Este documento describe diferentes medidas de tendencia central como la media aritmética, mediana y moda. Explica cómo calcular cada medida, sus propiedades y cómo se relacionan en distribuciones simétricas y asimétricas. También cubre conceptos como media ponderada y geométrica. El objetivo es que el lector comprenda cómo usar y comparar estas medidas para resumir conjuntos de datos.

1. 1
Capítulo 3
Descripción de datos, medidas de
tendencia central
 Objetivos: Al terminar este capítulo podrá:
1. Calcular la media aritmética, la media ponderada, la mediana, la moda y
la media geométrica.
2. Explicar las características, uso, ventajas y desventajas de cada medida
de tendencia central.
3. Identificar la posición de la media aritmética, la mediana y la moda, tanto
en distribuciones simétricas como asimétricas.

2. 2
Características de la media
 La media aritmética es, con mucho, la medida de
localización más usada.
 Es calculada sumando los valores y dividiendo entre el
número de valores.
 Las principales características de la media son:
- Requiere de una escala de intervalo.
- Todos los valores son utilizados.
- Es única.
- La suma de las desviaciones con respecto a la media
es cero.

3. 3
Media poblacional
 Para datos no agrupados, la media poblacional
es la suma de todos los valores de la población
divididos entre el número total de valores de la
población: donde µ es la media poblacional, N es
el total de observaciones de la población y X un
valor particular.
N
X∑=µ

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Ejemplo 1
Un parámetro es una medida característica de la
población.
Ejemplo 1: La familia Castro es propietaria de
cuatro autos. Los siguientes datos corresponden
al kilometraje de cada uno de ellos:
56,000 23,000 42,000 73,000
Encuentre la media aritmética del kilometraje de
los autos:
µ = (56,000 + … + 73,000)/4 = 48,500

5. 5
Media muestral
 Para datos no agrupados, la media muestral
es la suma de todos los valores de la muestra
dividida por el número de valores de la
muestra. Donde n es el número total de
valores en la muestra.
n
X
X
Σ
=

6. 6
Ejemplo 2
 Un estadístico es una medida característica de
una muestra.
 Ejemplo 2: Una muestra de cinco ejecutivos
recibió los siguientes bonos el último año
($000):
14.0, 15.0, 17.0, 16.0, 15.0
4.15
5
77
5
0.15...0.14
==
++
=
Σ
=
n
X
X

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Propiedades de la media aritmética
 Todos los datos de nivel de intervalo y de nivel de razón
tienen una media.
 Para evaluar la media se consideran todos los valores.
 Un conjunto de datos sólo tiene una media la cual es un
valor único.
 La media es afectada por valores inusualmente grandes
o pequeños.
 La media aritmética es la única medida de tendencia
central donde la suma de las desviaciones de cada
valor, respecto de la media, siempre es igual a cero.

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Ejemplo 3
 Considere el siguiente conjunto de valores:
3, 8, y 4. La media es 5. Ilustrando la quinta
propiedad:
[ ] 0)54()58()53()( =−+−+−=−Σ XX

9. 9
Media ponderada
 La media ponderada de un conjunto de
números X1, X2, …,Xn con pesos
correspondientes w1, w2, …,wn es calculada con
la siguiente fórmula:
)21
)2211
...(
...(
n
nn
w
www
XwXwXw
X
++
+++
=

10. 10
Ejemplo 6
 Durante el periodo de una hora, en una tarde
calurosa de sábado, Cristina sirvió 50
refrescos. Ella vendió 5 bebidas de $0.50, 15
de $0.75, 15 de $0.90, y 15 de $1.15. Calcule
la media ponderada para el precio de estas
bebidas.
89.0$
50
50.44$
1515155
)15.1($15)90.0($15)75.0($15)50.0($5
==
+++
+++
=wX

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La mediana
 La mediana es el valor que corresponde al
punto medio de los valores después de
ordenarlos de menor a mayor.
 Cincuenta por ciento de las observaciones son
mayores que la mediana, y 50% son menores
que ella.
 Para un conjunto par de valores, la mediana
será el promedio aritmético de los dos valores
centrales.

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Ejemplo 4
 Las edades de una muestra de 5 estudiantes del colegio
son:
21, 25, 19, 20, 22
Ordenando los datos en forma ascendente, tenemos:
19, 20, 21, 22, 25. Entonces la mediana es 21.
Las estaturas de 4 jugadores de basquetbol, en
pulgadas, son:
76, 73, 80, 75
Entonces la mediana es 75.5

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Propiedades de la mediana
 Es única; esto es, a semejanza de la media, sólo existe
una mediana para un conjunto de datos.
 No se ve afectada por valores extremadamente grandes
o muy pequeños, y por tanto es una medida valiosa de
tendencia central cuando se presenta esta clase de
valores.
 Puede calcularse para datos de nivel de razón, de
intervalo y ordinal.
 Puede calcularse para una distribución de frecuencias
con una clase de extremo abierto, si la mediana no se
encuentra en tal clase.

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La moda
 La moda es el valor de la observación que
aparece con más frecuencia.
 Ejemplo 5: Las calificaciones de 10
estudiantes son: 81, 93, 84, 75, 68, 87,
81, 75, 81, 87
 Dado que 81 es el dato que aparece con
más frecuencia, éste es la moda.

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La media geométrica
 La media geométrica (GM) de un conjunto de n
números se define como la raíz enésima del producto
de n números.
 La media geométrica es útil para encontrar el
promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de
crecimiento.
 La fórmula es:
n nXXXXGM ))...()()(( 321=

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Ejemplo 7
 La tasa de interés de tres bonos son: 5, 21 y 4 por
ciento.
 La media aritmética es (5+21+4)/3 =10.0
 La GM da una utilidad más conservadora porque no
está demasiado influenciada por la tasa del 21 por
ciento.
 La media geométrica es:
49.7)4)(21)(5(3 ==GM

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Media geométrica (Continuación)
 Otro uso de la media geométrica es determinar el
aumento porcentual en ventas, producción o series
económicas de un periodo de tiempo a otro.
(Valor al principio del periodo)
Valor al final del periodo)(
−1= nGM

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Ejemplo 8
 El número total de mujeres contratadas en
Colegios Americanos se incrementó de
755,000 en 1992 a 835,000 en 2000. Esto es,
la media geométrica o tasa de incremento es
1.27%.
0127.1
000,755
000,835
8 =−=GM

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La media para datos agrupados
 La media de una muestra de datos
organizados en una distribución de
frecuencias es calculada por la siguiente
fórmula:
n
Xf
X
Σ
=

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Ejemplo 9
 Una muestra de 10 cines en una gran
área metropolitana contó el número total
de películas en exhibición la última
semana. Calcule el número medio de
películas en exhibición.
6.6
10
66
==
Σ
=
n
X
X

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Ejemplo 9 (Continuación)
Películas en
cartelera
Frecuencia
f
Punto medio
de clase (X)
(f)(X)
1 hasta 3 1 2 2
3 hasta 5 2 4 8
5 hasta 7 3 6 18
7 hasta 9 1 8 8
9 hasta 11 3 10 30
Total 10 66

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La mediana para datos agrupados
 La mediana de una muestra de datos agrupados en una
distribución de frecuencias se calcula con:
donde L es el límite inferior de la clase que contiene a la
mediana, n es el número total de frecuencias, CF es la
frecuencia acumulada precedente a la clase mediana, f
es la frecuencia de la clase que contiene a la mediana, e
i es la amplitud de la clase en que se encuentra la
mediana.
)(2 i
f
CF
n
LMediana
−
+=

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Encontrar la clase que contiene a la
mediana
 Para determinar la clase que contiene a la
mediana para datos agrupados:
 Construya una distribución de frecuencias
acumuladas.
 Divida el número total de datos entre 2.
 Determine cuál clase contiene este valor.
Por ejemplo, si n = 50, 50/2 =25, entonces
determine cuál clase contiene el valor en la
posición 25.

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Ejemplo 10
Películas en
cartelera
Frecuencia Frecuencia
acumulada
1 hasta 3 1 1
3 hasta 5 2 3
5 hasta 7 3 6
7 hasta 9 1 7
9 hasta 11 3 10

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Ejemplo 10 (Continuación)
 De la tabla, tenemos: L = 5, n = 10, f = 3,
i = 2, CF = 3
33.6)2(
3
3
2
10
5)(2 =
−
+=
−
+= i
f
CF
n
LMediana

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La moda en datos agrupados
 Para datos agrupados en una distribución de
frecuencias, es posible aproximar la moda
usando el punto medio de la clase que contiene
el mayor número de frecuencias de clase.
 Las modas en el ejemplo 10 son 8 y 10. Cuando
dos valores ocurren un gran número de veces,
la distribución es llamada bimodal, como en el
ejemplo 10.

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Distribución simétrica
 Cero asimetría moda = mediana = media

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Distribución con sesgo positivo
 Asimetría positiva: media y mediana están a la derecha
de la moda.
 Moda<Mediana<Media

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Distribución con sesgo negativo
 Asimetría negativa: media y mediana están a la
izquierda de la moda.
 Media<Mediana<Moda