1. UNIVERSIDAD DE PANAMÁ<br />FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA<br />ESCUELA DE MATEMÁTICA<br />SOPHIE GERMAIN Y EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT<br />REALIZADO POR:<br />LURIS JAÉN<br />MONOGRAFÍA PRESENTADA COMO UN REQUISITO PARA OPTAR POR EL TÍTULO DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICA<br />CIUDAD UNIVERSITARIA, OCTAVIO MENDÉZ PEREIRA<br />PANAMÁ, 2011<br />DEDICATORIA<br />A ti mi Divino Dios pues me dirigiste por el mejor camino de mi vida, y me distes la salud y sabiduría para alcanzar todas mis metas. <br />A ti esposo querido José, por todo tu amor, compresión y estar siempre mi lado cuando más lo necesité. <br />A mi hijo Joseph, que es mi fuente de inspiración y mi fortaleza.<br />A mis padres quienes siempre creyeron en mí y me dieron todo el apoyo que necesitaba.<br />AGRADECIMIENTOS<br />Doy gracias a Dios por darme la oportunidad estudiar, así como de darme la fuerza y la dedicación que contribuyeron a la culminar este trabajo.<br />A mi Esposo José Rosales y a mi Hijo Joseph Rosales por ser mis soportes y fuentes de inspiración.<br />A mis Padres: Luris Lorenzo y Ariel Jaén, que me apoyaron en todo momento.<br />Al profesor Jaime Gutiérrez por su asesoramiento científico y estímulo para seguir creciendo intelectualmente.<br />A mis compañeros de seminario que siempre me brindaron su ayuda y respaldo en la confección de mi trabajo.<br />A todos los Profesores de la Licenciatura de Matemáticas que me brindaron sus conocimientos y que también contribuyeron bastante en mi formación.<br />ÍNDICE<br />Introducción……………………………………………………………………….5.<br />I- Biografía de Sophie Germain…….………………………………………………...……6.<br />II- Correspondencias con Lagrange……………………………….……..…………….…10.<br />III- Correspondencias con Gauss……………………………………...………………….11.<br />IV- Biografía de Marin Mersenne…………………………………….…………………..13.<br />V- Números de Mersenne…………………………..……………….…………………....15.<br />VI- Proyecto Mersenne……………………………………………………….…...…..…16.<br />VII- Primos de Germain……………………….……………………………..….……...18.<br />VIII- Relación entre los Números de Mersenne y Primos de Germain…………………21.<br />IX- Los Números Primos de Germain y El Último Teorema de Fermat............………..22.<br />Conclusión…….………………………….…………………………………..….26.<br />Recomendaciones………………………………………………………..……....27.<br />Bibliografía……………………………………………………………………....28.<br />INTRODUCCIÓN<br />Las mujeres también han tenido a lo largo de la historia muchas y serias dificultades para introducirse y ser protagonistas en el mundo de la Ciencia y en concreto en el de las Matemáticas.<br />En el presente trabajo destacaremos los aportes de Sophie Germain, una matemática del siglo XVIII que vivió en París. A pesar de los problemas que en ese siglo suponía ser matemática y mujer a la vez. También nos proponemos demostrar la importancia del papel de la mujer en el desarrollo del conocimiento científico. Además conocer las dificultades que tuvo para desarrollarse en su carrera, y los obstáculos que se interpusieron en su camino. Se espera valorar más a las mujeres en el ámbito científico. En particular conocer los importantes aportes de Sophie Germain a la Teoría de Números.<br />Una de las máximas contribuciones de Sophie Germain tiene que ver con el teorema de Fermat. La aportación de Sophie a la historia del teorema de la resolución de Fermat consistió en la demostración de la imposibilidad de soluciones enteras positivas de la ecuación xn + yn = zn con la condición de que x, y, z no sean simultáneamente múltiplos de n, para todo n menor que 100. Es decir, si esa ecuación tuviera solución para 2< n< 100, alguno de los elementos de la terna debería ser divisible por el exponente n. Hasta 1804, la contribución más importante sobre el teorema de Fermat se debe a Sophie.<br />BIOGRAFÍA DE SOPHIE GERMAIN<br />Marie-Sophie Germain nació el día 1 de Abril de 1776, en la calle de San Denis de París. Fue la segunda hija del matrimonio entre Marie-Madelaine Gruguelin y Ambroise-François Germain, un burgués cultivado y liberal, que participó activamente en la Revolución francesa y fue elegido diputado de los Tiers-État en la Asamblea Constituyente de 1789. A los 13 años, en plena Revolución, convencida de que su familia sólo pensaba en el dinero y la política, se refugió en la lectura comenzando con las obras de la biblioteca de su padre. Su interés por las Matemáticas surgió después de leer la Historia de las Matemáticas de Jean-Baptiste Montucla. En particular le impresionó la leyenda de la muerte de Arquímedes, por los soldados romanos, mientras estaba absorto en un problema de geometría. Quedó tan conmovida por el fuerte efecto de la Matemática, capaz de hacer olvidar la guerra, que decidió dedicarse a su estudio.Leía todo lo que caía en sus manos con un ardor que preocupaba a su familia. El matemático italiano Guglielmo Libri , que más tarde será su amigo, nos cuenta como superó los obstáculos que sus padres habían ideado para frenar su pasión hacia las Matemáticas. Para que no pudiera estudiar a escondidas de noche, decidieron dejarla sin luz, sin calefacción y sin sus ropas. Sophie parecía dócil, pero sólo en las apariencias, de noche, mientras su familia dormía, se envolvía en mantas y estudiaba a la luz de una vela que previamente había ocultado. Un día la encontraron dormida sobre su escritorio, con la tinta congelada, delante de una hoja llena de cálculos. Su tenacidad venció la resistencia de sus padres que aunque no comprendían su dedicación a las Matemáticas terminaron por dejarla libre para estudiar. Comenzó por el tratado de aritmética de Étienne Bezout y el de cálculo diferencial de A. J. Cousin para seguir, después de aprender latín sin ninguna ayuda, con las obras de Isaac Newton y Leonhard Euler.<br />Tenía 18 años en 1794, cuando se fundó la Escuela Politécnica de París. Como las mujeres no eran admitidas, (la Escuela Politécnica no admitirá mujeres hasta 1972), consiguió hacerse con apuntes de algunos cursos, entre ellos, el de Análisis de Lagrange. Al final del período lectivo los estudiantes podían presentar sus investigaciones a los profesores, Sophie presentó un trabajo firmándolo como Antoine-Auguste Le Blanc, un antiguo alumno de la escuela. El trabajo impresionó a Joseph Louis Lagrange (1736-1813) por su originalidad y quiso conocer a su autor. Al saber su verdadera identidad, la felicitó personalmente y le predijo éxito como analista, animándola de esta forma a seguir estudiando.En 1798, Adrien-Marie Legendre (1752-1833) había publicado “Essai sur la théorie des nombres” y en 1801, apareció el libro de Karl Friedrich Gauss (1777-1855) “Disquisitiones Arithmeticae”. Sophie, impresionada por estas obras, se dedicó al estudio de la Teoría de Números. Entre 1804 y 1809 escribió a Gauss una decena de cartas mostrándole sus investigaciones. Temerosa del ridículo que en aquella época suponía una mujer erudita, las primeras cartas estaban firmadas con el seudónimo “Le Blanc”. Pero esta correspondencia fue irregular, Gauss estaba tan ocupado en su propia investigación que sólo le contestaba cuando el trabajo de Sophie estaba relacionado con sus propios teoremas.Con motivo de la conquista de Prusia por Napoleón, en la campaña de Iéna (1806), temió por la vida de Gauss y se puso en contacto con un militar amigo de su familia, el general Pernetti, para pedirle que velara por su seguridad. El militar le comunicó que había contactado con Gauss y que éste agradecía su mediación, pero que afirmaba no conocer a Sophie Germain. En la siguiente carta que le escribió tuvo que revelarle la verdad: ella era M. Le Blanc. Gauss sorprendido al conocer su identidad, elogia su talento y su genio. En la última carta que, en esta época, escribió a Gauss, le comentaba un resultado muy importante sobre teoría de números, el teorema que hoy lleva su nombre, pero él no respondió a esa carta.En 1808, el ingeniero alemán Ernst Chladni presentó en París, sus experiencias sobre la vibración de las superficies elásticas observando las figuras formadas cuando se esparcía arena sobre una placa y se la hacía vibrar al puntear el borde con el arco de un violín. La arena se concentraba donde las vibraciones eran más débiles, formando figuras geométricas muy interesantes. Estas experiencias se realizaron delante de un grupo de élite de 66 personas que constituían la “Primera Clase” de matemáticos y físicos del Instituto de Francia, después se repitieron delante de Napoleón.La Academia de las Ciencias de París tenía la costumbre de ofrecer un premio al mejor trabajo en ciencias físicas y matemáticas. Se elegía una comisión de cuatro o cinco personas que planteaba un tema y se establecía un programa. Los candidatos tenían dos años para hacer la memoria que presentaban de forma anónima. <br />En 1809 la cuestión que propuso la Academia fue obtener una teoría matemática sobre las superficies elásticas que explicara las experiencias de Ernst Chladni.La convocatoria de este concurso y el hecho de que Gauss ya no contestaba a sus cartas, propiciaron que Sophie abandonara la Teoría de Números y comenzara sus investigaciones en física-matemática. Tuvo que presentar tres memorias sucesivas en 1811, 1813 y 1815 hasta conseguir, el 8 de enero de 1816, el “Prix Extraordinaire” de la Academia de Ciencias. Se reunió mucha gente para ver a la famosa mujer matemática, pero Sophie no asistió a la ceremonia de entrega. Aunque años antes se había considerado una novata entre gigantes, en ese momento no sentía ninguna admiración por muchos de sus colegas. [6]A partir de entonces consiguió el respeto y el reconocimiento por parte de la comunidad científica, debido, sobre todo, a su amistad con Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) que, después de ser elegido Secretario Permanente de la Academia de Ciencias, le permitió asistir a sesiones, siendo la primera mujer, no esposa de académico, que lo hizo. También continuó sus investigaciones con Legendre sobre Teoría de Números con el que trabajaba en un plano de igualdad, y reanudó la correspondencia con Gauss sobre este tema. El 27 de junio de 1831 murió en París a consecuencia de un cáncer de pecho a los 55 años. A pesar de su extensa correspondencia, Gauss y Sophie nunca se conocieron personalmente. Gauss intentó que la Universidad de Göttingen le otorgara el título de doctor honoris causa pero a pesar de su gran influencia en esta universidad, su propuesta no tuvo éxito. No será éste un hecho para recordar a Sophie Germain pero siempre la evocaremos por su obra, que perdurara siempre, y por su talento que fue excepcional, además de otras cualidades como su valor y su dedicación a la ciencia.Sus primeros trabajos en Teoría de Números los conocemos a través de su correspondencia con C. F. Gauss, con el que mantenía oculta su identidad bajo el pseudónimo de Monsieur Le Blanc. El teorema que lleva su nombre fue el resultado más importante, desde 1753 hasta 1840, para demostrar el último teorema de Fermat, además permitió demostrar la conjetura para n igual a 5. Posteriormente sus investigaciones se orientaron a la teoría de la elasticidad y en 1816 consiguió el Premio Extraordinario de las Ciencias Matemáticas que la Academia de Ciencias de París otorgaba al mejor estudio que explicara mediante una teoría matemática el comportamiento de las superficies elásticas y publicó varios libros sobre este tema. En los últimos años de su corta vida, además de dos trabajos matemáticos, uno sobre la curvatura de superficies y otro sobre teoría de números, escribió un ensayo sobre filosofía de la ciencia que Augusto Comte citó y elogió en su obra La historia de Sophie es la de una matemática brillante que no pudo lograr su pleno desarrollo porque en sus años de formación no pudo acceder a una educación matemática formal y en su madurez tuvo que trabajar en solitario porque una jerarquía científica, totalmente masculina, la excluía. Tener una formación autodidacta, anárquica y con lagunas le perjudicará toda su vida. Su aislamiento no fue tan evidente cuando trabajaba en teoría de números, pero cuando comenzó a trabajar en física matemática no tuvo, en un primer momento, los últimos conocimientos matemáticos que entonces se estaban utilizando y que requerían un trabajo cada vez menos solitario y ligado a la comunidad científica. Aunque su obra merecía el reconocimiento académico, nunca recibió título alguno. Una calle de París y un Liceo llevan su nombre, y una placa, en la casa donde murió, (el número 13 de la rue de Savoie) la recuerda como matemática y filósofa. Actualmente, el Instituto de Francia, a propuesta de la Academia de Ciencias, concede anualmente “Le prix Sophie Germain” al investigador que haya realizado el trabajo más importante en Matemáticas, pero todo este reconocimiento es póstumo, ya que incluso en su certificado de defunción lo que figura como profesión es rentista y no matemática.<br />CORRESPONDENCIA CON LAGRANGE<br />Nadie prestaba atención a las ideas de Sophie, que progresó con rapidez desde el estudio de las bases matemáticas hasta adentrarse en los nuevos mundos abiertos por Newton. <br />En 1775 se fundó la escuela Politécnica de París en el cual no se admitieron mujeres hasta 1972. Cuando se inauguró, Sophie tenía 19 años de edad.<br /> A finales del siglo XVIII solamente las más altas damas de la aristocracia recibían una mínima formación científica, siempre a través de libros adecuados a su “inferior” mentalidad, del tipo: Astronomía para damas, con el contenido mínimo para que pudieran conversar con cierta propiedad si surgían temas científicos en las reuniones de la alta sociedad.<br />Sophie obtuvo los apuntes de muchas asignaturas de la École Polytechnique. Al final de un curso de Lagrange sobre análisis, usando el seudónimo de M. Le Blanc, Sophie presentó un ensayo cuya originalidad y perspicacia hizo que Lagrange buscara a su autor. Cuando descubrió que 'M. Le Blanc' era una mujer, y que hubiese tomado una falsa identidad no le supuso ningún problema a Lagrange si no todo lo contrario, la felicitó personalmente, la animó para seguir estudiando y le predijo un gran éxito como Analista. Además el respeto por su trabajo permaneció y él se convirtió en su padrino y en su consejero matemático. La educación de Sophie, sin embargo, era desorganizada y fortuita y ella jamás recibió la formación profesional que quería.<br />CORRESPONDENCIA CON GAUSS<br />En 1804, después de leer a Carl Friedrich Gauss en su famoso Disquisitiones Aritmeticae (1801), comenzó a cartearse con éste, de nuevo bajo pseudónimo. Dos años después, durante la invasión napoleónica de Prusia, también Gauss conoció su verdadera identidad, cuando Germain intercedió ante uno de los generales de Napoleón Bonaparte (Pernety), a quien Germain conocía personalmente, para que le resguardara de cualquier daño ante la ocupación de la ciudad natal de Gauss en Brunswick (Braunschwig). Sophie temía que Gauss pudiera correr un destino similar al de Arquímedes y le confió a Pernety sus temores; éste localizó al matemático alemán y le dijo quien era su protectora (lo que confundió a Gauss ya que nunca había oído hablar de ella). Entonces Germain le escribió a Gauss una carta en la que admitía su condición femenina; a lo que Gauss contesto lo siguiente:<br />Pero cómo describirte mi admiración y asombro al ver que mi estimado corresponsal Sr. Le Blanc se metamorfosea en este personaje ilustre que me ofrece un ejemplo tan brillante de lo que sería difícil de creer. La afinidad por las ciencias abstractas en general y sobre todo por los misterios de los números es demasiado rara: lo que no me asombra ya que los encantos de esta ciencia sublime sólo se revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella. Pero cuando una persona del sexo que, según nuestras costumbres y prejuicios, debe encontrar muchísimas más dificultades que los hombres para familiarizarse con estos espinosos estudios, y sin embargo tiene éxito al sortear los obstáculos y penetrar en las zonas más oscuras de ellos, entonces sin duda esa persona debe tener el valor más noble, el talento más extraordinario y un genio superior. De verdad que nada podría probarme de forma tan meridiana y tan poco equívoca que los atractivos de esta ciencia que <br />Ha enriquecido mi vida con tantas alegrías no son quimeras que las predilección con la que tú has hecho honor a ella. Carl Friedrich Gauss.<br />Sin embargo, en 1808 cuando Gauss fue nombrado profesor de astronomía en la Universidad de Göttingen, el interés del matemático se derivó hacia las matemáticas aplicadas y ambos dejaron de cartearse.<br />Final del formulario<br />MARIN MERSENNE<br />Matemático, teólogo, filósofo y músico (1588 Oizé in Maine, Francia, 1648 Paris, Francia)<br />Marin Mersenne nació en Oizé, provincia de Maine, Francia el 8 de septiembre de 1588 y fue bautizado el mismo día. Desde temprana edad mostró signos de devoción y gusto por el estudio.<br />Sus padres, lo enviaron al Collège du Mans donde estudió gramática.<br />A los 16 años, Mersenne quiso irse a la nueva escuela de los jesuitas en La Flèche, donde no importaba la situación económica, sino el interés por el estudio. Es significativo que también Descartes, que era 8 años más joven estudió en la misma escuela. Aunque no se hicieron amigos hasta mucho mas tarde.<br />En Paris, estudió en el Collège Royale du France, continuando su educación en filosofía y teología en la Sorbonne, donde obtuvo el grado de Magister Atrium. Terminó sus estudios en 1611 y, con una educación privilegiada, decidió que estaba listo para entrar en un monasterio donde seguiría estudiando.<br />La orden de los Mínimos, que había sido fundada por San Francisco de Paula en 1436, estaba creciendo en esa época. Se creían los mínimos de todas las religiones del mundo, y se dedicaban a rezar, estudiar y dar clases. Charles VIII introdujo la orden en Francia y pronto fueron llamados 'les bons hommes'.<br />Después de la revolución francesa la orden disminuyó considerablemente y hoy día sólo se conservan unos pocos conventos en Italia. Mersenne entró en la orden el 16 de julio de 1611, fue ordenado cura en Paris en julio de 1612.<br />Mersenne empezó a darse cuenta que era la ciencia lo que realmente le interesaba. Creía que las matemáticas eran la base de las ciencias y de Dios. Desde 1623, comenzó a relacionarse con una serie de sabios de toda Europa e incluso Constantinopla y Transylvania (Hungría), con los que se encontraba en su convento o bien mantenía correspondencia. Su actividad pronto fue conocida como la Academia Parisiensis y también como la Academia Mersenne.<br />Mersenne estudió la cycloide durante años y sus resultados se publicaron en Quaestiones in Genesim (1623), Synopsis mathematica (1626) y Questions inouyes(1634). Dió la definición como el lugar geométrico de los puntos del plano a distancia h del centro de un círculo de radio a, que se enrolla en una línea recta. Estableció sus propiedades incluyendo la igualdad de longitudes de la línea base y la longitud de la circunferencia. En 1638, más tarde Roberval por integración halló el área encerrada por la curva.<br />Hoy día el nombre de Mersenne es recordado por los números primos de Mersenne.<br />Trató de encontrar una fórmula para todos los primos, en su lugar encontró que ciertos primos eran de la forma 2p - 1 eran interesantes. Por ejemplo, si n = 2p - 1 es primo entonces necesariamente p lo es. En 1644, Mersenne afirmó que n es primo para p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257 pero que para los otros 44 primos menores que 257 salen números compuestos.<br />Murió el 1 de septiembre de 1648 en Paris, con 60 años. En su testamento dispuso que su cuerpo sirviera para la investigación médica. Después de su muerte, en su celda se descubrieron manuscritos científicos que fueron publicados en 1651, L'optique et la catoptrique. También muchas cartas de otros científicos.<br />NÚMEROS DE MERSENNE<br />Marin Mersenne (1588 - 1648) fue un matemático, filósofo y científico francés. Los números de Mersenne se definen por QUOTE = QUOTE − 1, para n un entero positivo. Si Mn es primo, entonces n es primo. Sin embargo, no se tiene el reciproco: en 1536 H. Regius observo que M11 = QUOTE – 1 = 2047 = 23 . 89. Mersenne aventuro en su libro Cogitata Physico-Mathematica (1644) una lista de números de Mersenne primos y de manera que n ≤ 257.<br /> En su lista hay errores, le sobran dos y le faltan tres. Los números de Mersenne Mn que son primos para n ≤ 257 corresponden precisamente a n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127. Ya que los criterios para primos de Mersenne son relativamente simples (uno de ellos es el criterio de Lucas, basado en el Teorema Pequeño de Fermat, mejorado por Lehmer, Kraitchik y Pockling), el record de primo mas grande conocido casi siempre ha sido un primo de Mersenne.<br /> El 44º primo de Mersenne conocido (que no es necesariamente el 44º primo de Mersenne que existe) es M32582657 = 232582657 – 1, con 9 808 358 dígitos, encontrado por C. Cooper y S. Boone el 4 de septiembre de 2006. <br />Actualmente, el mayor número primo que se conoce es M43112609 = 243112609 – 1, que tiene 12, 978, 189 cifras en el sistema decimal. Se trata Cronológicamente del 45º número primo de Mersenne conocido y su descubrimiento se anunció el 23 de agosto de 2008, gracias al proyecto de Computación distribuida «Great Internet Mersenne Prime Search» (GIMPS).<br />Desde entonces, se han descubierto otros dos números primos de Mersenne, pero son menores que el 45 º.<br /> Los ocho primeros números primos de Mersenne son: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647.<br />PROYECTO MERSENNE<br />El mejor método conocido actualmente para comprobar la primalidad de los números de Mersenne es la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer . Specifically, it can be shown that for prime p > 2, M p = 2 p − 1 is prime if and only if M p divides S p −2 , where S 0 = 4 and, for k > 0, En concreto, se puede demostrar que para el primer p> 2, M p = 2 p - 1 es primo si y sólo si M p divide a p S-2, donde S 0 = 4 y, para k> 0, <br />Graph of number of digits in largest known Mersenne prime by year - electronic era. Gráfico del número de dígitos en el mayor número primo de Mersenne conocido por años - era electrónica. Note that the vertical scale, the number of digits, is a double logarithmic scale of the value of the prime. Tenga en cuenta que la escala vertical, el número de dígitos, es una escala logarítmica doble del valor de la prima. <br />The search for Mersenne primes was revolutionized by the introduction of the electronic digital computer. Alan Turing searched for them on the Manchester Mark 1 in 1949. [ 4 ] But the first successful identification of a Mersenne prime, M 521 , by this means was achieved at 10:00 PM on January 30, 1952 using the US National Bureau of Standards Western Automatic Computer (SWAC) at the Institute for Numerical Analysis at the University of California, Los Angeles , under the direction of Lehmer , with a computer search program written and run by Prof. RM Robinson . In September 2008, mathematicians at UCLA participating in GIMPS won part of a $100,000 prize from the Electronic Frontier Foundation for their discovery of a very nearly 13-million-digit Mersenne prime. On April 12, 2009, a GIMPS server log reported that a 47th Mersenne prime had possibly been found.¿En qué consiste este proyecto?<br />Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS, quot;
Gran búsqueda de números primos de Mersenne por Internetquot;
) es un proyecto colaborativo de voluntarios que utilizan los programas gratuitos Prime95 y MPrime con el fin de buscar números primos de Mersenne. George Woltman ha fundado el proyecto y escrito los programas que se encargan de analizar números de Mersenne. Scott Kurowski ha programado el servidor PrimeNet que sostiene la investigación.<br />El proyecto utiliza principalmente el Test de Lucas-Lehmer[1] un algoritmo especializado en el análisis de la primalidad de números de Mersenne y especialmente eficiente en arquitecturas informáticas binarias. También dispone de una fase de divisiones sucesivas que tarda horas en vez de semanas y que se emplea para eliminar rápidamente números de Mersenne que tienen factores pequeños (que suponen una gran proporción de los candidatos). Asimismo, el proyecto también se vale del algoritmo p-1 de Pollard para buscar factores mayores.<br />El 12 de abril de 2009, un registro del servidor GIMPS informó que un primo de Mersenne 47a había sido posible encontrar. This report was apparently overlooked until June 4, 2009. Este informe ha sido pasado por alto al parecer, hasta junio 4, 2009. The find was verified on June 12, 2009. El hallazgo se verificó el 12 de junio de 2009. The prime is 2 42,643,801 − 1. El número primo es 2 42,643,801 - 1. Although it is chronologically the 47th Mersenne prime to be discovered, it is less than the largest known which was the 45th to be discovered. A pesar de que es cronológicamente el 47 º primo de Mersenne por descubrir, que es menor que el más grande conocido, que fue el 45to de ser descubierto. <br />PRIMOS DE SOPHIE GERMAIN<br />Un número natural distinto de 1 es un número primo si sólo tiene dos divisores,<br />él mismo y la unidad.<br />Un número Primo es de Sophie Germain si:<br />Dado p primo, es de Sophie Germain si 2p+1 también es primo.<br />Los primos de Sophie Germain son los primos p para los cuales 2p + 1 es primo también.<br />La colección de primos de S. Germain comienza como sigue:<br />2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, …<br />Veamos los primeros:<br />2 -> 2·2+1=5 (primo) -> 2 es primo de Germain<br />3 -> 2·3+1=7 (primo) -> 3 es primo de Germain<br />5 -> 2·5+1=11 (primo) -> 5 es primo de Germain<br />7 -> 2·7+1=15 (no primo) -> 7 no es primo de Germain<br />11 -> 2·11+1=23 (primo) -> 11 es primo de Germain<br />Existen 190 números primos de Sophie Germain en el intervalo [1, 10000]<br />2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1013, 1019, 1031, 1049, 1103, 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559, 1583, 1601, 1733, 1811, 1889, 1901, 1931, 1973, 2003, 2039, 2063, 2069, 2129, 2141, 2273, 2339, 2351, 2393, 2399, 2459, 2543, 2549, 2693, 2699, 2741, 2753, 2819, 2903, 2939, 2963, 2969, 3023, 3299, 3329, 3359, 3389, 3413, 3449, 3491, 3539, 3593, 3623, 3761, 3779, 3803, 3821, 3851, 3863, 3911, 4019, 4073, 4211, 4271, 4349, 4373, 4391, 4409, 4481, 4733, 4793, 4871, 4919, 4943, 5003, 5039, 5051, 5081, 5171, 5231, 5279, 5303, 5333, 5399, 5441, 5501, 5639, 5711, 5741, 5849, 5903, 6053, 6101, 6113, 6131, 6173, 6263, 6269, 6323, 6329, 6449, 6491, 6521, 6551, 6563, 6581, 6761, 6899, 6983, 7043, 7079, 7103, 7121, 7151, 7193, 7211, 7349, 7433, 7541, 7643, 7649, 7691, 7823, 7841, 7883, 7901, 8069, 8093, 8111, 8243, 8273, 8513, 8663, 8693, 8741, 8951, 8969, 9029, 9059, 9221, 9293, 9371, 9419, 9473, 9479, 9539, 9629, 9689, 9791 <br />Se ha propuesto una estimación heurística del cardinal del conjunto de los números primos de Sophie Germain menores que x en torno a (C2 x) / (log x)2 donde C2 es la constante de los números primos gemelos (aproximadamente 0,660161). <br />Pero, para x=10.000, esta estimación indicaría que hay 413 números primos de Sophie Germain, lo que, a todas luces, resulta demasiado impreciso. <br />Una sucesión de números QUOTE todos ellos primos, tales que QUOTE para todo QUOTE , se denomina cadena (completa) de Cunningham de primera especie, y se cumple por definición que cada uno de los términos, salvo el último, es un número primo de Sophie Germain. Se cree que para todo n natural existen infinitas cadenas de Cunningham de longitud n, aunque hasta la fecha nadie ha proporcionado prueba de que dicha afirmación sea cierta.<br />El mayor número primo de Sophie Germain conocido hasta la fecha (octubre de 2008) es el número <br />que tiene 51, 910 dígitos y fue hallado el 25 de enero de 2007<br /> Se conjetura que existen infinitos números primos de Sophie Germain, pues, al igual que la conjetura de los números primos gemelos, aún no se ha demostrado. <br />No se sabe si la cantidad de primos de Germain es infinita.<br />RELACIÓN ENTRE NÚMEROS DE MERSENNE<br />Y PRIMOS DE S. GERMAIN<br />Euler probo en 1750 que si p es un primo mayor que 3<br />y p ≡ 3 mod 4, entonces p es un primo de S. Germain<br />(Que, desde luego, aun no llevaba ese nombre) si y solamente si 2p + 1 divide al numero de Mersenne Mp y por tanto, en este caso, Mp es compuesto.<br />Por ejemplo, sea p = 7. Tenemos p > 3 y p ≡ 3 mod 4.<br />Observamos que 7 no es primo de S. Germain ni 15 divide a M7 = 127 que, por cierto, en este caso es primo.<br />Otro ejemplo, si p = 11, entonces p > 3 y p ≡ + 3 mod 4. Tenemos que 11 si es primo de S. Germain y que 23 divide a M11 = 2047 = 23 • 89. <br />Finalmente, sea p = 43.<br />También p > 3 y p ≡ 3 mod 4. El primo 43 no es primo de S. Germain ni 87 divide a<br /> M43 = 431 • 9 719 • 2 099863, que en este caso no es primo.<br />El criterio anterior permite, en algunos casos, determinar que un número de Mersenne es compuesto y presentar un factor, pero, como se observa en los ejemplos, no determina si un número de Mersenne es primo.<br />SOPHIE GERMAIN Y EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT<br />Germain había estudiado la obra de Gauss (no publicó nada sobre el U.T.F)<br />75 años antes de la carta de Germain a Gauss, Euler publicó el U.T.F para el caso n = 3. Desde entonces nadie pudo probar otros casos particulares.<br />Germain (no quería probar casos particulares) escribió a Gauss lo que ella llamaba una aproximación general al problema, Germain adoptó la estrategia: sea p primo y (2p+1) también primo. Los primos de Germain incluyen al 5, pero no al 13 (pues 27 no es primo). <br />En 1808, Sophie le comunicó uno de sus mayores descubrimientos en la Teoría de Números que decía: Si x, y, z son números enteros tales que x5+y5+z5=0 entonces, al menos uno de los números x, y o z debe ser divisible por 5. <br />Germain partió de la base del Último teorema de Fermat que afirma que “si n es cualquier entero igual a 3 o mayor, no existen números enteros no nulos que cumplan la ecuación: QUOTE <br />Si sustituimos n por un número primo de Sophie Germain tendríamos QUOTE donde p y 2p+1 son primos. Y Sophie Germain demostró que en este caso la ecuación de Fermat no tiene soluciones no nulas.<br />Un caso especial dice que si p y 2p + 1 son ambos primos, entonces la expresión de la conjetura de Fermat para la potencia p implica que uno de los x, y ó z es divisible por p. En consecuencia la conjetura se divide en dos casos:<br />Caso 1: Ninguno de los x, y, z es divisible por p.<br />Caso 2: Uno y sólo uno de x, y, z es divisible por p.<br />Sophie Germain demostró el Caso 1 del Último Teorema de Fermat para toda n menor a 100 y Legendre extendió sus métodos para todos los números menores a 197. Hasta ese punto, el Caso 2 no se había demostrado ni siquiera para n = 5 así que quedó claro que el Caso 2 era en el que había que concentrarse. Ahora bien, el Caso 2 para n = 5 se divide a su vez en dos. Una de x, y o z es par y una de ellas es divisible entre 5. El Caso 2(i) es en el que el número divisible entre 5 es par; el Caso 2(ii) es en el que el número par y el que es divisible entre 5 son diferentes.El Caso 2(i) lo demostró Dirichlet y fue presentado a la Academia de Ciencias de París en Julio de 1825. Legendre pudo probar el Caso 2(ii) y la demostración completa para n fue publicada en septiembre de 1825. De hecho, Dirichlet pudo completar su propia demostración del caso para n = 5 con un argumento para el Caso 2(ii) que es una extensión de su propio argumento para el Caso 2(i).En 1832, Dirichlet publicó una demostración para el último teorema de Fermat cuando n = 14. Claro que estaba tratando de demostrar el caso n = 7 pero había demostrado un resultado más débil. El caso n = 7 fue finalmente resuelto por Lamé en 1839. Mostraba por qué Dirichlet había tenido tanta dificultad ya que, aunque en la prueba de Dirichlet para n = 14 se usaban argumentos similares (pero computacionalmente mucho más difíciles) a los casos anteriores, Lamé tuvo que introducir algunos métodos totalmente nuevos. La demostración de Lamé es extremadamente difícil y hace parecer como que progresar a n más grandes sería casi imposible sin formas de pensar radicalmente novedosas.El año 1847 es de gran importancia en el estudio del Último teorema de Fermat. El 1 de marzo de ese año, Lamé anunció a la Academia de París que había demostrado el Último teorema de Fermat. Esbozó una prueba que involucraba factorizar xn + yn = zn en factores lineales de números complejos. Lamé aceptaba que la idea le había sido sugerida por Liouvilli. Sin embargo, Liouville se dirigió a los asistentes después que Lamé y sugirió que el problema con este acercamiento era que se necesitaba una factorización única en primos para estos números complejos y dudaba que fuera cierta. Cauchy apoyó a Lamé pero, en su típica manera, apuntó que había reportado a la reunión de la Academia en octubre de 1847 una idea que creía que podría demostrar el Último teorema de Fermat.Mucho trabajo se llevó a cabo durante las siguientes semanas tratando de demostrar que la factorización era única. Wantzel afirmó haberla probado el 15 de marzo pero su argumento<br />Es verdadero para n = 2, n =3 y n =4 y uno puede ver fácilmente que lo mismo aplica para n>4 era un tanto ingenuo.Wantzel estaba en lo correcto sobre n = 2 (enteros ordinarios), n = 3 (el argumento sobre el que Euler estaba equivocado) y n = 4 (que fue demostrado por Gauss).<br />Primos RegularesUn entero primo es regular si y sólo si p2 no divide ninguna de las sumas <br />1k + 2k + 3k + ... + (p-1)k, con k = 2, 4, 6, ..., p-3. <br />Por ejemplo, todos los primos menores que 37 son regulares. <br />Los primeros primos regulares son:<br />3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, …<br />Se ha conjeturado que existe un número infinito de primos regulares. <br />Históricamente, los primos regulares fueron analizados por primera vez por Ernst Kummer, quien pudo probar que el último teorema de Fermat es cierto para exponentes de números primos (y por lo tanto para todos los exponentes que eran múltiplos de primos regulares).<br />Primos Irregulares.<br />Un número primo que no es regular es un primo irregular. El número de Bk con numerador divisible por p se llama el índice de irregularidad de p. Johan Jensen demostró en 1915 que existe una cantidad infinita de primos irregulares, los primeros son:<br />37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, …<br />El 24 de mayo, Liouville leyó una carta a la Academia la cual resolvió la discusión. La carta era de Kummer y traía adjunto una separata de un artículo de 1844 que demostraba que fallaba la factorización única pero que podía 'recuperarse' con la introducción de números complejos ideales, lo cual había hecho en 1846. Kummer había usado su nueva teoría para encontrar condiciones bajo las cuales un primo es regular y había demostrado el Último teorema de Fermat para los primos regulares. Kummer también decía en su carta que creía que el 37 no cumplía con sus condiciones.Para septiembre de 1847, Kummer envió a Dirichlet y a la Academia de Berlín un artículo en el que probaba que un primo p es regular (y que entonces cumple con el último teorema de Fermat) si p no divide a los numeradores de ninguno de los números de Bernoullin B2, B4,..., Bp-3. El número de Bernoulli Bn se define como<br />x/(ex - 1) = Bn xn/n!<br />Kummer demuestra que todos los primos menores a 37 son regulares pero el 37 no lo es ya que divide al numerador de B32.Los únicos primos menores a 100 que nos son regulares son 37, 59 y 67. Se usaron técnicas más fuertes para demostrar el último teorema de Fermat para estos números. Este trabajo fue hecho y continuado para números más grandes por Kummer, Mirimanoff, Wieferich, Furtwängler, Vandiver y otros. Aunque se esperaba que el número de primos regulares fuera infinito, probarlo también era un reto. En 1915 Jensen demostró que el número de primos irregulares es infinito.<br />El teorema de Fermat al pasar los años continuó siendo un problema grandísimo de resolver hasta hace unos años que fue resuelto por Andrew Wiles.<br />Sir Andrew John Wiles HYPERLINK quot;
http://es.wikipedia.org/wiki/Orden_del_Imperio_Brit%C3%A1nicoquot;
quot;
Orden del Imperio Británicoquot;
KBE HYPERLINK quot;
http://es.wikipedia.org/wiki/Royal_Societyquot;
quot;
Royal Societyquot;
FRS (n. HYPERLINK quot;
http://es.wikipedia.org/wiki/Cambridgequot;
quot;
Cambridgequot;
Cambridge, Inglaterra, 11 de abril de 1953) es un matemático británico. Alcanzó fama mundial en 1993 por la demostración del último teorema de Fermat. <br />Hablar del quot;
Ultimo Teorema de Fermatquot;
y de como el sueño y ambición de un niño se convierte en motivación profesional en la edad adulta, hasta casi rozar la obsesión por alcanzar tan ambicioso resultado.Wiles fué capaz de hacer uso de herramientas matemáticas desarrolladas durante el s.XX, para hacer una demostración de dicho Teorema (quot;
No existe solución en los enteros para la ecuación si n>2quot;
). Es chocante que la demostración de un Teorema que había tenido en jaque a la Comunidad Matemática durante más de 350 años, surgiera como una consecuencia quot;
casi sin importanciaquot;
de la demostración de la Conjetura Taniyama-Shimura que dice que quot;
Cada curva elíptica puede asociarse unívocamente con un objeto matemático denominado forma modularquot;
. Si el Último Teorema de Fermat fuese falso, entonces existiría una curva elíptica tal que no puede asociarse con ninguna forma modular, y por lo tanto la conjetura de Taniyama-Shimura sería falsa. Por lo tanto, Taniyama-Shimura demuestra el último Teorema de Fermat.<br />CONCLUSIÓN<br />“Las mujeres también han tenido a lo largo de la historia muchas y serias dificultades para introducirse en el mundo de la ciencia y en concreto en el de las matemáticas”.<br /> A pesar de la época revolucionaria en la que le tocó vivir, las instituciones académicas y los prejuicios contra las mujeres sabias mantuvieron a Sophie al margen de la comunidad científica en una época en la que ya era indispensable pertenecer a ella si se deseaba realizar seriamente algún trabajo de investigación.<br /> Sophie Germain es un ejemplo de tenacidad y perseverancia que nos manifiesta el gran aprecio que tuvo hacia las Matemáticas y todo lo que tuvo que pasar para realizar sus impresionantes aportes a esta rama.<br /> También podemos terminar recordando una de las máximas contribuciones de Sophie Germain tiene que ver con el teorema de Fermat. La aportación de Sophie a la historia del teorema de la resolución de Fermat consistió en la demostración de la imposibilidad de soluciones enteras positivas de la ecuación xn + yn = zn con la condición de que x, y, z no sean simultáneamente múltiplos de n, para todo n menor que 10, utilizando los primos de Germain.<br />RECOMENDACIONES<br />Así como la aportación de Sophie Germain a la historia de la resolución del Último Teorema de Fermat tuvo una gran importancia en el desarrollo del mismo, podemos mencionar que no importa cuan difícil sea el problema que se está abordando, es importante nuestra colaboración para que en futuros años alguien lo resuelva, para que así la Matemática continúe desarrollándose.<br />El interés, la tenacidad y el empeño que uno le ponga a una investigación hará siempre la diferencia.<br />Con el desarrollo de este trabajo trato de dar a conocer a algunos matemáticos que entregaron su vida completa a lograr triunfos en Matemática y tratar de que ésta se desarrollara. También podemos decir que hay grandes problemas en la Matemática que desean ser abordados. <br />También para cuando se imparte clase opino que se debería hacer referencias históricas del tema a considerar. Esto haría que el estudiante se entusiasme y no vea las matemáticas como algo sumamente difícil y aburrido.<br />REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS<br />http://es.wikipedia.org/wiki/Sophie_Germain.<br />http://www.astroseti.org/articulo/3551/<br />http://es.scribd.com/doc/55446923/71/La-caracterizaci´on-de-los-primos-regulares.<br />http://ddd.uab.cat/pub/pubsecmat/02102978v2p94.pdf<br />http://www.alpoma.net/tecob/?p=270<br />