Ecuaciones Diofantinas: Historia y Aplicaciones

UNIVERSIDAD DE PANAMÁ FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA ESCUELA DE MATEMÁTICA ECUACIONES DIOFANTINAS PREPARADO POR: SAMUEL PÉREZ DENIS 8 – 767 – 1788 MONOGRAFÍA PARA OPTAR AL TÍTULO DE LICENCIADO EN MATEMÁTICA. CIUDAD UNIVERSITARIA, OCTAVIO MENDEZ PEREIRA PANAMÁ, 2011 ÍNDICE GENERAL Dedicatoria………………………………………………………………………………..4 Agradecimiento…………………………………………………………………………...5 Introducción………………………………………………………………………………6 CAPÍTULO 1. HISTORIA SOBRE ECUACIONES DIOFÁNTICAS……………….7 1.1 Introducción Histórica……………………………………………………………...8 1.2 Biografía de Diofanto de Alejandría……………………………………………...11 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIOFÁNTICAS……………………………………..14 2.1 Generalidades……………………………………………………………………..15 2.2 Solución de una ecuación diofántica lineal con dos incógnitas…………………..15 2.3 Ecuaciones Diofánticas Cuadráticas……………………………………………...21 2.4 Ecuaciones de la forma x2-y2=a …………………………………………....22 2.5 La ecuación x2+y2=z2………………………………………………………..23 2.6 Ecuaciones de la forma y2=x3+a…………………………………………….24 2.7 Ecuaciones de la forma xn+yn=zn…………………………………………...24 2.8 Ecuaciones de la forma x=dy2+1…………………………………………….24 CAPÍTULO 3. APLICACIONES DE ECUACIONES DIOFÁNTICAS…………...26 3.1 Compra de una bufanda…………………………………………………………..27 3.2 Una revisión en la tienda………………………………………………………….31 3.3 Compra de sellos de correos………………………………………………………34 3.4 Compra de frutas………………………………………………………………….36 3.5 Adivinar el día del nacimiento……………………………………………………37 Conclusiones……………………………………………………………………………..40 Recomendaciones………………………………………………………………………..41 Bibliografía……………………………………………………………………………....42 DEDICATORIA Dedico con todo mi amor este trabajo a mi madre Enith Denis Patiño y a mi padre Egidio Pérez, quien en el continuo esfuerzo de cada día, me concedió una educación y con sus consejos me inspiraron a superarme en momentos de mis flaquezas. AGRADECIMIENTO Agradezco primeramente a Dios por darme salud y sabiduría, y por darme fuerzas, una vez más, para alcanzar una de mis tantas metas. De igual manera le doy gracias a mis padres por el apoyo incondicional que me han ofrecido siempre. Así mismo le doy gracias al profesor Jaime Gutiérrez por el tiempo que me ha brindado para la buena realización de este trabajo. INTRODUCCIÓN Supongamos que se te pide que des las soluciones de la ecuación 3x+14y=20; seguramente dirás que es un problema muy sencillo, que la solución es y=20-3x14, donde x puede tomar cualquier valor. Otra cuestión mucho menos obvia es que halles las soluciones con x e y enteros. Este tipo de ecuaciones, cuyas soluciones se exigen que tomen valores enteros, o más en general valores racionales, es lo que se conocen como ecuaciones diofánticas, en honor a Diofanto, matemático griego del año 275 que las estudió extensivamente y dio soluciones a algunas de ellas. La teoría de las ecuaciones diofánticas ha llegado con el tiempo a contarse entre las más bellas y difíciles áreas de las matemáticas; tanto es así que el gran matemático y físico Gauss llegó a decir que la Matemática es la reina de las ciencias y la Aritmética (llamada modernamente Teoría de Números) es la reina de las matemáticas. En este trabajo menciono algunas ecuaciones diofantinas, algunas de ellas muy conocidas como el último teorema de Fermat, hablar de ella estaríamos hablando de desarrollar otro trabajo más como éste. En el último capítulo de este trabajo se puede hallar algunas aplicaciones de las ecuaciones diofantinas, resueltas con sumo cuidado, para que así sea de fácil comprensión para el lector. Las ecuaciones Diofantinas caen dentro del marco de la teoría de números y de hecho es ésta la disciplina encargada de estudiarla. Este trabajo ha sido realizado como alternativa de trabajo de graduación para obtener el título de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad de Panamá. La Teoría de números como las otras ramas de la Matemática comprende una gran cantidad de temas que resulta de interés para aquellos que estudian matemática. CAPÍTULO 1. HISTORIA SOBRE ECUACIONES DIOFÁNTICAS 1.1 INTRODUCCIÓN HISTÓRICA Los matemáticos en la India se interesaron en encontrar soluciones enteras a las ecuaciones diofánticas desde la época de los Vedas. El primer uso geométrico de las ecuaciones diofánticas se remonta a los Shulba Sutras, los cuales fueron escritos entre los siglos VIII y VI a. C. Baudhayana (s. VII a. C.) encontró dos conjuntos de enteros positivos a un conjunto de ecuaciones diofánticas simultáneas, y también se usan ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cuatro incógnitas. Apastamba (s. VI a. C.) usaba ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cinco incógnitas. La Teoría de números fue una de las disciplinas de estudio favoritas entre los matemáticos griegos de Alejandría, Egipto a partir del siglo III a. C., quienes tenían conciencia del concepto de ecuación diofántica en sus casos particulares. El primer matemático helenístico que estudió estas ecuaciones fue Diofanto. Este tipo de ecuaciones se conoce, en matemáticas, desde muy antiguo, pero fue tras la obra del matemático griego Diofanto de Alejandría (siglo III d.C.: 210 - 290) que comenzaron a llamarse Ecuaciones Diofantinas. Se trata de Aritmética, un tratado de 13 libros del que sólo se conocen los seis primeros. Fue encontrado en Venecia por Johann Müller (Regiomontanus, matemático y astrónomo alemán), hacia 1464. Esta obra de Diofanto fue preservada por los árabes y traducida al latín en el siglo XVI. Desde entonces, muchos matemáticos han realizado diversos tipos de solución de las ecuaciones Diofantinas. Dentro de tal grupo de matemáticos puede citarse a: Bhaskara, Fermat, Lagrange, Euler, Hilbert, Gauss, Thue, Baker, Peano, Pell, cuyos aportes han jalonado no sólo el campo de las ecuaciones Diofantinas sino también el de otras áreas de las matemáticas. Diofanto investigó un método para encontrar las soluciones enteras para las ecuaciones lineales indeterminadas, ecuaciones en las que falta información suficiente para producir un conjunto único de respuestas discretas. La ecuación x+y=5 es un ejemplo de ellas. Diofanto descubrió que muchas ecuaciones indeterminadas pueden ser reducidas a una forma en donde cierta categoría de soluciones son conocidas, incluso a través de una solución que no lo es. Diofanto conoció y empleó los números negativos y a él se atribuye la norma empírica de menos por menos da más, y menos por más da menos, aplicada en Aritmética y en Álgebra moderna. Sin embargo la notación algebraica de Diofanto fue sustituida más tarde, en el siglo XVII, por la que propuso el matemático francés Francois Viete (1540 - 1603), que es la que se sigue actualmente. Sobre las ecuaciones Diofantinas de orden 2 y superiores se han realizado prolijos estudios, algunos de los cuales son: • Solución de la ecuación cuadrática diofantina Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 para la cual Lagrange en 1769 encontró un algoritmo completo. • Ecuación de Pell. Es un caso especial de la ecuación cuadrática diofantina de la forma x2-Dy2=N, donde D es un entero positivo que no es un cuadrado, N es un entero diferente de cero. Para el caso general de la ecuación de Pell (cualquier) hay por lo menos cinco buenos métodos de solución: 1. Búsqueda de “Fuerza Bruta”, que es la base de los otros métodos; 2. El algoritmo de Lagrange-Matthews-Mollin (LMM); 3. Sistema de reducciones de Lagrange; 4. El método cíclico; 5. El uso de formas cuadráticas binarias. • Dificultades en la elaboración de un algoritmo para resolver ecuaciones Diofantinas. • Un ejercicio consistente en analizar una ecuación Diofantina desde diversas perspectivas: x2+7=8 pn, con p primo. • ¿Qué es el Método del descenso Infinito? (propuesto por Lagrange). • El problema multigrados Tarry-Escott: dado un entero positivo n, hallar dos conjuntos de enteros a1,…,ar y b1,…,br, con r tan pequeño como sea posible, tal que suma(aj)k=suma (bj)k, para k=1, 2, …,n. Conjetura r=n+1 para todo n. • El problema multigrados (hallar conjuntos de enteros cuyas sumas sean iguales; sumas de cuadrados, sumas de cubos,...). • Nueva solución del problema Prouhet-Tarry-Escott para k=11; otras restricciones. • Sugerido por el ordenamiento de números en un torneo de baloncesto: resolver ab=c+d, cd=a+b en enteros. • El rompecabezas Times: Hallar soluciones racionales x3+y3=6. (Una curva elíptica). • Cuestiones relativas a una conjetura de Erdös: que 4n=1x+1y+1z tiene solución para todo número natural n. • Soluciones para a6+5a4b+6a2b2+b3=1 en enteros. • Generar todas (pequeñas) ternas Pitagóricas. • Triángulos enteros con un ángulo de 120 grados. • Teorema de Runges: límite en el número de soluciones para ciertas ecuaciones Diofantinas en dos variables. • Un par de ecuaciones se convierten en una sola ecuación en enteros Gaussianos. • Ecuación de Fermat. • Resolver xn+dyn=c: Ecuación de Thue. • Ecuaciones Diofantinas Exponenciales. • Completa parametrización de la superficie cúbica de Fermat: w3+x3+y3+z3=0. Este es un famoso problema Diofantino. Las ecuaciones diofantinas fueron estudiadas de manera intensiva por los matemáticos hindúes medievales, quienes fueron los primeros en buscar sistemáticamente métodos para la determinación de soluciones enteras. Aryabhata en el año 499 da la primera descripción explícita de la solución entera general de la ecuación diofantina lineal ax+by=c la cual aparece en su texto Aryabhatiya. El algoritmo kuttaka es considerado como una de las contribuciones más significativas de Aryabhata en las matemáticas puras, el cual encuentra las soluciones enteras de un sistema de ecuaciones diofantinas lineales, un problema de importante aplicación en la astronomía. También encuentra la solución general de la ecuación lineal indeterminada utilizando este método. Brahmagupta trabaja en 628 las ecuaciones diofantinas más difíciles. Utiliza el método chakravala para resolver las ecuaciones diofantinas cuadráticas, incluyendo aquellas de la forma de la ecuación de Pell tal que 61x2+1=y2. Su Brahma Sphuta Siddhanta fue traducido al árabe en 773 y al latín en 1126. La ecuación 61x2+1=y2 fue propuesta como un problema por el matemático francés Pierre de Fermat. La solución general de esta forma particular de la ecuación de Pell fue encontrada 70 años más tarde por Leonhard Euler, aunque la solución general de la ecuación de Pell fue encontrada 100 años más tarde por Joseph-Louis de Lagrange en 1767. Sin embargo, varios siglos antes, la ecuación de Pell fue trabajada por Bhaskara II en 1150 utilizando una versión modificada del método chakravala de Brahmagupta, encontrando la solución general de otras ecuaciones cuadráticas intermedias indeterminadas y ecuaciones diofánticas cuadráticas. El método chakravala para encontrar la solución general de la ecuación de Pell era más simple que el método utilizado por Lagrange 600 años más tarde. Bhaskara encuentra también la solución de otras ecuaciones cuadráticas indeterminadas, cúbicas, cuárticas y polinómicas de mayores grados. Narayana Pandit perfeccionó aún más las demás cuadráticas indeterminadas para las ecuaciones de grados superiores. 1.2 BIOGRAFÍA DE DIOFANTO DE ALEJANDRÍA Diofanto, a menudo conocido como el “padre del algebra”, es mejor conocido por su Aritmética, un trabajo sobre la solución de ecuaciones algebraicas y sobre la teoría de los números. Nacimiento: alrededor del 200 d.C. Murió: alrededor del 284 d.C. Diofanto de Alejandría fue un matemático griego del último periodo alejandrino tardío. Sus mayores logros fueron de carácter eminentemente geométricos. Durante este periodo, cuando la ciencia griega y la filosofía como un todo estaba en decadencia, con esta su matemática y los métodos algebraicos ocuparon un primer plano. Po este tiempo Diofanto, el más reconocido exponente del álgebra griega, vivió en Alejandría. Prácticamente no se conoce nada sobre su vida y ha existido mucho debate respecto de la fecha en que vivió. Existe una colección de problemas griegos escritos en forma poética, la Antología Palatina, que fue probablemente compilada en la primera centuria después de la muerte de Diofanto. Contiene ciertos problemas que pueden ser resueltos mediante ecuaciones. Entre ellos se encuentra el siguiente que contiene toda la información acerca de Diofanto. “Aquí ves la tumba que contiene los restos de Diofanto, se pude notar: ingeniosamente se cuenta la medida de su vida. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida. Después, durante la doceava parte se le creció la barba. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa, y en el quinto año fue padre. Elas, su hijo, un querido pero desafortunado niño, vivió la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.” x6+x12+x7+5+x2+4=x donde x es la edad que vivió Diofanto De modo que se casó a la edad de 26 y tuvo un hijo que murió a la edad de 42, años antes de que el propio Diofanto muriese a la edad de 84 años. El matemático alejandrino debe su renombre a su obra Aritmética. La Aritmética es una colección de 130 problemas dando soluciones numéricas de determinadas ecuaciones (ésas con una solución única) y de ecuaciones indeterminadas. El método para resolver estas últimas es conocido como el análisis Diofantino. En esta obra realiza sus estudios de ecuaciones con variables que tienen un valor racional (ecuaciones diofánticas), aunque no es una obra de carácter teórico sino una colección de problemas. Importante fue también su contribución en el campo de la notación; si bien los símbolos empleados por Diofanto no son como los concebimos actualmente, introdujo importantes novedades como el empleo de un símbolo único para la variable desconocida y para la sustracción, aunque conservó las abreviaturas para las potencias de la incógnita. Se cree que sólo seis de los 13 libros originales se conservaron y también se cree que los otros deben haberse perdido muy pronto después de haber sido escritos. Existen muchas traducciones arábigas, por ejemplo de Abu'l-Wafa, pero únicamente el material de estos seis libros apareció. Sin embargo, un manuscrito en árabe en la biblioteca Astan-i Quds (La biblioteca del Templo Sagrado) en Meshed, Irán lleva un título reivindicando y que es una traducción hecha por Qusta ibn Luqa, quien murió en el año 912, de los libros IV al VII de Aritmética de Diofanto de Alejandría. F Sezgin hizo este notable descubrimiento en 1968. Rashed compara los cuatro libros en esta traducción al árabe con los seis libros Griegos conocidos y sostiene que este texto es una traducción de los libros perdidos de Diofanto. La traducción latina más famosa de la Aritmética de Diofanto se debe a Bachet en 1621, edición reimpresa con posterioridad en 1670 por el hijo de Pierre de Fermat incluyendo los comentarios que el célebre matemático francés había realizado en los márgenes de un ejemplar de la edición de Bachet que poseía. En una de dichas anotaciones se exponía, sin demostración, el último teorema de Fermat. En el precioso ejemplar de la edición de Bachet que Fermat poseía él dijo quot;
haber encontrado una gran luz.quot;
 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIOFÁNTICAS 2. ECUACIONES DIOFÁNTICAS 2.1 Generalidades Como se dijo anteriormente, estas ecuaciones reciben este nombre en honor a Diofanto, matemático que trabajó en Alejandría a mediados del siglo III a.C. Fue uno de los primeros en introducir la notación simbólica en matemática y escribió seis libros sobre problemas en las que consideraba la representación de números anterior como suma de cuadrados. 2.1.1 Definición Una ecuación diofántica tiene la forma general a1x1+a2x2+…+anxn=b donde a1, a2, …, an son enteros y se exige soluciones también enteras. La ecuación diofántica más simple es la ecuación diofántica lineal con dos incógnitas, ax+by=c donde a y b son enteros dados, no ambos cero. 2.2 Solución de una Ecuación Diofántica Lineal con dos incógnitas Veremos un teorema que nos permite saber cuándo una ecuación de este tipo tiene solución y aporta un método para calcular una solución particular de la misma. 2.2.1 Solución Particular de una Ecuación Diofántica Lineal con 2 Incógnitas Sean a, b y c tres números enteros. La ecuación lineal ax+by=c tiene solución entera si, y sólo si el máximo común divisor de a y b divide a c. Demostración Supongamos que los enteros x0 e y0 son soluciones de la ecuación ax+by=c, es decir, ax0+by0=c. Pues bien, si d=m.c.d.(a, b), entonces d=m.c.d.(a, b)⟹d|a y db ⟹d(ax0+by0) ⟹d|c Recíprocamente, supongamos que d=m.c.d.(a, b) es divisor de c. Entonces, m.c.d.a, b=d ⟹ m.c.d.ad,bd=1 ⇔ ∃p,q ∈ Z:adp+bdq=1 ⟹ acpd+bcqd=c Siendo c/d entero ya que, por hipótesis, d es divisor de c. Ahora bastaría tomar x0=cpd e y0=cqd y tendríamos que ax0+by0=c es decir los enteros x0 e y0 son soluciones de la ecuación. La solución encontrada se llamará Solución Particular del sistema. Obsérvese que este teorema además de asegurar la existencia de solución para una ecuación de este tipo, ofrece un método para calcularla. El siguiente ejemplo aclarará estas cuestiones. Ejemplo 2.1 Encontrar una solución para la ecuación diofántica 525x+100y=50 Solución - Veamos si existe solución entera para la ecuación. Calculamos el máximo común divisor de 525 y 100 mediante el algoritmo de Euclides 525 = 5(100) + 25 100 = 4(25) + 0 Es decir, m.c.d. (525, 100)= 25 y como 25 divide a 50, el teorema anterior asegura la existencia de solución entera para la ecuación. - Calculamos una solución para la ecuación. Siguiendo el método indicado en la demostración del teorema, hallamos los coeficientes de la combinación lineal del máximo común divisor de 525 y 100. Bastaría seguir el algoritmo de Euclides hacia atrás. 25= 1(525) + (-5)100 Por tanto, los coeficientes buscados son p=1 y q=-5 y según el citado teorema una solución para la ecuación sería x0=cpd e y0=cqd Donde c es el término independiente de la ecuación y d el máximo común divisor de los coeficientes de x e y. Consecuentemente, x0=50125=2 e y0=50-525= -10 2.2.2 Solución General de una Ecuación Diofántica Lineal con 2 Incógnitas Sean a, b y c tres números enteros no nulos tales que el máximo común divisor de a y b divide a c. Entonces la solución general de la ecuación ax+by=c es x=x0+k.bd y=y0-k.ad Donde x0 e y0 es una solución particular de la misma y k es cualquier número entero. Demostración Sea d el máximo común divisor de a y b. Por hipótesis d divide a c luego el teorema 2.3.1 asegura la existencia de una solución particular x=x0 e y=y0 para el sistema. Entonces, ax0+by0=c Dividiendo ahora ambos miembros de esta ecuación por el máximo común divisor de a y b, tendremos, adx0+bdy0=cd Siendo cd entero y ad,bd números enteros primos entre sí, luego el máximo común divisor de ambos es 1 y como 1 divide a cd, el teorema 2.3.1 asegura la existencia de una solución particular x1, y1 para esta ecuación, luego adx1+bdy1=cd Pues bien, adx1+bdy1=cdadx0+bdy0=cd⟹ adx1-x0+bdy1-y0=0 ⟹ adx1-x0=bdy0-y1 ⇔ bd|ad(x1-x0) Y al ser bd primo con ad, dividirá a x1-x0, luego bd|x1-x0 ⇔ ∃k∈ Z:x1-x0=k.bd ⟹x1=x0+k.bd Sustituimos el valor de x1-x0 en ad(x1-x0)+bd(y1-y0)=0 y resulta ad.k.bd+bdy1-y0=0⟹ad.k+y1-y0=0⟹y1=y0-k.ad Veamos, finalmente, que x1 e y1 es solución de la ecuación ax+by=c. En efecto, ax1+by1= ax0+k.bd+b(y0+k.ad) = ax0+a.k.bd+by0-b.k.ad = ax0+by0 =c luego, x= x0+k.bd y = y0-k.ad es solución de la ecuación ax+by=c cualquiera que sea k ∈ Z. La llamaremos Solución General de dicha ecuación. Nota: En el ejemplo anterior, teníamos que x0=2 e y0=-10 era una solución particular para la ecuación 525x+100y=50 luego una solución general de la misma será: x=2+k.10025=2+4k y=-10-k.52525=-10-21k siendo k cualquier número entero. Ejemplo 2.2 Calcular las soluciones enteras de la ecuación diofántica 66x+550y=88. Solución 66x+550y=88 - Veamos si la ecuación admite solución entera. Calculamos el máximo común divisor de 66 y 550 por el algoritmo de Euclides. 550 = 8(66) + 22 66 = 3(22) + 0 luego, m.c.d. (66, 550) = 22 y como 22 divide a 88, término independiente de la ecuación, por el teorema 2.2.1 se sigue que la ecuación propuesta admite una solución particular x= x0, y=y0. - Calculamos esta solución particular. Volviendo hacia atrás en el algoritmo de Euclides, tendremos 22 = (-8) (66) + (1) (550) luego, x0=88 -822= -32 y0=88122=4 es una solución particular de la ecuación. - Calculemos ahora la solución general. Según lo visto en el teorema 2.2.2 si una solución particular de la misma es x0=-32 e y0=4, entonces la solución general es: x=-32+k.55022=-32+25k y=4-k.6622=4-3k siendo k cualquier número entero. 2.3 Ecuaciones Diofánticas Cuadráticas Las ecuaciones diofánticas cuadráticas se encuentran, por ejemplo en problemas tales como el siguiente: Encuentre un entero b tal que sea posible expresar, mediante una ecuación cuadrática “factorizable” en el sentido del álgebra elemental; esto es mediante una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean números racionales, la siguiente ecuación 1x-1+bx-4=1. Simplificando tenemos x2-x6+b+b+8=0. Si se pide que esta ecuación tenga soluciones racionales, su discriminante debe ser un cuadrado perfecto, es decir, para algún entero s, s2=b2+8b+4=b+42-12. Por tanto necesitamos resolver en términos de b la ecuación diofántica 12=b+42-s2 En consecuencia, un factor de 12 debe ser b+4+s y el otro, b+4-s En símbolos, r=b+4+s t=b+4-s donde rt=12. Por tanto, r+t=2(b+4) y r-t=2s. Debido a que el factor 2 aparece en el segundo miembro en ambas ecuaciones, ésta pueden resolverse en términos de los enteros b y s, si y sólo si, r y t son pares ambos, o ambos impares. Ya que al intercambiar r y t no cambia b, podemos escoger a r como menor que t en valor absoluto y tener los siguientes pares de valores posibles para r y t: r=±1, t=±12; r=±2, t=±6; r=±3, t=±4 Sin embargo, r y t deben tener la misma paridad y, por tanto, los únicos valores por considerarse son: r=2, t=6 y r=-2, t=-6, que darán b=0 y b=-8. 2.4 Ecuaciones de la forma x2-y2=a Como x2-y2=(x+y)(x-y). La ecuación queda x+yx-y=a. Ahora hacemos a=bc, b y c deben ser ambos pares o ambos impares, pues la suma de dos números y su diferencia son ambas pares o ambas impares. Entonces x+y=b x-y=c Resolviendo el sistema se obtiene: x=b+c2 y=b-c2 2.5 La Ecuación x2+y2=z2 Supondremos x, y, z primos entre sí ya que si x, y, z es solución de la ecuación también lo es ax, ay, az para cualquier a. De ahí se deduce que encontrada una solución hay infinitas. Suponemos x impar, lo podemos hacer ya que al ser x, y, z primos entre sí no puede haber dos pares. Transformamos la ecuación en z2-y2=x2 Como z2-y2=z+yz-y z+yz-y=x2 El problema se reduce a descomponer x como producto de dos números primos entre sí. Sean u y v estos números z+yz-y=u2v2 obtenemos y=u2-v22, z=u2+v22 Son dos soluciones enteras puesto que la suma y la diferencia de dos impares es un número par. 2.6 Ecuaciones de la forma y2=x3+a Esta ecuación con a, número natural, se llama ecuación de Louis Mordell. Con a cualquier número natural. Su representación gráfica es una curva elíptica en el plano Real. Para cada a posee un número finito de soluciones enteras. 2.7 Ecuaciones de la forma xn+yn=zn La ecuación xn+yn=zn no tiene solución para n>3, siendo n un número entero. Expresado en palabras significa que un cubo no se puede expresar como suma de dos cubos, y ninguna potencia mayor o igual que tres se puede expresar como suma de otras dos similares. Este teorema estuvo sin demostrar durante más de trescientos años, aunque Fermat anotó en el margen del libro de Aritmética de la edición de Bachet quot;
Para esto he descubierto una demostración verdaderamente maravillosa, pero el margen de éste libro es demasiado pequeño para contenerla...quot;
. Nadie encontró esa demostración y se dudó de su existencia. El intento por demostrar éste teorema ocasionó una evolución de las matemáticas. Finalmente en 1993 Andrew Wiles demostró el teorema relacionándolo con las curvas elípticas modulares, en un manuscrito de doscientos folios. 2.8 Ecuaciones de la forma x=dy2+1 Esta ecuación, con d un número natural mayor que cero, se llama ecuación de John Pell, aunque fue Lagrange quien resolvió la ecuación. Lagrange demostró que la enésima solución xn, yn se puede expresar en términos de la primera de esta forma: xn+ynd=(x1+y1d)n Resolver la ecuación de Pell significa encontrar x1 e y1. 2.8.1 Fracciones Continúas Definición: Una función continúa es una fracción escrita en la forma a1+b1a2+b2a3+b3a4+b4a5……. con ai≠0, i=2, 3, … ai, bi ∈ Z Si los ai son enteros positivos y bi=1 para todo i=1,… entonces la fracción se llama Fracción Continúa Simple. Ejemplo: 52=1+23=1+132=1+11+12 177=2+37=2+173=2+12+13 CAPÍTULO 3. APLICACIONES DE ECUACIONES DIOFÁNTICAS 3. Aplicaciones de Ecuaciones Diofánticas 3.1 Compra de una bufanda Una bufanda cuesta 19 rublos, pero el comprador no tiene más que billetes de tres rublos; y la cajera, sólo de cinco. ¿Puede en estas condiciones abonarse el importe de la compra, y cómo hacerlo? La misión de este problema se reduce a saber cuántos billetes de tres rublos deben entregarse a la cajera para que ella dé las vueltas con billetes de cinco, cobrando los 19 rublos. Las incógnitas del problema son dos: el número de billetes de tres rublos (x) y el número de billetes de cinco (y). Sólo puede plantearse una ecuación: 3x-5y=19 Aunque una ecuación con dos incógnitas tiene infinidad de soluciones, esto no quiere decir que entre ellas haya alguna en las que x e y sean números enteros y positivos (recordemos que se trata del número de billetes de banco). He aquí por qué el álgebra ha elaborado el método de solución de estas ecuaciones quot;
indeterminadasquot;
. El mérito de haberlas introducido en el álgebra pertenece al primer sabio europeo que cultivó esta ciencia, a Diofanto, célebre matemático de la antigüedad, por lo que estas ecuaciones se llaman con frecuencia quot;
ecuaciones de Diofantoquot;
. Solución En el ejemplo citado mostremos cómo deben resolverse tales ecuaciones. Hay que hallar el valor de x y de y en la ecuación 3x-5y=19 sin olvidar que tanto x como y son números enteros y positivos. Despejando la incógnita cuyo coeficiente es menor, es decir, 3x tendremos: 3x=19+5y de donde x=19+5y3=6+y+1+2y3 Como x, 6 e y son números enteros, la ecuación puede ser acertada sólo en el caso de que 1+2y3 sea también un número entero. Expresémosle con la letra t. Entonces x=6+y+t, donde t=1+2y3 y, por tanto, 3t=1+2y ⟹2y=3t-1. De la última ecuación despejaremos la y y=3t-12=t+t-12 Comoquiera que y y t son números enteros, t-12 debe ser un número entero t1. Por consiguiente, y=t+t1 y, además, t1=t-12 de donde 2t1=t-1 t=2t1+1. Sustituyamos el valor de t=2t1+1 en las igualdades anteriores: y=t+t1=2t1+1+t1=3t1+1 x=6+y+t=6+3t1+1+2t1+1=8+5t1 De esta forma hemos encontrado la expresión para x y para y x=8+5t1 y=1+3t1 Es sabido que x e y son enteros y además positivos, es decir, mayores que 0; por lo tanto, 8+5t1>0 1+3t1>0 De estas desigualdades resulta que 5t1>-8 y t1>-85 3t1>-1 y t1>-13 Con esto el valor t1 está acotado. De aquí que la magnitud t1 es mayor que -13, (y claro, mucho mayor que -85). Más, como t1 es un número entero, se deduce que puede tener tan sólo los siguientes valores: t1=0, 1, 2, 3, 4, … Los valores correspondientes de x y de y son: x=8+5t1=8, 13, 18, 23, … y=1+3t1=1, 4, 7, 10, … Veamos ahora de qué manera puede efectuarse el pago: o bien se entregan 8 billetes de 3 rublos, recibiendo de vuelta uno de cinco: 83-5=19 o se entregan 13 billetes de 3 rublos, recibiendo de vuelta 4 billetes de 5 rublos: (13)(3) – (4) (5)= 19 Teóricamente, este problema tiene infinidad de soluciones, pero en la práctica su número es limitado, por cuanto ni el comprador, ni la cajera tienen una cantidad ilimitada de billetes de banco. Si cada uno dispone, por ejemplo, de 10 billetes, el pago puede efectuarse sólo de una forma: entregando 8 billetes de 3 y recibiendo uno de 5. Como vemos, en la práctica las ecuaciones indeterminadas pueden dar soluciones determinadas. Volviendo a nuestro problema, proponemos al lector que, en calidad de ejercicio, resuelva por su cuenta una de las variantes: concretamente, examinar el caso en que el comprador no tenga más que billetes de 5 rublos, y la cajera, sólo de 3. En este caso aparecen las siguientes soluciones: x = 5, 8, 11,.... y = 2, 7, 12,.... En efecto, 5 * 5 - 2 * 3 = 19 8 * 5 - 7 * 3 = 19 11 * 5 - 12 * 3 = 19 Podríamos obtener también estos resultados al tomar las soluciones del problema central mediante un sencillo procedimiento algebraico. Puesto que entregar billetes de cinco rublos y recibir de tres rublos equivale a quot;
recibir billetes negativos de cinco rublosquot;
y quot;
dar billetes negativos de 3 rublosquot;
, la nueva variante del problema se resuelve con la ecuación planteada en el problema central: 3x - 5y = 19 pero con la condición de que x e y sean números negativos. Por eso, de las igualdades x = 8 + 5t1 y = 1 + 3t1 sabiendo que x < 0 e y < 0, deducimos: 8 + 5t1< 0 1 + 3t1< 0 y, por consiguiente, t1< -85 Tomando t1 = - 2, - 3, - 4, etc., obtenemos de las fórmulas anteriores, los siguientes valores para x e y t1=-2⟹x=-2, t1=-3⟹x=-7, t1=-4⟹x=-12 y=-5 y=-8 y=-11 El primer par de solucionesx=-2, y=-5, significa que el comprador quot;
paga menos dos billetes de tres rublosquot;
y quot;
recibe menos cinco billetes de cincoquot;
, es decir, traducido al idioma común, quiere decir que paga con cinco billetes de a cinco, recibiendo como vuelta 2 billetes de a tres. De esta misma manera interpretaremos también las demás soluciones. 3.2 Una revisión en la tienda Al revisar los libros de contabilidad de la tienda, uno de ellos apareció con borrones de tinta, presentando este aspecto: No era posible descifrar el número de metros vendidos, pero no cabía duda de que éste no era un decimal. En el importe de la venta podían distinguirse sólo las tres últimas cifras y establecer que, delante de éstas, había otras tres. ¿Podía la comisión revisora averiguar qué cifras eran las del libro auxiliar, valiéndose tan sólo de estos datos? Solución Representemos el número de metros con la x y el importe de la venta, expresado en kopeks, con el número 4.936x . Las tres cifras cubiertas por el borrón las expresamos con una y. Esto, sin duda, expresa la cantidad de millares de kopeks; y toda la suma de kopeks será: 1.000y + 728. Tenemos la ecuación 4.936x = 1.000y + 728. Después de dividir los dos miembros de la igualdad por 8, resulta 617x - 125y = 91 En esta ecuación, los números x e y son enteros y, además, y no es superior a 999, por cuanto no puede tener más de tres cifras. Resolvamos la ecuación como indicamos antes: 125y = 617x – 91 y=5x-1+34-8x125=5x-1+217-4x125=5x-1+2t (Aquí hemos tomado 617125=5-8125, ya que nos conviene que haya el menor residuo posible. El quebrado 217-4x125 es un número entero, y como 2 no se divide por 125, 17-4x125, x debe ser un número entero, que representaremos con la t. Después, de la ecuación 17-4x125=t se obtiene 17 - 4x = 125t x=4-31t+1-t4=4-31t+t1 donde t1=1-t4 por lo tanto 4t1=1-t t=1-4t1 x=125t1-27 y=617t1-134 Se sabe que 100≤y<100. Por consiguiente 100≤617t1-134<1000, de donde t1≥234617 y t1=1134617 Es evidente que para t1 existe solamente un valor entero: t1=1, de dondex=98, y=483; es decir, fueron vendidos 98 metros por una suma total de 4.837 rublos 28 kopeks. El libro auxiliar, pues, ha sido restablecido. 3.3 Compra de sellos de correos Se dispone de 1 rublo para comprar 40 sellos de correos: de 1, 4 y 12 kopeks. ¿Cuántos sellos de cada uno de estos precios deberán comprarse? Solución En este caso tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas: x+4y+12z=100, x+y+z=40, donde x es el número de sellos de 1 kopeks; y, el de 4 kopeks, y z, el de 12 kopeks. Restando de la primera ecuación la segunda, obtendremos una ecuación con dos incógnitas: 3y+11z=60 Despejemos la y: y=20-11*z3 Es evidente que 3 es un número entero. Indiquémosle con la t. Tenemos: y=20-11t z=3t Sustituyamos la y y la z en la segunda de las ecuaciones iniciales: x+20-11t+3t=40; de aquí que x = 20 + 8t Como x≥0, y≥0, y z≥0, no es difícil establecer los límites de t: 0≤t≤1911 de donde se deduce que para t son posibles sólo dos valores enteros: t = 0 y t = 1. Los valores correspondientes de x, y, y z son: t = 0 1 x = 20 28 y = 20 9 z = 0 3 Prueba: y = 20 * 1 + 20 * 4 + 0 * 12 = 100 z = 28 * 1 + 9 * 4 + 3 * 12 = 100 En la compra de sellos, como vemos, son posibles dos variantes (si van a exigir que se compre aunque sea un solo sello de cada valor, es posible una sola variante). Pasemos al segundo problema de este mismo tipo. 3.4 Compra de frutas Por 5 rublos se compraron 100 unidades de diferentes frutas. Sus precios son los siguientes: Sandía 50 kopeks cada una Manzanas 10 kopeks cada una Ciruelas 1 kopeks cada una ¿Cuánta fruta de cada clase fue comprada? Solución Indicando el número de sandías con la x, el de las manzanas con la y y el de las ciruelas con la z, establezcamos dos ecuaciones: 50x+10y+1z=500 x + y + z=100 Restando de la primera ecuación la segunda, obtendremos una ecuación con dos incógnitas 49x + 9y = 400. El anterior desarrollo del problema será el siguiente: y=400-9x9=44-5x+41-x9=44-5x+4t t=1-x9 ⟹x=1-9t y=77-51-9t+4t=39+49t De las desigualdades 1-9t≥0 y 39+49t≥0 se deduce que 19≥t≥-3949 por consiguiente, t = 0. Por eso. x=1, y y=39 Sustituyendo los valores de x y de y en la segunda ecuación, deduciremos que z = 60. Se compraron 1 sandía, 39 manzanas y 60 ciruelas. 3.5 Adivinar el día de nacimiento Las ecuaciones indeterminadas permiten efectuar el siguiente truco matemático. Se propone a una persona que multiplique la fecha del día de su nacimiento por 12, y el número del mes, por 31. Con la suma de los productos de esos datos puede calcularse la fecha del nacimiento de la persona dada. Si por ejemplo nació el 9 de febrero, se efectuarán las siguientes operaciones: 912=108, 231=62, 108+62=170 ¿Cómo se deducirá el día del nacimiento conociendo esa suma? Solución La tarea se reduce a resolver la ecuación indeterminada 12x + 31y = 170 en la que los valores de las incógnitas deben ser enteros y positivos; además, la fecha del mes, x, no es superior a 31, y el número del mes, y, no pasa de 12. x=170-31y12=14-3y+2+5y12=14-3y+t 2+5y=12t y=-2+12t5=2t-2*1-t5=2t-2t1 1-t=5t1, t=1-5t1 y=2*1-5t1-2t1=2-12t1 x=14-3*2-12t1+1-5t1=9+31t1 Se sabe que 31≥x>0 y 12≥y>0, por lo que los límites para t1: -931<t1<16 Por lo tanto, t1=0, x=9, y=2. La fecha de nacimiento es el día 9 del segundo mes, es decir, el 9 de febrero. Se puede proponer otra solución que no exige el empleo de ecuaciones. Nos han dicho la cifra a=12x+31y. Puesto que 12x + 24y se divide entre 12, en este caso los números 7y y a, después de ser divididos entre 12, tienen restas iguales. Al multiplicar por 7 resulta que 49y y 7a, después de ser divididos entre 12, tienen restas iguales. Pero 49y=48y+y, y 48y se divide entre 12. Resulta que y y 7a al ser divididos entre 12 tienen restas iguales. Con otras palabras, si a no se divide entre 12, en este caso y es igual a la resta de la división del número 7a entre 12; pero si a se divide entre 12, entonces y = 12. Este número y (número del mes) se determina enteramente. Sabiendo y ya es muy fácil determinar x. Un pequeño consejo: antes de determinar la resta de la división del número 7a entre 12, cambie el mismo número a por su resta de la división entre 12 - será más fácil calcular. Por ejemplo, si a=170, Ud. tiene que efectuar mentalmente los siguientes cálculos: 170 = (12) (14) + 2 (entonces la resta es 2) 2 * 7 = 14; 14 = (12) (1) + 2 (entonces y = 2) x'=170-31y12=170-31212=18012=9 entonces x=9 Ahora Ud. puede comunicar que la fecha del nacimiento es el 9 de febrero. Demostremos que el truco nunca falla, es decir, que la ecuación tiene siempre una sola solución, siendo sus valores enteros y positivos. Representemos por a el número que se nos comunica. En este caso, la fecha del nacimiento vendrá expresada por la ecuación 12x+31y=a Razonemos quot;
por reducción al absurdoquot;
. Supongamos que esta ecuación tiene dos soluciones diferentes enteras y positivas, concretamente: la solución x1, y1 y la solución x2, y2; además, tanto x1 como x2 no son superiores a 31; y1 y y2 tampoco son mayores que 12. Tenemos: 12x1+31y1=a 12x2+31y2=a. Restando la segunda ecuación de la primera, tendremos: 12x1-x2+31y1-y2=0 De esta igualdad se desprende que el número 12(x1-x2) es divisible por 31. Como x1 y x2, son números positivos que no superan 31, su diferencia, x1-x2 es una magnitud menor que 31. Por eso, el número 12(x1x2) puede dividirse por 31 sólo cuando x1=x2, es decir, si la primera solución coincide con la segunda. De esta manera, la suposición de que existen dos soluciones diferentes conduce a una contradicción. CONCLUSIONES Las ecuaciones diofánticas han sido un tema de mucho interés para los matemáticos de todos los tiempos y es por eso que, como matemáticos que somos, lo es también para nosotros. Una de las características de la teoría de números es la facilidad con que surgen gran cantidad de problemas muchos de los cuales pueden ser abordados, en principio, sin necesitar grandes requisitos. Estudiamos que este tipo de ecuaciones se conoce, en Matemática, desde muy antiguo, pero fue tras la obra del matemático griego Diofanto de Alejandría (siglo III d.C.: 210 - 290) que comenzaron a llamarse Ecuaciones Diofantinas. Hemos aprendido lo que es una ecuación diofántica, y también hemos aprendido a resolver algunas de ellas, concretamente las ecuaciones diofánticas lineales con dos incógnitas (Solución Particular y Solución General), con a, b, y c números enteros. Finalmente, aprendimos a cómo resolver problemas de aplicación mediante ejemplos. La teoría de números es tan importante en la Matemática como la Matemática en todas las demás disciplinas. RECOMENDACIONES 1. Este trabajo de investigación, es realizado con la finalidad de que sirva de motivación para los lectores, para seguir realizando trabajos en el campo de la investigación, y así poder dar aportes al campo de la Matemática. 2. Las Ecuaciones Diofantinas son tan importantes que desde las ecuaciones más simples hasta las más complejas se pueden verse como una ecuación diofántica. Así que animo al lector a seguir investigando más sobre estas ecuaciones diofantinas. 3. Para nosotros que somos los estudiantes de Matemática, debería ser de mucha importancia, estudiar temas relacionados a la Teoría Elemental de Números. BIBLIOGRAFÍA http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1710003/Apuntes/Leccion12.pdf http://biblio3.url.edu.gt/Libros/2011/alg-recre/cap04.pdf http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Algebra/Ecuaciones/EcuDio.htm http://matematica.lacoctelera.net/post/2006/03/20/ecuaciones-diofanticas http://www.astroseti.org/articulo/3629/ BARRANTES, HUGO, y otros. 1998. Introducción a la Teoría de Números. San José, Costa Rica; Págs. 39 – 40.

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