Boletin 5º MAYO.docx

“Innova Schools”
Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria
1
Colegios “Innova Schools”
Inicial – Primaria - Secundaria
www.innovaschools.
edu.pe
Del Colegio a la
Universidad

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Mes: Mayo 2013
2
Adivina la edad
Puedes adivinar la edad de una persona y el mes en que nació si haces que piense en el
número del mes de nacimiento (enero = 1; febrero = 2; ...) y después le pides que lo multiplique
mentalmente por 2 y le sume 5 al resultado. Después debe multiplicar el resultado que ha obtenido
por 50 y sumarle su edad. Haz que te diga el resultado final de todos estos cálculos y, mentalmente,
réstale 250. El número obtenido tendrá 3 ó 4 cifras. Las dos cifras de la derecha son las de la edad,
y las de la izquierda son el número del mes de nacimiento. ¿Sabrías decir porqué es así?
CAMBIOS DE BASE
1. De una base diferente de 10 a la base 10. Por
descomposición polinómica
Por ejemplo:
a) 57211 a base 10
57211 = 5 × 112 + 7 × 11 + 2   57211 = 684
b) 41325 a base 10
41325 = 4 × 53 + 1 × 52 + 3 × 5 + 2 41325 = 542
2. De la base 10 a una base diferente de 10. Por
divisiones sucesivas.
Por ejemplo:
a) 547 a base 7
 547 = 14117
b) 326 a base 9
 326 = 4029
c) 42 a base 2
 42 = 1010102
* Podemos llevar, gracias a los métodos anteriores, de
base diferente de 10 a base diferente de 10, por
ejemplo:
a) 4379 a base 6
4379 = 4 × 92 + 3 × 9 + 7
4379 = 358
 4379 = 13546
b) 2667 a base 11
2667 = 2 × 72 + 6 × 7 + 6
2667 = 146
 2667 = 12311
547 7
1 78 7
1 11 7
4 1
326 9
2 36 9
0 4
42 2
0 21 2
1 10 2
0 5 2
1 2 2
0 1
358 6
4 59 6
5 9 6
3 1
146 11
3 13 11
2 1
ARITMÉTICA
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 QUINTO GRADO
TEORÍA DE LA NUMERACIÓN II
B' (A A')
 
Ø

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3
1. Calcule “a + b + c”, si:
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
2. Si se cumple que:
Calcule “m + n + p”
a) 24 b) 21 c) 27
d) 30 e) 18
3. Si: , donde: m < 5, calcule
“a + b + c + m + n”.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
4. Si: , calcule “a + b + n”.
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
5. Si: , calcule “a + b + n”.
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
6. Calcule el valor de “a + b + n”, si:
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
7. Si se cumple que:
, donde “m” y “n” son
pares, calcule la suma de “a + b + m + n”.
a) 15 b) 14 c) 13
d) 16 e) 17
8. Si: , calcule “a + m + n + p”.
a) 20 b) 21 c) 22
d) 18 e) 19
9. Calcule “a + b + d”, si:
a) 10 b) 8 c) 7
d) 11 e) 6
10. Halle “mn”, si se cumple que:
a) 8 b) 7 c) 16
d) 15 e) 9
11. Si:  b + c = 7, calcule “a + b - c”.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
12. Exprese el numeral 4257 a base 9. De como respuesta
la suma de sus cifras.
a) 13 b) 14 c) 15
d) 16 e) 17
13. Calcule el valor de: E =
a) 41 b) 42 c) 43
d) 44 e) 45
14. Calcule el valor de “a + n”, si:
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
15. Si: , calcule “b + n”.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
8
bc
aaa 7 
p
44
136
n
33
m
13 m
p
n 


m
n an
bc 
n
9 b
47
2
an 
8
n 3
b
2
5
a
4 
8
n 03
b
16
03
a
54 
7
5 )
1
n
)(
1
m
(
mn
4
abab 


7
q
2
a
4
mnpq 
7
d )
1
b
)(
3
b
)(
3
b
(
a
5
abb 



)
n
2
(
4 5
m
1
n
2
m 
7
6 )
c
2
(
bb
aabc 
16
15
14
13
12 13
11 
4
n a
20
1021 
8
n 143
6
b
3 
PROBLEMAS PARA LA CLASE

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4
1. Si: 8729 = , calcule “a + b + c”.
a) 22 b) 23 c) 24
d) 25 e) 26
2. Exprese en base 5 el menor numeral de 4 cifras de la
base 7. De como respuesta la suma de cifras de mayor
y menor orden.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. Calcule el producto de las cifras del numeral que se
obtiene al expresar en base 4 el menor numeral de
tres cifras significativas de la base 9.
a) 4 b) 10 c) 12
d) 9 e) 8
4. Calcule el valor de “a + n”, si se cumple que:
= 639
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
5. Calcule el valor de “m + n”, si:
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
6. Calcule el valor de “a + b + n”, si:
a) 9 b) 10 c) 11
d) 7 e) 8
7. Calcule el valor de:
E =
a) 33 b) 34 c) 35
d) 36 e) 37
8. Calcule “n - m”, si:
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
9. ¿Cuántos numerales de cuatro cifras del sistema
decimal tienen cuatro cifras en el sistema octanario?
a) 3 960 b) 3 096 c) 2 460
d) 2 096 e) 2 069
10. ¿En cuántos sistemas de numeración el 881 se escribe
con cuatro cifras?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
11. Si:
Halle el valor de “a + b“
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
12. Calcule “a + b + c + d”, si:
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
11
abc
n
a
7
7
m n
20
251 
6
n abn
324 
7
16
15
4
13
2 14
12
11 

m
a
1
b
1
n
b
1 13
a
1 
9
7 4
a
11
aabb 
b
8
d
ccb
aba 9
7 

TAREA DOMICILIARIA

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5
• Introducción
En el presente capítulo abordaremos conceptos y
problemas que fueron tratados por grandes
matemáticos, hace miles de años, tal es el caso de lo
registrado en el papiro de RIND, hallado por este a
fines del siglo pasado, que fue escrito unos 2000 años
antes de nuestra era.
Entre los problemas aritméticos que figuraban en
dicho papiro esta el de "la repartición del pan" que más
adelante se lo planteamos como un desafío.
Por otro lado, la naturaleza nos muestra que muchos
fenómenos pueden ser analizados según su recurrencia
por ejemplo: el cometa Halley es visible desde la tierra
cada 76 años, así también en nuestra vida encontramos
aplicaciones sencillas como:
* Ejemplo inductivo:
Un médico recetó a Esmeralda tomar una pastilla cada
5 días a partir del 7 de marzo y durante dicho mes.
Completa el siguiente esquema:
N° toma : 1° 2° 3° ....
¯  ¯
Día : 7 ... ...
Además:
I. La tercera toma fue el día _______ de marzo.
II. La última toma fue el día _______ de marzo y fue la
________ toma.
III. La diferencia de días entre dos tomas consecutivas
es ______ días.
De este ejemplo se observa que:
i) El conjunto: 7, 12, 17, 22, 27 es un conjunto ordenado
donde a cada elemento llamaremos término.
ii) Cada término tiene un orden designado o número
ordinal el cual guarda una correspondencia con su
respectivo término. Del ejemplo:
primer término : t1 = 7 = 1 ´ 5 + 2
segundo término : t2 = 12 = 2 ´ 5 + 2
tercer término : t3 = 17 = 3 ´ 5 + 2
cuarto término : t4 = 22 = 4 ´ 5 + 2
quinto término : t5 = 27 = 5 ´ 5 + 2
iii) La característica fundamental de este tipo de
conjunto es que: la diferencia de dos términos
consecutivos cualesquiera es siempre un valor
constante que llamaremos razón aritmética (r). Del
ejemplo:
"A un conjunto con esta característica lo llamaremos
progresión aritmética"
• Definición
Una progresión aritmética es un conjunto de números,
ordenados de tal manera que la diferencia de dos
términos consecutivos cualesquiera (el de mayor orden
menos el otro) es siempre una constante llamada valor
de la razón aritmética (r)
Ejemplo:
Según el signo del valor de la razón aritmética, las
progresiones aritméticas pueden ser:
i) Progresión aritmética creciente, cuando la razón es
positiva (r > 0)
ii) Progresión aritmética decreciente, cuando la razón es
negativa (r < 0)
• Cálculo de un término de la P.A. cuyo lugar es “n”.
Se recomienda establecer una correspondencia entre
cada término y su respectivo número ordinal.
* Ejemplo inductivo:
Dada la P.A.: 6, 10, 14, 18,....
Halle:
i) El término de n - esimo lugar (tn)
ii) El término de vigésimo lugar (t20)
Resolución:
t1 t2 t3 t4 t5
+5
razón aritmética:
r = +5
7 12 22
17 27
+5 +5 +5
1° 2° 3° 4° ...... n°
5 8 11 14 3n+2
+3
Término:
N° ordinal:
......
+3 +3
razón aritmética: r = +3
6 , 13 , 20 , 27 , 34 , ....
+7 razón: r = +7
+7 +7 +7
20 , 14 , 8 , 2 , -4 , ....
-6 razón: r = -6
-6 -6 -6
N° ordinal:
Término:
1° 2° 3° 4° .... n°
6 , 10 , 14 , 18 , , tn
....
+4 +4 +4 ....
CONTEO DE NÚMEROS

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6
i) Cada término se deberá expresar en función de su
número ordinal y la razón.
t1 = 6
t2 = 6 + 1(4)
t3 = 6 + 2(4)
t4 = 6 + 3(4)
ii) A partir de "tn" hallaremos "t20", para lo cual: n = 20
(lugar 20)
t20 = 4(20) + 2 = 82
* Ejemplo 2:
Dada la siguiente progresión aritmética, halle el
término enésimo (tn)
Luego:
t1 = 7
t2 = 7 - 1(3)
t3 = 7 - 2(3)
t4 = 7 - 3(3)
tn = 7 - 3(n - 1)
tn = 10 - 3n
En general:
Dada una progresión aritmética, el término de enésimo
lugar (tn) se calcula:
tn = t1 + (n - 1)  r
• Cálculo del número de términos de una P.A.
Problema general.- Dada la siguiente progresión
aritmética finita, calcule el número de términos (n)
Sabemos: tn = t1 + (n - 1) ´ r
Despejando "n" tenemos:
* Observa que para calcular el número de términos "n",
necesitas:
r: razón aritmética
tn: último término
t1: primer término
DESAFÍO
La repartición del pan
Entre cinco personas se repartieron cinco medidas de
trigo, de tal suerte que la segunda recibió más que la
primera tanto como le correspondió a la tercera más que
la segunda, y a la cuarta más que la tercera y a la quinta
más que la cuarta. Además, las dos primeras obtuvieron la
séptima parte de las tres restantes. ¿Cuánto recibió la
tercera?D
E S
 
t = 6 + 9(4)
10
tn = 6 + (n - 1) (4)
tn = 4n + 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
N° ordinal: 1° 2° 3° 4° ... n°
-3
7 , 4 , 1 , -2 tn
razón: r = -3
...
-3 -3
"n" términos
t , t , t , t , .... , tn
1 2 3 4
r r r
1
r
t
t
n 1
n



1
razón
primero
último
términos
# 



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7
1. Halle el vigésimo término de la siguiente P.A.: 43(7);
61(7); 106(7);.... De como respuesta la suma de sus
cifras.
a) 6 b) 12 c) 8
d) 7 e) 5
2. ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A.:
?
a) 27 b) 16 c) 22
d) 20 e) 18
3. En una P.A. decreciente los dos primeros términos de
lugar par son 156 y 168, además el último término de
lugar impar es igual a la razón. Calcule la cantidad de
términos de la P.A., si es un número par.
a) 32 b) 26 c) 40
d) 35 e) 30
4. Halle el tercer término positivo de:
-141, -132, -123, ...
a) 5 b) 9 c) 12
d) 22 e) 21
5. Si la diferencia entre el séptimo y segundo término de
una P.A. es halle la diferencia entre el término de
lugar 37 y el de lugar 25.
a) 132 b) 120 c) 168
d) 48 e) 92
6. ¿Cuántas cifras se utilizarán para escribir todos los
términos de la siguiente P.A.:
43, 51, 59, ..., 1203?
a) 528 b) 456 c) 544
d) 654 e) 356
7. Calcule "a + b + c", si para escribir todos los términos
del siguiente conjunto ordenado: 30, 35, 40,..... ,
se empleó 508 cifras.
a) 16 b) 20 c) 22
d) 18 e) 24
8. ¿Cuántas cifras se han empleado para enumerar las
650 hojas de un libro?
a) 4093 b) 3983 c) 4183
d) 1842 e) 4993
9. ¿Qué lugar ocupa el término central de la siguiente
progresión aritmética:
??
a) 45 b) 37 c) 21
d) 17 e) 19
10. Calcule la suma de cifras del décimo tercer término de
la siguiente P.A.:511(n), ..., 100(n), 52(n), 34(n)
a) 5 b) 11 c) 6
d) 7 e) 8
11. Todos los términos de la siguiente P.A. son de tres
cifras:
Determine cuántos son, si es lo máximo posible.
a) 26 b) 35 c) 64
d) 128 e) 96
12. Dadas las siguientes P.A.:
P.A.1 = 30, 42, 54, ...
P.A.2 = 81, 96, 111, ...
Halle el vigésimo término común y el lugar que ocupa en
la primera P.A.
a) 366; 80 b) 1216; 124
abc
,
....
,
37
,
cd
,
23
,
ab
,
nn
abc
cd
,
b
3
,
52
,
8
a
,
....
,
)
b
a
(
ab 
....
,
dc
)
1
b
(
,
3
ac
,
abc
,
aaa 

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Mes: Mayo 2013
8
c) 1116; 104 d) 1216; 104
e) 1116; 80
A F
1. Halle la fórmula (general) del término enésimo de la
siguiente P.A.: 53, 65, 77,..., tn
a) 50 + 6n b) 37 + 16n c) 17 + 12n
d) 47 + 6n e) 41 + 12n
2. Halle el término de lugar 23 de la siguiente P.A.:
12(5); 23(5); 34(5), .... de como respuesta la suma de
sus cifras.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
3. Halle el mayor término de tres cifras de la siguiente
P.A.: 33, 38, 43, 48, ....
a) 993 b) 999 c) 990
d) 998 e) 988
?
a) 46 b) 82 c) 84
d) 60 e) 72
5. La diferencia entre el quinto y segundo término de una
P.A. es 33, halle la diferencia entre el término de lugar
15 y el de lugar 23.
a) 22 b) 11 c) 40
d) 88 e) 68
6. ¿Cuántas cifras se usan al escribir todos los números
pares entre 48 y 650?
a) 686 b) 587 c) 987
d) 887 e) 885
7. Para escribir todos los números impares desde 67
hasta "N" se han empleado 679 cifras. Halle "N".
a) 479 b) 529 c) 629
d) 849 e) 649
8. ¿Cuántas hojas tiene un libro sabiendo que en la
enumeración de todas ellas se observó que en las 12
últimas se utilizaron 69 cifras?
a) 40 b) 80 c) 56
d) 64 e) 60
9. Halle cuántas cifras se emplearán al escribir todos los
términos de la siguiente progresión aritmética:
a) 156 b) 527 c) 120
d) 180 e) 200
10. Al enumerar las páginas de un libro se han empleado
1353 tipos de imprenta. ¿Cuántos tipos se utilizarían al
enumerar el mismo libro en base 7?
a) 1600 b) 1540 c) 1825
d) 1500 e) 1680
11. Calcule la suma de cifras del antepenúltimo término de
la siguiente P.A.:
si además: c > a
a) 19 b) 9 c) 11
d) 8 e) 13
fff
,
...
,
def
,
aa
,
bc
,
a
8
c
)
1
a
(
d
,
....
,
dd
,
bc
,
9
a
,
1
a 
abc
,
....
,
9
a
,
bb
,
1
a
?
)
p
n
(
pm
,
...
,
mq
,
mp
,
mn 
TAREA DOMICILIARIA

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
9
si además: p + q = 12
a) 98 b) 136 c) 100
d) 128 e) 102
¿Cuáles son las raíces de la ecuación: 2x = x2?
Dos de esas raíces son evidentes: x = 2 Ù x = 4. Mas, trazando los gráficos de las
funciones: y = 2x Ù y = x2, constatamos que hay una raíz negativa, como se ve en la siguiente
figura.
A propósito de esa raíz negativa se pregunta:
1° ¿Es tal raíz un número racional o irracional?
2° ¿Es posible obtenerla por un proceso puramente algebraico?
El problema de determinar las raíces de la ecuación: 2x = x2, ha sido propuesto varias
veces, en diferentes ocasiones. La curiosidad que se suscita tal vez se deba al hecho de que las personas generalmente se
sienten inseguras cuando, para resolver una ecuación, necesitan apelar a los abominables "métodos numéricos".
Estamos condicionados a preferir métodos "algebraicos", fórmulas tales como la de la ecuación de segundo grado, o
artificios específicos para cada ecuación que enfrentamos. Al adoptar este punto de vista, no obstante, estamos olvidando
dos cosas:
a) Una "fórmula cerrada", como la que existe para ecuaciones de 2°, 3° y 4° grado, es muchas veces una victoria ilusoria; ni
siquiera nos da una idea del orden de magnitud de las soluciones.
b) Todo proceso de resolución de una ecuación recae, tarde o temprano, en un cálculo numérico que dará el resultado final,
con la aproximación deseada.
En el caso en cuestión, la raíz negativa de la ecuación: 2x = x2, puede ser obtenida, de modo simple, por el método de las
aproximaciones sucesivas. El resultado es: x = -0,7666646959, con 10 cifras decimales exactas.
ÁLGEBRA
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
16
4
0
y = 2
x
4
2
y = x
2

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Mes: Mayo 2013
10
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
FORMA GENERAL FORMACIÓN DE LA ECUACIÓN
ax + bx + c = 0; a 0
2

depende
suma
se resuelve por
Factorización Fórmula
AB = 0
A=0 B=0
 
x =
1,2
2a
-b b -4ac

2
 = b - 4ac
2
Discriminante
si
 > 0
Raíces reales
diferentes
 = 0
Raíces reales
iguales
 < 0
Raíces
complejas
y conjugadas
 0
Raíces
reales
>
x x
1  2 x = x
1 2 x = m + ni
x = m - ni
m; n IR,
además: i = -1
1
2

producto
Diferencia
se debe tener
Suma = S
- b
a
Producto = P
c
a
donde
x - Sx + P = 0
2
-b
a
c
a

|a|
S = P =

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Mes: Mayo 2013
11
Teorema: (Raíces irracionales conjugadas)
Sea la ecuación: ax2 + bx + c = 0; a  0 de raíces
x1  x2; donde (a, b, c) Q (coeficientes racionales).
Si: x1 = m + , es una raíz irracional, entonces:
x2 = m - , es la otra raíz irracional conjugada.
 C.S. = {m + ; m - }
Teorema : (Raíces complejas conjugadas)
Sea la ecuación: ax2 + bx + c = 0; a  0 de raíces
x1  x2; donde (a, b, c)  IR.
Si: x1 = m + ni, es una raíz compleja, entonces:
x2 = m - ni; es la otra raíz compleja conjugada.
C.S. = {m + ni ; m - ni} m, n  IR
PROPIEDADES
OPERACIONES CON RAÍCES
ECUACIONES CUADRÁTICAS
EQUIVALENTES
suma de inversas si si si las ecuaciones
ax +bx+c = 0 ; a 0
mx +nx+p= 0 ; m 0
2
2


1
x1
+
1
x2
=
x + x
x x
1 2
1 2
suma de cuadrados se cumple
se cumple
tienen
Las mismas raíces
o soluciones
x + x = (x +x ) -2x x
1 2 1 2 1 2
2 2 2
x + x = 0
b = 0
1 2
x x = 1
a = c
1 2
suma de cubos
x + x = (x +x ) -3x x
1 2 1 2 1 2
3 3 3
(x +x
1 2)
suma, producto y diferencia
(x + x ) - (x - x ) = 4x x
1 2 1 2 1 2
2 2
se cumple
b
n
a
m
c
p
= =
1
m
n
n
n n

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
12
1. Hallar “m”, si la ecuación presenta raíz doble.
x
2
- (m + 1)x + 25 = 0
a) 1 b) 2 c) 3
d) 9 e) 10
2. Si la ecuación:
ax
2
+ bx + c = 0
tiene raíces simétricas “x
1
” y “x
2
”, calcular:
M = x
1
2001
+ x
2
2001
a) 1 b) - 1 c) - 2
d) 2 e) 0
3. Calcular la suma de raíces de la ecuación:
x
2
- x +  = 0
 > 0. : Discriminante.
a) 3 b) 2 c) 5
d) - 2 e) F.D.
4. Determinar el valor de “p” para la siguiente ecuación:
x
2
- 6x + 4 + p = 0
sabiendo que la diferencia de sus raíces
es 2.
a) 1 b) - 1 c) 4
d) - 2 e) 0
5. Formar una ecuación de segundo grado que tenga por
una de sus raíces:
a) 8x
2
+ 20x + 9 = 0
b) 16x
2
+ 20x + 9 = 0
c) 8x
2
+ 40x + 9 = 0
d) 16x
2
+ 20x + 18 = 0
e) 8x
2
+ 10x + 18 = 0
6. Formar la ecuación de segundo grado, si tiene por
raíces:
M ±
a) 2x
2
- Mx + 2 = 0
b) 2x
2
- 4Mx + 2 = 0
c) 2x
2
- 2Mx + 1 = 0
d) 2x
2
- 2Mx + 2 = 0
e) 2x
2
- Mx + 1 = 0
7. Indique el mínimo valor entero que puede tomar “a”
para que una de las raíces de la ecuación:
x
2
+ (3 - 2a)x - 6a = 0
sea mayor que 18.
a) 8 b) 9 c) 10
d) 7 e) 11
8. Si “” y “” son raíces de la ecuación:
x
2
- 6x + c = 0
entonces el valor de:
M =
es igual a:
a) 3 b) 6 c) - 6
d) 4 e) - 3
9. Hallar el valor de “k”, en la ecuación:
(k - 1)x
2
- 5x + 3k - 7 = 0
para que una de las raíces de la ecuación sea la inversa
multiplicativa de la otra.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
10. Para que una de las raíces de la ecuación:
ax
2
+ bx + c = 0
sea el triple de la otra, entonces la relación de
coeficientes es:
a) 16b2 = 4ac b) 3b2 = 16ac
c) 16b2 = 3a d) 9b2 = 16ac
e) 3b2 = 16a
11. Sea la ecuación cuadrática: x2 - mx + m - 1 = 0
Indique la diferencia entre el mayor y menor valor de
“m”, si el discriminante es igual a la suma de raíces.
a) 2 b) 3 c) 1
d) 0 e) 4
12. Calcular el valor de “m” no nulo para que una raíz de la
ecuación (1) sea el triple de una raíz de la ecuación (2).
x2 - 11x + m = 0 ... (1)
x2 - 9x + m = 0 ... (2)
a) 12 b) 24 c) 28
d) 26 e) 48
4
5
-
7
1
-
M2
9
c
2
2
2




TAREA DOMICILIARIA

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
13
1. Si la ecuación:
(b + 5)x
2
+ 3bx + b = 0
presenta raíces iguales, hallar “b”.
a) 0 b) - 2 c) 4
d) 8 e) 6
2. Formar una ecuación de segundo grado, sabiendo que
sus raíces son:
a) x
2
- 14x + 49 = 0
b) x
2
- 14x + 45 = 0
c) x
2
- 14x + 47 = 0
d) x
2
+ 14x - 47 = 0
e) x
2
- 14x - 47 = 0
3. Calcular “a/b”, si las ecuaciones:
2ax2 - (8b - 3)x + 18 = 0
x2 + (b + 5)x + 6 = 0
son equivalentes (tienen las mismas raíces).
a) 1/6 b) -3/2 c) -11/8
d) -9/2 e) -2/9
4. Sean “S” y “P” la suma y el producto de raíces de la
ecuación de incógnita “x”:
(k - a)(x2 - x) = -(k + a)
si: S < P; son números consecutivos.
Hallar “k” en función de “a”.
a) - a b) 2a c) a
d) 3a e) 3a/2
5. Los límites hacia los que tienden las raíces de la
ecuación:
(a - 2)x2 - (7a - 2)x + 6a = 0
cuando “a” crece indefinidamente.
a) 1 y 6 b) 2 y 3 c) 1 y 3
d) 2 y 6 e) 2 y 7
6. Para qué valor de "n" las raíces de la ecuación:
son simétricas.
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
7. Si "x
1
" y "x
2
" son las raíces de la ecuación: x
2
- 3x + 1
= 0. Calcular el valor de:
a) 6 b) 19 c) 21
d) 23 e) 25
8. Dada la ecuación: 5x
2
+ 7x + 3 = 0
Determinar la ecuación de segundo grado que tiene por
raíces las inversas de las raíces de la ecuación.
a) x2 + 7x + 5 = 0 b) 2x2 + 7x + 5 = 0
c) 3x2 + 7x + 5 = 0 d) x2 + 2x + 3 = 0
e) x2 + 5x + 7 = 0
9. Si "p" y "q" son las raíces reales de la ecuación:
x
2
+ x - 1 = 0 y la función cuadrática: f
(x)
= x
2
+ ax +
b; se anula para:
Hallar "ab".
a) 6 b) -6 c) 8
d) -8 e) 4
10. En la siguiente ecuación, hallar la suma de raíces.
x(x + 2) + 5 = 3(2 - x) + x
a) 2 b) - 2 c) 4
d) - 4 e) 5
11. Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 10.
(m - 2)x
2
- (m + 5)x + 8 = 0
a) 25 b) 25/9 c) 9/25
d) 1/4 e) 1/25
12. Dada la ecuación:
9x
2
+ 5x + 1 = 0
con raíces “x
1
” y “x
2
”. Calcular “k”, si: 3(x
1
x
2
)
k - 4
= 1
a) 7/12 b) 12/7 c) -7/12
d) 4 e) 9
2
7
x
;
2
7
x 2
1 



1
n
1
n
2
5x
3x
x2





   
1
x
x
1
x
x
M 2
2
2
2
1
1 



p
1
q
x
;
q
1
p
x 2
1 



TALLER N

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
14
1. Resolver la ecuación:
x
2
- 7x + 12 = 0
y dar como respuesta el producto de las raíces
dividido entre la suma de las raíces.
a) 7/12 b) 12/7 c) -7/12
d) -12/7 e) 1
2. En la ecuación:
x
2
+ 6x - m = 0
Hallar “m”, si una raíz es - 2.
a) - 1 b) - 4 c) - 8
d) 6 e) 2
3. Hallar el valor de “k” que hace que la suma de las
raíces de la ecuación:
x
2
+ (k + 2)x - k
2
+ 4 = 0
sea igual al producto de las mismas.
(k < 0)
a) - 3 b) - 2 c) 0
d) - 1 e) 2
4. Cuáles son las raíces de la ecuación: x
2
- 3px + 2p
2
= 0
a) p y - 3p b) - p y p
2
c) p y 2p
2
d) p y 2p e) - p y -2p
5. Si “a” y “b” son las raíces de la ecuación: x
2
- px + 36 =
0. Determinar “p” de modo que:
a) 15 b) 14 c) 13
d) 12 e) 11
6. Hallar el valor de “b” si la ecuación: 5x
2
- bx = 9 tiene
como solución: x = 3
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
12
5
1
1





Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
15
Factorial de un número Z+
Llamamos así al producto que resulta de multiplicar todos
los números enteros y positivos consecutivamente desde
la unidad hasta el número considerado inclusive.
Se lee: factorial de "n" ó "n" factorial.
= 1 . 2 = 2
= 1 . 2 . 3 = 6
= 1 . 2 . 3 . 4 = 24
= 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120
= 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 = 720
= 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 = 5 040
= 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 = 40 320
En general:
= 1 . 2 . 3 . 4 . 5 ..... (n - 3) (n - 2) (n - 1) n
Regla:
- = (n + 3) (n + 2) (n + 1) n(n - 1) ... 3 . 2 . 1
- = 80 . 79 . 78 . 77 ..... 3 . 2 . 1
- = (2n - 6) (2n - 7) (2n - 8) .... 3 . 2 . 1
- = (n - 4) (n - 5) (n - 6) (n - 7) ... 3 . 2 . 1
Observaciones:
1.
2.
3.
Propiedades:
1.
2. Por definición:
Por acuerdo:
3. Si:
Ejemplo:
4. Todo factorial mayor contiene un factorial menor (por
lo menos).
n! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . ..... . (n - 2) (n - 1) (n)
Número combinatorio
Representación del número de combinaciones de "n"
elementos tomados de "k" en "k".
• Definición matemática:
= = = 6
= = = 35
= = = 1 225
n! ó n ó n
2
3
4
5
6
7
8
n
n + 3
80
2n - 6
n - 4
a ± b a b
±
ab a b
a
b
a
b
n
+
0
1 = 1
0 = 1
a = 1 a = 1
a = 0
a = b
2x - 10 = 720
2x - 10 = 6
2x - 10 = 6
x = 8
n! = (n - 1)!n = n - 2 (n - 1) (n)
n + 3 = (n + 3) (n + 2) n + 1
2n + 5 = (2n + 5) (2n + 4) 2n + 3
n
k k n k
n
C ; C ; C
C =
n
k
n
k n - k
; n k
.
4
2
C
4
2 4 - 2
. 2
.
2
24
7
3
C
7
3 . 4
7.6.5 . 4
6 . 4
50
48
C
50
48 . 2
50.49 . 48
48 . 2
FACTORIAL: NÚMERO COMBINATORIO

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
16
• Regla práctica: (k  8)
-
-
-
• Propiedades:
1.
2. Propiedad complementaria:
-
-
-
3. Igualdad:
1ra posibilidad: p = q
2da posibilidad: p + q = n
4. Suma de combinatorios:
-
-
-
5.
• Reglas de degradación
1.
-
-
2.
-
3.
-
C =
n
k
n
k n - k
=
n(n-1)(n-2)....(n-k+1) n - k
1.2.3.......k n - k
. .
35
)
3
)(
2
)(
1
(
)
5
)(
6
)(
7
(
C7
3


6
)
2
)(
1
(
)
3
)(
4
(
C4
2


35
)
4
)(
3
)(
2
)(
1
(
)
4
)(
5
)(
6
)(
7
(
C7
4


n
k
C n Z +
k Z +
0
k n
Cn
k
= Cn
n - k
8
x
6
8
x
)
2
x
(
)
8
x
(
8
x
2
x
C
C
C 








225
1
)
2
)(
1
(
)
49
)(
50
(
C
C 50
2
50
48 


Cn
n
= Cn
0
= 1
3
3
10
0
7
0
C
C
1
C 


Cn
p
= Cn
q
Cn
k
+ Cn
k + 1
= Cn + 1
k + 1
11
7
10
7
10
6
C
C
C 

17
x
2
x
16
x
1
x
16
x
2
x
C
C
C 







12
5
11
4
10
3
9
2
8
1
7
0
C
C
C
C
C
C
S 





C
8
0 + C
8
1
C
9
1 + C
9
2
C
10
2 + C
10
3
C
11
3 + C
11
4
C
12
4 + C
12
5
C13
5
C
n
1 = n
1
n
1
k
n
k
C
k
n
C 


8
1
9
2
10
3
C
.
2
9
.
3
10
C
.
3
10
C 

4
x
1
x
5
x
2
x
C
.
2
x
5
x
C 


 


n
1
k
n
k
C
.
k
1
k
n
C 



7
x
1
x
7
x
1
x
7
x
2
x
C
2
x
6
C
.
2
x
1
)
2
x
(
)
7
x
(
C 




 







1
n
k
n
k
C
.
k
n
n
C 


6
3
6
3
7
3
C
.
4
7
C
.
3
7
7
C 



Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
17
1. Resolver:
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
2. Simplificar:
a) 16 b) 18 c) 14
d) 15 e) 10
3. Calcular "n", si:
a) 24 b) 5 c) 4
d) 3 e) 2
4. Sabiendo que:
Simplificar:
a) 0,5 b) 0,6 c) 0,75
d) 0,3 e) 0,2
5. Calcular:
a) 2005 b) 2006 c) 2007
d) 2008 e) 2009
6. Hallar "n":
a) 20 b) 21 c) 28
d) 24 e) 22
7. Hallar "x":
1 + 2.2! + 3.3! + ... + x.x! = 719
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
8. Calcular la suma:
a) b) c)
d) e)
9. Determinar "m" a partir de:
a) 80 b) 81 c) 82
d) 83 e) 84
10. Resolver:
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
11. Si:
calcular “m + n”
a) 5 b) 6 c) 10
d) 8 e) 9
a) 11 b) 10 c) 9
d) 7 e) 8
13. Indicar el producto de las soluciones de:
a) 42 b) 72 c) 108
d) 90 e) 84
14. Calcular "x", si:
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 10
15. Hallar un valor de "m + n + p" en:
a) 29 b) 52 c) 56
d) 49 e) 0
    
n+2 n+2 n+2 n+2
0 1 2 n+2
C C C ... C 2048





 

















!
36
!
35
!
34
!
70
!
69
!
71
!
7
!
6
!
8
!
7
!
6
P
5
9
4
!
n
)
3
!
n
(
!
n



b
a
4
b
1
a
1



)!
1
!
b
(
!
b
)!
!
b
(
3
)!
1
!
a
(
!
a
)!
!
a
(
2
E





  
2006 2006 2006 2006
0 1 2 2004
C C C C
21
n
2
21
21
n
2
22
n
21
2
n
21
1
n
22
2
n
20
C
C
C
C
C
C 









1
n
C
......
3
C
2
C
1
C
S
n
n
n
2
n
1
n
0






1
n
2 1
n


1
n
1
2 1
n



n
1
2 1
n


1
n
1
2n


1
n
1
2 1
n



!
80
!
81
!
81
!
82
1
m
m2




23
!
x
!
)
1
x
(
!
x
!
)
1
x
(
2
!
x
x 











,
14
)
!
m
(
)
n
(
!
8

3
n
1
n
5
n
1
n C
7
C 


 
x
14
x
2
x
4 C
C 

3
x
5
2
x
8
x
7
x
6
x
5 C
C
C
C
2
C 





1
C
C
....
C
C
C 29
p
sumandos
"
n
"
m
9
12
9
11
9
10
9 









 




 


Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
18
1. Simplificar:
a) 840 b) 870 c) 890
d) 860 e) 820
2. Reducir:
a) 60/65 b) 61/65 c) 50/61
d) 61/67 e) 100/51
3. Simplificar:
a) 17 b) 18 c) 19
d) 20 e) 21
4. Reducir:
a) 1 b) 2 c) 35/3
d) 35/6 e) 1/8
5. Hallar la suma de soluciones de la ecuación:
a) 3/4 b) 1 c) 7/4
d) -1/4 e) 1/8
6. Resolver la ecuación, hallando el número de soluciones:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 7
7. Calcular:
a) 400 b) 100 c) 45
d) 504 e) 506
8. Calcular el valor de "n"
a) 5 b) 6 c) 7
d) a o b e) a y b
9. Calcular un valor para "n + p", en:
a) 4 b) 6 c) 10
d) 14 e) 20
10. Calcular "x" en:
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
11. Resolver:
y calcular: x2 + x + 1
a) 31 b) 111 c) 421
d) 73 e) 562
3.3! + 4.4! + 5.5! + ... + n2.n2 ! = 145 ! - 6
a) 10 b) 12 c) 14
d) 8 e) 16
13. Si:
Determinar:
a) 6 b) 8 c) 15
d) 48 e) 105
14. Reducir:
a) 380 b) 385 c) 386
d) 387 e) 400
15. Hallar "n", en:
a) 1 b) 6 c) 12
d) 13 e) 14
!
28
!
30
S 
Q =
12 + 14
13 + 14
S =
15 + 16 + 17
15 + 16
+
(3!)!
6!
6! + 5!
5! + 4!
0
4x - 3 = 1
x - x = 720
2
M =
400
399
+
100
99
+
4
3
   
8 8 9 10 11
2 3 4 5 n
C C C C C
n
2
p
10
n
2
2
p
C
C 


8
5
8
2
C
C
2
x
2
2
x
x
2
x
2
x
2
1
x
1
x
0 C
21
11
C
...
C
C
C 


























1
n
76
11
n
77
3
!
!
3
n
...
!
7
!
8
!
9
!
8
!
9
!
10
!
9
!
10
!
11
M 






78
C
nC
....
C
C
4
C
C
3
C
C
2
1
C
n
1
n
n
n
n
3
n
4
n
2
n
3
n
1
n
2
n
1






TAREA DOMICILIARIA

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
19
1. Simplificar:
a) 80 b) 100 c) 110
d) 200 e) 300
2. Calcular "a" de:
a) 4 b) 5 c) 3
d) 2 e) 6
3. Reducir:
a) b) c)
d) e)
4. Calcular "n", en:
= 1024
a) 6 b) 52 c) 4
d) 3 e) 8
5. Calcular "x", en:
a) 2 b) 3 c) 1
d) 5 e) 4
6. Reducir:
a) 380 b) 385 c) 386
d) 387 e) 400
  
  
  
9! + 8! 10! + 9!
8! 9!
16
)!
2
a
(
)!
2
a
(
)!
1
a
(
!
a






13
4
12
3
11
2
10
1
8
0 C
C
C
C
C 



6
0
C 14
4
C 13
3
C
13
5
C
14
5
C
4
n
4
n
4
n
3
4
n
2
4
n
1
4
n
0 C
....
C
C
C
C 










x = 3! + 3! + 3! + ...
...
!
7
!
8
!
9
!
8
!
9
!
10
!
9
!
10
!
11
M 






TALLER Nº 02

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
20
Trapecio
________________________________________
________________________________________
Tipos de Trapecio
Propiedades del Trapecio:
1. Mediana o Base Media
2. Segmento que une los puntos medios de las
diagonales
3. Cualquier Trapecio
4. Trapecio Isósceles
 




h
A
B C
D
BC : Base Menor
AD : Base Mayor
h : Altura
BC // AD
 
 
+ = 180°
+ = 180°
 
 
Trapecio Escaleno Trapecio Isósceles
Trapecio Rectángulo
a
b
M N MN = a + b
2
a
b - a
2
PQ =
P Q
b
a
M N MP = QN = a
2
P Q
a
a + b
2
AH = MN =
b
A D
H
b - a
2
HD = PQ =
M N
P Q
GEOMETRÍA
CUADRILÁTEROS

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
21
1. En un paralelogramo ABCD se construyen exterior-
mente los triángulos equiláteros ABM y BCN. Por “M”
se traza la perpendicular MH a . Si: m<NDC =
40°; hallar: m<HMB.
A. 10° B. 15° C. 20°
D. 30° E. 12°
2. Hallar la base menor de un trapecio, si la diferencia
de la mediana y el segmento que une los puntos
medios de las diagonales es igual a 10 m.
A. 5 m B. 10 C. 20
D. 2,5 E. 15
3. En la figura ABCD y APQR son cuadrados, AB = 4 cm
y CR = 11 cm. Hallar “PD”.
A. 10 B. 17 C. 15
D. 13 E. 20
4. Calcular “a”, si PQRS es un cuadrado.
A. 18° B. 30° C. 20°
D. 24° E. 45°
5. Se tiene un paralelogramo ABCD en el cual la
bisectriz interior del ángulo "B" corta en "F" a .
Hallar la longitud del segmento que une los puntos
medios de y , si: CD = 10 m.
A. 5 m B. 6 C. 8
D. 9 E. 10
6. En un trapecio ABCD ( ). Calcular el
segmento que une los puntos medios de las bases, si:
m <A = 48°; m <D = 42°. Además: AD - BC = 18 m.
A. 4 m B. 4,5 C. 6
D. 8 E. 9
7. En un rectángulo ABCD por un punto “P” de la
diagonal BD se prolonga hasta un punto “M” de
modo que: PM = PC. Además: BD = 20 m y BP = 6 m,
hallar “AM”.
A. 6 m B. 8 C. 9
D. 10 E. 12
8. Calcular la mediana de un trapecio cuyas diagonales
son perpendiculares y miden 18 y 24 m.
A. 12 B. 13 C. 14
D. 15 E. 18
9. En la figura, ABCD es un rombo y ABE es un
triángulo equilátero. Calcular “x”.
A. 30° B. 45° C. 53°
D. 60° E. 90°
10. Las mediatrices de AD y CD de un paralelogramo
ABCD se intersectan en "M" que pertenece a BC.
Hallar m<MAD, si m<B = 110°.
A. 30° B. 40° C. 45°
D. 50° E. 60°
11. Calcular “x”, si ABCD y BEFG son cuadrados
congruentes. Además: AM = MD.
A. 6° B. 8° C. 12°
D. 16° E. 20°
ND
A
P Q
R
B
C
D
A
Q R
S
2

P
B
2
AD
CF BD
BC
//
AD
CP
D
A
E
B
C
x 2

D
C
A
B
E
G
F
x
M

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
22
1. En un trapezoide ABCD, la diferencia de dos ángulos
opuestos es 80°. Hallar la medida del ángulo que
forman las bisectrices de los otros dos ángulos.
A. 80° B. 120° C. 60°
D. 160° E. 140°
2. En un cuadrado ABCD cuyo perímetro es 48 cm se
dibuja el triángulo equilátero AMD interior. Calcular
la distancia desde el vértice “A” hacia la
prolongación de .
A. cm B. 3 C.
D. E.
3. En un trapecio rectángulo ABCD ( = = 90°) se
trazan las bisectrices exteriores de los ángulos “C” y
“D” las cuales se intersectan en “P”. Hallar la
distancia desde “P” hacia , si: BC=3cm; AD=6cm y
CD=5 cm
A. 6 cm B. 9 C. 7
D. 8 E. 12
4. Del gráfico, hallar “FD”, si: DE = 8 y FG = 12
A. 16 B. 18 C. 24
D. 20 E. 32
5. Hallar “x”, si ABCD es un cuadrado.
A. 45° B. 37° C. 60°
D. 53° E. 75°
6. Hallar: m<BEF, si ABCD es un cuadrado y BF = 3 AF.
A. 30° B. 37° C. 53°
D. 45° E. 60°
11. Si: AD = 6 cm y CH = 2 cm, hallar “”
A. 15° B. 30° C. 36°
D. 22°30’ E. 26°30’
12. Si ABCD es un romboide, hallar “BF” sabiendo que
BC = 7 cm y CD = 5 cm.
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 2,5
13. Si ABCD es un paralelogramo, PQ = 12 cm y EF = 17
cm, hallar “EL”.
A. 5 B. 7 D. 8
D. 9 E. 10
14. Si: // y ABCD es un trapecio isósceles,
hallar “AD”. Además: EC = 5 m
A. 8 m B. 10 C. 15
D. 20 E. 30
15. Hallar “x”, si: AB + BC = CD.
A. 10° B. 30° C. 37°
D. 45° E. 53°
CM
3 2 6 2
3 3 4 2
A B
AB
B
D
A H C
F
G
E
A
B C
D
x
x
A
B C
D
F
E
A
B C
D
H


C
D
B
A
F


C
D
B
A
P

L

E
Q
F
BC AD
A
B C
D
E 30°
30°
A
B C
D
x
2

TAREA DOMICILIARIA

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
23
1. En la figura mostrada, calcular “”, si: AD = 5 m y
DC = 3 m.
A. 37° B. 60° C. 53°
D. 45° E. 30°
2. Hallar “”, si la recta “L” es mediatriz de y AB
= BC.
A. 80° B. 40° C. 70°
D. 60° E. 50°
3. Calcular “x”, si: a + b = 220° y CN = MN.
A. 110° B. 120° C. 130°
D. 140° E. 150°
4. Calcular “x” en la figura, si: AB = EC y AC = CD.
A. 30° B. 20° C. 24°
D. 28° E. 32°
5. Si: AB = BP, AD = PC y m<BCD = m<BDC, calcular “x“.
A. 15° B. 16° C. 17°
D. 18° E. 20°
6. En la figura, calcular “x”, si: AB = CD y 
A. 100° B. 135° C. 105°
D. 150° E. 120°
7. En un triángulo ABC se traza la mediana BM y la
perpendicular a dicha mediana de tal manera
que: BP = 2PM y m<PAC = 37°. Calcular: m<ACB.
A. 30° B. 60° C. 37º/2
D. 69º/2 E. 53º/2
8. En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en “C”, se
traza la mediana CM de tal manera que CM = 5 m,
BC = 8 m y AC = 6 m. Calcular: m<ACM.
A. 15° B. 30° C. 37°
D. 45° E. 53°
9. En un triángulo ABC, se traza la mediana AM y la
altura BH que biseca a dicha mediana en el punto
“O”. Calcular “OH”, si: BH = 16 m.
A. 2 m B. 3 C. 4
D. 6 E. 8
10. Se tiene el triángulo equilátero ABC, exteriormente
al lado BC se ubica el punto "E"; interiormente se
ubica el punto "D" tal que el triángulo CDE es
equilátero. Calcular m<DEB, si m<ADC = 100°
A. 30° B. 40° C. 50°
D. 60° E. 45°
A 
B
C
D

AD
A
B C
D
60°

L
A
B
C


N
M
x
b
a
A
B
C
D
40°
5x
E
A
B
C
D
4x
3x
P
A
B C

D

x
AP
REPASO DE TRIÁNGULOS.

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
24
1. Según el gráfico, calcular “”, si: AD = 2DC.
A. 15° B. 18°30' C. 30°
D. 37° E. 24°
2. Hallar “x” en la figura.
A. 10° B. 15° C. 20°
D. 25° E. 40°
3. Hallar: AB + BC, si: AP = 3 m; PR = 10 m; RC = 12 m;
m<BAC = 2mÐQBR y m<ACB = 2m<PBQ.
A. 28° B. 30° C. 32°
D. 35° E. 36°
4. Hallar ” de la figura mostrada.
A. 20° B. 30° C. 40°
D. 50° E. 45°
5. Los catetos de un triángulo rectángulo ABC miden
AB = 8 m y BC = 15 m. Se traza la altura BH y las
bisectrices BP y BQ de los ángulos ABH y HBC
respectivamente. Hallar “PQ”.
A. 2 m B. 3 C. 6
D. 8 E. 9
6. Calcular “x”, si es bisectriz exterior del DABC.
Además: a - b = 80°.
A. 20° B. 30° C. 40°
D. 60° E. 80°
7. Según la figura mostrada, calcular: x + y.
A. 180° B. 190° C. 120°
D. 200° E. 210°
8. Hallar “x” en la figura, si: m<BCA + 2m<ABD = 140°.
A. 30° B. 34° C. 44°
D. 40° E. 64°
9. En la figura, MP = 2BQ. Hallar: m<QBC.
A. 30° B. 40° C. 60°
D. 50° E. 53°
A C
B

2
D
P


A C
B
Q
P
40°


x
3

A C
B
P Q R

A C
B




3 2
CD
A
B
C

D
 x
A
B
C


x
30°
y
y
A
B
C

D
P
60°

3
2
x
A
B
C
P
3


M
Q
15°
TAREA DOMICILIARIA

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
25
1. En la figura mostrada, calcular: mBAC, si: PQ =
2BH.
A. 15° B. 20° C. 30°
D. 40° E. 60°
2. En un triángulo ABC, mA = 2mC = 40°, se traza la
ceviana BF tal que: AB = FC. Calcular: mBFC.
A. 120° B. 150° C. 130°
D. 110° E. 140°
3. En un triángulo ABC, mBCA = 2mBAC. Se toma el
punto medio “R” de y se traza la paralela a
(“P” exterior relativo a ) tal que: PC = BR =
AR. Hallar “PR”, si: BC = 6 m y AC = 2 m.
A. 1 m B. 2 C. 3
D. 1/2 E. 3/2
4. En un triángulo ABC se traza la ceviana BL tal que:
mABC = mBLC = 150°. Luego se traza la bisectriz
interior CF. Calcular la distancia desde “F” a , si:
BC = 8 m y LC = 6 m.
A. 1 m B. 2 C. 3
D. 1/2 E. 3/2
5. En un triángulo rectángulo ABC recto en “B”, la
prolongación de la bisectriz interior y la mediatriz
relativas a forman un ángulo cuya medida es la
mitad del ángulo BCA. Calcular: m BAC.
A. 10° B. 30° C. 60°
D. 15° E. 25°
6. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior BP
y en se ubica el punto “Q” de modo que:
mPQC = 2mABP y mBPQ = mPCQ. Calcular:
mABP, además: AB = BP.
A. 18° B. 30° C. 36°
D. 60° E. 72°
A
B
C
P
Q
H
50°
x
AB RP
AC AB
BL
AC
BC
TALLER DE APRENDIZAJE

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
26
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE ÁNGULO NOTABLES: Son aquellos triángulos rectángulos en los cuales
conociendo las medidas de sus ángulos agudos se puede establecer la proporción en la que se encuentran los lados de
dicho triángulo. Los más usados son:
Además:
1. Razones Recíprocas o Inversas
2. Razones de Ángulos Complementarios (CO - razones)
45º
a
a
a 2
5b
4b
3b
37º 30º
c
2c
c 3
45º 53º 60º
3
3
2
4
5
2
3
5
2
csc
2
3
5
2
4
5
3
3
2
sec
3
3
4
3
1
3
4
3
ctg
3
3
4
1
4
3
3
3
tg
2
1
5
3
2
2
5
4
2
3
cos
2
3
5
4
2
2
5
3
2
1
sen
º
60
º
53
º
45
º
37
º
30
iguales
Ángulos
1
x
sec
x
os
c
1
x
csc
x
sen
1
x
ctg
x
tan






º
90
csc
sec
cos
sen
ctg
tg













TRIGONOMETRÍA
NIVEL: SECUNDARIA QUINTO GRADO
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN
ÁNGULO AGUDO II

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
27
01. Calcular:
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
02.AB = BC y además AN y BM son bisectrices de los
ángulos BAC y ABC respectivamente. Si :
.
Entonces el valor de "x" es:
a) 150º b) 120º c) 135º
d) 105º e) 127º
03.Hallar : " " si :
a) 22º b) 52º 30' c) 32º
d) 42º 30' e) 62º
04.Si en el gráfico : AB = BC.
Calcule : .
a) 2/9 b) 4/9 c) 2/3
d) 1/3 e) 2/5
05.Del gráfico, obtener : .
a) 4/3 b) 3/4 c) 5/4
d) 2/3 e) 4/5
06.Del gráfico, calcular:
Si : ABCD : cuadrado.
a) 6 b) 12 c) 9
d) 18 e) 14
07.En el paralelogramo ABCD, calcular el valor de :
.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
08.Del gráfico. Calcular : "tg ", si el triángulo ABC es
equilátero.
a)
√3
2
b)
√3
3
c)
√3
4
d)
√3
5
e)
√3
6
º
60
tan
3
º
45
sec
º
37
sen
5
Q 2
2 


3
)
(
Tan 



N
A
B
C
M

x


º
45
tan
2
º
30
sen
2
)
tan( 




1
º
60
tan
)
sec( 2 





Tan
A
B
C
 53º
M

Tan
M
37º
A
B
O


Cot
A
B C
D
37º




 Tan
13
Cot
9
W
45º
53º

A
B C
D

B
C
A

2
3

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
28
01. Del gráfico. Halle "ctg x".
a) √3 + 1 b) √3 + 2 c) √3 + 3
d) √3 + 4 e) 2√3 - 1
02.Del gráfico.
Calcular : .
a) 9/4 b) 7/4 c) 5/4
d) 6/5 e) 3/10
03.Calcular "x" si :
sec (3x - 5º) = csc (x + 15º)
a) 5º b) 10º c) 15º
d) 20º e) 25º
04.Si : tg 7x = ctg 2x.
Calcular :
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
05.Si : sen 3x . csc (70º - 2x) = 1
Calcular : x + 20º
a) 14º b) 34º c) 28º
c) 36º e) 40º
06.Calcular "x" si :
tg (3x - 10º) . tg 25º = 1
a) 5º b) 10º c) 15º
d) 20º e) 5º
07.Si : sen 7x = cos 4x
Calcular :
a) 1 b) 2 c) 0
d) -1 e) -2
08.Si : sec (m - 10º) = csc (n + 10º)
Calcular :
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
09.Si : sen 3x . csc (40º - x) = 1
Calcular :
E = tg x . tg 2x . tg 3x ...... tg 8x
a) 1 b) 2 c) 3
d) e) 3
10. Si :
𝑋
3
=
𝑌
4
Además : sen (2x + y) = cos 2y
Calcular : E = 5x + 3y
a)
2𝜋
3
b)
3𝜋
4
c)
4𝜋
5
d)
5𝜋
6
e)
6𝜋
7
11. UNMSM (2002)
Sea :
(cos 17º + 5 sen 73º) . sec17º = 4 tg a
0º < < 90º. Hallar e valor de :
M = sen  + 5 cos 

a)
3
2
√13 b)
2
3
√13 c) 2√13
d)
4
3
√13 e) √13
12. Indicar el mayor valor que toma "tg x".
Si:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
37º
30º
x


 sen
4
-
cos
3
J
A
B
O

37º
3x
sen
4
tg6x
3
E 

x
8
ctg
x
3
tg
x
10
csc
x
cos
E 







 






 

3
n
m
csc
2
n
m
tg
E
3 3





 







 
 x
ctg
5
csc
x
tg
5
sec
TAREA DOMICILIARIA

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
29
* CÁLCULO DE LADOS : Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados faltantes de un triángulo
rectángulo en términos de un lado que sí se conoce; y de un ángulo agudo que también se conoce.
Criterio :
Casos :
1.
2.
3.
* SUPERFICIE DE UN TRIÁNGULO : La superficie de un triángulo se puede calcular como el semiproducto de las
medidas de dos de sus lados, multiplicados por el Seno del ángulo que forman dichos lados.
conocido)
.(
T
.
R
conocido
Lado
o
desconocid
Lado 


A B
C
L



 BC
Tan
L
BC


 AC
L
AC
I)
II)

A B
C
L



 AB
Cot
L
AB


 AC
L
AC
I)
II)

A B
C
L 


 BC
Sen
L
BC



L
AB
I)
II)
a
b
c
A
B
C
h
2
h
b
SABC


2
aSenC
b
SABC


Sabemos :
pero : h = aSenC
luego :
SenC
2
ab
SABC

SenB
2
ac
SABC
 SenA
2
bc
SABC

Análogamente :
TRIGONOMETRÍA
RESOLUICIÓN DE TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS

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Mes: Mayo 2013
30
01. Del gráfico, determine "x".
a) b) c)
d) e)
02.Determinar .
a)
b)
c)
d)
e)
03.Del gráfico, hallar "x".
a) b)
c) d)
e)
04.Determine "x" en :
a) b)
c) d)
e)
05.Determine "x" en :
a) b) c)
d) e)
06.Si ABCD es un cuadrado, determine "x".
a)
b)
c)
d)
e)
07.Del gráfico, hallar "x".
a) b)
c) d)
e)

m
x

Sen
m 
Cos
m 
Sec
m

Csc
m 
 Tan
m
CD


A
B
C D
m


 Sen
mTan


 Cos
mCtg


 Cos
mTan


 Csc
mTan


 Sen
mCtg

m
45°
x
1
Tan
m

 1
Ctg
m



 Ctg
1
m

 Tan
1
m
)
Tan
1
(
m 



m x



 Sen
Sen
m 


 Cos
Sen
m



 Sec
Sen
m 


 Sec
Cos
m



 Sen
Cos
m

m
x

 2
Sec
m 
 2
Cos
m 
 2
Sen
m

 2
Csc
m 


 Csc
Sec
m
A
B
C
D
x
L


 2
Sen
L

 2
Cos
L
)
Cos
Sen
(
L 






 Cos
Sen
L 2



 2
Cos
Sen
L
m
x


)
1
Sec
(
m 2


 )
1
Csc
(
m 2



)
1
Tan
(
m 2


 )
1
Ctg
(
m 2



)
Ctg
Tan
(
m 2
2





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Universidad
Mes: Mayo 2013
31
01. Del gráfico, hallar "x", si ABCD es un cuadrado.
a) b) c)
d) e)
02.Del gráfico, hallar : ED
a) b) c)
d) e)
03.En la figura : ABCD es un rectángulo inscrito en la
circunferencia de centro O, ; ,
AB=a.
Hallar el radio de la circunferencia.
a) b) c)
d) e)
04.Hallar el área del triángulo mostrado :
a) b) c)
d) e)
05.Del acuerdo al gráfico, determine "x" en función de los
datos indicados.
a) L cos  + d + (L sen  + h) ctg 
b) L cos  + d + (L sen  + h) tg 
c) L sen  + d + (L sen  + h) ctg 
d) L sec  + d + (L sen  + h) tg 
e) L csc  + d + (L sen  + h) tg 
06.Un aro de diámetro "D" es visto por un niño bajo un
ángulo "2". ¿Cuál es la mínima distancia del ojo del
niño al aro?
a) b)
c) d)
e)
07.Desde un punto en tierra ubicado a una distancia "d"
de la base de un árbol, se divisa su parte más alta con
un ángulo de elevación "". El árbol es cortado a una
altura "h" de su base; y al caer su punta forma con el
suelo un ángulo "".
Hallar : .
a) b)
c) d)
e)
08.Del gráfico. Hallar :
a) b) c)
d) e)

n
A B
C
D
x

nSen 
nCos 
Csc
nTan

nCsc 
 Cos
.
nCtg

A B
C
D
E m


mCtg 
mSec 
2
mSec

2
mCtg 
2
mTan


ARD AB
//
RS
O
A
B C
D
S
R

 Cos
2
a 
Cos
2
a

Sen
2
a

aSen

 Cos
2
1
a
2a 

Cot
a 2 
Cot
a
2 2 
Tan
a2

Tan
a
2 2 
Tan
a
x
L

d
h 
)
1
(csc
D 
 )
1
(sec
D 

)
1
(csc
2
D 
 )
1
(sec
2
D 

)
sen
1
(
2
D 

h
d


 tg
)
1
(sec 

 tg
)
1
(csc


 ctg
)
1
(sec 

 ctg
)
1
(csc


 tg
)
1
(csc





tg
tg
tg
J

B
P
S
Q
H
A C



5
cos 
4
cos 
3
cos

2
cos 
cos
TAREA DOMICILIARIA

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
32
1. En un triángulo rectángulo ABC se sabe que
: . Se traza la mediatriz de
que corta a en "M" y a en P. Si : PM =n, halle
la longitud de AB en función de los datos.
a) n cos  b) n sen  c) 2n tg 
d) 2n ctg e) 2n cos 
2. Hallar el perímetro del triángulo mostrado:
a) b)
c) d)
e)
3. La siguiente figura es un cuadrado, donde Q es punto
medio del lado AB.
Determine : .
a) 2 b) 5/4 c) 3
d) 4 e) 2√5
4. En la figura, hallar "x"
a)
b)
c)
d)
e)
5. En la figura mostrada. ¿A qué distancia se encuentra
el globo respecto del lago?
a) b)
c) d)
e)
)
º
90
B̂
( 


A
Ĉ
B )
º
45
( 
 AC
AC BC

a
)
Sen
1
(
a 
 )
Cos
1
(
a 

)
Sen
1
(
a
2 
 )
Cos
1
(
a
2 

)
Tan
1
(
a 


Csc

A B
C D
Q

k
x


 Sen
kSec5


 Tan
kSec
6


 7
Sec
kCtg



6
Cos
kTan


 Cos
kSec5
H
Lago
Imagen
Globo


2
HCos 
2
HSen

2
HSec 
2
HCsc

2
HCtg

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
33
El MÉTODO INDUCTIVO crea leyes a partir de la observación de los hechos, mediante la generalización del
comportamiento observado; en realidad, lo que realiza es una especie de generalización, sin que por medio de la lógica pueda
conseguir una demostración de las citadas leyes o conjunto de conclusiones. Estas conclusiones podrían ser falsas y, al mismo
tiempo, la aplicación parcial efectuada de la lógica podría mantener su validez; por eso, el método inductivo necesita una
condición adicional, su aplicación se considera válida mientras no se encuentre ningún caso que no cumpla el modelo propuesto.
Ejemplo 1 : ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?
Resolución : Analizando por partes, tenemos :
Caso 1 Caso 2
Caso 3
En el problema :
Caso
1
Caso
2
Caso
3
Caso
General
Casos Particulares
Razonamiento Inductivo
1
2
3
18
19
20
1
1 triángulo = 12
1 4 triángulos = 22
2
1
9 triángulos = 32
2
3
1
2
3
18
19
20
20 = 400 triángulos
2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
MÉTODO INDUCTIVO I

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
34
Ejemplo 2 : Hallar la suma de las cifras del resultado de :
Resolución : Analizando por partes, tenemos :
Ejemplo 3 : Calcular :
Resolución :
Ejemplo 4 : ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "SEBASTIÁN"?
Resolución : Cuando la palabra tiene :
2
cifras
101
5)
(999....99
E 






7 = 907
9
100
)
5
99
...
999
(
7
9
4
9999000025
5
9999
7
9
3
99900025
5
999
7
9
2
990025
5
99
7
9
1
9025
5
9
2
cifras
100
2
2
2
2























Resultado Suma de cifras
Cantidad de cifras "9"



 



 

sumandos
40
......
16
8
4
2
1
R 










1
3
2
4
2
1
R
;
sumandos
3




1
2
2
1
1
2
2
1
R
;
sumandos
2
1
R
;
sumando
1







 


 






1
40
2
1
4
2
.......
8
4
2
1
R
;
sumandos
40
8
4
2
1
R
;
sumandos
4











N
N
N
N
N
N
N
N
N
A
A
A
A
A
A
A
A
I
I
I
I
I
I
I
T
T
T
T
T
T
S
S
S
S
S
A
A
A
A
B
B
B
E
E
S
0
2
formas
1
S
letra
1
:
S


 1
1
2
formas
2
E
E
S
letras
2
:
SE


 1
En el problema
SEBASTIAN : 9 letras
2 = 256 formas
8
 1

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
35
Ejemplo 5 : ¿Cuántos puntos de contacto habrá en la figura 20?
Resolución :
2
2
formas
4
B
B
B
E
E
S
letras
3
:
SEB


 1
3
2
formas
8
A
A
A
A
B
B
B
E
E
S


SEBA : 4 letras  1
Fig.1 Fig.2 Fig.3 Fig.20
Fig. 1
2
2
1
)
1
(
3

3 puntos de contacto = 3 1 =

Fig. 2
2
3
2
+ 2)
1
(
3


Fig. 3
2
4
3
+ 2+ 3)
1
(
3


Fig. 20
2
21
20
+ 2+ 3+ .....+ 20) = 630
1
(
3


Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
36
01. Hallar la suma total en el siguiente arreglo :
a) 1608 b) 1728 c) 1624
d) 1526 e) 1804
02.Calcular el valor de "R", si :
a) b) c)
d) e)
03.Calcular la suma de las cifras del resultado de M :
a) 300 b) 100 c) 450
d) 900 e) 200
04.En el siguiente arreglo numérico, hallar "x"
a) b) c)
d) e)
05.Calcular la suma de las cifras del resultado de la
siguiente expresión :
Indicar la última cifra de dicha suma.
a) 8 b) 4 c) 6
d) 7 e) 5
06.Hallar si "a" es la suma de cifras de M y "b" es la
suma de cifras de N.
a) 307/308 b) 298/299 c) 305/306
d) 301/302 e) 300/301
07.Hallar " ", si :
a) 1 b) 4 c) 9
d) 16 e) 25
08.Hallar la suma total en el siguiente arreglo numérico :
a) 3780 b) 1700 c) 1900
d) 1650 e) 1500
09.Calcule la suma de todos los números del siguiente
arreglo :
a) 1000 b) 2000 c) 3000
d) 3781 e) 1331
10. Hallar la suma de cifras de :
a) 1800 b) 900 c) 180
d) 720 e) 1080
23
15
14
13
12
15
7
6
5
4
14
6
5
4
3
13
5
4
3
2
12
4
3
2
1










2
1
1
1
2
2
3
3
n
)
1
n
(
)
1
n
(
)
2
n
(
)
2
n
(
R











1
n
2
n


1
n
3
n


3
n
5
n


4
n
3
n


2
n
3
n












cifras
100
cifras
200
222
....
222
111
....
111
M 

x
48
28
20
76
16
12
8
39
37
9
7
5
3
20
19
18
5
4
3
2
1
16
2
21  18
2
42  18
2
23 
17
2
21  17
2
42 
3
cifras
2003
)
999
......
999
( 
 

 











cifras
101
cifras
101
97
......
999
93
......
999
M 











cifras
101
cifras
101
96
......
999
94
......
999
N 

2
k


 


 



 


 

sumandos
"
n
"
sumandos
"
n
"
......
27
12
3
n
3
......
105
45
9
K








37
...
25
23
21
19
25
...
13
11
9
7
23
...
11
9
7
5
21
...
9
7
5
3
19
...
7
5
3
1


























10
5
4
3
4
5
4
3
2
3
4
10
3
2
1
2
3
10
4
3
2
3
4
5
4
3
4
5
10
2
cifras
100
)
99
......
999
(
E 






Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
37
1. Calcular la suma de cifras del resultado de efectuar :
a) 127 b) 128 c) 129
d) 130 e) 125
2. Calcular la suma de cifras del resultado de "A".
a) 199 b) 189 c) 198
d) 201 e) 203
3. Calcule la suma de todos los términos del siguiente
arreglo :
a) 1800 b) 2000 c) 2100
d) 2400 e) 2700
4. Si :
Calcular :
a) 4924 b) 4862 c) 4546
d) 4936 e) 4816
5.Calcular :
a) 10 b) 20 c) 60
d) 70 e) 100
6. Hallar la suma de cifras del resultado de :
a) 64 b) 80 c) 81
d) 49 e) 100
7. Si :
Hallar : a + b + c
a) 12 b) 5 c) 17
d) 8 e) 16
8. Simplificar :
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 7
9. Hallar la suma de cifras de la parte entera del número
mixto que resulta de efectuar :
a) 900 b) 945 c) 905
d) 105 e) 1800
10. En la siguiente secuencia, determinar la suma de los
números impares de la figura Nº 53.
a) b) c)
d) e)
11. Si : a + b + c = 0
Calcular la suma de las cifras de "E"
Sabiendo además que :
a) 900 b) 180 c) 600
d) 909 e) 450
12. Hallar la suma de las cifras del resultado de:
a) 3n b) 3n + 1 c) 3n - 1
d) 3(n + 2) e) 3(n - 1)
2
cifras
1
2
)
34
......
33
(
E 





2
cifras
21
2
cifras
21
)
99
......
999
(
)
33
......
333
(
A 








 





















38
...
26
24
22
20
26
...
14
12
10
8
24
...
12
10
8
6
22
...
10
8
6
4
20
...
8
6
4
2





2161
1
8
a
7
a
6
a
5
a 






 


 

sumandos
"
a
"
.....
aaa
aa
a
R 



200
cifras
101
cifras
100
256
016
......
100
9984
......
999 
 





 

 

2
2
cifras
8
2
cifras
8
)
55
.....
555
(
)
56
.....
555
(
E 




 

90
abc
...
...
1234
123
12
1
sumandos
9





 


 



 

3
4
32
37
111
9
)
1025
1023
1
(
E






2
cifras
105
)
2
1
99
......
999
(
M 



Fig.1 Fig.2 Fig.3 Fig. 4
1 1 1 1
2 2 2
3
3 3 4
4 5 5
6
6 7
8 9
10
; ; ; ;
2
1431
2
717 2
715
2
716 1
716 2

2
cifras
101
)
xxx
......
xxx
(
E 





ab
c
ac
b
bc
a
x
2
2
2



35
66
......
666
M
cifras
"
n
"

 




TAREA DOMICILIARIA

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
38
01. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la
palabra "INGRESO"?
a) 190 b) 180 c) 200
d) 220 e) 210
02.¿De cuántas maneras diferentes se podrá leer la
palabra "CALLADO"?
a) 52 b) 48 c) 44
d) 50 e) 49
03.¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la
palabra "AMOR"?
a) 40 b) 41 c) 32
d) 36 e) 28
04.¿De cuántas maneras diferentes puede ir una persona
de P a Q utilizando siempre el camino más corto?
a) 960 b) 832 c) 321
d) 462 e) 924
05.¿De cuántas maneras se puede leer la palabra
"TUMEJOROPCIÓN"?
a) 120 b) 240 c) 180
d) 360 e) 210
06.¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la
palabra "JESICA"?
a) 243 b) 81 c) 144
d) 216 e) 729
07.La suma del número de triángulos de la figura "n + 1" y
el número de cuadriláteros de la figura "n - 1" es :
a) 4n + 1 b) 4n c) 2n + 1
d) n e) 4 + n
08.En la figura se muestran "n" filas y "n" columnas de
rombos. Si el número total de puntos de intersección
es 624. Hallar "n"
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
O
O
O
O
O
S
S
S
S
E
E
E
E
E
R
R
R
R
G
G
G
G
G
N
N
N
N
I
I
I
I
I
O
O
O
O
O
O
D
D
D
D
D
A
A
A
A
L
L
L
A
A
C
R
R
R
R
O
O
O
R
M
M
R
O
A
O
R
M
M
R
O
O
O
R
R
R
R
P
Q
N
O
O
I
I
I
C
C
C
C
P
P
P
O
O
R
O
O
J
J
J
E
E
M
U
U
T
J
E E E
S S S S S
I I I I I I I
C C C C C C C C C
A A A A A A A A A A A
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3
1
1
2
2
3
3
4
4
n
n
MÉTODO INDUCTIVO II

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
39
1. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A a B
sin retroceder en ningún momento?
(Solamente se puede ir en la dirección Este - Sur)
a) 380 b) 334 c) 360
d) 390 e) 300
2. De cuántas maneras se puede leer la palabra
"CORROE" en :
a) 100 b) 92 c) 64
d) 144 e) 72
3. Calcular el máximo número de triángulos que se pueden
contar en :
a) 160 b) 180 c) 190
d) 208 e) 240
4. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A a B
pasando por C y sin retroceder en ningún momento?
a) 24 b) 32 c) 36
d) 30 e) 28
5. Calcular el valor de "S", si :
a) 3n b) 3n + 1 c) 3n - 1
d) 3(n + 2) e) 3(n - 1)
6. ¿Cuántos palitos serán necesarios para formar la
figura de la posición 10, siguiendo la secuencia
mostrada?.
a) 220 b) 280 c) 320
d) 380 e) 420
7. Si una persona desea viajar de A a B por los caminos
representados por líneas y solamente puede
desplazarse hacia arriba o hacia la derecha.
¿De cuántas formas diferentes podría hacer dicho
viaje?
a) 41 b) 46 c) 48
d) 51 e) 56
8. ¿Cuántos círculos sombreados hay en el siguiente
arreglo?
a) 179 b) 181 c) 183
d) 191 e) 205
9. Calcular :
a) 25/16 b) 1/4 c) 3/4
d) 2 e) 4
10. En un cierto mes existen 5 viernes, 5 sábados y 5
domingos. ¿Qué día será el 8 del siguiente mes?
a) Lunes b) Martes c) Miércoles
d) Domingo e) Sábado
A
B
E
E
E
E
E
O
O
O
O
E
R
R
R
E
O
O
O
O
E
R
C
R
E
O
O
O
O
E
R
R
R
E
O
O
O
O
E
E
E
E
E
1 2 3 4 17 18 19 20
A
C
B
2
2
2
2
semanas
"
n
"
n
.....
3
2
1
n
...
7
5
5
3
3
1
S















 



 

; ; ;
P P P
1 2 3
A
B
1 2 3 89 90 91










cifras
40
cifras
40
16
...
161616
39
...
393939
161616
252525 
TAREA DOMICILIARIA

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
40
1. ¿Cuántos palitos se usaron para formar el siguiente
gráfico?
2. ¿Cuántos palitos se usaron para formar el siguiente
gráfico?
3. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura de posición 20?
4. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 20?
5. ¿Cuántos triángulos se pueden contar, como máximo,
en la siguiente figura?
6.¿Cuántos triángulos hay en la figura de posición 20?
1 2 3 18 19 20
1 2 3 18 19 20
f(1) f(2) f(3)
f(1) f(2) f(3)
1 2 3 48 49 50 51
4
F(1) F(2) F(3)

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
41
Gráfica V – t
Información:
* Observaciones:
1.
2. En forma general en una gráfica "V - t", el área debajo
de la curva o recta, siempre nos da de información la
distancia o desplazamiento recorrido.
3.
M.R.U.V.
Información:
 m = a
t(s)
V(m/s)
V(m/s)
3
-4
1
1
2
2
3
3
4
4
t=0
t=4
t=1
t=3
t=2
t=2
t=3
t=1
t=4
t=0
avanza hacia
la derecha
avanza hacia
la izquierda
t(s)
t
V
A
Área = base x altura
= t x V
Área = distancia
t
t
V
V
A(+)
A(-)
Movimiento hacia
la derecha
Movimiento hacia
la izquierda
t
V
Área Área = distancia
distancia total
recorrida
movimiento hacia
la derecha
movimiento hacia
la izquierda
= +
desplazamiento =
movimiento hacia
la derecha
movimiento hacia
la izquierda
-
t
V(m/s)
t = 0
V
t

t
a =
a
t
V
tan
m 





FÍSICA
GRAFICAS II

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
42
* Observación:
1.
Ejemplo:
FÓRMULAS
Velocidad inicial = intercepto con el eje y = V0
Aceleración = pendiente de la recta = m
En el M.R.U.V.
Aceleración - Tiempo
m(+) a(+)

m(-) a(-)

a
a
t(s)
V(m/s)
t = 0 t = 8
a=
8
4
4 8
t = 4 a=
t t
t
V V
V
V0
V0
V0
t t
V V

a(+)

a(-)
a = m = tan
Área = distancia
t
t
V
V
Movimiento hacia
la derecha
Movimiento hacia
la izquierda
t t
V V
Movimiento
acelerado
Movimiento
desacelerado
t
a
V = V - V = Área
0
F
a
A

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
43
1. Dos móviles parten simultáneamente y del mismo
punto, como se muestra. ¿Qué distancia los separa
luego de 5s?
a) 35 m b) 20 c) 55
d) 45 e) 15
2. Hallar el instante "t" para la cual la velocidad es cero.
a) 5s b) 5,6 c) 6
d) 8 e) N.A.
3. Halle el módulo del desplazamiento entre t = 0 y
t = 12s.
a) 120 m b) 72 c) 96
d) 24 e) 60
4. Calcular la posición del móvil para: t = 4s, si para:
t = 0; x = -3m
a) 10 m b) -10 c) 9
d) -12 e) N.A.
5. El movimiento de un móvil es representado en la
gráfica (V - t). Determinar el valor de su velocidad a
los 48s de iniciado su movimiento.
a) 3 m/s b) 6 c) 24
d) 48 e) cero
6. Un móvil que se desplaza en línea recta experimenta un
cambio de velocidad como se indica. Determine la
posición inicial, si finalmente se encuentra 6m a la
izquierda del origen.
a) -10 m b) -15 c) 10
d) 15 e) 8
7. La gráfica representa la velocidad de un móvil en una
pista recta. Determinar su aceleración en m/s2; en el
instante en que su velocidad es nula.
a) 0 b) -1,5 c) +1,5
d) -4,5 e) +4,5
8. "BC" es paralelo al eje del tiempo, el móvil recorre en
movimiento rectilíneo durante 7s 120m. Hallar la
velocidad en el cuarto segundo.
a) 10 m/s b) 20 c) 15
d) 5 e) 30
V(m/s)
t(s)
16
6
4
(B)
(A)
5
V(m/s)
4
-8
8
t(s)
V(m/s)
-24
8
t(s)
V(m/s)
4
2 4
t(s)
V(m/s)
30
40 50
t(s)
V(m/s)
t(s)
4
2
-5
4 8 9 12
V(m/s)
t(s)
+6
-12
2
6
V(m/s)
t(s)
2 4 7

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
44
1. De acuerdo al gráfico "V - t" mostrado, hallar la
aceleración.
a) 1m/s2 b) 2 c) 3
d) 5 e) 7
aceleración.
a) -1 m/s2 b) -2 c) -3
d) -4 e) 5
aceleración para: t = 12.
a) 1 m/s2 b) -1 c) +2
d) -2 e) +3
aceleración para: t = 2
a) +1 m/s2 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
distancia recorrida por el móvil.
a) 10 m b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
6. En el problema anterior, diga Ud, ¿cuál fue el
desplazamiento del móvil?
a) 5 m b) 15 c) 25
d) 30 e) 10
7. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa un M.R.U.?
a) b)
c) d)
e)
8. Las dos gráficas "V - t" representan el movimiento de
los móviles "A" y "B". Luego de 10 segundos, hallar la
distancia que los separa.
a) 10 m b) 30 c) 50
d) 20 e) 40
9. ¿Luego de qué tiempo el móvil cuya gráfica es "V - t",
regresará a su punto de partida?
a) 20 s b) 22 c) 24
d) 32 e) 40
V(m/s)
t(s)
0 6
18
V(m/s)
t(s)
0
15
-6
5 7
V(m/s)
t(s)
10
-10
0 10 15
V(m/s)
t(s)
12
4 10
V(m/s)
t(s)
10
0
-5
4 6
V
t
V
t
V
t
V
t
V
t
V(m/s) V(m/s)
t(s) t(s)
45°
3
(A)
(B)
0 0
V(m/s)
t(s)
10
0
-5
8
TAREA DOMICILIARIA

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
45
distancia recorrida por el móvil.
a) 100 m b) 104 c) 102
d) 98 e) 400
2. Se muestra la gráfica V - t, de un coche que se mueve
en el eje "x".
I. Durante los primeros cuatro segundos se mueve
hacia la derecha.
II. A partir de los 4 segundos acelera uniformemente.
III. Su desplazamiento durante los 10s es 10m
Son correctas:
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
d) I y III e) Todas
3. En el gráfico "V - t" de dos móviles que se mueven en
la horizontal y que parten en una misma posición es:
Indicar la veracidad o falsedad de las proposiciones:
I. Los móviles parten simultáneamente.
II. La distancia de separación entre los móviles
permanece constante desde t3
III. La velocidad relativa entre los móviles desde t 3
permanece constante.
a) FVV b) FFV c) VFV
d) VVV e) VFF
4. Un móvil que se mueve en la horizontal parte desde
x = 9. ¿Después de qué tiempo pasará por el origen?
a) 3 s b) 6 c) 12
d) 9 e) 15
V(m/s)
t(s)
10
0
-4
10 12
V(m/s)
t(s)
10
-10
4 10
V(m/s)
t(s)
37°
4
3
B
A
3
3
V(m/s)
t(s)
0
4
2
1 2 3

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
46
Cuando lanzamos un cuerpo al aire vemos que él se ve
obligado a bajar por causa de la gravedad. Si el tiro fuera
inclinado y el medio fuese el vacío, el móvil describiría una
trayectoria curva llamada parábola, la cual tendrá una
forma final que dependerá de la velocidad y ángulo de
disparo.
Galileo demostró que el movimiento parabólico debido a la
gravedad es un movimiento compuesto por otros dos: Uno
horizontal y el otro vertical. Descubrió asimismo que el
movimiento horizontal se desarrolla siempre como un
M.R.U. y el movimiento vertical es un M.R.U.V. con
aceleración igual a "g".
* Recomendación
Cuando estudies un movimiento parabólico haz una
separación imaginaria de sus movimientos componentes.
Así, del ejemplo de la figura, tendremos que:
a. Desplazamiento total: 
b. Desplazamiento vertical:
c. Desplazamiento horizontal:
Tiro semiparabólico
En la figura se muestra un cuerpo lanzado en "A" de
manera horizontal con una velocidad Vx, que se
mantendrá constante a lo largo del movimiento. En el
movimiento vertical se observa que la velocidad
vertical en "A" es nula (Viy = 0), pero a medida que el
cuerpo cae, esta velocidad va aumentando de valor. Las
distancias recorridas tanto en el eje vertical como en
el horizontal se han efectuado en intervalos de tiempo
iguales.
* Para no olvidar
Todos los tiros semiparabólicos causados por la
gravedad se resuelven con las siguientes relaciones:
a. Movimiento vertical:
b. Movimiento horizontal: x = vx.t
Tiro parabólico
Una partícula se ha lanzado desde "A" con una
velocidad "vi" y una inclinación "", tal como se muestra
en la figura. Por efecto de la gravedad, a medida que el
proyectil sube de manera inclinada se ve forzada a
bajar, retornando al piso en "B".
En el punto "A" las componentes de la velocidad son:
* Componente horizontal: vx = vicos
* Componente vertical inicial: viy = visen
Ojo
En la figura, se verifica que:
a. 
b. |v1y| = |v2y|
c. |v1| = |v2|
Si observas con detenimiento el ejemplo mostrado,
llegarás a las siguientes conclusiones:
1°. En el movimiento horizontal, la componente Vx
permanece constante, pues de acuerdo con el principio
de independencia de los movimientos, no se ve
afectado por la gravedad que actúa en el eje vertical.
La ecuación del movimiento horizontal estará dada por:
x = vx . t
2°. En el movimiento vertical se observa que la
componente vertical de la velocidad (vy) va
disminuyendo a medida que el cuerpo sube, se anula en
el punto "M" de máxima altura, y a continuación cambia
de dirección y va aumentando gradualmente a medida
que el cuerpo desciende. Las ecuaciones vectoriales
del movimiento vertical son:
Movimiento
Parabólico =
Movimiento
Horizontal (M.R.U.)
Movimiento
Vertical (M.R.U.V.)
+
AB AB = AC + CB
AC < > M.R.U.V.
CB < > M.R.U.
1k
3k
5k
7k
v1
v2
v3
e
A
B
C
g
e e e
vx
vx
vx
vx
2
gt
2
1
y 
g M
A B
L
H
e
vx v2
vo
v2y
v1y
e e e


vx
v1
vx

viy
MOVIMIENTO PARABÓLICO

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Mes: Mayo 2013
47
Para la velocidad vertical:
Para el desplazamiento vertical:
3°. La velocidad total del proyectil es siempre tangente a
la parábola en cualquier punto de ésta, y su valor se
puede determinar así:
* Observaciones:
Cuando utilices las ecuaciones vectoriales no debes
olvidar que todas las cantidades vectoriales que en
ellas aparecen tienen signo los que dependerán del
sentido que posean. Asimismo, te recomiendo trazar el
origen de coordenadas en el punto de lanzamiento, y
desde allí medir los desplazamientos horizontal (x) y
vertical (y).
Fórmulas especiales
El siguiente grupo de fórmulas sólo se aplican para
movimientos parabólicos como el que aparece en la
figura. Así tenemos:
a) Tiempo de vuelo:
b) Altura máxima:
c) Alcance horizontal:
* Observaciones:
1°. Relación entre la altura máxima y el alcance horizontal.
tan = 4H/L
2°. Relación entre la altura máxima y el tiempo de vuelo:
H = gT2/8
3°. Si dos cuerpos son lanzados con velocidades de igual
módulo (vi) y con distintas inclinaciones " " y " ", de
manera que los alcances horizontales sean iguales en
los dos casos, se verificará: (figura "a")
 = 90°
Alcance máximo
Cuando regamos el jardín con una manguera
comprobamos que el alcance cambia a medida que
inclinamos más la manguera, y cuando continuamos con
este proceso observamos que luego de un aumento del
alcance, éste empieza a reducirse. Se puede
demostrar que de todos los alcances, el máximo se
logra cuando el ángulo de disparo es de 45°, de este
modo se obtiene que:
FÓRMULAS.
Movimiento en medio móvil
t
g
v
v iy
fy 

2
iy t
g
2
1
t
v
y 

2
fy
2
x
T v
v
v 

g
sen
v
2
T
i 

g
2
sen
v
H
2
2
i 

g
2
sen
v
g
cos
sen
v
2
L
2
i
2
i 




g
V
L
2
i
max 
(1)
(2)
vi
vi
L = L
1 2
 
vi
vi
a)
b)
Lmáx
45°
vi
V = V + V
R B r V = V - V
R B r
VB
VB
VB
VB
Vr
Vr
Vr
Vr
VR = V + V
2
B
2
r
VB VR
Vr

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48
Tiro horizontal
Lanzamiento inclinado
Lanzamiento parabólico
UNIDADES DE MEDIDA
AUTOEVALUACIÓN
* Todo movimiento compuesto está formado por la unión
de ________________________ o más movimientos
____________________.
* En el movimiento tiro horizontal el móvil posee una
velocidad de lanzamiento de dirección ___________.
* En el tiro horizontal el móvil realiza dos movimientos
simultáneos: en el eje horizontal se realiza un
__________________, en el eje vertical se realiza
un _______________.
* En el eje "x": movimiento horizontal, el móvil por
realizar un __________________ se deberá cumplir
que su velocidad horizontal siempre será __________
y su valor es: Vx = VL (Velocidad de lanzamiento)
* El desplazamiento horizontal del proyectil se calcula
por: x = ______________
* La altura descendida por el móvil en el eje "y" se
calcula por: H =
* El tiempo es una magnitud para los movimientos que
conforman el movimiento compuesto. Se debe cumplir:
teje horizontal ___________ teje vertical
* En todo el movimiento el proyectil posee
_____________ velocidades.
* En el punto de lanzamiento el móvil posee como
velocidad de lanzamiento a la velocidad
_________________________; además su
velocidad ______________ será cero.
VL = ____________________
* En cualquier instante el móvil (proyectil) tendrá una
velocidad resultante (VT) que se calculará:
______________________
Vy
V0
y
x
V0
t =
x = V .t
o
V = g.t
y
V = V + V
R
2
0
2y
g
2
y
V
y
x
y V0
V
x
V = V cos
o 
V = V sen
o 
0
0
x
y
* V es constante
0x
y = V + g.t
2
1
2
0y
V = V + g.t
y V = V + V
R
0y
2
y
2
x
0x
0
0

. t
x = V . t
H =
máx
V sen
2

R

V
Hmáx
V0
V
0y
0x
2
0
2g
R =
2V sen .cos
2
 
o
g
V = V cos
o 
V = V sen
o
x = V . t
T =
máx
0x
0y
0x
2V
g
0y
R
V


V
tan =

4H
R
V
H
R

 
+ = 90°
Símbolo Magnitud Unidades de Medida
V
V
H
R
t
V
V
0x
0y
R
y
máx
Velocidad inicial horizontal
Velocidad inicial vertical
Altura máxima
Alcance máximo
Tiempo de vuelo
Velocidad resultante
Velocidad vertical
metro por segundo
metro por segundo
metro
metro
segundo
metro por segundo
metro por segundo
m/s
m
m
s
m/s

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49
1. Un proyectil se lanza tal como se muestra, hallar la
distancia "L".
a) 90 m b) 120 c) 150
d) 160 e) 200
2. Hallar la separación entre el hueco y el punto de
lanzamiento, si el proyectil logra ingresar en el hueco.
(g = 10 m/s2)
a) 50 m b) 80 c) 100
d) 120 e) 140
3. Se lanza un proyectil con una rapidez de "Vo". Si
después de 1 s su velocidad forma 45° con la
horizontal, determine "Vo" (g = 10 m/s2)
a) 20 m/s b) 30 c) 50
d) 40 e) 10
4. En el gráfico se muestra una parte de la trayectoria
parabólica de un proyectil. Calcular el tiempo que
empleó para ir desde "A" hasta "B" siendo VA = 25
m/s. (g = 10 m/s2)
a) 7/6 s b) 4,16 c) 5/6
d) 15 e) 9,36
5. Si un proyectil se lanza con cierta velocidad y un
ángulo de elevación de 45°, hallar la relación entre el
alcance máximo y la altura máxima.
a) 1 b) 1/2 c) 1/4
d) 3/4 e) 4/5
6. Determine el alcance que logra la partícula sobre el
plano inclinado. (V = 90 m/s; g = 10 m/s2)
a) 540 m b) 270 c) 350
d) 500 e) 400
7. Un proyectil se lanza con una velocidad de 20 m/s y
con una dirección de 53°. Al cabo de qué tiempo la
dirección de la velocidad es perpendicular a la
dirección del lanzamiento. (g =10 m/s2)
a) 1 s b) 2 c) 2,5
d) 4 e) 5
8. Se dispara un proyectil con una velocidad de 20 m/s y
una inclinación de 45°; ¿qué tiempo después su
velocidad forma 37° con la horizontal? (g =10 m/s2)
a) 0,5 m/s b) 1,5 c) 0,75
d) 2 e) 2,25
9. Desde la parte superior de un edificio se dispara un
proyectil con una rapidez de 6 m/s y 45° de elevación
con la horizontal. Si el proyectil impacta con una
rapidez de 10 m/s sobre la ventana de un edificio
adyacente, determine la distancia de separación entre
dichos edificios. (g = 10 m/s2)
a) 3,6 m b) 5,5 c) 6,8
d) 8,4 e) 9
10. Una piedra es lanzada con una rapidez de 15 m/s.
Determine el alcance máximo sobre la superficie
superior. La piedra pasa rasante por la esquina
superior. (g = 10 m/s2)
a) 12 m b) 13,2 c) 14,4
d) 15 e) 16,3
40 m/s
L
37°
+
53°
15 m/s
53°
Vo
45°
37°
57°
B
A
30°
V
30°
15 m/s
4 m
53°

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50
1. En el siguiente gráfico, determine la altura con que se
lanzó desde lo alto de un acantilado con una rapidez de
18 m/s. (g = 10 m/s2)
a) 25 m b) 45 c) 60
d) 80 e) 125
2. Se lanza un proyectil en forma horizontal según como
se muestra. Determine su rapidez luego de 2 s.
(g = 10 m/s2)
a) 15 m/s b) 20 c) 25
d) 35 e) 30
3. Se lanza un cuerpo horizontalmente con rapidez inicial
“Vo” alcanzando una distancia "x". Si se quiere
alcanzar una distancia de "2x" la rapidez inicial será:
a) b) Vo c) 2Vo
d) 4Vo e)
4. Desde el borde de una mesa se lanza horizontalmente
un proyectil con una velocidad de 30 m/s. Hallar la
velocidad del proyectil luego de 4 s. (g = 10 m/s2)
a) 10 m/s b) 30 c) 40
d) 50 e) 70
5. Desde una altura de 45 m se lanza un proyectil con una
velocidad de 40 m/s. Determinar la velocidad con que
impacta a tierra. (g =10 m/s2)
a) 30 m/s b) 40 c) 50
d) 10 e) 70
6. Se dispara una bala con una rapidez
Vo = 60 m/s formando un ángulo de 37° sobre la
horizontal. ¿En qué tiempo alcanzará la máxima altura?
a) 2,6 s b) 4,6 c) 5,6
d) 3,6 e) 6,5
7. Una partícula es lanzada tal como se muestra en la
figura, en el instante: t = 7 s. Calcular el módulo de la
velocidad instantánea. (g = 10 m/s2)
a) 30 m/s b) 30 c) 20
d) 20 e) 10
8. ¿Con qué ángulo se debe lanzar un proyectil para que
su alcance sea el triple de su altura máxima?
a) 30° b) 37° c) 45°
d) 53° e) 60°
9. Un proyectil luego de ser lanzado parabólicamente
desde la superficie terrestre demora 8 s en llegar
nuevamente a la superficie. Hallar la máxima altura que
logra.
(g = 10 m/s2)
a) 20 m b) 40 c) 50
d) 80 e) 160
10. Un proyectil se lanza con una rapidez de 50 m/s.
Hallar la velocidad con que impactó en la pared.
a) 10 m/s b) 10 c) 20
d) 20 e) 40
V
72 m
V = 15m/s
x
2
Vo
4
Vo
37° x
y
Vo
53°
V = 50 m/s
2
2
37°
200m
5
5
TAREA DOMICILIARIA

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Mes: Mayo 2013
51
1. La figura muestra el lanzamiento simultáneo de los
cuerpos "A" y "B". Si colisionan en el punto "P", la
rapidez “Vo” inicial de "B", será:
a) 2 m/s b) 4 c) 8
d) 12 e) 16
2. Los cuerpos "A" y "B" son lanzados horizontalmente y
simultáneamente como muestra la figura con rapideces
de 2 m/s y 6 m/s respectivamente. Si chocan en el
punto "P", la distancia horizontal recorrida por "B"
será:
a) 2 m b) 4 c) 8
d) 12 e) 16
3. Determine "Vo" para que la piedra lanzada en "A"
ingrese por el agujero.
a) 10 m/s b) 20 c) 25
d) 40 e) 50
4. ¿Desde qué altura "H" se lanzó el proyectil, si empleó
5 s en llegar al punto "B"?
a) 50 m b) 62,5 c) 100
d) 125 e) 150
4 m
A
Vo
24 m
2 m/s
A B
2m/s 6m/s
P
H
18m
H
Vo
A
35m
53°
280m
H
A 45°
B
V
H

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Mes: Mayo 2013
52
Objetivos
* Reconocer las características de un enlace covalente.
* Diferenciar un enlace normal de uno dativo, uno polar
de otro no polar.
* Identificar los enlaces sigma (, phi () y los pares de
electrones no enlazantes.
* Identificar la formación de enlaces intermoleculares
(dipolo - dipolo, fuerzas de London, puente de
hidrógeno)
Enlace covalente
El enlace covalente se produce entre dos átomos los
cuales comparten uno o más pares de electrones. Los
compuestos covalentes pueden ser sólidos, líquidos o
gases a temperatura ambiente.
El enlace covalente se forma generalmente entre no
metales.
Enlace covalente
(Modelo de bolas y varillas de la molécula del H2O).
Enlace covalente normal
Se forma cuando cada átomo aporta un electrón para
formar el enlace covalente.
E.C. apolar
Se forma entre átomos con similar electronegatividad,
el par de electrones se comparte por igual entre los
dos átomos.
Ejemplo:
H2   H - H O2  
N2  
E.C. polar
Se forma cuando el par de electrones es compartido
en forma desigual, debido a la diferencia de
electronegatividades.
Ejemplo:
HCl  
H2O  
NH3   
Enlace covalente coordinado o dativo
Se forma cuando uno de los átomos aporta el par de
electrones para formar el enlace covalente.
Ejemplo:
O3  
SO3   
Propiedades de los compuestos covalentes
1. Son gases, líquidos o sólidos, con puntos de fusión
bajos (por lo general, menor que 300 ºC).
2. Muchos de ellos son insolubles en disolventes polares.
3. La mayoría son solubles en disolventes no polares,
como el hexano (C6H14).
4. Los compuestos líquidos o fundidos no conducen la
electricidad.
H H O O O O
N N N N
H Cl H Cl
O
H H
O
H H
N
H H
H
N
H H
H
107º
O
O O
O
O O
S
O
O O
S
O
O O
QUÌMICA
ENLACE QUÍMICO II

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Mes: Mayo 2013
53
1. De las proposiciones:
I. en el HCl el enlace es covalente.
II. en el H2O el enlace O y H es iónico.
III. en el NH3 el enlace N y H es covalente.
Son correctas:
a) I y II b) I y III c) Solo I
d) Solo III e) Todas
2. En un enlace iónico ocurre una............... de electrones
periféricos, en cambio en un enlace covalente ocurre
una............... de electrones periféricos. Del párrafo
anterior, completar con la alternativa correcta.
a) compartición - transferencia
b) migración - transferencia
c) transferencia - compartición
d) transferencia - repulsión
e) a y b
3. Cuando solo un átomo aporta el par de electrones para
formar el enlace se dice que es:
a) E.C. normal
b) E.C. iónico
c) E. iónico
d) E.C. saturado
e) E.C. dativo
4. ¿Cuántos electrones no compartidos quedan en el
NH3? (7N)
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 3
5. En la estructura del ácido carbónico:
Indique la cantidad de enlaces covalentes "" y ""
respectivamente:
a) 1; 5 b) 5; 1 c) 11; 1
d) 4; 2 e) 4;3
6. Señalar el número de enlaces múltiples en:
a) 12 b) 4 c) 5
d) 9 e) 6
7. Hallar el número de enlaces sigma en los compuestos:
a) 3 y 4 b) 1 y 1 c) 2 y 4
d) 2 y 3 e) 2 y 2
8. ¿Cuántos de los siguientes elementos son excepción a
la regla del octeto?
• Cl • O • B
• Be • Na
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
9. Hallar el número de enlaces "" en:
a) 1 b) 5 c) 10
d) 19 e) 21
10. Indique mediante rayas la representación del
compuesto: HNO2. Z(N = 7; O = 8)
a) b)
c) d)
e)
11. Un compuesto covalente se caracteriza por:
a) ser cristalino y alto punto de fusión.
b) estar formado por pares iónicos.
c) compartir los átomos pares iónicos.
d) se disuelven siempre en el agua.
e) estar formado por partículas que no son moléculas.
12. Indique el tipo de enlace químico existente entre un
cristal de cloruro de sodio (NaCl) y una molécula de
propano (C3H8).
H O
H O
C O
N C
N C
C C
C N
C N
O
O O
; S
O O
O
H
H
H
H
H
H
H
H
O N H
O O N H
O
O N H
O
N O H
O
O O N H
PRACTICANDO EN CLASE

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Mes: Mayo 2013
54
a) covalente coordinado y metálico
b) covalente y covalente apolar
c) iónico y covalente
d) iónico y covalente coordinado
e) covalente coordinado y covalente apolar
13. Indique de la relación mostrada:
I. Na2O II. K2O III. BCl3
IV.BF3 V. LiCl
¿Cuántos tienen enlace iónico y cuántos tienen enlace
covalente?
a) 4 y 1 b) 3 y 2 c) 5 y 0
d) 2 y 3 e) 1 y 4
14. ¿Cuántas sustancias poseen enlace puente hidrógeno?
• H2 • H2O • CH4
• H2F2 • NH3 • HCl
• CH3OH
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
15. ¿Qué sustancia no se disuelve en H2O?
a) NH3 b) HCl c) SO2
d) CH4 e) PH3
16. Con respecto a las proposiciones:
I. los siguientes compuestos son iónicos: MgO, NaF,
BeCl2.
II. las siguientes moléculas: N2, P4 y Cl2 forman
enlace covalente apolar.
Es(son) correctas:
a) I y II b) I y III c) Solo II
d) II y III e) I, II y III
17. ¿Cuál de las siguientes alternativas es incorrecta?
a) en el enlace covalente hay por lo menos un par de
electrones compartidos.
b) en el enlace dativo el par de electrones
compartidos es proporcionado por un solo átomo.
c) la resonancia se presenta cuando en un enlace, los
electrones están totalmente deslocalizados.
d) en el enlace iónico hay transferencia de electrones
de un átomo al otro.
e) en el enlace covalente apolar hay compartición
equitativa de electrones.
18. Con respecto a la estructura del sulfato: (SO4)2-
I. presenta 2 enlaces dativos.
II. no presenta resonancia.
III. su geometría es tetraédrica.
Es correcto afirmar:
a) I y II b) I y III c) II y III
d) Solo II e) I, II y III
19. ¿Cuál es la geometría y polaridad de la molécula de
CH4?
a) lineal y polar.
b) triangular y polar.
c) tetraédrica y apolar.
d) piramidal y polar.
e) trigonal y polar.
20.Indicar el número de covalencias coordinadas en el
compuesto: H3PO4
Z(P = 15; O = 8)
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
21. Hallar el número de enlaces sigma en:
a) 4 b) 6
c) 14 d)
16 e) N.A.
22.¿Qué molécula es polar?
a) H2 b) O2 c) N2
d) HCl e) N.A.
23.Indique cuál de los siguientes enlaces es de esperar
que sea el menos polar.
Electronegatividad: O = 3,5; B = 2; P = 2,1; N = 3;
H = 2,1
a) B - O b) P - O c) N - O
d) N - H e) N.A.
H O S O H
O
O

Del colegio a la
Universidad
Mes: Mayo 2013
55
Óxidos básicos
Los óxidos básicos o metálicos son compuestos
binarios que contienen un oxígeno y un metal.
Para escribir directamente la fórmula de los óxidos
básicos se escriben los símbolos del metal y del
oxígeno, se intercambian las valencias y estas se
escriben como subíndices. Si son pares, se simplifica:
Ejemplo:
óxido de sodio: Na+1O-2 → Na2O
óxido cuproso : Cu+1 O-2 → Cu2O
óxido cúprico : Cu+2 O-2 → CuO
Hidróxidos
Son compuestos ternarios que se caracterizan por que
poseen el ión hidróxilo (OH)-1, unido mediante enlace
iónico al catión metálico. A los hidróxidos de los
metales alcalinos (Li, Na, K, Rb y Cs) se les llama
álcalis. Son muy solubles en el agua, tóxicos y
venenosos. Generalmente se producen por reacción
química del agua con los óxidos básicos o por la
reacción directa de un metal alcalino o alcalino térreo
con el agua.
Para nombrar:
* Hidróxido de sodio (+1): Na+1 (OH)-1 → NaOH
* Hidróxido ferroso (+2;+3): Fe+2(OH)-1 → Fe(OH)2
* Hidróxido férrico (+2; +3): Fe+3(OH)-1 → Fe(OH)3
Nombres comunes:
NaOH : soda cáustica
KOH : sosa cáustica o potasa cáustico
Ca(OH)2 : cal apagada o lechada de cal
Mg(OH)2 : leche de magnesia
Los hidróxidos NaOH y KOH se usan en la fabricación
de jabón desde hace muchos siglos con la denominación
de álcalis.
Óxidos ácidos o anhídridos
Son óxidos formados por combinación del oxígeno con
elementos no metálicos.
Para nombrar se debe tener en cuenta:
metal + oxígeno óxido básico

M + O M O
+x -2
 2 x
óxido básico + H O hidróxido

2
M + (OH) M(OH)
+x -1
 x
no metal + oxígeno óxido ácido

no metal con dos valencias
valencia
menor
mayor
prefijo sufijo
oso
ico
NOMENCLATURA INORGÁNICA I

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Mes: Mayo 2013
56
Por ejemplo:
1. Valencia : B2O3 anhídrido bórico
2. Valencias : CO anhídrido carbonoso
CO2 anhídrido carbónico
3. Valencias : SO anhídrido hiposulfuroso
SO2 anhídrido sulfuroso
SO3 anhídrido sulfúrico
Ácidos oxácidos
Son compuestos ternarios, en general se obtiene por
reacción química de un óxido ácido (anhídrido) y el
agua.
Para nombrar se debe tener en cuenta los mismos
pasos que en caso de anhídridos.
Formulación directa de oxácidos:
En el caso del: B, P, As, Sb
Ejemplos:
* Ácido sulfúrico (+2; +4; +6)
H2S+6O4→ H2SO4
* Ácido cloroso (+1; +3; +5; +7)
H1Cl+3O2 → HClO2
Aniones poliatómicos
Se obtienen al quitar 1 o más iones hidrógeno de un
ácido oxácido. La nomenclatura clásica consiste en
cambiar la terminación:
Ejemplos:
Ácido nítrico ión nitrato
Ácido cloroso ión clorito
Ácido hiposulfuroso ión hiposulfito
Sales oxisales
Se obtienen de la reacción del ácido oxácido con un
hidróxido.
Debe nombrarse primero el anión y luego el catión de
acuerdo a la nomenclatura de iones que se trató
anteriormente, es decir:
Sulfato de sodio: Na+1 (SO4)-2 → Na2SO4
Carbonato de calcio (CaCO3) o mármol
no metal con tres valencias
valencia
menor
intermedio
mayor
prefijo
hipo
sufijo
oso
oso
ico
no metal con cuatro valencias
valencia
menor
intermedia menor
intermedia mayor
mayor
prefijo
hipo
per
sufijo
oso
oso
ico
ico
anhídrido + H O oxácido
2 
H R
x
v
Ov+x
2
H R
3
v
Ov+3
2
OSO ITO
ICO ATO













 
 1
3
3
1
3
H
1
3 NO
NO
)
NO
(
HNO











 
 1
2
2
1
2
H
1
2 ClO
ClO
)
ClO
(
HClO











 
 2
2
2
2
2
H
2
2
2 SO
SO
)
SO
(
SO
H
ácido + hidróxido sal + H O
 2
V : par ® x = 2
V : impar ® x = 1

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57
Nitrato de potasio (KNO3), dicromato de potasio
(K2Cr2O7) y permanganato de potasio (KMnO4)
Ácidos hidrácidos
Son compuestos binarios que forma el hidrógeno por
combinación química con elementos no metálicos de los
grupos VI A (S, Se, Te) y del grupo VII A (F, Cl, Br,
I); por lo tanto no poseen oxígeno en su estructura.
Sales haloideas
Se obtienen de la reacción de un ácido hidrácido con
un hidróxido.
Ejemplos:
Cloruro de sodio : Na+1 Cl- → NaCl
Sulfuro de potasio: K+1 S-2 → K2S
Cloruro férrico : Fe+3 Cl-1 → FeCl3
I. Formular:
1. óxido de plata ______________________
2. hidróxido férrico _______________________
3. óxido plúmbico ________________________
4. hidróxido auroso _______________________
5. óxido ferroso _______________________
6. hidróxido estañoso ________________________
7. óxido mercúrico _______________________
8. hidróxido de magnesio_______________________
9. óxido cuproso _______________________
10. óxido cobáltico _______________________
11. hidróxido de aluminio _______________________
12. óxido niquélico _______________________
13. hidróxido de sodio ________________________
14. óxido de litio _______________________
15. hidróxido aúrico _______________________
16. óxido de potasio _______________________
17. hidróxido plumboso ________________________
18. óxido auroso ________________________
19. hidróxido niquélico ________________________
20.óxido de sodio _______________________
21. hidróxido ferroso ________________________
22.óxido estánico _______________________
23.hidróxido cuproso ________________________
II. Formular:
1. anhídrido carbónico ________________________
2. ácido sulfúrico ________________________
3. anhídrido cromoso ________________________
4. ácido nítrico ________________________
5. anhídrido fosfórico ________________________
6. ácido cloroso ________________________
7. anhídrido nitroso ________________________
8. ácido bórico ________________________
9. anhídrido mangánico ________________________
10. ácido peryódico _______________________
11. anhídrido sulfúrico ________________________
12. ácido hipobromoso ________________________
13. anhídrido crómico ________________________
14. ácido permangánico ________________________
15. ácido clórico ________________________
16. anhídrido carbonoso ________________________
17. ácido yódico ________________________
18. anhídrido hiposulfuroso_______________________
19. ácido crómico _______________________
20.anhídrido fosforoso ________________________
21. anhídrido manganoso ________________________
22.ácido fosfórico _______________________
Formulación Fórmula Nomenclatura tradicional
H S
-2
+1
H Se
-2
+1
H F
-1
+1
H Cl
-1
+1
H Br
-1
+1
H S
2
H Se
2
HF
HCl
HBr
ácido sulfhídrico
ácido selenhídrico
ácido fluorhídrico
ácido clorhídrico
ácido bromhídrico
ácido + hidróxido sal + H O
 2
Li, Na, K, Ag : +1
Ca, Mg, Zn : +2
Al : +3
B : +3
C : +2, +4
Cr : +3, +6
Cu, Hg : +1, +2
Fe, Co, Ni : +2, +3
Au : +1, +3
Pb, Sn : +2, +4
N, P : +3, +5
S : +2, +4, +6
Mn : +4, +6, +7
Cl, Br, I : +1, +3, +5, +7
Metales No metales

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III. Formular:
1. nitrito ________________________
2. carbonato ________________________
3. hipoclorito _______________________
4. permanganato _______________________
5. cromito _______________________
6. sulfato ________________________
7. nitrato _______________________
8. bromito _______________________
9. sulfito _______________________
10. cromato ________________________
11. clorato ______________________
12. iodito ________________________
13. fosfato ________________________
14. bicarbonato ________________________
15. sulfito ácido ________________________
16. hidrógeno fosfato ________________________
IV.Formular :
1. sulfito mercurioso
2. nitrato plúmbico
3. cromito cuproso
4. carbonato de aluminio
5. cromato aúrico
6. bromato niquélico
7. cromito de zinc
8. sulfato auroso
9. cromito estañoso
10. carbonato de calcio
11. perclorato de sodio
12. nitrato ferroso
13. manganito de plata
14. permanganato de potasio
15. clorato ferroso
16. yodito plumboso
V. Formular:
1. ácido sulfhídrico
2. ácido clorhídrico
3. ácido selenhídrico
4. cloruro de calcio
5. bromuro ferroso
6. yoduro de potasio
7. sulfuro férrico
8. fluoruro de sodio
9. selenuro plúmbico
10. cloruro estañoso
11. sulfuro cuproso
6. Según el cuadro de funciones los ácidos hidrácidos se
forman combinando, el hidrógeno con el estado de
oxidación +1 y los halógenos con E.O.:
a) +2 b) +1 c) +3
d) -1 e) -2
7. Es un ácido oxácido:
a) ácido sulfúrico b) ácido cloroso
c) ácido clorhídrico d) ácido sulfhídrico
e) a y b
8. Señale el grupo que contenga solo no metales:
a) Be, Au, Ag b) F, Cl, Br c) Ca, Fe, Co
d) Sn, Bi, Ni e) Mn, Cr, Zn
9. Señale el óxido básico:
a) CO2 b) Cl2O7 c) CrO3
d) CaO e) Mn2O7
10. Señale la relación incorrecta:
a) SO : monóxido de azufre
b) SO2 : anhídrido sulfuroso
c) SO3 : trióxido de azufre
d) MnO3 : anhídrido mangánico
e) Cr2O7 : anhídrido percrómico
11. ¿Cuál de los siguientes compuestos presenta mayor
atomicidad?
a) anhídrido carbónico
b) hidróxido férrico
c) hidróxido de calcio
d) óxido de plata
e) óxido plúmbico
12. Uno de los siguientes compuestos no presenta su
nombre común:
a) CaO : cal viva
b) Mg(OH)2 : leche de magnesia
c) KOH : potasa cáustica
d) Ca(OH)2 : cal viva
e) CO2(s) : hielo seco
13. ¿Cuántos de los siguientes óxidos forman ácidos al
reaccionar con agua?
Na2O, CaO, SO, N2O3, FeO

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59
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
14. La diferencia de las atomicidades respectivas del
ácido perclórico y el hipocloroso es:
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
15. Un hidróxido tiene una molécula heptatómica entonces
el óxido que puede formar el metal correspondiente
tiene molécula:
a) diatómica b) triatómica
c) tetratómica d) pentatómica
e) heptatómica
16. Las fórmulas correctas para los hidróxidos de
magnesio, de sodio y de hierro III son:
a) Mg(OH)2, Na(OH)2, Fe(OH)3
b) MgOH, NaOH, Fe3OH
c) Mn(OH)2, NaOH, FeOH
d) Mn(OH)2, S(OH)3, FeOH
e) Mg(OH)2, NaOH, Fe(OH)3
17. Si "x" es un elemento no metal, completar la reacción:
x2O + H2O → ______
a) x(OH)2 b) 2xO + H2 c) xOH + H2
d) xH + O2 e) HxO
18. En el ácido sulfúrico, los átomos de hidrógeno del
oxígeno y de azufre están respectivamente en la
proporción de:
a) 2:1:4 b) 2:3:1 c) 1:2:4
d) 3:2:1 e) 2:4:1
19. ¿Cuál es la fórmula probable de un compuesto si el
átomo "X" tiene como número atómico 20 y el átomo
"Y" tiene 17 protones?
a) XY2 b) X2Y c) XY
d) X3Y e) Y3X2
20.¿Cuál de las siguientes proposiciones corresponde a
una sal oxisal?
a) es resultante de la interacción de un ácido con
agua.
b) generalmente es ternario.
c) es siempre un compuesto covalente.
d) es siempre una sal ácida.
e) es siempre una sal neutra.
21. ¿Qué sustancia tiene mayor atomicidad?
a) sulfuro de calcio
b) sulfato de níquel
c) cromato férrico
d) fosfito de calcio
e) perclorato de fierro (II)
22.El radical carbonato e hipoclorito:
a) b)
c) d)
e)
23.El nitrato de amonio conocido también como anfo,
utilizado durante la época del terrorismo como
explosivo lleva por fórmula:
a) NH4NO2 b) NH3NO3 c) H3ONO3
d) NH4NO3 e) NH4(NO3)2
24.Una de las siguientes relaciones es incorrecta:
a) CaCO3 : carbonato de calcio
b) HCl : ácido clorhídrico
c) CuNO2 : nitrito cuproso
d) Sn3(PO4)4 : fosfato estañoso
e) NaHCO3 : bicarbonato de sodio
25.Con respecto al sulfito aúrico, indicar verdadero o
falso:
( ) Presenta tres átomos de azufre
( ) Su atomicidad es 14
( ) El azufre actúa con E.O. +4
a) FFF b) VVF c) VVV
d) FVV e) VFV
1
3
2
3 ClO
y
CO 
 1
2
2
3 ClO
y
CO 

1
2
3 ClO
y
CO 
 1
2
4 ClO
y
CO 

1
2
3 Cl
y
CO 


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Universidad
Mes: Mayo 2013
60
INTRODUCCIÓN: Todos los seres vivos requieren energía, puesto que los procesos biológicos implican la realización de
trabajo. El crecimiento y la reproducción son funciones celulares que necesitan de gasto energético celular, pero incluso
células que no crecen ni se reproducen necesitan energía sólo para mantenerse.
Dado que la energía no se crea ni se destruye, las células no tienen forma de
producir nueva energía.
La única posibilidad para que un ser vivo obtenga energía es transformándola del ambiente, para luego almacenarla y
finalmente utilizarla.
Las células obtienen energía de muchas maneras; por eso, existen mecanismos metabólicos complejos que permiten a las
células convertir energía de una forma a otra.
En estos capítulos vamos a revisar dos de esos procesos energéticos: la fotosíntesis y la respiración celular.
Fotosíntesis: El Sol es la fuente primordial de casi toda la energía que sustenta la vida. Las plantas y otros organismos
fotosintéticos captan una diminuta porción de esa energía y en el proceso de fotosíntesis, la convierten en energía química,
en las moléculas orgánicas.
¿Qué es la fotosíntesis?
Es un proceso bioquímico del tipo anabólico consistente en la conversión de energía lumínica en energía de enlaces químicos.
Esta transformación también implica la conversión de compuestos inorgánicos a compuestos orgánicos.
La fotosíntesis se realiza a nivel de los cloroplastos que almacenan clorofila. Se realiza en organismos eucarióticos, porque en
procariontes se realiza a nivel de la membrana plasmática (mesosoma).
Ecuación general de la fotosíntesis:
Durante la fotosíntesis, una célula utiliza energía lumínica capturada por la clorofila para impulsar la síntesis de
carbohidratos. Las reacciones globales pueden resumirse como sigue:
Reducción
6 CO + 12 H O
2 2
Dióxido de
carbono
Agua Glucosa Oxígeno Agua
Oxidación
Luz
Clorofila
C H O + 6 O + 6 H O
12 2
6 6 2
BIOLOGIA
BIOENERGÉTICA: FOTOSÍNTESIS

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