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  1. 1. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 1 Colegios “Innova Schools” Inicial – Primaria - Secundaria www.innovaschools. edu.pe Del Colegio a la Universidad
  2. 2. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 2 Adivina la edad Puedes adivinar la edad de una persona y el mes en que nació si haces que piense en el número del mes de nacimiento (enero = 1; febrero = 2; ...) y después le pides que lo multiplique mentalmente por 2 y le sume 5 al resultado. Después debe multiplicar el resultado que ha obtenido por 50 y sumarle su edad. Haz que te diga el resultado final de todos estos cálculos y, mentalmente, réstale 250. El número obtenido tendrá 3 ó 4 cifras. Las dos cifras de la derecha son las de la edad, y las de la izquierda son el número del mes de nacimiento. ¿Sabrías decir porqué es así? CAMBIOS DE BASE 1. De una base diferente de 10 a la base 10. Por descomposición polinómica Por ejemplo: a) 57211 a base 10 57211 = 5 × 112 + 7 × 11 + 2   57211 = 684 b) 41325 a base 10 41325 = 4 × 53 + 1 × 52 + 3 × 5 + 2 41325 = 542 2. De la base 10 a una base diferente de 10. Por divisiones sucesivas. Por ejemplo: a) 547 a base 7  547 = 14117 b) 326 a base 9  326 = 4029 c) 42 a base 2  42 = 1010102 * Podemos llevar, gracias a los métodos anteriores, de base diferente de 10 a base diferente de 10, por ejemplo: a) 4379 a base 6 4379 = 4 × 92 + 3 × 9 + 7 4379 = 358  4379 = 13546 b) 2667 a base 11 2667 = 2 × 72 + 6 × 7 + 6 2667 = 146  2667 = 12311 547 7 1 78 7 1 11 7 4 1 326 9 2 36 9 0 4 42 2 0 21 2 1 10 2 0 5 2 1 2 2 0 1 358 6 4 59 6 5 9 6 3 1 146 11 3 13 11 2 1 ARITMÉTICA NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 QUINTO GRADO TEORÍA DE LA NUMERACIÓN II B' (A A')   Ø
  3. 3. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 3 1. Calcule “a + b + c”, si: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 2. Si se cumple que: Calcule “m + n + p” a) 24 b) 21 c) 27 d) 30 e) 18 3. Si: , donde: m < 5, calcule “a + b + c + m + n”. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 4. Si: , calcule “a + b + n”. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 5. Si: , calcule “a + b + n”. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 6. Calcule el valor de “a + b + n”, si: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 7. Si se cumple que: , donde “m” y “n” son pares, calcule la suma de “a + b + m + n”. a) 15 b) 14 c) 13 d) 16 e) 17 8. Si: , calcule “a + m + n + p”. a) 20 b) 21 c) 22 d) 18 e) 19 9. Calcule “a + b + d”, si: a) 10 b) 8 c) 7 d) 11 e) 6 10. Halle “mn”, si se cumple que: a) 8 b) 7 c) 16 d) 15 e) 9 11. Si:  b + c = 7, calcule “a + b - c”. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 12. Exprese el numeral 4257 a base 9. De como respuesta la suma de sus cifras. a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 13. Calcule el valor de: E = a) 41 b) 42 c) 43 d) 44 e) 45 14. Calcule el valor de “a + n”, si: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 15. Si: , calcule “b + n”. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 8 bc aaa 7  p 44 136 n 33 m 13 m p n    m n an bc  n 9 b 47 2 an  8 n 3 b 2 5 a 4  8 n 03 b 16 03 a 54  7 5 ) 1 n )( 1 m ( mn 4 abab    7 q 2 a 4 mnpq  7 d ) 1 b )( 3 b )( 3 b ( a 5 abb     ) n 2 ( 4 5 m 1 n 2 m  7 6 ) c 2 ( bb aabc  16 15 14 13 12 13 11  4 n a 20 1021  8 n 143 6 b 3  PROBLEMAS PARA LA CLASE
  4. 4. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 4 1. Si: 8729 = , calcule “a + b + c”. a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26 2. Exprese en base 5 el menor numeral de 4 cifras de la base 7. De como respuesta la suma de cifras de mayor y menor orden. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. Calcule el producto de las cifras del numeral que se obtiene al expresar en base 4 el menor numeral de tres cifras significativas de la base 9. a) 4 b) 10 c) 12 d) 9 e) 8 4. Calcule el valor de “a + n”, si se cumple que: = 639 a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 5. Calcule el valor de “m + n”, si: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 6. Calcule el valor de “a + b + n”, si: a) 9 b) 10 c) 11 d) 7 e) 8 7. Calcule el valor de: E = a) 33 b) 34 c) 35 d) 36 e) 37 8. Calcule “n - m”, si: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 9. ¿Cuántos numerales de cuatro cifras del sistema decimal tienen cuatro cifras en el sistema octanario? a) 3 960 b) 3 096 c) 2 460 d) 2 096 e) 2 069 10. ¿En cuántos sistemas de numeración el 881 se escribe con cuatro cifras? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 11. Si: Halle el valor de “a + b“ a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 12. Calcule “a + b + c + d”, si: a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 11 abc n a 7 7 m n 20 251  6 n abn 324  7 16 15 4 13 2 14 12 11   m a 1 b 1 n b 1 13 a 1  9 7 4 a 11 aabb  b 8 d ccb aba 9 7   TAREA DOMICILIARIA
  5. 5. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 5 • Introducción En el presente capítulo abordaremos conceptos y problemas que fueron tratados por grandes matemáticos, hace miles de años, tal es el caso de lo registrado en el papiro de RIND, hallado por este a fines del siglo pasado, que fue escrito unos 2000 años antes de nuestra era. Entre los problemas aritméticos que figuraban en dicho papiro esta el de "la repartición del pan" que más adelante se lo planteamos como un desafío. Por otro lado, la naturaleza nos muestra que muchos fenómenos pueden ser analizados según su recurrencia por ejemplo: el cometa Halley es visible desde la tierra cada 76 años, así también en nuestra vida encontramos aplicaciones sencillas como: * Ejemplo inductivo: Un médico recetó a Esmeralda tomar una pastilla cada 5 días a partir del 7 de marzo y durante dicho mes. Completa el siguiente esquema: N° toma : 1° 2° 3° .... ¯  ¯ Día : 7 ... ... Además: I. La tercera toma fue el día _______ de marzo. II. La última toma fue el día _______ de marzo y fue la ________ toma. III. La diferencia de días entre dos tomas consecutivas es ______ días. De este ejemplo se observa que: i) El conjunto: 7, 12, 17, 22, 27 es un conjunto ordenado donde a cada elemento llamaremos término. ii) Cada término tiene un orden designado o número ordinal el cual guarda una correspondencia con su respectivo término. Del ejemplo: primer término : t1 = 7 = 1 ´ 5 + 2 segundo término : t2 = 12 = 2 ´ 5 + 2 tercer término : t3 = 17 = 3 ´ 5 + 2 cuarto término : t4 = 22 = 4 ´ 5 + 2 quinto término : t5 = 27 = 5 ´ 5 + 2 iii) La característica fundamental de este tipo de conjunto es que: la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera es siempre un valor constante que llamaremos razón aritmética (r). Del ejemplo: "A un conjunto con esta característica lo llamaremos progresión aritmética" • Definición Una progresión aritmética es un conjunto de números, ordenados de tal manera que la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera (el de mayor orden menos el otro) es siempre una constante llamada valor de la razón aritmética (r) Ejemplo: Según el signo del valor de la razón aritmética, las progresiones aritméticas pueden ser: i) Progresión aritmética creciente, cuando la razón es positiva (r > 0) ii) Progresión aritmética decreciente, cuando la razón es negativa (r < 0) • Cálculo de un término de la P.A. cuyo lugar es “n”. Se recomienda establecer una correspondencia entre cada término y su respectivo número ordinal. * Ejemplo inductivo: Dada la P.A.: 6, 10, 14, 18,.... Halle: i) El término de n - esimo lugar (tn) ii) El término de vigésimo lugar (t20) Resolución: t1 t2 t3 t4 t5 +5 razón aritmética: r = +5 7 12 22 17 27 +5 +5 +5 1° 2° 3° 4° ...... n° 5 8 11 14 3n+2 +3 Término: N° ordinal: ...... +3 +3 razón aritmética: r = +3 6 , 13 , 20 , 27 , 34 , .... +7 razón: r = +7 +7 +7 +7 20 , 14 , 8 , 2 , -4 , .... -6 razón: r = -6 -6 -6 -6 N° ordinal: Término: 1° 2° 3° 4° .... n° 6 , 10 , 14 , 18 , , tn .... +4 +4 +4 .... CONTEO DE NÚMEROS
  6. 6. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 6 i) Cada término se deberá expresar en función de su número ordinal y la razón. t1 = 6 t2 = 6 + 1(4) t3 = 6 + 2(4) t4 = 6 + 3(4) ii) A partir de "tn" hallaremos "t20", para lo cual: n = 20 (lugar 20) t20 = 4(20) + 2 = 82 * Ejemplo 2: Dada la siguiente progresión aritmética, halle el término enésimo (tn) Luego: t1 = 7 t2 = 7 - 1(3) t3 = 7 - 2(3) t4 = 7 - 3(3) tn = 7 - 3(n - 1) tn = 10 - 3n En general: Dada una progresión aritmética, el término de enésimo lugar (tn) se calcula: tn = t1 + (n - 1)  r • Cálculo del número de términos de una P.A. Problema general.- Dada la siguiente progresión aritmética finita, calcule el número de términos (n) Sabemos: tn = t1 + (n - 1) ´ r Despejando "n" tenemos: * Observa que para calcular el número de términos "n", necesitas: r: razón aritmética tn: último término t1: primer término DESAFÍO La repartición del pan Entre cinco personas se repartieron cinco medidas de trigo, de tal suerte que la segunda recibió más que la primera tanto como le correspondió a la tercera más que la segunda, y a la cuarta más que la tercera y a la quinta más que la cuarta. Además, las dos primeras obtuvieron la séptima parte de las tres restantes. ¿Cuánto recibió la tercera?D E S   t = 6 + 9(4) 10 tn = 6 + (n - 1) (4) tn = 4n + 2 . . . . . . . . . . . . N° ordinal: 1° 2° 3° 4° ... n° -3 7 , 4 , 1 , -2 tn razón: r = -3 ... -3 -3 "n" términos t , t , t , t , .... , tn 1 2 3 4 r r r 1 r t t n 1 n    1 razón primero último términos #   
  7. 7. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 7 1. Halle el vigésimo término de la siguiente P.A.: 43(7); 61(7); 106(7);.... De como respuesta la suma de sus cifras. a) 6 b) 12 c) 8 d) 7 e) 5 2. ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A.: ? a) 27 b) 16 c) 22 d) 20 e) 18 3. En una P.A. decreciente los dos primeros términos de lugar par son 156 y 168, además el último término de lugar impar es igual a la razón. Calcule la cantidad de términos de la P.A., si es un número par. a) 32 b) 26 c) 40 d) 35 e) 30 4. Halle el tercer término positivo de: -141, -132, -123, ... a) 5 b) 9 c) 12 d) 22 e) 21 5. Si la diferencia entre el séptimo y segundo término de una P.A. es halle la diferencia entre el término de lugar 37 y el de lugar 25. a) 132 b) 120 c) 168 d) 48 e) 92 6. ¿Cuántas cifras se utilizarán para escribir todos los términos de la siguiente P.A.: 43, 51, 59, ..., 1203? a) 528 b) 456 c) 544 d) 654 e) 356 7. Calcule "a + b + c", si para escribir todos los términos del siguiente conjunto ordenado: 30, 35, 40,..... , se empleó 508 cifras. a) 16 b) 20 c) 22 d) 18 e) 24 8. ¿Cuántas cifras se han empleado para enumerar las 650 hojas de un libro? a) 4093 b) 3983 c) 4183 d) 1842 e) 4993 9. ¿Qué lugar ocupa el término central de la siguiente progresión aritmética: ?? a) 45 b) 37 c) 21 d) 17 e) 19 10. Calcule la suma de cifras del décimo tercer término de la siguiente P.A.:511(n), ..., 100(n), 52(n), 34(n) a) 5 b) 11 c) 6 d) 7 e) 8 11. Todos los términos de la siguiente P.A. son de tres cifras: Determine cuántos son, si es lo máximo posible. a) 26 b) 35 c) 64 d) 128 e) 96 12. Dadas las siguientes P.A.: P.A.1 = 30, 42, 54, ... P.A.2 = 81, 96, 111, ... Halle el vigésimo término común y el lugar que ocupa en la primera P.A. a) 366; 80 b) 1216; 124 abc , .... , 37 , cd , 23 , ab , nn abc cd , b 3 , 52 , 8 a , .... , ) b a ( ab  .... , dc ) 1 b ( , 3 ac , abc , aaa  PROBLEMAS PARA LA CLASE
  8. 8. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 8 c) 1116; 104 d) 1216; 104 e) 1116; 80 A F 1. Halle la fórmula (general) del término enésimo de la siguiente P.A.: 53, 65, 77,..., tn a) 50 + 6n b) 37 + 16n c) 17 + 12n d) 47 + 6n e) 41 + 12n 2. Halle el término de lugar 23 de la siguiente P.A.: 12(5); 23(5); 34(5), .... de como respuesta la suma de sus cifras. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 3. Halle el mayor término de tres cifras de la siguiente P.A.: 33, 38, 43, 48, .... a) 993 b) 999 c) 990 d) 998 e) 988 4. ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A.: ? a) 46 b) 82 c) 84 d) 60 e) 72 5. La diferencia entre el quinto y segundo término de una P.A. es 33, halle la diferencia entre el término de lugar 15 y el de lugar 23. a) 22 b) 11 c) 40 d) 88 e) 68 6. ¿Cuántas cifras se usan al escribir todos los números pares entre 48 y 650? a) 686 b) 587 c) 987 d) 887 e) 885 7. Para escribir todos los números impares desde 67 hasta "N" se han empleado 679 cifras. Halle "N". a) 479 b) 529 c) 629 d) 849 e) 649 8. ¿Cuántas hojas tiene un libro sabiendo que en la enumeración de todas ellas se observó que en las 12 últimas se utilizaron 69 cifras? a) 40 b) 80 c) 56 d) 64 e) 60 9. Halle cuántas cifras se emplearán al escribir todos los términos de la siguiente progresión aritmética: a) 156 b) 527 c) 120 d) 180 e) 200 10. Al enumerar las páginas de un libro se han empleado 1353 tipos de imprenta. ¿Cuántos tipos se utilizarían al enumerar el mismo libro en base 7? a) 1600 b) 1540 c) 1825 d) 1500 e) 1680 11. Calcule la suma de cifras del antepenúltimo término de la siguiente P.A.: si además: c > a a) 19 b) 9 c) 11 d) 8 e) 13 12. ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A.: fff , ... , def , aa , bc , a 8 c ) 1 a ( d , .... , dd , bc , 9 a , 1 a  abc , .... , 9 a , bb , 1 a ? ) p n ( pm , ... , mq , mp , mn  TAREA DOMICILIARIA
  9. 9. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 9 si además: p + q = 12 a) 98 b) 136 c) 100 d) 128 e) 102 ¿Cuáles son las raíces de la ecuación: 2x = x2? Dos de esas raíces son evidentes: x = 2 Ù x = 4. Mas, trazando los gráficos de las funciones: y = 2x Ù y = x2, constatamos que hay una raíz negativa, como se ve en la siguiente figura. A propósito de esa raíz negativa se pregunta: 1° ¿Es tal raíz un número racional o irracional? 2° ¿Es posible obtenerla por un proceso puramente algebraico? El problema de determinar las raíces de la ecuación: 2x = x2, ha sido propuesto varias veces, en diferentes ocasiones. La curiosidad que se suscita tal vez se deba al hecho de que las personas generalmente se sienten inseguras cuando, para resolver una ecuación, necesitan apelar a los abominables "métodos numéricos". Estamos condicionados a preferir métodos "algebraicos", fórmulas tales como la de la ecuación de segundo grado, o artificios específicos para cada ecuación que enfrentamos. Al adoptar este punto de vista, no obstante, estamos olvidando dos cosas: a) Una "fórmula cerrada", como la que existe para ecuaciones de 2°, 3° y 4° grado, es muchas veces una victoria ilusoria; ni siquiera nos da una idea del orden de magnitud de las soluciones. b) Todo proceso de resolución de una ecuación recae, tarde o temprano, en un cálculo numérico que dará el resultado final, con la aproximación deseada. En el caso en cuestión, la raíz negativa de la ecuación: 2x = x2, puede ser obtenida, de modo simple, por el método de las aproximaciones sucesivas. El resultado es: x = -0,7666646959, con 10 cifras decimales exactas. ÁLGEBRA NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 QUINTO GRADO ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 16 4 0 y = 2 x 4 2 y = x 2
  10. 10. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 10 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO FORMA GENERAL FORMACIÓN DE LA ECUACIÓN ax + bx + c = 0; a 0 2  depende suma se resuelve por Factorización Fórmula AB = 0 A=0 B=0   x = 1,2 2a -b b -4ac  2  = b - 4ac 2 Discriminante si  > 0 Raíces reales diferentes  = 0 Raíces reales iguales  < 0 Raíces complejas y conjugadas  0 Raíces reales > x x 1  2 x = x 1 2 x = m + ni x = m - ni m; n IR, además: i = -1 1 2  producto Diferencia se debe tener Suma = S - b a Producto = P c a donde x - Sx + P = 0 2 -b a c a  |a| S = P =
  11. 11. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 11 Teorema: (Raíces irracionales conjugadas) Sea la ecuación: ax2 + bx + c = 0; a  0 de raíces x1  x2; donde (a, b, c) Q (coeficientes racionales). Si: x1 = m + , es una raíz irracional, entonces: x2 = m - , es la otra raíz irracional conjugada.  C.S. = {m + ; m - } Teorema : (Raíces complejas conjugadas) Sea la ecuación: ax2 + bx + c = 0; a  0 de raíces x1  x2; donde (a, b, c)  IR. Si: x1 = m + ni, es una raíz compleja, entonces: x2 = m - ni; es la otra raíz compleja conjugada. C.S. = {m + ni ; m - ni} m, n  IR PROPIEDADES OPERACIONES CON RAÍCES ECUACIONES CUADRÁTICAS EQUIVALENTES suma de inversas si si si las ecuaciones ax +bx+c = 0 ; a 0 mx +nx+p= 0 ; m 0 2 2   1 x1 + 1 x2 = x + x x x 1 2 1 2 suma de cuadrados se cumple se cumple tienen Las mismas raíces o soluciones x + x = (x +x ) -2x x 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x + x = 0 b = 0 1 2 x x = 1 a = c 1 2 suma de cubos x + x = (x +x ) -3x x 1 2 1 2 1 2 3 3 3 (x +x 1 2) suma, producto y diferencia (x + x ) - (x - x ) = 4x x 1 2 1 2 1 2 2 2 se cumple b n a m c p = = 1 m n n n n PROBLEMAS PARA LA CLASE
  12. 12. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 12 1. Hallar “m”, si la ecuación presenta raíz doble. x 2 - (m + 1)x + 25 = 0 a) 1 b) 2 c) 3 d) 9 e) 10 2. Si la ecuación: ax 2 + bx + c = 0 tiene raíces simétricas “x 1 ” y “x 2 ”, calcular: M = x 1 2001 + x 2 2001 a) 1 b) - 1 c) - 2 d) 2 e) 0 3. Calcular la suma de raíces de la ecuación: x 2 - x +  = 0  > 0. : Discriminante. a) 3 b) 2 c) 5 d) - 2 e) F.D. 4. Determinar el valor de “p” para la siguiente ecuación: x 2 - 6x + 4 + p = 0 sabiendo que la diferencia de sus raíces es 2. a) 1 b) - 1 c) 4 d) - 2 e) 0 5. Formar una ecuación de segundo grado que tenga por una de sus raíces: a) 8x 2 + 20x + 9 = 0 b) 16x 2 + 20x + 9 = 0 c) 8x 2 + 40x + 9 = 0 d) 16x 2 + 20x + 18 = 0 e) 8x 2 + 10x + 18 = 0 6. Formar la ecuación de segundo grado, si tiene por raíces: M ± a) 2x 2 - Mx + 2 = 0 b) 2x 2 - 4Mx + 2 = 0 c) 2x 2 - 2Mx + 1 = 0 d) 2x 2 - 2Mx + 2 = 0 e) 2x 2 - Mx + 1 = 0 7. Indique el mínimo valor entero que puede tomar “a” para que una de las raíces de la ecuación: x 2 + (3 - 2a)x - 6a = 0 sea mayor que 18. a) 8 b) 9 c) 10 d) 7 e) 11 8. Si “” y “” son raíces de la ecuación: x 2 - 6x + c = 0 entonces el valor de: M = es igual a: a) 3 b) 6 c) - 6 d) 4 e) - 3 9. Hallar el valor de “k”, en la ecuación: (k - 1)x 2 - 5x + 3k - 7 = 0 para que una de las raíces de la ecuación sea la inversa multiplicativa de la otra. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 10. Para que una de las raíces de la ecuación: ax 2 + bx + c = 0 sea el triple de la otra, entonces la relación de coeficientes es: a) 16b2 = 4ac b) 3b2 = 16ac c) 16b2 = 3a d) 9b2 = 16ac e) 3b2 = 16a 11. Sea la ecuación cuadrática: x2 - mx + m - 1 = 0 Indique la diferencia entre el mayor y menor valor de “m”, si el discriminante es igual a la suma de raíces. a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) 4 12. Calcular el valor de “m” no nulo para que una raíz de la ecuación (1) sea el triple de una raíz de la ecuación (2). x2 - 11x + m = 0 ... (1) x2 - 9x + m = 0 ... (2) a) 12 b) 24 c) 28 d) 26 e) 48 4 5 - 7 1 - M2 9 c 2 2 2     TAREA DOMICILIARIA
  13. 13. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 13 1. Si la ecuación: (b + 5)x 2 + 3bx + b = 0 presenta raíces iguales, hallar “b”. a) 0 b) - 2 c) 4 d) 8 e) 6 2. Formar una ecuación de segundo grado, sabiendo que sus raíces son: a) x 2 - 14x + 49 = 0 b) x 2 - 14x + 45 = 0 c) x 2 - 14x + 47 = 0 d) x 2 + 14x - 47 = 0 e) x 2 - 14x - 47 = 0 3. Calcular “a/b”, si las ecuaciones: 2ax2 - (8b - 3)x + 18 = 0 x2 + (b + 5)x + 6 = 0 son equivalentes (tienen las mismas raíces). a) 1/6 b) -3/2 c) -11/8 d) -9/2 e) -2/9 4. Sean “S” y “P” la suma y el producto de raíces de la ecuación de incógnita “x”: (k - a)(x2 - x) = -(k + a) si: S < P; son números consecutivos. Hallar “k” en función de “a”. a) - a b) 2a c) a d) 3a e) 3a/2 5. Los límites hacia los que tienden las raíces de la ecuación: (a - 2)x2 - (7a - 2)x + 6a = 0 cuando “a” crece indefinidamente. a) 1 y 6 b) 2 y 3 c) 1 y 3 d) 2 y 6 e) 2 y 7 6. Para qué valor de "n" las raíces de la ecuación: son simétricas. a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 7. Si "x 1 " y "x 2 " son las raíces de la ecuación: x 2 - 3x + 1 = 0. Calcular el valor de: a) 6 b) 19 c) 21 d) 23 e) 25 8. Dada la ecuación: 5x 2 + 7x + 3 = 0 Determinar la ecuación de segundo grado que tiene por raíces las inversas de las raíces de la ecuación. a) x2 + 7x + 5 = 0 b) 2x2 + 7x + 5 = 0 c) 3x2 + 7x + 5 = 0 d) x2 + 2x + 3 = 0 e) x2 + 5x + 7 = 0 9. Si "p" y "q" son las raíces reales de la ecuación: x 2 + x - 1 = 0 y la función cuadrática: f (x) = x 2 + ax + b; se anula para: Hallar "ab". a) 6 b) -6 c) 8 d) -8 e) 4 10. En la siguiente ecuación, hallar la suma de raíces. x(x + 2) + 5 = 3(2 - x) + x a) 2 b) - 2 c) 4 d) - 4 e) 5 11. Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 10. (m - 2)x 2 - (m + 5)x + 8 = 0 a) 25 b) 25/9 c) 9/25 d) 1/4 e) 1/25 12. Dada la ecuación: 9x 2 + 5x + 1 = 0 con raíces “x 1 ” y “x 2 ”. Calcular “k”, si: 3(x 1 x 2 ) k - 4 = 1 a) 7/12 b) 12/7 c) -7/12 d) 4 e) 9 2 7 x ; 2 7 x 2 1     1 n 1 n 2 5x 3x x2          1 x x 1 x x M 2 2 2 2 1 1     p 1 q x ; q 1 p x 2 1     TALLER N
  14. 14. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 14 1. Resolver la ecuación: x 2 - 7x + 12 = 0 y dar como respuesta el producto de las raíces dividido entre la suma de las raíces. a) 7/12 b) 12/7 c) -7/12 d) -12/7 e) 1 2. En la ecuación: x 2 + 6x - m = 0 Hallar “m”, si una raíz es - 2. a) - 1 b) - 4 c) - 8 d) 6 e) 2 3. Hallar el valor de “k” que hace que la suma de las raíces de la ecuación: x 2 + (k + 2)x - k 2 + 4 = 0 sea igual al producto de las mismas. (k < 0) a) - 3 b) - 2 c) 0 d) - 1 e) 2 4. Cuáles son las raíces de la ecuación: x 2 - 3px + 2p 2 = 0 a) p y - 3p b) - p y p 2 c) p y 2p 2 d) p y 2p e) - p y -2p 5. Si “a” y “b” son las raíces de la ecuación: x 2 - px + 36 = 0. Determinar “p” de modo que: a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11 6. Hallar el valor de “b” si la ecuación: 5x 2 - bx = 9 tiene como solución: x = 3 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 12 5 1 1    
  15. 15. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 15 Factorial de un número Z+ Llamamos así al producto que resulta de multiplicar todos los números enteros y positivos consecutivamente desde la unidad hasta el número considerado inclusive. Se lee: factorial de "n" ó "n" factorial. = 1 . 2 = 2 = 1 . 2 . 3 = 6 = 1 . 2 . 3 . 4 = 24 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 = 720 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 = 5 040 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 = 40 320 En general: = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 ..... (n - 3) (n - 2) (n - 1) n Regla: - = (n + 3) (n + 2) (n + 1) n(n - 1) ... 3 . 2 . 1 - = 80 . 79 . 78 . 77 ..... 3 . 2 . 1 - = (2n - 6) (2n - 7) (2n - 8) .... 3 . 2 . 1 - = (n - 4) (n - 5) (n - 6) (n - 7) ... 3 . 2 . 1 Observaciones: 1. 2. 3. Propiedades: 1. 2. Por definición: Por acuerdo: 3. Si: Ejemplo: 4. Todo factorial mayor contiene un factorial menor (por lo menos). n! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . ..... . (n - 2) (n - 1) (n) Número combinatorio Representación del número de combinaciones de "n" elementos tomados de "k" en "k". • Definición matemática: = = = 6 = = = 35 = = = 1 225 n! ó n ó n 2 3 4 5 6 7 8 n n + 3 80 2n - 6 n - 4 a ± b a b ± ab a b a b a b n + 0 1 = 1 0 = 1 a = 1 a = 1 a = 0 a = b 2x - 10 = 720 2x - 10 = 6 2x - 10 = 6 x = 8 n! = (n - 1)!n = n - 2 (n - 1) (n) n + 3 = (n + 3) (n + 2) n + 1 2n + 5 = (2n + 5) (2n + 4) 2n + 3 n k k n k n C ; C ; C C = n k n k n - k ; n k . 4 2 C 4 2 4 - 2 . 2 . 2 24 7 3 C 7 3 . 4 7.6.5 . 4 6 . 4 50 48 C 50 48 . 2 50.49 . 48 48 . 2 NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 02 QUINTO GRADO FACTORIAL: NÚMERO COMBINATORIO
  16. 16. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 16 • Regla práctica: (k  8) - - - • Propiedades: 1. 2. Propiedad complementaria: - - - 3. Igualdad: 1ra posibilidad: p = q 2da posibilidad: p + q = n 4. Suma de combinatorios: - - - 5. • Reglas de degradación 1. - - 2. - 3. - C = n k n k n - k = n(n-1)(n-2)....(n-k+1) n - k 1.2.3.......k n - k . . 35 ) 3 )( 2 )( 1 ( ) 5 )( 6 )( 7 ( C7 3   6 ) 2 )( 1 ( ) 3 )( 4 ( C4 2   35 ) 4 )( 3 )( 2 )( 1 ( ) 4 )( 5 )( 6 )( 7 ( C7 4   n k C n Z + k Z + 0 k n Cn k = Cn n - k 8 x 6 8 x ) 2 x ( ) 8 x ( 8 x 2 x C C C          225 1 ) 2 )( 1 ( ) 49 )( 50 ( C C 50 2 50 48    Cn n = Cn 0 = 1 3 3 10 0 7 0 C C 1 C    Cn p = Cn q Cn k + Cn k + 1 = Cn + 1 k + 1 11 7 10 7 10 6 C C C   17 x 2 x 16 x 1 x 16 x 2 x C C C         12 5 11 4 10 3 9 2 8 1 7 0 C C C C C C S       C 8 0 + C 8 1 C 9 1 + C 9 2 C 10 2 + C 10 3 C 11 3 + C 11 4 C 12 4 + C 12 5 C13 5 C n 1 = n 1 n 1 k n k C k n C    8 1 9 2 10 3 C . 2 9 . 3 10 C . 3 10 C   4 x 1 x 5 x 2 x C . 2 x 5 x C        n 1 k n k C . k 1 k n C     7 x 1 x 7 x 1 x 7 x 2 x C 2 x 6 C . 2 x 1 ) 2 x ( ) 7 x ( C               1 n k n k C . k n n C    6 3 6 3 7 3 C . 4 7 C . 3 7 7 C   
  17. 17. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 17 1. Resolver: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 2. Simplificar: a) 16 b) 18 c) 14 d) 15 e) 10 3. Calcular "n", si: a) 24 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 4. Sabiendo que: Simplificar: a) 0,5 b) 0,6 c) 0,75 d) 0,3 e) 0,2 5. Calcular: a) 2005 b) 2006 c) 2007 d) 2008 e) 2009 6. Hallar "n": a) 20 b) 21 c) 28 d) 24 e) 22 7. Hallar "x": 1 + 2.2! + 3.3! + ... + x.x! = 719 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 8. Calcular la suma: a) b) c) d) e) 9. Determinar "m" a partir de: a) 80 b) 81 c) 82 d) 83 e) 84 10. Resolver: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 11. Si: calcular “m + n” a) 5 b) 6 c) 10 d) 8 e) 9 12. Calcular "n", si: a) 11 b) 10 c) 9 d) 7 e) 8 13. Indicar el producto de las soluciones de: a) 42 b) 72 c) 108 d) 90 e) 84 14. Calcular "x", si: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 15. Hallar un valor de "m + n + p" en: a) 29 b) 52 c) 56 d) 49 e) 0      n+2 n+2 n+2 n+2 0 1 2 n+2 C C C ... C 2048                         ! 36 ! 35 ! 34 ! 70 ! 69 ! 71 ! 7 ! 6 ! 8 ! 7 ! 6 P 5 9 4 ! n ) 3 ! n ( ! n    b a 4 b 1 a 1    )! 1 ! b ( ! b )! ! b ( 3 )! 1 ! a ( ! a )! ! a ( 2 E         2006 2006 2006 2006 0 1 2 2004 C C C C 21 n 2 21 21 n 2 22 n 21 2 n 21 1 n 22 2 n 20 C C C C C C           1 n C ...... 3 C 2 C 1 C S n n n 2 n 1 n 0       1 n 2 1 n   1 n 1 2 1 n    n 1 2 1 n   1 n 1 2n   1 n 1 2 1 n    ! 80 ! 81 ! 81 ! 82 1 m m2     23 ! x ! ) 1 x ( ! x ! ) 1 x ( 2 ! x x             , 14 ) ! m ( ) n ( ! 8  3 n 1 n 5 n 1 n C 7 C      x 14 x 2 x 4 C C   3 x 5 2 x 8 x 7 x 6 x 5 C C C C 2 C       1 C C .... C C C 29 p sumandos " n " m 9 12 9 11 9 10 9                    PROBLEMAS PARA LA CLASE
  18. 18. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 18 1. Simplificar: a) 840 b) 870 c) 890 d) 860 e) 820 2. Reducir: a) 60/65 b) 61/65 c) 50/61 d) 61/67 e) 100/51 3. Simplificar: a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 4. Reducir: a) 1 b) 2 c) 35/3 d) 35/6 e) 1/8 5. Hallar la suma de soluciones de la ecuación: a) 3/4 b) 1 c) 7/4 d) -1/4 e) 1/8 6. Resolver la ecuación, hallando el número de soluciones: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7 7. Calcular: a) 400 b) 100 c) 45 d) 504 e) 506 8. Calcular el valor de "n" a) 5 b) 6 c) 7 d) a o b e) a y b 9. Calcular un valor para "n + p", en: a) 4 b) 6 c) 10 d) 14 e) 20 10. Calcular "x" en: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 11. Resolver: y calcular: x2 + x + 1 a) 31 b) 111 c) 421 d) 73 e) 562 12. Calcular "n", si: 3.3! + 4.4! + 5.5! + ... + n2.n2 ! = 145 ! - 6 a) 10 b) 12 c) 14 d) 8 e) 16 13. Si: Determinar: a) 6 b) 8 c) 15 d) 48 e) 105 14. Reducir: a) 380 b) 385 c) 386 d) 387 e) 400 15. Hallar "n", en: a) 1 b) 6 c) 12 d) 13 e) 14 ! 28 ! 30 S  Q = 12 + 14 13 + 14 S = 15 + 16 + 17 15 + 16 + (3!)! 6! 6! + 5! 5! + 4! 0 4x - 3 = 1 x - x = 720 2 M = 400 399 + 100 99 + 4 3     8 8 9 10 11 2 3 4 5 n C C C C C n 2 p 10 n 2 2 p C C    8 5 8 2 C C 2 x 2 2 x x 2 x 2 x 2 1 x 1 x 0 C 21 11 C ... C C C                            1 n 76 11 n 77 3 ! ! 3 n ... ! 7 ! 8 ! 9 ! 8 ! 9 ! 10 ! 9 ! 10 ! 11 M        78 C nC .... C C 4 C C 3 C C 2 1 C n 1 n n n n 3 n 4 n 2 n 3 n 1 n 2 n 1       TAREA DOMICILIARIA
  19. 19. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 19 1. Simplificar: a) 80 b) 100 c) 110 d) 200 e) 300 2. Calcular "a" de: a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 6 3. Reducir: a) b) c) d) e) 4. Calcular "n", en: = 1024 a) 6 b) 52 c) 4 d) 3 e) 8 5. Calcular "x", en: a) 2 b) 3 c) 1 d) 5 e) 4 6. Reducir: a) 380 b) 385 c) 386 d) 387 e) 400          9! + 8! 10! + 9! 8! 9! 16 )! 2 a ( )! 2 a ( )! 1 a ( ! a       13 4 12 3 11 2 10 1 8 0 C C C C C     6 0 C 14 4 C 13 3 C 13 5 C 14 5 C 4 n 4 n 4 n 3 4 n 2 4 n 1 4 n 0 C .... C C C C            x = 3! + 3! + 3! + ... ... ! 7 ! 8 ! 9 ! 8 ! 9 ! 10 ! 9 ! 10 ! 11 M        TALLER Nº 02
  20. 20. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 20 Trapecio ________________________________________ ________________________________________ Tipos de Trapecio Propiedades del Trapecio: 1. Mediana o Base Media 2. Segmento que une los puntos medios de las diagonales 3. Cualquier Trapecio 4. Trapecio Isósceles       h A B C D BC : Base Menor AD : Base Mayor h : Altura BC // AD     + = 180° + = 180°     Trapecio Escaleno Trapecio Isósceles Trapecio Rectángulo a b M N MN = a + b 2 a b - a 2 PQ = P Q b a M N MP = QN = a 2 P Q a a + b 2 AH = MN = b A D H b - a 2 HD = PQ = M N P Q GEOMETRÍA NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 QUINTO GRADO CUADRILÁTEROS
  21. 21. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 21 1. En un paralelogramo ABCD se construyen exterior- mente los triángulos equiláteros ABM y BCN. Por “M” se traza la perpendicular MH a . Si: m<NDC = 40°; hallar: m<HMB. A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° E. 12° 2. Hallar la base menor de un trapecio, si la diferencia de la mediana y el segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a 10 m. A. 5 m B. 10 C. 20 D. 2,5 E. 15 3. En la figura ABCD y APQR son cuadrados, AB = 4 cm y CR = 11 cm. Hallar “PD”. A. 10 B. 17 C. 15 D. 13 E. 20 4. Calcular “a”, si PQRS es un cuadrado. A. 18° B. 30° C. 20° D. 24° E. 45° 5. Se tiene un paralelogramo ABCD en el cual la bisectriz interior del ángulo "B" corta en "F" a . Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de y , si: CD = 10 m. A. 5 m B. 6 C. 8 D. 9 E. 10 6. En un trapecio ABCD ( ). Calcular el segmento que une los puntos medios de las bases, si: m <A = 48°; m <D = 42°. Además: AD - BC = 18 m. A. 4 m B. 4,5 C. 6 D. 8 E. 9 7. En un rectángulo ABCD por un punto “P” de la diagonal BD se prolonga hasta un punto “M” de modo que: PM = PC. Además: BD = 20 m y BP = 6 m, hallar “AM”. A. 6 m B. 8 C. 9 D. 10 E. 12 8. Calcular la mediana de un trapecio cuyas diagonales son perpendiculares y miden 18 y 24 m. A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 E. 18 9. En la figura, ABCD es un rombo y ABE es un triángulo equilátero. Calcular “x”. A. 30° B. 45° C. 53° D. 60° E. 90° 10. Las mediatrices de AD y CD de un paralelogramo ABCD se intersectan en "M" que pertenece a BC. Hallar m<MAD, si m<B = 110°. A. 30° B. 40° C. 45° D. 50° E. 60° 11. Calcular “x”, si ABCD y BEFG son cuadrados congruentes. Además: AM = MD. A. 6° B. 8° C. 12° D. 16° E. 20° ND A P Q R B C D A Q R S 2  P B 2 AD CF BD BC // AD CP D A E B C x 2  D C A B E G F x M PROBLEMAS PARA LA CLASE
  22. 22. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 22 1. En un trapezoide ABCD, la diferencia de dos ángulos opuestos es 80°. Hallar la medida del ángulo que forman las bisectrices de los otros dos ángulos. A. 80° B. 120° C. 60° D. 160° E. 140° 2. En un cuadrado ABCD cuyo perímetro es 48 cm se dibuja el triángulo equilátero AMD interior. Calcular la distancia desde el vértice “A” hacia la prolongación de . A. cm B. 3 C. D. E. 3. En un trapecio rectángulo ABCD ( = = 90°) se trazan las bisectrices exteriores de los ángulos “C” y “D” las cuales se intersectan en “P”. Hallar la distancia desde “P” hacia , si: BC=3cm; AD=6cm y CD=5 cm A. 6 cm B. 9 C. 7 D. 8 E. 12 4. Del gráfico, hallar “FD”, si: DE = 8 y FG = 12 A. 16 B. 18 C. 24 D. 20 E. 32 5. Hallar “x”, si ABCD es un cuadrado. A. 45° B. 37° C. 60° D. 53° E. 75° 6. Hallar: m<BEF, si ABCD es un cuadrado y BF = 3 AF. A. 30° B. 37° C. 53° D. 45° E. 60° 11. Si: AD = 6 cm y CH = 2 cm, hallar “” A. 15° B. 30° C. 36° D. 22°30’ E. 26°30’ 12. Si ABCD es un romboide, hallar “BF” sabiendo que BC = 7 cm y CD = 5 cm. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 2,5 13. Si ABCD es un paralelogramo, PQ = 12 cm y EF = 17 cm, hallar “EL”. A. 5 B. 7 D. 8 D. 9 E. 10 14. Si: // y ABCD es un trapecio isósceles, hallar “AD”. Además: EC = 5 m A. 8 m B. 10 C. 15 D. 20 E. 30 15. Hallar “x”, si: AB + BC = CD. A. 10° B. 30° C. 37° D. 45° E. 53° CM 3 2 6 2 3 3 4 2 A B AB B D A H C F G E A B C D x x A B C D F E A B C D H   C D B A F   C D B A P  L  E Q F BC AD A B C D E 30° 30° A B C D x 2  TAREA DOMICILIARIA
  23. 23. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 23 1. En la figura mostrada, calcular “”, si: AD = 5 m y DC = 3 m. A. 37° B. 60° C. 53° D. 45° E. 30° 2. Hallar “”, si la recta “L” es mediatriz de y AB = BC. A. 80° B. 40° C. 70° D. 60° E. 50° 3. Calcular “x”, si: a + b = 220° y CN = MN. A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° E. 150° 4. Calcular “x” en la figura, si: AB = EC y AC = CD. A. 30° B. 20° C. 24° D. 28° E. 32° 5. Si: AB = BP, AD = PC y m<BCD = m<BDC, calcular “x“. A. 15° B. 16° C. 17° D. 18° E. 20° 6. En la figura, calcular “x”, si: AB = CD y  A. 100° B. 135° C. 105° D. 150° E. 120° 7. En un triángulo ABC se traza la mediana BM y la perpendicular a dicha mediana de tal manera que: BP = 2PM y m<PAC = 37°. Calcular: m<ACB. A. 30° B. 60° C. 37º/2 D. 69º/2 E. 53º/2 8. En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en “C”, se traza la mediana CM de tal manera que CM = 5 m, BC = 8 m y AC = 6 m. Calcular: m<ACM. A. 15° B. 30° C. 37° D. 45° E. 53° 9. En un triángulo ABC, se traza la mediana AM y la altura BH que biseca a dicha mediana en el punto “O”. Calcular “OH”, si: BH = 16 m. A. 2 m B. 3 C. 4 D. 6 E. 8 10. Se tiene el triángulo equilátero ABC, exteriormente al lado BC se ubica el punto "E"; interiormente se ubica el punto "D" tal que el triángulo CDE es equilátero. Calcular m<DEB, si m<ADC = 100° A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° E. 45° A  B C D  AD A B C D 60°  L A B C   N M x b a A B C D 40° 5x E A B C D 4x 3x P A B C  D  x AP NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 02 QUINTO GRADO REPASO DE TRIÁNGULOS.
  24. 24. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 24 1. Según el gráfico, calcular “”, si: AD = 2DC. A. 15° B. 18°30' C. 30° D. 37° E. 24° 2. Hallar “x” en la figura. A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° E. 40° 3. Hallar: AB + BC, si: AP = 3 m; PR = 10 m; RC = 12 m; m<BAC = 2mÐQBR y m<ACB = 2m<PBQ. A. 28° B. 30° C. 32° D. 35° E. 36° 4. Hallar ” de la figura mostrada. A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° E. 45° 5. Los catetos de un triángulo rectángulo ABC miden AB = 8 m y BC = 15 m. Se traza la altura BH y las bisectrices BP y BQ de los ángulos ABH y HBC respectivamente. Hallar “PQ”. A. 2 m B. 3 C. 6 D. 8 E. 9 6. Calcular “x”, si es bisectriz exterior del DABC. Además: a - b = 80°. A. 20° B. 30° C. 40° D. 60° E. 80° 7. Según la figura mostrada, calcular: x + y. A. 180° B. 190° C. 120° D. 200° E. 210° 8. Hallar “x” en la figura, si: m<BCA + 2m<ABD = 140°. A. 30° B. 34° C. 44° D. 40° E. 64° 9. En la figura, MP = 2BQ. Hallar: m<QBC. A. 30° B. 40° C. 60° D. 50° E. 53° A C B  2 D P   A C B Q P 40°   x 3  A C B P Q R  A C B     3 2 CD A B C  D  x A B C   x 30° y y A B C  D P 60°  3 2 x A B C P 3   M Q 15° TAREA DOMICILIARIA
  25. 25. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 25 1. En la figura mostrada, calcular: mBAC, si: PQ = 2BH. A. 15° B. 20° C. 30° D. 40° E. 60° 2. En un triángulo ABC, mA = 2mC = 40°, se traza la ceviana BF tal que: AB = FC. Calcular: mBFC. A. 120° B. 150° C. 130° D. 110° E. 140° 3. En un triángulo ABC, mBCA = 2mBAC. Se toma el punto medio “R” de y se traza la paralela a (“P” exterior relativo a ) tal que: PC = BR = AR. Hallar “PR”, si: BC = 6 m y AC = 2 m. A. 1 m B. 2 C. 3 D. 1/2 E. 3/2 4. En un triángulo ABC se traza la ceviana BL tal que: mABC = mBLC = 150°. Luego se traza la bisectriz interior CF. Calcular la distancia desde “F” a , si: BC = 8 m y LC = 6 m. A. 1 m B. 2 C. 3 D. 1/2 E. 3/2 5. En un triángulo rectángulo ABC recto en “B”, la prolongación de la bisectriz interior y la mediatriz relativas a forman un ángulo cuya medida es la mitad del ángulo BCA. Calcular: m BAC. A. 10° B. 30° C. 60° D. 15° E. 25° 6. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior BP y en se ubica el punto “Q” de modo que: mPQC = 2mABP y mBPQ = mPCQ. Calcular: mABP, además: AB = BP. A. 18° B. 30° C. 36° D. 60° E. 72° A B C P Q H 50° x AB RP AC AB BL AC BC TALLER DE APRENDIZAJE
  26. 26. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 26 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE ÁNGULO NOTABLES: Son aquellos triángulos rectángulos en los cuales conociendo las medidas de sus ángulos agudos se puede establecer la proporción en la que se encuentran los lados de dicho triángulo. Los más usados son: Además: 1. Razones Recíprocas o Inversas 2. Razones de Ángulos Complementarios (CO - razones) 45º a a a 2 5b 4b 3b 37º 30º c 2c c 3 45º 53º 60º 3 3 2 4 5 2 3 5 2 csc 2 3 5 2 4 5 3 3 2 sec 3 3 4 3 1 3 4 3 ctg 3 3 4 1 4 3 3 3 tg 2 1 5 3 2 2 5 4 2 3 cos 2 3 5 4 2 2 5 3 2 1 sen º 60 º 53 º 45 º 37 º 30 iguales Ángulos 1 x sec x os c 1 x csc x sen 1 x ctg x tan       º 90 csc sec cos sen ctg tg              TRIGONOMETRÍA NIVEL: SECUNDARIA QUINTO GRADO RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO II
  27. 27. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 27 01. Calcular: a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 02.AB = BC y además AN y BM son bisectrices de los ángulos BAC y ABC respectivamente. Si : . Entonces el valor de "x" es: a) 150º b) 120º c) 135º d) 105º e) 127º 03.Hallar : " " si : a) 22º b) 52º 30' c) 32º d) 42º 30' e) 62º 04.Si en el gráfico : AB = BC. Calcule : . a) 2/9 b) 4/9 c) 2/3 d) 1/3 e) 2/5 05.Del gráfico, obtener : . a) 4/3 b) 3/4 c) 5/4 d) 2/3 e) 4/5 06.Del gráfico, calcular: Si : ABCD : cuadrado. a) 6 b) 12 c) 9 d) 18 e) 14 07.En el paralelogramo ABCD, calcular el valor de : . a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 08.Del gráfico. Calcular : "tg ", si el triángulo ABC es equilátero. a) √3 2 b) √3 3 c) √3 4 d) √3 5 e) √3 6 º 60 tan 3 º 45 sec º 37 sen 5 Q 2 2    3 ) ( Tan     N A B C M  x   º 45 tan 2 º 30 sen 2 ) tan(      1 º 60 tan ) sec( 2       Tan A B C  53º M  Tan M 37º A B O   Cot A B C D 37º      Tan 13 Cot 9 W 45º 53º  A B C D  B C A  2 3 PROBLEMAS PARA LA CLASE
  28. 28. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 28 01. Del gráfico. Halle "ctg x". a) √3 + 1 b) √3 + 2 c) √3 + 3 d) √3 + 4 e) 2√3 - 1 02.Del gráfico. Calcular : . a) 9/4 b) 7/4 c) 5/4 d) 6/5 e) 3/10 03.Calcular "x" si : sec (3x - 5º) = csc (x + 15º) a) 5º b) 10º c) 15º d) 20º e) 25º 04.Si : tg 7x = ctg 2x. Calcular : a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 05.Si : sen 3x . csc (70º - 2x) = 1 Calcular : x + 20º a) 14º b) 34º c) 28º c) 36º e) 40º 06.Calcular "x" si : tg (3x - 10º) . tg 25º = 1 a) 5º b) 10º c) 15º d) 20º e) 5º 07.Si : sen 7x = cos 4x Calcular : a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 e) -2 08.Si : sec (m - 10º) = csc (n + 10º) Calcular : a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 09.Si : sen 3x . csc (40º - x) = 1 Calcular : E = tg x . tg 2x . tg 3x ...... tg 8x a) 1 b) 2 c) 3 d) e) 3 10. Si : 𝑋 3 = 𝑌 4 Además : sen (2x + y) = cos 2y Calcular : E = 5x + 3y a) 2𝜋 3 b) 3𝜋 4 c) 4𝜋 5 d) 5𝜋 6 e) 6𝜋 7 11. UNMSM (2002) Sea : (cos 17º + 5 sen 73º) . sec17º = 4 tg a 0º < < 90º. Hallar e valor de : M = sen  + 5 cos   a) 3 2 √13 b) 2 3 √13 c) 2√13 d) 4 3 √13 e) √13 12. Indicar el mayor valor que toma "tg x". Si: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 37º 30º x    sen 4 - cos 3 J A B O  37º 3x sen 4 tg6x 3 E   x 8 ctg x 3 tg x 10 csc x cos E                    3 n m csc 2 n m tg E 3 3                  x ctg 5 csc x tg 5 sec TAREA DOMICILIARIA
  29. 29. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 29 * CÁLCULO DE LADOS : Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados faltantes de un triángulo rectángulo en términos de un lado que sí se conoce; y de un ángulo agudo que también se conoce. Criterio : Casos : 1. 2. 3. * SUPERFICIE DE UN TRIÁNGULO : La superficie de un triángulo se puede calcular como el semiproducto de las medidas de dos de sus lados, multiplicados por el Seno del ángulo que forman dichos lados. conocido) .( T . R conocido Lado o desconocid Lado    A B C L     BC Tan L BC    AC L AC I) II)  A B C L     AB Cot L AB    AC L AC I) II)  A B C L     BC Sen L BC    L AB I) II) a b c A B C h 2 h b SABC   2 aSenC b SABC   Sabemos : pero : h = aSenC luego : SenC 2 ab SABC  SenB 2 ac SABC  SenA 2 bc SABC  Análogamente : TRIGONOMETRÍA NIVEL: SECUNDARIA QUINTO GRADO RESOLUICIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
  30. 30. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 30 01. Del gráfico, determine "x". a) b) c) d) e) 02.Determinar . a) b) c) d) e) 03.Del gráfico, hallar "x". a) b) c) d) e) 04.Determine "x" en : a) b) c) d) e) 05.Determine "x" en : a) b) c) d) e) 06.Si ABCD es un cuadrado, determine "x". a) b) c) d) e) 07.Del gráfico, hallar "x". a) b) c) d) e)  m x  Sen m  Cos m  Sec m  Csc m   Tan m CD   A B C D m    Sen mTan    Cos mCtg    Cos mTan    Csc mTan    Sen mCtg  m 45° x 1 Tan m   1 Ctg m     Ctg 1 m   Tan 1 m ) Tan 1 ( m     m x     Sen Sen m     Cos Sen m     Sec Sen m     Sec Cos m     Sen Cos m  m x   2 Sec m   2 Cos m   2 Sen m   2 Csc m     Csc Sec m A B C D x L    2 Sen L   2 Cos L ) Cos Sen ( L         Cos Sen L 2     2 Cos Sen L m x   ) 1 Sec ( m 2    ) 1 Csc ( m 2    ) 1 Tan ( m 2    ) 1 Ctg ( m 2    ) Ctg Tan ( m 2 2     PROBLEMAS PARA LA CLASE
  31. 31. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 31 01. Del gráfico, hallar "x", si ABCD es un cuadrado. a) b) c) d) e) 02.Del gráfico, hallar : ED a) b) c) d) e) 03.En la figura : ABCD es un rectángulo inscrito en la circunferencia de centro O, ; , AB=a. Hallar el radio de la circunferencia. a) b) c) d) e) 04.Hallar el área del triángulo mostrado : a) b) c) d) e) 05.Del acuerdo al gráfico, determine "x" en función de los datos indicados. a) L cos  + d + (L sen  + h) ctg  b) L cos  + d + (L sen  + h) tg  c) L sen  + d + (L sen  + h) ctg  d) L sec  + d + (L sen  + h) tg  e) L csc  + d + (L sen  + h) tg  06.Un aro de diámetro "D" es visto por un niño bajo un ángulo "2". ¿Cuál es la mínima distancia del ojo del niño al aro? a) b) c) d) e) 07.Desde un punto en tierra ubicado a una distancia "d" de la base de un árbol, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación "". El árbol es cortado a una altura "h" de su base; y al caer su punta forma con el suelo un ángulo "". Hallar : . a) b) c) d) e) 08.Del gráfico. Hallar : a) b) c) d) e)  n A B C D x  nSen  nCos  Csc nTan  nCsc   Cos . nCtg  A B C D E m   mCtg  mSec  2 mSec  2 mCtg  2 mTan   ARD AB // RS O A B C D S R   Cos 2 a  Cos 2 a  Sen 2 a  aSen   Cos 2 1 a 2a   Cot a 2  Cot a 2 2  Tan a2  Tan a 2 2  Tan a x L  d h  ) 1 (csc D   ) 1 (sec D   ) 1 (csc 2 D   ) 1 (sec 2 D   ) sen 1 ( 2 D   h d    tg ) 1 (sec    tg ) 1 (csc    ctg ) 1 (sec    ctg ) 1 (csc    tg ) 1 (csc      tg tg tg J  B P S Q H A C    5 cos  4 cos  3 cos  2 cos  cos TAREA DOMICILIARIA
  32. 32. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 32 1. En un triángulo rectángulo ABC se sabe que : . Se traza la mediatriz de que corta a en "M" y a en P. Si : PM =n, halle la longitud de AB en función de los datos. a) n cos  b) n sen  c) 2n tg  d) 2n ctg e) 2n cos  2. Hallar el perímetro del triángulo mostrado: a) b) c) d) e) 3. La siguiente figura es un cuadrado, donde Q es punto medio del lado AB. Determine : . a) 2 b) 5/4 c) 3 d) 4 e) 2√5 4. En la figura, hallar "x" a) b) c) d) e) 5. En la figura mostrada. ¿A qué distancia se encuentra el globo respecto del lago? a) b) c) d) e) ) º 90 B̂ (    A Ĉ B ) º 45 (   AC AC BC  a ) Sen 1 ( a   ) Cos 1 ( a   ) Sen 1 ( a 2   ) Cos 1 ( a 2   ) Tan 1 ( a    Csc  A B C D Q  k x    Sen kSec5    Tan kSec 6    7 Sec kCtg    6 Cos kTan    Cos kSec5 H Lago Imagen Globo   2 HCos  2 HSen  2 HSec  2 HCsc  2 HCtg TALLER DE APRENDIZAJE
  33. 33. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 33 El MÉTODO INDUCTIVO crea leyes a partir de la observación de los hechos, mediante la generalización del comportamiento observado; en realidad, lo que realiza es una especie de generalización, sin que por medio de la lógica pueda conseguir una demostración de las citadas leyes o conjunto de conclusiones. Estas conclusiones podrían ser falsas y, al mismo tiempo, la aplicación parcial efectuada de la lógica podría mantener su validez; por eso, el método inductivo necesita una condición adicional, su aplicación se considera válida mientras no se encuentre ningún caso que no cumpla el modelo propuesto. Ejemplo 1 : ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada? Resolución : Analizando por partes, tenemos : Caso 1 Caso 2 Caso 3 En el problema : Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso General Casos Particulares Razonamiento Inductivo 1 2 3 18 19 20 1 1 triángulo = 12 1 4 triángulos = 22 2 1 9 triángulos = 32 2 3 1 2 3 18 19 20 20 = 400 triángulos 2 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO NIVEL: SECUNDARIA QUINTO GRADO MÉTODO INDUCTIVO I
  34. 34. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 34 Ejemplo 2 : Hallar la suma de las cifras del resultado de : Resolución : Analizando por partes, tenemos : Ejemplo 3 : Calcular : Resolución : Ejemplo 4 : ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "SEBASTIÁN"? Resolución : Cuando la palabra tiene : 2 cifras 101 5) (999....99 E        7 = 907 9 100 ) 5 99 ... 999 ( 7 9 4 9999000025 5 9999 7 9 3 99900025 5 999 7 9 2 990025 5 99 7 9 1 9025 5 9 2 cifras 100 2 2 2 2                        Resultado Suma de cifras Cantidad de cifras "9"            sumandos 40 ...... 16 8 4 2 1 R            1 3 2 4 2 1 R ; sumandos 3     1 2 2 1 1 2 2 1 R ; sumandos 2 1 R ; sumando 1                    1 40 2 1 4 2 ....... 8 4 2 1 R ; sumandos 40 8 4 2 1 R ; sumandos 4            N N N N N N N N N A A A A A A A A I I I I I I I T T T T T T S S S S S A A A A B B B E E S 0 2 formas 1 S letra 1 : S    1 1 2 formas 2 E E S letras 2 : SE    1 En el problema SEBASTIAN : 9 letras 2 = 256 formas 8  1
  35. 35. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 35 Ejemplo 5 : ¿Cuántos puntos de contacto habrá en la figura 20? Resolución : 2 2 formas 4 B B B E E S letras 3 : SEB    1 3 2 formas 8 A A A A B B B E E S   SEBA : 4 letras  1 Fig.1 Fig.2 Fig.3 Fig.20 Fig. 1 2 2 1 ) 1 ( 3  3 puntos de contacto = 3 1 =  Fig. 2 2 3 2 + 2) 1 ( 3  9 puntos de contacto = 3 3 =  Fig. 3 2 4 3 + 2+ 3) 1 ( 3  18 puntos de contacto = 3 6 =  Fig. 20 2 21 20 + 2+ 3+ .....+ 20) = 630 1 ( 3 
  36. 36. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 36 01. Hallar la suma total en el siguiente arreglo : a) 1608 b) 1728 c) 1624 d) 1526 e) 1804 02.Calcular el valor de "R", si : a) b) c) d) e) 03.Calcular la suma de las cifras del resultado de M : a) 300 b) 100 c) 450 d) 900 e) 200 04.En el siguiente arreglo numérico, hallar "x" a) b) c) d) e) 05.Calcular la suma de las cifras del resultado de la siguiente expresión : Indicar la última cifra de dicha suma. a) 8 b) 4 c) 6 d) 7 e) 5 06.Hallar si "a" es la suma de cifras de M y "b" es la suma de cifras de N. a) 307/308 b) 298/299 c) 305/306 d) 301/302 e) 300/301 07.Hallar " ", si : a) 1 b) 4 c) 9 d) 16 e) 25 08.Hallar la suma total en el siguiente arreglo numérico : a) 3780 b) 1700 c) 1900 d) 1650 e) 1500 09.Calcule la suma de todos los números del siguiente arreglo : a) 1000 b) 2000 c) 3000 d) 3781 e) 1331 10. Hallar la suma de cifras de : a) 1800 b) 900 c) 180 d) 720 e) 1080 23 15 14 13 12 15 7 6 5 4 14 6 5 4 3 13 5 4 3 2 12 4 3 2 1           2 1 1 1 2 2 3 3 n ) 1 n ( ) 1 n ( ) 2 n ( ) 2 n ( R            1 n 2 n   1 n 3 n   3 n 5 n   4 n 3 n   2 n 3 n             cifras 100 cifras 200 222 .... 222 111 .... 111 M   x 48 28 20 76 16 12 8 39 37 9 7 5 3 20 19 18 5 4 3 2 1 16 2 21  18 2 42  18 2 23  17 2 21  17 2 42  3 cifras 2003 ) 999 ...... 999 (                  cifras 101 cifras 101 97 ...... 999 93 ...... 999 M             cifras 101 cifras 101 96 ...... 999 94 ...... 999 N   2 k                   sumandos " n " sumandos " n " ...... 27 12 3 n 3 ...... 105 45 9 K         37 ... 25 23 21 19 25 ... 13 11 9 7 23 ... 11 9 7 5 21 ... 9 7 5 3 19 ... 7 5 3 1                           10 5 4 3 4 5 4 3 2 3 4 10 3 2 1 2 3 10 4 3 2 3 4 5 4 3 4 5 10 2 cifras 100 ) 99 ...... 999 ( E       PROBLEMAS PARA LA CLASE
  37. 37. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 37 1. Calcular la suma de cifras del resultado de efectuar : a) 127 b) 128 c) 129 d) 130 e) 125 2. Calcular la suma de cifras del resultado de "A". a) 199 b) 189 c) 198 d) 201 e) 203 3. Calcule la suma de todos los términos del siguiente arreglo : a) 1800 b) 2000 c) 2100 d) 2400 e) 2700 4. Si : Calcular : a) 4924 b) 4862 c) 4546 d) 4936 e) 4816 5.Calcular : a) 10 b) 20 c) 60 d) 70 e) 100 6. Hallar la suma de cifras del resultado de : a) 64 b) 80 c) 81 d) 49 e) 100 7. Si : Hallar : a + b + c a) 12 b) 5 c) 17 d) 8 e) 16 8. Simplificar : a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7 9. Hallar la suma de cifras de la parte entera del número mixto que resulta de efectuar : a) 900 b) 945 c) 905 d) 105 e) 1800 10. En la siguiente secuencia, determinar la suma de los números impares de la figura Nº 53. a) b) c) d) e) 11. Si : a + b + c = 0 Calcular la suma de las cifras de "E" Sabiendo además que : a) 900 b) 180 c) 600 d) 909 e) 450 12. Hallar la suma de las cifras del resultado de: a) 3n b) 3n + 1 c) 3n - 1 d) 3(n + 2) e) 3(n - 1) 2 cifras 1 2 ) 34 ...... 33 ( E       2 cifras 21 2 cifras 21 ) 99 ...... 999 ( ) 33 ...... 333 ( A                                 38 ... 26 24 22 20 26 ... 14 12 10 8 24 ... 12 10 8 6 22 ... 10 8 6 4 20 ... 8 6 4 2      2161 1 8 a 7 a 6 a 5 a               sumandos " a " ..... aaa aa a R     200 cifras 101 cifras 100 256 016 ...... 100 9984 ...... 999               2 2 cifras 8 2 cifras 8 ) 55 ..... 555 ( ) 56 ..... 555 ( E         90 abc ... ... 1234 123 12 1 sumandos 9                  3 4 32 37 111 9 ) 1025 1023 1 ( E       2 cifras 105 ) 2 1 99 ...... 999 ( M     Fig.1 Fig.2 Fig.3 Fig. 4 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 5 5 6 6 7 8 9 10 ; ; ; ; 2 1431 2 717 2 715 2 716 1 716 2  2 cifras 101 ) xxx ...... xxx ( E       ab c ac b bc a x 2 2 2    35 66 ...... 666 M cifras " n "        TAREA DOMICILIARIA
  38. 38. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 38 01. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "INGRESO"? a) 190 b) 180 c) 200 d) 220 e) 210 02.¿De cuántas maneras diferentes se podrá leer la palabra "CALLADO"? a) 52 b) 48 c) 44 d) 50 e) 49 03.¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "AMOR"? a) 40 b) 41 c) 32 d) 36 e) 28 04.¿De cuántas maneras diferentes puede ir una persona de P a Q utilizando siempre el camino más corto? a) 960 b) 832 c) 321 d) 462 e) 924 05.¿De cuántas maneras se puede leer la palabra "TUMEJOROPCIÓN"? a) 120 b) 240 c) 180 d) 360 e) 210 06.¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "JESICA"? a) 243 b) 81 c) 144 d) 216 e) 729 07.La suma del número de triángulos de la figura "n + 1" y el número de cuadriláteros de la figura "n - 1" es : a) 4n + 1 b) 4n c) 2n + 1 d) n e) 4 + n 08.En la figura se muestran "n" filas y "n" columnas de rombos. Si el número total de puntos de intersección es 624. Hallar "n" a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 O O O O O S S S S E E E E E R R R R G G G G G N N N N I I I I I O O O O O O D D D D D A A A A L L L A A C R R R R O O O R M M R O A O R M M R O O O R R R R P Q N O O I I I C C C C P P P O O R O O J J J E E M U U T J E E E S S S S S I I I I I I I C C C C C C C C C A A A A A A A A A A A Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 1 1 2 2 3 3 4 4 n n MÉTODO INDUCTIVO II
  39. 39. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 39 1. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A a B sin retroceder en ningún momento? (Solamente se puede ir en la dirección Este - Sur) a) 380 b) 334 c) 360 d) 390 e) 300 2. De cuántas maneras se puede leer la palabra "CORROE" en : a) 100 b) 92 c) 64 d) 144 e) 72 3. Calcular el máximo número de triángulos que se pueden contar en : a) 160 b) 180 c) 190 d) 208 e) 240 4. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A a B pasando por C y sin retroceder en ningún momento? a) 24 b) 32 c) 36 d) 30 e) 28 5. Calcular el valor de "S", si : a) 3n b) 3n + 1 c) 3n - 1 d) 3(n + 2) e) 3(n - 1) 6. ¿Cuántos palitos serán necesarios para formar la figura de la posición 10, siguiendo la secuencia mostrada?. a) 220 b) 280 c) 320 d) 380 e) 420 7. Si una persona desea viajar de A a B por los caminos representados por líneas y solamente puede desplazarse hacia arriba o hacia la derecha. ¿De cuántas formas diferentes podría hacer dicho viaje? a) 41 b) 46 c) 48 d) 51 e) 56 8. ¿Cuántos círculos sombreados hay en el siguiente arreglo? a) 179 b) 181 c) 183 d) 191 e) 205 9. Calcular : a) 25/16 b) 1/4 c) 3/4 d) 2 e) 4 10. En un cierto mes existen 5 viernes, 5 sábados y 5 domingos. ¿Qué día será el 8 del siguiente mes? a) Lunes b) Martes c) Miércoles d) Domingo e) Sábado A B E E E E E O O O O E R R R E O O O O E R C R E O O O O E R R R E O O O O E E E E E 1 2 3 4 17 18 19 20 A C B 2 2 2 2 semanas " n " n ..... 3 2 1 n ... 7 5 5 3 3 1 S                        ; ; ; P P P 1 2 3 A B 1 2 3 89 90 91           cifras 40 cifras 40 16 ... 161616 39 ... 393939 161616 252525  TAREA DOMICILIARIA
  40. 40. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 40 1. ¿Cuántos palitos se usaron para formar el siguiente gráfico? 2. ¿Cuántos palitos se usaron para formar el siguiente gráfico? 3. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura de posición 20? 4. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 20? 5. ¿Cuántos triángulos se pueden contar, como máximo, en la siguiente figura? 6.¿Cuántos triángulos hay en la figura de posición 20? 1 2 3 18 19 20 1 2 3 18 19 20 f(1) f(2) f(3) f(1) f(2) f(3) 1 2 3 48 49 50 51 4 F(1) F(2) F(3) TALLER DE APRENDIZAJE
  41. 41. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 41 Gráfica V – t Información: * Observaciones: 1. 2. En forma general en una gráfica "V - t", el área debajo de la curva o recta, siempre nos da de información la distancia o desplazamiento recorrido. 3. M.R.U.V. Información:  m = a t(s) V(m/s) V(m/s) 3 -4 1 1 2 2 3 3 4 4 t=0 t=4 t=1 t=3 t=2 t=2 t=3 t=1 t=4 t=0 avanza hacia la derecha avanza hacia la izquierda t(s) t V A Área = base x altura = t x V Área = distancia t t V V A(+) A(-) Movimiento hacia la derecha Movimiento hacia la izquierda t V Área Área = distancia distancia total recorrida movimiento hacia la derecha movimiento hacia la izquierda = + desplazamiento = movimiento hacia la derecha movimiento hacia la izquierda - t V(m/s) t = 0 V t  t a = a t V tan m       FÍSICA NIVEL: SECUNDARIA QUINTO GRADO GRAFICAS II
  42. 42. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 42 * Observación: 1. Ejemplo: FÓRMULAS Velocidad inicial = intercepto con el eje y = V0 Aceleración = pendiente de la recta = m En el M.R.U.V. Aceleración - Tiempo m(+) a(+)  m(-) a(-)  a a t(s) V(m/s) t = 0 t = 8 a= 8 4 4 8 t = 4 a= t t t V V V V0 V0 V0 t t V V  a(+)  a(-) a = m = tan Área = distancia t t V V Movimiento hacia la derecha Movimiento hacia la izquierda t t V V Movimiento acelerado Movimiento desacelerado t a V = V - V = Área 0 F a A
  43. 43. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 43 1. Dos móviles parten simultáneamente y del mismo punto, como se muestra. ¿Qué distancia los separa luego de 5s? a) 35 m b) 20 c) 55 d) 45 e) 15 2. Hallar el instante "t" para la cual la velocidad es cero. a) 5s b) 5,6 c) 6 d) 8 e) N.A. 3. Halle el módulo del desplazamiento entre t = 0 y t = 12s. a) 120 m b) 72 c) 96 d) 24 e) 60 4. Calcular la posición del móvil para: t = 4s, si para: t = 0; x = -3m a) 10 m b) -10 c) 9 d) -12 e) N.A. 5. El movimiento de un móvil es representado en la gráfica (V - t). Determinar el valor de su velocidad a los 48s de iniciado su movimiento. a) 3 m/s b) 6 c) 24 d) 48 e) cero 6. Un móvil que se desplaza en línea recta experimenta un cambio de velocidad como se indica. Determine la posición inicial, si finalmente se encuentra 6m a la izquierda del origen. a) -10 m b) -15 c) 10 d) 15 e) 8 7. La gráfica representa la velocidad de un móvil en una pista recta. Determinar su aceleración en m/s2; en el instante en que su velocidad es nula. a) 0 b) -1,5 c) +1,5 d) -4,5 e) +4,5 8. "BC" es paralelo al eje del tiempo, el móvil recorre en movimiento rectilíneo durante 7s 120m. Hallar la velocidad en el cuarto segundo. a) 10 m/s b) 20 c) 15 d) 5 e) 30 V(m/s) t(s) 16 6 4 (B) (A) 5 V(m/s) 4 -8 8 t(s) V(m/s) -24 8 t(s) V(m/s) 4 2 4 t(s) V(m/s) 30 40 50 t(s) V(m/s) t(s) 4 2 -5 4 8 9 12 V(m/s) t(s) +6 -12 2 6 V(m/s) t(s) 2 4 7 PROBLEMAS PARA LA CLASE
  44. 44. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 44 1. De acuerdo al gráfico "V - t" mostrado, hallar la aceleración. a) 1m/s2 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7 2. De acuerdo al gráfico "V - t" mostrado, hallar la aceleración. a) -1 m/s2 b) -2 c) -3 d) -4 e) 5 3. De acuerdo al gráfico "V - t" mostrado, hallar la aceleración para: t = 12. a) 1 m/s2 b) -1 c) +2 d) -2 e) +3 4. De acuerdo al gráfico "V - t" mostrado, hallar la aceleración para: t = 2 a) +1 m/s2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. De acuerdo al gráfico "V - t" mostrado, hallar la distancia recorrida por el móvil. a) 10 m b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 6. En el problema anterior, diga Ud, ¿cuál fue el desplazamiento del móvil? a) 5 m b) 15 c) 25 d) 30 e) 10 7. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa un M.R.U.? a) b) c) d) e) 8. Las dos gráficas "V - t" representan el movimiento de los móviles "A" y "B". Luego de 10 segundos, hallar la distancia que los separa. a) 10 m b) 30 c) 50 d) 20 e) 40 9. ¿Luego de qué tiempo el móvil cuya gráfica es "V - t", regresará a su punto de partida? a) 20 s b) 22 c) 24 d) 32 e) 40 V(m/s) t(s) 0 6 18 V(m/s) t(s) 0 15 -6 5 7 V(m/s) t(s) 10 -10 0 10 15 V(m/s) t(s) 12 4 10 V(m/s) t(s) 10 0 -5 4 6 V t V t V t V t V t V(m/s) V(m/s) t(s) t(s) 45° 3 (A) (B) 0 0 V(m/s) t(s) 10 0 -5 8 TAREA DOMICILIARIA
  45. 45. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 45 1. De acuerdo al gráfico "V - t" mostrado, hallar la distancia recorrida por el móvil. a) 100 m b) 104 c) 102 d) 98 e) 400 2. Se muestra la gráfica V - t, de un coche que se mueve en el eje "x". I. Durante los primeros cuatro segundos se mueve hacia la derecha. II. A partir de los 4 segundos acelera uniformemente. III. Su desplazamiento durante los 10s es 10m Son correctas: a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y III e) Todas 3. En el gráfico "V - t" de dos móviles que se mueven en la horizontal y que parten en una misma posición es: Indicar la veracidad o falsedad de las proposiciones: I. Los móviles parten simultáneamente. II. La distancia de separación entre los móviles permanece constante desde t3 III. La velocidad relativa entre los móviles desde t 3 permanece constante. a) FVV b) FFV c) VFV d) VVV e) VFF 4. Un móvil que se mueve en la horizontal parte desde x = 9. ¿Después de qué tiempo pasará por el origen? a) 3 s b) 6 c) 12 d) 9 e) 15 V(m/s) t(s) 10 0 -4 10 12 V(m/s) t(s) 10 -10 4 10 V(m/s) t(s) 37° 4 3 B A 3 3 V(m/s) t(s) 0 4 2 1 2 3 TALLER DE APRENDIZAJE
  46. 46. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 46 Cuando lanzamos un cuerpo al aire vemos que él se ve obligado a bajar por causa de la gravedad. Si el tiro fuera inclinado y el medio fuese el vacío, el móvil describiría una trayectoria curva llamada parábola, la cual tendrá una forma final que dependerá de la velocidad y ángulo de disparo. Galileo demostró que el movimiento parabólico debido a la gravedad es un movimiento compuesto por otros dos: Uno horizontal y el otro vertical. Descubrió asimismo que el movimiento horizontal se desarrolla siempre como un M.R.U. y el movimiento vertical es un M.R.U.V. con aceleración igual a "g". * Recomendación Cuando estudies un movimiento parabólico haz una separación imaginaria de sus movimientos componentes. Así, del ejemplo de la figura, tendremos que: a. Desplazamiento total:  b. Desplazamiento vertical: c. Desplazamiento horizontal: Tiro semiparabólico En la figura se muestra un cuerpo lanzado en "A" de manera horizontal con una velocidad Vx, que se mantendrá constante a lo largo del movimiento. En el movimiento vertical se observa que la velocidad vertical en "A" es nula (Viy = 0), pero a medida que el cuerpo cae, esta velocidad va aumentando de valor. Las distancias recorridas tanto en el eje vertical como en el horizontal se han efectuado en intervalos de tiempo iguales. * Para no olvidar Todos los tiros semiparabólicos causados por la gravedad se resuelven con las siguientes relaciones: a. Movimiento vertical: b. Movimiento horizontal: x = vx.t Tiro parabólico Una partícula se ha lanzado desde "A" con una velocidad "vi" y una inclinación "", tal como se muestra en la figura. Por efecto de la gravedad, a medida que el proyectil sube de manera inclinada se ve forzada a bajar, retornando al piso en "B". En el punto "A" las componentes de la velocidad son: * Componente horizontal: vx = vicos * Componente vertical inicial: viy = visen Ojo En la figura, se verifica que: a.  b. |v1y| = |v2y| c. |v1| = |v2| Si observas con detenimiento el ejemplo mostrado, llegarás a las siguientes conclusiones: 1°. En el movimiento horizontal, la componente Vx permanece constante, pues de acuerdo con el principio de independencia de los movimientos, no se ve afectado por la gravedad que actúa en el eje vertical. La ecuación del movimiento horizontal estará dada por: x = vx . t 2°. En el movimiento vertical se observa que la componente vertical de la velocidad (vy) va disminuyendo a medida que el cuerpo sube, se anula en el punto "M" de máxima altura, y a continuación cambia de dirección y va aumentando gradualmente a medida que el cuerpo desciende. Las ecuaciones vectoriales del movimiento vertical son: Movimiento Parabólico = Movimiento Horizontal (M.R.U.) Movimiento Vertical (M.R.U.V.) + AB AB = AC + CB AC < > M.R.U.V. CB < > M.R.U. 1k 3k 5k 7k v1 v2 v3 e A B C g e e e vx vx vx vx 2 gt 2 1 y  g M A B L H e vx v2 vo v2y v1y e e e   vx v1 vx  viy MOVIMIENTO PARABÓLICO
  47. 47. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 47 Para la velocidad vertical: Para el desplazamiento vertical: 3°. La velocidad total del proyectil es siempre tangente a la parábola en cualquier punto de ésta, y su valor se puede determinar así: * Observaciones: Cuando utilices las ecuaciones vectoriales no debes olvidar que todas las cantidades vectoriales que en ellas aparecen tienen signo los que dependerán del sentido que posean. Asimismo, te recomiendo trazar el origen de coordenadas en el punto de lanzamiento, y desde allí medir los desplazamientos horizontal (x) y vertical (y). Fórmulas especiales El siguiente grupo de fórmulas sólo se aplican para movimientos parabólicos como el que aparece en la figura. Así tenemos: a) Tiempo de vuelo: b) Altura máxima: c) Alcance horizontal: * Observaciones: 1°. Relación entre la altura máxima y el alcance horizontal. tan = 4H/L 2°. Relación entre la altura máxima y el tiempo de vuelo: H = gT2/8 3°. Si dos cuerpos son lanzados con velocidades de igual módulo (vi) y con distintas inclinaciones " " y " ", de manera que los alcances horizontales sean iguales en los dos casos, se verificará: (figura "a")  = 90° Alcance máximo Cuando regamos el jardín con una manguera comprobamos que el alcance cambia a medida que inclinamos más la manguera, y cuando continuamos con este proceso observamos que luego de un aumento del alcance, éste empieza a reducirse. Se puede demostrar que de todos los alcances, el máximo se logra cuando el ángulo de disparo es de 45°, de este modo se obtiene que: FÓRMULAS. Movimiento en medio móvil t g v v iy fy   2 iy t g 2 1 t v y   2 fy 2 x T v v v   g sen v 2 T i   g 2 sen v H 2 2 i   g 2 sen v g cos sen v 2 L 2 i 2 i      g V L 2 i max  (1) (2) vi vi L = L 1 2   vi vi a) b) Lmáx 45° vi V = V + V R B r V = V - V R B r VB VB VB VB Vr Vr Vr Vr VR = V + V 2 B 2 r VB VR Vr
  48. 48. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 48 Tiro horizontal Lanzamiento inclinado Lanzamiento parabólico UNIDADES DE MEDIDA AUTOEVALUACIÓN * Todo movimiento compuesto está formado por la unión de ________________________ o más movimientos ____________________. * En el movimiento tiro horizontal el móvil posee una velocidad de lanzamiento de dirección ___________. * En el tiro horizontal el móvil realiza dos movimientos simultáneos: en el eje horizontal se realiza un __________________, en el eje vertical se realiza un _______________. * En el eje "x": movimiento horizontal, el móvil por realizar un __________________ se deberá cumplir que su velocidad horizontal siempre será __________ y su valor es: Vx = VL (Velocidad de lanzamiento) * El desplazamiento horizontal del proyectil se calcula por: x = ______________ * La altura descendida por el móvil en el eje "y" se calcula por: H = * El tiempo es una magnitud para los movimientos que conforman el movimiento compuesto. Se debe cumplir: teje horizontal ___________ teje vertical * En todo el movimiento el proyectil posee _____________ velocidades. * En el punto de lanzamiento el móvil posee como velocidad de lanzamiento a la velocidad _________________________; además su velocidad ______________ será cero. VL = ____________________ * En cualquier instante el móvil (proyectil) tendrá una velocidad resultante (VT) que se calculará: ______________________ Vy V0 y x V0 t = x = V .t o V = g.t y V = V + V R 2 0 2y g 2 y V y x y V0 V x V = V cos o  V = V sen o  0 0 x y * V es constante 0x y = V + g.t 2 1 2 0y V = V + g.t y V = V + V R 0y 2 y 2 x 0x 0 0  . t x = V . t H = máx V sen 2  R  V Hmáx V0 V 0y 0x 2 0 2g R = 2V sen .cos 2   o g V = V cos o  V = V sen o x = V . t T = máx 0x 0y 0x 2V g 0y R V   V tan =  4H R V H R    + = 90° Símbolo Magnitud Unidades de Medida V V H R t V V 0x 0y R y máx Velocidad inicial horizontal Velocidad inicial vertical Altura máxima Alcance máximo Tiempo de vuelo Velocidad resultante Velocidad vertical metro por segundo metro por segundo metro metro segundo metro por segundo metro por segundo m/s m m s m/s
  49. 49. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 49 1. Un proyectil se lanza tal como se muestra, hallar la distancia "L". a) 90 m b) 120 c) 150 d) 160 e) 200 2. Hallar la separación entre el hueco y el punto de lanzamiento, si el proyectil logra ingresar en el hueco. (g = 10 m/s2) a) 50 m b) 80 c) 100 d) 120 e) 140 3. Se lanza un proyectil con una rapidez de "Vo". Si después de 1 s su velocidad forma 45° con la horizontal, determine "Vo" (g = 10 m/s2) a) 20 m/s b) 30 c) 50 d) 40 e) 10 4. En el gráfico se muestra una parte de la trayectoria parabólica de un proyectil. Calcular el tiempo que empleó para ir desde "A" hasta "B" siendo VA = 25 m/s. (g = 10 m/s2) a) 7/6 s b) 4,16 c) 5/6 d) 15 e) 9,36 5. Si un proyectil se lanza con cierta velocidad y un ángulo de elevación de 45°, hallar la relación entre el alcance máximo y la altura máxima. a) 1 b) 1/2 c) 1/4 d) 3/4 e) 4/5 6. Determine el alcance que logra la partícula sobre el plano inclinado. (V = 90 m/s; g = 10 m/s2) a) 540 m b) 270 c) 350 d) 500 e) 400 7. Un proyectil se lanza con una velocidad de 20 m/s y con una dirección de 53°. Al cabo de qué tiempo la dirección de la velocidad es perpendicular a la dirección del lanzamiento. (g =10 m/s2) a) 1 s b) 2 c) 2,5 d) 4 e) 5 8. Se dispara un proyectil con una velocidad de 20 m/s y una inclinación de 45°; ¿qué tiempo después su velocidad forma 37° con la horizontal? (g =10 m/s2) a) 0,5 m/s b) 1,5 c) 0,75 d) 2 e) 2,25 9. Desde la parte superior de un edificio se dispara un proyectil con una rapidez de 6 m/s y 45° de elevación con la horizontal. Si el proyectil impacta con una rapidez de 10 m/s sobre la ventana de un edificio adyacente, determine la distancia de separación entre dichos edificios. (g = 10 m/s2) a) 3,6 m b) 5,5 c) 6,8 d) 8,4 e) 9 10. Una piedra es lanzada con una rapidez de 15 m/s. Determine el alcance máximo sobre la superficie superior. La piedra pasa rasante por la esquina superior. (g = 10 m/s2) a) 12 m b) 13,2 c) 14,4 d) 15 e) 16,3 40 m/s L 37° + 53° 15 m/s 53° Vo 45° 37° 57° B A 30° V 30° 15 m/s 4 m 53° PROBLEMAS PARA LA CLASE
  50. 50. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 50 1. En el siguiente gráfico, determine la altura con que se lanzó desde lo alto de un acantilado con una rapidez de 18 m/s. (g = 10 m/s2) a) 25 m b) 45 c) 60 d) 80 e) 125 2. Se lanza un proyectil en forma horizontal según como se muestra. Determine su rapidez luego de 2 s. (g = 10 m/s2) a) 15 m/s b) 20 c) 25 d) 35 e) 30 3. Se lanza un cuerpo horizontalmente con rapidez inicial “Vo” alcanzando una distancia "x". Si se quiere alcanzar una distancia de "2x" la rapidez inicial será: a) b) Vo c) 2Vo d) 4Vo e) 4. Desde el borde de una mesa se lanza horizontalmente un proyectil con una velocidad de 30 m/s. Hallar la velocidad del proyectil luego de 4 s. (g = 10 m/s2) a) 10 m/s b) 30 c) 40 d) 50 e) 70 5. Desde una altura de 45 m se lanza un proyectil con una velocidad de 40 m/s. Determinar la velocidad con que impacta a tierra. (g =10 m/s2) a) 30 m/s b) 40 c) 50 d) 10 e) 70 6. Se dispara una bala con una rapidez Vo = 60 m/s formando un ángulo de 37° sobre la horizontal. ¿En qué tiempo alcanzará la máxima altura? a) 2,6 s b) 4,6 c) 5,6 d) 3,6 e) 6,5 7. Una partícula es lanzada tal como se muestra en la figura, en el instante: t = 7 s. Calcular el módulo de la velocidad instantánea. (g = 10 m/s2) a) 30 m/s b) 30 c) 20 d) 20 e) 10 8. ¿Con qué ángulo se debe lanzar un proyectil para que su alcance sea el triple de su altura máxima? a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60° 9. Un proyectil luego de ser lanzado parabólicamente desde la superficie terrestre demora 8 s en llegar nuevamente a la superficie. Hallar la máxima altura que logra. (g = 10 m/s2) a) 20 m b) 40 c) 50 d) 80 e) 160 10. Un proyectil se lanza con una rapidez de 50 m/s. Hallar la velocidad con que impactó en la pared. a) 10 m/s b) 10 c) 20 d) 20 e) 40 V 72 m V = 15m/s x 2 Vo 4 Vo 37° x y Vo 53° V = 50 m/s 2 2 37° 200m 5 5 TAREA DOMICILIARIA
  51. 51. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 51 1. La figura muestra el lanzamiento simultáneo de los cuerpos "A" y "B". Si colisionan en el punto "P", la rapidez “Vo” inicial de "B", será: a) 2 m/s b) 4 c) 8 d) 12 e) 16 2. Los cuerpos "A" y "B" son lanzados horizontalmente y simultáneamente como muestra la figura con rapideces de 2 m/s y 6 m/s respectivamente. Si chocan en el punto "P", la distancia horizontal recorrida por "B" será: a) 2 m b) 4 c) 8 d) 12 e) 16 3. Determine "Vo" para que la piedra lanzada en "A" ingrese por el agujero. a) 10 m/s b) 20 c) 25 d) 40 e) 50 4. ¿Desde qué altura "H" se lanzó el proyectil, si empleó 5 s en llegar al punto "B"? a) 50 m b) 62,5 c) 100 d) 125 e) 150 4 m A Vo 24 m 2 m/s A B 2m/s 6m/s P H 18m H Vo A 35m 53° 280m H A 45° B V H TALLER DE APRENDIZAJE
  52. 52. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 52 Objetivos * Reconocer las características de un enlace covalente. * Diferenciar un enlace normal de uno dativo, uno polar de otro no polar. * Identificar los enlaces sigma (, phi () y los pares de electrones no enlazantes. * Identificar la formación de enlaces intermoleculares (dipolo - dipolo, fuerzas de London, puente de hidrógeno) Enlace covalente El enlace covalente se produce entre dos átomos los cuales comparten uno o más pares de electrones. Los compuestos covalentes pueden ser sólidos, líquidos o gases a temperatura ambiente. El enlace covalente se forma generalmente entre no metales. Enlace covalente (Modelo de bolas y varillas de la molécula del H2O). Enlace covalente normal Se forma cuando cada átomo aporta un electrón para formar el enlace covalente. E.C. apolar Se forma entre átomos con similar electronegatividad, el par de electrones se comparte por igual entre los dos átomos. Ejemplo: H2   H - H O2   N2   E.C. polar Se forma cuando el par de electrones es compartido en forma desigual, debido a la diferencia de electronegatividades. Ejemplo: HCl   H2O   NH3    Enlace covalente coordinado o dativo Se forma cuando uno de los átomos aporta el par de electrones para formar el enlace covalente. Ejemplo: O3   SO3    Propiedades de los compuestos covalentes 1. Son gases, líquidos o sólidos, con puntos de fusión bajos (por lo general, menor que 300 ºC). 2. Muchos de ellos son insolubles en disolventes polares. 3. La mayoría son solubles en disolventes no polares, como el hexano (C6H14). 4. Los compuestos líquidos o fundidos no conducen la electricidad. H H O O O O N N N N H Cl H Cl O H H O H H N H H H N H H H 107º O O O O O O S O O O S O O O QUÌMICA NIVEL: SECUNDARIA QUINTO GRADO ENLACE QUÍMICO II
  53. 53. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 53 1. De las proposiciones: I. en el HCl el enlace es covalente. II. en el H2O el enlace O y H es iónico. III. en el NH3 el enlace N y H es covalente. Son correctas: a) I y II b) I y III c) Solo I d) Solo III e) Todas 2. En un enlace iónico ocurre una............... de electrones periféricos, en cambio en un enlace covalente ocurre una............... de electrones periféricos. Del párrafo anterior, completar con la alternativa correcta. a) compartición - transferencia b) migración - transferencia c) transferencia - compartición d) transferencia - repulsión e) a y b 3. Cuando solo un átomo aporta el par de electrones para formar el enlace se dice que es: a) E.C. normal b) E.C. iónico c) E. iónico d) E.C. saturado e) E.C. dativo 4. ¿Cuántos electrones no compartidos quedan en el NH3? (7N) a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 3 5. En la estructura del ácido carbónico: Indique la cantidad de enlaces covalentes "" y "" respectivamente: a) 1; 5 b) 5; 1 c) 11; 1 d) 4; 2 e) 4;3 6. Señalar el número de enlaces múltiples en: a) 12 b) 4 c) 5 d) 9 e) 6 7. Hallar el número de enlaces sigma en los compuestos: a) 3 y 4 b) 1 y 1 c) 2 y 4 d) 2 y 3 e) 2 y 2 8. ¿Cuántos de los siguientes elementos son excepción a la regla del octeto? • Cl • O • B • Be • Na a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 9. Hallar el número de enlaces "" en: a) 1 b) 5 c) 10 d) 19 e) 21 10. Indique mediante rayas la representación del compuesto: HNO2. Z(N = 7; O = 8) a) b) c) d) e) 11. Un compuesto covalente se caracteriza por: a) ser cristalino y alto punto de fusión. b) estar formado por pares iónicos. c) compartir los átomos pares iónicos. d) se disuelven siempre en el agua. e) estar formado por partículas que no son moléculas. 12. Indique el tipo de enlace químico existente entre un cristal de cloruro de sodio (NaCl) y una molécula de propano (C3H8). H O H O C O N C N C C C C N C N O O O ; S O O O H H H H H H H H O N H O O N H O O N H O N O H O O O N H PRACTICANDO EN CLASE
  54. 54. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 54 a) covalente coordinado y metálico b) covalente y covalente apolar c) iónico y covalente d) iónico y covalente coordinado e) covalente coordinado y covalente apolar 13. Indique de la relación mostrada: I. Na2O II. K2O III. BCl3 IV.BF3 V. LiCl ¿Cuántos tienen enlace iónico y cuántos tienen enlace covalente? a) 4 y 1 b) 3 y 2 c) 5 y 0 d) 2 y 3 e) 1 y 4 14. ¿Cuántas sustancias poseen enlace puente hidrógeno? • H2 • H2O • CH4 • H2F2 • NH3 • HCl • CH3OH a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 15. ¿Qué sustancia no se disuelve en H2O? a) NH3 b) HCl c) SO2 d) CH4 e) PH3 16. Con respecto a las proposiciones: I. los siguientes compuestos son iónicos: MgO, NaF, BeCl2. II. las siguientes moléculas: N2, P4 y Cl2 forman enlace covalente apolar. Es(son) correctas: a) I y II b) I y III c) Solo II d) II y III e) I, II y III 17. ¿Cuál de las siguientes alternativas es incorrecta? a) en el enlace covalente hay por lo menos un par de electrones compartidos. b) en el enlace dativo el par de electrones compartidos es proporcionado por un solo átomo. c) la resonancia se presenta cuando en un enlace, los electrones están totalmente deslocalizados. d) en el enlace iónico hay transferencia de electrones de un átomo al otro. e) en el enlace covalente apolar hay compartición equitativa de electrones. 18. Con respecto a la estructura del sulfato: (SO4)2- I. presenta 2 enlaces dativos. II. no presenta resonancia. III. su geometría es tetraédrica. Es correcto afirmar: a) I y II b) I y III c) II y III d) Solo II e) I, II y III 19. ¿Cuál es la geometría y polaridad de la molécula de CH4? a) lineal y polar. b) triangular y polar. c) tetraédrica y apolar. d) piramidal y polar. e) trigonal y polar. 20.Indicar el número de covalencias coordinadas en el compuesto: H3PO4 Z(P = 15; O = 8) a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 21. Hallar el número de enlaces sigma en: a) 4 b) 6 c) 14 d) 16 e) N.A. 22.¿Qué molécula es polar? a) H2 b) O2 c) N2 d) HCl e) N.A. 23.Indique cuál de los siguientes enlaces es de esperar que sea el menos polar. Electronegatividad: O = 3,5; B = 2; P = 2,1; N = 3; H = 2,1 a) B - O b) P - O c) N - O d) N - H e) N.A. H O S O H O O
  55. 55. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 55 Óxidos básicos Los óxidos básicos o metálicos son compuestos binarios que contienen un oxígeno y un metal. Para escribir directamente la fórmula de los óxidos básicos se escriben los símbolos del metal y del oxígeno, se intercambian las valencias y estas se escriben como subíndices. Si son pares, se simplifica: Ejemplo: óxido de sodio: Na+1O-2 → Na2O óxido cuproso : Cu+1 O-2 → Cu2O óxido cúprico : Cu+2 O-2 → CuO Hidróxidos Son compuestos ternarios que se caracterizan por que poseen el ión hidróxilo (OH)-1, unido mediante enlace iónico al catión metálico. A los hidróxidos de los metales alcalinos (Li, Na, K, Rb y Cs) se les llama álcalis. Son muy solubles en el agua, tóxicos y venenosos. Generalmente se producen por reacción química del agua con los óxidos básicos o por la reacción directa de un metal alcalino o alcalino térreo con el agua. Para nombrar: * Hidróxido de sodio (+1): Na+1 (OH)-1 → NaOH * Hidróxido ferroso (+2;+3): Fe+2(OH)-1 → Fe(OH)2 * Hidróxido férrico (+2; +3): Fe+3(OH)-1 → Fe(OH)3 Nombres comunes: NaOH : soda cáustica KOH : sosa cáustica o potasa cáustico Ca(OH)2 : cal apagada o lechada de cal Mg(OH)2 : leche de magnesia Los hidróxidos NaOH y KOH se usan en la fabricación de jabón desde hace muchos siglos con la denominación de álcalis. Óxidos ácidos o anhídridos Son óxidos formados por combinación del oxígeno con elementos no metálicos. Para nombrar se debe tener en cuenta: metal + oxígeno óxido básico  M + O M O +x -2  2 x óxido básico + H O hidróxido  2 M + (OH) M(OH) +x -1  x no metal + oxígeno óxido ácido  no metal con dos valencias valencia menor mayor prefijo sufijo oso ico NOMENCLATURA INORGÁNICA I
  56. 56. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 56 Por ejemplo: 1. Valencia : B2O3 anhídrido bórico 2. Valencias : CO anhídrido carbonoso CO2 anhídrido carbónico 3. Valencias : SO anhídrido hiposulfuroso SO2 anhídrido sulfuroso SO3 anhídrido sulfúrico Ácidos oxácidos Son compuestos ternarios, en general se obtiene por reacción química de un óxido ácido (anhídrido) y el agua. Para nombrar se debe tener en cuenta los mismos pasos que en caso de anhídridos. Formulación directa de oxácidos: En el caso del: B, P, As, Sb Ejemplos: * Ácido sulfúrico (+2; +4; +6) H2S+6O4→ H2SO4 * Ácido cloroso (+1; +3; +5; +7) H1Cl+3O2 → HClO2 Aniones poliatómicos Se obtienen al quitar 1 o más iones hidrógeno de un ácido oxácido. La nomenclatura clásica consiste en cambiar la terminación: Ejemplos: Ácido nítrico ión nitrato Ácido cloroso ión clorito Ácido hiposulfuroso ión hiposulfito Sales oxisales Se obtienen de la reacción del ácido oxácido con un hidróxido. Debe nombrarse primero el anión y luego el catión de acuerdo a la nomenclatura de iones que se trató anteriormente, es decir: Sulfato de sodio: Na+1 (SO4)-2 → Na2SO4 Carbonato de calcio (CaCO3) o mármol no metal con tres valencias valencia menor intermedio mayor prefijo hipo sufijo oso oso ico no metal con cuatro valencias valencia menor intermedia menor intermedia mayor mayor prefijo hipo per sufijo oso oso ico ico anhídrido + H O oxácido 2  H R x v Ov+x 2 H R 3 v Ov+3 2 OSO ITO ICO ATO                 1 3 3 1 3 H 1 3 NO NO ) NO ( HNO               1 2 2 1 2 H 1 2 ClO ClO ) ClO ( HClO               2 2 2 2 2 H 2 2 2 SO SO ) SO ( SO H ácido + hidróxido sal + H O  2 V : par ® x = 2 V : impar ® x = 1
  57. 57. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 57 Nitrato de potasio (KNO3), dicromato de potasio (K2Cr2O7) y permanganato de potasio (KMnO4) Ácidos hidrácidos Son compuestos binarios que forma el hidrógeno por combinación química con elementos no metálicos de los grupos VI A (S, Se, Te) y del grupo VII A (F, Cl, Br, I); por lo tanto no poseen oxígeno en su estructura. Sales haloideas Se obtienen de la reacción de un ácido hidrácido con un hidróxido. Ejemplos: Cloruro de sodio : Na+1 Cl- → NaCl Sulfuro de potasio: K+1 S-2 → K2S Cloruro férrico : Fe+3 Cl-1 → FeCl3 I. Formular: 1. óxido de plata ______________________ 2. hidróxido férrico _______________________ 3. óxido plúmbico ________________________ 4. hidróxido auroso _______________________ 5. óxido ferroso _______________________ 6. hidróxido estañoso ________________________ 7. óxido mercúrico _______________________ 8. hidróxido de magnesio_______________________ 9. óxido cuproso _______________________ 10. óxido cobáltico _______________________ 11. hidróxido de aluminio _______________________ 12. óxido niquélico _______________________ 13. hidróxido de sodio ________________________ 14. óxido de litio _______________________ 15. hidróxido aúrico _______________________ 16. óxido de potasio _______________________ 17. hidróxido plumboso ________________________ 18. óxido auroso ________________________ 19. hidróxido niquélico ________________________ 20.óxido de sodio _______________________ 21. hidróxido ferroso ________________________ 22.óxido estánico _______________________ 23.hidróxido cuproso ________________________ II. Formular: 1. anhídrido carbónico ________________________ 2. ácido sulfúrico ________________________ 3. anhídrido cromoso ________________________ 4. ácido nítrico ________________________ 5. anhídrido fosfórico ________________________ 6. ácido cloroso ________________________ 7. anhídrido nitroso ________________________ 8. ácido bórico ________________________ 9. anhídrido mangánico ________________________ 10. ácido peryódico _______________________ 11. anhídrido sulfúrico ________________________ 12. ácido hipobromoso ________________________ 13. anhídrido crómico ________________________ 14. ácido permangánico ________________________ 15. ácido clórico ________________________ 16. anhídrido carbonoso ________________________ 17. ácido yódico ________________________ 18. anhídrido hiposulfuroso_______________________ 19. ácido crómico _______________________ 20.anhídrido fosforoso ________________________ 21. anhídrido manganoso ________________________ 22.ácido fosfórico _______________________ Formulación Fórmula Nomenclatura tradicional H S -2 +1 H Se -2 +1 H F -1 +1 H Cl -1 +1 H Br -1 +1 H S 2 H Se 2 HF HCl HBr ácido sulfhídrico ácido selenhídrico ácido fluorhídrico ácido clorhídrico ácido bromhídrico ácido + hidróxido sal + H O  2 Li, Na, K, Ag : +1 Ca, Mg, Zn : +2 Al : +3 B : +3 C : +2, +4 Cr : +3, +6 Cu, Hg : +1, +2 Fe, Co, Ni : +2, +3 Au : +1, +3 Pb, Sn : +2, +4 N, P : +3, +5 S : +2, +4, +6 Mn : +4, +6, +7 Cl, Br, I : +1, +3, +5, +7 Metales No metales PROBLEMAS PARA LA CLASE
  58. 58. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 58 III. Formular: 1. nitrito ________________________ 2. carbonato ________________________ 3. hipoclorito _______________________ 4. permanganato _______________________ 5. cromito _______________________ 6. sulfato ________________________ 7. nitrato _______________________ 8. bromito _______________________ 9. sulfito _______________________ 10. cromato ________________________ 11. clorato ______________________ 12. iodito ________________________ 13. fosfato ________________________ 14. bicarbonato ________________________ 15. sulfito ácido ________________________ 16. hidrógeno fosfato ________________________ IV.Formular : 1. sulfito mercurioso 2. nitrato plúmbico 3. cromito cuproso 4. carbonato de aluminio 5. cromato aúrico 6. bromato niquélico 7. cromito de zinc 8. sulfato auroso 9. cromito estañoso 10. carbonato de calcio 11. perclorato de sodio 12. nitrato ferroso 13. manganito de plata 14. permanganato de potasio 15. clorato ferroso 16. yodito plumboso V. Formular: 1. ácido sulfhídrico 2. ácido clorhídrico 3. ácido selenhídrico 4. cloruro de calcio 5. bromuro ferroso 6. yoduro de potasio 7. sulfuro férrico 8. fluoruro de sodio 9. selenuro plúmbico 10. cloruro estañoso 11. sulfuro cuproso 6. Según el cuadro de funciones los ácidos hidrácidos se forman combinando, el hidrógeno con el estado de oxidación +1 y los halógenos con E.O.: a) +2 b) +1 c) +3 d) -1 e) -2 7. Es un ácido oxácido: a) ácido sulfúrico b) ácido cloroso c) ácido clorhídrico d) ácido sulfhídrico e) a y b 8. Señale el grupo que contenga solo no metales: a) Be, Au, Ag b) F, Cl, Br c) Ca, Fe, Co d) Sn, Bi, Ni e) Mn, Cr, Zn 9. Señale el óxido básico: a) CO2 b) Cl2O7 c) CrO3 d) CaO e) Mn2O7 10. Señale la relación incorrecta: a) SO : monóxido de azufre b) SO2 : anhídrido sulfuroso c) SO3 : trióxido de azufre d) MnO3 : anhídrido mangánico e) Cr2O7 : anhídrido percrómico 11. ¿Cuál de los siguientes compuestos presenta mayor atomicidad? a) anhídrido carbónico b) hidróxido férrico c) hidróxido de calcio d) óxido de plata e) óxido plúmbico 12. Uno de los siguientes compuestos no presenta su nombre común: a) CaO : cal viva b) Mg(OH)2 : leche de magnesia c) KOH : potasa cáustica d) Ca(OH)2 : cal viva e) CO2(s) : hielo seco 13. ¿Cuántos de los siguientes óxidos forman ácidos al reaccionar con agua? Na2O, CaO, SO, N2O3, FeO
  59. 59. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 59 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 14. La diferencia de las atomicidades respectivas del ácido perclórico y el hipocloroso es: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 15. Un hidróxido tiene una molécula heptatómica entonces el óxido que puede formar el metal correspondiente tiene molécula: a) diatómica b) triatómica c) tetratómica d) pentatómica e) heptatómica 16. Las fórmulas correctas para los hidróxidos de magnesio, de sodio y de hierro III son: a) Mg(OH)2, Na(OH)2, Fe(OH)3 b) MgOH, NaOH, Fe3OH c) Mn(OH)2, NaOH, FeOH d) Mn(OH)2, S(OH)3, FeOH e) Mg(OH)2, NaOH, Fe(OH)3 17. Si "x" es un elemento no metal, completar la reacción: x2O + H2O → ______ a) x(OH)2 b) 2xO + H2 c) xOH + H2 d) xH + O2 e) HxO 18. En el ácido sulfúrico, los átomos de hidrógeno del oxígeno y de azufre están respectivamente en la proporción de: a) 2:1:4 b) 2:3:1 c) 1:2:4 d) 3:2:1 e) 2:4:1 19. ¿Cuál es la fórmula probable de un compuesto si el átomo "X" tiene como número atómico 20 y el átomo "Y" tiene 17 protones? a) XY2 b) X2Y c) XY d) X3Y e) Y3X2 20.¿Cuál de las siguientes proposiciones corresponde a una sal oxisal? a) es resultante de la interacción de un ácido con agua. b) generalmente es ternario. c) es siempre un compuesto covalente. d) es siempre una sal ácida. e) es siempre una sal neutra. 21. ¿Qué sustancia tiene mayor atomicidad? a) sulfuro de calcio b) sulfato de níquel c) cromato férrico d) fosfito de calcio e) perclorato de fierro (II) 22.El radical carbonato e hipoclorito: a) b) c) d) e) 23.El nitrato de amonio conocido también como anfo, utilizado durante la época del terrorismo como explosivo lleva por fórmula: a) NH4NO2 b) NH3NO3 c) H3ONO3 d) NH4NO3 e) NH4(NO3)2 24.Una de las siguientes relaciones es incorrecta: a) CaCO3 : carbonato de calcio b) HCl : ácido clorhídrico c) CuNO2 : nitrito cuproso d) Sn3(PO4)4 : fosfato estañoso e) NaHCO3 : bicarbonato de sodio 25.Con respecto al sulfito aúrico, indicar verdadero o falso: ( ) Presenta tres átomos de azufre ( ) Su atomicidad es 14 ( ) El azufre actúa con E.O. +4 a) FFF b) VVF c) VVV d) FVV e) VFV 1 3 2 3 ClO y CO   1 2 2 3 ClO y CO   1 2 3 ClO y CO   1 2 4 ClO y CO   1 2 3 Cl y CO  
  60. 60. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Mayo 2013 Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria 60 INTRODUCCIÓN: Todos los seres vivos requieren energía, puesto que los procesos biológicos implican la realización de trabajo. El crecimiento y la reproducción son funciones celulares que necesitan de gasto energético celular, pero incluso células que no crecen ni se reproducen necesitan energía sólo para mantenerse. Dado que la energía no se crea ni se destruye, las células no tienen forma de producir nueva energía. La única posibilidad para que un ser vivo obtenga energía es transformándola del ambiente, para luego almacenarla y finalmente utilizarla. Las células obtienen energía de muchas maneras; por eso, existen mecanismos metabólicos complejos que permiten a las células convertir energía de una forma a otra. En estos capítulos vamos a revisar dos de esos procesos energéticos: la fotosíntesis y la respiración celular. Fotosíntesis: El Sol es la fuente primordial de casi toda la energía que sustenta la vida. Las plantas y otros organismos fotosintéticos captan una diminuta porción de esa energía y en el proceso de fotosíntesis, la convierten en energía química, en las moléculas orgánicas. ¿Qué es la fotosíntesis? Es un proceso bioquímico del tipo anabólico consistente en la conversión de energía lumínica en energía de enlaces químicos. Esta transformación también implica la conversión de compuestos inorgánicos a compuestos orgánicos. La fotosíntesis se realiza a nivel de los cloroplastos que almacenan clorofila. Se realiza en organismos eucarióticos, porque en procariontes se realiza a nivel de la membrana plasmática (mesosoma). Ecuación general de la fotosíntesis: Durante la fotosíntesis, una célula utiliza energía lumínica capturada por la clorofila para impulsar la síntesis de carbohidratos. Las reacciones globales pueden resumirse como sigue: Reducción 6 CO + 12 H O 2 2 Dióxido de carbono Agua Glucosa Oxígeno Agua Oxidación Luz Clorofila C H O + 6 O + 6 H O 12 2 6 6 2 BIOLOGIA NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 QUINTO GRADO BIOENERGÉTICA: FOTOSÍNTESIS

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