Este documento introduce conceptos básicos sobre curvas regulares en geometría diferencial como curvas lisas, cambios de parámetro, orientación de curvas y longitud de arcos de curva. También define las integrales curvilíneas de campos escalares y vectoriales a lo largo de una curva, interpretándolas como la masa de un alambre o el trabajo realizado por un campo de fuerzas respectivamente.

1. Captulo 1
Integrales curvilneas
1.1. Curvas regulares
Vamos a introducir someramente conceptos de Geometra Diferencial de curvas. En lo
sucesivo nos referiremos a Rn, considerando unicamente los casos n = 2 o n = 3.
De

2. nicion 1.1.1 (Curva regular) Llamaremos curva regular, curva lisa o camino liso
a toda aplicacion vectorial
: [a; b] ! Rn
tal que 2 C1[a; b], y 0(t)6= 0; 8t 2 [a; b].
El hecho de exigir 0(t)6= 0 supone, geometricamente, que en todo punto esta de

3. nida
la recta tangente.
Al conjunto = [a; b] Rn se le llama imagen de la curva . Curvas distintas
pueden tener la misma imagen, por ejemplo las tres curvas siguientes tienen por imagen
la circunferencia de centro el origen y radio r.
(t) = (r cos t; r sen t);

4. (t) = (r cos 2t; r sen 2t);
(t) = (r cos t;r sen t); t 2 [0; 2]:
A cada punto x0 2 (imagen de la curva) asociamos un espacio vectorial de dimension
1, que se llama espacio tangente en x0 y que esta determinado por el vector tangente a
en x0 = (t0):
Tx0 = f0(t0) 2 Rn; 2 Rg:
Orientar el espacio vectorial Tx0 es elegir en el una base, que se considera como positiva,
y orientar el arco es orientar el espacio tangente en cada uno de sus puntos. La
orientacion canonica de Tx0 consiste en elegir como base positiva la que forma el vector
tangente, 0(t0), a en x0. La orientacion canonica de consiste en orientar de esa manera
los espacios tangentes en todos los puntos de .
1

5. 2 CAPITULO 1. INTEGRALES CURVILINEAS
Figura 1.1: Orientacion de curvas
En la Figura 1.2 estan representadas las curvas anteriores con sus respectivas orienta-ciones:
y

6. a la izquierda, y
a la derecha.
Los puntos (a) y (b), correspondientes a los dos extremos del intervalo se dicen
extremos de la curva, En el supuesto (a) = (b), la curva se dice cerrada.
La curva se dice simple si es inyectiva en [a; b], es decir si no tiene puntos multiples.
De

7. nicion 1.1.2 (Cambio de parametro) Dada la curva : [a; b] ! Rn, cuya ima-gen
es , hacer un cambio de parametro signi

8. ca considerar una nueva curva

9. = h
donde h : [a0; b0] ! [a; b] es un difeomor

10. smo (aplicacion biyectiva tal que h y h1 son
de clase C1). Las curvas y

11. se dicen equivalentes.
Dado que h es una biyeccion, las imagenes de ambas curvas coinciden, es decir

12. (s) = ( h)(s) = [h(s)] = (t); s 2 [a0; b0]; t 2 [a; b]:
Las curvas anteriores, y

13. , tienen la misma orientacion si h0(s) 0 para todo
s 2 [a0; b0] y orientaciones opuestas si h0(s) 0. Necesariamente ha de ser h0(s)6= 0, ya
que al ser h biyectiva sera estrictamente creciente o estrictamente decreciente y, como es
de clase C1, h0(s) sera, respectivamente, positiva o negativa.
La longitud de un arco de curva entre los puntos correspondientes a los valores
t = a y t = b se puede de

14. nir por un proceso de paso al lmite, de la longitud de una
poligonal. Consideremos una particion
a = t0 t1 ti1 ti tn = b;

15. 1.1. CURVAS REGULARES 3
Figura 1.2: Cambio de parametro
y la poligonal generada por las imagenes de estos puntos (Ver Figura 1.3). La longitud de
la poligonal es
sn =
Xn
i=1
k(ti) (ti1)k:
En el caso n = 3, si (t) = (x(t); y(t); z(t)) tenemos
sn =
Xn
i=1
k
x(ti) x(ti1); y(ti) y(ti1); z(ti) z(ti1)
k;
que, por aplicacion del teorema del valor medio, podemos poner en la forma
sn =
Xn
i=1
k (x0(0i); y0(00 i ); z0(000 i )) kti;
donde 0i
; 00 i ; 000 i 2 (ti1; ti) e ti = ti ti1.
Es decir,
sn =
Xn
i=1
q
(x0(0i
))2 + (y0(00 i ))2 + (z0(000 i ))2 ti:
De

16. nimos la longitud del arco de curva como el lmite, si es que existe, de la sucesion sn,
cuando n ! 1. Como x0, y0, z0 son continuas podemos concluir que, de hecho, el lmite
existe y esta dado por
s = lm
n!1
sn =
Z b
a
q
(x0(t))2 + (y0(t))2 + (z0(t))2 dt =
Z b
a k0(t)k2 dt:

17. 4 CAPITULO 1. INTEGRALES CURVILINEAS
Figura 1.3: Longitud de un arco de curva
Una curva : [a; b] ! Rn se dice regular a trozos si existe al menos una particion
a = t0 t1 t2 tn1 tn = b tal que la restriccion de a cada subintervalo
[ti1; ti], i = 1; 2; n, es regular.
1.2. Integral de un campo escalar a lo largo de una
curva
Sea f : U Rn ! R un campo escalar continuo y : [a; b] ! U una curva regular.
Se de

18. ne integral curvilnea de f a lo largo de la curva mediante la integral de Riemann
Z
f ds =
Z b
a
f((t)) k0(t)k2 dt:
Es decir, se trata de calcular la integral de la funcion de una variable
g(t) = (f )(t) k0(t)k2
sobre el intervalo [a; b].

19. 1.2. INTEGRAL DE UN CAMPO ESCALAR A LO LARGO DE UNA CURVA 5
Figura 1.4: Interpretacion de integral curvilnea de un campo escalar
Interpretacion
Consideremos una particion del intervalo [a; b],
a = t0 t1 t2 tn1 tn = b;
que produce una descomposicion de en trayectorias i = [ti1; ti]. Se sustituye
por una quebrada de vertices (t0), (t1); , (tn), y a cada segmento rectilneo
[(ti1); (ti)] se le asocia el valor f((i)), donde ti1 i ti.
Vamos a evaluar las siguientes sumas y su paso al lmite cuando n ! 1
Sn =
Xn
i=1
f((i)) k(ti) (ti1)k:
En el caso U R2, teniendo en cuenta que
(ti) (ti1) = (1(ti) 1(ti1); 2(ti) 2(ti1)) = (01
(0i
) ti; 02
(00 i ) ti);
donde 0i
; 00 i 2 (ti1; ti), y por tanto
k(ti) (ti1)k =
p
01
(0i
)2 + 02
(00 i )2 ti;
se tiene
Sn =
Xn
i=1
f((i))
p
01
(0i
)2 + 02
(00 i )2 ti:

20. 6 CAPITULO 1. INTEGRALES CURVILINEAS
De

21. nimos
S = lm
n!1
Sn y se demuestra que S =
Z b
a
f((t)) k0(t)k2 dt =
Z
f ds
Si es un segmento rectilneo, que representa un trozo de alambre de longitud L =
k(b) (a)k, y el campo escalar f constante, representa la densidad lineal, entonces la
masa del alambre viene dada por f L.
Si f no es constante y/o es una curva regular cualquiera, la suma Sn sera la masa de
la quebrada, que aproxima a , y S la masa del alambre dado por . Esta interpretacion
es valida en R2 o R3.
En el caso R2 disponemos de otra interpretacion alternativa: consideremos una
curva plana y el campo escalar f tal que f(x; y) 0 representa la altura de una valla
en el punto (x; y) 2 (Ver Figura 1.4). La suma Sn representa la suma de areas de
rectangulos, que tiende al area S de la valla. Si f(x; y) = 1 la integral curvilnea sera el
area de una valla de altura unidad, es decir la longitud de la valla
Z
f ds =
Z b
a k0(t)k2 dt = L:
Proposicion 1.2.1 (Cambio de parametro) Consideremos un campo escalar conti-nuo
f : U Rn ! R y dos curvas equivalentes, : [a; b] ! U y

22. : [a0; b0] ! U, cuya
imagen es =

23. (ver Figura 1.2), entonces
Z
f ds =
Z

24. f ds
Dado que la integral no depende de la orientacion es habitual considerar la notacion
Z
f ds =
Z
f d:
1.3. Integral de un campo vectorial a lo largo de una
curva
Sea F : U Rn ! Rn un campo vectorial continuo, : [a; b] ! U Rn una
curva regular y = [a; b]. Se de

25. ne la integral del campo F a lo largo de la curva , o
circulacion del campo F a lo largo de la curva , como la integral de Riemann
Z
F ds =
Z b
a
F ((t)) 0(t) dt;
donde indica el producto escalar eucldeo. Dicha integral tambien suele denotarse por
Z
F d =
Z
F1 dx1 + F2 dx2 + + Fn dxn

26. 1.3. INTEGRAL DE UN CAMPO VECTORIAL A LO LARGO DE UNA CURVA 7
Figura 1.5: Integral curvilnea de un campo vectorial
Interpretacion
Si es un segmento rectilneo y el campo F constante, el trabajo realizado por el
campo de fuerzas F a lo largo de sera
W = F [(b) (a)] = jGj k(b) (a)k;
donde G = F u, con u vector unitario en la direccion (b) (a).
Si F es un campo variable y/o es una curva regular cualquiera, la manera de proceder
sera la siguiente: consideramos una particion del intervalo [a; b],
a = t0 t1 t2 tn1 tn = b;
y la correspondiente poligonal sobre . Si asociamos a cada segmento rectilneo
[(ti1); (ti)] el campo constante F((i)), donde ti1 i ti, el trabajo realizado a lo
largo de la poligonal viene dado por
Wn =
Xn
i=1
F((i)) [(ti) (ti1)];
que, en el caso bidimensional, se puede poner
Wn =
Xn
i=1
(F1((i))[1(ti) 1(ti1)] + F2((i))[2(ti) 2(ti1)]) ;

27. 8 CAPITULO 1. INTEGRALES CURVILINEAS
y, aplicando el teorema del valor medio, resulta

28. nalmente
Wn =
Xn
i=1
[F1((i))01
(0i
) + F2((i))02
(00 i )]ti;
donde 0i
y 00 i son puntos del intervalo (ti1; ti).
El trabajo realizado por el campo F a lo largo de la curva es, por de

29. nicion,
W = lm
n!1
Wn =
Z b
a
F ((t)) 0(t) dt =
Z
F ds:
Es preciso anotar que, aunque Wn no son sumas de Riemann, debido a que i, 0i
y 00 i no
son necesariamente coincidentes, tambien convergen a la integral.
Se puede considerar tambien el caso de una curva regular a trozos o que F sea con-tinuo
y acotado salvo en un numero

30. nito de puntos. En ambos casos, se considera la
correspondiente particion del intervalo [a; b], de tal manera que sobre cada subintervalo
[ti1; ti] la curva sea regular y F continuo
Z
F ds =
Xn
i=1
Z ti
ti1
F ((t)) 0(t)dt:
Podemos relacionar la integral de un campo vectorial F con la de un campo escalar
adecuado f,Z
F ds =
Z b
a
F ((t)) 0(t) dt =
Z b
a
F ((t))
0(t)
k0(t)k k0(t)k dt;
de modo que si consideramos el campo escalar f tal que su restriccion a los puntos imagen
de la curva sea
f((t)) = F ((t))
0(t)
k0(t)k
resulta que Z
F ds =
Z
f ds:
Proposicion 1.3.1 (Cambio de parametro) Consideremos un campo vectorial conti-nuo
F : U Rn ! Rn y dos curvas equivalentes, : [a; b] ! U y

31. : [a0; b0] ! U,
cuya imagen es =

32. (ver Figura 1.2), entonces
Z
F ds =
Z

33. F ds
segun que y

34. tengan la misma o distinta orientacion.
Es decir, al contrario que en el caso de campos escalares, la circulacion de un campo
vectorial a lo largo de una curva depende de la orientacion de la misma.

35. 1.4. EJERCICIOS 9
1.4. Ejercicios
1. Sea : [1; 1] ! R2 la curva regular R
a trozos de

36. nida por (t) = (t; jtj); t 2 [1; 1] y sea f(x; y) = x2y. Calcular
fds.
[Resp.:
p2
2 ]
2. Calcular las siguientes integrales de lnea :
a)
R
x2ydx+(x2y2)dy desde (0; 0) hasta (1; 2) a lo largo de la parabola y = 2x2.
b)
R
(y x2)dx + xdy a lo largo de la lnea poligonal que une sucesivamente los
puntos (1; 0), (1; 1), (1; 1) y (1; 0).
3. Sea f(x; y) = 2x y, y considerar la curva (t) = (t4; t4); t 2 [1; 1]. Calcular la
integral de f a lo largo de esta curva e interpretar geometricamente el resultado.
[Resp.: p2]
4. Calcular Z
dx + dy
jxj + jyj
donde es el contorno del cuadrado de vertices (1; 0), (0; 1), (1; 0) y (0,-1) recorrido
en sentido contrario al de las agujas del reloj. [Resp.: 0].
5. Calcular la circulacion del campo ~V
= 1
2 (y~i + x~j) a lo largo de las curvas,
a)
x2
a2 +
y2
b2 = 1
b) arco de parabola y = x2 entre (-1, 1) y (1,1)
[Resp.: ab; 1
3 ]
6. Calcular Z
sen zdx + cos zdy (xy)
1
3 dz
siendo : [0; 7=2] ! U R3 de

37. nida por (t) = (cos3 t; sen3 t; t)
[Resp.: 1
2 ]

38. 10 CAPITULO 1. INTEGRALES CURVILINEAS
7. Hallar el trabajo realizado por la fuerza f(x; y) = (x2 y2)i + 2xyj al mover una
partcula en sentido contrario al de las agujas del reloj, recorriendo una vez el
contorno del cuadrado limitado por los ejes coordenados y las rectas x = a e y = a
con a 0.
[Resp.: 2a3]
8. Calcular la integral curvilnea I =
R
ydx + 2xdy a lo largo de la curva , recorrida
en sentido positivo, que limita al dominio D de

39. nido como el lugar geometrico de
los puntos que satisfacen una al menos de las dos siguientes inecuaciones:
x2 + y2 2x 0 x2 + y2 2y 0
[Resp.: 3=2 + 1]
9. Un punto se mueve desde (0; 0) hasta (2a; 0) a lo largo de la semicircunferencia de
centro (a; 0) y radio a situada en el primer cuadrante. Sufre la accion de una fuerza
F de magnitud constante igual a 2, cuya direccion forma un angulo =4 con la parte
positiva del eje Ox. Encontrar el trabajo realizado por F.
[Resp.: 2ap2]