Algebra Lineal

1. COMBINACIÓN LINEAL
Sea , un conjunto de vectores de un e.v. V, un
vector u de V es una combinación lineal de los
vectores de B, sí se puede escribir lo siguiente:
u = α1u1+ α2u2+ α3u3+ … + αnun

2. EJEMPLO
¿T ={2, -1} Es combinación lineal de u= {3, 3} ?
(3, 3) =α(2, -1)
S.E.
2α=3
−α=3
2 3
−1 3
~
1 9
−1 3
~
1 9
0 12
∴ ~Ǝ solución
F1=F1+F2 F2=F2+F1
∴ no es C.L.

3. CÁPSULA
Gráficamente se lo representa así:
Sea , un conjunto de vectores de un e.v. V. El conjunto <S>
genera a V, o V es generado por <S>, si todo vector u es de
V una combinación lineal de los vectores de S, es decir:
‹ S › = { v э V/ v = αS1+ βS2+ δS3+…+ ωSn}

4. PASOS PARA OBTENER UNA
CÁPSULA LINEAL
Encontrar la capsula de S={(1,-1,0); (-2,3,-1); (2,1,-3)}
1.- Escribimos la definición:
‹ S › = { v э V/ v = αS1+ βS2+ δS3+…+ ωSn}
2.- Escribimos la formula genéricamente
‹ S › = {(x,y,z)/(x,y,z) = α(1,-1,0)+ β(-2,3,-1)+ δ(2,1,-3)}
3.- Obtenemos un sistema de ecuaciones
(x,y,z) = α(1,-1,0)+ β(-2,3,-1)+ δ(2,1,-3)

5. S.E.
α− 2β+ 2δ= x
−α+ 3β+ δ= y
−β− 3δ= z
4.- Expresamos matricialmente la expresión anterior:
1 −2 2
−1 3 1
0 −1 −3
𝑥
𝑦
𝑧

6. 5.-Aplicamos Gauss-Jordán para encontrar la restricción en este caso:
1 −2 2
−1 3 1
0 −1 −3
𝑥
𝑦
𝑧
~
1 −2 2
0 1 3
0 −1 −3
𝑥
𝑥 + 𝑦
𝑧
~
F2F2+F1 F1F1+2F2
F3F3+F2
1 0 8
0 1 3
0 0 0
3𝑥 + 2𝑦
𝑥 + 𝑦
𝑧 + 𝑥 + 𝑦

7. 6.- Como tenemos que no existe solución obtenemos la siguiente
cápsula
‹ S › = {v э ℝ3
/x+ y+ z=0}
‹ S › = {(x, y, z)/x+ y+ z=0}