El documento presenta definiciones y propiedades fundamentales de funciones trigonométricas, incluyendo las definiciones de seno, coseno, tangente y otras funciones trigonométricas. También describe identidades trigonométricas, leyes de los senos, cosenos y tangentes, y propiedades de sumas, diferencias, ángulos y gráficas de funciones trigonométricas. Finalmente, introduce conceptos básicos de cálculo diferencial como derivadas, regla de la cadena, rectas tangente y normal, y teoremas como los de Rolle

1. 1
TRIGONOMETRÍA
DEFINICIONES.
1. sen(A) =
Cateto opuesto
Hipotenusa
2. cos(A) =
Cateto adyacente
Hipotenusa
3. tan(A) =
Cateto opuesto
Cateto adyacente
4. cot(A) =
Cateto adyacente
Cateto opuesto
5. sec(A) =
Hipotenusa
Cateto adyacente
6. csc(A) =
Hipotenusa
Cateto opuesto
Cateto abyacente
Cateto
opuesto
H
i
p
o
t
e
n
u
s
a
A
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS.
1. sen(π
2
− A) = cos(A)
2. cos(π
2
− A) = sen(A)
3. tan(π
2
− A) = cot(A)
4. cot(π
2
− A) = tan(A)
5. sec(π
2
− A) = csc(A)
6. csc(π
2
− A) = sec(A)
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS.
1. − cos(π − A) = cos(A)
2. sen(π − A) = sen(A)
3. − tan(π − A) = tan(A)
4. − cot(π − A) = cot(A)
5. − sec(π − A) = sec(A)
6. csc(π − A) = csc(A)
ÁNGULOS QUE DIFIEREN π.
1. sen(π + A) = − sen(A)
2. cos(π + A) = − cos(A)
3. tan(π + A) = tan(A)
4. cot(π + A) = cot(A)
5. sec(π + A) = − sec(A)
6. csc(π + A) = − csc(A)
ÁNGULOS OPUESTOS.
1. cos(−A) = cos(A)
2. sen(−A) = − sen(A)
3. tan(−A) = − tan(A)
4. cot(−A) = − cot(A)
5. sec(−A) = sec(A)
6. csc(−A) = − csc(A)

2. 2
SUMA Y RESTA.
1. sen(A + B) = sen(A) cos(B) + cos(A) sen(B)
2. sen(A−B) = sen(A) cos(B)−cos(A) sen(B)
3. cos(A + B) = cos(A) cos(B) − sen(A) sen(B)
4. cos(A − B) = cos(A) cos(B) + sen(A) sen(B)
5. tan(A + B) =
tan(a) + tan(B)
1 − tan(A) tan(B)
6. tan(A − B) =
tan(a) − tan(B)
1 + tan(A) tan(B)
ÁNGULO DOBLE.
1. sen(2A) = 2 sen(A) cos(A)
2. cos(2A) = cos2
(A) − sen2
(A)
3. cos(2A) = 2 cos2
(A) − 1
4. tan(2A) =
2 tan(A)
1 − tan2
(A)
5. sen2
(A) =
1 − cos(2A)
2
6. cos2
(A) =
1 + cos(2A)
2
MITAD DE UN ÁNGULO.
1. cos
A
2
=
r
1 + cos A
2
.
2. sen
A
2
=
r
1 − cos A
2
.
3. tan
A
2
=
r
1 − cos A
1 + cos A
.
4. cot
A
2
=
r
1 + cos A
1 − cos A
.
5. sec
A
2
=
r
2
1 + cos A
.
6. csc
A
2
=
r
2
1 − cos A
.
OTRAS IDENTIDADES
1. csc(A) =
1
sen(A)
.
2. sec(A) =
1
cos(A)
.
3. tan(A) =
sen(A)
cos(A)
.
4. cot(A) =
cos(A)
sen(A)
=
1
tan(A)
.
5. sen2
(A) + cos2
(A) = 1.
6. sec2
(A) = 1 + tan2
(A).
7. csc2
(A) = 1 + cot2
(A).

3. 3
LEYES DE LOS SENOS, COSENOS Y TANGENTES.
Sean a, b, c los lados de un triángulo, y A, B, C sus ángulos correspondientes, entonces:
a
b
c
A
B
C
LEY DE LOS SENOS.
sen(A)
a
=
sen(B)
b
=
sen(C)
c
.
LEY DE LOS COSENOS.
a2
= b2
+ c2
− 2bc cos(A).
b2
= a2
+ c2
− 2ac cos(B).
c2
= a2
+ b2
− 2ab cos(C).
LEY DE LAS TANGENTES.
a − b
a + b
=
tan 1
2
(A − B)
tan 1
2
(A + B)
.
b − c
b + c
=
tan 1
2
(B − C)
tan 1
2
(B + C)
.
a − c
a + c
=
tan 1
2
(A − C)
tan 1
2
(A + C)
.
PRODUCTO A SUMA O RESTA.
1. sen(A) sen(B) =
1
2
[cos(A − B) − cos(A + B)].
2. sen(A) cos(B) =
1
2
[sen(A + B) + sen(A − B)].
3. cos(A) sen(B) =
1
2
[sen(A + B) − sen(A − B)].
4. cos(A) cos(b) =
1
2
[cos(A + B) + cos(A − B)].
SUMA O RESTA A PRODUCTO.
1. sen(A) + sen(B) = 2 sen
A + B
2
cos
A − B
2
.
2. sen(A) − sen(B) = 2 cos
A + B
2
sen
A − B
2
.
3. cos(A) + cos(B) = 2 cos
A + B
2
cos
A − B
2
.
4. cos(A) − cos(B) = −2 sen
A + B
2
sen
A − B
2
.

4. 4
FUNCIONES Y GRAFICAS
I) FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
TABLA DE VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Ángulo 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 180° 270° 360°
Sen 0
√
6−
√
2
4
1
2
√
2
2
√
3
2
√
6+
√
2
4
1
√
6+
√
2
4
0 -1 0
Cos 1
√
6+
√
2
4
√
3
2
√
2
2
1
2
√
6−
√
2
4
0
√
2−
√
6
4
-1 0 1
Tan 0 2 −
√
3
√
3
3
1
√
3 2 +
√
3 ±∞ −(2 +
√
3) 0 ±∞ 0
Cot ∓∞ 2 +
√
3
√
3 1
√
3
3
2 −
√
3 0
√
3 − 2 ∓∞ 0 ∓∞
Sec 1
√
6 −
√
2 2
√
3
3
√
2 2
√
6 +
√
2 ±∞ −(
√
2 +
√
6) -1 ∓∞ 1
Csc ∓∞
√
6 +
√
2 2
√
2 2
√
3
3
√
6 −
√
2 1
√
6 −
√
2 ±∞ -1 ∓∞
GRÁFICAS
-2 Π -
3 Π
2
-Π -
Π
2
Π
2
Π
3 Π
2
2 Π
Eje X
-1
-
1
2
1
2
1
Eje Y
SENO
Dominio (−∞, ∞)
Imagen [−1, 1]
Período 2π
Impar
sen(−x) = − sen(x)
-2 Π -
3 Π
2
-Π -
Π
2
Π
2
Π
3 Π
2
2 Π
Eje X
-1
-
1
2
1
2
1
Eje Y
COSENO
Dominio (−∞, ∞)
Imagen [−1, 1]
Período 2π
Par cos(−x) = cos(x)

5. 5
-2 Π -
3 Π
2
-Π -
Π
2
Π
2
Π
3 Π
2
2 Π
Eje X
Eje Y
TANGENTE
Dominio:
R − {2n+1
2
π | n ∈ Z}
Imagen (−∞, ∞)
Período π
Impar:
tan(−x) = − tan(x)
-2 Π -
3 Π
2
-Π -
Π
2
Π
2
Π
3 Π
2
2 Π
Eje X
Eje Y
COTANGENTE
Dominio:
R − {nπ | n ∈ Z}
Imagen (−∞, ∞)
Período π
Impar:
cot(−x) = −cot(x)
-2 Π -
3 Π
2
-Π -
Π
2
Π
2
Π
3 Π
2
2 Π
Eje X
Eje Y
SECANTE
Dominio:
R − {2n+1
2
π | n ∈ Z}
Imagen:
(−∞, −1) ∪ (1, ∞)
Período 2π
Impar:
sec(−x) = sec(x)
-2 Π -
3 Π
2
-Π -
Π
2
Π
2
Π
3 Π
2
2 Π
Eje X
Eje Y
COSECANTE
Dominio:
R − {nπ | n ∈ Z}
Imagen:
(−∞, −1) ∪ (1, ∞)
Período 2π
Impar:
csc(−x) = −csc(x)

6. 6
II) FUNCIONES EXPONENCIALES
PROPIEDADES
◦ ex+y
= ex
ey
◦ ex−y
=
ex
ey
◦ (ex
)n
= enx
◦ eLn(x)
= x
◦ ax+y
= ax
ay
◦ ax−y
=
ax
ay
◦ (ax
)n
= anx
◦ ax
= ex Lna
◦ aLoga(x)
= x
GRÁFICAS
Eje X
1
Eje Y
EXPONENCIAL ex
Dominio (−∞, ∞)
Imagen (0, ∞)
e0
= 1
e−∞
= 0
e∞
= ∞
Eje X
1
Eje Y
EXPONENCIAL e−x
Dominio (−∞, ∞)
Imagen (0, ∞)
e0
= 1
e−∞
= ∞
e∞
= 0
Eje X
1
Eje Y
EXPONENCIAL ax
Dominio (−∞, ∞)
Imagen (0, ∞)
a0
= 1
a−∞
= 0
a∞
= ∞

7. 7
Eje X
1
Eje Y
EXPONENCIAL a−x
Dominio (−∞, ∞)
Imagen (0, ∞)
a0
= 1
a−∞
= ∞
a∞
= 0
III) FUNCIONES LOGARITMICAS
PROPIEDADES
◦
Ln(xy) = Ln(x) + Ln(y)
◦
Ln
x
y
= Ln(x) − Ln(y)
◦
m
n
Ln(x) = Ln(x)
m
n
◦ Ln(ex
) = x
◦
Loga(xy) = Loga(x) + Loga(y)
◦
Loga
x
y
= Loga(x) − Loga(y)
◦
m
n
Loga(x) = Loga(x)
m
n
◦ Loga(ax
) = x
◦ Loga(x) =
Ln(x)
Ln(a)
GRÁFICAS
1
Eje X
Eje Y
LOGARITMO NA-
TURAL Ln x
Dominio (0, ∞)
Imagen (−∞, ∞)
Ln 1 = 0
Ln 0 = −∞
Ln ∞ = ∞

8. 8
1
Eje X
Eje Y
LOGARITMO Loga x
Dominio (0, ∞)
Imagen (−∞, ∞)
Loga 1 = 0
Loga a = 1
Loga 0 = −∞
Loga ∞ = −∞

9. 9
CÁLCULO DIFERENCIAL
DEFINICIÓN
Una función f : R → R es derivable en x0 si existe el límite
lı́m
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
.
A tal límite lo de notamos f0
(x0) y lo llamamos la derivada de f(x) en x0.
REGLA DE LA CADENA
Si g(y) es derivable en y = f(x), y f(x) es derivable en x, entonces
[g(f(x))]0
= g0
(f(x)) f0
(x).
RECTA TANGENTE
La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el punto (x0, y0) es
y − y0 = f0
(x0)(x − x0),
donde y0 = f(x0).
RECTA NORMAL
La ecuación de la recta normal a la gráfica de la función f(x) en el punto (x0, y0) es
y − y0 = −
1
f0(x0)
(x − x0),
donde y0 = f(x0).
Teorema 1 (Rolle) Si f(x) es continua en [a, b], diferenciable en (a, b) tal que f(a) =
f(b), entonces existe un punto c ∈ (a, b) en donde f0
(c) = 0.
Teorema 2 (Cauchy) Si f(x), g(x) son continuas en [a, b], diferenciables en (a, b) tal
que g0
(x) 6= 0 en (a, b), entonces existe un punto c ∈ (a, b) en donde
f(b) − f(a)
g(b) − g(a)
=
f0
(c)
g0(c)
.
.
Teorema 3 (Lagrange o valor medio) Si f(x) es continua en [a, b], diferenciable
en (a, b). Entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que
f(b) − f(a) = f0
(c)(b − a).

10. 10
FÓRMULAS DE DERIVACIÓN
1. (c)0
= 0.
2. (x)0
= 1.
3. (u + v)0
= u0
+ v0
.
4. (uv)0
= u0
v + v u0
.
5. (uvw)0
= u0
vw + v0
uw + w0
uv.
6.
u
v
0
=
v u0
− u v0
v2
.
7.
u
c
0
=
u0
c
.
8. (xn
)0
= n xn−1
(n 6= −1).
9. (
√
x)0
=
1
2
√
x
.
10. (sen x)0
= cosx.
11. (cos x)0
= − sen x.
12. (tan x)0
= sec2
x.
13. (cot x)0
= − csc2
x.
14. (sec x)0
= sec x tan x.
15. (csc x)0
= − csc x cot x.
16. (arc sen x)0
=
1
√
1 − x2
(|x| 1).
17. (arc cos x)0
= −
1
√
1 − x2
(|x| 1).
18. (arctan x)0
=
1
1 + x2
.
19 (arccotx)0
= −
1
1 + x2
.
20 (ax
)0
= ax
ln a.
21 (uv
)0
= uv
v0
lnu + vu0
u
.
22 (ex
)0
= ex
.
23 (ln x)0
=
1
x
(x 0).
24 (loga x)0
=
1
x ln x
.
25 (senhx)0
= coshx.
26 (coshx)0
= senhx.
27 (tanhx)0
= sech2
x.
28 (cothx)0
= −csch2
x.
29 (sechx)0
= −sechx tanhx.
30 (cschx)0
= −cschx cothx.
31 (arcsenhx)0
=
1
√
1 + x2
.
32 (arccoshx)0
=
1
√
x2 − 1
(|x| 1).
33 (arctanhx)0
=
1
1 − x2
(|x| 1).
34 (arccothx)0
= −
1
x2 − 1
(|x| 1).

11. 11
CÁLCULO INTEGRAL
FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN
1.
R
(u + v) dx =
R
u dx +
R
v dx.
2.
R
a u dx = a
R
u dx, a constante.
3.
Z
un
dx =
un+1
n + 1
+ C, n 6= −1.
4.
Z
du
u
du = ln|u| + C.
5.
Z
au
du =
au
lna
+ C,
a 0, a 6= 1.
6.
R
eu
du = eu
+ C.
7.
R
sen u du = − cos u + C.
8.
R
cos u du = sen u + C.
9.
R
tan u du = ln| sec u| + C.
10.
R
cot u du = ln| sen u| + C.
11.
R
sec u du = ln| sec u+tan u|+C.
12.
R
csc u du = ln| csc u−cot u|+C.
13.
R
sec2
u du = tan u + C.
14.
R
csc2
u du = − cot u + C.
15.
R
sec u tan u du = sec u + C.
16.
R
csc u cot u du = − csc u + C.
17.
Z
du
√
a2 − u2
= arcsen
u
a
+ C.
18.
Z
du
a2 + u2
=
1
a
arctan
u
a
+ C.
19.
Z
du
u
√
u2 − a2
=
1
a
arcsec
u
a
+ C.
20.
Z
du
u2 − a2
=
1
2a
ln
u − a
u + a
+ C.
21.
Z
du
a2 − u2
=
1
2a
ln
a + u
a − u
+ C.
22.
Z
du
√
u2 + a2
= ln(u +
√
u2 + a2) + C.
23.
Z
du
√
u2 − a2
= ln(u +
√
u2 − a2) + C.
24.
Z √
a2 − u2 du =
1
2
u
√
a2 − u2 +
1
2
a2
arc sen
u
a
+ C.
25.
Z √
u2 + a2 du =
1
2
u
√
a2 + u2 +
1
2
a2
ln u +
√
u2 + a2 + C.
26.
Z √
u2 − a2 du =
1
2
u
√
u2 − a2 −
1
2
a2
ln u +
√
u2 − a2 + C.
FÓRMULAS DE REDUCCIÓN
27.
Z
du
(a2 ± u2)m
=
1
a2
u
(2m − 2)(a2 ± u2)m−1
+
2m − 3
2m − 2
Z
du
(a2 ± u2)m−1
, m 6= 1.
28.
Z
(a2
± u2
)m
du =
u(a2
± u2
)m
2m + 1
+
2ma2
2m + 1
Z
(a2
± u2
)m−1
du, m 6= −
1
2
.
29.
Z
du
(u2 − a2)m
= −
1
a2
u
(2m − 2)(u2 − a2)m−1
+
2m − 3
2m − 2
Z
du
(u2 − a2)m−1
, m 6= 1.
30.
Z
(u2
− a2
)m
du =
u(u2
− a2
)m
2m + 1
−
2ma2
2m + 1
Z
(u2
− a2
)m−1
du, m 6= −
1
2
.

12. 12
31.
Z
um
eau
du =
1
a
um
eau
−
m
a
Z
um−1
eau
du.
32.
Z
senm
u du = −
senm−1
u cos u
m
+
m − 1
m
Z
senm−2
u du.
33.
Z
cosm
u du =
cosm−1
u sen u
m
+
m − 1
m
Z
cosm−2
u du.
34.
Z
senm
u cosn
u du =
cosn−1
u senm+1
u
m + n
+
n − 1
m + n
Z
senm
u cosn−2
u du.
= −
cosn+1
u senm−1
u
m + n
+
m − 1
m + n
Z
senm−2
u cosn
u du, m 6= −n.
35.
Z
um
sen bu du = −
um
b
cos bu +
m
b
Z
um−1
cos bu du.
36.
Z
um
cos bu du =
um
b
sen bu −
m
b
Z
um−1
sen bu du.
37.
Z
secm
u du =
1
m − 1
secm−2
u tan u +
m − 2
m − 1
Z
secm−2
u du.
38.
Z
cscm
u du = −
1
m − 1
cscm−2
u cot u +
m − 2
m − 1
Z
cscm−2
u du.
39.
Z
tanm
u du =
1
m − 1
tanm−1
u −
Z
tanm−2
u du.
40.
Z
cotm
u du = −
1
m − 1
cotm−1
u −
Z
cotm−2
u du.
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
41.
R
senhu du = coshu + C.
42.
R
coshu du = senhu + C.
43.
R
tanhu du = ln(coshu) + C.
44.
R
cothu du = ln|senhu| + C.
45.
Z
du
√
u2 + a2
= senh−1
u
a
+ C.
46.
Z
du
√
u2 − a2
= cosh−1
u
a
+ C,
u a 0.
47.
R
sech2
u du = tanhu + C.
48.
R
csch2
u du = −cothu + C.
49.
R
sechu tanhu du = −sechu+C.
50.
R
cschu cothu du = −cschu + C.
51.
Z
du
√
a2 − u2
=
1
a
tanh−1
u
a
+ C, u2
a2
.
52.
Z
du
√
u2 − a2
= −
1
a
coth−1
u
a
+ C, u2
a2
.

13. 13
INTEGRACIÓN POR PARTES
Si u y v son funciones derivables entonces
Z
u dv = u v −
Z
v du.
CAMBIOS DE VARIABLE TRIGONOMÉTRICOS.
En un integrando que contenga expresiones de la forma
√
a2 − b2u2,
√
a2 + b2u2, -
√
b2u2 − a2 utilizamos los siguientes cambio de variable
Expresión cambio de variable Expresión nva
√
a2 − b2u2 u = a
b
sen z a cos z
√
a2 + b2u2 u = a
b
tan z a sec z
√
b2u2 − a2 u = a
b
sec z a tan z
Con este cambio obtenemos una integral en términos de z no muy complicada que una
vez resuelta necesitaremos las razones trigonométricas para que la solución quede en
términos de la variable original.
FRACCIONES PARCIALES.
Para las integrales de la forma Z
p(x)
q(x)
dx
donde p(x) y q(x) son polinomios de grado m y n con m n. Tenemos los siguientes
casos:
I) Si el polinomio q(x) se factoriza como producto de factores simples diferentes, i.e.,
q(x) = (x − a1)(x − a2) · · · (x − an) obtenemos que
Z
p(x)
q(x)
dx =
Z
A1
x − a1
+
A2
x − a2
+ · · · +
An
x − an
dx.
donde A1, A2, . . . , An son constantes.
II) Si el polinomio q(x) se factoriza como producto de factores multiples, por ejemplo,
q(x) = (x − a1)m1
(x − a2)m2
(x − a3)m3
obtenemos que
Z
p(x)
q(x)
dx =
Z
A1
(x − a1)
+
A2
(x − a1)2
+ · · · +
Am1
(x − a1)m1
dx
+
Z
B1
(x − a2)
+
B2
(x − a2)2
+ · · · +
Bm2
(x − a2)m2
dx
+
Z
C1
(x − a3)
+
C2
(x − a3)2
+ · · · +
Cm3
(x − a3)m3
dx
donde A1, A2, . . . , Am1 , B1.B2, . . . , Bm2 , C1, C2, . . . , Cm3 son constantes.

14. 14
III) Si el polinomio q(x) se factoriza como producto de polinomios cuadráticos irredu-
cibles en los reales, i.e., q(x) = (a1x2
+b1x+c1)(a2x2
+b2x+c2) · · · (anx2
+bnx+cn)
obtenemos que
Z
p(x)
q(x)
dx =
Z
A1 + B1x
(a1x2 + b1x + c1)
+
A2 + B2x
(a2x2 + b2x + c2)
+ · · · +
An + Bnx
(anx2 + bnx + cn)
dx.
IV) Si el polinomio q(x) se factoriza como producto de polinomios cuadráticos irreduci-
bles en los reales, con multiplicidad, por ejemplo q(x) = (a1x2
+b1x+c1)m1
(a2x2
+
b2x + c2)m2
(a3x2
+ b3x + c3)m3
obtenemos que
Z
p(x)
q(x)
dx =
Z
A1 + B1x
(a1x2 + b1x + c1)
+
A2 + B2x
(a1x2 + b1x + c1)2
+ · · · +
Am1 + Bm1 x
(a1x2 + b1x + c1)m1
dx
+
Z
C1 + D1x
(a2x2 + b2x + c2)
+
C2 + D2x
(a2x2 + b2x + c2)2
+ · · · +
Cm2 + Dm2 x
(a2x2 + b2x + c2)m2
dx
+
Z
E1 + F1x
(a3x2 + b3x + c3)
+
E2 + F2x
(a3x2 + b3x + c3)2
+ · · · +
Em3 + Fm3 x
(a3x2 + b3x + c3)m3
dx.
AREA DEBAJO DE LA CURVA.
Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], entonces el área debajo de la
gráfica de f(x) de a a b esta dada por
Z b
a
f(x) dx.
Para calcular el área comprendida entre las gráficas de f(x) y g(x) en [a, b] donde
f(x) ≤ g(x), utilizamos
Z b
a
[f(x) − g(x)] dx.