Ay t mod7-8

85Álgebraytrigonometría
Introducción
En este módulo se definirá lo que es una función polinómica. Se analizará, en parti-
cular, la función cuadrática, su gráfica y el dominio y el rango de esta función.
Objetivos
1. Definir la función polinómica de grado n.
2. Definir el polinomio cuadrático.
3. Conocer el dominio y el rango del polinomio cuadrático.
Preguntas básicas
1. ¿Qué es una función polinómica?
2. ¿Cómo es la gráfica de una ecuación cuadrática?
3. ¿Cómo se hallan el dominio y el rango de una función cuadrática?
4. ¿Cómo se llama la gráfica de una función cuadrática?
Contenido
7.1 Función polinómica
7.1.1 Ceros de una función polinómica
7.2 El polinomio cuadrático
7.2.1 Polinomio cuadrático
7.2.2 Dominio y rango
Vea el módulo 7 del
programa de televisión
Álgebra y trigonometría
Visite el sitio
http://docencia.udea.edu.co/cen/
AlgebraTrigonometria/
7
El polinomio cuadrático
Ilustración del movimiento parabólico.

86
Capítulo3:Polinomios.Polinomiocuadrático
7.1 Función polinómica
Una función polinómica P, de grado n, es una expresión de la forma
( ) 1
1 1 0...n n
n nP x a x a x a x a−
−= + + + + , con 0,na ≠ donde los coeficientes son rea-
les o complejos y los exponentes son enteros no negativos.
Ejemplo14
( ) 2
2 1P x x= + es una función polinómica de grado 2.
( ) 3
2P x x x= − es una función polinómica de grado 3.
( ) 5 2
2 7P x x x= − + es una función polinómica de grado 5.
7.1.1 Ceros de una función polinómica
Se dice que γ es un cero de la función P, o un cero del polinomio ( ),P x o una
solución o raíz de la ecuación ( ) 0,P x = si ( ) 0.P γ =
Ejemplo15
2γ = − es un cero de 4 2
( ) 7 4 20P x x x x= − + + porque:
( ) ( ) ( ) ( )
4 2
2 2 7 2 4 2 20
16 28 8 20
0.
P − = − − − + − +
= − − +
=
Así mismo, 2γ = − es una solución o raíz de la ecuación polinómica
4 2
7 4 20 0.x x x− + + =
7.2 El polinomio cuadrático
7.2.1 Polinomio cuadrático
Una función cuadrática o polinomio cuadrático es una expresión de la forma
( ) 2
P x ax bx c= + + o 2
,y ax bx c= + + donde a, b, c serán, en este caso, números
reales.
La gráfica de la función cuadrática será una parábola con la concavidad dirigida
hacia arriba si 0,a > y con la concavidad dirigida hacia abajo si 0.a <
7.2.2 Dominio y rango
Es claro que el dominio de la función 2
y ax bx c= + + serán todos los números
reales.

Módulo7:Elpolinomiocuadrático
Para hallar el rango de una función cuadrática hay que analizar los valores admisi-
bles que puede tomar la variable y en los casos en que 0a > y 0.a < Si 0a > hay
que analizar el valor mínimo que puede tomar la variable y, ya que la gráfica de la
parábola es cóncava hacia arriba.
En este caso se tiene:
2
2
2 2
2
2
2 2
44
4
.
2 4
y ax bx c
b
a x x c
a
b b b
a x x c
a aa
b ac b
a x
a a
= + +
⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= + + + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
−⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
El valor mínimo de la función se obtiene cuando 0,
2
b
x
a
+ = o sea cuando .
2
b
x
a
= −
En este caso el valor mínimo de y es
2
min
4
.
4
ac b
y
a
−
= Por tanto, el rango serán los
valores de y, tales que
2
4
.
4
ac b
y
a
−
≥ Similarmente, si 0a < el rango de la función
cuadrática serán los valores de y, tales que
2
4
.
4
ac b
y
a
−
≤
Ejemplo16
Grafique y encuentre el rango de la función cuadrática 2
3 1.y x x= + −
Solución
Como 3 0,a = > la gráfica es una parábola con la concavidad dirigida hacia arriba.
Como 3,a = 1,b = 1,c = − entonces el rango serán todos los valores de y reales
que cumplan que
( ) ( )2
4 3 1 1
,
4 3
y
× × − −
≥
×
o sea
13
.
12
y ≥ −
Una gráfica aproximada de la función la muestra la figura 7.1.
La parábola es una cónica

88
Figura 7.1. Gráfica de la función y = 3x2
+ x − 1
En la figura 7.1, los interceptos con el eje x serán los ceros de ( ) 2
3 1,P x x x= + − o
alternativamente, las raíces de la ecuación 2
3 1 0.x x+ − = Más adelante se tendrán
fórmulas para hallar las raíces de una ecuación cuadrática.
Ejemplo17
1.y x= − +
Solución
Como 1 1,a = − < la gráfica es una parábola con la concavidad dirigida hacia abajo.
Como 1,a = − 0,b = 1,c = entonces el rango serán todos los valores reales de y
que cumplan que:
( ) ( )
( )
2
4 1 1 0
,
4 1
y
× − × −
≤
× −
o sea 1.y ≤
Una gráfica aproximada de la función la muestra la figura 7. 2. En esta figura, los
interceptos con el eje x, o sea las raíces de la ecuación 2
1 0,x− + = se hallan por
inspección y son 1 y –1.
Figura 7.2. Gráfica de la función y = − x2
+ 1

Ejemplo18
3 12 13.y x x= + +
Solución
Como a = 3 > 0, la gráfica es una parábola con la concavidad dirigida hacia arriba.
Como a = 3, b = 12, c = 13, entonces el rango serán todos los valores reales de y que
cumplan que:
2 2
min
4 4(3)(13) (12)
1.
4 4(3)
ac b
y y
a
− −
≥ = = =
Este valor mínimo se encuentra cuando:
12
2.
2 6
b
x
a
= − = − = −
Más adelante veremos que cuando la expresión 2
4ac b− es positiva, la ecuación
ax2
+ bx + c = 0 no tiene raíces reales, es decir la gráfica no corta el eje x. En este
caso, como 2
4 12 0,ac b− = > la gráfica no corta el eje x. La gráfica de la función es
(figura7.3):
Figura 7.3. Gráfica de la función y =3x2
+12x + 3
Ejemplo19
5 10 8.y x x= − + −
Solución
Como 5 0,a = − < la gráfica es una parábola con la concavidad dirigida hacia abajo.
Como 5,a = − b = 10, 8,c = − entonces el rango serán todos los valores reales de
y que cumplan que:

90
2 2
máx
4 4( 5)( 8) (10)
3.
4 4( 5)
ac b
y y
a
− − − −
≤ = = = −
−
Este valor máximo se encuentra cuando:
10
1.
2 10
b
x
a
= − = − =
−
En este caso, como
2
4 60 0,ac b− = > la gráfica no corta el eje x. La gráfica de la
función es (figura 7.4):
Figura 7.4. Gráfica de la función y = − 5x2
+10x − 8
Ejemplo20
4 4.y x x= + +
Solución
Como 1 0,a = > la gráfica es una parábola con la concavidad dirigida hacia arriba.
Como a = 1, b = 4, c = 4, entonces el rango serán todos los valores reales de y que
cumplan que:
2 2
mín
4 4(1)(4) (4)
0.
4 4(1)
ac b
y y
a
− −
≥ = = =
Este valor mínimo se encuentra cuando:
4
2.
2 2
b
x
a
= − = − = −

Más adelante veremos que cuando la expresión 2
0ax bx c+ + = tiene una sola raíz
real, la gráfica corta el eje x en un único punto
4
2.
2 2
b
x
a
= − = − = − Esto ocurre
pues la función se factoriza como un cuadrado perfecto 2 2
4 4 ( 2) .y x x x= + + = +
La gráfica de la función es (figura 7.5):
Figura 7.5. Gráfica de la función y = x2
+ 4 x + 4

Introducción
Se aborda en esta sección la deducción de la fórmula para hallar las raíces de una
ecuación cuadrática. Se analizan las características de las soluciones, según la for-
ma del discriminante de la ecuación. Por último se encuentran expresiones que
relacionan la suma y el producto de las raíces de una ecuación cuadrática en térmi-
nos de los coeficientes de la ecuación cuadrática.
Objetivos del módulo
1. Conocer una expresión para las raíces de una ecuación cuadrática.
2. Conocer los tipos de soluciones de una ecuación cuadrática.
3. Conocer una expresión para la suma y el producto de una ecuación cuadrática.
Preguntas básicas
1. ¿En qué consiste el discriminante de una ecuación cuadrática?
2. ¿A qué es igual la suma de las raíces de una ecuación cuadrática?
3. ¿A qué es igual el producto de las raíces de una ecuación cuadrática?
Contenidos del módulo
8.1 Forma de las raíces
8.2 Características de las soluciones
8.3 Suma y producto de raíces
Vea el módulo 8 del
programa de televisión
Visite el sitio
http://docencia.udea.edu.co/cen/
AlgebraTrigonometria/
8
Raíces de una ecuación cuadrática
Pierre de Fermat (1601-1665)
Fermat fue abogado y gobernante oficial, más recordado
por su trabajo en la teoría de números; las matemáticas
eran para él su entretenimiento.
En 1636 propuso un sistema de geometría analítica similar
aunodeDescartes,queéstepresentó unos años después.
El trabajodeFermat estaba basado en una reconstrucción
del trabajo de Apolonio usado en el álgebra de Francois
Viète. Similar trabajo dejó al descubrir métodos de
diferenciación e integración y encontrar máximos y
mínimos.
Fermat es famoso por el teorema que lleva su nombre y
que dice que dado cualquier entero positivo n > 2, es
imposible que existan números enteros diferentes de cero,
x,y,z,talesquexn
+yn
=zn
.Sin =2habráinfinitastripletas
(x,y,z)llamadasternas pitagóricas, como por ejemplo
(3, 4, 5).
Fermat dijo que había descubierto una prueba («prueba
maravillosa»), pero que no había en la página suficiente
margenparadarla.Sesospechaquedadoslosavancesdela
época,Fermathabíadadoconunademostraciónequivocada.
El teorema fue finalmente demostrado en 1995.

94
8.1 Forma de las raíces
La forma de las raíces de la ecuación cuadrática 2
0ax bx c+ + = se puede ver de la
manera siguiente:
Si 2
0ax bx c+ + = , entonces 2
.ax bx c+ = − Por tanto,
2 b
a x x c
a
⎛ ⎞
+ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2
2
2
.
44
b b b
a x x c
a aa
⎛ ⎞
+ + = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
Se tiene entonces que
2 2
4
.
2 4
b b ac
a x
a a
−⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Despejando
2
,
2
b
a x
a
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
se tiene que
2 2
2
4
.
2 4
b b ac
x
a a
−⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros,
2
2
4
.
2 4
b b ac
x
a a
−
+ = ±
En consecuencia,
2
4
.
2
b b ac
x
a
− ± −
=
Las dos raíces de la ecuación cuadrática vienen dadas por
2
1
4
,
2
b b ac
x
a
− + −
=
2
2
4
.
2
b b ac
x
a
− − −
=
8.2 Características de las soluciones
En la solución de la ecuación cuadrática aparece el término 2
4b ac− . La expresión
2
4b ac− se llamará el discriminante de la ecuación, y según la naturaleza de éste, las
soluciones serán así:
1. 2
4 0b ac− > , entonces la ecuación cuadrática tendrá dos soluciones reales
distintas.
2. 2
4 0b ac− = , entonces la ecuación tendrá dos soluciones reales iguales.
3. 2
4 0b ac− < , entonces la ecuación no tendrá soluciones reales sino dos
soluciones complejas conjugadas.
Escuche La conjetura de Pierre
de Fermat en su multimedia de

Módulo8:Raícesdeunaecuacióncuadrática
Ejemplo21
Encuentre las raíces de la ecuación 2
4 3 0.x x− + =
Solución
En este caso se tiene que a = 1, 4,b = − 3.c =
( )
22
4 4 4 1 3 4 0.b ac− = − − × × = >
La ecuación tiene dos raíces reales distintas que son:
2
1 1
4
, 3.
2
b b ac
x x
a
− + −
= =
2
2
4
,
2
b b ac
x
a
− − −
= 2
1.x =
8.3 Suma y producto de raíces
Como las raíces de la ecuación cuadrática vienen dadas por:
2
1
4
,
2 2
b b ac
x
a a
− −
= +
2
2
4
,
2 2
b b ac
x
a a
− −
= −
se pueden derivar, de las fórmulas anteriores, las siguientes consecuencias:
1 2 ,
b
x x
a
−
+ =
1 2· .
c
x x
a
=
O sea que en toda ecuación cuadrática la suma de sus raíces es
b
a
− y el producto
de ellas es .
c
a
Ejemplo22
En cierta ecuación cuadrática, la suma de sus raíces es 5 y su producto es 6.
Halle la ecuación.
Solución
Como 1 2
b
x x
a
+ = − , se tiene que 5.
b
a
− =

96
Como 1 2· ,
c
x x
a
= se tiene que 6.
c
a
= Por tanto, 6c a= y 5 .b a= −
Si en las expresiones anteriores se toma a = 1, se tiene que 6c = , 5b = − . En
consecuencia, la ecuación es 2
5 6 0.x x− + =
Si a toma otros valores en los reales, se obtendrán otras ecuaciones. La forma
general de estas ecuaciones es 2
5 6 0.ax ax a− + =
Ejemplo23
Encuentre las raíces de las siguientes ecuaciones:
a. 2
3 10 8 0.x x+ − =
Solución
Aplicando la fórmula tenemos:
2 2
4 (10) 4(3)( 8) 100 96 196 0.b ac− = − − = + = >
Por tanto, la ecuación tiene dos raíces reales:
2
1
2
2
4 10 196 4 2
,
2 6 6 3
4 10 196 24
4.
2 6 6
b b ac
x
a
b b ac
x
a
− + − − +
= = = =
− − − − − −
= = = = −
b. 4 2
13 36 0.x x− + =
Solución
Haciendo la sustitución y = x2
se obtiene la ecuación cuadrática 2
13 36 0.y y− + =
2 2
4 ( 13) 4(1)(36) 169 144 25 0.b ac− = − − = − = >
Por tanto, la ecuación obtenida tiene dos raíces reales:
2
1
2
2
4 13 25 18
9,
2 2 2
4 13 25 8
4.
2 2 2
b b ac
y
a
b b ac
y
a
− + − +
= = = =
− − − −
= = = =
Entonces las soluciones de la ecuación original son 1 23, 3,x x= = − 3 2x = y
4 2.x = −

c. 6 3
7 8.x x+ =
Solución
Haciendo la sustitución y = x3
se obtiene la ecuación cuadrática 2
7 8 0.y y+ − =
2 2
4 (7) 4(1)( 8) 49 32 81 0.b ac− = − − = + = >
Por tanto, la ecuación obtenida tiene dos raíces reales:
2
1
2
2
4 7 81 2
1,
2 2 2
4 7 81 16
8.
2 2 2
b b ac
y
a
b b ac
y
a
− + − − +
= = = =
− − − − − −
= = = = −
Entonces las soluciones de la ecuación original son 3
1 1 1x = = y 3
2 8 2.x = − = −
d. 2
4 5 0.x x− + =
Solución
2 2
4 ( 4) 4(1)(5) 16 20 4 0.b ac− = − − = − = − <
Por tanto, la ecuación no tiene raíces reales sino dos raíces complejas conjugadas:
2
1
2
2
4 4 4 4 2
2 ,
2 2 2
4 4 4 4 2
2 .
2 2 2
b b ac i
x i
a
b b ac i
x i
a
− + − + − +
= = = = +
− − − − − −
= = = = −
Ejemplo24
Escriba una ecuación cuadrática cuyas raíces sean 3 y 5.−
Solución
1 2 3 ( 5) 2 ;
b
x x
a
−
+ = + − = − = entonces, 2 .b a=
1 2 3( 5) 15 ;
c
x x
a
= − = − = entonces, 15 .c a= −

98
La ecuación general será
2 2
2 15 ( 2 15) 0.ax ax a a x x+ − = + − =
Tomando a = 1 obtenemos la ecuación
2
2 15 0.x x+ − =
Ejemplo25
Escriba una ecuación cuadrática cuyas raíces sean 2/3 y 1/2.
Solución
1 2
2 1 7
3 2 6
b
x x
a
−
+ = + = = entonces
7
.
6
b a= −
1 2
2 1 1
3 2 3
c
x x
a
= ⋅ = = entonces
1
.
3
c a=
La ecuación general será
2 27 1 7 1
( ) 0.
6 3 6 3
ax ax a a x x− + = − + =
Tomando a = 6 obtenemos la ecuación
2
6 7 2 0.x x− + =
Ejemplo26
Halle el valor de k de modo tal que la suma de las raíces de la siguiente ecuación sea
igual al producto de las mismas:
2
3 2 3 0.x x k− + − =
Solución
Planteando la igualdad entre la suma y el producto de las raíces tenemos:
1 2 1 2
2 3
,
3 3
b c k
x x x x
a a
− −
+ = = = = =
de donde 2 3k= − y por tanto k = 5.

Ejemplo27
Halle el valor de k de modo tal que la suma de las raíces de la siguiente ecuación sea
igual al producto de las mismas:
2
3 ( 2) 2 1 0.x k x k+ + + + =
Solución
Planteando la igualdad entre la suma y el producto de las raíces tenemos:
1 2 1 2
( 2) 2 1
,
3 3
b k c k
x x x x
a a
− − + +
+ = = = = =
de donde 2 2 1k k− − = + y por tanto 1.k = −
Ejemplo28
Encuentre dos números cuya suma sea 21 y su producto 104.
Solución
Sean x1
y x2
los números buscados; entonces 1 2 21x x+ = y 1 2 104.x x = Tomando
a = 1, 1 2 21x x b+ = = − y 1 2 104 ,x x c= = tenemos que estos números son raíces
de la ecuación cuadrática 2
21 104 0.x x− + = Aplicando la fórmula tenemos:
22
1
22
2
21 (21) 4(104)4 21 25 26
13,
2 2 2 2
21 (21) 4(104)4 21 25 16
8.
2 2 2 2
b b ac
x
a
b b ac
x
a
+ −− + − +
= = = = =
− −− − − −
= = = = =
Ejemplo29
La suma de un numero y su recíproco es
13
.
6
Halle el número.
Solución
Sea x el número buscado; entonces:
2
2
13 1
,
6
13 1
,
6
13 6 6,
x
x
x
x
x x
= +
+
=
= +

100
2
6 13 6 0.x x− + =
Las raíces de esta ecuación cuadrática son:
22
1
22
2
13 (13) 4(6)(6)4 13 25 18 3
,
2 12 12 12 2
13 (13) 4(6)(6)4 13 25 8 2
,
2 12 6 12 3
b b ac
x
a
b b ac
x
a
+ −− + − +
= = = = =
− −− − − −
= = = = =
que son los números buscados.
Ejemplo30
Un avión realiza un vuelo entre dos ciudades situadas a 4.992 km una de la otra. Si
el avión aumenta su velocidad en 32 km/h puede hacer el trayecto en 1 hora menos.
¿Cuál es la velocidad del avión?
Solución
Suponiendo que la velocidad del avión es v km/h y realiza el trayecto en t horas,
tenemos entonces que
4.992
.t
v
=
Si al aumentar la velocidad en 32 km/h se demora una hora menos, tenemos la
ecuación
4.992
1 .
32
t
v
− =
+
Por tanto, reemplazando tenemos:
4.992 4.992
1 ,
32v v
− =
+
4.992 4.992
,
32
v
v v
−
=
+
(4.992 )( 32) 4.992 ,v v v− + =
2
2
2
4.992 159.744 32 4.992 ,
159.744 32 0,
32 159.744 0.
v v v v
v v
v v
+ − − =
− − =
+ − =
Las soluciones de esta ecuación cuadrática son:

22
1
22
2
32 (32) 4(1)( 159.744)4 32 640.000 768
384,
2 2 2 2
32 (32) 4(1)( 159.744)4 32 640.000 832
416.
2 2 2 2
b b ac
v
a
b b ac
v
a
− + − −− + − − +
= = = = =
− − − −− − − − − −
= = = = = −
Obviamente la solución buscada es x1
y así la velocidad del avión es de 384 km/h.
Ejemplo31
Dos ciudades A y B se encuentran a una distancia de 490 km una de otra. Dos
ciclistas parten simultáneamente de A y B, cada uno hacia la otra ciudad.Apartir del
sitio donde se cruzan, el ciclista que partió de A demora 9 horas en llegar a B y el que
partió de B demora 16 horas en llegar a A. Encuentre la velocidad de cada ciclista.
Solución
Sea x la distancia desde A al sitio donde se cruzan y t el tiempo en que se cruzan.A
partir de este sitio, el ciclista que salió de Arecorre 490 x− km en 9 horas y el que
partió de B recorre x km en 16 horas. La velocidad de cada ciclista es:
490 490
,
9 16
A B
x x x x
v v
t t
− −
= = = = .
Despejando t e igualando tenemos:
9 16(490 )
.
490
x x
t
x x
−
= =
−
Se obtiene entonces la ecuación cuadrática:
2 2 2
16(490 ) 9 7 15.680 7.840 0x x x x− − = − + =
cuyas raíces son 280 y 1.960. Como x < 490, entonces el punto de encuentro está a
280 km de A y por tanto
490 210 70 280 70
km/h, km/h.
9 9 3 16 16 4
A B
x x
v v
−
= = = = = =
Ejemplo32
Dos obreros A y B trabajando juntos pueden realizar un trabajo de 4 horas. ¿Cuán-
tas horas se necesitan para que cada obrero realice el trabajo por si solo, si el obrero
B requiere 3 horas más de trabajo que el obrero A?

102
Solución
Sea x el número de horas que tarda el obrero A realizando el trabajo por sí solo;
entonces el obrero B tarda x + 3 horas. La velocidad de trabajo de cada obrero por
separado y trabajando juntos es:
1
,AV
x
=
1
,
3
BV
x
=
+
1
.
4
ABV =
Por tanto tenemos que
1 1 1
,
3 4x x
+ =
+
de donde se obtiene la ecuación cuadrática
2
5 12 0.x x− − =
Las raíces de esta ecuación son
5 73
2
±
y la raíz negativa no tiene sentido, así que
el obrero A necesitaría aproximadamente
5 73
6.77
2
+
≈ horas y el obrero Baproxi-
madamente 9.77 horas.

Capítulo 4: Funciones
Ejercicios del capítulo 3 (módulos 6 al 8)
1. Factorice completamente en los enteros:
a. 4
100x − . RTA: 2 2
( 10)( 10).x x− +
b. 2
3 10x x+ − . RTA: ( 5)( 2).x x+ −
c. 4 2
5 6z z+ + . RTA: 2 2
( 3)( 2).z z+ +
d. 2
3 19 14x x+ − . RTA: ( 7)(3 2).x x+ −
e. 5
1a + . RTA: 4 3 2
( 1)( 1).a a a a a+ − + − +
f. 3
18 8x x− . RTA: 2 (3 2)(3 2).x x x− +
g. 4 2
25x x+ + . RTA: 2 2
( 3 5)( 3 5).x x x x− + + +
h. 4
2 16t t− . RTA: 2
2 ( 2)( 2 4).t t t t− + +
2. Factorice en R completamente las siguientes expresiones:
a. ( ).x y a x y− − + +
b. 4 3
1.x x x+ − −
c. ( )
2
1 4.x + −
d. 2
.xy yz xz x+ − −
e. 2
3 10.x x− −
f. 3 2
5 5.x x x− − +
g.
2 2
.
4 2 4
x ax a
− +
h. 2 2
20.x y xy− −
i.
6
1.
64
x
−
j. 5
1.x x+ +
3. Factorice completamente en los reales y en los complejos:
a. 4
100x − . RTA: En los reales 2
( 10)( 10)( 10).x x x− + +
En los complejos ( 10)( 10)( 10)( 10).x x x i x i− + − +
b. 4 3
3 24m mn− . RTA: En los reales 2 2
3 ( 2 )( 2 4 ).m m n m mn n− + +
En los complejos 3 ( 2 )( (1 3) )( (1 3) ) .m m n m i n m i n− + + + −
c. 4 2
5 6z z+ + . RTA: En los reales 2 2
( +3) ( +2) .z z
En los complejos ( 3)( 3)( 2)( 2).z i z i z i z i+ − + −

104
d. 5 3 2
1x x x+ − − . RTA: En los reales 2 2
( 1)( 1)( 1).x x x x− + + +
En los complejos
1 3 1 3
( 1) ( )( ).
2 2
i i
x x x x i x i
⎛ ⎞⎛ ⎞+ −
− + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
e. 4 2
25x x+ + . RTA: En los reales 2 2
( 3 5)( 3 5).x x x x− + + +
En los complejos
3 11 3 11 3 11 3 11
.
2 2 2 2
i i i i
x x x x
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ − + −
− − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
f. 4
2 16t t+ . RTA: En los reales 2
2 ( 2)( 2 4).t t t t− + +
En los complejos 2 ( 2)( 1 3)( 1 3).t t t i t i− + − + +
4. Factorice completamente sobre C los siguientes polinomios:
a. 2 2
6 7 8 .x x y y− − − −
b. 2 2
4 4 4.x y y− + −
c. 7 4 3
16 16.x x x+ − −
d. ( )2
3 9 15 45 .x a b x ab− + +
e. ( )6 3
7 3 .y y xy x y− + +
f. ( )3 3
3 .x y xy x y+ + +
g 2 2
6 6 2 9.x x y y xy− + − + +
h. 2 3
4 2 8 .x x x− + − −
i. 3
7 6.x x− +
j. 2 2
7 7 2 8.x x y y xy+ + − − −
k. 4 2
5 6.x x− +
l.
4 2
5 6.x x− +
5. Encuentre el rango de las siguientes funciones cuadráticas y el punto de máximo o de mínimo según corresponda:
a. 2
( ) 3 6 .f x x x= − RTA: 3,y ≥ 1.x =
b. 2
( ) 5 20 60.f x x x= − − + RTA: 80,y ≤ 2.x = −
c. 2
( ) 7 42 65.f x x x= − − − RTA: 2y ≤ − 3.x = −
d. 2
( ) 2 16 37.f x x x= − + RTA: 5,y ≥ 4.x =
e. 2
( ) 4 28 49.f x x x= − + RTA: 0,y ≥
7
.
2
x =
f. 2
( ) 4 32.f x x x= − − RTA: 36,y ≥ − 2.x =

6. Encuentre el rango de las siguientes funciones cuadráticas:
a. 2
( ) 2 1.P x x x= − −
b. 2
( ) 3 4 .P x x= − −
c. 2
( ) 4 .P x x x= −
d. 2
( ) 2 17.P x x x= − +
e. 2
( ) 3 17 7.P x x x= − +
f. 2
( ) 1.P x x= −
7. Encuentre las raíces de las siguientes ecuaciones:
a. 2
4 4 15 0.x x+ − = RTA: 3 2, 5 2.−
b. 2
10 21 9 0.x x+ + = RTA: 3 2, 3 5.− −
c. 2
36 35 72 .x x+ = RTA: 7 6, 5 6.
d. 3 3
(19 ) 216.x x+ = RTA: 2, 3.−
e. 2
2 15 0.x x− − = RTA:5, 3.−
f. 2
( ) 2 4 .a b x bx a− = + RTA: 2 ( ), 2.a a b+ −
8. Encuentre las raíces de las siguientes ecuaciones:
a. 2
18 9 4 0.x x− + =
b. 2
4 4 0.x x− + =
c. 6 3
4 4 0.x x− + =
d. 4 2
5 6 0.x x− − =
e. 2
17 1 0.x x− + =
f. 4 2
0.ax bx c+ + =
9. Escriba una ecuación cuadrática cuyas raíces sean 4 y 3. RTA: 2
7 12 0.x x− + =
10. Encuentre una ecuación cuadrática tal que la suma de sus raíces sea 2 y el producto sea –3.
11. Escriba una ecuación cuadrática cuyas raíces sean
1 3
.
2
i±
RTA:
2
1 0.x x− + =
12. Si 2
0,x x k− − = encuentre los valores de k para que la ecuación tenga dos soluciones distintas.

106
13. Halle el valor de k de modo tal que la suma de las raíces de las siguientes ecuaciones sea igual al producto de las
mismas.
a. 2
(3 2) 0.x k x k+ − − = RTA: k = 1.
b. 2
( 5) 2( 1) 2 0.k x k x− + − − = RTA: k = 2.
14. Escriba una ecuación cuyas raíces sean el doble de las raíces de la ecuación 2
5 4 0.x x− + =
15. Encuentre dos números cuya suma sea 23 y su producto 132. RTA: 11 y 12.
16. La suma de dos números es 25 y su producto es 136. Encuentre los números.
17. La suma de un número y su recíproco es
26
.
5
Halle el número. RTA: 5 y 1/5.
18. Encuentre los valores de k para que la ecuación 2
x x k− + no tenga raíces reales.
19. Un tren recorre 300 km a velocidad uniforme. Si la velocidad hubiese sido 5 km más por hora, hubiera tardado en el
recorrido 2 horas menos. Halle la velocidad del tren. RTA: 25.
20. Un piloto realiza un vuelo de 600 km. Si aumenta su velocidad en 40 km por hora puede recorrer esa distancia en media
hora menos. ¿Cuál es su velocidad?
21. Un obrero y su hijo pueden realizar un trabajo en 15 días. Después de trabajar juntos 6 días, el hijo trabajando solo
termina el trabajo en 30 días. ¿En cuánto tiempo podría terminar cada uno de ellos trabajando sin ayuda? RTA: el
padre, 3
721 días; el hijo, 50 días.
22. Dos obreros A y B, trabajando juntos, pueden hacer una tarea en
1
7
2
horas. Trabajando solo, A tardaría 8 horas más
que B para hacer dicha tarea. ¿Cuánto tardaría cada uno trabajando solo?
23. El producto de un número de dos dígitos y el número obtenido al intercambiar sus dígitos es 252. Si la diferencia de
los números es 9, encuentre dichos números. RTA: 12 y 21.
24. El producto de un número de dos dígitos y el número obtenido al intercambiar sus dígitos es 736. Si la diferencia de
los números es 9, encuentre los números.
25. Dada la ecuación 2
( 1) 4 0,x k x k+ − + − = halle los valores de k tales que la ecuación tenga:
a. Dos raíces reales iguales. RTA: 3k = − y 5.k = −
b. Una de ellas igual a cero. RTA: k = 4.
26. Dada la ecuación ( )2
8 1 7 0,x k x k− − + − = qué valores debe tomar k para que las raíces sean:
a. Reales e iguales.
b. Recíprocas.
c. Una de ellas 0.

27. Un corredor recorre una carretera con velocidad de 80 km/h a partir de un punto A de la misma. Media hora más tarde
parte de ese punto A otro corredor a 90 km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo y a qué distancia de A se encuentran?
RTA:4h; 360 km.
28. A y B son dos ciudades que están 300 km una de la otra. Si dos trenes parten simultáneamente de A y de B, cada uno
hacia la otra estación, y después de que se encuentran, el tren que salió de A llegó a B en 9 horas, en tanto que el que
salió de B llegó a A en 4 horas, encuentre la velocidad de cada tren.
29. Se construye una caja sin tapa cortando de las esquinas de una hoja de aluminio cuadrados de 3 dm de lado. Si la
longitud de la hoja de aluminio es el doble de su ancho, halle las dimensiones de la hoja que producirá una caja de
60 decímetros cúbicos. RTA: ancho, 8 dm; largo, 16 dm.
30. ¿En cuánto tiempo pueden tres obreros A, B, C realizar una tarea trabajando juntos, si A solo puede hacerlo en 6
horas, B solo en una hora más y C solo en el doble del tiempo de A?
31. Un bote en un río demora 1.6 horas más para recorrer 36 km cuando va en contra de la corriente que de regreso
cuando recorre los mismos 36 km a favor de la corriente. Si la velocidad de la corriente es de 4 km por hora, ¿cuál es
la velocidad del bote en aguas tranquilas? RTA: a favor de la corriente, 2 horas; en contra de la corriente, 3.6 horas.
32. Dos grifos llenan un tanque en 6 horas. ¿Cuánto tiempo necesitará cada grifo para llenarlo solo, sabiendo que uno de
ellos tarda 5 horas más que el otro?
33. Un depósito de gasolina se puede llenar en 4 horas cuando se utilizan dos llaves. ¿Cuántas horas se necesitarán para
que cada llave por si sola llene el depósito, si la llave de menor diámetro requiere 3 horas más que la de mayor
diámetro? RTA: la de mayor diámetro, 6.77 horas, y la de menor diámetro, 9.77 horas.
34. Un avión despega de un portaviones y vuela hacia el occidente durante 2 horas a razón de 600 kilómetros por hora.
Después regresa a 500 km por hora. Mientras tanto, el barco ha viajado hacia el occidente a 30 km por hora. ¿A las
cuántas horas se encontrarán?
35. Un automóvil está viajando a una velocidad desconocida. Si viajara 15 km por hora más rápido se tardaría 90 minutos
menos en recorrer 450 km. ¿Aqué velocidad va el automóvil? RTA: 60 km/h.
36. Un avión vuela de Bogotá a BuenosAires una distancia de 4.200 km. La velocidad del viaje de regreso fue de 100 km
por hora mayor que el de ida. Si el total del viaje tomó 13 horas, ¿cuál fue la velocidad de Bogotá a Buenos Aires?
37. Encuentre dos enteros pares consecutivos cuyo producto sea 168. RTA: 14, 12− − y 12, 14.
38. Una lancha tarda 1 hora más en viajar 24 km contra la corriente de un río que en el viaje de regreso. Si la lancha tiene
una velocidad de 10 km por hora en aguas tranquilas, ¿cuál es la velocidad de la corriente?

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