ESFUERZOS EN VIGAS

1. UNIVERSIDAD NACIONAL
DE
INGENIERIA
ESFUERZOS EN
VIGAS
ALEX MEJIA QUIROZ
RESISTENCIA DE MATERIALES
2017

2. ESTRUCTURAS
Son unserie de elementosorganizadosconundiseño,con el finde soportarfuezaspara poderser
resistentesydarle equilibrioaunaconstruccion.Asi R.C.Hibbeler(2012) sostiene que unaestructuraesun
“Sistema de partesconectadasquese utiliza para soportaruna carga,losedificioslos puenteslas torres”,
etc.
ELEMENTOS ESTRUCTURALES
1. TENSORES
Son a quellosque se encuentrasomentidosa fuerzasde tension,estoselementostiendenaserdelgados.
2. VIGAS
Las vigasson elementosestructuralesimportantesque se usanpara
soportarcargas de techosy pisos.Seráel tipo,calidadyfinde la
construcciónloque determinarámedidas,materialesde laviga,ysobre
todo,su capacidadde sostenerycontenerpesosytensiones.
Las vigasse diseñanenunprincipiopararesistirmomentosde flexión;
sinembargosi una vigaes corta y soportagrandescargas, la fuerza
cortante internapuede llegaraserbastante grande y determinarel
diseñode laviga.
VIGA DE MADERA VIGA DE ACEROO HIERRO
VIGA DE CONCRETOU HORMIGON
ARMADO
Se comporta de un modo
ortotrópicocon diversidad
ensu resistenciayrigidez,
soportandoasí diferentes
sentidosenlosesfuerzos
(paralelootransversal ala
fibrade la madera).La
maderaes capaz de
soportarexigenciascon
menosdeformaciónque
otros materiales.
Presentauncomportamiento
isotrópico,conmás
resistenciaymenorpesoque
el hormigón.Logransoportar
mayoresesfuerzosde
compresióny mayores
tracciones,loque lashace las
grandesfavoritasparaobras
residencialesyurbanas.
Para elaborarvigasse utilizael
concretopretensadoyel post
tensado,adiferenciadel concreto
armado,por su adecuacióna las
exigenciasde lasobrasyesfuerzos.
Son resistentes,presentanbuena
flexibilidadyadaptacióna las
exigenciasytensionesdel terreno,
aunque sonde mayor pesoque las
de hierro,normalmente usadasen
construcciónde viviendas.
En el caso de vigas de metal la sección transversal
resulta ser más eficiente si resulta tener una forma
como la que se muestra en la figura,donde las alas
superior e inferior forman el par necesario para
resistir el momento M aplicado, mientras que el
alma es eficiente para resistir la fuerza cortante V
esta sección transversal ES CONCOIDA COMO ALA
ANCHA. (R.C.Hibbeler, 2012)

3. TIPOS DE VIGAS
Viguetas: Se colocan una cerca de la otra con el fin
de aguantar el piso y techo en una edificación. Su
funciónprincipal esde servirde cimiento para pisos
superiores y de soporte del techo. Son elaboradas
en base a acero, madera y concreto.
Largueros: Son colocadas en todo el largo y en n
paralelo del camino de un puente. Actúan como
cimientos de obrasque estánsuspendidasenel aire.
Se colocan de lado a lado por todo el camino, para
así podersoportar el pesode losque transitanporel
camino.
Dinteles: Estas vigas son colocadas sobre las
aberturas de una pared de mampostería, su
función es soportar el vacío producido por las
ventanas y las puertas. En construcciones
coloniales, se emplearon dinteles elaborados en
base a madera.
Vigas de tímpano: Estas vigas son construidas para
ser usadas como sostén del peso y para
mantenerlineadaslas paredes del exterior de una
edificación.
Según su forma o uso
Vigasde acero L
Llamada así debido a su forma transversal. Estas
vigas se utilizan en construcciones comerciales,
desde rascacielos a estadios, pero también se
pueden utilizar en la construcción residencial.
Existentambiénotrostiposde vigas según su forma transversal,
estas se van a diseñar según el tipo de construcción que se va
realizar teniendo en consideración las cargas que soportaran.
Vigas de madera laminada
Se hacen con varias piezas de madera comprimidas una encima
del otro. Este tipo de vigas se utilizan a menudo en edificios
públicos.
VigasFlitch
Son híbridas de madera y metal, generalmente acero, echa con
capas una encima de otra. Los perfilesde madera permiten que
se claven en otras estructuras, mientras que las piezas de
metal proporcionan una mayor fuerza y capacidad de soporte
de peso. Otra ventaja de estas vigas es que son menos costosas

4. que las vigas construidas totalmente en metal.
TIPOS DE VIGAS
Simplemente o doblemente apoyada
Apoyada y empotrada
En voladizo
Empotrada o doblemente empotrada o viga fija
Con múltiples apoyos
3. COLUMNAS
Son loselementosde lasestructurasque estánenposiciónvertical,estasresisten cargasde comprensión
axial.Lasseccionestransversalestabularesyde alaancha son usualmente lasde metal,mientrasque lasde
seccionestransversalescircularesycuadradascon varillasde refuerzosonlasde concreto.
COMO HEMOS VISTO LAS VIGAS FORMAN PARTE LAS ESTRUCTURA AHORA VEAMOS LOS
DISTINTOS ESFUERZOS QUE SE PRESENTAN. PARA ESO PRIMERO DEFINIREMOS ALGUNAS
EXPRESIONES ANTES DE EMPEZAR CON EL TEMA CENTRAL.
CARGAS
Es una acción estacionariade unafuerzaoun momentoque actúansobre ciertoobjeto,asítenemos:
CARGASMUERTAS
Son lospesosde losdiversoselementosestructuralesylospesosde todoslosobjetosque estánunidosde
manerapermanente alaestructura.En un edificioporejemplo,lascargasmuertasson,el pesode las
columnas,vigasytrabes,la losadel piso,del teco,paredes,ventanas,etc.
CARGASDISTRIBUIDAS
Existenmultitudde ejemplosde cargasdistribuidas,conocidatambiéncomo
fuerzasdistribuidas,comoporejemplolaque ejerce el pesode lanieve sobre
un coche tras una nevada,o lade unpuente porla que pasanvehículos
continuamente.Unacarga distribuidapuede serporejemplolarepresentada
enla siguiente figura.
La respuestaeslasiguiente: el áreacontenidadebajode lacurva,que como ya muchoshabránintuidose
puede calcularmediante una integracióndirecta,te representalafuerzatotal (F) ensucentrode masa (d).
Por lotanto,para calcularla fuerzaymomentoresultantesde estadistribución,ademásde supuntode
aplicación equivalente,hayque resolverlassiguientesexpresiones:

5. 𝐹 = ∫ 𝑞( 𝑥) 𝑑𝑥
𝐿
0
𝑀 = ∫ 𝑞( 𝑥) 𝑥𝑑𝑥
𝐿
0
𝑑 =
𝑀
𝐹
Para áreas conocidasyasea un
cuadrado o unrectánguloo untrapecio,
solose aplicalas formulasbásicasde sus
áreas ysus respectivoscetrosde masas.
DESNSIDADES MIONIMAS PARA LAS CARGAS DE DISEÑO DE DSITINTOS MATERIALES

6. EQUILIBRIO DE UN CUERPO DEFORMABLE
Las fuerzasde superficiesoncausadas por el contactodirectode un cuerpocon la superficie de otro,y
estasestándistribuidasenel áreade contactode los cuerpos. La fuerzaque se ejerce entre el sueloyalas
ruedasde una bicicleta.
Las fuerzasde cuerpo se desarrollan cuandouncuerpo ejerce unafuerzasobre otrocuerposincontacto
físicoentre estos.Efectoscausadosporla gravitacióne la tierrao por su campoelectromagnético.
REACCIONES EN LOS SOPORTES (APOYOS)
ECUACIONESDE EQUILIBRIO
El equilibriode uncuerporequierede unbalance de fuerzasparaimpedirque el cuerpose traslade otenga
movimientoaceleradoalolargode una trayectoriarecta o curva y unabalance de momentosparaimpedir
que el cuerpogire,estánsonlas famosas1era y 2da condiciónde equilibrio.
∑ 𝐹 = 0
∑ 𝑀0 = 0
En estasecuaciones ∑ 𝐹 representaodaslasfuerzasque actúansobre el cuerpo,mientrasque ∑ 𝑀0 esla
suma de todoslosmomentosrespectoacualquierpuntoOseasobre o fueradel cuerpo.
Si los separamosvectorialmente enunsistemade coordenadas x,y,z con u origenenel punto O,tenemos:
∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 ∑ 𝐹𝑧 = 0 (1)
∑𝑀 𝑥 = 0 ∑ 𝑀 𝑦 = 0 ∑ 𝑀𝑧 = 0 (2)

7. Esfuerzos
Es la resistenciaque ofrece unáreaunitariadel materialdel que estáhechounmiembroparaunacarga
aplicadaexterna. Esunacantidadfísica vectorial que se describe mediante losconceptos intuitivos de
“empujar”y “jalar”. SegúnR.C.Hibbeler(2011) define al esfuerzocomo la intensidad dela fuerza interna
sobreun plano específico (área) quepasa a travésde un punto.
ESFUERZO NORMAL PROMEDIO EN UNA BARRA CARGADA AXIALMENTE
Si se tiene unabarra prismática(todassusseccionestransversalessoniguales) cuandose le aplicauna
carga P a travésdel centroide del áreade suseccióntransversal este se deformarade manerauniforme en
toda laregióncentral de la longitud,siempre ycuandoel material seahomogéneo(tienelasmisma
propiedadesfísicasy mecánicasaloalargo de todo suvolumen) e isotrópico(tienelasmismaspropiedades
entodas lasdirecciones).
En consecuenciacadapequeñaárea ∆𝐴 enla seccióntransversal estásometidaauna fuerza ∆𝐹 = 𝜎∆𝐴, y
la sumade estasfuerzasque actúansobre toda el áreade estaseccióntransversal debe serequivalenteala
fuerzaresultante Penlasección.Si hacemos ∆𝐴 → 𝑑𝐴 y porconsiguiente ∆𝐹 → 𝑑𝐹 entoncescomo 𝜎 es
constante se obtiene.
∫ 𝑑𝐹 = ∫ 𝜎𝑑𝐴
𝑃 = 𝜎𝐴
𝜎 =
𝑃
𝐴
Una viga planaesun elementoestructural enel cual internamenteactúantresesfuerzosdistintos,un
esfuerzonormal “N”,unesfuerzode corte “V”y un momentoflector“M”.
El esfuerzoaxial onormal
Es la componente de lafuerzainternaperpendicularal planode lasecciónyse indicaconla letraN. Es la
intensidadque actúaenformanormal a ∆𝐴, 𝜎 (sigma).
𝜎𝑧 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑧
∆𝐴
Si la fuerzao el esfuerzonormal “jala”al
elemento∆𝐴 se denominaesfuerzo de
tensión,mientrasque si “empuja”a ∆𝐴 ,se
denominaesfuerzo decomprensión
El esfuerzocortante
Es la componente de lafuerzainternacontenidaenel planode lasecciónyse indicaconla letraT.
La intensidadde lafuerzaque actúatangentementea ∆𝐴 se llamaesfuerzocortante,𝜏(tau).
Debe enfatizarse que el valorobtenidoesunvalorpromediopara
el esfuerzo cortante sobre todalasección. Paralos esfuerzos
normales,eneste casonopuede suponerse que ladistribución de
losesfuerzoscortantesatravésde una secciónseauniforme.

8. 𝜏 𝑧,𝑥 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑥
∆𝐴
𝜏 𝑧,𝑦 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑦
∆𝐴
Observe que enestanotaciónel subíndice zindicalaorientacióndel
área ΔA, figura1-11, y que x y y se usanpara especificarlosejesalo
largode loscualesactúan cada esfuerzo cortante.
El momentoflector
Es el nombre que recibe el momentointernode losproblemasplanosyse indicaconla letraM. En
problemasentresdimensiones,el momentointernose puede descomponerenotrosmomentos.
FLEXION
Es el tipode deformaciónque presentaunelementoestructural alargadoenunadirecciónperpendiculara
su eje longitudinal.Uncaso típicoson lasvigas,lasque estándiseñadasparatrabajar, principalmente,por
flexión.Igualmenteel conceptode flexiónse extiende aelementosestructuralessuperficialescomoplacas
o láminas.El esfuerzoque provocalaflexiónse denominamomentoflector.
Para poderdiseñarcorrectamenteuna viga es necesario determinarla fuerza cortantey el momento
máximo en la viga.Una forma de hacerlo es expresarV y M en función deposición arbitraria x sobreel eje
de la viga.Despuésde, estasfuncionesdefuerza cortantey de momento pueden representarsemediante
graficasllamadasdiagrama defuerza cortantey demomento.(R.C.Hibbeler,2011)

9. CONVECCION DE SIGNOS EN VIGAS
Las direcciones positivas son las siguientes: la carga distribuida actúa hacia arriba sobre la viga; la fuerza
cortante internaocasionaungiro ensentidohorariodel segmentode vigasobre el que actúay el momento
interno causa comprensión en las fibras superiores del segmento. Las cargas que son opuestas se
consideran negativas
EJEMPLO: RESOLUCION DE PROBLEMAS
PRESENTACION DEL
PROBLEMA
DIAGRAMA DE
CUERPO LIBRE:
representamostodas
la fuerzas,
reacciones.
USO DE CONDICIONESDEEQUILIBRIO : ecuaciones
(1) y (2)
REGIONESDE CARGA DISTRIBUIDA
Se muestrauna vigaque está sometidaauna carga arbitrara como tambiénse muestrael diagramade
cuerpolibre de unpequeñosegmento ∆𝑥 de laviga.

10. +↑ ∑ 𝐹𝑥 = 0 𝑉 + 𝑤( 𝑥)∆𝑥 − ( 𝑉 + ∆𝑉) = 0
∆𝑉 = 𝑤( 𝑥)∆𝑥
+∑ 𝑀 𝑜 = 0; − 𝑉∆𝑥 − 𝑀 − 𝑤( 𝑥)∆𝑥[ 𝑘(∆𝑥)] + ( 𝑀 + ∆𝑀) = 0
∆𝑀 = 𝑉∆𝑥 + 𝑤(𝑥) 𝑘(∆𝑥)2
Al dividirentre ∆𝑥 ytomarlímite de ∆𝑥 → 0 se obtiene
La primeraecuaciónsostiene que unpuntolapendiente del diagramade fuerzacortante esigual a la
intensidad de lacarga distribuida.
Por ejemploconsidere lavigade lafigura(a) la carga distribuida
esnegativaestáendirecciónal eje –y, y aumentadesde 0hasta
-wB.
Por loque el diagramade fuerzacortante seráuna curva con
pendientenegativafigura(b).
Por otro ladovemosdel diagramadel momentoflectorenel
cual se sostiene que enunpuntolapendienteesigual ala
fuerzacortante.En la figurase observaque el diagrama
empiezaen+Va,decrece hastaceroy luegopasa a sernegativo
y disminuye hasta–Vbfigura(c).
En este casoasumimosque despuésde ese cambiode
pendienteladirecciónde lafuerzacortante cambia.
DEFORMACION FLEXIONANTEDEUN ELEMENTO RECTO.
Solose está considerandoaquelloscuerposovigasprismáticos.
Cuandose aplicael momento flexionanteauncuerpoeste
tiende adeformarse,las líneaslongitudinalesse curvan,mientrasque laslíneas transversalesse mantienen
constante.
El momentoflexionante hace que el materialde laporcióninferiorde labarra se estirayque el material de
la parte superiorse comprima. Enconsecuenciaentre estasdosregionesdebe haberunasuperficie,
llamadasuperficieneutra enla que lasfibraslongitudinalesnosufriránnosufriránningúncambiode
longitud.

11. EJE LONGITUDINAL O EJE NEUTRO
Es aquel eje donde que se encuentraenlasuperficie neutra,el cual noexperimentaningúntipode
variaciónensu longitud.
En la figurase ve claramente cómoes
que se llegaa distorsionarlaslíneas
(líneainferiorde comprime,ya línea
superiorse estira) debidoalaflexión
En la figurase observaun
cuerpodistorsionadodebido
a la flexión,enel cual se
muestrala superficieneutra
la cual no sufre cambiode
longitudensusfibras.

12. En este caso hallaremosladeformaciónocasionadaporlaflexióntransmitida.Enlasfigurasvemosunárea
inicial ∆𝑆 que luegocontraeráa ∆𝑆´ por definiciónla,ladeformaciónalolargode la ∆𝑆 se determinaasí:
𝜀 = lim
∆𝑆 →0
∆𝑆´ − ∆𝑆
∆𝑆
Antesde la deformación ∆𝑆 = ∆𝑥 peroluegode ladeformación ∆𝑥 tieneunradiod ecurvatura 𝜌 con
centrode curvaturaen O´. Aparece tambiénunárea ∆𝑆´ con un radiode curvatura (𝜌 − 𝑦), con centrode
curvatura enO´. Como ∆𝜃 esel ángulose tiene losiguiente.
𝜖 = lim
∆𝜃→0
( 𝜌 − 𝑦)∆𝜃 − 𝜌∆𝜃
𝜌∆𝜃
𝜖 = −
𝑦
𝜌
Para cualquierseccióntransversalespecífica,ladeformaciónnormal longitudinal variaralinealmente cony
desde el eje neutro.
En las fibras situadas por encima del eje neutro (+y) se producirá una contracción (-𝝐),mientrasque en
las fibras situadas por debajodel eje neutro(-y) se producirá una contracción (+𝝐).
Aquí ladeformaciónmáximase produce enlafibramásexterna,ubicadaauna distanciay = c del eje
neutro.Usandola ecuaciónanterior 𝜖 𝑚𝑎𝑥 =
𝑐
𝑝
, entonces:
𝜖
𝜖 𝑚𝑎𝑥
= −
(
𝑦
𝜌
)
(
𝑐
𝑝
)
𝜖 = −(
𝑦
𝑐
) 𝜖 𝑚𝑎𝑥
Mediante el usode la Leyde Hooke
𝜎 = 𝐸𝜖
Tenemoslaecuaciónanteriorcomo:
𝜎 = −(
𝑦
𝑐
) 𝜎 𝑚𝑎𝑥
El esfuerzode lavigapuede determinarseapartirdel momentointerno
resultante debe serigual al momentoproducidoporladistribucióndel
esfuerzorespectoal eje neutro.El momento 𝑑𝐹 respectoal eje neutroes
𝑑𝑀 = 𝑦𝑑𝐹 como 𝑑𝐹 = 𝜎𝑑𝐴 se tiene para todala seccióntransversal.

13. O bien:
La integral nosbrindael momentode inercia,lo cual laecuaciónquedade lasiguientemanera.
ESFUERZO DE COMPRENSION
MAXIMO
ESFUERZO DE TENSION
MAXIMO
𝝈 𝒎𝒂𝒙 = −
𝑴𝒄
𝑰
𝜎 𝑚𝑎𝑥 = +
𝑀𝑐
𝐼
Donde:
𝜎 𝑚𝑎𝑥 = Es el esfuerzonormal máximoenel elemento que se produce enel puntosobre el áreade la
seccióntransversal que estámásalejadodel eje neutro.
𝑀 = Es el momentointernoresultante,determinadoapartirdel métodode lasseccionesyde las
ecuacionesde equilibrio;se calcularespectoal eje neutrode laseccióntransversal.
𝑐 = Es la distanciaperpendicular(+) desde el eje neutrohastael punto másalejadode este.
𝐼 =El momentode inerciadel áreade laseccióntransversal respectoal eje neutro.
Como
𝜎 = − (
𝑦
𝑐
) 𝜎 𝑚𝑎𝑥
Entonces
ESFUERZO CORTANTE TRANSVERSAL
La fuerzacortante V es el resultadode unadistribucióndel esfuerzocortante que actúasobre lasección
transversal de laviga.Sinembargodebidoala propiedad complementariade lafuerzacortante,este
produciráesfuerzoscortanteslongitudinales,que actuarana lolargode planoslongitudinalesde laviga.
Vemosenlafigura(a) tablasque no estánunidas
entre sí, al haber uncontacto entre superficies
lisasy a lascualesse lesaplicauna carga P, hará
que cada tabla se deslice conrespectoala otra
cuandola vigase somete aflexión.Caso
contrarioen lafigura(b) la vigaactúa como una
solaimpidiendosudeslizamientorelativo.

14. Cuandose aplicauna fuerzacortante V,esta tiene adeformarlaseccióntransversal comose muestraenla
figura(b).Esta distribuciónnouniforme de ladeformacióncortante haráque la seccióntransversal se
alabe.
Esta forma que tiene laseccióntransversal se darealmente cuandolavigaessometidaflexióncomoa un
esfuerzocortante.Sinembargoesdemasiadopequeñocomoparapoderloconsiderarcomoparano
considerarlo.
FORMULA DEL ESFEURZO CORTANTE
Para estoconsideraremosel equilibriode lasfuerzashorizontalesde unaporcinodel elementotomadade
la figura.Aquíse presentael diagramade cuerpolibre de este pequeñoelemento.
Se generauna distribuciónde losmomentoMy M+ dM. La distribucióndel esfuerzohace que se genere un
solomomentopar.
En estapequeñaelementoconsiderelaporciónsombreadade área 𝐴´que se ha seccionadoenuna
distanciay´desde el eje neutro,tieneunasección 𝑡 .En este caso la∑ 𝐹𝑥 = 0 nose cumple debidoaque los
momentosencada ladodifierenen 𝑑𝑀 poresopara poderbalancearse considerara 𝜏 el esfuerzocortante
longitudinal,que actuaráenlaparte inferiorde laporciónde área 𝑡(𝑑𝑥). Se consideraque el esfuerzo
cortante 𝜏 se mantiene constante aloalargode 𝑡.
Como
𝜎 = (
𝑀
𝐼
) 𝑦
Despejandoel esfuerzocortante:

15. Comoya sabemos 𝑉 =
𝑑𝑀
𝑑𝑥
y que la integral representael momentodel área 𝐴´respectoal eje neutro,se le
representaraconlaletraQ. La ubicacióndel centroide delárea 𝐴´ es 𝑦´̅.
Quedandolasiguienteformula:
Donde:
𝜏 = Es el esfuerzocortante enel elemento,enel puntosituadoaunadistanciay´ desde el eje neutro.Se
supone este esfuerzoesconstante,porlotantose promediaa lolargode 𝑡.
𝑉 = Es lafuerzacortante interna,determinadaconbase enel métodode lasseccionesylasecuacionesde
equilibro.
𝐼 = El momentode inerciade todala seccióntransversal respectoal eje neutro.
𝑡 = La anchura del áreade la seccióntransversal del elemento,medidaenel puntodonde se determinara 𝜏
𝑄 = 𝑦´̅ 𝐴´, donde 𝐴´esla parte superioroinferiordel áreade laseccióntransversal del elemento,por
encimao debajodel planodonde se mide 𝑡, y 𝑦´̅ esla distanciadesde el ejeneutrohastael centroide de 𝐴´
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1. Determine losesfuerzosflexionantes máximosdecomprensióny de tensión en la vigasi este se
somete a un momentode M = 4kip.pie

16. Hallamosel eje neutro:
Para esohemosdividoen3 grupos,loscualestienenlasmismascaracterísticas,comoyasabemospor
simple inspecciónloscentroidesde cadafiguraprocedemosaaplicarla siguienteformula.
EJE NEUTRO:
321
332211
2
2
AAA
AyAyAy
Y



𝐸𝐽𝐸 𝑁𝐸𝑈𝑇𝑅𝑂 ∶ 𝑦̅ =
5(0.5)(10) + (10.25)(0.5)(4) + 2(8.5)(0.5)(3)
(0.5)(10) + (0.5)(4)
= 7.1 𝑝𝑢𝑙𝑔

17. Hallamoslosmomentosde inerciade cadacuerpo respectoal eje neutro utilizandoel teoremade losejes
paralelos, mediante lasiguiente formula:
Comotodas lasáreas sonrectángulosel trabajose hace másfácil.
2
1
3
)(
12
1
yyAhbI nn 
𝐼1 =
1
12
(0.5)(10)3 + (0.5)(10)(5 − 7.1)2 = 63.71667 𝑝𝑢𝑙𝑔4
𝐼2 =
1
12
(4)(0.5)3 + (0.5)(4)(5 − 7.1)2 = 19.88667 𝑝𝑢𝑙𝑔4
𝐼3 = 2 (
1
12
(0.5)(3)3 + (0.5)(3)(8.5 − 7.1)2) = 8.13 𝑝𝑢𝑙𝑔4
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 = 91.7334 𝑝𝑢𝑙𝑔4
Comohemosvistoanteriormentelafórmulaparahallarel esfuerzode tensiónyesfuerzode comprensión:
Mediante lasiguiente formula:
ESFUERZO DE COMPRENSION
MAXIMO
ESFUERZO DE TENSION
MAXIMO
𝝈 𝒎𝒂𝒙 = −
𝑴𝒄
𝑰
𝜎 𝑚𝑎𝑥 = +
𝑀𝑐
𝐼
Reemplazandolosdatostenemos:
1 𝑘𝑖𝑝 = 1000 𝑙𝑏𝑓 → 1 𝑝𝑖𝑒 = 12 𝑝𝑢𝑙𝑔
4 𝑘𝑝𝑖. 𝑝𝑖𝑒 = 4000 ∗ 12 𝑙𝑏𝑓/𝑝𝑢𝑙𝑔
ESFUERZO DE TENSION
MAXIMO
ESFUERZO DE COMPRENSION
MAXIMO
𝜎 𝑚𝑎𝑥 =
4000 ∗ 12 ∗ 7.1
91.7334
3715.11358 𝑙𝑏𝑓/𝑝𝑢𝑙𝑔2
𝜎 𝑚𝑎𝑥 = +
4000 ∗ 12 ∗ 3.4
91.7334
1779.0685 𝑙𝑏𝑓/𝑝𝑢𝑙𝑔2

18. 2. Determinar el esfuerzo cortante, que actúa sobre laviga T, en el punto C a unaaltura y´= 0.075
m. desde la parte inferiorde la viga. Muestre el resultadosobre un elemento del volumende ese
punto.
APLICAMOSLASCONDICIONESDEEQUIBRIO PARA HALLAR LAS REACCIONES
∑ 𝐹𝑦 = 0 = 𝑅 𝐴 + 𝑅 𝐵 − 30 − 15
𝑅 𝐴 + 𝑅 𝐵 = 45 𝑘𝑁 …… .. (1)
∑ 𝑀𝐴 = 0 = −1.5(30) − 4(15) + 6( 𝑅 𝐵)
𝑅 𝐵 = 17.5 𝑘𝑁
Reemplazandoestedatoen(1)
𝑅 𝐴 = 27.5 𝑘𝑁
Hallamosel comportamientode lafuerza cortante alolargo de la vigapara un rango de 𝑥 ∈ [0; 3]
Para esonos ayudamos de lascondicionesde equilibrio

19. ∑ 𝐹𝑦 = 0 = 27.5 − 10𝑥 − 𝑽
𝑽 = 27.5 − 10𝑥 …… …. (𝑎)
Hallamosel comportamientode lafuerzacortante alolargo de la vigapara un rango de 𝑥 ∈ [3; 6]
10
3
=
10 − ℎ
𝑥 − 3
ℎ( 𝑥 − 3) = (10 −
10
3
( 𝑥 − 3)) (𝑥 − 3)
Para esonos ayudamosde lascondicionesde equilibrio
∑ 𝐹𝑦 = 0 = 27.5 − 30 −
5
3
( 𝑥 − 3)2 − (10 −
10
3
( 𝑥 − 3)2)( 𝒙 − 𝟑) − 𝑽
𝑽 =
5
3
( 𝑥 − 3)2 − 10( 𝑥 − 3) − 2.5… …… .(𝑏)
SIENDOLA GRAFICA DEL MOMENTO CORTANTEEL SIGUEINTE PARA ESTO NOSAYUDAMOS DEL
PROGRAMA MDSolids3.5 CORROBORANDOLOSDATOS.
Hallamosloque nospidenenel problemaque esel esfuerzocortante enel puntoC=4.5 m.

20. 21
2211
AA
AyAy
Y



2
1
3
)(
12
1
yyAhbI nn 
Para esonos ayudamosde laecuación(b)
𝑽 =
5
3
( 𝑥 − 3)2 − 10( 𝑥 − 3) − 2.5
Reemplazando 𝑥 = 4.5 𝑚 → 𝑉 = −13.75 𝑘𝑁
Hallamosel eje neutrodel áreatransversal de laviga:
𝐸𝐽𝐸 𝑁𝐸𝑈𝑇𝑅𝑂 ∶ 𝑦̅ =
75(150)(30) + (165)(30)(150)
(30)(150) + (150)(30)
= 120 𝑚𝑚
Hallamoslosmomentosde inerciarespectoal eje neutroutilizandoel teoremade losejesparalelos,
mediante lasiguiente formula.Comosontodosrectángulosel cálculose hace máscorto:

21. 𝐼1 =
1
12
(30)(150)3 + (30)(150)(75 − 120)2 = 17 550 000 𝑚𝑚4 = 17.55 ∗ 10−6 𝑚4
𝐼2 =
1
12
(150)(30)3 + (30)(150)(165 − 120)2 = 9 450 000 𝑚𝑚4 = 9.45 ∗ 10−6 𝑚4
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 = 27 ∗ 10−6 𝑚4
Nospidenel esfuerzoque se soporta ala altura 𝑦´ = 0.15 𝑚 y del espesorseria 𝑡 = 0.03 𝑚.
Por lotanto el área seria 𝐴 = 𝑡 ∗ 𝑦´ = 0.003 ∗ 0.075 = 0.000225 𝑚2
Ahorael valor 𝑄 = 𝐴 ∗ 𝑦´̅
Donde 𝑦̅´ = 𝑒𝑗𝑒 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜− 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑒 𝐴 = 0.12 − 0.0375 = 82.5 𝑚
𝑄 = 𝐴 ∗ 𝑦´̅ = 0.000225 ∗ 0.0825 = 1.85625 ∗ 10−4 𝑚3
Solonosquedareemplazarlosdatosenla siguienteformula:
𝑉 = −13.75
𝐼 = 27 ∗ 10−6 𝑚4
𝑡 = 0.03 𝑚
𝑄 = 2.025 ∗ 10−4 𝑚3
Reemplazandonosquedael momentocortante:
𝜏 = 3437.5 𝑘𝑃𝑎

22. BIBLIOGRAFÍAY REFERENCIAS
 Hibbeler,C.(2011). “Mecánica de materiales”8va. Edición.Edit. : PEARSON EDUCACION,México.,
págs. 255-392.
 Hibbeler,C.(2012). Análisisestructural”8va. Edición.Edit.: PEARSON EDUCACION,México.,págs.
3-9.
Páginaswebconsultadas:
 http://www.arqhys.com/tipos_de_vigas.html
 http://www.elrincondelingeniero.com/Fuerzas+distribuidas
 https://es.slideshare.net/sofiaing82/estructuras-14270327
 https://www.quora.com/What-are-the-types-of-beams
 https://www.slideshare.net/AngelAndersonLaurent/diseo-de-vigas-61045401
 https://es.slideshare.net/NelsonIvanMuozHoyos/esfuerzos-en-vigas-55347263