Este documento define y explica los vectores tangente, normal y binormal de una curva en el espacio. Define el vector tangente (T) como la dirección de la tangente a la curva. Define el vector normal (N) como perpendicular a T y apuntando hacia la dirección de mayor curvatura. Define el vector binormal (B) como el producto vectorial de T y N, perpendicular a ambos. Explica cómo calcular T, N y B para una curva dada por su ecuación parametrizada r(t). Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los cál

1. Z N C T B Y 0 X Vector tangente, normal y binormal Definiciones: Sea C una curva en el espacio definida por la función r (t); según hemos visto, dr/dtes un vector en la dirección de la tangente a C. Considerando al escalar tcomo la longitud de arco smedida a partir de un punto fijo de C de la curva dr/dt es un vector tangente a C y que llamaremos T como se observa en la figura de la derecha. La variación de T respecto de ses una medida de la curvatura de C y viene dada por: .La dirección de en un punto cualquiera de C es la correspondiente a la normal a la curva en dicho punto. El vector unitario N en dirección de la normal se llama normal principal a la curva. El vector unitario B definido por el producto vectorial: , perpendicular al plano formado por T y N, se llama binormal a la curva C. Este sistema de coordenadas recibe el nombre de triedro intrínseco en el punto. Como a medida que varía s el sistema se desplaza, se le conoce con la denomonación de triedro móvil.

2. DEFINICIÓN DE VECTOR TANGENTE UNITARIO Recordemos que una curva se dice que es suave en un intervalo si r´ es continua y no nula en dicho intervalo. Así pues, la suavidad es suficiente para garantizar que una curva posee vector tangente unitario en todos sus puntos. Cálculo del vector tangente unitario EJEMPLO 1: Hallar el vector tangente unitario a la curva dada por: Se calcula la primera derivada de por tanto el vector tangente unitario es: Cuando t=1, el vector tangente unitario es: Ver figura de la siguiente diapositiva

3. La dirección del vector tangente unitario depende de la orientación de la curva. Si la parábola estuviera dada por: T(1) sería todavía el vector tangente unitario en el punto (1, 1), pero apuntaría en la dirección opuesta. DEFINICIÓN DE VECTOR NORMAL PRINCIPAL (UNITARIO)

4. Cálculo del vector normal principal (unitario) EJEMPLO 2: Hallar N (t) y N (1) para la curva representada por: Derivando la función dada vemos que: De donde se deduce que el vector tangente unitario es: vector tangente unitario Ahora derivando T (t) respecto de t, tenemos: Por lo tanto el vector normal principal es:

5. Cálculo del vector normal principal (unitario) …continuación Cuando t = 1, el vector normal principal es: Tal como se muestra en la figura de la derecha: DEFINICIÓN DE VECTOR BINORMAL El vector unitario B definido por el producto vectorial: perpendicular al plano formado por T y N, se llama binormala la curva C. Cálculo del vector binormal Para calcularlo solo basta aplicar el producto cruz de los vectores T y N

6. Instittutotecnologico superior de alamo-temapache