Este documento describe las funciones cuadráticas, incluyendo su definición, gráfica y análisis. Presenta tres situaciones problema que involucran funciones cuadráticas y su resolución. La primera situación analiza la población de peces en una laguna en función del tiempo. La segunda analiza el área de un camino alrededor de una piscina en función del ancho del camino. La tercera analiza el producto de dos números en función de uno de ellos.

1. FUNCIÓN CUADRATICA

2. TEMARIO
• DEFINICION
• SITUACION 1
• SITUACION 2
• SITUACION 3
• DEFINICIÓN
• GRAFICA
• FORMULA DE ASIGNACION DE IMÁGENES4
• ANALISIS DE LA GRÁFICA
• EJERCICIOS

3. • Una función cuadrática es aquella que puede escribirse con la
forma polinómica:
f(x) = ax2 + bx + c
• donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de
cero.

4. • En una laguna se siembra una especie de peces que
debido a las condiciones propicias de la laguna se
reproducen y la población a medida de que pasa el
tiempo responde a la siguiente fórmula
P(x)=-x2 + 12x + 60 ( donde x representa el tiempo en
meses y P(x) el número de peces en dicho tiempo)
SITUACION 1
RESOLUCION
1. Determina cuantos peces se introdujeron en la laguna
2. Ayudándote con una tabla determina la población para
los siguientes tiempos: x{ 2, 2 ½ , 3 , 4 , 8 , 9 }
4. En algún otro momento volvieron a ser 60 peces, cual?
5. En que momento la población fue máxima y cual resulto
el número de peces en ese momento.
3. Obtener la gráfica con los pares ordenados obtenidos}
6. Cuando se extinguieron

5. 1.Se pide la población para el momento inicial: Tiempo “CERO”
P(x=0)=-02+12.0 + 60
P(x=0)= 60  el par ( 0 ; 60 ) pertenece a la función P
2. Tabla
RESOLUCIÓN DE LA SITUACION 1
3. Grafica

6. 4. Si el objetivo es saber en que momento (x) la población de
peces P(x) es igual a 60
• x? / P(x)=60
• -x2 + 12x + 60 = 60
• -x2 + 12x = 0 ec. cuadrática incompleta. Factoreamos
• x.( - x + 12 ) = 0 por ley del producto nulo, se deduce
• x= 0 ó - x + 12 = 0 
• x = 12
• Respuesta: La población de peces es igual a 60 en el el
origen de la experiencia y a los doce meses
x=0 x=12

7. 5. Se nos pregunta cual es el momento x en que la población
P(x) alcanza el valor máximo . Y cual es ese valor
• En principio uno se debería preguntar
se esta situación es posible.
• Si miramos la grafica se observa que
en los primeros meses la población creció
y luego en un determinado momento
empieza decrecer la población, lo que
hace pensar ue ese es el valor de x
pedido.
• Para determinar dicho valor de x que
hemos de llamar tenemos que obtener el
promedio de los valores de x que
corresponden a puntos simétricos
• xv = ( 0 + 12 ): 2
• xv = 6
• La población que corresponde a xv = 6
• P(xv = 6) = - 62 +12. 6 + 6 = 96
Respuesta a los 6
meses la población
alcanza el valor
máximo de 96 peces

8. • podemos decir que x=-3,8 no tiene sentido para la situación
problemática
Respuesta: a los casi 16 meses los preces se extinguen
)1.(2
60).1.(414412
12


x
2
38412
12


x
8,3
2
8,912
1
1




x
x
2
8,912
2


x
8,152 x
6. Como la población después de los 6 meses empezó a
decrecer se supone que terminará extinguiéndose. Estamos
buscando el momento x en el cual P(x)= 0
• x? / P(x)= 0
• -x2 + 12x + 60 = 0 ec. Cuadrática completa. Fór. Resolvente

9. SITUACION 2
•Si el área del camino ha de ser de 30 m2 , utiliza la
gráfica y averigua el ancho x del camino. ¿Para qué valor
de x es A = 100?
•Calcula los valores de A cuando x es 0, 1, 2, 3 y 4. Escribe
los valores en una tabla.
•Llama x a la anchura constante del camino. Realiza un
grafico que represente a la situación
A un piscina rectangular de 5x3 metros se le quiere hacer
un camino alrededor del piscina. La anchura del camino ha
de ser constante en todo el contorno.
RESOLUCION
•Ubica los pares obtenidos y grafica de la función

10. • Tabla de valores para la función
que a cada valor de anchura x
se le asigna el area del camino.
• A = 2.Area (1) + 2.Area (2)
• A(x) =2.(5+2x).x + 2.x.3
• A(x) =4x2 + 16x
RESOLUCIÓN DE LA SITUACION 2
• Representación

11. •Ubicamos los pares obtenidos y graficamos la función
Si el área del camino
ha de ser de 30 m2
x ? / A/x) =30
4x2 + 16x = 30
•¿Para qué valor de
x es A = 100?
x ? / A/x) =100
4x2 + 16x = 100

12. SITUACION 3
• Se desea conocer los productos que corresponden a
dos números Reales que sumados dan 6
• Determinar una fórmula que permite conocer el
producto en función de uno de dichos números,
llamarla P(x)
• Confeccionar una tabla en donde figuren los números
y el producto de los mismos. Con los pares ( x; P(x))
• Para que números Reales el producto es NULO
• Grafica en ejes con los pares obtenidos y competa la
grafica
• Completar los siguientes pare sabiendo que
pertenecen a P: ( 2,5 ; ….) ( -2;….)
RESOLUCION

13. • Ahora trabajaremos con dos números x y b. De dichos
números se sabe que sumados dan 6
• x + b = 6
• Lo que queremos como ser es su producto
• P= x . b
• Expresar el producto en función de uno de ellos: de x
• P(x) = x . ( 6 – x ) ya que si x + b = 6  b = 6 - x
RESOLUCIÓN DE LA SITUACION 3
x b = 6 - x y = P(x) = x(6- x) par anàlisis
-1 7 -7 (-1;-7)
0 6 0 (0;0) Raíz
1 5 5 (1;5)
2 4 8 12
3 3 9 (3;9) Vèrtice
4 2 8 (2;8)
5 1 5 (5;1)
6 0 0 (6;0) Raiz

14. • Completar ( -2;….)
• x= -2 P(-2)= -2-(6 – (-2))
P(-2)= -16
( -2 ; -16 )
• Completar los siguientes
pare sabiendo que
pertenecen a P(x)= x.(6 – x):
( 2,5 ; ….) ( -2;….)
• (2,5 ; P(2,5)) ya que en un
par ordenado
• la 1er componente es la
variable independiente x y
• la 2da es y la imagen atreves
de la función

15. • Cada punto tiene dos componentes, (x,y). A la x la llamamos
• a la y la llamamos .
abscisa
ordenada
• Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática,
obtenemos siempre una curva llamada PARÁBOLA.

16. • Al -3 le corresponde: f(-3) y se obtiene reemplazando
• f( x ) = 3 x² +5 x - 8
• f(-3) = 3(-3)²+5(-3) -8
• f(-3) = 27 - 15 - 8 = 4
• En resumen, al - 3 le corresponde el 4. El punto es el (-3,4).
x y = f( x )= 3. x² + 5 x – 8 Pares
-3
-2 = f(-2)= 3(-2)² + 5(-2) – 8
-1 = f(-1)= 3(-1)² + 5(-1) – 8
0 = f(0)= 3( 0 )² + 5( 0) – 8
1 = f( 1)= 3( 1)² + 5( 1) – 8
2 = f( 2)= 3( 2)² + 5( 2) – 8
• Ejemplo: función cuadrática: f(x) = 3x²+5x-8,
• ¿cual es la imagen correspondiente a x= - 3 ?
-3 (-3 ; 4 )
- 6 (-2 ; -6 )
- 10 (-1 ; -10 )
- 8 (0; -8 )
0 (1; 0 )
14 (2; 14 )

17. Seguimos con la función f(x)= 3x²+5x-8
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎

18. Forma Polinómica
Forma Canónica
Forma Factorizada
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 + ℎ 2 + 𝑘

19. Gráfica y análisis de una función
cuádratica
•  :RR/  (x) = ½ x2 - 4x +3
•Dom =
•Concavidad
•Ordenad al orígen
•ejeY=
•Ceros o Raíces
•ejeX=
•Vértice:
•
•Signo
•C0=
•C+=
•C-=
•Crecimiento y decrecimiento
•Ic= Id=
•Puntos notables
•Pmín.=
+
x1=0,7 x2=7,3
•Forma factorizada
•Forma Canónica

20. Probemos tu ingenio
•Todas las parábolas corresponden a
forma y = ax2.
•Establecer correspondencia entre el
nombre de la función y la condición del
coeficiente a
•La forma de una parábola
depende única y
exclusivamente del coeficiente
a de x2, es decir, cualquier
parábola del tipo
y = ax2 + bx + c tiene la
misma forma que la parábola
y = ax2.
Escribe la fórmula de la
función en forma canónica
•Existen infinita parábolas
con los mismos ceros
•Si consideramos las
graficas de funciones de la
forma
y = a(x-3)(x+1)
con ceros: x1 =3 y x2= -1
y difieren en el valor de a
• escribe la fórmula
sabiendo que los valores
de a son1, ¼, -½, 2,
f
g
h
s
y=2(x - 4)2+3
Y=2x2
-1< a <0
a > 1
0 < a< 1
a <-1

21. •  :RR/  (x) = - x2 - 3x +4
•Dom =
•Concavidad
•Ordenad al orígen
•ejeY=
•Ceros o Raíces
•ejeX=
•Vértice:
•Signo
•C0=
•C+=
•C-=
•Crecimiento y
decrecimiento
•Ic= Id=
•Puntos notables
•PM= Pm=
•Pariedad
•Forma Canóonica
•Forma factoriada
Ejercicio nº 1Completar el análisis de las siguientes gráficas
de funciones cuadráticas

22. •  :RR/  (x) = 4(x-1)2-1
•Dom =
•Concavidad
•Ordenad al orígen
•ejeY=
•Ceros o Raíces
•ejeX=
• Signo
• C0=
• C+=
• C-=
• Crecimiento y
decrecimiento
• Ic= Id=
• Puntos notables
• PM= Pm=
• Pariedad
• Forma Canóonica
• Forma factoriada
 :RR/  (x) = -(x+2)2 - 1
• Dom =
• Concavidad
• Ordenad al orígen
• ejeY=
• Ceros o Raíces
• ejeX=
• Signo
• C0=
• C+=
• C-=
• Crecimiento y
decrecimiento
• Ic= Id=
• Puntos notables
• PM= Pm=
• Pariedad
• Forma Canóonica
• Forma factoriada

23. Ejercicio Nº 2 Para indicar la o las respuestas correcta
Tiene raíz doble
Sus raíces son
opuestas
No tiene raíces NRA

24. La función
Ejercicio Nº 3 Obtener analíticamente el conjunto de positividad y
une con a respuesta correcta
El conjunto de positividad de

25. La función V F
Ejercicio Nº 4 indica si las siguientes afirmaciones son Verdaderas y Falsas.
justificar