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Medidas de tendencia central, posición y dispersión
- 1. Republica Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior I. U. P. Santiago Mariño Maracaibo, Edo-Zulia Autor: José Ontiveros 27.558.813 Carrera: 45
- 2. Son valores que se ubican al centro de un conjunto de datos ordenados según su magnitud. Generalmente se utilizan 4 de estos valores también conocidos como estadígrafos, la media aritmética, la mediana, la moda y al rango medio. Los procedimientos para obtener las medidas estadísticas difieren levemente dependiendo de la forma en que se encuentren los datos. Si los datos se encuentran ordenados en una tabla estadística diremos que se encuentran “agrupados” y si los datos no están en una tabla hablaremos de datos “no agrupados”. Las medias de tendencias central son: Media aritmética: La media es el valor promedio de la distribución. Mediana: La mediana es la puntuación de la escala que separa la mitad superior de la distribución y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales. Moda: La moda es el valor que más se repite en una distribución
- 3. •Principalmente es de vital importancia conocer que estas medidas describen un conjunto de elementos por la forma en la que se comporta el centro de su distribución. •Estas se destinan a resumir un conjunto de datos respecto a una característica conservada o investigada, en solo número considerado representativo. •Los resultados obtenidos con la aplicación de estas medidas, pretenden explicar un conjunto de datos mediante el valor representativo o típico. •El valor representativo es un valor que se calcula para describir una característica que suele agrupar muchas clases de datos y que se diferencian en la forma en que se definen típicamente, en la cantidad y tipo de información. •Al describir las características típicas de conjuntos de datos y, como hay varias formas de hacerlo, existen y se utilizan varios tipos de promedios. Se les llama medidas de tendencia central porque generalmente la acumulación más alta de datos se encuentra en los valores intermedios.
- 4. Se denomina promedio o cantidad media a una cantidad representativa de otras varias cantidades. Este promedio es mayor que la menor cantidad y es menor que la cantidad mayor. Clases de Promedio: •Promedio aritmético: Si tenemos "n" cantidades cuyos valores son a1 , a2 , a3 , ............ an el promedio aritmético de ellos será. •Promedio ponderado: Se utiliza cuando los datos son presentados de manera grupal, conociéndose de cada grupo el número de elementos(n) y el promedio aritmético (P).
- 5. •Promedio Geométrico: Si tenemos "n" cantidades cuyos valores son: a1, a2, a3, .......an El promedio geométrico de ellos será igual a: •Promedio Armónico: Si tenemos "n" cantidades cuyos valores son a1, a2, a3, ......., an, el promedio armónico de ellos será igual a:
- 6. •Media aritmética: Es el valor característico de una serie de datos cuantitativos, objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. •Mediana: Es el número del medio en un grupo de datos. Sin embargo, los datos deben estar ordenados numéricamente (de mayor a menor o de menor a mayor) antes de encontrar este promedio. Si el número del medio está entre dos números, entonces encuentra la media entre esos dos (súmalos y divídelos entre 2). •Moda: Es probablemente la forma menos común de encontrar el promedio, y en la mayoría de los casos es la menos útil. Para encontrar la moda, solo encuentra el número que más se repite. Puede haber más de una moda, o ninguna. •Rango: El rango no es una medida de promedio; sin embargo, a menudo se utiliza como el promedio, porque es otra manera de medir un grupo de datos. El rango mide la "extensión" de los datos, qué tan alejados se encuentran el menor del mayor. Para encontrar el rango, resta el valor más pequeño del más grande.
- 7. Media aritmética: Cuando una serie se la agrupa en serie simple con frecuencias para obtener la media aritmética, se multiplica la variable por la frecuencia respectiva (f), luego se obtiene la suma de todos estos productos y luego a este valor se lo divide para el número de elementos (n). Todo esto puede representarse mediante una fórmula matemática, así: Aplicación: Ángulos Artículo principal: las estadísticas de dirección Especial cuidado debe tenerse cuando se utilizan datos cíclicos tales como fases o ángulos . Ingenuamente tomando la media aritmética de 1 ° y 359 ° un resultado de los rendimientos de 180 °. Esto es incorrecto por dos razones: En primer lugar, las mediciones del ángulo se define sólo hasta un factor de 360 ° (o 2π, si se mide en radianes ). Así, uno podría fácilmente llamamos 1 ° y −1 ° o ° 1 y ° 719 - cada uno de los que da un promedio diferentes. En segundo lugar, en esta situación, 0 ° (equivalente, 360 °) es geométricamente un mejor promedio de valor: hay una menor dispersión en ello (los puntos son 1 ° de ella, y 179 ° de 180 °, el promedio putativo).
- 8. Promedio geométrico: El promedio geométrico de una serie de “n” números se encuentra calculando la raíz “n” del producto de los números. Aplicación: Si el crecimiento de las ventas en un negocio fue en los tres últimos años de 3%, 18% y 25%, ¿cuál ha sido el crecimiento anual de sus ventas? 1.03 x 1.18 x 1.25 = 1.5193 La parte decimal de este número, pasada a porcentaje, nos dice que las ventas del negocio a partir del valor donde comenzó la medición, han aumentado en total, en tres años, 51.93%; El 3% de una base, sumado a la base, se escribe en forma decimal como: 1.03 el 18% sería 1.18, etc. el “1” representa el dato inicial, o base, a partir del cual comienza la aplicación de los porcentajes sucesivos. Moda: Para determinar la moda de datos en clases de igual tamaño su cálculo se puede realizar de la siguiente forma: Aplicación:
- 9. Mediana: Para calcular la mediana a partir de un conjunto de datos que han sido organizados previamente en una tabla de distribución de frecuencias, se procede de la siguiente manera: 1.- Se anexa a la tabla dada una columna fa de frecuencias acumuladas. 2.- Se divide entre 2 el número total de casos, obteniendo N/2.Es decir,se determina el número de casos que han de estar por debajo y por encima de la mediana.(En la tabla del ejemplo que usaremos, N=38 por lo tanto N/2= 38/2= 19. Luego, la mediana es el valor que deja 19 observaciones tanto por debajo como por encima de él. 3.- Se identifica en la columna fa, un valor que sea igual o inmediato superior a N/2; En ésta clase está la mediana.(En la tabla del ejemplo dado, en la columna fa, el valor 24 es inmediato superior a 19 por lo cual, la clase 90-94 contiene a la mediana.) 4.- Se identifica la frecuencia acumulada fa de la clase anterior a la que contiene a la mediana. ( En el ejemplo, 14 es la frecuencia acumulada de la clase 85-89 que precede a 90-94 que contiene a la mediana.) 5.- Se identifica la frecuencia fi de la clase que contiene a la mediana. En el ejemplo ésta es 10. 6.- Se identifica el límite real inferior de la clase que contiene a la mediana. En el ejemplo, éste es 89.5. 7.- Se reemplazan éstos valores en la fórmula Aplicación: Suponga que desea averiguar el punto medio de una distribución de calificaciones de estudiantes o de una muestra de datos de control de calidad. Para calcular la mediana de un grupo de números, utilice la función MEDIANA. La función MEDIANA mide la tendencia central, que es la ubicación del centro de un grupo de números en una distribución estadística
- 10. 1.- Rango: mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diferencia entre el valor más elevado y el valor más bajo. 2.- Varianza: Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula como sumatorio de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el número de veces que se ha repetido cada valor. El sumatorio obtenido se divide por el tamaño de la muestra. La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero, más concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, más dispersos están. 3.- Desviación típica: Se calcula como raíz cuadrada de la varianza. 4.- Coeficiente de varización de Pearson: se calcula como cociente entre la desviación típica y la media.
- 11. Los cuantiles: Son medidas de posición que se determinan mediante un método que determina la ubicación de los valores que dividen un conjunto de observaciones en partes iguales. Los cuantiles son los valores de la distribución que la dividen en partes iguales, es decir, en intervalos que comprenden el mismo número de valores. Cuando la distribución contiene un número alto de intervalos o de marcas y se requiere obtener un promedio de una parte de ella, se puede dividir la distribución en cuatro, en diez o en cien partes. Los cuartiles: Son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente iguales. Hay tres cuartiles denotados usualmente Q1, Q2, Q3. El segundo cuartil es precisamente la mediana. El primer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual queda un cuarto (25%) de todos los valores de la sucesión (ordenada); el tercer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%) de los datos. Los deciles: Son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en diez partes porcentualmente iguales. Son los nueve valores que dividen al conjunto de datos ordenados en diez partes iguales, son también un caso particular de los percentiles. Los deciles se denotan D1, D2,..., D9, que se leen primer decil, segundo decil, etc. Los deciles, al igual que los cuartiles, son ampliamente utilizados para fijar el aprovechamiento académico. Los percentiles: Son, tal vez, las medidas más utilizadas para propósitos de ubicación o clasificación de las personas cuando atienden características tales como peso, estatura, etc. Los percentiles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en cien partes porcentualmente iguales. Estos son los 99 valores que dividen en cien partes iguales el conjunto de datos ordenados. Los percentiles (P1, P2,... P99), leídos primer percentil,..., percentil 99.