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UNIDAD I:
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
EJEMPLOS DEL METODO DE LAGRANGE
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA
NÚCLEO ZULIA
DIVISIÓN ACADÈMICA
CICLO BÁSICO
MATEMÁTICA III
Profesor:
Pedro Colina
Maracaibo, 2.008
Matemática III Prof. P. Colina2
2
METODO DE LOS MULTIPICADORES DE LAGRANGE
Este es un método que permite encontrar valores extremos,
máximos o mínimos (maximizar o minimizar) de una función general
( )zyxf .. sometida o sujeta a alguna condición o restricción de la forma
( ) kzyxg =,, .
El método establece una ecuación en función de las condiciones
o restricciones que debe cumplir la función, en todo caso se resuelve
una ecuación vectorial de la forma:
gf ∇=∇ λ , para cuando hay una sola condición a cumplir y para
cualquier n variables.
Para cuando la función debe cumplir dos restricciones se tiene:
( )zyxf .. , las restricciones son: ( ) ( ) 21 ,,,,, kzyxhkzyxg == . Entonces la
ecuación queda:
hgf ∇+∇=∇ µλ , para cuando hay dos condiciones a cumplir.
Se debe resolver el sistema de ecuaciones dadas a través de la
ecuación vectorial y además la condición o condiciones formarán parte
de ese sistema a resolver.
Cuando se tiene una función de tres variables restringida por
( ) kzyxg =,, , el procedimiento general se puede establecer así:
• Identificar la función de donde se desea hallar el valor máximo o
mínimo, esta se llama función a optimizar, a la que se desea
hallar los valores extremos.
• Identificar la o las restricciones a cumplir por la función.
• Hallar el gradiente de la función: ( )zyxf ..∇
• Hallar el gradiente de la restricción: ( )zyxg ..∇
• Formar la ecuación vectorial:
• Formar el sistema de ecuaciones que incluya las condiciones las
condiciones.
• Determinar todos los valores x, y, z y λ que satisfagan gf ∇=∇ λ
y ( ) kzyxg =,, .
Matemática III Prof. P. Colina3
3
• Evaluar todos los puntos ( )zyx ,, del resultado anterior en la
función ( )zyxf ,, . El mayor de los valores será el valor máximo
de la función y el más pequeño es el valor mínimo de la función.
EJEMPLOS DEL METODO DE LAGRANGE
Ejemplo 1:
¿Cuál es el área máxima que puede tener un rectángulo si la longitud
de su diagonal es 4?
Solución:
Represente un rectángulo con lados x e y, base y altura
respectivamente.
La longitud de la diagonal es 4, fíjese que se forma un triangulo
rectángulo.
Función a optimizar: maximizar en este caso: Área.
Área de un rectángulo: A = x.y
Condición a cumplir: 22
4 yx += :
De una manera más fácil:
22
16 yx +=
Al tener identificadas la función y la condición, se determinan los
gradientes.
( ) ( )xyAyAxA ,, ==∇
( ) ( )yxgygxg 2,2, ==∇
Así las ecuaciones de Lagrange son:
( )xy 2λ= …. (1)
)2( yx λ= ….. (2)
422
=+ yx …(3)
Matemática III Prof. P. Colina
x
y4
4
4
Al resolver el sistema, una de las formas puede ser:
Multiplicar la ecuación (1) por x, y también la ecuación (2) por y,
( )2
2xxy λ= …. (4)
)2( 2
yyx λ= ….. (5)
Se igualan las ecuaciones (4) y (5)
( ) ( )22
22 yx λλ = Al simplificar queda:
22
yx = ; Queda: xy ±=
Luego una variable se expresa en función de la otra y se sustituye en la
ecuación (3).
• Si y = x
( )22
16 xx +=
2
216 x=
8±=x
Como estamos midiendo distancias, x solo puede tomar valores no
negativos, así que se tiene un único punto que es para x= 8 , la altura
y también vale.
Así se concluye que las dimensiones del rectángulo corresponden con
un cuadrado de lado 8 . Su área será: A= 8 * 8 =8
Ejemplo 2:
¿Cuáles son los valores máximos y mínimos que puede tener una la
función ( ) 22
2, yxyxf += , sobre el círculo 122
=+ yx ?
Solución:
Se pide calcular los valores extremos de la función ( ) 22
2, yxyxf +=
sujeta a la restricción ( ) 1, 22
=+= yxyxg
Calculamos los gradientes:
( )yxf 4,2=∇
( )yxg 2,2=∇
Las ecuaciones de Lagrange pueden escribirse:
xx 22 λ= ……ec nº 1
yy 24 λ= ……ec nº 2
122
=+ yx ……ec nº3
Matemática III Prof. P. Colina5
5
Partiendo de la ecuación Nº 1 se tiene:
xx 22 λ=
022 =− xx λ
( ) 012 =−λx
0=x y 1=λ , entonces se verifican estos dos valores en las otras
ecuaciones.
Si x=0 en la ec nº4 se obtiene: 1±=y
Luego si 1=λ , en la ec nº2 se tiene y=0, y luego en la ec nº3, 1±=x
Como consecuencia, ( )yxf , tal vez tiene valores extremos en los
puntos:
• (0,1)
• (0,-1)
• (1,0)
• (-1,0)
Al evaluar a ( )yxf , en esos cuatro puntos se encuentra que:
o
( )
( )
( )
1)0,1(
10,1
21,0
21,0
=−
=
=−
=
f
f
f
f
Por consiguiente, hay dos valores máximos en los puntos (0,1); (0,-1)
y dos valores mínimos en los puntos: (1,0) y (-1,0).
Ejemplo 3:
Determine las dimensiones de un cilindro circular recto con volumen
máximo si el área de su superficie es de 24π (unidades de longitud
cuadradas).
Solución:
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Ejemplos metodo-de-lagrange1-ajustar-a-mat-3

  • 1. UNIDAD I: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES EJEMPLOS DEL METODO DE LAGRANGE REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NÚCLEO ZULIA DIVISIÓN ACADÈMICA CICLO BÁSICO MATEMÁTICA III
  • 3. METODO DE LOS MULTIPICADORES DE LAGRANGE Este es un método que permite encontrar valores extremos, máximos o mínimos (maximizar o minimizar) de una función general ( )zyxf .. sometida o sujeta a alguna condición o restricción de la forma ( ) kzyxg =,, . El método establece una ecuación en función de las condiciones o restricciones que debe cumplir la función, en todo caso se resuelve una ecuación vectorial de la forma: gf ∇=∇ λ , para cuando hay una sola condición a cumplir y para cualquier n variables. Para cuando la función debe cumplir dos restricciones se tiene: ( )zyxf .. , las restricciones son: ( ) ( ) 21 ,,,,, kzyxhkzyxg == . Entonces la ecuación queda: hgf ∇+∇=∇ µλ , para cuando hay dos condiciones a cumplir. Se debe resolver el sistema de ecuaciones dadas a través de la ecuación vectorial y además la condición o condiciones formarán parte de ese sistema a resolver. Cuando se tiene una función de tres variables restringida por ( ) kzyxg =,, , el procedimiento general se puede establecer así: • Identificar la función de donde se desea hallar el valor máximo o mínimo, esta se llama función a optimizar, a la que se desea hallar los valores extremos. • Identificar la o las restricciones a cumplir por la función. • Hallar el gradiente de la función: ( )zyxf ..∇ • Hallar el gradiente de la restricción: ( )zyxg ..∇ • Formar la ecuación vectorial: • Formar el sistema de ecuaciones que incluya las condiciones las condiciones. • Determinar todos los valores x, y, z y λ que satisfagan gf ∇=∇ λ y ( ) kzyxg =,, . Matemática III Prof. P. Colina3 3
  • 4. • Evaluar todos los puntos ( )zyx ,, del resultado anterior en la función ( )zyxf ,, . El mayor de los valores será el valor máximo de la función y el más pequeño es el valor mínimo de la función. EJEMPLOS DEL METODO DE LAGRANGE Ejemplo 1: ¿Cuál es el área máxima que puede tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 4? Solución: Represente un rectángulo con lados x e y, base y altura respectivamente. La longitud de la diagonal es 4, fíjese que se forma un triangulo rectángulo. Función a optimizar: maximizar en este caso: Área. Área de un rectángulo: A = x.y Condición a cumplir: 22 4 yx += : De una manera más fácil: 22 16 yx += Al tener identificadas la función y la condición, se determinan los gradientes. ( ) ( )xyAyAxA ,, ==∇ ( ) ( )yxgygxg 2,2, ==∇ Así las ecuaciones de Lagrange son: ( )xy 2λ= …. (1) )2( yx λ= ….. (2) 422 =+ yx …(3) Matemática III Prof. P. Colina x y4 4 4
  • 5. Al resolver el sistema, una de las formas puede ser: Multiplicar la ecuación (1) por x, y también la ecuación (2) por y, ( )2 2xxy λ= …. (4) )2( 2 yyx λ= ….. (5) Se igualan las ecuaciones (4) y (5) ( ) ( )22 22 yx λλ = Al simplificar queda: 22 yx = ; Queda: xy ±= Luego una variable se expresa en función de la otra y se sustituye en la ecuación (3). • Si y = x ( )22 16 xx += 2 216 x= 8±=x Como estamos midiendo distancias, x solo puede tomar valores no negativos, así que se tiene un único punto que es para x= 8 , la altura y también vale. Así se concluye que las dimensiones del rectángulo corresponden con un cuadrado de lado 8 . Su área será: A= 8 * 8 =8 Ejemplo 2: ¿Cuáles son los valores máximos y mínimos que puede tener una la función ( ) 22 2, yxyxf += , sobre el círculo 122 =+ yx ? Solución: Se pide calcular los valores extremos de la función ( ) 22 2, yxyxf += sujeta a la restricción ( ) 1, 22 =+= yxyxg Calculamos los gradientes: ( )yxf 4,2=∇ ( )yxg 2,2=∇ Las ecuaciones de Lagrange pueden escribirse: xx 22 λ= ……ec nº 1 yy 24 λ= ……ec nº 2 122 =+ yx ……ec nº3 Matemática III Prof. P. Colina5 5
  • 6. Partiendo de la ecuación Nº 1 se tiene: xx 22 λ= 022 =− xx λ ( ) 012 =−λx 0=x y 1=λ , entonces se verifican estos dos valores en las otras ecuaciones. Si x=0 en la ec nº4 se obtiene: 1±=y Luego si 1=λ , en la ec nº2 se tiene y=0, y luego en la ec nº3, 1±=x Como consecuencia, ( )yxf , tal vez tiene valores extremos en los puntos: • (0,1) • (0,-1) • (1,0) • (-1,0) Al evaluar a ( )yxf , en esos cuatro puntos se encuentra que: o ( ) ( ) ( ) 1)0,1( 10,1 21,0 21,0 =− = =− = f f f f Por consiguiente, hay dos valores máximos en los puntos (0,1); (0,-1) y dos valores mínimos en los puntos: (1,0) y (-1,0). Ejemplo 3: Determine las dimensiones de un cilindro circular recto con volumen máximo si el área de su superficie es de 24π (unidades de longitud cuadradas). Solución: Matemática III Prof. P. Colina6 6
  • 7. Del enunciado se saca que la función que se quiere maximizar, en este caso, es la función volumen del cilindro circular recto. La expresión de volumen para un cilindro circular recto es: V(h,r) = πhr² h: es la altura del cilindro r: es el radio del cilindro La restricción o la condición que debe cumplir la caja es que la superficie de la caja será igual a 24π (unidades de longitud cuadradas), escribimos la expresión de la superficie del envase cilindro circular recto considerando el fondo del recipiente y su “tapa”. S(h,r)= 2 πr² + 2 πhr = 24 π Observe que las expresiones del volumen y de la superficie están dadas respecto a las mismas dos variables: h y r. Determinamos los gradientes. a) primero de la función a maximizar, la función volumen Vh = πr² Vr = 2 πhr ( ) ( )hrrV rh ππ 2,2 , =∇ b) luego el gradiente de la restricción Sh =2πr Sr = 4πr + 2 πh ( ) ( )hrrS rh πππ 24,2, +=∇ La ecuación de Lagrange se escribe: ( )hrr ππ 2,2 = ( )hrr πππλ 24,2 + Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación de cada componente: Matemática III Prof. P. Colina7 7
  • 8. πr² = λ 2πr …ec nº 1 2 πhr = λ (4πr + 2 πh) …ec nº 2, además de 2 πr² + 2 πhr = 24 π …ec nº 3 Despejando λ de las ecuaciones nº 1 y nº 2, se tiene: 22 2 r r r == π π λ ( ) hr hr hr hr + = + = 222 2 π π λ Al igualar ambas se obtiene: hr hrr + = 22 ( ) hrhrr 22 =+ ( ) hhr 22 =+ rh 2= , se sustituye en la ecuación nº 3 y se obtiene: 2 πr² + 2 π2rr = 24 π 2 πr² + 4πr² = 24 π 6 πr² = 24 π r² = 4 r = ± 2, pero solo se considera el valor positivo ya que r representa una distancia, así que el valor del radio r es 2, la altura h=4. Finalmente se concluye que las dimensiones que producen el volumen máximo de un cilindro circular recto para una superficie de 24 π son: h = 4 ; r = 2 Ejemplo 4: Se desea fabricar una caja de cartón donde el material de los lados y la tapa es de Bs 1/metro cuadrado y el costo del material del fondo es de Bs 3/ metro cuadrado. Determine las dimensiones que Matemática III Prof. P. Colina8 8
  • 9. debe tener la caja para que su volumen sea de 2 metros cúbicos y su costo sea mínimo. Solución: Primero dibujamos la caja donde sus lados sean paralelos al sistema de referencia xyz. Del enunciado se saca que la función que se quiere minimizar, en este caso, es la función costo. Entonces debemos escribir la llamada función costo, veamos, hay dos precios diferentes involucrados en la fabricación de la caja: el fondo por un lado y las paredes o lados laterales y la tapa. Entonces: Costo total = costo total fondo caja + costo total lados-tapa, Además: Costo total fondo caja= costo unitario fondo*área de fondo Costo total lados-tapa = costo unitario lados-tapa*área lados- tapa. Así que se puede escribir el costo total de la siguiente manera: Si Identificamos: Costo total: CT. Costo unitario fondo: Cf. Donde Cf = 3 Bs/m² Área de fondo: Af. Donde Af = x*y Costo unitario lados-tapa: Cl-t . Donde Cl-t =1 Bs/m² Área lados-tapa: A l-t. Donde Al-t = x*y + 2x*z + 2y*z Entonces: CT = Cf*Af + Cl-t*Al-t Escribiéndolo en formulas se tiene: CT = 3 Bs/m²* x*y + 1 Bs/m² (x*y + 2x*z + 2y*z) Asumiendo que las unidades son correspondientes: CT = 3 x*y + (x*y + 2x*z + 2y*z) Matemática III Prof. P. Colina9 9
  • 10. CT = 4 x*y + 2x*z + 2y*z Finalmente esa es la formula a optimizar, de aquí vamos a hallar el costo mínimo de la caja con esas condiciones. La restricción o la condición que debe cumplir la caja es que el volumen de la caja será: V= xyz = 2 Determinamos los gradientes. CTx = 4 y + 2z CTy = 4x + 2z CTz = 2x + 2y ( )yxzxzyCT 22,24,24 +++=∇ Vx= yz Vy= xz Vz= xy ( )xyxzyzV ,,=∇ La ecuación de Lagrange se escribe: ( )yxzxzy 22,24,24 +++ = ( )xyxzyz ,,λ Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación de cada componente: 4 y + 2z =λyz …ec nº 1 4x + 2z = λxz …ec nº 2 2x + 2y= λxy …ec nº 3, y además xyz = 2 …ec nº4 Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales por cualquiera de los métodos conocidos para estos casos. En particular, en este caso se multiplicara la ec nº 1 por x, la ec nº 2 por y, la ec nº 3 por z. quedan así las ecuaciones: Matemática III Prof. P. Colina10 10
  • 11. 4 xy + 2xz =λxyz …ec nº 5 4xy + 2yz = λxyz …ec nº 6 2xz + 2yz= λxyz …ec nº 7, y aun se tiene la ec nº 4. Fíjese que las tres ecuaciones poseen igual los segundos términos (λxyz), así que los igualaremos a través de ellos. Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 6: 4 xy + 2xz = 4xy + 2yz, luego 2xz = 2yz, entonces x = y, ….ec nº8 Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 7: 4 xy + 2xz = 2xz + 2yz , luego 4 xy = 2yz , entonces 2x =z, …ec nº9 Luego se sustituyen las expresiones encontradas en las ecuaciones nº8 y nº9 en la ecuación nº4, de esa manera queda una sola ecuación con una sola incógnita que es la x. xx2x = 2, entonces queda x³=1 y finalmente se obtiene x= 1 Ahora por las ecuaciones nº 8 y nº 9 se obtiene que las dimensiones de la caja son: x = 1, y = 1, z = 2. Note que efectivamente el volumen de la caja es de 2 m³. El costo minimote la caja a construir será: CT = 4(1)(1) + 2(1)(2) + 2(1)(2) = 4+4+4=12 bolívares Comentario: Matemática III Prof. P. Colina11 11
  • 12. En el costo del valor final de la caja, 12 bolívares, parece alto para la realidad, pero es que se usaron valores enteros para que los valores a calcular fuesen fáciles de ver. Luego se resolverán ejemplos mas complicados. Ejemplo 5: El material para el fondo de una caja rectangular cuesta el triple por metro cuadrado que el material para los lados y la tapa. Determine la máxima capacidad (volumen) que la caja puede tener si la cantidad total de dinero a gastar es de 6 bolívares y el material del fondo cuesta Bs 0.90/metro cuadrado. Solución: Primero dibujamos una caja donde sus lados sean paralelos a los ejes del sistema de referencia xyz. Del enunciado se saca que la función que se quiere maximizar, en este caso, es la función capacidad o volumen. Entonces debemos escribir la llamada función del volumen de la caja de acuerdo a su expresión geométrica. V= xyz Ahora identifiquemos la restricción: el costo fijo de la caja es de 6 bolívares, pero observemos que hay dos precios diferentes involucrados en la fabricación de la caja: el fondo por un lado y las paredes o lados laterales y la tapa. Escribamos la expresión del costo que es fijo e igual a 6 bolívares, entonces: Costo total =6 Bs = costo total fondo caja + costo total lados-tapa, Además: Costo total fondo caja= costo unitario fondo*área de fondo Costo total lados-tapa = costo unitario lados-tapa*área lados- tapa. Matemática III Prof. P. Colina12 12
  • 13. Así que se puede escribir el costo total de la siguiente manera: Si Identificamos: Costo total: CT. Costo unitario fondo: Cf. Donde Cf = 3 Bs/m² Área de fondo: Af. Donde Af = x*y Costo unitario lados-tapa: Cl-t . Donde Cl-t =1 Bs/m² Área lados-tapa: A l-t. Donde Al-t = x*y + 2x*z + 2y*z Entonces: CT = 6 = Cf*Af + Cl-t*Al-t Escribiéndolo en formulas se tiene: 6 = 0.9 Bs/m²* x*y + 0.3 Bs/m² (x*y + 2x*z + 2y*z) Si decimos que las unidades son correspondientes, escribimos la expresión de manera más sencilla: 6 = 0.9 x*y + 0.3 (x*y + 2x*z + 2y*z) 6 = 1.2 x*y + 0.6x*z + 0.6y*z Determinamos los gradientes. a) primero de la función a maximizar, la función volumen Vx= yz Vy= xz Vz= xy ( )xyxzyzV ,,=∇ b) luego el gradiente de la restricción CTx = 1.2 y + 0.6z CTy = 1.2x + 0.6z CTz = 0.6x + 0.6y ( )yxzxzyCT 6.06.0,6.02.1,6.02.1 +++=∇ Matemática III Prof. P. Colina13 13
  • 14. La ecuación de Lagrange se escribe: ( )xyxzyz ,, =λ( )yxzxzy 6.06.0,6.02.1,6.02.1 +++ Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación de cada componente: yz = λ( 1.2 y + 0.6z) …ec nº 1 xz = λ (1.2x + 0.6z) …ec nº 2 xy=λ(0.6x + 0.62y) …ec nº 3, y además 6 = 1.2 x*y + 0.6x*z + 0.6y*z …ec nº4 Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales por cualquiera de los métodos conocidos para estos casos. En particular, en este caso se multiplicara la ec nº 1 por x, la ec nº 2 por y, la ec nº 3 por z. quedan así las ecuaciones: xyz = λ 1.2 xy + 0.6 zx λ …ec nº 5 yxz = 1.2x λ y + 0.6 yz λ …ec nº 6 xyz = 0.6 xz λ + 0.6 yz λ …ec nº 7, y además 6 = 1.2 x*y + 0.6x*z + 0.6y*z …ec nº4 Fíjese que las tres ecuaciones poseen igual los primeros términos (xyz), así que los igualaremos a través de ellos. Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 6: 1.2 λ xy + 0.6zx λ = 1.2 λ x y + 0.6yz λ 0.6zx λ = 0.6yz λ x = y Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 7: 1.2 λ xy + 0.6 zx λ = 0.6 xz λ + 0.6 yz λ 1.2 λ xy = 0.6 yz λ 1.2 x = 0.6 z 2 x = z Matemática III Prof. P. Colina14 14
  • 15. Se escribe la ec nº 4 respecto de una variable 6 = 1.2 xx + 0.6 x2x + 0.6 x2x 6 = 1.2 x² + 1.2 x² + 1.2 x² 6 = 3.6 x² 2 6.3 6 x= , 6.3 6±=x Como x representa una distancia se toma el valor positivo. Así que: 6.3 6=x Entonces los valores de las dimensiones de la caja son: 6.3 6=x ; 6.3 6=y ; ( ) 6.3 62=z La capacidad total será V= 6.3 6 * 6.3 6 *( ) 6.3 62 = 2 ( )3 6.3 6 [ ]3 m . Ejemplo 6: Determine las dimensiones de una caja rectangular con la capacidad máxima, es decir con el máximo volumen, si el área de la superficie total será 64 cm. cuadrados. Solución: Primero dibujamos una caja donde sus lados sean paralelos a los ejes del sistema de referencia xyz. Matemática III Prof. P. Colina15 15
  • 16. Del enunciado se saca que la función que se quiere maximizar, en este caso, es la función capacidad o volumen de una caja rectangular o de un paralelepípedo rectangular. Entonces debemos escribir la llamada función del volumen de la caja de acuerdo a su expresión geométrica. V= xyz Además, se identifica la condición a cumplir o la restricción, dada por la superficie que debe poseer dicha caja, que es de 64 cm. cuadrados. Escribimos el área de la superficie (S): S= 2xy + 2yz + 2xz = 64 Determinamos los gradientes. a) primero de la función a maximizar, la función volumen Vx= yz Vy= xz Vz= xy ( )xyxzyzV ,,=∇ b) luego el gradiente de la restricción Sx = 2y + 2z Sy = 2x + 2z Sz = 2x + 2y ( )yxzxzyS 22,22,22 +++=∇ La ecuación de Lagrange se escribe: ( )xyxzyz ,, =λ( )yxzxzy 22,22,22 +++ Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación de cada componente: yz = λ( 2 y + 2z) …ec nº 1 xz = λ (2x + 2z) …ec nº 2 xz = λ (2x + 2y) …ec nº 3 y además 2xy + 2yz + 2xz = 64…ec nº4 Matemática III Prof. P. Colina16 16
  • 17. Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales por cualquiera de los métodos conocidos para estos casos. En particular, en este caso se multiplicara la ec nº 1 por x, la ec nº 2 por y, la ec nº 3 por z. quedan así las ecuaciones: xyz = 2 λx y + 2 λx z …ec nº 5 xyz = 2 λ xy + 2 λy z …ec nº 6 xyz =2 λ xz + 2 λ yz …ec nº7 Fíjese que las tres ecuaciones poseen igual los primeros términos (xyz), así que los igualaremos a través de ellos. Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 6: 2 λx y + 2 λx z = 2 λ xy + 2 λy z 2 λx y + 2 λx z = 2 λ xy + 2 λy z 2 λx z = 2 λy z, se obtiene: x = y Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 7: 2 λx y + 2 λx z = 2 λ xz + 2 λ yz 2 λx y = 2 λ yz x = z Así que se tiene: x =y = z Se escribe la ecuación nº4 en función de una sola variable: 2xy + 2yz + 2xz = 64…ec nº4, respecto de x por ejemplo, queda: 64222 222 =++ xxx 646 2 =x 6 642 =x 3 32 6 64 ±=±=x , por representar x una distancia se toma el valor positivo, así que: 3 32=x , entonces: Matemática III Prof. P. Colina17 17
  • 18. 3 32=== zyx y el volumen máximo para la condición dada es: 3 3 , 3 32 3 32 3 32 3 32 cmxyzV      === . Ejemplo 7: Determine cual es la distancia más corta entre el plano cuya ecuación es 1232 =++ zyx y el punto origen del sistema 3 ℜ . Solución: Del enunciado se obtiene que la función que se quiere minimizar, en este caso, es la función distancia entre dos puntos de 3 ℜ . Fíjese que el enunciado establece: la distancia más corta, eso se refiere a la menor de las distancias, a la mínima distancia entre dos puntos, donde uno de los puntos es el origen y el otro punto debe estar sobre la superficie dada. Se desea optimizar la distancia. Entonces debemos escribir la llamada función distancia (d). 222 zyxd ++= Además, se identifica la condición a cumplir o la restricción, eso es que el punto debe estar contenido en el plano dado por: 1232 =++ zyx . Una observación muy importante y que nos ahorraría mucho tiempo y esfuerzo es que podemos trabajar con la distancia al cuadrado, es decir la función a minimizar se puede escribir como: 2222 zyxd ++= , el alumno deberá demostrar que esto es cierto. Para ello deberá trabajar con la ecuación normal de la distancia 222 zyxd ++= y/o revisar bibliografías para llegar a comprender y concluir que se obtienen los mismos valores. Determinamos los gradientes. a) primero de la función a minimizar, la función distancia: dx= 2x dy= 2y Matemática III Prof. P. Colina18 18
  • 19. dz= 2z ( )zyxV 2,2,2=∇ b) luego el gradiente de la restricción Sx = 1 Sy = 2 Sz = 3 ( )3,2,1=∇S La ecuación de Lagrange se escribe: ( )zyx 2,2,2 = ( )3,2,1λ Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación de cada componente: λ=x2 ……ec nº1 λ22 =y ……ec nº2 λ32 =z ……ec nº3, y además 1232 =++ zyx ……ec nº4 Se resuelve el sistema de ecuaciones a partir de la igualación de λ. Al igualar las ecuaciones nº 1 y nº 2: ( )xy 222 = , y queda: xy 2= …ec nº 5 Al igualar las ecuaciones nº 1 y nº 3: ( )xz 232 = , y queda: xz 3= …ec nº 6 Se sustituyen las expresiones de restas dos variables en la ec nº 4 para que quede respecto de una variable. ( ) ( ) 123322 =++ xxx , así que 1294 =++ xxx 1214 =x 7 6 =x Se obtienen los valores de los otras dos variables: 7 12 =y Además: 7 18 =z . Matemática III Prof. P. Colina19 19
  • 20. Así que la distancia mas corta entre el punto (0,0,0) y el plano dado es: ( ) ( ) ( )222 7 18 7 12 7 6 ++=d 21.329,10 ≅≅ Ejemplo 8: Determine la mínima distancia entre el origen y la superficie 0922 =+− zyx . Solución: Del enunciado se obtiene que la función que se quiere minimizar, en este caso, es la función distancia entre dos puntos de 3 ℜ , donde uno de los puntos es el origen y el otro punto debe estar sobre la superficie dada. Se desea optimizar la distancia. Entonces la ecuación la llamada función distancia (d). 222 zyxd ++= Además, se identifica la condición a cumplir o la restricción, eso es que el punto debe estar contenido en la superficie dada por. 0922 =+− zyx . Es decir, debe satisfacer la ecuación de esa superficie. Una observación muy importante y que nos ahorraría mucho tiempo y esfuerzo es que, de nuevo, al igual que en el ejemplo anterior, se puede trabajar con la distancia al cuadrado, es decir la función a minimizar se puede escribir como: 2222 zyxd ++= , el alumno deberá demostrar que esto es cierto. Para ello deberá trabajar con la ecuación normal de la distancia 222 zyxd ++= y/o revisar bibliografías para llegar a comprender y concluir que se obtienen los mismos valores. Determinamos los gradientes. Matemática III Prof. P. Colina20 20
  • 21. a) primero de la función a minimizar, la función distancia: dx= 2x dy= 2y dz= 2z ( )zyxV 2,2,2=∇ b) luego el gradiente de la restricción Sx = 2xy Sy = x² Sz = -2z ( )zxxyS 2,,2 2 −=∇ La ecuación de Lagrange se escribe: ( )zyx 2,2,2 = ( )zxxy 2,,2 2 −λ Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación de cada componente: xyx 22 λ= ……ec nº 1 2 2 xy λ= ……ec nº 2 zz λ22 −= ……ec nº 3, y además 0922 =+− zyx ……ec nº 4 Se resuelve el sistema de ecuaciones, veamos como se hace en este caso: De la ecuacion nº 1 se tiene, al hacer cero de un lado: 022 =− λxyx , ( ) 012 =− λyx , de aquí salen dos situaciones: i. 0=x . Entonces si x=0, de la ec nº 2 queda y=0 , y al sustituir en ec nº 4 se obtiene: 3±=z . Se obtienen los puntos: 1P :(0,0,3) y 2P : (0,0,-3). ii. 01 =− yλ , se despeja λ, se tiene: y 1 =λ , se sustituye en la ec nº 3, se observa: 1−=y Matemática III Prof. P. Colina21 21
  • 22. se sustituye en la ec nº 2 y queda: 2 2 x= ,entones 2±=x luego al sustituir los valores 1−=y , 2 2 x= ambos en la ec nº 4: ( ) 0912 2 =+−− z que al resolver se obtiene: 7±=z . De esta parte se han obtenido los siguientes puntos: ( )7,1,2:3 −P : ( )7,1,2:4 −−P : ( )7,1,2:5 −−P : ( )7,1,2:6 −−−P : Seguimos analizando las opciones planteadas del sistema de ecuaciones, de la ec nº 3. zz λ22 −= 022 =+ zz λ ( ) 012 =+λz de aquí también salen dos situaciones: i. 01 =+ λ , pero esta opción ya fue considerada en la parte anterior, así que no se estudiará de nuevo. ii. 0=z . De la ec nº 4 se obtiene: 092 =+yx , .. ec nº 5 además 92 −=yx , se puede comentar aquí que y debe ser negativo. Si multiplico la ec nº 1 por x , la nº 2 por y se obtiene: yxx 22 22 λ= así que 92 λ−=x ……ec nº 6 yxy 22 2 λ= así que 92 2 λ−=y ……ec nº 7 Que al igualar estas dos últimas ecuaciones se obtiene: 22 2 xy = … … ec nº 8 que al sustituirla en la ec nº 5 se obtiene: 092 2 =+yy , 092 3 =+y , 293 −=y 3 2 9−=y , Esto representa otro valor probable para y. Entonces de 22 2 xy = , se obtienen dos valores para x. 2 32 2 92       −=x , 63 1 162 4 812 ==x , de igual forma Matemática III Prof. P. Colina22 22
  • 23. 63 2 162 4 812 −=−=x , Se forman dos puntos posibles más:       − 0, 2 9,162: 36 7P :      −− 0, 2 9,162: 36 8P . Con esta parte damos por terminada la búsqueda de los puntos críticos, hemos obtenido ocho puntos críticos al analizar todas las posibles condiciones que se pueden dar en este caso. Finalmente vamos a hallar las distancias para saber cual es la menor de todas, que es el objetivo del ejercicio. Fíjese que la distancia a los puntos: 1P :(0,0,3) y 2P : (0,0,-3), es la misma: ( ) 33 2 ==d . También la distancia a los puntos: 3P , 4P , 5P , 6P es la misma y es igual a: ( ) ( ) 10712 222 =++=d Además la distancia a los puntos 7P y 8P , también es igual: ( ) ( ) 33.229162 2 3 2 6 ≅+=d Concluimos que la distancia mínima del origen a la superficie es igual a 2,33 unidades de longitud. Matemática III Prof. P. Colina23 23
  • 24. Ejercicios propuestos y tarea a realizar. 1) Determine las dimensiones de una caja rectangular de volumen 2 m³ para que la suma de las longitudes de las aristas sea mínima. 2) Determine las dimensiones de una caja rectangular de volumen máximo si la superficie total deberá ser 220 cm². 3) Se desea fabricar una caja donde el costo del material para los lados y la tapa es de Bsf 1,2/m² y el costo de la parte inferior es de Bsf 2,4/m². determine las dimensiones de la caja con volumen 2 m³. 4) El material para la fabricación del fondo de una caja rectangular cuesta el doble por cada metro cuadrado que el material para los lados y la tapa. Determine la máxima capacidad que puede tener la caja si la cantidad total de dinero disponible es de Bsf 6 y el material del fondo cuesta Bsf 0,80 por metro cuadrado. 5) Determine cual es el punto del plano 12642 =++ zyx que es más cercano al origen ¿Cuál es la distancia más corta? 6) Un tanque metálico rectangular sin tapa debe contener 4,2 m³ de líquido. ¿Cuáles son las dimensiones del tanque que requieren menos material para su construcción? 7) Determine la mínima distancia entre el punto (1,2,0) y el cono cuadrático 0222 =−+ zyx . 8) Determine el volumen máximo de una caja rectangular cerrada con caras paralelas a los planos coordenados inscrita en el elipsoide de ecuación: 1 32 2 2 2 2 2 =++ z y x 9) Se desea hallar los dos números positivos cuya suma sea 16 y donde el cuadrado del primero sumado al cubo del segundo den el valor máximo posible. 10) Determine la mínima distancia entre el punto (1,2) y la parábola 32 −= xy 11) El material para la fabricación del fondo y la tapa de una caja rectangular cuesta el triple por cada metro cuadrado que el material para los lados. Determine la máxima capacidad que puede tener la caja si la cantidad total de dinero disponible es de Bsf 6 y el material del fondo cuesta Bsf 0,90 por metro cuadrado. Matemática III Prof. P. Colina24 24
  • 25. 12) Se desea construir una pecera de sección rectangular, el fondo de esquisto y las paredes de vidrio, si el esquisto cuesta 4 veces el costo del vidrio por metro cuadrado. Cuales serán las dimensiones de la pecera si el volumen es 0.8 m³ si se desea que el costo sea mínimo. 13) Una caja rectangular cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas, se inscribe en un elipsoide de ecuación: 369436 222 =++ zyx ¿Cuál es el mayor volumen posible para la caja? 14) Determine el mínimo de la función ( ) 222 ,, zyxzyxf ++= , sujeta a la restricción: 1223 =−+ zyx Matemática III Prof. P. Colina25 25
  • 26. Actividad Grupal 1) Se deberán agrupar en equipos de tres integrantes. 2) Cada grupo deberá entregar un ejercicio resuelto la próxima clase del día jueves30 de octubre. 3) No se aceptarán ejercicios repetidos. 4) En caso de que dos o más equipos resuelvan un mismo ejercicio la nota correspondiente a la actividad de esos equipos, TODOS, será CERO PUNTOS. 5) El grupo de la clase, como grupo de adultos y personas decentes, sortearán los Ejercicios propuestos y la tarea a realizar. 6) La misma deberá ser entregada al inicio de la clase. 7) El ejercicio deberá estar coherentemente desarrollado y explicado el procedimiento a medida que desarrolla el ejercicio, tendrá su conclusión que será responder lo pedido. En letra legible y ordenado. 8) El responsable de cada grupo deberá estar al inicio de la clase y entregará de inmediato el ejercicio que le corresponda. Todos los integrantes deberán firmar el trabajo. 9) No se aceptarán trabajos individuales, aquellas personas que pretendan entregar individualmente tendrá una puntuación de CERO PUNTOS. 10) No se aceptarán excusas a menos que este de reposo médico durante toda la semana, mejor aún desde el domingo 26/10 al 30/10. de resto no se aceptaran. Asi que ténganlo listo antes de la fecha para evitar inconvenientes. NOTA: hoy es viernes 24 de octubre. Matemática III Prof. P. Colina26 26