1. FUNCIÓN DIVISOR<br />JEAN CARLOS ROJAS<br />AGRADECIMIENTO<br />A Dios por haberme permitido realizar my trabajo.<br />A mi abuela Teresa Legal la cual es como si fuera mi madre por darme su confianza apoyo.<br />Al Doctor Jaime Gutiérrez, profesor que nos dicto el Seminario el cual nos permitió llenar los objetivos necesarios en la realización del mismo, por su entrega y disponibilidad para brindar información y guía necesarias.<br />DEDICATORIA<br />A Dios por darme las fuerzas y sabiduría para terminar este trabajo.<br />A mi abuela Teresa Legal por ser la única persona que confióen que yo podía culminar mi carrera y a todos mis amigos.<br />ÍNDICE<br />AGRADECIMIENTO<br />DEDICATORIA<br />INTRODUCCIÓN<br />Contexto Histórico<br />Reseña Histórica<br />Bibliografía de SrinivasaAiyagnarRamanujan<br />Bibliografía de Peter Gustav LejeuneDirichlet<br />Bibliografía de Johann HenrichLambert<br />Función Divisor<br />El promedio de la función divisor<br />La medida geométrica de los divisores<br />La sumatoria de la función divisor<br />Generalización de la función divisor<br />El valor medio de la función de Euler<br />CONCLUSIÓN<br />RESEÑAS BIBLIOGRÁFICAS<br />INTRODUCCION<br />La teoría de números es una rama de laMatemática pura que estudia las propiedades de los números <br />En este trabajo trataremos sobre la Función Divisor la cual es una función aritmética relacionada a los divisores de un número entero. Cuando nos referimos a la función divisor este cuenta el número de divisores de un entero n .esta aparece en un gran número de identidades incluyendo relaciones con la función z de riman y las series de Einstein de formas modulares. La función divisor fueron estudiadas por Dirichlet, Lambert y Ramanujan:quien dio un número importante de congruencias e identidades. Y la cual se calcula utilizando la función Ф(n) de Euler .<br />la formula que se utiliza para calcular la función divisor es : σk:=d|ndk<br />-20955477520RESEÑA HISTORICA<br />Srinivasa Aiyagnar Ramanujan fue un matemático hindú muy enigmático, de familia humilde a los 7 años asistió a una escuela pública gracias a una beca les recitaba a sus compañeros formulas Matemática y cifras de π. A los 12 años dominaba la trigonometría, y a los 15 le prestaron un libro con 6000 teoremas conocidos sin demostrar esa fue su formación matemática básica.Nació en la localidad de Erode del estado de Tamil Nadu en india creció en el seno de una familia pobre y ortodoxa fue un llamativo autodidacta ,prácticamente todas las matemáticas que aprendió fueron las leídas hacia los 15 años de edad en los libros La trigonometría plana de Looney y SynopsisofElementaryResults in Parematematices de dichos libros contenía un listado de 6000 teoremas sin demostrar con dichas obras le permitieron establecer una gran cantidad de conclusiones y resultados sobre la teoría de números. Seguía una estricta vida de Brahmin. A menudo decía que sus teoremas matemáticos eran inspirados directamente por la diosa Namagiri, durante sus sueños. Algunos de sus numerosos teoremas, han resultado ser en realidad incorrectos. Se desconocen los métodos mentales empleados por la mente de Ramanujan para desarrollar sus intuiciones Matemática, la mayoría de las veces completamente ciertas, pero en algunos casos falsas.<br />Rāmānujan, de un modo independiente, recopiló 3900 resultados (en su mayoría identidades y ecuaciones) durante su breve vida.<br />Afectado por una tuberculosis que se agravaba por el clima de Inglaterra, Rāmānujan retornó a su país natal en 1919 y falleció poco tiempo después en Kumbakonam (a la edad de 32 años). Dejó varioslibros llamados Cuadernos de Ramanujanlos cuales continúan siendo objeto de estudios.<br />Recientemente, las fórmulas de Rāmānujan han sido fundamentales para nuevos estudios en cristalografía y en teoría de cuerdas. <br />5969031750Peter Gustav Lejeune Dirichlet:.Sus aportaciones más relevantes se centraron en el campo de la teoría de números fue un matemáticoalemán al que se le atribuye la definición quot;
formalquot;
moderna de una función. Nació en Duren, Se relacionó con varios matemáticos entre uno de ellos Fourier. Después de graduarse, fue profesor en la universidad deBreslau en la cual ocupo la cátedra que dictaba Guaus ya que este murió , prestando especial atención al estudio de las series, y desarrolló la teoría de las series de Fourier. Su primera publicación comprendió una demostración particular del teorema de Fermat, para el caso n=5, por Adrien-Marie Legendre, el cual también fue completada por uno de sus revisores. Dirichlet completó su propia prueba casi al mismo tiempo; más adelante completó también la prueba para n=14. Aplicó las funciones analíticas al cálculo de problemas aritméticos y estableció criterios de convergencia para las series. En el campo del análisis matemático perfeccionó la definición y concepto de función, y en mecánica teórica se centró en el estudio del equilibrio de sistemas y en el concepto de potencial newtoniano.<br />Se casó con Rebecka Mendelssohn, que venía de una distinguida familia de judíos conversos. Era la nieta del filósofo Moses Mendelssohn, hija de Abraham Mendelssohn Bartholdy y hermana del compositor FelixMendelssohnBartholdy.<br />Fueron estudiantes suyos Ferdinand Einstein, Leopold Kronecker y Rudolf Lipschitz. Tras la muerte de Dirichlet, su amigo y colega matemático Richard Dedekind recopiló, editó y publicó sus lecciones y otros resultados en teoría de números <br />Dos series de Dirichlet que involucran la función divisor <br />1.<br />2.<br />Dondeσa(n) es la funciom divisor <br />-4254547625Johann Henrich Lambert: procedía de una familia de refugiados que se había establecido en Müllhausen(Alsacia), Tuvo seis hermanos. Su padre era sastre. A pesar del evidente buen rendimiento escolar, el hijo ya a los doce años hubo de abandonar la escuela y trabajar ayudando a su padre. Pero continuó su formación por su cuenta con ayuda de todos los libros que estuvieron a su alcance, estudiando por las tardes. A los quince años entró a trabajar en la siderurgia y después como tenedor de libros. después, desde 1746 como secretario privado del filósofo suizo Isaak Iselin en Basilea y, dos años más tarde, como profesor privado con el conde Peter von Salis en Chur. Este empleo le dejaba tiempo suficiente para acceder a la biblioteca privada del conde. Fue en esta época cuando se inició en la investigación matemática.<br />Acompañando a los hijos de éste, Lambert emprendió entre 1756 y 1758 diversos viajes formativos, visitando los principales centros intelectuales de Europa trabajando en contacto con numerosos sabios. Así llegó a ser miembro de la «Societé scientifique» suiza. Publicó sus primeros trabajos en 1755.En la última década de su vida, obtuvo el mecenato de Federico II de Prusia, y pasó el resto de su vida de una manera razonablemente cómoda. Murió en Berlín en 1777.<br />Una serie de Lambert que utiliza la función divisor <br />FUNCIÓN DIVISOR<br />En Matemática y especialmente en teoría de números una función divisor es una función aritmética la cual es una función real o compleja f(n), definida sobe el conjunto denlos números naturales relacionada a los divisores de un entero n .cuando nos referimos a la función divisor este cuenta el número de divisores de un entero n .esta aparece en un gran número de identidades incluyendo relaciones con la función z de Riman y las series de Einstein de formas modulares. La función divisor fueron estudiadas por Dirichlet, Lambert y Ramanujan , quien dio un número importante de congruencias e identidades.<br />Srinivasa Aiyagnar Ramanujan.fue un matemáticohindú muy enigmático, de familia humilde a los 7 años asistió a una escuela pública gracias a una beca .les recitaba a us compañeros formulas Matemática y cifras de π. A los 12 años dominaba la trigonometría, y a los 15 le prestaron un libro con 6000 teoremas conocidos sin demostrar esa fue su formación matemática básica <br />Algunos números tienen pocos divisores, como los números primos y algunos números tienen muchos divisores, como potencia de 2 .el numero de divisores aunque varía enormemente un número entero a la ejecución nacional, obedece a una de las reglas interesantes y las medidas son bastante predecibles como veremos más adelante.<br />Por definición Ф(n), el número de iteraciones en el rango de n, que tiene un máximo común divisor, o es el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n <br />Ф(n)=#{m: 1≤m≤n, (m,n)=1}.<br />Esta notación es por supuesto equivalente a la más frecuente en el uso del signo <br />Фn=m,n=1, m<n1 .<br />n=pi|npiei .<br />Todos los divisores de n son de la forma <br />dk=pi|npifi . Si 0≤fi≤ei .<br />Aquí cada exponente f puede tomar en un e+1 <br />Los diferentes divisores distintos está dada por la función de divisores y se define como:<br />dn≔#{dk|n}, .<br />Y es igual a <br />dn=i(ei+1) .<br />Ejm: n=12=22 .31,d(12)=3.2=6<br /> Comprobar: dk=1, 2,3,4,6,12 ,de echo 6 divisores distintos de 12 <br />En algunas aplicaciones dk=pi|npifi se utiliza más de una vez una pequeña <br />Ahora tomaremos algunas m 1≤m≤n con n debe ser uno de los divisores<br />de n(m,n)=dk.<br />Para algunos k cuantos números ay que comprenden el mismo mcd ,se denota el tamaño pequeño de una fila NK com <br />Nk≔#{m:1≤m≤n, (m,n)=dk}.<br />Por supuesto por la definición de Euler de dk=1 ;Nk=Ф(n) .podemos reescribir la definición anterior de Nk<br />Nk=#m:1≤m≤n,mdk,ndk=1 .<br />Y ahora vemos que :Nk=ФndkNk <br />Nk=ФndkNk<br />Ejem: para n=12 dk=4,NK=Ф(3)=2 , <br />De hecho hay precisamente 2 enteros en el rango de 1 hasta 12 que comparten la mcd 2 con 12 es decir 2 y 12 .<br />Ahora cada m, 1≤m≤n debe tener uno de los divisores d(n) distintos de n como el mcd ; con <br />k=1d(n)Фndk=n . <br />Volviendo a nuestra notación antigua sumando todos los divisores que muchos escriben en lugar<br />d|nФnd=d|nФd=n<br />El cual es un resultado importante.<br />La suma de los argumentos de una función de la teoría de números se llama sumatoria por lo tanto la función sumatoria de Euler Ф es su argumento <br />La función divisor d(n) es multiplicativa para comprimir m y n <br />d(nm)=d(n).d(m), para (n,m)=1<br />Que sigue inmediatamente de la formulan=pi|npiei .<br />parar d(n) en términos de exponentes primos <br />Para el caso especial de que n es producto de primos, ninguno de los cuales se repiten <br />d(n=p1p2…pk)2k<br />N como también se le llama 1 por razones obvias .Por ejem:30 es el producto de 3 primos distintos. por lo tanto 23 = 8 divisores <br />Como hemos visto en una sexta probabilidad de un entero es (6/(π22 )≈0.61 .por lo tanto la mayoría de los números enteros son 1 de los 100 enteros 2 hasta 101 e incluso entre los primeros 20 números enteros por encima de 1 , la aproximación (0.65), está ya muy cerca del años asintótico .por lo tanto esta área particular de la teoría de números ,20 ya es un gran numero (pero el lector debe recordar que en otras áreas ,por ejem: 10 a la 1000000 es tan terriblemente grande <br />Usando la notación para la suma de todos los divisores que podía haber introducido en la forma d(n) en el <br />dn≔dn1<br />Por lo tanto, d(n) es la sumatoria de funciones de n0 <br />.<br />El promedio de la función divisor<br />El promedio de la función divisor utilizando el método de Gauss , todavía hay otra forma de expresión d(n) que es adecuada para la estimación del promedio <br />dn=k=1N[nk]-[ n-1k] <br />Aquí n es divisible por k , entonces la diferencia en el será uno ;de lo contrario será 0 ,el punto importante en la expresión anterior que se va distribuyendo sobre todos los k <br />No todos los divisores de n los obtenemos <br />n=1Ndn=k=1N[Nk]≈Nk=1N1k<br />Por supuesto la estimación de la derecha es un límite superior 1 dejando caer el soporte de gauss hemos aumentado (por menos que uno) todos los sumandos para los que n no sea divisible por k 1 para n grande este argumento debería ser relativamente pequeño 1 esperamos que el valor promedio de la suma de los reciprocas de el logaritmo <br />1Nn=1Ndn≈lnN . <br />el resultado exacto es :<br />1Nn=1Ndn=lnN+2y-1+0(1N). <br />Y aquí es la constante de Euler<br />Y≔limn->∞(1+12+13+…+1n-lnn)=0.157721…<br />alrededor de 0.1542 de la notación 0(1/n), significa que el error absoluto en 1Nn=1Ndn=lnN+2y-1+0(1N). <br />es menor que c/ n <br />El Producto de la función divisor:<br />También hay una formula buena para el producto de los divisores de un determinado entero n :<br />n=pi|npiei<br />Aquí tenemos <br />d|nd=n12dn.<br />Ejem: n=12 , el producto de los divisores es igual a 1.2.3.4.6.12=1728,elnumero de divisores d(12)=6 y 1728=123<br />Para obtener la medida geométrica de los divisores de n tenemos que tomarla raíz d(n)-ésima de su producto dado a raíz de n <br />Un curioso resultad? en realidad no¡ los divisores vienen en pares : si d divide a n también lo es su distinta . n/d ( a ecepción d cuando n=d2 no es distinta ) y la medida geométrica de cada uno de estos pares es igual a n la cual generala medida geométrica <br />La sumatoria de la función divisor<br />Está definida como la suma de xk potencia de los divisores positivas de <br />La función de resumen:<br />Фn=d|nd<br />Al igual que todos la sumatoria de funciones multiplicativa es multiplicativa. Es suficiente con considerar el primer problema solo para los n que son potencias de un solo primo y el de multiplicar los resultados individualmente. Esto produce con<br />dk=pi|npifi .<br />σn=pi|npi1+ei-1pi-1<br />el comportamiento asintótico de Ф(n) esta dad por <br />1N2n=1 Nσn=π212+0lnNN<br />Un resultado que puede ser dejando caer -1 en el denominador en cada termino del producto 1N2n=1 Nσn=π212+0lnNN<br />y convertir en un producto más de primos con los factores probabilísticos adecuados y procedimientos como en el caso de Ф (n)/n , la expresión anterior converge muy rápidamente <br />Generalización de la función divisor<br />La generalización de la función divisor se define de la siguiente manera <br />σk:=d|ndk<br />Por supuesto,σ0(n)=dny y σ1(n)=σn<br />Estas funciones divisoras generalizadas obedecen a una simple geometría con respecto a su índice <br />σkn=d|ndk=d|ndk-k=nkσ-kn . <br />Ejem: n=6, k=3 divisores d=1,2,3 ,6 . <br />1+8+27+216=216(1+18+127+1216) <br />La relación de simetría anterior, para k=1 conduce la siguiente relación entre los medios de divisores de n .la medida aritmética d por la media armónica d es igual a el cuadrado de la medida geométrica d y es igual a n .<br />dd =d2=n<br />Ejem : n=6; d=1,2,3,6. d=3,d=2,d=6,3.2=62 =6<br />El valor medio de la función de Euler<br /> ejem<br />Ф (29)=28, Ф (30)=8, Ф(31)=30, Ф(32)=16 .<br />Si estamos interesados en el comportamiento asintótico, es mejor considerar un valor promedio. El argumento probabilístico es considerado la medida de forma automática, nuestras probabilidades de ignorar bien las fluctuaciones como la de las anteriores numéricas <br />Por ejemplo, Considere primero <br />Ф(n)n=pi|n1-1pi<br />Con nuestra ya habitual (pero no demostrado) el argumento probabilístico es de convertir el producto por encima de mas primos que dividen a n, en un producto de todos los numero primos. La probabilidad de que un primo divida a n es igual a 1/π y la probabilidad de que no es igual a 1-1/π, en este caso el primo pi constituye el factor 1 de los productos.<br />Muchos escriben <br />pi|n1-1pi≈pi1-1pi1pi+11-1pi<br />=pi1-1pi2<br />Un producto infinito que no hemos encontrado antes de lo que sea calculado mediante la conversión de la inversa de cada factor en una serie geométrica infinita y todo lo que produce cada cuadrado de una sola vez, así nos encontramos <br />Ф(n)n≈n=1∞1n2-1=6π2 <br />El resultado corresponde a la probabilidad asintótica, arbitrariamente seleccionado son primos entre si como debe ser, si tomamos en cuenta la definición Ф(n). de hecho el número de puntos blancos en línea vertical hasta la diagonal de 45* es igual a la función de Euler.<br /> El resultado para el comportamiento asintótico son los siguientes <br />1nk=1nФ(k)k=6π2+0lnnn<br />Y<br />1n2k=1nФk=3π2+0lnnn2<br />El resultado corresponde por supuesto a nuestra estimación probabilística, una de las formulas 27 es igualmente sorprendente al valor promedio dentro de la suma en 27 en comparación con 26 es n/2.<br />Por ejemplo si n=4<br />1nk=1nФ(k)k=141+12+23+12=0.667<br />A comparación del valor asintótico el cual es 0.608 y, 1n2k=1nФk=1161+1+2+2=0.375<br />Que también se compara bien con el valor asintótico (0.304). <br />Conclusión<br />Luego de finalizar este trabajo, nos hemos dado cuenta de que la teoría de números posee subtemas muy imporortantes y en particular los subtemas que estamos estudiando ya que estos no se estudian a fondo en la licenciatura.<br />Por otro lado, la importancia que se le de a la teoría de números ayudara a comprender con mayor facilidad las aplicaciones que puedan tener en la vida ya que hasta para las guerras es utilizada las aplicaciones de esta.<br />Algunos números tienen pocos divisores, como los números primos y algunos números tienen muchos divisores, como potencia de 2.<br />REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS<br />Manfred R. Schroeder, Number Theory in Science and Communication, PrimeraEdicion, Springer.<br />WEB BIBLIOGRAFICAS<br />http://es.wikipedia.org/wiki/Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet<br />http://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Heinrich_Lambert<br />http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_divisor<br />http://es.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Aiyangar_Ramanujan<br />