Este documento trata sobre la aplicación de las integrales para calcular el área bajo una curva y el volumen de sólidos de revolución. Explica cómo calcular el área limitada por dos curvas usando integrales definidas, y cómo usar el método del disco y el método de las arandelas para calcular el volumen al girar una región alrededor de un eje. También incluye ejemplos resueltos de estas aplicaciones.

1. Facultad de Ingeniería Matemática II
Guia de Teoría y Práctica
Matemática I
Semana Nº 9
APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES
AREA BAJO UNA CURVA
y = f (x)
1.5 2 2.5 3 3.5 4
4
3
2
1
a A(R) b
Si f (x) ³0 en [ a , b, ] entonces
òb
a
Veamos algunos ejemplos para entender mejor estos nuevos conceptos.
Ejemplo1.
Obtener el área limitada por la gráfica de f (x) =6 -x -x2 con el eje x
Solución
6
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 1 2
1
f (x)dx es igual al área de la gráfica de
f en [ a , b, ]
Ver fig.
Primero veremos los límites de integración
x2 +x -6 =0«(x -2)(x +3) =0
por lo tanto x = 2; x = -3.
Como: 6 - x - x2 ³ 0 "xÎ[ -3,2] , entonces podemos
aplicar nuestra definición

2. Facultad de Ingeniería Matemática II
Es decir:
2 2 3 2
A x x dx x x x
= ò (6 - - 2
) = 6
- -
2 3
- -
3 3
Por lo tanto A(R) =125 / 6
Ejemplo2.
Obtener el área limitada por la gráfica de f (x) =senx , el eje x con x =0 , x =p
Solución
0.5 1 1.5 2 2.5 3
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Podemos ver que los límites de
integración son a =0 , b =p , además
senx ³0 , xÎ[ 0 ,p ]
entonces: =ò =- ]
Por lo tanto A(R) =2
p p
0 0 A(R) senxdx cos x
=-(cosp -cos0) =2
Una aplicación muy importante de la integral definida lo constituye el encontrar el área de la región
comprendida entre dos curvas. Para esto consideraremos lo siguiente.
Sean f y g , funciones continuas en [ a , b, ] y además f (x) ³g(x) si xÎ[ a , b ] ,
b
a
b
a
entonces ò ³ò
f (x)dx g(x)dx .
Geométricamente podemos observar que:
2.5 3 3.5 4 4.5
25
20
15
10
5
a b
Ejemplo1.
Hallar el área limitada por las curvas:
y =2 -x2 , y y = x
Solución
2
b
a
Þ =ò -
A(R) ( f (x) g(x))dx

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El área de la región estará dada por:
Encontraremos en primer lugar los límites
de integración:
Es decir 2 -x2 =x Þx2 +x -2 =0
(x +2)(x -1) =0
entonces se tiene que a =-2, b =1
además 2 -x2 ³x , xÎ[ -2 ,1 ]
1
2
2 3 / 3 2 / 2
1
2
( ) (2 2 ) ( )
- úû ù
êë é
= - -
û ë ù
é
- êúA R =ò -x - x dx x x x
= - - - - + -
(2 1/ 3 1/ 2) ( 4 8 / 3 2)
=
9
3
Por lo tanto A(R) =9 / 3
Ejemplo 2.
y =-x2 +10 y 2
9
x
y =
Solución
Encontraremos en primer lugar los límites
de integración:
2 10 9
- x + = , resolviendo tenemos:
9
x
entonces tomaremos a=1 , b=3 y ademas como-x2 +10 ³ 2
, el área de la región será:
3
] ]3
1
10 9
ò -x + - = - + +
3
[
3
[ ( 2 10) 9
1 2
x
dx x x
x
= - + + - - + +
( 9 30 3) ( 1/ 3 10 9)
=
16 / 3
Por lo tanto A(R) =2(16 / 3) =32 / 3
Ejemplo 3.
f (x) =3x3 -x2 -10x y y =-x2 +2x
3
2
x
-(x2 -9)(x2 -1) =0 Þx =±1,±3
Solamente calcularemos el área en el primer
cuadrante

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Solución
Encontremos los límites de integración
3x3 -x2 -10x =-x2 +2x , resolviendo
tenemos: 3x(x2 -4) =0 . Luego las
gráficas se cortan en los puntos x =0 ,
x =±2 .
En la gráfica nos damos cuenta que no
siempre la misma función es mayor que
la otra en todo su dominio, por eso
tomaremos dos regiones a integrar.
] ]
ò ò
A R x x x x x dx x x x x x dx
=
ò ò
] ]
x x dx x x dx
3 4 [
] ]
3 4 [
+ - +
-
= -
(12 24) ( 12 24) 24
2
0
6 2
4
0
2
6 2
4
3 3 12 )
0
2
3 3 12 ) [ (
0
2
[ (
3 3 2 10 )
2
0
3 3 2 10 ) ( 2 2 ) [ ( 2 2 ) (
0
2
( ) [ (
=- - + - + =
- +
-
- +
-
=
- - - - + + - + - - -
-
x x x x
Por lo tanto A(R) =24
Ejercicios Propuestos
Dibuja un esbozo de la región limitada por las gráficas de las funciones dadas y calcular su área
01
1) f (x) =x2 -4x , g(x) =0 2) f (x) =3-2x -x2 , g(x) =0
3) f (x) =x2 +2x +1, g(x) =3x +3 4) f (x) =-x2 +4x +2 , g(x) = x +2
5) f (x) =3x2 +2x , g(x) =8 6) f (x) =x2 +5x -6 , g(x) =6x -6
02
1) f (x) =x(x2 -3x +3) , g(x) =x2 2) f (x) =x4 -2x2 , g(x) =x2
3) f (x) =x3 -2x +1, g(x) -2x , x =1 4) f (x) =-x2 +2x +3 , g(x) =-x +3 , x=0,
x=2
5) f (x) =9 -x2 , g(x) =2x +3 ,x=-1, x=1 6) f (x) =x2 , g(x) =1/ x2 , x=1, x=2
VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
MÉTODO DEL DISCO
Definición. Sea f (x) continua en [ a,b] y sea R la región acotada por la gráfica de f (x) , el eje x y
las rectas verticales x = a, x = b . El volumen del sólido de revolución generado al girar R alrededor
del eje x esta dado por:
n
å ò ®¥ =
V = Lim f x D x =
f x dx
k
b
a
n k k
1
p 2 ( ) p 2 ( )
4

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Geométricamente.
En genera para una función arbitraria l se vería de la siguiente forma.
Ejemplo 01. Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x la región acotada por
y =x2 y las rectas. x =0, x =1
Solución
Gráficamente tenemos.
0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Aplicando en nuestra formula se tiene:
2 ( )
b
V =p ò f x dx
a
donde a =0, b =1 , se tiene:
1 5 2 2 1 3
V x =p x dx =p x dx = p u ò
0
( ) ( ) ( )
0
5 5
Ejemplo 02- Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x la región acotada por
y = x y las rectas. x =1, x = 4
Solución
Gráficamente tenemos.
5

6. Facultad de Ingeniería Matemática II
Aplicando en nuestra formula se tiene:
b
V p f 2 (x)dx
= ò
a
donde a = 1, b = 4 , se tiene:
4 2 2 4 3
V ( x ) =p ò
( x ) dx =p ( x ) dx = 15
p u 1
1
2 2
Ejemplo 03- Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x la región acotada por
y = 2 - x y las rectas. x = 0, y = 0
Solución
Gráficamente tenemos.
Aplicando en nuestra formula se tiene:
2 ( )
b
V =p ò f x dx
a
donde a = 0, b = 2 , se tiene:
2
V ( x ) =p 8
p ò (2 - x ) dx = u
2 3
0
3
METODO DEL DISCO O DE LAS ARANDELAS.
6

7. Facultad de Ingeniería Matemática II
Definición. Sean f (x) y g(x) dos funciones continuas en [ a , b ] y sea R una región acotada
por las gráficas de las funciones f (x) y g(x) , el eje x y las rectas verticales x = a, x = b . El
volumen del sólido de revolución generado al girar R alrededor del eje x esta dado por:
V =òp f x -g x dx
Geométricamente
Que girando al eje x se tendría.
Ejemplo 04. Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x , la región acotada por
y = x y y = x
Solución
Calcularemos los límites de integración.
2 0
x x x x
x x x x
1
0.8
0.6
0.4
= Þ - =
Þ ( - 1) = 0 Þ = 0 Ú =
1
Entonces nuestros límites de integración son a = 0 y a=1.
Reemplazando en nuestra formula se tiene.
( 2 ( ) 2 ( ) )
b
V = òp f x - g x dx =
a
1
2 2
V = òp ( ( x) - x ) )dx
0
1 2 3 2 1
= ò - = - =
0
V p x x dx p
x x
0
( ) ) ( )
3
2 3
( 1 1 )
2 3 6
u
p - =
p
( 2 ( ) 2 ( ) )
b
a
7
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2

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Teorema. Sean f (x) y g(x) funciones continuas en [ a , b ] y sea R una región acotada por
las gráficas de las funciones f (x) y g(x) , el eje x y las rectas verticales x = a, x = b . El
volumen del sólido de revolución generado al girar R alrededor de la recta y = c esta dado por:
( ( ) )2 ( ( ) )2 )
b
V =òp f x -c - g x -c dx
a
Ejemplo 02
Hallar el sólido de revolución generado al rotar al región formada por la grafica de las curvas:
f (x) = x y g(x) =x , alrededor de la recta y =-1
Solución
En nuestro caso tenemos que c =-1
Gráficamente.
Aplicando nuestra formula tenemos:
1 1
2 2 2
V = òp ( x +1 ) -( x +1) )dx =p ò ( 2 x - x - x ) dx
0 0
2/3 2 3 1
æ ö æ ö = çç - - ¸¸ = ç - - ¸ è ø è ø
V p x x x p
4 4 1 1
3 2 3 3 2 3
0
3
V =p u
3
1
0.8
0.6
0.4
MÉTODO DE LAS CORTEZA CILINDRICA
Definición. Sea f (x) continua y no negativa en [ a , b ] para 0 £ a < b , el volumen V del sólido
de revolución generado al girar la región acotada por la gráfica de f , el eje x y las rectas
x = a, x = b , alrededor del eje y esta dado por :
Gráficamente se observa lo siguiente:
V 2p x f (x) dx
8
b
= ò
a
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2

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Ejemplo03.
Demostrar empleando el método de la corteza cilíndrica, que el volumen de un cono de altura h y con
radio r está dado por:V =pr 2h / 3
Solución
Para comenzar, observemos que este cono puede ser visto como el sólido que se produce al hacer girar,
alrededor del eje y, la región triangular cuyos vértices son:
(0,0), (r,0) y (0,h), donde h y r son números reales positivos.
La ecuación de la recta que pasa por los puntos (r,0) y (0,h) está dada por: y =(-h / r)x + h
Puesto que su pendiente es m = − h/r y su intercepto con el eje y es el punto (0,h).
Ahora bien, para aplicar el método que nos ocupa tendremos:
= ò - + = ò - + ) = 2 ò ( - 1 2
=
1
p p p
2 2 1
ö çè
r r h
) 2 ( 1 1
r
3
r
2
é
r x x
dx
r
x
r
dx h x
r
x
r
dx h x
r
x h
V x h
r
2
3
6
ù
0
3
= -
2
2
)
0
0
2 (
0
p p p
= ÷ø
= æ
ú ú
û
ê ê
ë
Ejemplo 04
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar, alrededor del eje y, la región que
está delimitada por la parábola y =-x2 +4x -3 , por la cúbica y =x3 -6x2 +12x -5 y por las
verticales x = 1 y x = 3.
Solución
Gráficamente tenemos.
9

10. Facultad de Ingeniería Matemática II
En este caso tenemos dos funciones, calculemos entonces:
. g(x) - f (x) =x3 -5x2 +8x -2 , para de ese modo calcular la altura de
las cortezas cilíndricas.
Por lo tanto, el volumen de este sólido de revolución está dado por la integral
3 3
( ) ( 3 2
)
( )
ò ò
ò
x g x f x dx x x x x dx
p p
- = - + -
2 ( ) ( ) 2 5 8 2
1 1
3 5 4 3 3
é ù
x x x x dx x x x x
2 5 8 2 2 5 8
4 3 2 2
= - + - = ê - + - ú
5 4 3
p p
ë û
1 1
p p
12 5 75 4 160 3 60 2 3
292 .
= éë x - x + x - x
ùû =
30 1
15
Teorema.
El volumen V del sólido de revolución generado al rotarla región limitada por las gráficas de las
funciones y = f (x) y y =g(x) , desde x = a hasta x =b , alrededor de la recta x = c ; donde
cÏ[ a , b ] , y además f (x) ³g(x) para xÎ[ a , b ] es igual a:
= ò - - ]
V 2p x c [ f (x) g(x) dx
Ejemplo 05.
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor de la recta vertical x = 1,
la región que está comprendida entre el eje x, las rectas verticales x =2 , x =3 , y la curva:
y =2 - x2 -2x
Solución
Gráficamente tenemos.
10
b
a

11. Facultad de Ingeniería Matemática II
Reemplazamos nuestros dados a =2 , b =3 , c =1, se tiene en nuestro caso que nuestro radios de
l a s c o r t e z a s c i l í n d r i c a s formados ahora son (x-1) y reemplazando en nuestra formula se tiene.
( ) 3
V = ò 2p (x -1) 2 - x 2
- 2x dx
2
Esta integral puede descomponer en dos integrales, así:
3 3
V = 4p ò (x -1) dx - 2p ò (x -1) x - 2x dx
La primera integral no tiene problema. Para evaluar la segunda podemos hacer la sustitución
u = x2 - 2x , por lo cual du = (2x - 2)dx y, respecto de los límites de integración, si x = 2, entonces
u = 0 y si x = 3, entonces u = 3. Luego.
3 3
V = 4p ò(x -1)dx - 2òu 1/ 2
du
2 0
2 3 3
é ù V = 4 p x ê - x ú - 2 é 2
u
3/ 2
ù ë 2 û ë ê 3
ú û
V = (6 - 2 3)p u3
2 0
EJERCICIOS PROPUESTOS
EJERCICIOS 1
I- Calcúlese el volumen del sólido generado al girar la región dada en torno al eje x
1) y =-x +1 2) y =4 -x2 3) y = x , x=1 4)
y =x2 5) y =x2 , y =x3 6) y =2 , y =4 -x2 / 2
7) y =x 4 -x2 , y =0 8) y =x2, y =4 -x2 9)
y =6 -2x -x2, y =x +6
II- Calcúlese el volumen del sólido generado al girar la región dada en torno al eje y
1) y =2 , y =x2 2) y = 16-x2 , x =0 , y =0 3) y =x2 / 3, x =0, y =1
4) y =x, y =0, x =2 5) y =x2, y =4 -x2 6) y =4-x2, y =0
III.- Calcule el volumen engendrado por la función y = sin x , entre x =0 , y x = p
· Al girar alrededor del eje x
· Al girar alrededor del eje la recta y =-1
2
2 2
11

12. Facultad de Ingeniería Matemática II
IV- Calcular el volumen del área plana comprendida entre y =-x2 -3x +6 y y =3-x
engendrado al girar:
· Alrededor de x = 3
· Alrededor del eje x
V. Calcular el volumen engendrado por la revolución alrededor del eje y del área plana comprendida
- 2 = , y =0 , x =0 , x =1
entre y e x
EJERCICIOS 2
I. Hallar el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por : y =x3 -6x2 +8x ,
y =x2 -4x , x =0 , x =4 , alrededor de:
· La recta y =4
· La recta x =4
II. Calcular el volumen engendrado por la revolución alrededor de la recta y =16 del área plana
comprendida entre y =4x2 ; x =0 ; y =16 .
III. Hallar el volumen del sólido generado al rotar y = x3 y y = 2x - x2 , alrededor de la recta y = 1
12