El documento explica los modelos cuadráticos y las funciones cuadráticas. Describe cómo ajustar modelos lineales y cuadráticos a un conjunto de datos y cómo una función cuadrática tiene la forma y = a x^2 + b x + c. También explica cómo graficar funciones cuadráticas y encontrar sus vértices, ejes de simetría y otras propiedades.

1. Modelos cuadráticos

2. Un modelo cuadrático El número y en millones de aparatos de video en uso en EUA, de 1984 a 1993 se muestran en la tabla, donde t= 4 representa el año 1984. La gráfica de estos datos se ve así:

3. Si ajustamos un modelo lineal obtenemos lo siguiente: Que no es aceptable pues el comportamiento de los datos parece diferente. Probemos con otros modelos

4. Ajustando un modelo cuadrático se obtiene lo siguiente: Este modelo se ajusta mucho mejor a los datos. Podemos afirmar que estos datos tienen un comportamiento cuadrático.

5. La gráfica de este modelo “cuadrático” es la siguiente: Esta curva se llama parábola y se ajusta muy bien a nuestros datos en el intervalo 4 t 13. Nótese que la ecuación de esta curva es de la forma y = a x2 + b x + c, donde a, b y c son números reales y a0.Una función de la forma y(x) = a x2 + b x + c, se llama función cuadrática.

6. La función cuadrática Todas las parábolas son simétricas respecto de una línea llamada eje de simetría. El punto donde el eje intersecta a la parábola se llama vértice. El tipo más simple de función cuadrática es y(x) = a x2, su gráfica es una parábola con vértice en (0,0) y su eje es el eje de las ordenadas (eje y ). Si a0, el vértice es el punto más bajo sobre la gráfica. Y si a<0, el vértice es el punto más alto sobre la parábola. y(x) = x2 y(x) = - x2

7. Cuando se desea graficar una parábola de la forma y(x) = a x2 , es conveniente usar la gráfica de y(x) = x2 (parábola canónica) , como referencia. Si a1 , la parábola correspondiente es más cerrada que La canónica y si a<1, parábola es más abierta. y(x) = 2 x2 y(x) = x2 y(x) = 0.5 x2

8. Si a0 , la parábola abre hacia abajo, es más cerrada que la canónica si |a|1 y más abierta si |a|<1. y(x) = - x2 y(x) = -0.5 x2 y(x) = -2 x2

9. La forma estándar de una función cuadrática es y(x) = a (x - h)2 + k. Esta forma es conveniente para dibujar la parábola correspondiente. La parábola que corresponde con esta ecuación tiene como eje a la línea vertical x = h y su vértice es está en el punto (h,k). Si a0, la parábola abre hacia arriba y si a0, abre hacia abajo. y(x) = (x-1)2 + 3 y(x) = x2 (1,3) (-2,-5) y(x) = -3(x+2)2-5

10. Ejemplo 1. Haga un bosquejo de la gráfica de la función y(x) = 2 x2+ 8x + 7. Solución: Escribamos a esta función cuadrática en su forma estándar. 2(x2+4x)+7 = 2(x2+4x+4-4)+7 = y(x) = 2x2+8x+7 = 2(x+2)2-8+7 = 2(x+2)2-1. 2(x2+4x+4)-2(4)+7 = (-2,-1)

11. Ejemplo 2. Haga un bosquejo de la gráfica de la función y(x) = - x2– 4x + 1. - (x2+ 4x+4-4) + 1 = y(x) = - x2– 4x + 1 = - (x2+ 4x) + 1 = - (x2+ 4x+4) + 4 + 1 = - (x+2)2+ 5 (-2,5)

12. Ejercicios Resuelva las siguientes ecuaciones completando el cuadrado, 2 x2– 16 x + 25 = 0 3 x2+ 30 x + 74 = 0 2. Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones y(x) = - x2+2 x + 5 y(x) = 4 x2– 4x + 21 y(x) = 2 x2– x + 1. 3. Encuentre la función cuadrática cuya gráfica tiene vértice en el punto (-2,-2) y pasa por el punto (-1,0).