Teoremas de Fermat, Wilson y Euler

Universidad de Panamá Facultad de Ciencias Naturales y Exactas Licenciatura de Matemáticas Trabajo de Graduación Tema: Los Teoremas de Fermat, Wilson y Euler: Profesor: Jaime Gutiérrez Estudiante: Francisco Javier Urriola 9-721-189 Año: IV Año: 2011 Dedicatoria Dedico este trabajo con mucho cariño a mi familia por trabajar en conjunto para que hoy mis metas sean una realidad. A mis padres Francisco y Ramona Urriola, mi hermano David, José Luis y Fernando gracias por el esfuerzo que día tras día me brindaron para obtener una buena educación. Agradecimiento En primer lugar doy gracias a Dios por permitirme seguir adelante cada día de vida, por brindarme la Fe, Fuerza y Sabiduría para continuar en todo momento en esta carrera y que fueron necesarios para lograr mis sueños. Gracias señor por tu bendición. Agradezco al profesor que dicto el seminario El Dr. Jaime Gutiérrez por la oportunidad brindada en este trabajo de graduación, a todos los Profesores de la licenciatura por brindarme la oportunidad de adquirir nuevos conocimiento a la Profesora Teresita de Ávila, Edith de Hernández por su consejo para seguir adelante. También quiero agradecer al Profesor Manuel Avilés y familia por brindarme su apoyo en todo momento, a quien aprecio y respeto y quien considero otro hermano mas de mi familia. INDICE Dedicatoria Agradecimiento Índice General Introducción. Reseña Histórica. Contenido Sección 1: Congruencias: Definición, propiedades y teorema de congruencias. Sección 2: Teorema de Fermat: Biografía de Fermat Definición del Teorema de Fermat. Demostración del Teorema de Fermat. Consecuencias del Teorema de Fermat. Sección 3: Teorema de Fermat Biografía de Wilson. Definición del Teorema de Wilson. Demostración del Teorema de Wilson. Consecuencias del Teorema de Wilson. Sección 4: Teorema de Euler: Biografía de Euler. Definición del Teorema de Euler. Función Indicatriz de Euler. Demostración del Teorema de Euler. Consecuencias del Teorema de Euler Sección 5: Solución de problemas aplicando los teoremas estudiados. Recomendaciones y Conclusión. INTRODUCCIÓN El siguiente trabajo de graduación tiene como objetivo el estudio de tres teoremas relacionados con la Teoría de Números, pero antes cabe destacar una pequeña definición de La teoría de Números para tener conocimiento de lo que se está estudiando. La Teoría de Números es la rama de las Matemática que estudia las propiedades aritméticas de los números enteros, donde las propiedades aritméticas son aquellas que tienen que ver con suma y producto de números. Por ejemplo, dado un número entero n, el problema de hallar todos sus divisores es un problema típico de la Teoría de Números. Estudiar la Teoría de Número es estudiar la obra de grandes genios que se dedicaron a ella y es una excelente forma de adquirir lo que se conoce como madurez Matemática. Se considera como el área mas rica de las Matemáticas en ella confluyen las demás y de ella nacen muchas otras, es por esto que Gauss la llego a considerar como la reina de las Matemáticas. En el siguiente trabajo les presentaremos tres teoremas importantes en el campo de la Teoría de Números que son los Teoremas de Wilson, el Teorema de Fermat y el Teorema de Euler. Ellos nos permitirán entre otras cosas, decidir de una manera rápida cuando un número es primo. Presentaremos una reseña histórica del tema antes mencionado, una pequeña introducción de Congruencias y Teoremas que serán de gran ayuda para el desarrollo del tema, biografía y demostración de los Teoremas de Fermat, Wilson y Euler, consecuencias de los mismos y solución de problemas aplicando dichos teoremas. Para del desarrollo de esta monografía hemos realizado un minucioso estudio de la biografía de los Teoremas Fermat, Wilson y Euler, y teoremas necesarios para su desarrollo, tomando como referencias libros y textos de Teoría de Números y consultas con el profesor. Esperando que este trabajo sirva de referencia para aquellos que en algún momento lo requieran para el estudio de la Teoría de Números y la importancia de la Teoría de Número en el desarrollo de la Matemática. Reseña Histórica: El estudio de los Teoremas de Fermat, Wilson y Euler nacen a raíz del origen de la Teoría de Números, esta teoría se remonta a los orígenes de la civilización, a partir de ellos aparecen los primeras estudios que se hallan escritos en símbolos cuneiforme, podemos mencionar que en la antigüedad los problemas se resolvían de manera particular sin dar un método general para hallar las soluciones. Es importante afirmar que la civilización China fue la primera cultura en estar interesada en la Aritmética Modular e introdujeron el concepto del estudio de los número primo que guarda relación al tema que se está estudiando. Existe una hipótesis, []documentada por Joseph Needham según la cual los números de la forma 2p− 2 fueron estudiados por esta civilización. Así pues, Matemáticos Chinos formularon la hipótesis (a veces conocida como hipótesis China) de que p es primo si y sólo si 2p ≡ 2 (mod p). Es verdad que, si p es primo, entonces 2p ≡ 2 (mod p) (este es un caso especial del pequeño Teorema de Fermat), pero el recíproco (si 2p ≡ 2 (mod p), entonces p es primo) no lo es, por lo que la hipótesis es falsa. Se cree ampliamente que la hipótesis China fue desarrollada 2000 años antes del trabajo de Fermat en el siglo XVII. Aunque la hipótesis sea parcialmente incorrecta, es notable que pueda haber sido conocida por los Matemáticos de la antigüedad. Algunos, sin embargo, sostienen que la creencia de que esta hipótesis fuera conocida hace tanto tiempo es fruto de un error de comprensión, y que se desarrolló realmente en 1872. Alrededor de 1636, Pierre de Fermat enunció el teorema. Aparece en una de sus cartas a su confidente Frénicle de Bessy, fechada el 18 de octubre de 1640, con el siguiente texto: p divide a ap-1 - 1 cuando p sea primo y a sea coprimo o relativamente primo con p.[] Aunque actualmente lo conozcamos como pequeño teorema de Fermat, lo cierto es que hasta el siglo XX fue conocido como teorema de Fermat, como recoge por ejemplo Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones arithmeticae. El término pequeño teorema de Fermat, tal como lo conocemos actualmente, fue usado por primera vez por el matemático Alemán Kurt Hensel en 1913 en su libro Zahlentheorie. He aquí el teorema fundamental que se cumple en cada grupo finito, llamado habitualmente pequeño teorema de Fermat, porque Fermat fue el primero en probar una parte especial de él. Fermat estableció tal resultado en una carta a Frénicle de Bessy, pero como era habitual en él, omitió la prueba del mismo: Todo número primo mide una de las potencias menos uno de cualquier progresión en la que el exponente es un múltiplo del primo dado menos uno, y ésta proposición es generalmente cierta para todas las progresiones y todos los números primos; le enviaría la prueba, si no temiese que es demasiado larga. La primera demostración publicada se debe a Leonhard Euler en 1736 en un artículo titulado Theorematum Quorundam ad Números Primos Spectantium Demonstratio. Daría otras dos demostraciones más a lo largo de su vida, aunque era la primera de todas ellas la misma que había en un manuscrito personal de Gottfried Leibniz, escrito sobre 1683 y que nunca llegó a publicar. Gauss publicaría otra prueba más en su libro Disquisitiones aritmética en 1801. A lo largo de la historia han sido varios los matemáticos que se han fascinado con estudio de los números, y le han dedicado bastante esfuerzo al estudio de estos, una de las interrogantes que más motivaron a los matemáticos por mucho tiempo, fue el encontrar una forma de averiguar si un número era primo o no (hablamos de números grandes que no se pueden deducir a simple vista). El Teorema de Wilson encuentra esta solución, aunque es atribuido a John Wilson por Edward Waring, nunca se encontró pruebas de que fuera de este matemático. Se sabe que fue obra de Alhazen, quien lo postuló ya en el siglo XI. En esta misma línea de investigación, aparece en 1771 una demostración de un teorema propuesto por Wilson: p es un número primo si y sólo si (p - 1)! + 1 es un múltiplo de p. En el campo de la Teoría de Números, Euler inicio una nueva etapa en esta área, al probar algunos teoremas usando métodos del análisis. Esta nueva rama iniciada por Euler se conoce con el nombre de Teoría Analítica de Números. A manera de ejemplo, mencionaremos su demostración de la infinitud de los números primos, la cual se basa en demostrar que la serie 1p diverge, donde p recorre el conjunto de los números primos. Es importante destacar la labor realizada por Euler, al continuar la obra de Fermat, resolviendo algunos problemas difíciles planteados por este ultimo. Así pues, Euler probó en forma general el pequeño teorema de Fermat, el cual ya hemos mencionado, y además dio un resultado mucho más general, para lo cual introdujo una nueva función en los números enteros. Si n es un entero positivo, entonces la función φ(n) de Euler, aplicada a n, es un número entero positivo φ(n) el cual es igual al número de enteros x, 1≤x<n que son primos relativos con n. El teorema del cual hablamos, llamado Teorema de Euler, establece aφp≡1mod p Para todo entero a. Euler poseía una capacidad de cálculo extraordinaria, muy superior a la de cualquier matemático de su época. Fermat había supuesto que todo número de la forma 22n+1 siempre es primo, para cualquier n. Este resultado lo comprobó el mismo Fermat, para los valores de n = 1, 2, 3, 4. Sin embargo Euler probó que para n= 5 el resultado es falso, mostrando la factorización 22n+1=4,294,967,297=6,700,417 x 641. Resultado este, que habla por si sólo de las habilidades de Euler para factorizar números compuestos bastante grandes. Fue Euler quien se ocupó de la Teoría de Números de una manera definitiva. Comenzó estudiando los teoremas de Fermat, para desarrollar a continuación todos los aspectos de esta teoría. A él debemos la actual Teoría de Congruencias, a la que llegó tras extensos trabajos sobre la divisibilidad y tras introducir el concepto de raíz primitiva según el módulo m. El Teorema de Fermat quedó demostrado como un resultado del teorema de Euler, pues es un corolario del teorema de Euler. En notación de congruencias, el teorema de Fermat establece que: Si p es un número primo y a es un entero no divisible por p, entonces aφ(p)≡1(modp) Dado que si p es un número primo, todos los números {1,2,3,….,p-1} son primos relativos con p, se cumple que φp=p-1 y por tanto el teorema de Fermat es una consecuencia directa del teorema de Euler. Por ésta razón al teorema de Euler se le conoce en ocasiones como teorema de Euler -Fermat. Sección 1: Congruencias: En esta sección hablaremos sobre la definición y propiedades más importantes de congruencias que serán de gran importancia en el desarrollo del tema que estamos estudiando. La notación de congruencias fue introducida por Gauss en su libro Disquisitions Arithmeticae, en 1799. Gauss desarrollo gran parte de la teoría de congruencias, planteo muchos problemas interesantes sobre este tema y resolvió algunos de ellos. Uno de los más importantes fue la resolución de la ecuación cuadrática de congruencias. La noción de congruencia se utiliza a diario para medir el tiempo. Por ejemplo las horas del día se cuentan módulo 24, los días de la semana se cuentan módulo 7, etc... En lo sucesivo, m será un entero positivo fijo. Definición: Sea m un entero positivo y a,b dos números enteros. Diremos que a,b son congruentes módulo m si m divide a a-b . Utilizaremos la notación a≡b mod m, es decir, a≡b mod m⇔m|a-b . Ejemplo: 11≡1mod 5, Puesto que 11-1=10 es múltiplo de 5. 23≡2 mod 7, Puesto que 23-2=21 es múltiplo de7, es decir 7|23-2. Observación: Podemos decir que a es congruente a b módulo m si existe un entero k, tal que a=b+km. También se puede definir congruencia, usando el concepto de pertenencia. Más precisamente a es congruente a b módulo m si y solo si a esta en la sucesión de enteros…., b-2m;b-m;b,b+m;b+2m;… Cuando a y b no son congruentes módulo m, diremos que son incongruentes y lo denotaremos por a≢b modm. Teorema: (Propiedades de congruencias). Sean a, b, c y m son tres enteros con m > 0. Se verifica: (a) a≡a modm. (b) Si a≡b mod m, entonces b≡a mod m. (c) Si a≡b mod m y b≡c mod m , entonces a≡c mod m. Demostración: Aplicaremos las propiedades de la divisibilidad: Propiedad Reflexiva: (a) a≡a modm Teniendo en cuenta que m≠0, m|0 ⇔m|a-a ⇔a≡a modm. Propiedad Simétrica: (b) Si a≡b modm,entonces b≡a modm. En efecto, a≡b modm⇔m|a-b ⇔m|(-1)(a-b) ⟹m|b-a ⇔b≡a modm. Propiedad Transitiva: (c) Si a≡b modm y b≡c modm, entonces a≡c modm. En efecto, a≡b modm ⇔m|a-b y b≡c modm ⇔m|b-c ⇒m|a-b+(b-c) ⇒m|a-c ⇒a≡c modm. El Siguiente teorema se la conoce como Ley de la cancelación: Teorema: Si ax≡by modm y mcda,m=1, entonces x≡y modm. Demostración: Dado que ax≡by modm, tenemos que m|a(x-y) y como mcda,m=1. Por el lema de Euclides se tiene que m|(x-y), es decir x≡y modm. Dos números son congruentes si al aplicar el algoritmo de la división a cada uno por el módulo tienen el mismo residuo. En módulo m solo tenemos los residuos 0,1,…,m-1, estos m residuos generan clases de equivalencia que la unión disjunta las hace equipotente con Z. Definición: Si x≡y modm entonces y es llamado residuo de x módulo m. Un conjunto y1,y2,….,ym es llamado un Sistema completo de Residuos si para cada entero x existe un único yj tal que Si x≡yj modm. Definición: Un Sistema Reducido de Residuos es un conjunto de enteros ri tales que ri,m=1, ri no es congruente con rj módulo m si i≠j y tales que ∀x ∈ Z, x,m=1, x≡ri modm para alguna i. La cardinalidad del Sistema Reducido de Residuos módulo m es (φ)m; el sistema dice quienes son los primos relativos a m que están antes de él y (φ)m los cuenta. Entonces definimos ( φ)m como el número de enteros n∈N : n≤m tales que n,m=1. Teorema: Si mcda,m=1 y r1,r2,….., rm, es un sistema completo de residuos modulo m, entonces ar1,ar2,….., arm, también lo es. Demostración: Sabemos que cualquier sistema completo de residuos modulo m debe tener m elementos, así, para ver que los enteros ar1,ar2,….., arm, que son m, forman un sistema completo de residuos modulo m, basta demostrar que este conjunto no tiene elementos repetidos en el sentido de que dos elementos estén en una misma clase de equivalencia, es decir, si ri≡ rj modp sí i≠j . Esto debe ser cierto ya que si ari≡ arj modp implicaría por la ley de cancelación, que ri≡ rj modp. Esto último es una contradicción ya que r1,r2,….., rm, es un sistema completo de residuos modulo m. Ejemplo: el conjunto {1,2,3,4,5} es un sistema completo de residuos modulo 6, así, {1,5} es un sistema reducido de residuos modulo 6. Ejemplo: si p es primo, el conjunto {0,1,…,p-1} es un sistema completo de residuos modulo p y {1,p-1} es un sistema reducido de residuos modulo p. El siguiente lema de los números primos nos permitirá demostrar los teoremas que estamos estudiando. Lema 1: Sea p un primo y sea o<k<p. Entonces k2≡1 modp si y solo si k=1 o k=p-1. Demostración. Si k=1, entonces k2≡1modp. Si k=p-1 , entonces k2= p2-2p≡1modp. Recíprocamente, supongamos que k2≡1 modp. Entonces p| ( p|(k2-1)=k-1(k+1), y como p es primo, se tiene que p|k-1 ó p|(k+1). El único número en {1,2,….,p-1} que satisface p|k-1 es 1, y el único número en {1,2,….,p-1} que satisface p|(k+1) es p-1. Sección 2: Teorema de Fermat: Primero describiremos una pequeña biografía sobre este gran matemático, Iniciando la nueva era de la matemática moderna, encontramos la figura de Pierre de Fermat (1601-1665), sin duda el más grande de los matemáticos del siglo XVII en el área de Teoría de Números. Es en este siglo cuando se dan los mayores avances en casi todas las áreas de matemática, con la invención del cálculo por parte de Issac Newton y Leibniz, y por otra con el descubrimiento de la geometría analítica por Descartes y el mismo Fermat. Fermat, también llamado quot;
el príncipe de los amateursquot;
, era un matemático que trabajaba la mayor parte del tiempo en soledad. Su único contacto con el resto de la comunidad matemática fue gracias a Marin Mersenne. Cabe destacar también un breve intercambio de cartas con Blaise Pascal. Los resultados de Fermat fueron conocidos por otros pensadores europeos gracias a Mersenne, que los reenvió e hizo una amplia distribución. Fermat es mejor conocido por su Enigma, una abstracción del Teorema de Pitágoras, también conocido como último Teorema de Fermat, que preocupó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue resuelto en 1995. Junto con René Descartes, Fermat fue uno de los principales matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. A través de su correspondencia con Blaise Pascal, fue co-fundador de la teoría de probabilidades. El pequeño teorema de Fermat es uno de los teoremas clásicos de Teoría de Números relacionado con la divisibilidad. Se formula de la siguiente manera: Si p es un número primo, entonces, para cada número natural a , ap ≡ a (mod p) Aunque son equivalentes, el teorema suele ser presentado de esta otra forma: Si p es un número primo, entonces, para cada número natural a coprimo con p , ap-1 ≡ 1 (mod p) Esto quiere decir que, si se eleva un número a a la p-ésima potencia y al resultado se le resta a, lo que queda es divisible por p. Su interés principal está en su aplicación al problema de la primalidad y en criptografía. Este teorema no tiene nada que ver con el legendario último teorema de Fermat, que fue sólo una conjetura durante 350 años y finalmente fue demostrado por Andrew Wiles en 1995. Demostración del teorema de Fermat: Para demostrar el teorema de Fermat utilizaremos el teorema anterior de un sistema completo de residuos modulo m. Teorema (De Fermat). Si p es primo, todo entero a satisface ap≡a mod p y todo entero a no divisible por p satisface ap-1≡1 mod p. Demostración: Supongamos primero que p∤a .Como {0,1, 2,3,…, p-1} es un sistema completo de residuos módulo p y mcda,p=1 sabemos por el teorema sistema completo de residuos modulo p que {0a,1a,2a,…p-1a} también es un sistema completo de residuos módulo p. Como 0a=0 tenemos que 1a,2a,…p-1a es un reordenamiento, modulo p de 1, 2,…, p-1. Así, 1a,2a,…p-1a≡1,2,…,p-1 modp ⟹ap-1p-1!≡p-1!modp ⟹ p ∕ap-1-1p-1!, Dado que p∤p-1!, pues p es primo, tenemos que p∕(ap-1-1), es decir ap-1≡1 mod p de donde se obtiene el resultado. Para completar la demostración basta multiplicar ap-1≡1 mod p por a, para obtener ap≡a mod p que sería cierto para p∤a, y es trivialmente cierta en el caso que p∕a. La siguiente demostración del teorema de Fermat utilizaremos el Teorema de Wilson. Teorema de Fermat: Si p es primo, todo entero a satisface ap≡a mod p y todo entero a no divisible por p satisface ap-1≡1 mod p. Demostración: La idea es mostrar que los enteros 1a,2a,…p-1a se reducen modp a 1,2,…p-1, y entonces aplicamos el teorema de Wilson. Hay p-1 números en el conjunto {1a,2a,…p-1a} . Luego, lo que necesitamos probar que ellos son distintos modp. Supongamos que 1≤j,k≤p-1 y aj≡akmodp. Esto significa que p|(aj-ak)=a(j-k), luego p|a ó p|(j-k). El primer caso es descartado por hipótesis, se tiene que p|(j-k). Pero como 1≤j,k≤p-1, se tiene p|(j-k) sólo si j=k. Luego, {1a,2a,…p-1a} son p-1 números distintos modp. Si reducimos modp, obtenemos los números 1,2,…p-1. Luego, 1a.2…p-1a=1.2….p-1=p-1!≡-1modp. Por otra parte, aplicando el teorema de Wilson otra vez, tenemos que 1a.2…p-1a=ap-1p-1!≡-ap-1modp. Esto es, -ap-1≡-1modp. Es decir ap-1≡1modp. Corolario: Si p es primo, entonces ap≡a mod p para todo a. Demostración: Si p/a , entonces ap≡a mod p y a≡0 mod p, luego ap≡a mod p. Si p no divide a a, entonces ap-1≡1 mod p . Multiplicando por a esta congruencia, obtenemos ap≡a mod p. El teorema anterior de un sistema completo de residuos modulo m es de gran utilidad en el desarrollo de la demostraciones de los teorema que estamos trabajando Consecuencias del teorema de Fermat: Se presentaran algunas consecuencias importantes como lemas y teoremas generados por el teorema de Fermat. Lema: Si p y q son primos distintos y a un entero tal que ap≡a mod q y aq≡amod p , entonces apq≡amod pq. Demostración: Utilizando el pequeño teorema de Fermat tenemos apq≡( ap)q ≡apmod q, además sabemos que por hipótesis ap≡ amod q luego qapq-a análogamente tenemos que papq-a. Por ser p,q=1 entonces pqapq-a, luego apq≡amod pq. Teorema: Sean a y b ϵ Z tales que ap≡bpmod p, con p primo entonces ap≡bpmod p2 Demostración: por el teorema de Fermat se tiene que: ap≡ amod p bp≡b mod p Luego a≡bmod p, pues ap≡bpmod p, luego k ϵ Z tal que a= b + kp, de donde se obtiene que ap= b+kpp = bp + p1bp-1kp + p2bp-2k2p2+…..+kppp = bp+ bp-1kp2+ p2[p2bp-2k2 +……+kppp-2]. Luego ap≡bpmod p2. Teorema: Sea p un número primo y a un entero cualquiera entonces p∕ap+ a(p – 1)! Demostración: Por el pequeño teorema de Fermat y el teorema de Wilson tenemos respectivamente que ap≡ a mod p y que a(p – 1)! ≡ -a mod p, luego ap+ a(p – 1)! ≡0 mod p ⇒ p∕ap+ a(p – 1)! Lema: Sea p un primo tal que p∤a. Se tiene que ak(p-1)≡1 modp. Donde k ∈Z+. Demostración: Por el teorema de Fermat obtenemos que ap-1≡1 modp. Luego ak(p-1)≡( ap-1)k ≡1modp. Teorema: Demostrar que: Si p es primo entonces 1(p-1)+2p-1+...+p-1p-1≡-1modp. Si p es un primo impar entonces 1p+2p+...+p-1p≡0modp Demostración: Es claro que por el pequeño teorema de Fermat, 1(p-1)≡1modp 2(p-1)≡1modp ⋮ p-1p-1 ≡1modp Luego de todo lo anterior se tiene: 1(p-1)+2p-1+...+p-1p-1≡p-1≡-1modp. Es claro que por el pequeño teorema de Fermat, 1p≡1modp. 2p≡2modp. ⋮ p-1p≡p-1modp. Luego 1p+2p+...+p-1p≡1+2+p-1≡pp+12≡0modp. Pues p es un número impar y por lo tanto p+12 es un entero. Sección 3: Teorema de Wilson: En cuanto al Matemático John Wilson no tiene una biografía exacta fue alumno de Edward Waring y trabajo en la Teoría de Números obteniendo resultados relacionados con la primalidad de un número entero positivo. El Teorema de Wilson fue atribuido a John Wilson por Edward Waring, quien en 1770 realizó un comentario acerca de que Wilson había dejado anotado el resultado. No hay evidencia de que Wilson hubiese hallado la demostración, y ciertamente Waring no la halló. Fue Lagrange quien, en 1771 dio la primera demostración. Con toda propiedad, el teorema debe ser atribuido a Abu 'Ali al-Hasan ibn al-Haytham, llamado en Occidente Alhazen, quien lo formuló a comienzos del siglo XI. En matemáticas, el Teorema de Wilson es un teorema clásico relacionado con la divisibilidad. Se enuncia de la siguiente manera: Si p es un número primo, entonces (p − 1)! ≡ − 1 (mod p) El recíproco también es cierto, por lo que puede afirmarse que un número n>1 es primo si y sólo si (n− 1)! ≡ − 1 (mod n). Sin embargo, sólo la implicación de arriba es conocida como teorema de Wilson (o Congruencia de Wilson). Por ejemplo, si p = 11, tenemos que: Según el teorema de Wilson 10!≡ 1.2.3…..10(mod 11) ≡ (2.6)(3.4)(5.9)(1.10)(mod 11) ≡ 1.1.1.1.(-1) (mod 11) Si p=5 por el teorema se tiene 4! ≡1.2….4 (mod 5) ≡ (2.3)(1.4)(mod 5) ≡ 1. (-1) (mod 5)≡ -1(mod 5) Demostración del teorema de Wilson: Teorema de Wilson: Si p es un número primo, entonces p-1!≡-1modp . Demostración: Consideremos el conjunto 1,2,3,…,p-1. Sea x2 la solución de la congruencia 2x2 ≡1modp, dado que el mcd2,p=1 sabemos que existe y es única. A x2 lo llamaremos la ¨pareja´´ de 2. Por la unicidad, la pareja de 2 es x2. de la misma manera encontramos la pareja de 3, y así sucesivamente. Ahora, analizaremos en qué casos un número b es su propia pareja, se tendría que b2≡1modp, es decir, b+1b-1≡0modp, cuyos soluciones son b=1 o b=p-1. Todas las parejas las podemos escoger menores que p-1. Entonces p-1!≡2.x23.x3…..modp Multiplicando por p-1 y dado que p-1≡-1modp, tenemos p-1!≡1.1.1…(-1)modp≡-1modp El siguiente teorema es el recíproco del teorema de Wilson. Teorema: si se cumple que p-1!≡-1modp, entonces p es primo. Demostración: Supongamos por contradicción que p es compuesto, es decir, existe un divisor d de p que satisface 1<d<p, por lo que d es un factor de 1.2.3p-1=p-1! y se tiene que p-1!+1≡1modd, por lo tanto p-1!+1≢0modp. Con lo cual se cumple p-1!≢-1modp que contradice la hipotisis, por lo tanto, p no puede ser compuesto y se concluye que p es primo. En la siguiente demostración se aplicara el lema 1, de la sección 1, para la demostración de este Teorema de Wilson. Si p es un número primo, entonces p-1!≡-1mod p Demostración: Como p es primo, todos los elementos de mod p , excepto el 0, son invertibles. Además, los únicos elementos de mod p que coinciden con sus inversos son 1 y p −1. En efecto, sea r cualquiera de elemento mod p y sea x su inverso. Entonces, x = r ⟹ r.r≡1 mod p 1 ⟹ r2-1≡0 mod p ⟹r+1r-1≡0modp ⟹p∕(r+1)(r-1) ⟹pr+1 opr-1 { p es primo} ⟹r+1=0 , r-1=0 mod p ⟹r=-1 , r=1 mod p ⟹r=p-1 o r=1 mod p por el lema 1. Por lo tanto, x≠r si y solo si r≠1 y r≠p-1 en Zp es decir, r ϵ {2,3,…,p-2} si y solo si x ∈ 2,3,…,p-1 luego el producto de todos ellos es 1 en Zp, o sea, 2.3,…,p-2≡1mod p y como p-1≡-1mod p. Multiplicando ambas igualdades miembro a miembro, 2.3,…,p-2p-1≡1-1mod p y, consecuentemente, p-1!≡-1mod p. Consecuencias del teorema de Wilson: Lema: Sean m y n enteros no negativos tales que m+n+1=p, para un p primo entonces, m!n!≡(-1 )m+1modp. Demostración: Por el Teorema de Wilson se tiene que m+n!≡p-1!≡-1modp Luego, Porque por hipótesis se tiene m+n=p-1. m+nm+n-1….m+n-n-1m!≡-1 modp Observemos que m+n=p-1≡-1modp m+n-1=p-2≡-2modp ⋮ m+n-n-1=p-n≡-n modp. De donde se tiene que -1n n!m!≡-1modp y por lo tanto -1m+n+1 m!n!≡-1m+1modp . Si p =2 claramente se obtiene el lema. Si p es impar m+n=p-1 es par, luego m!n!≡(-1 )m+1modp. Teorema: Sea p primo y k un entero tal que 1≤k≤p-1. Si -1kk!≡1modp, entonces p-k-1!≡-1modp. Demostración: Tenemos que p-1!≡p-1p-2…p-kp-k-1!modp. ≡-1k(p-k-1)!modp. ≡(p-k-1)!modp. Utilizando el Teorema de Wilson tenemos p-k-1!≡p-1!≡-1modp. Teorema: Sea p primo y k un entero tal que 1≤k≤p-1. Demostrar k-1!p-k!≡-1k modp. Demostración: Por un lado tenemos que p-1!≡p-1p-2…p-k-1p-k!≡-1k-1k-1!p-1! modp. Por otro lado tenemos que p-1!≡-1modp . Luego -1k-1k-1!p-1!≡-1modp. Y por lo tanto k-1!p-k!≡-1k modp. Sección 4: Teorema de Euler: Después de Fermat, la Teoría de Números permaneció sin muchos progresos por un siglo, hasta la llegada del gran matemático suizo Leonhard Euler, quien nació en 1707 en Basilea. A la edad de 14 años, ingresa a la Universidad de Basilea, en donde recibe clases del célebre matemático Johan Bernoulli I. Demostrando su genialidad desde temprana edad, publica su primer resultado sobre Matemática a los 18 años. En 1726 es llamado a la Academia de San Petersburgo, donde se le ofrece un cargo de profesor. Allí, además de enseñar Matemática, investiga mucho en ciencias aplicadas como física, ingeniería, navegación, construcción naval y cartografía. Luego, en 1741, se traslada a la Academia de Ciencias de Berlín, invitado por el Rey Federico el Grande de Prusia. En esta academia permaneció hasta 1766 cuando la Reina Catalina II de Rusia lo llama nuevamente a la Academia de San Petersburgo, donde permanece hasta su muerte en 1783. La vida de Euler fue una de las más fructíferas que haya tenido matemático alguno. Fue un escritor infatigable: su obra completa alcanza más de 70 volúmenes. Lo más asombroso es la gran cantidad de artículos escritos en los últimos diez años de su vida cuando estaba ciego. Además de estos artículos, Euler escribió un libro llamado Introducción al Análisis Infinito que se puede considerar como el primer libro del análisis moderno y que tuvo mucha anuencia en la evolución de la Matemática posterior a él. Se le considera el principal Matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos. Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática. Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía. En Teoría de Números el teorema de Euler, también conocido como teorema de Euler-Fermat, es una generalización del pequeño teorema de Fermat, y como tal afirma una proposición sobre la divisibilidad de los números enteros. El teorema establece que: Si a y n son enteros primos relativos, entonces n divide al entero aφ(n)- 1 sin embargo, es más común encontrarlo con notación moderna en la siguiente forma: Si a y n son enteros primos relativos, entonces aφ(n) ≡ 1 (mod n) donde φ(n) es la función φ de Euler. El otro concepto involucrado en el teorema de Euler es el de congruencia. En Teoría de Números, se dice que dos números a, b son congruentes respecto a un módulo n, cuando n divide al entero a-b. La congruencia de a, b respecto al módulo n se simboliza como a ≡ b (mod n). Una aplicación del teorema de Euler es en la resolución de ecuaciones de congruencia. Por ejemplo, se desea encontrar todos los números x que satisfacen 5x ≡ 2 (mod 12) en otras palabras, todos los números que al multiplicarlos por 5, dejan residuo 2 en la división por 12. O de otra forma, todos los números x tales que 12 divida a 5x-2. El teorema de Euler dice que 5φ (12) = 54 ≡ 1 (mod 12) Por lo que, multiplicando ambos lados de la ecuación por 53: 53 · 5x ≡53·2 =250 ≡ 10 (mod 12) 54 x ≡ 10 (mod 12) x≡10 (mod 12) Entonces, la conclusión es que, cualquier número que al dividirse por 12 tenga residuo 10, será una solución de la ecuación. Se puede verificar con un ejemplo. Si se divide 34 entre 12, el residuo es 10, por lo que x=34 debe funcionar como solución. Para verificarlo, se divide 34·5=170 entre 12, obtenemos un cociente 14 y un residuo 2, como se esperaba. Definición: Función indicatriz de Euler. La función φ de Euler (también llamada Función indicatriz de Euler) es una función importante en teoría de números. Si n es un número entero positivo, entonces φ(n) se define como el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n.Se define como: φm=|nϵN|n≤m∧mcdm,n=1| Donde |.| significa la cantidad de números que cumplen la condición Primeras propiedades y cálculo de la función: Se sigue de la definición que φ1=1, pues el elemento {1} sólo puede ser primo relativo consigo mismo. Por tanto existe un elemento. Y que: φp=p-1, si p es primo. Cierto porque un número primo es coprimo con todos sus anteriores. Y, por tanto, existe p-1 elementos coprimos con p. φpk=(p-1)pk-1 si p es primo y k es un número natural. Se demuestra con inducción: Supongamos k=1, φp1=φp=p-1p0 =p-1 es cierto,Supongamos cierto (Hipótesis I.) φpk=(p-1)pk-1 . Probemos que se cumple φpk+1=(p-1)pk luego (p-1)pk=(p-1)pk-1 p y por hipótesis inducción afirmamos, p-1pk-1 p=φpkp. Como φpk son los números coprimos con pk si lo multiplicamos por p se añaden los p números que faltaban para encontrar el valor de φ(pk+1).Así vemos que φpkp= φpk+1.3. φ es una función multiplicativa condicional: si m y n son primos entre sí, entonces φmn=φmφn. Con esto, el valor de φ(n) puede calcularse empleando el teorema fundamental de la Aritmética: si n=p1k1….prkr Donde los pj son números primos distintos, entonces φn=p1-1p1k1-1…pr-1prkr-1. Esta última fórmula es un producto de Euler y a menudo se escribe como φn=np/n(1-1p). Donde los p son los distintos primos que dividen a n. Ejemplo de cálculo: φ36=φ3222=361-131-12=36.23.12=12 φ21=φ3.7=211-131-17=21.23.67=12 Se puede comprobar manualmente que los números coprimos con 36 (o sea, que no son divisibles por 2 ni por 3) son doce: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, y 35. Teorema: Sea n un entero positivo y sea n=p1r1p2r2….pmrm la descomposición prima de n entonces φn=p1r1p2r2….pmrmp1-1p2-1….(pm-1). Demostración: Tenemos que φ(n)=p1r1p2r2….pmrm =φ(p1r1)φ(p2r2….pmrm) =pmrm-1(p1-1)φ(p2r2….pmrm) Siguiendo el proceso tenemos que: φn=p1r1p2r2….pmrmp1-1p2-1….(pm-1). En esta tabla se presentaran algunos valores de φn: +0+1+2+3+4+5+6+7+8+90+ 11224264610+4104126881661820+81210228201218122830+830162016241236182440+16401242202422461642 Demostración del Teorema de Euler: La siguiente demostración es la generalización del “Teorema de Fermat” y se conoce como el Teorema de Euler – Fermat. Teorema: (De Euler) Si mcda,n=1 entonces aφ(n) ≡ 1 (mod n). Demostración: Considere a1, a2,…, aφ(n), los enteros positivos menores que n y primos relativos con n. Sea a cualquier número tal que mcda,n=1 por el teorema anterior aa1, aa2,…, aaφ(n), Son los primos relativos a n y no hay dos de ellos que sean congruentes entre sí modulo n. Por lo tanto, estos últimos deben ser congruentes, con un reordenamiento, a los números a1, a2,…, aφ(n), es decir aa1, aa2,…, aaφ(n) = aφ(n)(a1, a2,…, aφ(n))≡(a1, a2,…, aφ(n)) mod n. Además, como el mcd (a1, a2,…, aφ(n), n)= 1 pues para todo, i tenemos que mcd (ai, n) = 1 y así, podemos aplicar la ley de cancelación de congruencias, luego aφ(n) ≡ 1 (mod n). Este resultado es otro de los grandes aportes de Euler a la Teoría de Números y es la generalización del teorema de Fermat pues para p primo se tiene que φp=p-1. La siguiente de demostración del teorema de Euler, utilizaremos un sistema reducido de resto: Teorema: (De Euler) Si mcda,n=1 entonces aφ(n) ≡ 1 (mod n). Demostración: Consideremos un sistema reducido modulo m r=x1 ,x2,…, xφ(m) Entonces como a,m=1 el conjunto ar=ax1 ,ax2,…, axφ(m) es también un sistema reducido módulo m. Por consiguiente a cada xiϵ r le corresponde un solo axiϵ ar tal que xi≡axj(modm) Además, a elementos diferentes de R, le corresponderán elementos diferentes de ar , por tanto, ax1 ,ax2,…, axφ(m), son congruentes con x1 ,x2,…, xφ(m) Modulo m (no necesariamente en ese orden). Luego, ax1 ,ax2,…, axφm≡x1 ,x2,…, xφmmodm (x1 ,x2,…, xφ(m))aφ(m)≡x1 ,x2,…, xφmmodm y como (x1 ,x2,…,xφ(m),m)=1 y aplicando la ley de la cancelación de congruencias obtenemos que aφ(n) ≡ 1 (mod n). Consecuencias del Teoremas de Euler: Teoremas: Si mcdm,n=1, demuestre que la solución de la congruencia lineal ax≡bmodm es x=aφn-1bmodn. Demostración: Como el mcdm,n=1, por el teorema de Euler, se sabe que aφn≡1modn, sabemos que por teorema aφnb≡bmodn. Dado que la relación de congruencia es simétrica, se refiere que b≡aφnbmodn, como además, la relación es transitiva al aplicar la transitividad de en ax≡bmodm y b≡aφnbmodn, obtenemos que, ax≡aφnbmodm ≡aaφn-1bmodm Como por hipótesis se tiene mcdm,n=1, se puede aplicar la ley de la cancelación se tiene que x=aφn-1bmodn. Teorema: Sean mcdm,n=1. luego nφ(m)+mφ(n)≡1 modmn. Demostración: Por el teorema de Euler se tiene que, nφ(m)≡1 modm. mφ(n)≡1 modn. Además es claro que, nφ(m)≡0modn. mφ(n)≡0 modm. Luego nφ(m)+mφ(n)≡1 modm. nφ(m)+mφ(n)≡1 modn. Como mcdm,n=1 se tiene que, nφ(m)+mφ(n)≡1 modmn. Teorema: Sean a y n enteros positivos con a≠0 y mcda,n=a-1,n=1 se tiene que 1+a+a2+…+aφn-1≡0modn. Demostración: Como mcda,n=1 entonces por el Teorema de Euler se tiene que naφn-1=a-11+a+a2+…+aφn-1. Como a-1,n=1 se tiene que n∕1+a+a2+…+aφn-1. Sección 5: Resolución de Problemas: En la siguiente sección se resolverán problemas aplicando los Teoremas de Fermat, Wilson y Euler. Ejemplo 1: Demostrar que el número ( 274)9-( 253)6 es divisible por 37. Solución: Probaremos que (274)9-( 253)6≡mod37 En efecto,(274)9-( 253)6=2736-536 como 37 es primo, 27 y 5 son primos con el luego ambos son invertibles mod37. Aplicando el teorema de Fermat, 2736≡1mod37 y 536≡1mod37 Esto implica que 2736-536≡0mod37⇒ (274)9-( 253)6≡0mod37. Es decir el número propuesto es divisible por 37. Ejemplo 2: Encontrar el resto que se obtiene al dividir 232587 entre 7. Solución: Por el teorema de existencia y unicidad de cociente y resto, existirán q y r, enteros y únicos tales que 232587=7q+r 0≤r<7. Luego, 232587≡r mod7. Bastará, pues, con resolver esta ecuación. Como mcd23,7=1, 23 es invertible en mod7, además 7 es primo luego por el teorema de Fermat, 236≡1mod7 . Por otra parte, 2587=6.431+1 Luego, 232587=(236)431.23 Entonces, 236≡1mod7 ⇒(236)431≡1mod7 y 23≡2mod7 ⇒(236)431.23≡2 mod7 ⇒ 232587≡2 mod7. Luego el resto que se obtiene es 2. Ejemplo 3: Calcular el resto de dividir 347entre 23. Solución: El procedimiento es igual al problema anterior. Por el teorema de existencia y unicidad de cociente y resto, existirán q y r, enteros y únicos tales que 347=23q+r 0≤r<23, es decir 347≡r mod23. Bastara encontrar r. Como 3 y 23 son relativamente primo, y 23 es un primo por el teorema de Fermat 322≡1mod23, Por otra parte, 47=22.2+3 Luego, 347=(322)2.33 ⇒322≡1mod23⇒(322)2≡1mod23 y 33≡4mod23 ⇒(322)233≡4mod23 ⇒347≡4 mod23 Por lo tanto el resto es 4. Ejemplo 4: Demostrar que 138!+197138 es divisible por 139. Solución: Probaremos que 138!+197138≡0mod139. En efecto, 139 es primo, luego por el teorema de Wilson, 139-1!≡-1mod 139 , es decir 138!≡-1mod 139 . (1) Por otra parte, 139 y 197 son primos entre sí, luego por el teorema de Fermat, 197(139-1)≡1mod 139, ósea que 197138≡1mod 139. (2) Sumando (1) y (2) se tiene que, 138!+197138≡0mod139. Ejemplo 5: Determine si el entero (1340+40!)101 es divisible por 41. Solución: Por el teorema de Wilson, y dado que 41 es primo, se tiene que 40!≡-1 mod 41, además, por el teorema de Fermat se tiene que 1340≡1 mod 41, asi, 1340+40!≡1-1mod 41≡0mod 41 Es decir (1340+40!)101≡0mod 41, como el residuo es cero, se demuestra que es divisible por 41. Ejemplo 6: Sea n∈N. Use el teorema de Fermat para probar que n12 es de la forma 13k ó 13k+1 con k∈N. Solución: Como 13 es primo, se tiene del teorema de Fermat que n13≡n mod13, por lo que n13-n=nn12-1, se tiene 13 divide a nn12-1. Por el lema de Euclides sabemos que 13 debe dividir a n ó 13 debe dividir a n12-1. Si 13 divide a n, tenemos que n=13k, con lo cual n12=(13x)12=131311x12=13k, es decir n12=13k. Si 13 divide a n12-1, se tiene que, se tiene que n12-1=13k, y se concluye que n12=13k+1. Ejemplo 7: Determine los valores enteros y positivos de c que son solución de la ecuación 33φ(40)+c≡3mod40. Solución: Como mcd33,40=1 , utilizando el teorema de Euler, se tiene que 33φ(40)≡1mod40 y se debe cumplir que c≡2mod40, así, c=40k+2 con k=1,2,3…. CONCLUSIÓN En este trabajo podemos decir que fue una experiencia maravillosa ya que nos enfocamos en temas muy importantes en la Teoría de Números que no conocíamos a fondo, lo que implica que es fundamental que los docentes busquen la forma de introducir la Teoría de Número como un curso fundamental en el currículo de la Licenciatura de Matemática. Con base al contenido podemos afirmar varios puntos importantes: Es importante señalar que los Teoremas de Wilson, el Teorema de Fermat y el Teorema de Euler contribuyeron enormemente en el desarrollo del campo de la Teoría de Números, continuando con los trabajos de las antiguas civilizaciones que dieron inicio a la Teoría de Números debido a que los problemas se resolvían de manera particular sin dar un método general para hallar las soluciones. Estos teoremas nos permitirán entre otras cosas, decidir de una manera rápida cuando un número es primo, sin necesidad de utilizar otros métodos. Para el desarrollo y pruebas de estos teoremas se necesito de teoremas y definiciones de congruencias numéricas y teoría de números. Es importante destacar la labor realizada por Euler, al continuar la obra de Fermat, quien se ocupó de la Teoría de Números de una manera definitiva, a tal punto que el Teorema de Fermat quedó demostrado como un resultado del teorema de Euler. BIBLIOGRAFÍA Murillo, M; González, J. (2006). Teoría de los Números. Cartago, Costa Rica. Editorial Tecnológica de Costa Rica. Páginas 167-194. Number Theory in Science and Communication Prof. Dr. Manfred Schroeder Universit ät Göttingen Inst. Physik III Friedrich-Hund-Platz 1 37077 Göttingen Germany. Nathanson, Melvyn B., (2000), Elementary Methods in Number Theory, editorial Board, USA. Dickson, Leonard Eugene, (1919), History of Numbers, Volumen I, Divisibility and Primality, No. 256, The Carnegie Institution of Washington, Washigton. Apostol, Tom M., Introducción a la Teoría Analítica de Números, Reverté, S. A., Web Bibliográfica http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euler. http://es.wikipedia.org/wiki/Peque%C3%B1o_teorema_de_Fermat. http://gaussianos.com/el-teorema-de-wilson/. http://es.wikipedia.org/wiki/Demostraciones_del pequeño Teorema de Fermat %C3%B1o_teorema_de_Fermat

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