FNE para los cuatro proyectos.

UNIDAD 5
3 2 4
n FNE
Tamaño individual Familiar Económico Gigante
1 $1 200 000 $1 650 000 $1 160 000 $1 800 000
2 $1 200 000 $1 650 000 $1 160 000 $1 800 000
3 $1 200 000 $1 650 000 $1 160 000 $1 800 000
4 $1 200 000 $1 650 000 $1 160 000 $1 800 000
5 $1 200 000 $1 650 000 $1 160 000 $1 800 000
6 $2 400 000 $3 150 000 $3 160 000 $3 900 000
FNE $8 400 000 $11 400 000 $8 960 000 $6 000 000
Para esto se suman los ingresos de cada periodo para cada alternativa.
FNE=1 200 000+1 200 000+1 200 000+1 200 000+1 200 000+2 400 000=8 400 000
b) Se calcula el VPN para cada alternativa.
Proyecto individual
1
1 200000
(1 .20)
 
 
+
 
$1 000 000
2 2
1 200000
(1 .20)
 
 
+
 
$833 333
3 3
1 200000
(1 .20)
 
 
+
 
$694 444
4 4
1 200000
(1 .20)
 
 
+
 
$578 704
5 5
1 200000
(1 .20)
 
 
+
 
$482 253
6 6
1 200000
(1 .20)
 
 
+
 
$803 755
FNE $4 392 490
Inversión inicial $3 000 000
VPN $1 392 490

3 2 5
Proyecto familiar
1
1 650000
(1 .20)
 
 
+
 
$1 375 000
2 2
1 650000
(1 .20)
 
 
+
 
$1 145 833
3 3
1 650000
(1 .20)
 
 
+
 
$954 861
4 4
1 650000
(1 .20)
 
 
+
 
$795 718
5 5
1 650000
(1 .20)
 
 
+
 
$663 098
6 6
1 650000
(1 .20)
 
 
+
 
$1 054 929
FNE $5 989 439
VPN $1 489 439
Proyecto económico
1
1 160000
(1 .20)
 
 
+
 
$966 667
2 2
1 650000
(1 .20)
 
 
+
 
$805 556
3 3
1 160000
(1 .20)
 
 
+
 
$671 296
4 4
1 160000
(1 .20)
 
 
+
 
$559 414
5 5
1 160000
(1 .20)
 
 
+
 
$466 178
6 6
3 160000
(1 .20)
 
 
+
 
$1 058 278
FNE $4 527 388
VPN –722 612

UNIDAD 5
3 2 6
Proyecto gigante
1
1 800000
(1 .20)
 
 
+
 
$1 500 000
2 2
1 800000
(1 .20)
 
 
+
 
$1 250 000
3 3
1 800000
(1 .20)
 
 
+
 
$1 041 667
4 4
1 800000
(1 .20)
 
 
+
 
$868 056
5 5
1 800000
(1 .20)
 
 
+
 
$723 380
6 6
3800000
(1 .20)
 
 
+
 
$1 306 102
FNE $6 689 204
VPN 689 204
El proyecto económico se descarta por ser negativo, la alternativa que ofrece el VPN
más alto corresponde al proyecto familiar.
Valor presente del incremento de la inversión
Para este procedimiento se siguen los siguientes pasos:
1. Colocar las alternativas en un orden ascendente de acuerdo con la inversión inicial.
2. Seleccionar la alternativa de menor costo.
3. Comparar la mejor alternativa con la consecutiva dada del punto uno.
4. Repetir el procedimiento cuantas veces sea necesario hasta haber analizado todas
las alternativas.

3 2 7
Ejemplo 57
Nuevamente partiendo de nuestro ejemplo de la empresa anterior, aplicar los pasos dados
para determinar la mejor alternativa, considerando la TREMA de 25%.
a) Ordenar las alternativas
5
1
40 000
100 000 = 7 571
(1 .25)
a i
i
vPn
=
 
 
= − +  
 
+
 
 
∑
5
1
40 000
80 000 = 27 571
(1 .25)
B a i
i
vPn −
=
 
 
= − +  
 
+
 
 
∑
5
1
40 000
30 000 = –16 553
(1 .25)
c B i
i
vPn −
=
 
 
= − +  
 
+
 
 
∑
b) Comparar las alternativas de acuerdo con el monto.
La alternativa más viable es la B, debido a que es la más alta y el VPN no es menor
a cero como en el tercer caso.
Tasa interna de retorno (TIR)
Es la tasa a la que se transportan o descuentan los diferentes flujos futuros de efectivo a su
valor presente para igualar la inversión, es decir, la tasa de descuento que implica un valor
presente neto igual a cero.
(VPN = 0)
x n
x
vPn Fx
=
=
= ∑ –n
1
(1+i) –1=0.00
Donde:
i= Inversión.
La TIR refleja el rendimiento de los fondos invertidos, siendo un elemento de juicio
muy usado y necesario cuando la selección de proyectos se hace bajo una óptica de racionalidad
y eficiencia financiera.
La TIR o rentabilidad financiera de un proyecto se define de dos formas:
1. Es aquella tasa de actualización que hace nulo el valor actual neto del proyecto, es
decir, cuando el VPN es cero, situación que se observa en la siguiente gráfica:

UNIDAD 5
3 2 8
15 +
0 2 6 8 10 2+
22
20
18
16
12 1+
+
Tir
vPn
–1 ++
1.09 +
2.+38
A diferencia del VPN la TIR supone que el cálculo de ésta va al encuentro de una tasa de
interés, generalmente mediante tanteos.
3. La TIR es la máxima tasa de interés que puede pagarse o que gana el capital no
amortizado en un periodo de tiempo y que conlleva la recuperación o consumo
del capital.
Para despejar confusiones, la TIR no es un rendimiento constante sobre la inversión
inicial, sino sobre la parte de la inversión no amortizada.
Esta característica mal entendida ha sido la base de críticas sobre la TIR, argumentando
que ésta implica la reinversión de los beneficios, sin embargo, reconociendo que el rendimiento
no es siempre sobre el capital inicial, se debe aceptar entonces que la tasa de rendimiento
calculada no implica la reinversión, pues no se considera la utilización que el inversionista haga
de los beneficios generados, ésa es una cuestión independiente al concepto TIR.
TIR con flujos constantes sin inflación
• Bajo ésta se consideran los FNE a lo largo del tiempo.
• La producción será constante.
• Los ingresos y los costos permanecen constantes.
Como la TIR espera la suma de los flujos descontados sea igual a la inversión inicial,
entonces la i actúa como tasa de descuento y por consecuencia los flujos a los que se les aplica,
se convierten en flujos descontados.
1 2
(1 )1 (1 )2 (1 )
Fne Fne Fne n
P vs
t t t n
 
= + + +
 
+ + +
 

3 2 9
Ejemplo 58
La inversión inicial es:
P = $5 935 000
FNE del primer año:
A = $1 967 000
Se considera una anualidad ya que permanecen constantes durante los cinco años.
TMAR sin inflación es de 15%
VS = $3 129 000
Periodo = 5 años
a) 1 2 3 4 5
Fne Fne Fne Fne Fne a
= = = = =
b)
5
5 5
(1 + i) + 3 129
5 935 000 =1 967
i (1 + i) (1 + i)
 
 
 
c) La i que satisface a la TIR del proyecto es i = 27.6 734 469%
��
Este valor de TIR se obtuvo de una manera de ensayo, es decir, que proponiendo
valores de interés (i) satisfagan el valor de la inversión.
��
La decisión de inversión con base en la tasa interna de retorno es también muy
sencilla, se debe seleccionar el proyecto cuya TIR sea mayor a la TREMA, en caso contrario
se rechaza.
Un proyecto es mejor que otro cuando se posee una TIR más alta.
1 2
1 2
– 0
(1 ) (1 ) (1 )n
F n e F n e F n e n
Tir i
t t t
 
= + + =
 
+ + +
 
Nomenclatura:
TIR = tasa Interna de Retorno.
FNE = flujo neto de efectivo.
t = tasa de descuento.
I = inversión inicial.
Cuando utilizamos el Valor Presente Neto (VPN) para calcular la TIR debemos
tomar en cuenta el mínimo común múltiplo de los años de vida útil de cada alternativa, sin
embargo, cuando se hace uso del CAUE, sólo es necesario tomar en cuenta un ciclo de vida de
cada alternativa, pues lo que importa en este caso es el costo de un año; esto la puede hacer de
más fácil aplicación.

UNIDAD 5
33 0
Se puede llevar a cabo la evaluación de proyectos de manera individual o de alternativas
de inversión.
Evaluación de proyectos de inversión individuales.
Ejemplo 59
Un terreno con una serie de recursos fértiles por su explotación produce $100 000
al final de cada mes durante un año; al final de este tiempo, el terreno podrá ser
vendido en $800 000. Si el precio de compra es de $1 500 000, hallar la Tasa Interna
de Retorno (TIR).
a) Primero se dibuja la línea de tiempo.
$800 000
$100 000 $100 000 $100 000 $100 000
1 2 3 12
$1 500 000
b) Luego se plantea una ecuación de valor en el punto cero.
–1
–1 500 000 100 000 12 800 000 (1 ) 0
a i i
+ + + =
100 000 a 12i quiere decir que los doce flujos de efectivo de esta cantidad deberán
ser elevados a una tasa de retorno i, que es la que se desconoce y que será la que
se calcule para que satisfaga el valor de la venta del terreno.
La forma más sencilla de resolver este tipo de ecuación es elegir dos valores para i
no muy lejanos, de forma tal que al realizar los cálculos con uno de ellos, el valor
de la función sea positivo y con el otro sea negativo. Este método es conocido
como interpolación.

33 1
c) Se resuelve la ecuación con tasas diferentes que la acerquen a cero.
1. Se toma al azar una tasa de interés i = 3% y se reemplaza en la ecuación de valor.
–1 500 000 + 100 000 a 12 3% + 800 000 (1 +0.03)-1
= 56.504
2. Ahora se toma una tasa de interés más alta para buscar un valor negativo y
aproximarse al valor cero. En este caso tomemos i = 4% y se reemplaza en la
ecuación de valor.
–1 500 000 + 100 000 a 12 4% + 800 000 (1 +0.04)-1
= –61 815
d) Ahora se sabe que el valor de la tasa de interés se encuentra entre los rangos de
3% y 4%, se realiza entonces la interpolación matemática para hallar el valor que
se busca.
1. Si 3% produce un valor de $56 504 y 4% uno de –61 815, la tasa de interés para
cero se hallaría así:
3 – – – – – 56 504
i – – – – – 0
4 – – – – – –61 815
2. Se utiliza la proporción entre diferencias que se correspondan:
i
 
 
− −
−
=  
 
− −
 
 
 
56 504 ( 61 815)
3 4
3 (56 504 0)
3. Se despeja y calcula el valor para la tasa de interés, que en este caso sería:
i = 3 464%, que representaría la tasa efectiva mensual de retorno.

UNIDAD 5
33 2
Actividad 9
1. Suponga que un proyecto requiere una inversión neta de 10 000 y promete una anualidad
de 4 años, cuyos flujos de caja son de 40 000 al año. Se supone que la tasa requerida de
rendimiento sea de 16%. ¿Cuál será el VPN?
2. Un inversionista desea saber qué proyecto le conviene llevar a cabo, para ello cuenta con
la siguiente información:
n A B C
1 $2 500 $4 600 $600
2 $2 650 $1 500 $1 100
3 $2 000 $1 900 $1 600
4 $2 900 $2 600 $1 850
FNE $10 050 $10 600 $5 150
Inversión inicial $5 700 $3 800 $2 200
Utilizando el criterio de VPN encuentre la alternativa de negocio que conviene al
inversionista.
3. Se piensa en un proyecto cuya inversión neta es de $60 000 con los siguientes flujos
de caja. Para los años 1, 2 y 3 $30 000, para los años 4, 5 y 6 de $19 000 y se requiere
obtener un rendimiento de 16%. Determinar si el proyecto se acepta o no con base en
el criterio de VPN.
4. Un ejecutivo financiero desea saber cuál es el valor de la TIR para una inversión de
$24 000 para cinco años con los siguientes flujos $5 000, $7 000, $9 000, $9 000 y
$12 000 respectivamente y una tasa de 18%.
5. Considerando el problema anterior (ejercicio 2) del inversionista que desea saber qué
proyecto le conviene llevar a cabo, entre el A, B, C y considerando el criterio del VPN
y la TIR, indique cuál es la alternativa recomendada si la tasa de rendimiento que el
inversionista espera obtener es de 19%.

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