Media , mediana y Moda.

1. MÓDULO
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
ELABORADO POR: YAMILETH CABALLERO

2. Estimados jóvenes, quiero felicitarlos a
todos por la labor realizada
virtualmente, y sobre todo el modo de
comprensión con los temas.

3. Cualquier duda que tengas o deseas una
aclaración, te puedes comunicar a mi e-mail :
ESCRIBE LAS DUDAS O
PREGUNTAS EN EL FORO DE LA
PLATAFORMA.

4. TE MOTIVO A QUE OBSERVES
ESTE VIDEO

5. Son aquellas que nos indican el centro de un conjunto de
datos. Se clasifican en Media o Promedio, Mediana y Moda.
Existen en dos tipos de datos; agrupados y no agrupados.

6. Conceptos Básicos
Media o Promedio
La media es un promedio. Se calcula sumando todos
los datos y luego dividiendo el total entre el número
de datos involucrados. Cuando los estudiantes de
secundaria suman todas sus notas parciales y las
dividen entre el número de notas, obtienen su
promedio parcial. Ese promedio es la media
aritmética de sus calificaciones parciales.
3.1

7. Si tenemos un conjunto de datos, podemos calcular la
media del conjunto y de esa forma resumiremos toda
la información en un sólo número. Todos los datos del
conjunto están alrededor de ese número o promedio.
En vez de una tabla, nos quedaríamos con un sólo
número. Eso facilita el análisis de los datos.
La fórmula para calcular la media ( X ) es la siguiente:
datos
de
número
datos
los
de
Sumatoria



n
x
X
Media o Promedio

8. Media o Promedio
La media actúa como punto de equilibrio de tal forma
que las observaciones menores compensan a las
observaciones que son mayores.
Hay que entender que existen dos formas distintas
de trabajar con los datos tanto poblacionales como
muéstrales; sin agruparlos o agrupándolos en tablas
de frecuencias.

9. X
X
n


6 3 8 6 4 27
5.4
5 5
X
X
n
   
   

Ejemplo 1 (Datos no agrupados).
Un conjunto de datos consta de los cinco valores
6, 3, 8, 6 y 4. Encuentra la media.
Solución.
Con la fórmula encontramos:
Por lo tanto, la media de esta muestra es 5.4.

10. Ejemplo 2 (Datos no Agrupados).
Calculemos la media de la siguiente muestra de un curso de estadística
de 20 alumnos.
Edad
Frecuencia
Absoluta
18 3
19 2
20 5
21 7
22 2
23 1

11. La media sería:



n
x
X
La media de nuestro curso nos da 20,3.

12. Ejemplo 3. (Datos no agrupados)
El profesor de la materia de estadística desea conocer el promedio de
las notas finales de 10 alumnos de la clase. Las notas de los alumnos
son:
7.2 8.1 6.4 9.0 8.5 9.0 7.5 8.8 4.2 10.0
¿Cuál es el promedio de notas de los alumnos de la clase?
Solución.
Aplicando la fórmula tenemos:
7.2 8.1 6.4 9.0 7.5 8.8 4.2 10.0 78.7
7.87
10 10
X
X
n
      
   

El promedio de los alumnos es de 7.87.

13. Ejemplo 4. (Datos agrupados en tablas de frecuencias)
La siguiente tabla de frecuencia muestra el número de
preguntas de 81 encuestados sobre un Test que consta de sólo
seis preguntas. Calcular la media o promedio.
Preguntas
acertadas
Número de
Personas
1 15
2 13
3 8
4 19
5 21
6 5

14. Solución.
Paso 1: Realizar la sumatoria del producto resultante de las
clases por su frecuencia absoluta. Para efectos del cálculo de la
media, deberíamos sumar 15 veces el valor 1, 13 veces el valor 2,
8 veces el valor 3, y así sucesivamente hasta llegar a la última
clase, así que multiplicaremos 1 x 15; 2 x 13; 3 x 8;4 x 19;
sucesivamente:
(1*15) (2*13) (3*8) (4*19) (5*21) (6*5) 276
X       

Paso 2: Dividir la sumatoria sobre el número total de datos.
276
3.41
81
X
X
n
  

En promedio de los encuestados contestaron aproximadamente
3 (el valor exacto es 3.41) preguntas acertadas.

15. 3.2 Mediana
Es el valor que ocupa la posición media cuando los
datos están clasificados en orden de acuerdo con su
tamaño. La mediana se representa por (Med). Dicho
de otra manera, la mediana muestral es el valor de la
variable que ocupa la posición central (si los datos se
presentan ordenados en forma ascendente) cuando el
tamaño de la muestra n es impar. Sin embargo,
cuando el tamaño de la muestra es un número par,
entonces la mediana muestral es la media aritmética
de los dos valores centrales. Es decir:

16. Mediana
Si n (número de términos), es par, entonces se toman
los dos (2) datos del centro y se divide entre dos (2).
Si n (número de términos), es impar, entones se toma
el número que está en el centro.
Para calcular la mediana, primero se deben poner los
datos en orden. Después usamos la fórmula del punto
de posicionamiento.

17. Ejemplo 1 (Muestra Impar)
Tenemos el siguiente conjunto de números. Están todos en
desorden.
8 2.5 7 11 3 6 2
Ordenando los datos de menor a mayor tenemos:
2 2.5 3 6 7 8 11
Elegimos el dato que esté en el centro.
2 2.5 3 6 7 8 11
Para este conjunto de datos, la Med = 6.
Observa; que el número de términos ( n) es impar.

18. Nota: El cálculo del valor de la mediana se ve afectado por el
número de observaciones, no por la magnitud de cualquier
extremo.
Ejemplo 2. (Muestra impar)
Encontrar la mediana para los siguientes datos:
4 1 2 3 4 2 2 1 5 5 3
Solución.
Paso 1: Ordenar los datos.
1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5

19. Paso 2: Localizar el valor que divide en dos parte iguales el
número de datos.
1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5
La mediana es 3, dejando 5 datos a cada lado.
Ejemplo 3. (Muestra par)
Modifiquemos el ejemplo anterior, eliminando el último dato.
Encontrar la mediana.
4 1 2 3 4 2 2 1 5 5

20. 1 1 2 2 2 3 4 4 5 5
Solución.
Paso 1: Ordenar los datos.
Paso 2: Localizar los dos valores del centro.
1 1 2 2 2 3 4 4 5 5
El punto medio se encuentra entre dos valores: 2 y 3, por
tanto, el valor de la mediana es 2.5 (se suman 2+3 y el
resultado se divide entre 2, obteniendo el valor de 2.5 ).

21. ¿Cómo calculamos la media de una tabla de frecuencias con
datos agrupados en intervalos?
Supongamos la siguiente tabla de frecuencias en la que se
muestran las notas de un examen de matemática de un curso de
35 alumnos:
Nota Frecuencia
Absoluta
4,1 - 5.0 12
5,1 - 6,0 15
6,1 - 7,0 8

22. Lo primero que debemos hacer es calcular la marca de clase, es
decir, el punto medio de cada intervalo

23. Nuestra nueva tabla de frecuencias quedaría así:
Nota Frecuencia
Absoluta
4, 55 12
5,55 15
6,55 8
Ahora calculamos la media como aprendimos, con una tabla de
frecuencia sin intervalos:

24. Obtuvimos una media de 5,4, es decir, el promedio del curso en el
examen de matemática fue de un 5,4.
La media es muy sensible a las variaciones de la variable, por lo
que no es recomendable cuando hay valores muy extremos.
Como sabemos, la mediana es el valor que ocupa el lugar central
de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a
mayor. Se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

25. Para hallar el valor de la mediana, en el caso de datos agrupados,
debe encontrarse primero la clase mediana, la que se define
como la clase más baja para la cual la frecuencia acumulada
excede N/2, donde N es el total de la frecuencia acumulada
dividido entre 2. Encontrada la clase, la siguiente fórmula nos
permite hallar el valor de la mediana

26. Donde:
Lim inf. = Es el límite real inferior de la clase donde está la mediana, se
obtiene estándole 0.5 al número que se encuentra a la izquierda del
intervalo.
fm = Es la frecuencia de la clase mediana, donde se encuentra el
intervalo.
fL = Es la frecuencia acumulada de todas las clases por debajo de las
clase mediana, es decir: hay que sumar todos los valores que están
por arriba de la clase mediana.
a = Es el tamaño del intervalo de clase, o sea la cantidad de números que
tiene el intervalo.
N = Es el número total de datos (frecuencia total).
N/2 = determina la posición de la mediana
Med = Lim inf + a
f
f
N
m
L 






2

27. Ejemplo 1: Calcular la mediana de los pesos de un grupo de 50
personas que se distribuyen de la siguiente manera:
Intervalo Frecuencia
Absoluta (fi)
45 - 55 6
56 - 66 10
67 - 77 19
78 - 88 11
89 - 99 4
N= 50
Solución:
Primero se calcula n/2 y después se averigua el intervalo en el que está
la mediana, este intervalo recibe el nombre de intervalo o clase de la
mediana. Para averiguar el intervalo en el que está la mediana se
aconseja calcular la frecuencia acumulada.
25
2
50
2


N

28. Intervalo Frecuencia
Absoluta (fi)
Frecuencia
Acumulada (fa)
[45 - 55) 6 16 6
[55 - 65) 10 16
* [65 - 75) 19 35
[75 - 85) 11 46
[85 - 95] 4 50
N= 50

29. La frecuencia acumulada (fa), se obtiene sumando cada
frecuencia absoluta con la siguiente, es decir: En el primer
intervalo como no hay acumulados se deja el primer número de
la frecuencia absoluta que es el 6 luego, para el siguiente
intervalo se suma el acumulado más el que sigue de la frecuencia
es decir: 6+10=16; así sucesivamente; 19+16=35; 11+35=46;
4+46=50. Obteniendo como dato final el total de las frecuencias
(50)

30. Luego el intervalo donde se encuentra el valor de la mediana es
el [65 – 75), ya que el acumulado de N/2, se encuentra en
dicho intervalo; es decir: 6+10+19, nos da un rango de 35, el
cual está más próximo a 25. Observa que 16 = (6+10) es el
total de los valores que están por debajo del valor 65. Los 9
que faltan para llegar a 25, hay que interpolarlos en el ancho
del intervalo de la mediana que es 10. Para mayor claridad
utilicemos la fórmula:

31. EMPLEANDO LA ECUACIÓN:
a
f
f
N
m
L 






2
 
710
.
69
)
11
(
19
16
25
5
.
64




med
Med
Med = Lim inf +
Por lo tanto el intervalo o clase de la mediana es [65-75]

32. Si deseas leer un poco más sobre de cómo obtener la mediana,
te invito a que obtengas la página:
http://www.monografias.com/trabajos87/mediana-datos-no-
agrupados-y-agrupados/mediana-datos-no-agrupados-y-
agrupados.shtml#ixzz2FKL9iTld
Además puedes observar el siguiente video, para aclarar las
dudas en cuanto la mediana de datos agrupados.
http://www.youtube.com/watch?v=02Q7OBiSQgo

33. Moda
En una serie de datos, la moda es el valor que más se repite, el
que aparece con más frecuencia. La moda no se ve afectada por la
ocurrencia de cualquier valor extremo. Se representa por Mo.
3.3
Ejemplo 1:
Tenemos el siguiente conjunto de números. Están todos en
desorden.
3 2 4 1 8 3 4
6 2 8 3 3 7 2

34. Presentándolos en una tabla de distribución de frecuencias,
quedaría de la siguiente manera:
Dato (x) Frecuencia (f)
1 1
2 3
3 4
4 2
6 1
7 1
8 2
Total 14
Observa que el valor 3 es el que se repite más veces, por lo
tanto la moda es:
Mo= 3

35. Ejemplo 2: Hallar la moda de la distribución:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5
Solución: Mo= 4, porque es el que más se repite
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma
frecuencia y esa frecuencia es la máxima,
la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias
modas.
Ejemplo 3: 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9
Solución: Mo= 1, 5, 9
Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma
frecuencia, no hay moda. Por ejemplo: 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9

36. Donde
L. inf= Límite inferior, se obtiene restándole 0.5 al número de la izquierda donde se
encuentre el intervalo.

1 Exceso de la frecuencia modal sobre la clase modal inferior inmediata; es decir el
número que está por arriba donde se encuentre la clase modal.

2 Exceso de la frecuencia modal sobre la clase modal inferior inmediata; es decir el
número que está por arriba donde se encuentre la clase modal.
a= es la amplitud o anchura de la clase modal, es decir: la cantidad de números que tiene
el intervalo.
¿Cómo calculamos la moda en una tabla de frecuencias con
datos agrupados en intervalos?
Para determinar la moda de datos agrupados en clases de igual
tamaño su cálculo se puede realizar de la siguiente forma:
a
Lim
Mo
2
1
1
inf
.







37. Nota: Se determina el número mayor de la frecuencia absoluta,
y en base a este número se calcula los exceso modales.
Ejemplo: Retomando el ejemplo 1, del problema de la mediana
para datos agrupados, calculemos la moda de los pesos de
un grupo de 50 personas que se distribuyen de la siguiente
manera:
Intervalo Frecuencia
Absoluta (fi)
Frecuencia
Acumulada (fa)
[45 - 55) 6 6
[55 - 65) 10 16
* [65 - 75) 19 35
[75 - 85) 11 46
[85 - 95] 4 50
N= 50

38. Solución: Empleando la fórmula, tenemos:
32
.
70
)
11
(
8
9
9
5
.
64
inf
.
2
1
1










Mo
Mo
a
L
Mo
8
11
19
9
10
19
2
1








Así calculamos el exceso modal: ojo (Nota)

39. Puedes observar el siguiente video, para mayor entendimiento en
cuanto a la moda de datos agrupados
http://www.youtube.com/watch?v=Y1Ja2C8VtAE
Haciendo un resumen de todas las medidas de tendencia central,
las puedes ver en la siguiente página.
http://www.youtube.com/watch?v=RkQ1Se5SYJk

40. “No siempre el que más corre alcanza la meta, sino el que de verdad…
Marcha firme hacia el frente con la decisión marcada
en su mente.”

41. 1) Las estaturas, en centímetros, de los integrantes de un
equipo son:
170, 168, 166, 174, 174, 168, 170, 174, 169, 166, 165, 168
DETERMINE, PARA LAS ESTATURAS:
a) Media o Promedio. b) Mediana. c) Moda.

42. 2) Las ventas de los 30 días del mes de Junio, adicional 10 días
del mes siguiente de un empleado se encuentran agrupados en
intervalos presentados en el siguiente cuadro:
Intervalo
de Clase
(ventas B/)
Frecuencia
Absoluta
(fi)
Punto
Medio
(xi)
fixi
Frecuencia
Acumulada
100 - 199 6
200 - 299 14
300 - 399 5
400 - 499 8
500 – 599 7

43. Determine para las ventas:
a) Media o Promedio. b) Mediana. c) Moda
Ojo son datos agrupados
3) La siguiente tabla muestra las edades, en meses, de 25
alumnos de octavo grado:
Edad
(en meses)
Frecuencia
144 4
148 6
152 2
156 1
160 3
165 5
168 4
DETERMINE, PARA LAS EDADES:
a) Media.
b) Mediana.
c) Moda

44. 4) Las calificaciones obtenidas en una prueba de matemática se
encuentran agrupados en intervalos presentados en el siguiente
cuadro:
Intervalo
de Clase
(Calificaciones)
Frecuencia
Absoluta
(fi)
Punto
Medio
(xi)
fixi
Frecuencia
Acumulada
20 - 39 2
40 - 59 4
60 - 79 5
80 - 99 1
Determine:
a) Media. b) Mediana. c) Moda.

45. BIBLIOGRAFÍA
Bibliografía de Consulta
Estadística Aplicada: Serie Schaum, Editorial McGraw-Hill.
Estadística para Administradores: Richard I. Levin, 2da
Edición, Prentice Hall Hispanoamericana, S.A., México, 2000.

46. “Cuando te sientas derrotado, no te desanimes…..
Comienza de nuevo, llegarás muy lejos.”