integrales dobles

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EJERCICIOS DE INTEGRALES DOBLES
Pregunta 1
Calcular la siguiente integral doble ∫∫ −
S
dydx)y2x(
Donde S es la región limitada por las rectas 1y −= , 1y = , 3x = y el eje Y.
Resolución
Graficamos la región de integración
De esta región se desprenden los siguientes intervalos:
3x0 ≤≤
1y1 ≤≤−
Lo que nos permite reescribir:
∫∫∫∫ −
−=−=
3
0
1
1S
dxdy)y2x(dydx)y2x(I … (α)
Primero se resuelve la integral interna, la que llamaremos 1I
∫−
−=
1
1
1 dy)y2x(I
1
1
2
1 )yxy(I −
−=
[ ] [ ]22
1 )1()1(x)1()1(xI −−−−−=
x2I1 =
530
-1
1 y = 1
y = -1
x = 3

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En (α): ∫=
3
0
dx)x2(I
3
0
2
xI =
[ ] [ ]22
)0()3(I −=
9I =
Pregunta 2
Calcular la siguiente integral doble ∫∫S
dydxx3
Donde S es la región limitada por las rectas 1xy += , 1x2y −= y el eje Y.
Resolución
Graficamos la región de integración
De esta región se desprenden los siguientes intervalos:
2x0 ≤≤
1xy1x2 +≤≤−
Lo que nos permite reescribir:
∫ ∫∫∫
+
−
==
2
0
1x
1x2S
dxdyx3dydxx3I … (α)
Primero se resuelve la integral interna, la que llamaremos 1I
0 2
y = 2x-1
y = x+1

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∫
+
−
=
1x
1x2
1 dyx3I
1x
1x21 xy3I
+
−
=
[ ] [ ])1x2(x3)1x(x3I1 −−+=
2
1 x3x6I −=
En (α): ∫ −=
2
0
2
dx)x3x6(I
2
0
32
xx3I −=
[ ] [ ]3232
)0()0(3)2()2(3I −−−=
4I =
Pregunta 3
Calcular la siguiente integral doble ∫∫ −
S
dydx)y2x(
Donde S es la región limitada por la parábola 2
xy = y la recta 02yx =+− .
Resolución
Graficamos la región de integración
De esta región se desprenden los siguientes intervalos:
2x1 ≤≤−
2xyx2
+≤≤
5
-1 2
y = x^2
y = x+2

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Lo que nos permite reescribir:
∫ ∫∫∫ −
+
−=−=
2
1
2x
xS 2
dxdy)y2x(dydx)y2x(I … (α)
Primero se resuelve la integral interna, la que llamaremos 1I
∫
+
−=
2x
x
1
2
dy)y2x(I
2x
x
2
1 2
)yxy(I
+
−=
[ ] [ ]2222
1 )x()x(x)2x()2x(xI −−+−+=
4x2xxI 34
1 −−−=
En (α): ∫−
−−−=
2
1
34
dx)4x2xx(I
2
1
2
45
x4x
4
x
5
x
I
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−−−
−
−
−
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−−= )1(4)1(
4
)1(
5
)1(
)2(4)2(
4
)2(
5
)2(
I 2
45
2
45
15.12I −=

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Pregunta 4
Calcular la siguiente integral doble ∫∫S
dydx
Donde S es la región limitada por las curvas x
ey = , xlny = y las rectas 1x =
; 3x = .
Resolución
Graficamos la región de integración
De esta región se desprenden los siguientes intervalos:
3x1 ≤≤
x
eyxln ≤≤
Lo que nos permite reescribir:
∫ ∫∫∫ ==
3
1
e
xlnS
x
dxdydydxI … (α)
Primero se resuelve la integral interna, la que llamaremos 1I
∫=
x
e
xln
1 dyI
x
e
xln1 yI =
xlneI x
1 −=
En (α): ∫ −=
3
1
x
dx)xlne(I ( )3
1
x
)xxlnx(eI −−=
5
y = lnx
y = e^x
31

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[ ] [ ])11ln1(e)33ln3(eI 13
−−−−−=
071.16I =
Pregunta 5
Calcular la siguiente integral doble ∫∫S
dxdyy
Donde S es la región limitada por la curva xlny = y las rectas 0yx =− ,
2y = y el eje X.
Resolución
Graficamos la región de integración
De esta región se desprenden los siguientes intervalos:
2y0 ≤≤
y
exy ≤≤ Téngase en cuenta que el intervalo variable de “ x ”
debe estar comprendido entre dos funciones
dependientes de “ y ”. Por ello se ha despejado la
variable “ x ” en términos de “ y ”.
xy = es equivalente a yx =
xlny = es equivalente a y
ex =
5
y = lnx
1
y = x
20
2

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Lo anterior nos permite reescribir:
∫∫∫∫ ==
2
0
e
yS
y
dydxydxdyyI … (α)
Primero se resuelve la integral interna, la que llamaremos 1I
∫=
y
e
y
1 dxyI
y
e
y1 yxI =
2y
1 yyeI −=
En (α): ∫ −=
2
0
2y
dx)yye(I
2
0
3
yy
3
y
)eye(I ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−=
3
)0(
)ee0(
3
)2(
)ee2(I
3
00
3
22
7224.5I =

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Anexo: Integrales Dobles
Notación:
∫∫S
dydx)y,x(f ∫∫S
dxdy)y,x(f
Donde S es la región de integración
Propiedad: ∫∫∫∫ =
SS
dxdy)y,x(fdydx)y,x(f
Casos:
Caso I: ∫∫S
dydx)y,x(f
En este caso la región de integración debe estar determinada por:
S : bya ≤≤ ; )y(gx)y(g 21 ≤≤
Lo que nos permite reescribir la integral como:
∫ ∫∫ ∫∫∫ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
==
b
a
)y(g
)y(g
b
a
)y(g
)y(gS
dydx)y,x(fdydx)y,x(fdydx)y,x(f
2
1
2
1
Caso II: ∫∫S
dxdy)y,x(f
En este caso la región de integración debe estar determinada por:
S : bxa ≤≤ ; )x(gy)x(g 21 ≤≤
Lo que nos permite reescribir la integral como:
∫ ∫∫ ∫∫∫ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
==
b
a
)x(g
)x(g
b
a
)x(g
)x(gS
dxdy)y,x(fdxdy)y,x(fdxdy)y,x(f
2
1
2
1

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Recomendaciones para resolver una Integral doble del tipo ∫∫S
dxdy)y,x(f
Paso 1: Graficar las curvas que limitan la región de integración.
Para resolver una integral doble necesitamos tener claridad en cuanto a la
región de Integración. Para ello deberá graficar las curvas que limitan la región
de integración y calcular los puntos de corte que sean necesarios. Para el caso
que estudiamos se debería notar sobre un intervalo numérico de la variable x
una curva ubicada por encima de otra.
Supongamos que en el intervalo bxa ≤≤ la curva )x(gy 2= está por encima y
la curva )x(gy 1= está por debajo, limitando la región de integración.
Paso 2: Identificar la posición de las variables.
También necesitamos tener claridad en cuanto a la posición de las variables.
Así por ejemplo en nuestro caso
∫∫S
dxdy)y,x(f diremos que “ y ” está en la
primera posición mientras que “ x ” está en la segunda posición. La posición de
las variables es importante para reescribir la integral doble.
Paso 3: Determinar los intervalos de las variables.
La región de Integración nos permite determinar dos intervalos, uno para cada
variable. La variable ubicada en la segunda posición ( x ) estará comprendida
entre dos números (intervalo numérico). Supongamos el intervalo bxa ≤≤ . La
variable ubicada en la primera posición ( y ) estará comprendida entre dos
funciones (intervalo variable). El intervalo variable tendrá por extremo menor
la ecuación de la curva ubicada por debajo ( )x(gy 1= ) y por extremo mayor la
ecuación de la curva ubicada por encima ( )x(gy 2= ). Es decir: )x(gy)x(g 21 ≤≤ .
Paso 4: Reescribir la integral doble mostrando los límites de integración.
Una vez reconocidos y planteados los intervalos, reescribimos la integral doble
señalando claramente los límites de integración. Así entonces nuestra integral
∫∫=
S
dxdy)y,x(fI cuya región de integración quedó determinada por los
intervalos bxa ≤≤ y )x(gy)x(g 21 ≤≤ se reescribe como ∫ ∫=
b
a
)x(g
)x(g
2
1
dxdy)y,x(fI .

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Paso 5: Resolver la integral interna tomando como variable la ubicada en
la primera posición.
Las integrales dobles se resuelven de adentro hacia fuera. Primero se resuelve
la integral interna, aquella que contiene a la variable ubicada en la primera
posición. Así por ejemplo si tenemos la integral doble ∫ ∫=
b
a
)x(g
)x(g
2
1
dxdy)y,x(fI
debemos resolver primero la integral simple ∫
)x(g
)x(g
2
1
dy)y,x(f . Dado que esta
integral comprende límites de integración variables (en este caso la variable es
x ), al evaluarla el resultado debería ser una función que solo dependa de esta
variable.
Así por ejemplo, al resolver ∫
)x(g
)x(g
2
1
dy)y,x(f nos debería quedar una función del
tipo )x(h que dependa solo de “ x ”. Es decir )x(hdy)y,x(f
)x(g
)x(g
2
1
=∫ , por lo que la
integral doble ∫ ∫=
b
a
)x(g
)x(g
2
1
dxdy)y,x(fI quedaría reducida a la siguiente integral
simple ∫=
b
a
dx)x(hI .
Paso 5: Resolver la integral resultante.
Este sería el último paso. Resolvemos la integral resultante tomando como
variable x que estaba ubicada originalmente en la segunda posición. Dado
que esta última comprende límites de integración numéricos (a y b) el
resultado final debe ser un número.

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Recomendaciones para resolver una Integral doble del tipo ∫∫S
dydx)y,x(f
Paso 1: Graficar las curvas que limitan la región de integración.
Para resolver una integral doble necesitamos tener claridad en cuanto a la
región de Integración. Para ello deberá graficar las curvas que limitan la región
de integración y calcular los puntos de corte que sean necesarios. Para el caso
que estudiamos se debería notar sobre un intervalo numérico de la variable y
una curva ubicada a la derecha de otra.
Supongamos que en el intervalo bya ≤≤ la curva )y(gx 2= está por derecha y
la curva )y(gx 1= está por izquierda, limitando la región de integración.
Paso 2: Identificar la posición de las variables.
También necesitamos tener claridad en cuanto a la posición de las variables.
Así por ejemplo en nuestro caso ∫∫S
dydx)y,x(f diremos que “ x ” está en la
primera posición mientras que “ y ” está en la segunda posición. La posición de
las variables es importante para reescribir la integral doble.
Paso 3: Determinar los intervalos de las variables.
La región de Integración nos permite determinar dos intervalos, uno para cada
variable. La variable ubicada en la segunda posición ( y ) estará comprendida
entre dos números (intervalo numérico). Supongamos el intervalo bya ≤≤ . La
variable ubicada en la primera posición ( x ) estará comprendida entre dos
funciones (intervalo variable). El intervalo variable tendrá por extremo menor
la ecuación de la curva ubicada por izquierda ( )y(gx 1= ) y por extremo mayor
la ecuación de la curva ubicada por derecha ( )y(gx 2= ). Es decir:
)y(gx)y(g 21 ≤≤ .
Paso 4: Reescribir la integral doble mostrando los límites de integración.
Una vez reconocidos y planteados los intervalos, reescribimos la integral doble
señalando claramente los límites de integración. Así entonces nuestra integral
∫∫=
S
dydx)y,x(fI cuya región de integración quedó determinada por los
intervalos bya ≤≤ y )y(gx)y(g 21 ≤≤ se reescribe como ∫ ∫=
b
a
)y(g
)y(g
2
1
dydx)y,x(fI

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Paso 5: Resolver la integral interna tomando como variable la ubicada en
la primera posición.
Las integrales dobles se resuelven de adentro hacia fuera. Primero se resuelve
la integral interna, aquella que contiene a la variable ubicada en la primera
posición. Así por ejemplo si tenemos la integral doble ∫ ∫=
b
a
)y(g
)y(g
2
1
dydx)y,x(fI
debemos resolver primero la integral simple ∫
)y(g
)y(g
2
1
dx)y,x(f . Dado que esta
integral comprende límites de integración variables (en este caso la variable es
y ), al evaluarla el resultado debería ser una función que solo dependa de esta
variable.
Así por ejemplo, al resolver ∫
)y(g
)y(g
2
1
dx)y,x(f nos debería quedar una función del
tipo )y(h que dependa solo de “ y ”. Es decir )y(hdx)y,x(f
)y(g
)y(g
2
1
=∫ , por lo que
nuestra integral doble ∫ ∫=
b
a
)y(g
)y(g
2
1
dydx)y,x(fI quedaría reducida a la siguiente
integral simple ∫=
b
a
dy)y(hI .
Paso 5: Resolver la integral resultante.
Este sería el último paso. Resolvemos la integral resultante tomando como
variable y que estaba ubicada originalmente en la segunda posición. Dado
que esta última comprende límites de integración numéricos (a y b) el
resultado final debe ser un número.

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Observación
Si bien lo natural es resolver la integral tal como ella nos es presentada, es
decir manteniendo la posición de las variables, en ocasiones es conveniente
cambiar la posición de estas variables. Así por ejemplo la integral doble
∫∫=
S
dxdy)y,x(fI se puede cambiar a su forma equivalente ∫∫=
S
dydx)y,x(fI .
Sin embargo esto no se debe hacer mecánicamente, se recomienda hacerlo
cuando:
1. Resulte más simple resolver la integral interna modificada que la
integral interna original.
Es decir, conviene cambiar ∫∫=
S
dydx)y,x(fI por ∫∫=
S
dxdy)y,x(fI si
la integral ∫ dx)y,x(f es más sencilla de resolver que ∫ dy)y,x(f .
2. Al graficar la región de integración S tenemos claramente una curva
por derecha y otra por izquierda limitando dicha región.
Recuerde que lo normal sería que al resolver la integral doble
∫∫=
S
dxdy)y,x(fI y graficar la región de integración se tenga una
curva por encima y otra por debajo limitando la región S .
Si al graficar la región de integración S tenemos más de dos curvas limitando
dicha región y no resultara conveniente hacer el cambio de posición de las
variables, deberemos dividir la región de integración en dos (o más) regiones
1S y 2S donde se tengan solo dos curvas limitándolas.