Este documento introduce conceptos fundamentales de física como magnitudes vectoriales, productos escalar y vectorial de vectores, movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado, movimiento circular y vibratorio armónico simple. Explica cómo calcular magnitudes como velocidad, aceleración, ángulo entre vectores y distancia entre puntos aplicando las definiciones de productos escalar y vectorial.

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1

2. 12
2
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo de investigación, abarca especialmente la física
fundamental como Ciencia, cuyo objetivo es explicar los fenómenos
naturales que la comprenden, relativos a la materia y a la energía, así
como las leyes que los rigen; es decir, los vectores, movimientos, fuerza.

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3
MAGNITUDES
MAGNITUDES VECTORIALES
Son las que para quedar perfectamente definidas es necesario dar:
- Punto de aplicación
- Dirección
- Sentido
- Módulo o valor del VECTOR
MODULO Y COSENOS DIRECTORES
Módulo de a  ax  bx  cx 2 2 2
Los cosenos directores corresponden a las fórmulas:
ESPACIOS VECTORIAL, AFÍN Y EUCLIDEO
cos

cos

cos




ax
a
ay
a
az
a
Ángulo formado por dos vectores. Sean dos vectores libres a y b equipolentes (mismo
módulo, dirección y sentido) Se designa el ángulo formado por a y b () de la siguiente
manera:
a) si los vectores son perpendiculares  = 90º
b) si los vectores tienen la misma dirección y sentido  = 0º
c) si los vectores tienen la misma dirección pero sentido distinto  = 180º
DEFINICION DE PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
Se define el producto escalar de dos vectores libres a y b como el producto de los módulos
de cada uno de ellos por el coseno del ángulo que forma
a b  a  b  cos
 Consecuencias de esta definición:
1.- el producto escalar es 0 si alguno de los dos vectores es nulo
2.- el producto escalar es 0 cuando ambos son perpendiculares, ya que (cos 90 = 0)
 Otra definición de producto escalar: Es la que se usa cuando se dan las componentes de
ambos vectores.
a b  x1 x2  y1 y2
. Consecuencia de ello el resultado del producto escalar es un escalar, es decir, un número
entero. No ocurre lo mismo en el producto vectorial, del que como su propio nombre indica
se obtiene un vector.

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4
Propiedades:
 Conmutativa: a · b = b · a
 Distributiva: a (b+c)= a·b + a·c
 Para cualquier número: (·a)·b =  (a·b)
DEFINICION DE PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
Como ya sabemos de su resultado se obtiene otro vector. Propiedades:
a x b = c
 El punto de aplicación es el mismo
 Módulo de
C  a • b • sin 
 La dirección de c es perpendicular a la de a y b
 Sentido se obtiene de la regla de MAXWELL (ijk)
VECTOR UNITARIO
Un vector es unitario cuando su módulo vale la unidad. Se definen tres vectores
unitarios para definir representar los ejes:
A partir de a:
Vu
a
a

INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO ESCALAR
El valor absoluto de (a·b) es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del
otro vector sobre él. Demostración:
(a · b) = [a]·[b]· (cos)
cos
.
OH
b
  
C opuesto
Hipotenusa
OH = [b] · cos  (a · b)= [a] · OH
NORMA DE UN VECTOR
Dado un vector libre (a), se llama norma de dicho vector al producto escalar del vector por
sí mismo, designándose de la siguiente manera: (a)2 = a · a
Consecuencias de esa definición:
 la norma de un vector coincide con su módulo al cuadrado:
[a] · [a] · cos (a,a) = cos 0 = 1
(a · b) = [a]·[b] · cos
[a]·[a] = [a]2

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5
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Dados los puntos a y b: d(AB) = (x2 x1) (y2 y1) 2 2   
Propiedades:
 la distancia entre dos puntos es 0 únicamente en el caso en que A = B
 para cualquiera de los puntos su distancia siempre es +
 Simétrica aunque estén en sentidos contrarios
 Propiedad triangular: la distancia AB es siempre la suma de las distancias entre
AC Y BC
A
Un lado es siempre menor que la suma de los otros
dos.
B C
ANGULO ENTRE DOS VECTORES
Utilizando la definición de producto escalar podemos calcular el cos (AB)
despejando:
cos( • )
[ ] •[ ]
PARALELISMO DE RECTAS
•
Dos rectas son paralelas cuando sus vectores directores son proporcionales o si
coinciden sus pendientes (m).. Su producto escalar es igual a 1.
Para construir una recta paralela a otra se utiliza el mismo vector director y se pone el punto
por donde se desea que pase la nueva recta. Se utiliza la ecuación punto pendiente.
PERPENDICULARIDAD
dos rectas son perpendiculares cuando sus vectores directores lo son, es decir, que
sean ortogonales y que su producto escalar sea igual a 0.
Ax2 + Bx + C = 0
Vd de una ecuación = (-B,A)  Pendiente (m)=
B
A
(DEL VECTOR DIRECTOR)
Pendiente directamente de la ecuación en forma general: (m)=
A
 B
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
cos
•
[ ] •[ ]
a b
a b
a b
arco
a b
a b
  

6. 16
Dado un punto P(x1,y1) y una recta Ax + Bx + c = 0, se define la distancia entre el punto p
y la recta de la siguiente forma:
6
* La distancia desde el punto a la recta es en línea recta y es
siempre perpendicular.
1 1
ECUACION NORMAL DE LA RECTA
Nos da directamente la distancia de la recta al origen de coordenadas, siendo los
coeficientes de X e Y los cosenos directores.
Ec. Normal:
A
C
A B 2 2 2 2 2 2 
A B
X
B
A B
Y




MOVIMIENTO, MAGNITUDES FISICAS DEL MOVIMIENTO
MOVIMIENTO: el movimiento es el cambio de posición de una partícula, interviniendo
además dentro de ese movimiento el tiempo, la trayectoria y la causa que ha producido
dicho movimiento.
VECTOR DE POSICION
El vector posición representa la posición de la partícula en cada momento.
Siendo su módulo
 Vector desplazamiento: corresponde a la variación del vector de posición con
respecto al tiempo y viene dado por la fórmula:
r r r f   0
VELOCIDAD MEDIA Y VELOCIDAD INSTANTANEA
Velocidad es la variación de la posición de un móvil en un sentido determinado respecto
del tiempo empleado en esa variación.
Se distinguen dos tipos de Velocidad:
 Velocidad media = la variación del vector desplazamiento respecto a la variación del
tiempo
d p r
Ax By C
A B
( , )
( )

 

2
r = x + y r  x  y 2 2
Vmedia
r
t
rf 
ro
tf 
to


  m /
s

7. 17
7
 Velocidad instantánea: es la derivada del vector de posición respecto al tiempo:
Vinst


  m s
ACELERACION
r
t
dr
dt
/
Siempre que hay cambios en la velocidad existe aceleración. Al igual que en la velocidad
existe una aceleración media y una instantánea:
 Aceleración media: Es el cociente entre la variación de la velocidad y el intervalo de
tiempo transcurrido
a m
v v
t t

 Aceleración instantánea: es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo:
 
Componentes intrínsecas de la aceleración:
Dependen de la misma aceleración:
Aceleración tangencial: At
d v
dt


Aceleración normal o centrípeta:
an
V
r

2
La tangencial es la que empuja hacia a fuera y la centrípeta hacia dentro.
*CELERIDAD= Módulo de la aceleración
v
t


m s 


2 1
2 1

/
2 
a
dv
dt
d r
dt

 
m s 2
2
2 /
* Por lo que a a n a t 2 2 2  

8. 18
8
MOVIMIENTO RECTILINEO, CIRCULAR Y VIBRATORIO
ARMONICO SIMPLE
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME:
Se define como aquel movimiento cuya velocidad es constante en
módulo, dirección y sentido. Por ello prescindimos de la notación
vectorial, MAGNITUD ESCALAR, indicándose mediante signos + o -
para indicar el sentido.
A partir de la fórmula de la velocidad instantánea v
ds
dt
 obtenemos que
ds  vdt por lo que al integrar:
s
t
     
ds v dt s s vt
s
0
0
0
Así obtenemos la fórmula de la posición
S= S0+ vt
MOVIMIENT RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
En él la aceleración es constante, por lo que a partir de la fórmula de la
aceleración tangencial:
v = v0 +
a·t
    •    •  
a a
dv
dt
s t
dv a dt dv a dt t
s
0 0
A partir de ella obtenemos la ecuación desde una posición inicial:
2 1
2
s  s  v t  at 0 0
MOVIMIENTO CIRCULAR
Ahora la unidad del sistema Internacional es el Rad. /seg.
rpm rps  x •

2
60

vuelta
segundos
Longitud de la circunferencia = 2 ·r
1 vuelta = 2 rad.
Radián: es la longitud de arco que es igual a la longitud de radio. La
longitud del arco que mide lo mismo que el radio.

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9
2 1
2
Posición:      0 0
w t • t
Velocidad angular: w
t


w  w  t 0  • w
T

2
Aceleración:  
w  w
f o
t
Centrípeta o normal: a
2 2
v
r
( w • r
)
2 w r c   
r
•
MOVIMIENTO VIBRATORIO
Se trata de una clase especial de movimiento periódico. Un movimiento es periódico si su
trayectoria se repite a intervalos iguales de tiempo.
 
  • De donde: F= la fuerza recuperadora
F k y
k= constante recuperadora del resorte N/m
y= vector de posición
Características:
 Elongación: la posición de la partícula en cada instante del móvil
 Amplitud: Es la elongación máxima
 Período: (T) es el tiempo que tarda en dar un ciclo completo. Ida y vuelta hasta
el punto de origen
 Frecuencia: Corresponde a la inversa del período 1/T. corresponde al nº de
veces que cumple 1 ciclo en 1 segundo.
RELACIÓN ENTRE EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
Y EL VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE.
Elongación: A• sin(w• t ) . Como w
T

2
 2
 A sin
• • t
T




 A sin f t • ( • ) • 2
Velocidad:
dy
dt

d A sin wt
( • • )
dt
 v  Aw• coswt
Aceleración:
dv
dt
d A w w t
( • • cos• • )
  Aw sin wt  w y
dt
( ) • 2 2
Representación gráfica:
Se coloca en el eje de abscisas (OX) el tiempo, tomando fracciones sencillas de T. En
ordenadas se colocan valores de la elongación.
T= tiempo

10. 110
10
 = valor de la elongación, del que se hace el coseno.
COMPOSICION DE MOVIMIENTOS
Galileo en el siglo XVI enuncio:
 El vector de posición del móvil es la suma vectorial de los vectores de posición.
 Igualmente la velocidad resultante es la suma vectorial de las
velocidades de cada movimiento
Cuando se efectúa un tiro vertical hacia arriba el valor de la aceleración
es inverso, quiere decir que:
v v gt   0
Es por ello que un movimiento en el espacio vectorial se puede expresar
de las siguientes maneras:

s  Vx , Vy   O   ( Vx ) 2  ( Vy
) 2
TIRO PARABOLICO
Xmax
v
g

2 sen 2
Ymax
v
sen 
g

2 2
2
Eje de la X: Eje de la Y:
Vx Vo y  y Voy  at
Vx Vo t
Vy 
Vo
sen

Vy 
Vo sen 
•
t
DINÁMICA
2
1
0 2


cos

cos 
•

11. 111
11
Dinámica: parte de la física que estudia el movimiento y las causas que lo producen.
Concepto dinámico de fuerza: Fuerza es toda causa capaz de modificar
el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo o de producir en él
una deformación.
LEYES DE NEWTON
Principio de Inercia: cuando no se ejerce ninguna fuerza sobre un
cuerpo, éste permanece en reposo, y si se mueve, su movimiento es
rectilíneo y uniforme.
Ej.: cuando se pone en marcha un autobús, cuando movemos un vaso de
agua y este se derrama.
Estos fenómenos se deben a la inercia de los cuerpos en movimiento, en
virtud del cual éstos tenderían a seguir moviéndose con la velocidad que
poseen y en el mismo sentido que el vehículo.
1.- El movimiento de una llanta de bicicleta a la aplicación del freno
2.- El choque de un carro ocasionado por la velocidad alta.
3.- El contacto de un jugador con el otro al no poder detener por diferentes circunstancias
PROPORCIONALIDAD ENTRE FUERZAS Y ACELERACIONES
F m a  •
Cuando a un cuerpo se le somete sucesivamente a varias fuerzas
constantes, adquiere unas aceleraciones que son proporcionales a estas
fuerzas y de su mismo sentido.
La fuerza que se aplica a un cuerpo es igual al producto de la masa por
la aceleración que le comunica.
-Debido a la presencia de la gravedad, los cuerpos que por ella se mueven poseen una
 
fuerza proporcional a su masa, a la que llamamos peso, y cuya fórmula es: P  m •
g
FUERZA DE INERCIA: es una fuerza virtual igual a la masa por la aceleración, pero de
 
sentido contrario a ésta. F  Fi
 0
PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN:
Cuando un cuerpo A ejerce sobre otro B una fuerza (acción), el segundo ejerce sobre el
primero otra fuerza igual y de sentido contrario (reacción).
 
F F
1   2

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La dirección de la aceleración es la misma que la de la fuerza neta
aplicada.
La aceleración de un determinado cuerpo es directamente proporcional a
la fuerza aplicada. Esto significa que la relación de fuerza de aceleración
es siempre constante por lo tanto
12
f1 = f2 = f3 = fm = K (constante)
a1 a2 a3 am
El valor de la K representa la propiedad del cuerpo que recibe el nombre
de la masa, m = f/a
Ecuación dimensional SI
M = N = Kg. m/s = Kg.
n/s m/s
Ecuación. La fuerza de un N es la fuerza resultante que el importe a una masa de un Kg.
una aceleración de 1 m/s
Ecuación dimensional en cgs
M = D = gr. cm/s = gr.
Cm/s cm/s
Ecuación dimensional MKS (Técnico)
M = Kg. = utm
M/s
(utm) se le conoce como unidades técnicas de masa la utm se define como la masa a la que
una fuerza de 1 Kg. Le imprime una aceleración de 1 m/s.
Ecuación dimensional en el sistema ingles técnico
M = lb = slug
Ft/s
El slug se define como la masa a la que una fuerza de una libra le imprime una aceleración
de 1 ft/s.
Como el peso de un cuerpo representa la fuerza con que la tierra atrae a la masa de dicho
cuerpo su ecuación se representa de la siguiente forma:
W=mg__1 sustitución 3 en 1

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13
M= w =___2 F = mg___4 F = ma___6
F = w ___3 m = f/a___5
Sustituyendo en el 2 en 6
F = w a ecuación de la 2° ley de newton
G
Dónde: F= fuerza aplicada (N)
W= peso del cuerpo (N)
G= aceleración de la gravedad (9.8 m/s)
A= aceleración que recibe el cuerpo (m/s)
REFORMULACION DE LAS LEYES DE NEWTON
Ley de Inercia: I Fdt  
Si la resultante de las fuerzas exteriores es nula, conserva su momento lineal, es decir, no
cambia el momento lineal o cantidad de movimiento.
F = m·a: al conservar su momento lineal F
d p
dt


Acción - Reacción: Si la resultante de todas las fuerzas exteriores es 0 y sólo hay fuerzas
interiores, la variación de la cantidad de movimiento del cuerpo A es igual a - la variación
de cantidad de movimiento del cuerpo B.
 
 p  p
  1 2
FUERZAS DE ROZAMIENTO
Son fuerzas que se oponen al movimiento de los cuerpos, es decir, su
valor no puede superar NUNCA la fuerza que es aplicada, por lo que no
cambia el sentido del movimiento del cuerpo, solo lo frena.
Es una fuerza paralela al desplazamiento pero de sentido contrario.
Es proporcional a las fuerzas normales entre las superficies de contacto.
No depende del área de la superficie de contacto, pero sí de la naturaleza
de las sustancias.
Es mayor al iniciarse el movimiento que cuando se encuentra en
movimiento.
Coeficiente estático de rozamiento:
Se denomina así al cociente entre la fuerza de rozamiento apreciada en el
momento de iniciar el movimiento y la fuerza normal a la superficie de
contacto.

14. 114
14
Fr
N
  
Fr
m• g
lo que implica que Fr  mg , en un plano inclinado
Fr  mg • cos
Px  Fx 
mg
Py  Fy 
mg
• sen
• cos


IMPULSO MECANICO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Impulso mecánico de una fuerza es el producto de la fuerza por el tiempo que está
actuando.
Se trata de una magnitud vectorial, producto del vector fuerza por un escalar, el tiempo:
 
F dt 
m d v
 
F t 
p
•
 
I Fdt  
El impulso mecánico es igual a la variación de la cantidad de movimiento.
P= m·v magnitud vectorial
Principio de conservación de la cantidad de movimiento: En un sistema aislado, en el
que no se ejerce fuerza ninguna desde fuera, la cantidad de movimiento no varía.

F
 
d p
dt
  Pero  si
 0
d p
dt
ECUACIONES DE LA DINAMICA DE ROTACION
 Rotación de una partícula con respecto a un punto
ac
2
v
R

2
  Rw n
Según la segunda ley de Newton esta aceleración debe estar producida por una fuerza de la
misma dirección y sentido por lo que:
2
 
Fc m
V
R
mRw n
 
2
 Rotación de un sólido rígido
Se trata de un sólido indeformable al estar sometido a fuerzas de cualquier tipo. La
variación de la rapidez de giro depende de la fuerza aplicada, del punto donde se ejerce la
fuerza y de la dirección de ésta.
Estos tres elementos pueden hacer variar el momento de una fuerza o de un par de fuerzas.

15. 115
Por ello aparece una nueva magnitud física, el MOMENTO DE INERCIA. Se trata de una
magnitud escalar.
15
M  I
 Momento de Inercia. Radio de giro
I m  2
El radio de giro ,, es un radio medio y equivale a la distancia desde el eje a un punto
donde tendríamos que concentrar la masa del sólido para que el momento de inercia de esa
<<masa puntual>> fuese el del sólido.
 Momentos de Inercia de algunos sólidos:
· Partícula: I m R  • 2
Anillo: I m R  • 2
1
2
Disco: I mR 
2
Cilindro:
2
5
2 mR
 Momento Angular:
El momento angular o cinético (L) de una partícula de masa m que gira en torno a
(0,0) es el producto vectorial de r por mv (momento de la cantidad de movimiento)
Su módulo es L= mrv

2
Como v = r w, sustituyendo se obtiene: L  mr w  Iw  Iw
  
L 
r x mv
Por lo que el módulo del momento angular es igual al producto del momento de inercia por
la velocidad angular.
 Impulso Angular
Es el producto del momento de una fuerza (M) por el tiempo que está actuando. Es un
vector de dirección y sentido igual al de M cuyo módulo viene dado por:
Mt = Iw
Esto nos demuestra que es equivalente al momento angular.
 Conservación del momento angular
Si la resultante de los momentos M aplicados a un sólido en rotación es nula, se cumplirá
que:

16. 116
16
M
d I w
dt




 

 
 0
Un sólido en rotación no sometido a momentos exteriores mantiene constante su momento
angular.

17. 117
17
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
CINEMÁTICA
1. – Un golfista logra un hoyo en uno en tres segundos después de que la pelota fue
golpeada. Si la pelota viajó con una rapidez promedio de 0.8 m/s, ¿Cuan lejos se encontraba
el hoyo?
2. – Un camión de mudanza viajó 640 mi en un recorrido de Atlanta a Nueva York, el viaje
total duró 14 horas pero el conductor hizo dos escalas de 30 minutos para su alimentación
¿Cuál fue la velocidad promedio durante el viaje?
3. – Un camión de volteo obtiene 9 mi por galón de combustible, que cuesta un dólar el
galón, ¿Cuál será el costo de conducción de este camión durante dos horas si el promedio
de velocidad es de 30 mi/h?
4. – Un camión viaja durante dos horas a una velocidad media de 60 km/h. Enseguida viaja
durante tres horas a una velocidad media de 40 km/h, ¿Cuál ha sido la distancia total
recorrida y la velocidad media para el viaje completo?
5. – La distancia de México a Guadalajara es de 681 km. Un automóvil hace el recorrido en
12 horas, 20 minutos, ¿Cuál es la velocidad media del recorrido? La velocidad instantánea
que el velocímetro marcó en un momento dado fue 80 km/h, ¿En cuánto tiempo hubiera
hecho el recorrido si hubiera conservado constante esa velocidad?
6. – Un automóvil recorre una distancia de 300 km y desarrolla una velocidad media de 80
km/h en los primeros 240 km en tanto que en los últimos 60 km, tiene una velocidad media
de 60 km/h. Calcule a) El tiempo total del viaje, b) La velocidad media de todo el viaje.
7. – Dos corredores A y B parten del mismo lugar. A partió 30 segundos antes que B con
una velocidad constante de 5 m/s. B sigue la misma trayectoria con una velocidad constante
de 6 m/s. ¿A qué distancia del punto de partida el corredor B alcanzará a A?
8. – Un automóvil que inicialmente viaja a 30 mi/h, aumentó su velocidad a 80 mi/h
mientras cubre una distancia de 2,000 pies, encontrar: a) El tiempo transcurrido, b) La
aceleración en ft/s2.
9. – Un tren inicialmente viaja a 16 m/s, recibe una aceleración constante de 2 m/s2, a)
¿Cuán lejos viajará en 20 segundos?, ¿Cuál será su velocidad al final de los 20 segundos?
10. – La velocidad de un tren se reduce uniformemente de 12 m/s a 5 m/s. Sabiendo que
durante ese tiempo recorre una distancia de 100 m, calcular: a) La aceleración, b) La
distancia que recorre a continuación hasta detenerse, sufriendo la misma desaceleración.
11. – un conductor de un automóvil observa en su velocímetro una velocidad de 50 mi/h, 10
segundos después su velocidad es de 62 mi/h, ¿Qué distancia recorrió en este tiempo
suponiendo que la aceleración fue constante?

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12. – la velocidad de un tren se reduce uniformemente de 72 km/h a 45 km/h en un tramo
de 80.5 m. Calcular: a) la desaceleración, b) Tiempo transcurrido para el cambio de
velocidad, c) El tiempo empleado para detenerse, d) la distancia que recorre hasta detenerse
en metros.
13. – Un tren arranca del reposo y alcanza una velocidad de 80 ft/s, en una distancia de
1,000 ft, calcule: a) El tiempo que transcurrió, b) La aceleración, c) Su velocidad al final de
cuatro segundos.
14. – Un cañón antiaéreo lanza una granada verticalmente con una velocidad de 350 m/s,
calcular: a) La máxima altura que alcanza la granada, b) El tiempo empleado en alcanzar
dicha altura, c) La velocidad a los 2.5 segundos.
15. – Una bala se dispara verticalmente hacia arriba desde la tierra con una velocidad de
280 m/s, a) ¿Cuánto tardará para llegar al punto más alto?, b) Cuál es la altura del punto
más alto?, c) ¿En qué tiempo estará la bala a una altura de 300 m?, d) ¿Qué tiempo tardará
en llegar al punto de partida?
16. – Se lanza verticalmente una piedra hacia arriba con una velocidad inicial de 30 m/s,
calcular: a) El tiempo que está ascendiendo, b) La máxima altura que alcanza, c) El tiempo
que tarda desde que es lanzada hacia arriba hasta que regresa al punto de partida, d) Los
tiempos a partir del momento de ser lanzada que emplea en adquirir una velocidad de 25
m/s.
17. – Desde un globo se deja caer un cuerpo que tarda en llegar a la tierra 20 segundos.
Calcular la altura del globo: a) Si está en reposo en el aire, b) si está ascendiendo a una
velocidad de 50 m/s.
18

19. 119
19
TIRO PARABÓLICO Y TIRO HORIZONTAL
1. Desde un acantilado de 60m de altura se lanza un cuerpo
horizontalmente con una velocidad de 20m/sg. Calcular:
a) ¿Dónde se encuentra el cuerpo 2sg después? (40,20)
b) ¿Qué velocidad tienen en ese instante? 28’28m/sg 45º
c) ¿Cuánto tiempo tarde en llegar a la superficie del agua? 3’4sg
d) ¿Qué velocidad tiene en ese instante? 59´53º
e) ¿Cuánto vale el alcance máximo? 69’2m
2. Un avión de bombardeo vuela a 4500m de altura sobre el suelo con una velocidad
constante de 360km/h y pretende bombardear un objetivo inmóvil situado sobre el suelo.
a) ¿A qué distancia del objetivo medida a partir de la vertical del pie del avión debe
soltar la bomba? 3000m
3. Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de 400m/sg y un ángulo de elevación
de 30º. Calcular:
a) Posición y velocidad del proyectil a los 5sg.(1732’05,875) 377´48m/sg 23´41º
b) En que instante o instantes el proyectil se encuentra a 1000m de altura y que
velocidad tiene en esos puntos. 34’14sg 5’86sg
c) Altura máxima alcanzada por el proyectil.
d) Velocidad en ese instante.
e) Alcance máximo.
f) Velocidad en el punto de alcance máximo.
4. Se golpea una pelota de golf de manera que su velocidad inicial forma un ángulo de 45º
con la horizontal. La pelota alcanza el suelo a 180m del punto en que se lanzó. Calcula
su velocidad inicial y el tiempo en que ha estado en el aire. 6sg Vo=42’43m/sg
5. Se dispara un proyectil con un ángulo de tiro de 60º. El proyectil alcanza una colina
situada a 2km en un punto de 800m de altitud, respecto al punto de lanzamiento.
a) ¿Con que velocidad se disparó el proyectil? 174’07m/sg
b) ¿Qué velocidad tiene el proyectil al alcanzar la colina? 118’21m/sg 42’58º
c) ¿Cuánto tiempo ha estado el proyectil en movimiento? 22’97sg
6. Desde un acantilado de 100m de altura se lanza un objeto con una velocidad inicial de
400m/sg, formando un ángulo de 30º con la horizontal.
a) ¿Altura máxima sobre el nivel del mar? 120m
b) Velocidad a los 3sg de lanzamiento. 36’05m/sg

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c) ¿En qué punto y con que velocidad se producirá el choque del objeto en el agua?
6’828sg 59’96m/sg
7. Se tiene un río de 100m de ancho y se pretende cruzar remando una barca. La barca se
mueve en dirección perpendicular a la orilla con una velocidad constante de 8m/sg.
Paralelamente el agua del río desciende con una velocidad constante de 5m/sg. Calcular:
a) ¿En que punto desembarcaría la barca? 62’5m
b) Posición y velocidad a los 5sg.(25,40) 9’43m/sg
c) Posición y velocidad a los 10sg.(50,80) 9’43m/sg
d) Ecuación de la trayectoria.y=5 x/8
e) En virtud de los resultados anteriores, indicar que tipo de movimiento es el
movimiento resultante. Rectilíneo uniforme
8. Lanzamos un objeto verticalmente hacia arriba con una velocidad de 30m/sg.
Paralelamente el aire experimenta sobre el cuerpo una fuerza hacia la derecha que le
implica una aceleración constante de 2m/sg2. Calcular:
a) Altura máxima alcanzada.
b) Posición y velocidad a los 2sg de lanzamiento.
c) Posición y velocidad del punto de choque con el suelo.
d) Ecuación de la trayectoria.
9. Sobre un acantilado de 100m de altura se lanza un objeto con una velocidad inicial de
50m/sg, formando un ángulo de –30º con la horizontal. Calcular:
a) Posición y velocidad a los 3sg de lanzamiento.
b) Alcance máximo.
c) Velocidad en el punto de alcance máximo.
d) Ecuación de la trayectoria.
10. Dos aviones están situados en la misma vertical. La altura en la que se
encuentra uno de ellos es 4 veces mayor que la del otro. Pretenden
bombardear un objetivo común. ¿Qué relación debe de haber entre las
velocidades de ambos aviones?
11. Se dispara un cañón con un ángulo de elevación de 30º y una velocidad de 200m/sg.
Calcular:
a) El alcance horizontal del proyectil.
b) Velocidad del proyectil al llegar al suelo.
c) Si a la mitad del recorrido hubiese una colina de 600m de altitud, ¿tropezaría con ella?
d) En caso afirmativo, ¿qué solución daríamos para hacer blanco en el mismo objeto
lanzando el proyectil con la misma velocidad y desde el mismo punto?

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12. Una pelota resbala por un tejado que forma un ángulo de 30º con la horizontal, y al
llegar a su extremo queda en libertad con una velocidad de 10m/sg. La altura del edificio
es de 60m y la anchura de la calle a la que vierte el tejado es de 30m. Calcular:
a) ¿Llegará directamente al suelo o chocará antes con la pared opuesta?
b) Tiempo que tarda en llegar al suelo.
c) Velocidad en ese momento.
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d) En qué posición la velocidad forma un ángulo de 45º con la horizontal.

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DINÁMICA
1. Un cuerpo se deja caer libremente desde lo alto de un rascacielos. Al cabo de un tiempo tA,
pasa por un punto A. Cinco segundos más tarde, pasa por un punto B. La energía cinética
de ese cuerpo en B es 36 veces mayor que en A. Hallar:
a) El tiempo tA.
b) Distancia que están separados entre sí los puntos A y B.
Rta.: 1 s, 172 m (P.A.U. Sep 92)
2. Partiendo del reposo, una esfera de 10 g cae libremente, sin rozamientos, bajo la acción de
la gravedad, hasta alcanzar una velocidad de 10 m/s. En ese instante comienza a actuar una
fuerza constante hacia arriba, que consigue detener la esfera en 5 segundos.
a) ¿Cuánto vale esta fuerza?
b) ¿Cuál fue el tiempo total transcurrido en estas dos etapas?
Dato g = 10 ms-2.
Rta.: 0’12 N, 6 s (P.A.U. Sep 94)
3. Con ayuda de una cuerda se hace girar un cuerpo de 1 kg en una circunferencia vertical de
1 m de radio, cuyo centro está 10'80 m por encima de un suelo horizontal. La cuerda se
rompe cuando la tensión es de 11'2 kg, lo que ocurre en el punto más bajo de su trayectoria.
Calcular:
a) La velocidad que lleva el cuerpo cuando se rompe la cuerda.
b) Su velocidad en el instante de chocar contra el suelo.
Rta.: 10 m/s; 17'1 m/s (P.A.U.)
4. Un carro de 1 tm avanza horizontalmente y sin rozamiento
sobre un carril con una velocidad de 10 ms-1, según se muestra
en la figura (posición A). A continuación entra en un lazo
vertical de 4 m de radio. Calcular:
a) La fuerza que ejerce el carril sobre el carro al pasar éste por el
punto B;
b) ¿Lleva el carro suficiente velocidad en A para alcanzar el punto C más alto del lazo?
DATO: g = 10 ms-2
Rta.: 5000 N; no (P.A.U. Sep 93)
5. Se lanza hacia arriba sobre un plano inclinado 30° un bloque de 5 kg con una velocidad
inicial de 12 m/s. Transcurridos 2 segundos, el bloque comienza a deslizar hacia abajo hasta
el punto de partida. Calcular:
a) el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano inclinado.
b) la velocidad del bloque cuando vuelve a la posición inicial.
Rta.: 0'13, 9'55 m/s (P.A.U.)
6. Un montacargas inicia su ascenso con una aceleración constante de 5 m/s2. Transcurridos
4 segundos su velocidad se hace constante.
A
B
C

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a) Calcúlese la fuerza que ejerce sobre el piso del montacargas una persona de 75 kg antes y
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después de los 4 segundos.
b) Supóngase ahora que un ascensor partiendo del reposo comienza a descender con una
aceleración constante de 5 m/s2 y que al cabo de 4 segundos alcanza una velocidad
constante. ¿Qué fuerza ejercerá sobre el piso del ascensor, antes y después de los 4 s, esa
misma persona?
Rta.: 1.110 N; 735 N; 360 N; 735 N (P.A.U.)
7. Una masa de 4 kg se mueve sobre una superficie horizontal sin rozamiento a la velocidad
de 3 m/s, y comprime un muelle elástico de masas despreciable y de constante recuperadora
90Nm-1. Determinar : a) la compresión máxima del muelle, b) velocidad de la masa cuando
el muelle se ha comprimido 10 cm.
Rta :. 0’2 m ; 2’6 m/s ( P.A.U. Jun 97)
8. Un cuerpo de 10 kg de masa, lanzado desde el suelo formando un ángulo de 30º con la
horizontal, alcanza 138’6 m. Hallar .
a) El momento angular en el punto más alto de la trayectoria, respecto al punto de
lanzamiento
b) La energía mecánica del cuerpo a los 2 s del lanzamiento ( g=10 m/s)
Rta a: L=692'8 k kg·m2s-1; b) E=8000 J (PA.U. Sept 98)

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BIBLIOGRAFÍA:
Sambrano, V. (2003). FÍSICA VECTORIAL 1. Quito: Geafiti Ofssett.
Cuasés, B. (2009). Viblioteca virtual. Bolívar.
Daniel Shaum, B. S. (1984). FÍSICA GENERAL. Colombia: Andes, Bogotá Colombia.