1. Cápsula Lineal<br />Ejercicios Propuestos<br />Hallar la cápsula de los siguientes conjuntos:<br />1) S = { ( 1, 0 ), ( -1, 0 ) }<br />( R², R, +, • ) espacio vectorial Se identifica el espacio vectorial al que pertenece el conjunto S. <br />‹ S › = { ( x, y ) / ( x, y ) = α₁( 1, 0 ) + α₂( -1, 0 ) }Se expresa la combinación lineal, según la fórmula.<br />( x, y ) = ( α₁, 0 ) + ( -α₂, 0 )Se resuelve aparte la combinación lineal. <br />( x, y ) = ( α₁-α₂, 0 )Se realiza la suma de los términos correspondientes.<br />α₁-α₂ = x Se escribe el sistema de ecuaciones obtenido. 0= y <br />1-1 00 xy Se resuelve la matriz ampliada, si aparece una <br /> fila de ceros existe restricción.<br />y = 0Restricción.<br />‹ S › = { ( x, y ) / y = 0 }Se escribe la cápsula.<br />2) S = { ( 1, 2, 3 ), ( 2, -1, 0 ), ( 3, 1, 3 ) }<br />( R², R, +, • ) espacio vectorial Se identifica el espacio vectorial al que pertenece el conjunto S. <br />‹ S › = { ( x, y, z ) / ( x, y, z ) = α₁( 1, 2, 3 ) + α₂( 2, -1, 0 ) + α₃( 3, 1, 3 ) }Se expresa la combinación lineal, según la fórmula.<br />( x, y, z ) = ( α₁, 2α₁, 3α₁ ) + ( 2α₂, -α₂, 0 ) + ( 3α₃, α₃, 3α₃ )Se resuelve aparte la combinación lineal. <br />( x, y, z ) = ( α₁+2α₂+3α₃, 2α₁-α₂+α₃, 3α₁+0+3α₃ )Se realiza la suma de los términos correspondientes.<br />α₁+2α₂+3α₃ = x Se escribe el sistema de ecuaciones obtenido. 2α₁-α₂+α₃ = y <br />3α₁+3α₃ = z<br />123x2-11y303z F₂ = F₂ - 2F₁ 123x0-5-5y-2x303z F₃ = F₃ - 3F₁ 123x0-5-5y-2x0-6-6z-3x<br />123x0-5-5y-2x0-6-6z-3x F2 = - 15 F2 123x0112x-y50-6-6z-3x F3 = F3 + 6F2 123x0112x-y50005z-3x-365 Se resuelve la matriz ampliada, si aparece una <br /> fila de ceros existe restricción.<br />5z – 3x = 36 Restricción.<br />‹ S › = { ( x, y, z ) / 5z – 3x = 36 } Se escribe la cápsula.<br />3) S = { t2+1, t+2 }<br />( P2(t), R, +, • ) espacio vectorial Se identifica el espacio vectorial al que pertenece el conjunto S. <br />‹ S › = { at2+bt+c / at2+bt+c = α₁( t2+1 ) + α₂( t+1 ) }Se expresa la combinación lineal, según la fórmula.<br />at2+bt+c = α₁t2+α₁+α₂t+α2Se resuelve aparte la combinación lineal. <br />α₁ = a Se escribe el sistema de ecuaciones obtenido. α₂ = b <br />α₁+α2 = c<br />10a01b11cSe resuelve la matriz ampliada<br />a + b = c Restricción.<br />‹ S › = { at2+bt+c / a + b = c } Se escribe la cápsula.<br />Ejercicios Resueltos<br />Hallar la cápsula de los siguientes conjuntos:<br />1) S = { ( 2, 6 ) }<br />( R², R, +, • ) espacio vectorial <br />‹ S › = { ( x, y ) / ( x, y ) = α( 2, 6 ) }<br />( x, y ) = ( 2α, 6α )<br /> <br />2α = x <br />6α = y <br />‹ S › = { ( x, y ) / 3x = y } <br />2) S = { t3+t, t2-t }<br />( P3(t), R, +, • ) espacio vectorial <br />‹ S › = { at3+bt2+ct+d / at3+bt2+ct+d = α₁( t3+t ) + α₂( t2-t ) }<br />at3+bt2+ct+d = α₁t3+α₁t+α₂t2-α2t<br />at3+bt2+ct+d = α₁t3+α₂t2+(α₁-α2)t<br />α₁ = a <br />α₂ = b <br />α₁-α2 = c<br />0 = d <br />‹ S › = { at3+bt2+ct+d / a – b = c ; d = 0 } <br />3) S = { ( 1, -1, 0 ), ( -2, 3, -1 ), ( 2, 1, -3 ) }<br />( R3, R, +, • ) espacio vectorial <br /> <br />‹ S › = { ( x, y, z ) / ( x, y, z ) = α₁( 1, -1, 0 ) + α₂( -2, 3, -1 ) + α₃( 2, 1, -3 ) }<br />( x, y, z ) = ( α₁, -α₁, 0 ) + ( -2α₂, 3α₂, -α₂ ) + ( 2α₃, α₃, -3α₃ )<br /> <br />( x, y, z ) = ( α₁-2α₂+2α₃, -α₁+3α₂+α₃, -α₂-3α₃ )<br />α₁-2α₂+2α₃ = x <br />-α₁+3α₂+α₃ = y <br />-α2-3α₃ = z<br />1-22x-131y0-1-3z F₂ = F₂ + F₁ 1-22x013y+x0-1-3z F₃ = F₃ + F2 1-22x013y+x000z+y+x<br />‹ S › = { ( x, y, z ) / x + y + z = 0 } <br />4) S = 1000 , 0100 , 0010 , 0001<br /> ( M2, R, +, • ) espacio vectorial <br /> <br />‹ S › = abcd abcd = α₁1000 + α₂0100 + α₃0010 + α₄0001 <br />abcd = α₁000 + 0α₂00 + 00α₃0 + 000α₄<br />abcd = α₁α₂α₃α₄<br />‹ S › = abcd a, b, c, d є R<br />5) S = { ( 1, 1, 0 ), ( 0, 1, 1 ) }<br />( R3, R, +, • ) espacio vectorial <br /> <br />‹ S › = { ( x, y, z ) / ( x, y, z ) = α₁( 1, 1, 0 ) + α₂( 0, 1, 1 ) }<br />( x, y, z ) = ( α₁, α₁, 0 ) + ( 0, α₂, α₂ ) <br /> <br />( x, y, z ) = ( α₁, α₁+α₂, α₂ )<br />α₁ = x <br />α₁+α₂ = y <br />α2 = z<br />10x11y01z <br />‹ S › = { ( x, y, z ) / y = x + z } <br />