2. FUNCIONES VECTORIALES
• Una función vectorial es una función que
transforma un número real en un vector:
F : R → R3, definida como F(t) = (x(t), y(t), z(t)),
donde x(t), y(t) y z(t) son funciones reales de
variable real.
Así, se dice que F es continua, derivable o
integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t).
4. Reglas de derivación de funciones vectoriales
relacionadas con las operaciones entre vectores
5.
6. Movimiento en el espacio
Cuando una función vectorial definida en un intervalo
abierto de R es derivable indefinidamente y su primera
derivada no se anula, decimos que se trata de una curva
regular.
Al vector F(t) se le llama vector de posición de la curva
Al vector F´(t) se le llama vector velocidad .
Al vector F´´(t) se le llama vector aceleración. De
modo que la velocidad en un instante t es F´(t) y la
aceleración es kF(t)k. .
Al vector F´(t) también se le llama vector tangente a la
curva F(t) en t.
7. EJEMPLO 1
• Dibuje la curva plana con la siguiente ecuacion
vectorial.
• Calcule 𝑟 ´(𝑡)
• Dibuje el vector de posición 𝑟 (𝑡) y el vector
tangente para el valor dado t.
𝑟 (𝑡)=(1+t)i+𝑡2
j, en t = 1
8. EJEMPLO 2
Hallar 𝑟 (𝑡) bajo las condiciones que se
especifican.
𝑟 (𝑡)´=2tj + 𝑡𝑘
𝑟 (0) = 𝑖 + 𝑗
9. EJEMPLO 3
Hallar la velocidad, la rapidez y la aceleración de
esa partícula.
𝑟 (𝑡)=ti+(2t-5)j+3tk
10. EJEMPLO 4
Hallar la posición en el instante t=2.
𝑎 𝑡 = 𝑡𝑗 + 𝑡𝑘, 𝑣 1 = 5𝑗, 𝑟 1 = 0
11. Vector tangente unitario
• Si 𝑟 (𝑡) es el vector de posición de una curva C
en un punto P de C el vector tangente unitario
de C en P, denotado por T(t), es el vector
unitario en la dirección 𝑟´ (𝑡), si 𝑟´ (𝑡)≠0 .
𝑇 (𝑡)=
𝑟´ (𝑡)
𝑟´ (𝑡)
=
𝑣 (𝑡)
𝑣(𝑡)
12. Vector unitario normal
• Cuando los dos vectores unitarios T y N están
trazados por el punto de la curva f(t), determinan
un plano llamado osculador de la curva.
• El plano osculador es el plano que mejor se
adapta a la curva en cada uno de sus puntos. Si la
curva es plana, el plano osculador coincide con el
plano de la curva.
13. Componentes Tangencial y Normal de
la aceleración
• El vector velocidad v es tangente a la trayectoria.
• El vector aceleración a puede descomponerse en
dos componentes (llamadas componentes
intrínsecas)mutuamente perpendiculares: una
componente tangencial (en la direcciónde la
tangente a la trayectoria), llamada aceleración
tangencial, y una componente normal (en la
dirección de la normal principal a la trayectoria),
llamada aceleración normal o centrípeta (este
último nombre en razón a que siempre está
dirigida hacia el centro de curvatura).
15. Vector Binormal unitario
• Es El producto cruz entre los vectores
tangentes y normales unitarios.𝐵(𝑡) = 𝑇(𝑡)𝑥𝑁(𝑡)
• Este vector es ortogonal tanto a T´(t) como a
N´(t).
16. Ejemplo
• Hallar 𝑎 𝑇 , 𝑎 𝑵 , 𝑇 (𝑡), 𝑁 (𝑡) en el instante t
dado, para la curva especial
𝑟 (𝑡)=ti+2tj-3tk,t=1
17. Longitud de arco de curva
La longitud de un arco de curva entre dos
puntos F(a) y F(b) viene dada por la formula.
18. Curvatura
Se define la curvatura como “la variación del
vector tangente con respecto a la longitud del
arco.
La curvatura viene a medir como se ”tuerce“ la
curva respecto de su longitud. Para curvas, no
necesariamente parame trizadas por el arco, se
puede calcular como:
19. Componentes de la aceleración
• Componente normal
𝑎𝑁 = 𝑘 𝑣 2
=
𝑟´ 𝑡 𝑥 𝑟´´(𝑡)
𝑟´(𝑡)
• Componente tangencial
aT= 𝑣 ´=
𝑣.𝑎
𝑣
=
𝑟´ 𝑡 .𝑟´´(𝑡)
𝑟´(𝑡)
• La componente tangencial de la aceleración es la responsable
de que cambie la rapidez, mientras que la componente
normal es responsable por la curvatura de la trayectoria. 𝑎 =
𝑎 𝑡 𝑇+𝑎 𝑁 𝑁
20. • Si la curva está en el espacio, también se
“retuerce” y para medir esto se define la
torsión como:
