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172
8
8.1 AXIOMAS DE PEANO
8.2 INDUCCIÓN MATEMÁTICA
8.3 FACTORIAL
8.4 TEOREMA DEL BINOMIO
8.5 SUCESIONES ARITMÉTICAS Y
GEOMÉTRICAS
Seguramente, los números naturales fueron los primeros en definirse, debido a que
desde un principio el hombre naturalmente habrá tenido la necesidad de contar.
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
173
8.1 AXIOMAS DE PEANO
OBJETIVO:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Conozca propiedades de los Números Naturales.
Los números naturales se construyen a partir de los AXIOMAS DE
PEANO:
1. N∈1
2. NnNn o
∈∃∈∀ , tal que 1+= nno
; donde o
n es
llamado SUCESOR de n
3. ( )1=¬∈∀ o
nNn
4. [ ]mnmnNmNn oo
=⇒=∈∀∧∈∀
5. [ ]( )ANAnAnAA o
⊆⇒∈∈∀∧∈∀ 1
Un buen ejercicio consistiría en interpretar estos axiomas.
A continuación presentaremos ciertas propiedades para los números
naturales, que podrían ser útiles.

( )
2
1
...4321:)(
+
=+++++
nn
nnp La suma de los n
números naturales

( )( )
6
121
...4321:)( 22222 ++
=+++++
nnn
nnp La suma de los
n 2
números naturales
 ( ) 2
12...7531:)( nnnp =−+++++ La suma de los números
impares
 ( )12...8642:)( +=+++++ nnnnp La suma de los
números pares

( ) 2
33333
2
1
...4321:)( 




 +
=+++++
nn
nnp La suma de los
n 3
números naturales
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
174
Para demostrar que estas propiedades se cumplen para todo n, se
puede emplear el método de demostración llamado INDUCCIÓN
MATEMÁTICA.
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
175
8.2 (OPCIONAL) INDUCCIÓN MATEMÁTICA
OBJETIVO:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Aplique el principio de inducción matemática para demostraciones.
La Inducción Matemática consiste de dos pasos:
1. Verificar que se cumple para el primer o los
primeros números, es decir comprobar que
verdaderop ≡)1( .
2. Asumir que, si se cumple para todo
número n, entonces se deberá cumplir
también para su sucesor n+1; es decir,
[ ])1()( +⇒∀ npnpn .
Ejemplo
Demostrar, empleando el método de inducción matemática, que:
( )
2
1
...4321:)(
+
=+++++
nn
nnp
PASO 1. Verifiquemos p(1), aunque más interesante sería obtener p(2), p(3)
( )
2
111
1:)1(
+
=p se cumple
PASO 2. Asumir que si la propiedad es válida para n , entonces deberá ser válida para sus sucesor, para lo
cual, a la igualdad sumamos a ambos miembros 1+n
( )
( )
( )( )
( ) ( )
)1(
2
211
2
21
2
)1(21
)1(
2
1
)1(...4321
00
+=










+++
=
++
=
+++
=
++
+
=+++++++
np
nn
nn
nnn
n
nn
nn
nn 
Note que la expresión algebraica puede ser expresada en términos de su sucesor 10
+= nn , por tanto la
propiedad es válida para todos los naturales.
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
176
Ejercicio propuesto 8.1
Demuestre el resto de propiedades de los números naturales, mencionadas
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
177
8.3 FACTORIAL
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina y calcule factorial de un número natural y del cero.
 Defina y calcule coeficiente binomial.
Sea ZNn ∈∧∈ 0 , entonces el FACTORIAL de
n, denotado por !n , se define como:
( )[ ]


−=
=
!1!
1!0
nnn
Entonces:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] 241234)!3(4)!14(4!4
6123)!2(3)!13(3!3
212)!1(2)!12(2!2
1)!0(1)!11(1!1
1!0
=×××==−=
=××==−=
=×==−=
==−=
=
...
y así sucesivamente.
8.4 TEOREMA DEL BINOMIO
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Desarrolle binomios aplicando el teorema de Newton.
 Infiera la fórmula del término general en el desarrollo del binomio.
 Aplique la fórmula del término general para encontrar cualquier término en el desarrollo de un binomio dado y para resolver otras
situaciones diversas.
Para obtener el desarrollo del binomio ( )n
ba + tenemos dos opciones:
El teorema de PASCAL y el teorema NEWTON.
8.4.1 TEOREMA DE PASCAL
Los coeficientes del desarrollo del binomio ( )n
ba + , están de
acuerdo al siguiente esquema:
.......................
15101051
14641
1331
121
11
1 0=n
1=n
2=n
3=n
4=n
5=n
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
178
Lo anterior se vuelve inaplicable cuando n es un número grande.
8.4.2 TEOREMA DE NEWTON
El desarrollo del binomio ( )n
ba + , está dado
por:


 térmn
n
térmer
n
térmdo
n
térmer
nn
b
n
n
ba
n
ba
n
a
n
ba
º3
22
2
1
1
210
)( 





++





+





+





=+ −−
Lo cual resulta una manera muy práctica y sencilla de obtener los
términos del desarrollo del binomio, aunque n fuese un número grande.
Este teorema puede ser demostrado por el método de Inducción
Matemática.
Note que:
1. Cualquier término del desarrollo, tiene la forma:
iin ba
i
n −






TÉRMINO GENERAL
Donde:
=n exponente del binomio
=a primer término
=b segundo término
=i # término –1
2. A los coeficientes del desarrollo se les ha dado forma 





m
n
. La
cual se la calcula mediante la siguiente definición:
( )!!
!
mnm
n
m
n
−
=





donde mn ≥ ¿POR QUÉ?
Ejemplo
Si 5=n y 3=m tenemos
( ) ( )( )
10
12123
12345
!35!3
!5
3
5
=
×××
××××
=
−
=





Además, si 0=m entonces
( )
1
!
!
!0!0
!
0
==
−
=





n
n
n
nn
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
179
Y si nm = tenemos
( )
1
!
!
!!
!
==
−
=





n
n
nnn
n
n
n
3. La cantidad total de términos del desarrollo del binomio es
1+n . ¿POR QUÉ?
Bien, ahora analicemos diversos ejercicios resueltos.
Ejercicios resuelto 1
Hallar el TÉRMINO CUARTO en el desarrollo del binomio de ( )7
21 x−
SOLUCIÓN:
( )7
21 x− = ( )7
)2(1 x−+ Entonces 37 == in 1=a xb 2−=
Reemplazando en
iin ba
i
n −






tenemos:
( )
( )
3
3
3337
280
8
!423
!4567
8
!4!3
!7
)2(1
3
7
x
x
xx
−=
−
/×
/×××
=
−=−




 −
Ejercicios resuelto 2
El COEFICIENTE del término
3
x en el desarrollo de
12
2 1






+
x
x es:
a) 492 b) 592 c) 692 d) 792 e) 892
SOLUCIÓN:
Aquí en cambio, no conocemos el número del término, pero sabemos que el término referido en el desarrollo del
binomio
12
2 1






+
x
x tiene como parte literal a
3
x
Además conocemos que ?,,,12 12
==== −
ixbxan
Reemplazando y simplificando en
iin ba
i
n −






, tenemos:
Como el exponente de la “x” debe ser 3, entonces: POR TANTO ES EL OCTAVO TÉRMINO.
Ahora calculamos el coeficiente del octavo término:
RESPUESTA: la opción “d”
( )
i
ii
i
i
x
i
xx
ix
x
i
324
224122
12
12112
−
−−−






=






=











7
3324
=
=−
i
i
792
12345!7
!789101112
!5!7
!12
7
12
=
××××
×××××
=
=





Moisés Villena Muñoz Números Naturales
180
Ejercicios resuelto 3
El valor del exponente " k " que hace posible que el sexto término del desarrollo del
binomio
10
32
2






+
x
y
y
x k
contenga
3
y , es:
a) 1− b) 5 c) 0 d) 1 e)
5
13
SOLUCIÓN:
DATOS:
3
2
2
10
5
x
y
b
y
x
a
n
isextoTérmino
k
=
=
=
=→=
. Reemplazando en iin
ba
i
n −






tenemos:
Empleando la condición:
RESPUESTA: Opción “e”
Ejercicios resuelto 4
Encontrar " a " y " b " del binomio
10
6 2 





− b
a
yx de tal forma que el séptimo término
sea igual a 13440 4 6
x y−
SOLUCIÓN:
Para el binomio ( )10
26 b
yx
a
− tenemos que:
Reemplanzando,tenemos:
Como la condición es que el término sea 64
13440 yx−
entonces:
105510
15
55
10
5
5
3
5
2
2
5
10
2
5
102
5
10
−−






=






=






















k
kk
yx
x
y
y
x
x
y
y
x
5
13
3105
3105
=
=−
=−
k
k
yy k
b
yb 2
xa
10n
6itérminoSéptimo
6
a
−=
=
=
=→
( ) ( ) ( ) bb
yxyx
aa 6664
3
2
6 2
6
10
2
6
10
−





=−





6
4
3
2
43
2
−=
−=
= −
a
a
xx
a
y
1
66
66
=
=
=
b
b
yy b
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
181
Ejercicios Propuestos 8.2
1. Encuentre el SÉPTIMO TÉRMINO del desarrollo de ( )10
2
2
1 vu −
2. Encuentre el TÉRMINO CENTRAL en el desarrollo de
12
3
1
3
1








+ yx
3. El COEFICIENTE de
1−
y en el desarrollo del binomio
6
3
3
2
1








−
xy
x es igual a:
a) -20 b)-15 c)-10 d) 10 e)20
4. Encontrar el COEFICIENTE del término x−4
en el desarrollo de
5
2 







−
x
x
π
5. El COEFICIENTE del término que contiene
36
x en
20
3 1






−
x
x , acorde con el teorema del binomio es:
a) 





6
20
b) 





10
20
c) 





−
6
20
d) 





−
10
20
e) 





7
20
6. El COEFICIENTE de 184
yx en ( )103
3 yx − es:
a)1701 b)17010 c)
!6!4
!10
d) 9
3
!4
!10
e) 9
3
!4!6
!10
7. Encuentre el TÉRMINO QUE NO CONTIENE X en el desarrollo de
10
2
1
6 





−
x
x
8. El COEFICIENTE del término que no contiene " y " en el desarrollo del binomio
9
2
2
1
2 





−
y
xy es:
a)
2
21 b)
3
70 c)
3
84 d)
3
84
− e)
2
21
−
9. El COEFICIENTE del término que contiene a
2
x en el desarrollo de
10
3






+
x
a
x es:
a) 7
100a b) 7
110a c) 7
140a d) 7
150a e) 7
120a
10. El COEFICIENTE del término que contiene 9
x en el desarrollo de
8
3
2 2
2








−
x
x
es:
a) 7 b)14 c) -7 d) -14 e)0
11. El término que es INDEPENDIENTE DE X en la expresión:
16
2
3
3
1
3
2
2
1










+
x
y
y
x
es el:
a) cuarto b) quinto c)décimo d) duodécimo e)décimo quinto
12. El VALOR que debe tener "n" en el binomio
n
x
x 







+
2
1
, para que el cuarto término de su desarrollo sea:
x120 , es:
a) 10 b)12 c)14 d)16 e)18
13. ¿Cuál es el COEFICIENTE del término que no contiene la variable z en el desarrollo del binomio
10
2
3 1








+
z
z
a) 58 b)210 c)1680 d)630 e)100
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
182
14. ¿Qué valor debe tener "n" para que el cuarto término del desarrollo del binomio ( )n
xy −2
contenga a
10
y ?
15. Si el quinto término del desarrollo del binomio ( )5
ba + es igual a 12
160x ,y el cociente de sus términos
centrales (en orden) es
2
x , entonces "b" es igual a:
a) 4
2x b)
4
x c) 2−
x d) 2
2x e) 2
x
16. Si el tercer término en el desarrollo del binomio: ( )8
1 kx+ , IRk ∈ es
2
7x , entonces un valor de "k"
es:
a)
2
3
b) 7 c)
2
1
d)
2
7
e)
7
4
17. Encuentre el valor de "k" para que el coeficiente del octavo término en el desarrollo del binomio
11






+
π
π
k
x
x
k
sea
3
330
π
a) 1 b)2 c)3 d) 4 e) 5
18. La suma de los coeficientes de los términos centrales en el desarrollo del binomio ( )72
2 yx − es:
a) 35 b)-35 c)120 d)-280 e)840
19. Dado el siguiente Binomio:
10
32








+
j
k
y
x
yx los valores de "k" y "j" para que las potencias de x y la potencia
de y , del tercer término sean iguales, respectivamente, a las potencias de x y las potencia de y del octavo
término, son:
a) k=2 y j=-3 b)k=2 y j=3 c)k=3 y j=2 d)k=-2 y j=3 e)k=4 y j=2
8.5 SUCESIONES
Si en una función se emplea como dominio a los números naturales,
entonces tenemos una función de variable natural, es decir RNf : . Esta
función se la llama SUCESIÓN
Ejemplo
Sea RNf : tal que :
Observe que los términos de la sucesión sugieren una generalidad
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
183




















=⇒=
↓
↑
↓
↑





,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1)(
4
3
2
1
térm
térm
térm
térm
nn
to
er
do
er
aanf
5
1
)5(,
4
1
)4(,
3
1
)3(,
2
1
)2(,
1
1
)1( 54321 ========== fafafafafa
entonces:
n
nfan
1
)( == el cual llamaremos TÉRMINO “ ésimon − ”, TÉRMINO GENERAL O
SIMPLEMENTE LA REGLA DE CORRESPONDENCIA DE LA SUCESIÓN.
Habrá muchas sucesiones, con tantas reglas de correspondencias
como expresiones algebraicas en n podamos imaginar.
Sin embargo, ahora sólo estudiaremos dos tipos de sucesiones.
Aquellas cuyos términos presentan una secuencia muy singular, las
Aritméticas y las Geométricas.
Estas sucesiones son también llamadas progresiones.
8.5.1. SUCESIÓN (PROGRESIÓN) ARITMÉTICA
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Infiera la fórmula del término general en una sucesión aritmética.
 Aplique la fórmula del término general en ejercicios de sucesiones aritméticas.
 Infiera la fórmula de la suma de los n términos en una sucesión aritmética.
 Aplique la fórmula de la suma n-ésima en ejercicios de sucesiones aritméticas.
 Aplique las formulaciones de las progresiones aritméticas para resolver problemas de aplicación.
Observe la secuencia de números { },17,14,11,8,5,2 .
Note que el primer término es 2 y de allí en adelante el resto de
términos consecutivos se forman sumándole 3 a cada término.
Si quisiéramos determinar el séptimo término (el número posterior a
17) bastaría con sumarle 3 a 17 y ya; pero si se trata de determinar el
término cien, este procedimiento no es práctico y surge la necesidad de
formular.
Para lo cual, lo anterior lo podemos tratar de generalizar de la
siguiente manera:
Empezando con “ a ” como primer término, luego le sumamos a este
término una constante “ a ” para formar el segundo término, luego a éste
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
184
segundo término le sumamos la misma constante “ a ” para formar el tercer
término, y así sucesivamente. Es decir:











+++ 

,3,2,,
4321 tértértértér
dadadaa
Entonces el TÉRMINO n-ésimo O TÉRMINO GENERAL es:
( )dnaan 1−+=
donde
Note que lo singular es que existe una misma diferencia entre dos
términos consecutivos cualesquiera, es decir:
AnteriorTérmPosteriorTérmd .. −=
Ejemplo 1
Sea la sucesión { },17,14,11,8,5,2 . Hallar el término 100.
SOLUCIÓN:
Como tenemos que: 2=a , 3=d y 100=n , al reemplazar en ( )dnaan 1−+= tenemos:
299
2972
3)99(2
3)1100(2
100
100
100
100
=
+=
+=
−+=
a
a
a
a
Note que el término general de esta particular progresión aritmética es: ( )312 −+= nan . El cual nos
permitiría no sólo calcular el término 100, sino cualquier otro término de la sucesión.
Ejemplo 2
Para la sucesión anterior { },17,14,11,8,5,2 . Hallar el término 500.
SOLUCIÓN:
Como tenemos ahora que 500=n , al reemplazar en ( )312 −+= nan
tenemos:
1499
14972
3)499(2
3)1500(2
500
500
500
500
=
+=
+=
−+=
a
a
a
a
=a er
1 término
=d diferencia
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
185
Ejemplo 3
Para la sucesión { },5,3,1,1,3,5 −−− . Hallar el término general.
SOLUCIÓN:
Aquí tenemos que:
2)1(353
5
−=⇒−−−=−=
=
dd
a
Reemplazando:
)1(25
)2)(1(5
−−=
−−+=
na
na
n
n
8.5.1.1 SUMA DE LOS “n” PRIMEROS TÉRMINOS
Sería importante disponer de una fórmula que nos permita
hallar la suma de los n primeros términos de una progresión
aritmética. Para lo cual:
( ) ( ) ( )
( )
2
1
32
dnn
na
dadadaaSn
−
+=
+++++++= 
Por lo tanto ( )










−+= dna
n
Sn 12
2
En ocasiones, se la emplea de esta otra forma:
 ( )












−++=
Término
Ultimo
Térm
im
n dnaa
n
S 1
2
.
.Pr






+=
término
último
término
imern
Sn
Pr
2
Ejemplo
Para la sucesión { },17,14,11,8,5,2 . Hallar la suma de los primeros 100 términos.
SOLUCIÓN:
Aplicando la fórmula tenemos:
[ ]
[ ]
15050
)301(50
297450
3)99(450
3)1100()2(2
2
100
100
100
100
100
100
=
=
+=
+=










−+=
S
S
S
S
S
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
186
Ahora analicemos los siguientes ejercicios:
Ejercicio resuelto 1
Si el cuarto término de una sucesión aritmética es 5 y el noveno término es 20, obtener
el sexto término
a) 12 b) -11 c) -12 d) 11 e) 6
SOLUCIÓN:
DATOS: 205 94 == aa
Empleamos ( )dnaan 1−+= para hallar ?=a y ?=d
1.
ad
da
daa
=−
+=
−+==
35
35
)14(54
2.
ad
da
daa
=−
+=
−+==
820
820
)19(209
Igualando, tenemos:
3
155
52038
82035
=
=
−=−
−=−
d
d
dd
dd
, entonces:
4
95
)3(35
35
−=
−=
−=
−=
a
a
a
da
Por lo tanto el sexto término
11
154
3)16(4
6
6
6
=
+−=
−+−=
a
a
a
Ejercicio resuelto 2
¿Cuantos términos de la sucesión { },15,12,9 es necesario considerar de modo
que su suma sea 306? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
SOLUCIÓN:
DATOS: Progresión aritmética con 9=a y 3=d (¿por qué?)
CONDICIÓN: 306? =S
DESARROLLO: Empleamos ( )










−+= dna
n
Sn 12
2
para hallar ?=n
Reemplazando y simplificando, resulta:
[ ]
2
315612
)315(
2
306
)3318(
2
306
3)1()9(2
2
306
3)1()9(2
2
306
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
+=
+=
−+=
−+=










−+=
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
187
Ahora, resolviendo la ecuación cuadrática tenemos:
1217
0)12)(17(
02045
30612153
2
2
=−=
=−+
=−+
÷=−+
nn
nn
nn
nn
RESPUESTA: Escogemos 12=n (¿por qué?)
Ejercicio resuelto 3
En una progresión aritmética finita, el primer término es igual a k-2, el último término
es igual a 6-3k y la suma de todos los términos es igual a 10-5k. Entonces el número n
de términos de la progresión es igual a:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
SOLUCIÓN:
DATOS: Progresión aritmética con
knSknaka 5103621 −=−=−=
DESARROLLO: Empleamos 





+=
término
último
término
imern
Sn
Pr
2
para hallar ?=n
Reemplazando:
( )
[ ]
5
)2(2
2
)2(5
)24(
2
510
362
2
510
)36()2(
2
510
=
−/
/
=−
−=−
−+−=−










−+−=−
n
k
n
k
k
n
k
kk
n
k
kk
n
k
RESPUESTA: La progresión tiene 5 términos.
Ejercicio resuelto 4
Una empresa instala una máquina con un costo de $1700. El valor de la máquina se
desprecia anualmente en . $150 y su valor se desecho es de $200. ¿Cuál es la vida de
la máquina?
SOLUCIÓN:
DATOS: La máquina tiene: COSTO INICIAL = $1700 y luego cada año tendrá un valor de menos $150
que el año anterior, hasta llegar a un COSTO FINAL = $200
Formemos una sucesión de números para el valor de la máquina a partir del año de funcionamiento
 








200,,1400,1550
21

añoaño
Resulta una progresión aritmética con 1550=a y 150−=d
DESARROLLO: Empleamos ( )dnaan 1−+= para hallar ?=n
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
188
10
1500150
2001501550150
1501501550200
)1(1501550
)150)(1(1550
=
=
−+=
+−=
−−=
−−+=
n
n
n
n
na
na
n
n
RESPUESTA: La vida útil de la máquina es de 10 años.
Ejercicios Propuestos 8.3
1. 200 troncos están apilados de la siguiente manera: 20 en la primera fila, 19 en la segunda y así sucesivamente;
el número de filas que hay y el número de troncos en la última fila es:
a) 5 y 6 b) 16 y 5 c) 20 y 10 d) 10 y 20 e) 16 y 6
2. Una pila de troncos, tiene 24 troncos en la primera capa, 23 en la segunda, 22 en la tercera y así sucesivamente
hasta que la última capa contiene 10 troncos. Encuentre ¿CUÁNTOS TRONCOS HAY EN TOTAL?
a) 200 b) 255 c) 230 d) 400 e) 300
3. Si el décimo término de una progresión aritmética es 42 y el término vigésimo primero es 75, entonces el
término trigésimo primero es:
a) 105 b) 108 c) 104 d) 103 e) 100
4. La suma de los primeros 20 múltiplos de 7 es:
a) 1470 b) 1460 c) 1473 d) 1465 e) 147
5. Si se suman el cuarto y el sexto término de una progresión aritmética se obtiene 20, pero si se multiplican el
tercer con el quinto término de la misma progresión aritmética se obtiene también 20. Entonces la suma de los
cinco primeros términos de esta progresión es:
a) 0 b) 10 c) 20 d) 24 e) 40
6. La suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética es 440 y el primer término es 35, entonces el
DÉCIMO TÉRMINO es:
a) 2 b) 125 c)10 d)53 e)100
7. La suma del quinto y décimo termino de la siguiente sucesión aritmética: x-8, x-3, x+2, x+7,.... es:
a)2x-49 b) 2x-81 c) 2x-82 d) 2x+82 e) 2x+49
8. Si el producto de tres números en progresión aritmética es igual a 16640, siendo el menor 20, entonces la suma
de los otros dos números es:
a) 60 b) 58 c) -65 d) 80 e) -68
9. Si el producto de tres números positivos en progresión aritmética es igual a 45360, siendo el mayor 42, entonces
la SUMA DE LOS OTROS 2 NÚMEROS es:
a) 70 b) 60 c) 78 d) 66 e) 84
10. Un comerciante no pudiendo pagar de una vez una deuda de $12.950, propone al banco acreedor pagarle $600
al final del primer mes, y cada mes $50 más que el mes anterior. El comerciante cancelará toda la deuda en:
a) 1 año b) 14 meses c) 10 meses d) 16 meses e) 18 meses
11. Una máquina tiene un valor inicial de $2000 y se desprecia anualmente en $160. Si el valor de desecho de la
máquina es de $400, entonces su tiempo de vida útil es igual a:
a) 8 años b) 12 años c) 11 años d) 10 años e) 13 años
12. Una compañía manufacturera instala una máquina en un costo de . $1500. Al cabo de 9 años, la máquina tiene
un valor de $420. Suponiendo que la depreciación anual es constante, calcule la depreciación anual.
13. La oficina de Ingreso compró un televisor nuevo al precio de $1000. Si se supone una depreciación lineal del
20% del costo original, y si el valor de desecho es $100, entonces el tiempo esperado de vida del televisor, en
años, es:
a) 5 b) 3.5 c) 4 d) 4.5 e) 5.5
14. Los pagos mensuales de Consuelo al banco ocasionados por un préstamo forman una progresión aritmética.
Si el octavo y décimo quinto pagos son de $153 y $181, respectivamente, entonces el vigésimo pago es:
a) $202 b) $220 c) $201 d) $210 e) $200
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
189
15. En un programa concurso de la televisión, un participante obtiene 5 premios de dinero en efectivo. La suma total
de los premios es de $5000. Si hubo una disminución de $100 entre premios sucesivos, entonces el PRIMER
PREMIO fue de:
a) $12 b) $120 c) $1200 d) $2800 e)$12000
16. Un individuo está de acuerdo en pagar una deuda libre de interés de $5800 en cierto número de pagos, cada
uno de ellos (empezando por el segundo) debiendo exceder al anterior por $20. Si el primer pago es de $
100, calcule cuantos pagos deberá efectuar con objeto de finiquitar la deuda.
17. Se compra una casa a 25 años plazo; el primer año se paga $5000, el segundo se paga $5300 y cada año se
pagan $300 más, entonces la deuda total es:
a) $215000 b) $220000 c) $225000 d) $230000 e) $235000
18. Un individuo está de acuerdo en saldar una deuda de $1800 en cierto número de pagos, cada uno de ellos
(empezando con el segundo) menor que el previo en $10. Si su quinto pago es de $200, ¿cuántos pagos serán
necesarios de modo que salde la deuda?
19. El salario de un empleado se incrementó anualmente siguiendo una progresión aritmética. Si el quinto año ganó
$440 mensuales, y el vigésimo tercer año ganó $1160 mensuales, entonces su salario mensual inicial fue:
a) $120 b) $140 c) $280 d) $ 360 e) $110
20. Una mujer desea pagar un préstamo libre de interés de $1300 cancelando $10 el primer mes y aumentando
su pago en $15 cada mes. La cantidad del último pago es de:
a) $150 b) $160 c) $170 d) $180 e) $190
21. El término central de una progresión aritmética de "n" términos cuyo primer término es a1 y su diferencia es d,
siendo "n" impar y Sn la suma de los "n" términos, es:
a)
( )dn
Sn
1+
b)
n
Sn c)
( )1
2
−n
Sn d)
d
Sn e)
nS
n
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
190
8.5.2 PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Infiera la fórmula del término general en una sucesión geométrica.
 Aplique la fórmula del término general en ejercicios de sucesiones geométricas.
 Infiera la fórmula de la suma de los n términos en una sucesión geométrica.
 Aplique la fórmula de la suma n-ésima en ejercicios de sucesiones geométricas.
 Aplique las formulaciones de las progresiones geométricas para resolver problemas de aplicación.
Supongamos ahora que tenemos una sucesión de términos, cuyo
primer término sea “a”; el segundo término sea el primero multiplicado por
una constante “r”, el tercer término sea el segundo multiplicado por la
misma constante r; y así sucesivamente. Es decir:
   








,,,,
4
3
3
2
21 tértértértér
ararara
Este tipo de sucesión es llamada Progresión Geométrica. Observe
que el TÉRMINO“n-ÉSIMO” O GENERAL es de la forma:
1−
= n
n ara
Donde: er
a 1≡ término
≡r razón
AnteriorTér
PosteriorTér
.
.
=
Ejemplo 1
Sea la sucesión de números { },54,18,6,2 . Hallar el término cincuenta.
SOLUCIÓN:
Observe que el primer término es 2=a y luego cada término se forma multiplicando por 3 a cada término
anterior, es decir 3
18
54
2
6
===r
Los primeros términos son fáciles de deducir, pero para determinar términos altos, es necesario aplicar la formula
1−
= n
n ara
Reemplazando, tenemos
49
50
150
50
)3(2
)3(2
=
= −
a
a
Ejemplo 2
Para esta progresión geométrica






,
16
3
,
8
3
,
4
3
,
2
3
,3
Tenemos: 3=a y
2
1
3
2
3
==r . Entonces su término general sería :
1
2
1
3
−






=
n
na que le
permite calcular cualquier término de la progresión.
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
191
8.5.2.1 SUMA “n-ÉSIMA”
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica
sería:
[ ]

+++=
++++=
32
32
1 rraS
arararaS
n
n
Entonces








−
−
=
r
r
aS
n
n
1
1
ó también








−
−
=
1
1
r
r
aS
n
n
Ejemplo 1
Para la progresión geométrica { },54,18,6,2 . Hallar la suma de los cincuenta primeros
términos
SOLUCIÓN:
Reemplazando en








−
−
=
1
1
r
r
aS
n
n tenemos ( )13
13
13
2 50
50
50 −=








−
−
=S
Ejemplo 2
Para la progresión geométrica






,
16
3
,
8
3
,
4
3
,
2
3
,3 . Hallar la suma de los cincuenta
primeros términos
SOLUCIÓN:
Reemplazando, tenemos














−=⇒














−






−
=
50
50
50
50
2
1
16
2
1
1
2
1
1
3 SS
8.5.2.2 SUMA INFINITA
Algo interesante ocurre cuando determinamos la suma de una
cantidad muy grande de términos de una progresión geométrica con 1<r
r
a
r
r
aS
−
≈








−
∞−
=∞
11
1
donde ≡∞ cantidad muy grande
r
a
S
−
≈∞
1 si 1<r
PREGUNTA: ¿QUÉ SUCEDE CON ∞S SI 1>r ?
0
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
192
Ejemplo 1
Sea una progresión geométrica infinita con 2=a y
4
3=r , hallar el valor aproximado
de ∞S .
SOLUCIÓN:
Reemplazando en
r
a
S
−
≈∞
1 tenemos
8
4
1
2
4
31
2
==
−
≈∞S
RESUMEN
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
( )dnaan 1−+= ( )










−+= dna
n
Sn 12
2
también: 





+=
término
último
término
imern
Sn
Pr
2
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1−
= n
n ara








−
−
=
r
r
aS
n
n
1
1
r
a
S
−
≈∞
1
si
1<r
Ejercicio Resuelto 1
En una progresión geométrica el cuarto y el séptimo término son respectivamente 4 y
12. Entonces el valor del décimo término es:
a) 36 b) 40 c) 38 d) 42 e) 34
SOLUCIÓN:
DATOS: 44 =a y 127 =a
INCOGNITA: ?10 =a
DESARROLLO:
Empleemos
1−
= n
n ara para hallar primero a y r
1.
3
3
14
4
4
4
r
a
ar
ar
=
=
= −
2.
6
6
17
12
12
12
r
a
ar
ar
=
=
= −
igualando, tenemos
3
4
12
124
3
3
6
63
=
=
=
r
r
r
rr
entonces
3
33 3
3
3
=
=
/ /
r
r
por lo tanto ( )
3
4
3
4
33
=
=
//
a
a
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
193
Ahora, hallemos el DÉCIMO TÉRMINO:
( )
( )
( )
36
3
3
4
3
3
4
3
3
4
10
3
10
93
10
1103
10
=
=
=
=
−
a
a
a
a
RESPUESTA: Opción "a"
Ejercicio Resuelto 2
Sea la sucesión { 96, 48, 24, 12,.....} Entonces el lugar que ocupa el término
16
3 es:
a) cuarto lugar b) quinto lugar c) sexto lugar d) octavo lugar e) décimo lugar
SOLUCIÓN:
DATOS: Progresión geométrica con 96=a y
2
1
96
48 ==r
16
3
? =a
DESARROLLO: Empleemos
1−
= n
n ara para hallar ?=n
Reemplazando:
n
n
n
n






=
××






=
×
−












=
×
−






=
2
1
23216
1
)2(
2
1
3216
1
1
2
1
2
1
9616
3
1
2
1
96
16
3
10
2
1
10
2
1
2
1
102
1
2
1
25242
1
=






=











=






=
××
n
n
n
n
RESPUESTA:
16
3 ocupa el décimo lugar en la progresión dada. Opción “e”
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
194
Ejercicio Resuelto 3
En una progresión geométrica, si se conoce que el primer término es igual a 160, la
razón igual a
2
3 y la suma de sus “n” primeros términos es 2110, entonces el número
de términos es igual a:
a) 9 b) 6 c) 7 d) 8 e) 5
SOLUCIÓN:
DATOS: 1601 =a ,
2
3
=r ,
2110=nS
INCOGNITA: ?=n
DESARROLLO:
Reemplazando en








−
−
=
r
r
aS
n
n
1
1
tenemos:
RESPUESTA: 5=n . Opción “e”
Ejercicio Resuelto 4
Una progresión geométrica finita tiene en total diez términos. Si el primer término es 1
y el quinto
16
1 , entonces la suma de los cinco últimos términos de la progresión es
igual a:
a) 33/512 b) 32/512 c) 31/512 d) 30/512 e) 55/512
SOLUCIÓN:
DATOS: 1=a ,
16
1
5 =a , 10=n
INCÓGNITA: =S suma de los 5 últimos
DESARROLLO: Encontremos primero la razón:
PRIMER MÉTODO:
Desarrollando los términos de la progresión { }512
1,
256
1,
128
1,
64
1,
32
1,
16
1,
8
1,
4
1,
2
1,1 y luego sumando
los cinco últimos términos
512
31
512
124816
512
1
256
1
128
1
64
1
32
1 =
++++
=++++
















−−=
















−






−
=
















−






−
/=/










−
−
=
n
n
n
n
n r
r
S
2
3
132211
2
1
2
3
1
16211
2
3
1
2
3
1
0160211
1
1
160
5
5
5
2
3
2
3
2
3
2
3
32
243
2
3
32
21132
2
3
32
211
1
2
3
2
3
1
32
211






=





=





=





+
=





+=











−=−
n
n
n
n
n
n
( )
2
1
16
1
16
1
1
44 4
4
15
5
=
=
=
=
/ /
−
r
r
r
ra
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
195
SEGUNDO MÉTODO:
Obteniendo 10S y 5S y luego restarlos. Entonces:
92
1102
1
2
.
102
1021
2
1
102
1021
2
1
1
102
1
1
2
1
1
10
2
1
110
−
=
−
−=
−
−
=
−
−
=














−
−





=S
42
152
1
2
.
52
521
2
1
1
52
1
1
2
1
1
5
2
1
15
−
=
−
−=












−
−
=














−
−





=S
512
31
92
152
92
521021102
92
152521102
42
152
92
1102
510 =
−
=
+−−
=





 −−−
=
−
−
−
=− SS
TERCER MÉTODO:
Considere una sucesión con
32
1=a y
2
1=r , es decir { }512
1,
256
1,
128
1,
64
1,
32
1 .
Luego obtenga 5S aplicando








−
−
=
r
r
aS
n
n
1
1
.
Entonces reemplazando tenemos:
512
31
92
31
2.
52
31
52
1
2
1
52
152
52
1
2
11
5
2
11
32
1
5 ==








=













 −
=












−




−
=S
NOTA:
 El primer método no sería práctico si tuviésemos una muy grande cantidad de términos.
 El tercer método sería el más adecuado, porque se hacen menos cálculos que en el segundo
método.
Ejercicio Resuelto 5
El valor aproximado de .....27/199/193/19 ⋅⋅⋅ es:
a) 1 b) 3 c) 9 d) 92 e) 31/3
SOLUCIÓN:
Por la ley de los exponentes ⋅⋅⋅ 27
1
9
1
3
1
999 =
...
27
1
9
1
3
1
9
++
. El exponente, no es más que
una progresión geométrica infinita con
3
1=a y
3
1
3
1
9
1
==r , por lo tanto:
3999 2
1
3
2
3
1
3
11
3
1
===
−
La conversión de un número decimal periódico en su fracción
correspondiente, puede también ser realizada considerando el criterio de la
progresión geométrica infinita.
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
196
Ejercicio Resuelto 6
El número 2,52525252..... se puede escribir como una fracción; entonces cuando se
reduce a su expresión mínima ( sin factores comunes ) la suma del numerador y del
denominador es igual a:
7 b) 29 c) 141 d) 349 e) 204
SOLUCIÓN:
52525252.2 = 525252.02 + = ++++ 000052.00052.052.02
= +++++
432
100
52
100
52
100
52
100
52
2
= 





+++++ 
432
100
1
100
1
100
1
100
1
522
La expresión que aparece dentro del corchete es una progresión geométrica infinita con 100
1
=a
y 100
1
=r .
Por tanto al aproximar su suma, tenemos:
99
250
99
52198
99
1
522
100
99
100
1
522
100
1
1
100
1
522 =
+
=





+=












+=












−
+
RESPUESTA: Como la fracción es
99
250 ; entonces al sumar numerador con denominador, tenemos
34999250 =+ . Opción “d”.
Ejercicio Resuelto 7
Suponga que el gobierno invierte $1000 millones extras en la economía. Suponga que
cada negocio y cada individuo ahorra el 25% de lo que recibe y gasta el resto, de modo
que de los $1000 millones iniciales el 75% es vuelto a gastar por individuos y negocios.
De esa cantidad, el 75% es gastado y así sucesivamente. Incluyendo los $1000 millones
originales, el aumento total en los gastos debido a la acción del gobierno, es:
a)$1000 millones b)$2000 millones c)$3000 millones d)$4000 millones
e) $5000 millones
SOLUCIÓN:
Planteemos la situación para los gastos
+





++ )1000(
100
75
100
75
)1000(
100
75
1000
+





+





++ )1000(
100
75
)1000(
100
75
)1000(
100
75
1000
32








+





+





++ 
32
4
3
4
3
4
3
11000
Note que lo que esta en paréntesis es una Progresión Geométrica infinita con 1=a y
4
3=r :
4
4
1
1
4
3
1
1
1
=
























=












−
=
−
≈∞
r
a
S
entonces [ ] 400041000 =
RESPUESTA: Opción “d”
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
197
Ejercicios Propuestos 8.4
1. Determine si las siguientes reglas de correspondencias definen una progresión aritmética o una progresión
geométrica o ninguna.
a) n
nf −
= 2)( b)
( )!1
!2
)(
+
=
n
n
nf c) ( )
)!2(3
)23(!
1)(
2
+
++
−=
n
nnn
nf
n
n
d)
)2(
65
)(
2
+
++
=
n
nn
nf e) nnf 3)( =
2. En una progresión geométrica se conoce que el primer término y el tercer término son respectivamente 2
1
2 y
6
1
2 , entonces el quinto término es:
a) 2
3
2 b) 3
2
2 c) 6
1
2
−
d) 6
5
2 e) 2
3. Al sumar un valor constante a los números 20, 50 y 100 resulta una progresión geométrica. La razón en esta
progresión así formada es:
a) 5/3 b) 4/3 c) 3/2 d)
2
1 e) 1/3
4. Si el noveno término de una progresión geométrica es
2187
64
y la razón es
3
2
; entonces el primer término es:
a) 3/4 b) 9/8 c) 4/3 d) 8/9 e) 2/3
5. El décimo tercer (13º) elemento de una progresión geométrica es 16 y el undécimo (11º) es 8, entonces el
QUINTO TÉRMINO es igual a:
a)
4
1 b)
2
1 c) 1 d) 4 e) 2
9
2
6. Si en una progresión geométrica el primer término es 9 y el quinto es 81, entonces la suma de los cinco
primeros términos es:
a) 3120 + b) 240 c) 100 d) 336117 + e)220
7. Si la razón de una progresión geométrica finita de 10 elementos es
24
1 de la suma de los términos segundo y
tercero; y el primer término es 16, entonces LA SUMA DE LOS DOS ÚLTIMOS términos es:
a)
32
1 b)
64
3 c)
16
1 d)
16
3 e)
32
3
8. En una progresión geométrica de 5 términos positivos, la razón de la misma es igual a la cuarta parte del primer
término. Si la suma de los dos primeros términos es 24. Encuentre los términos de la progresión .
Resp.: 8, 16, 32, 64, 128
9. En una progresión geométrica cuyos términos son positivos, cualquier término es igual a la suma de los dos
términos siguientes. Entonces la razón es:
a) 1 b)
2
5
c)
2
15 −
d)
2
51−
e)
5
2
10. La suma de la serie:
5
2
1
2
2
1
12 





++++  es:
a)
8
31
b)
16
63
c)
8
63
d) 63 e)
16
1
11. El valor de la suma infinita de ....
32
27
8
9
2
3
2 ++++ es:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
12. El valor de la suma .......
16
1
27
1
8
1
9
1
4
1
3
1
2
1
1 +





++





++





++





+ es:
a) 2 b) 9/4 c) 5/2 d) 3 e) 2
13. El valor de: :........4444 81/127/19/13/1
es⋅⋅⋅⋅ −−
a) 4 b) 32 c) 2 d) 22 e) 4
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
198
14. La suma de la progresión geométrica infinita: 100 + 10 + 1 + 0.1 + ... es igual a:
a) 1000 b)1111.11 c)111.11 d)111 e)120
15. Sea i, a ∈R, 0< i < 1, entonces, el valor de la SUMA INFINITA de: ( ) ( ) .....
2
11 1
+
−
++++ −
iaiaa
es:
a) ( )
i
ia +1 b)
i
a c) ai d)
( )[ ]1
11 −
++ i
a e)
( )i
a
+1
16. Si a, i ∈R, 0 < i < 1 y
( ) ( ) ( )
,....
1
,
1
,
1 32
i
a
i
a
i
a
+++
son los términos de una progresión geométrica infinita,
entonces la suma de todos sus términos es:
a) a2 b)
)1( i
a
+
c)
i
a d) ai e) ∞
17. La expresión: 







+−+− ...
111
1
32
xxx
, 10 << x ; es equivalente a:
a) 1 b) x c) 1+x d)
1+x
x
e)
1−x
x
18. Dada la crisis actual, el Sr. Generositis, un acaudalado millonario, ha decidido repartir dinero a los ecuatorianos
más afectados. Entonces a la primera persona le da $1000, al segundo $500, al tercero $250, al cuarto $125 y
así sucesivamente. El Sr. Generositis repartirá, en total, aproximadamente:
a)$1500 b)$2000 c)$2500 d)$3000 e)$3500
19. Tres personas Maricela, Gonzalo y Meure dividen una manzana de la siguiente manera. Primero la dividen en
cuartos y cada uno toma un cuarto. Después dividen la parte sobrante de nuevo en cuartos y cada quien toma
su parte, siguiendo de esta manera con las partes sobrantes. Entonces, en total, cada uno obtiene:
a) Un cuarto de la manzana b) La mitad de la manzana c) Un tercio de la manzana
d) Dos tercios de la manzana e) Un octavo de la manzana.
20. En un arranque de generosidad un millonario decidió ayudar a todos los mendigos del mundo. Para ello, y con el
fin de hacerlo ordenadamente, pidió que se alinearan (los mendigos) uno tras otros para darle al primero 1 dólar;
al segundo la mitad de un dólar, al tercero la cuarta parte de un dólar y así sucesivamente. ¿Cuántos dólares
necesita el millonario como mínimo para ayudar a los mendigos?
a)$1000 b)$2000 c)$2 d)$4
e) No existe dinero en el mundo para pagar lo prometido.
21. El disco de un péndulo se balancea un arco de 24 cm. de largo en su primera oscilación. Si cada balanceo
sucesivo es de aproximadamente cinco sexto de la longitud anterior entonces la distancia total aproximada que
recorre antes de detenerse, es:
a) 120 cm. b) 116 cm. c)140 cm. d) 144 cm. e) 160 cm.
22. Una pelota de goma cae desde un altura de 60 m y rebota en forma repetida hasta alcanzar el reposo. En cada
rebote la pelota sube 2/3 de la altura a la que estaba previamente. Entonces, la distancia recorrida por la
pelota, expresada en metros, es igual a:
a) 180 b) 260 c) 300 d) 420 e) 500
23. (CALCULADORA) Una máquina se deprecia anualmente a una tasa de 10% de su valor. El costo original fue
de $10000 y el valor de desecho de $5314,41. Calcule la vida efectiva de la máquina,. esto es, el número de
años hasta que el valor depreciado sea menor que el valor de desecho
24. (CALCULADORA) Una máquina se deprecia anualmente a una tasa del 20% de su valor. El costo original fue
de $10000 y el valor de desecho es de $3000. Encuentre la vida efectiva de la máquina.
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
199
Miscelaneos
1. El VALOR de “ k ” para que el término central del binomio
8
3
2








+
k
yx
xyk tenga como coeficiente a 70 es:
a) 5 b) 2− c)1 d) 1− e) 0
2. Para que el término central del binomio
10
2








+
k
x
x
k
tenga un coeficiente igual a 252, el VALOR de “k” debe
ser:
a)2 b)1 c)–2 d)–1 e)3
3. El VALOR de “ x ” tal que 1248...29272523 =+++++ x , es:
a)70 b)71 c)72 d)73 e)74
4. Se va a construir una escalera de 30 escalones con ladrillos. El escalón inferior requiere de 100 ladrillos y cada
escalón sucesivo necesita dos menos que el inmediato anterior. LA CANTIDAD DE LADRILLOS que se
necesitan para el escalón superior (último) y la CANTIDAD TOTAL de ladrillos que se necesitan para construir
la escalera completa, son respectivamente:
a)42 y 630 b)42 y 2130 c)38 y 570 d)2 y 800 e)10 y 700
5. Si el primer término de una progresión geométrica es 3 y el sexto término es –729, entonces su RAZÓN es:
a)3 b)–3 c)5 d)–9 e)9
6. La SUMA APROXIMADA de los elementos de la progresión: 1,
2
1
,
2
1
,
22
1
,
4
1
, ..........
es:
a)2 + 2 b)
21
1
+
c)
2
22 +
d) 12 − e)2 - 2
7. El término que es independiente de "x" en el desarrollo del binomio
9
2 1






−
x
x ; es:
a)80 b)30 c)10 d)40 e)84
8. El valor de la SUMA 5+9+13+...+49 , es:
a)49 b)76 c)243 d)324 e)1260
9. El pago por un trabajo de $1000 se distribuye entre cuatro personas de modo que cada una después de la
primera recibe $20 menos que la precedente, entonces cada persona recibe
a)$ 280, $300, $320, $340 b)$ 280, $260, $240, $220 c)$ 220, $200, $180, $160
d)$ 260, $240, $220, $200 e)$ 240, $220, $200, $180
10. En una progresión geométrica de términos positivos, la razón de la misma es igual a la mitad del primer término.
Si la suma de los 2 primeros términos es 12 entonces el CUARTO TÉRMINO es:
a)32 b)512 c)12 d)162 e)603
11. El VALOR de "x" de modo que 2,,1 +− xxx sean los términos de una sucesión geométrica, es:
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
12. El COEFICIENTE del término que contiene a
4
x en el desarrollo de
10
2








−
x
x es:
a)-13440 b) 13440 c)3360 d)-1800 e)-3360
13. Sea la sucesión { },...13,11,9,7,5,3,1 . Entonces una de las siguientes afirmaciones es FALSA.
Identifíquela.
a) La sucesión es una Progresión Aritmética.
b) La diferencia de los términos de la sucesión es 2=d .
c) El término n -ésimo es: 12 −= nan
d) El décimo término es: 2010 =a
e) La Suma n -ésima es:
2
nSn =
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
200
14. Patricia tiene que saldar una deuda de $5000. El primer pago será de $275 y luego cada año aumenta sus
pagos en $50 más. Entonces EL NÚMERO DE AÑOS que demora en pagar la deuda es:
a) 10 años b) 20 años c)12 años d)15 años e)16 años
15. Si el tercer término de una progresión geométrica es 2− y es sexto término es 54 , entonces su RAZÓN es:
a)2 b)-2 c) 3 d)-3 e)
3
1−
16. El VALOR APROXIMADO de la suma infinita ...124
4
1
2
1 −+−+−=S es igual a:
a)
2
3− b)
3
8− c) 4− d)
3
2− e) 8−
17. El TÉRMINO que contiene 7
a en el desarrollo del binomio
10
9
3






+ b
a
es:
a) 37
10 ba b) 37
9 ba c) 37
40 ba d) 37
4 ba e) ba7
90
18. Un apostador cada día pierde el 50% de lo que pierde el día anterior. Si el primer día pierde $100, entonces
después de haber apostado una infinita cantidad de veces pierde aproximadamente:
a)$50 b)$150 c)$200 d)$250 e)$300
19. En el desarrollo del binomio 6
)14( −x , la SUMA de los coeficientes correspondientes a los dos últimos términos
es:
a) 25 |b) 24 c)-23 d) 21 e)-26
20. Si la razón de una progresión geométrica finita de 10 elementos es
24
1
de la suma de los términos segundo y
tercero; y el primer término es 16, entonces LA SUMA DE LOS DOS ÚLTIMOS términos es:
a)
32
1
b)
64
3
c)
16
1
d)
16
3
e)
32
3
21. Un insecto se come una planta; una trucha al insecto; un salmón a la trucha; un venado al salmón y un hombre
al venado. Si sólo el 20% de la energía se transforma de un estado al siguiente, entonces la CANTIDAD DE
CALORÍAS SUMINISTRADA POR LA PLANTA para que la carne del venado proporcione 2.000 calorías al
hombre, es:
a) 500.000 b)750.000 c)1'250.000 d)1'000.000 e)1'500.000
22. Un jornalero gana actualmente $5 por día. Cada día que pasa recibe un aumento de $0.10. ¿CUÁNTO TIEMPO
tendrá que transcurrir hasta que su sueldo sea de $10?
a)49 días b)50 días c)51 días d)2 meses e)4 semanas
23. Sea IR=Re y el predicado ( )( ) xxxp 412...7531:)( ≤−+++++ . Entonces su CONJUNTO
SOLUCIÓN es el intervalo:
a) ( ]0,∞− b) ( ]4,4− c)[ )∞,4 d) [ ]4,0 e) ( )∞,1
24. La SUMA de los 6 primeros términos de la progresión






,...
2
1
,
4
1
,
8
1
,
16
1
es:
a)3 b)
6
62
c)
16
64
d)10 e)
16
63
25. El valor aproximado de la suma de +++
22
1
2
1
2 es:
a) 10 b) 9 c) 22 d) 2 e) 2
26. La SUMA DE LOS SEIS primeros términos de la sucesión ,...
2
23
,3,2
es:
a) ( )23
4
19
+ b)
8
338265 +
c)
8
321253 +
d)
3
32 +
e)
27
3223 +
27. El COEFICIENTE del término que no contiene a la variable "y" en el desarrollo del binomio
10
2
3 2








+
y
y es:
a)1260 b)13440 c)840 d)630 e)210
Moisés Villena Muñoz Números Naturales
201
28. En una progresión geométrica de 8 términos positivos, la razón de la misma es igual a la mitad del primer
término. Si la suma de los dos primeros términos es
2
15 entonces el CUARTO TÉRMINO de la progresión es:
a)
8
81 b)
2
3 c)
2
9 d)
4
27 e)3
29. Si una pelota cae de una altura de 48 m. y rebota
3
2 de la distancia desde la cual cae. Si continúa cayendo y
rebotando de esta forma, entonces la DISTANCIA TOTAL que recorrerá antes de quedar en reposo es:
a) 180 m. b) 320 m. c) 360 m. d)220 m. e) 240 m.
30. Si el primer término de una progresión aritmética es 5 y el décimo término es 50 , entonces LA DIFERENCIA
común es:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
31. Si se suman el tercer y el quinto término de una progresión aritmética se obtiene 38 y si se suman el cuarto y
el sexto término de la misma progresión se obtiene 44 , entonces EL QUINTO TÉRMINO de la progresión es:
a) 22 b) 32 c) 24 d) 12 e) 25
32. La SUMA aproximada de los elementos de la progresión ,
33
1
,
3
1
,
3
1
,1,3 es:
a) 3 b)
2
333 +
c)
2
133 +
d)
2
13 +
e) 31+
33. El COEFICIENTE del término que no contiene " y " en el desarrollo del binomio
9
2
2
1
2 





−
y
xy es:
a)
2
21
b)
3
70
c)
3
84
d)
3
84
− e)
2
21
−
34. El QUINTO TÉRMINO en el desarrollo del binomio
7
2






+
y
x es:
a) 43
8
35
yx b) 43
16
35
yx c) 34
16
35
yx d) 34
4
35
yx e) 43
5
16
yx
35. La SUMA de los 26 primeros términos de la progresión aritmética: { }...,5,2,1,4,7 −−−
es:
a) 793 b) 832 c) 182 d)975 e)973

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Cap 8 numeros naturales

  • 1. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 172 8 8.1 AXIOMAS DE PEANO 8.2 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 8.3 FACTORIAL 8.4 TEOREMA DEL BINOMIO 8.5 SUCESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS Seguramente, los números naturales fueron los primeros en definirse, debido a que desde un principio el hombre naturalmente habrá tenido la necesidad de contar.
  • 2. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 173 8.1 AXIOMAS DE PEANO OBJETIVO: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:  Conozca propiedades de los Números Naturales. Los números naturales se construyen a partir de los AXIOMAS DE PEANO: 1. N∈1 2. NnNn o ∈∃∈∀ , tal que 1+= nno ; donde o n es llamado SUCESOR de n 3. ( )1=¬∈∀ o nNn 4. [ ]mnmnNmNn oo =⇒=∈∀∧∈∀ 5. [ ]( )ANAnAnAA o ⊆⇒∈∈∀∧∈∀ 1 Un buen ejercicio consistiría en interpretar estos axiomas. A continuación presentaremos ciertas propiedades para los números naturales, que podrían ser útiles.  ( ) 2 1 ...4321:)( + =+++++ nn nnp La suma de los n números naturales  ( )( ) 6 121 ...4321:)( 22222 ++ =+++++ nnn nnp La suma de los n 2 números naturales  ( ) 2 12...7531:)( nnnp =−+++++ La suma de los números impares  ( )12...8642:)( +=+++++ nnnnp La suma de los números pares  ( ) 2 33333 2 1 ...4321:)(       + =+++++ nn nnp La suma de los n 3 números naturales
  • 3. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 174 Para demostrar que estas propiedades se cumplen para todo n, se puede emplear el método de demostración llamado INDUCCIÓN MATEMÁTICA.
  • 4. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 175 8.2 (OPCIONAL) INDUCCIÓN MATEMÁTICA OBJETIVO: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:  Aplique el principio de inducción matemática para demostraciones. La Inducción Matemática consiste de dos pasos: 1. Verificar que se cumple para el primer o los primeros números, es decir comprobar que verdaderop ≡)1( . 2. Asumir que, si se cumple para todo número n, entonces se deberá cumplir también para su sucesor n+1; es decir, [ ])1()( +⇒∀ npnpn . Ejemplo Demostrar, empleando el método de inducción matemática, que: ( ) 2 1 ...4321:)( + =+++++ nn nnp PASO 1. Verifiquemos p(1), aunque más interesante sería obtener p(2), p(3) ( ) 2 111 1:)1( + =p se cumple PASO 2. Asumir que si la propiedad es válida para n , entonces deberá ser válida para sus sucesor, para lo cual, a la igualdad sumamos a ambos miembros 1+n ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) )1( 2 211 2 21 2 )1(21 )1( 2 1 )1(...4321 00 +=           +++ = ++ = +++ = ++ + =+++++++ np nn nn nnn n nn nn nn  Note que la expresión algebraica puede ser expresada en términos de su sucesor 10 += nn , por tanto la propiedad es válida para todos los naturales.
  • 5. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 176 Ejercicio propuesto 8.1 Demuestre el resto de propiedades de los números naturales, mencionadas
  • 6. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 177 8.3 FACTORIAL OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:  Defina y calcule factorial de un número natural y del cero.  Defina y calcule coeficiente binomial. Sea ZNn ∈∧∈ 0 , entonces el FACTORIAL de n, denotado por !n , se define como: ( )[ ]   −= = !1! 1!0 nnn Entonces: [ ] [ ] [ ] [ ] 241234)!3(4)!14(4!4 6123)!2(3)!13(3!3 212)!1(2)!12(2!2 1)!0(1)!11(1!1 1!0 =×××==−= =××==−= =×==−= ==−= = ... y así sucesivamente. 8.4 TEOREMA DEL BINOMIO OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:  Desarrolle binomios aplicando el teorema de Newton.  Infiera la fórmula del término general en el desarrollo del binomio.  Aplique la fórmula del término general para encontrar cualquier término en el desarrollo de un binomio dado y para resolver otras situaciones diversas. Para obtener el desarrollo del binomio ( )n ba + tenemos dos opciones: El teorema de PASCAL y el teorema NEWTON. 8.4.1 TEOREMA DE PASCAL Los coeficientes del desarrollo del binomio ( )n ba + , están de acuerdo al siguiente esquema: ....................... 15101051 14641 1331 121 11 1 0=n 1=n 2=n 3=n 4=n 5=n
  • 7. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 178 Lo anterior se vuelve inaplicable cuando n es un número grande. 8.4.2 TEOREMA DE NEWTON El desarrollo del binomio ( )n ba + , está dado por:    térmn n térmer n térmdo n térmer nn b n n ba n ba n a n ba º3 22 2 1 1 210 )(       ++      +      +      =+ −− Lo cual resulta una manera muy práctica y sencilla de obtener los términos del desarrollo del binomio, aunque n fuese un número grande. Este teorema puede ser demostrado por el método de Inducción Matemática. Note que: 1. Cualquier término del desarrollo, tiene la forma: iin ba i n −       TÉRMINO GENERAL Donde: =n exponente del binomio =a primer término =b segundo término =i # término –1 2. A los coeficientes del desarrollo se les ha dado forma       m n . La cual se la calcula mediante la siguiente definición: ( )!! ! mnm n m n − =      donde mn ≥ ¿POR QUÉ? Ejemplo Si 5=n y 3=m tenemos ( ) ( )( ) 10 12123 12345 !35!3 !5 3 5 = ××× ×××× = − =      Además, si 0=m entonces ( ) 1 ! ! !0!0 ! 0 == − =      n n n nn
  • 8. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 179 Y si nm = tenemos ( ) 1 ! ! !! ! == − =      n n nnn n n n 3. La cantidad total de términos del desarrollo del binomio es 1+n . ¿POR QUÉ? Bien, ahora analicemos diversos ejercicios resueltos. Ejercicios resuelto 1 Hallar el TÉRMINO CUARTO en el desarrollo del binomio de ( )7 21 x− SOLUCIÓN: ( )7 21 x− = ( )7 )2(1 x−+ Entonces 37 == in 1=a xb 2−= Reemplazando en iin ba i n −       tenemos: ( ) ( ) 3 3 3337 280 8 !423 !4567 8 !4!3 !7 )2(1 3 7 x x xx −= − /× /××× = −=−      − Ejercicios resuelto 2 El COEFICIENTE del término 3 x en el desarrollo de 12 2 1       + x x es: a) 492 b) 592 c) 692 d) 792 e) 892 SOLUCIÓN: Aquí en cambio, no conocemos el número del término, pero sabemos que el término referido en el desarrollo del binomio 12 2 1       + x x tiene como parte literal a 3 x Además conocemos que ?,,,12 12 ==== − ixbxan Reemplazando y simplificando en iin ba i n −       , tenemos: Como el exponente de la “x” debe ser 3, entonces: POR TANTO ES EL OCTAVO TÉRMINO. Ahora calculamos el coeficiente del octavo término: RESPUESTA: la opción “d” ( ) i ii i i x i xx ix x i 324 224122 12 12112 − −−−       =       =            7 3324 = =− i i 792 12345!7 !789101112 !5!7 !12 7 12 = ×××× ××××× = =     
  • 9. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 180 Ejercicios resuelto 3 El valor del exponente " k " que hace posible que el sexto término del desarrollo del binomio 10 32 2       + x y y x k contenga 3 y , es: a) 1− b) 5 c) 0 d) 1 e) 5 13 SOLUCIÓN: DATOS: 3 2 2 10 5 x y b y x a n isextoTérmino k = = = =→= . Reemplazando en iin ba i n −       tenemos: Empleando la condición: RESPUESTA: Opción “e” Ejercicios resuelto 4 Encontrar " a " y " b " del binomio 10 6 2       − b a yx de tal forma que el séptimo término sea igual a 13440 4 6 x y− SOLUCIÓN: Para el binomio ( )10 26 b yx a − tenemos que: Reemplanzando,tenemos: Como la condición es que el término sea 64 13440 yx− entonces: 105510 15 55 10 5 5 3 5 2 2 5 10 2 5 102 5 10 −−       =       =                       k kk yx x y y x x y y x 5 13 3105 3105 = =− =− k k yy k b yb 2 xa 10n 6itérminoSéptimo 6 a −= = = =→ ( ) ( ) ( ) bb yxyx aa 6664 3 2 6 2 6 10 2 6 10 −      =−      6 4 3 2 43 2 −= −= = − a a xx a y 1 66 66 = = = b b yy b
  • 10. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 181 Ejercicios Propuestos 8.2 1. Encuentre el SÉPTIMO TÉRMINO del desarrollo de ( )10 2 2 1 vu − 2. Encuentre el TÉRMINO CENTRAL en el desarrollo de 12 3 1 3 1         + yx 3. El COEFICIENTE de 1− y en el desarrollo del binomio 6 3 3 2 1         − xy x es igual a: a) -20 b)-15 c)-10 d) 10 e)20 4. Encontrar el COEFICIENTE del término x−4 en el desarrollo de 5 2         − x x π 5. El COEFICIENTE del término que contiene 36 x en 20 3 1       − x x , acorde con el teorema del binomio es: a)       6 20 b)       10 20 c)       − 6 20 d)       − 10 20 e)       7 20 6. El COEFICIENTE de 184 yx en ( )103 3 yx − es: a)1701 b)17010 c) !6!4 !10 d) 9 3 !4 !10 e) 9 3 !4!6 !10 7. Encuentre el TÉRMINO QUE NO CONTIENE X en el desarrollo de 10 2 1 6       − x x 8. El COEFICIENTE del término que no contiene " y " en el desarrollo del binomio 9 2 2 1 2       − y xy es: a) 2 21 b) 3 70 c) 3 84 d) 3 84 − e) 2 21 − 9. El COEFICIENTE del término que contiene a 2 x en el desarrollo de 10 3       + x a x es: a) 7 100a b) 7 110a c) 7 140a d) 7 150a e) 7 120a 10. El COEFICIENTE del término que contiene 9 x en el desarrollo de 8 3 2 2 2         − x x es: a) 7 b)14 c) -7 d) -14 e)0 11. El término que es INDEPENDIENTE DE X en la expresión: 16 2 3 3 1 3 2 2 1           + x y y x es el: a) cuarto b) quinto c)décimo d) duodécimo e)décimo quinto 12. El VALOR que debe tener "n" en el binomio n x x         + 2 1 , para que el cuarto término de su desarrollo sea: x120 , es: a) 10 b)12 c)14 d)16 e)18 13. ¿Cuál es el COEFICIENTE del término que no contiene la variable z en el desarrollo del binomio 10 2 3 1         + z z a) 58 b)210 c)1680 d)630 e)100
  • 11. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 182 14. ¿Qué valor debe tener "n" para que el cuarto término del desarrollo del binomio ( )n xy −2 contenga a 10 y ? 15. Si el quinto término del desarrollo del binomio ( )5 ba + es igual a 12 160x ,y el cociente de sus términos centrales (en orden) es 2 x , entonces "b" es igual a: a) 4 2x b) 4 x c) 2− x d) 2 2x e) 2 x 16. Si el tercer término en el desarrollo del binomio: ( )8 1 kx+ , IRk ∈ es 2 7x , entonces un valor de "k" es: a) 2 3 b) 7 c) 2 1 d) 2 7 e) 7 4 17. Encuentre el valor de "k" para que el coeficiente del octavo término en el desarrollo del binomio 11       + π π k x x k sea 3 330 π a) 1 b)2 c)3 d) 4 e) 5 18. La suma de los coeficientes de los términos centrales en el desarrollo del binomio ( )72 2 yx − es: a) 35 b)-35 c)120 d)-280 e)840 19. Dado el siguiente Binomio: 10 32         + j k y x yx los valores de "k" y "j" para que las potencias de x y la potencia de y , del tercer término sean iguales, respectivamente, a las potencias de x y las potencia de y del octavo término, son: a) k=2 y j=-3 b)k=2 y j=3 c)k=3 y j=2 d)k=-2 y j=3 e)k=4 y j=2 8.5 SUCESIONES Si en una función se emplea como dominio a los números naturales, entonces tenemos una función de variable natural, es decir RNf : . Esta función se la llama SUCESIÓN Ejemplo Sea RNf : tal que : Observe que los términos de la sucesión sugieren una generalidad
  • 12. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 183                     =⇒= ↓ ↑ ↓ ↑      , 4 1 , 3 1 , 2 1 ,1)( 4 3 2 1 térm térm térm térm nn to er do er aanf 5 1 )5(, 4 1 )4(, 3 1 )3(, 2 1 )2(, 1 1 )1( 54321 ========== fafafafafa entonces: n nfan 1 )( == el cual llamaremos TÉRMINO “ ésimon − ”, TÉRMINO GENERAL O SIMPLEMENTE LA REGLA DE CORRESPONDENCIA DE LA SUCESIÓN. Habrá muchas sucesiones, con tantas reglas de correspondencias como expresiones algebraicas en n podamos imaginar. Sin embargo, ahora sólo estudiaremos dos tipos de sucesiones. Aquellas cuyos términos presentan una secuencia muy singular, las Aritméticas y las Geométricas. Estas sucesiones son también llamadas progresiones. 8.5.1. SUCESIÓN (PROGRESIÓN) ARITMÉTICA OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:  Infiera la fórmula del término general en una sucesión aritmética.  Aplique la fórmula del término general en ejercicios de sucesiones aritméticas.  Infiera la fórmula de la suma de los n términos en una sucesión aritmética.  Aplique la fórmula de la suma n-ésima en ejercicios de sucesiones aritméticas.  Aplique las formulaciones de las progresiones aritméticas para resolver problemas de aplicación. Observe la secuencia de números { },17,14,11,8,5,2 . Note que el primer término es 2 y de allí en adelante el resto de términos consecutivos se forman sumándole 3 a cada término. Si quisiéramos determinar el séptimo término (el número posterior a 17) bastaría con sumarle 3 a 17 y ya; pero si se trata de determinar el término cien, este procedimiento no es práctico y surge la necesidad de formular. Para lo cual, lo anterior lo podemos tratar de generalizar de la siguiente manera: Empezando con “ a ” como primer término, luego le sumamos a este término una constante “ a ” para formar el segundo término, luego a éste
  • 13. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 184 segundo término le sumamos la misma constante “ a ” para formar el tercer término, y así sucesivamente. Es decir:            +++   ,3,2,, 4321 tértértértér dadadaa Entonces el TÉRMINO n-ésimo O TÉRMINO GENERAL es: ( )dnaan 1−+= donde Note que lo singular es que existe una misma diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera, es decir: AnteriorTérmPosteriorTérmd .. −= Ejemplo 1 Sea la sucesión { },17,14,11,8,5,2 . Hallar el término 100. SOLUCIÓN: Como tenemos que: 2=a , 3=d y 100=n , al reemplazar en ( )dnaan 1−+= tenemos: 299 2972 3)99(2 3)1100(2 100 100 100 100 = += += −+= a a a a Note que el término general de esta particular progresión aritmética es: ( )312 −+= nan . El cual nos permitiría no sólo calcular el término 100, sino cualquier otro término de la sucesión. Ejemplo 2 Para la sucesión anterior { },17,14,11,8,5,2 . Hallar el término 500. SOLUCIÓN: Como tenemos ahora que 500=n , al reemplazar en ( )312 −+= nan tenemos: 1499 14972 3)499(2 3)1500(2 500 500 500 500 = += += −+= a a a a =a er 1 término =d diferencia
  • 14. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 185 Ejemplo 3 Para la sucesión { },5,3,1,1,3,5 −−− . Hallar el término general. SOLUCIÓN: Aquí tenemos que: 2)1(353 5 −=⇒−−−=−= = dd a Reemplazando: )1(25 )2)(1(5 −−= −−+= na na n n 8.5.1.1 SUMA DE LOS “n” PRIMEROS TÉRMINOS Sería importante disponer de una fórmula que nos permita hallar la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. Para lo cual: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 32 dnn na dadadaaSn − += +++++++=  Por lo tanto ( )           −+= dna n Sn 12 2 En ocasiones, se la emplea de esta otra forma:  ( )             −++= Término Ultimo Térm im n dnaa n S 1 2 . .Pr       += término último término imern Sn Pr 2 Ejemplo Para la sucesión { },17,14,11,8,5,2 . Hallar la suma de los primeros 100 términos. SOLUCIÓN: Aplicando la fórmula tenemos: [ ] [ ] 15050 )301(50 297450 3)99(450 3)1100()2(2 2 100 100 100 100 100 100 = = += +=           −+= S S S S S
  • 15. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 186 Ahora analicemos los siguientes ejercicios: Ejercicio resuelto 1 Si el cuarto término de una sucesión aritmética es 5 y el noveno término es 20, obtener el sexto término a) 12 b) -11 c) -12 d) 11 e) 6 SOLUCIÓN: DATOS: 205 94 == aa Empleamos ( )dnaan 1−+= para hallar ?=a y ?=d 1. ad da daa =− += −+== 35 35 )14(54 2. ad da daa =− += −+== 820 820 )19(209 Igualando, tenemos: 3 155 52038 82035 = = −=− −=− d d dd dd , entonces: 4 95 )3(35 35 −= −= −= −= a a a da Por lo tanto el sexto término 11 154 3)16(4 6 6 6 = +−= −+−= a a a Ejercicio resuelto 2 ¿Cuantos términos de la sucesión { },15,12,9 es necesario considerar de modo que su suma sea 306? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 SOLUCIÓN: DATOS: Progresión aritmética con 9=a y 3=d (¿por qué?) CONDICIÓN: 306? =S DESARROLLO: Empleamos ( )           −+= dna n Sn 12 2 para hallar ?=n Reemplazando y simplificando, resulta: [ ] 2 315612 )315( 2 306 )3318( 2 306 3)1()9(2 2 306 3)1()9(2 2 306 nn n n n n n n n n += += −+= −+=           −+=
  • 16. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 187 Ahora, resolviendo la ecuación cuadrática tenemos: 1217 0)12)(17( 02045 30612153 2 2 =−= =−+ =−+ ÷=−+ nn nn nn nn RESPUESTA: Escogemos 12=n (¿por qué?) Ejercicio resuelto 3 En una progresión aritmética finita, el primer término es igual a k-2, el último término es igual a 6-3k y la suma de todos los términos es igual a 10-5k. Entonces el número n de términos de la progresión es igual a: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 SOLUCIÓN: DATOS: Progresión aritmética con knSknaka 5103621 −=−=−= DESARROLLO: Empleamos       += término último término imern Sn Pr 2 para hallar ?=n Reemplazando: ( ) [ ] 5 )2(2 2 )2(5 )24( 2 510 362 2 510 )36()2( 2 510 = −/ / =− −=− −+−=−           −+−=− n k n k k n k kk n k kk n k RESPUESTA: La progresión tiene 5 términos. Ejercicio resuelto 4 Una empresa instala una máquina con un costo de $1700. El valor de la máquina se desprecia anualmente en . $150 y su valor se desecho es de $200. ¿Cuál es la vida de la máquina? SOLUCIÓN: DATOS: La máquina tiene: COSTO INICIAL = $1700 y luego cada año tendrá un valor de menos $150 que el año anterior, hasta llegar a un COSTO FINAL = $200 Formemos una sucesión de números para el valor de la máquina a partir del año de funcionamiento           200,,1400,1550 21  añoaño Resulta una progresión aritmética con 1550=a y 150−=d DESARROLLO: Empleamos ( )dnaan 1−+= para hallar ?=n
  • 17. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 188 10 1500150 2001501550150 1501501550200 )1(1501550 )150)(1(1550 = = −+= +−= −−= −−+= n n n n na na n n RESPUESTA: La vida útil de la máquina es de 10 años. Ejercicios Propuestos 8.3 1. 200 troncos están apilados de la siguiente manera: 20 en la primera fila, 19 en la segunda y así sucesivamente; el número de filas que hay y el número de troncos en la última fila es: a) 5 y 6 b) 16 y 5 c) 20 y 10 d) 10 y 20 e) 16 y 6 2. Una pila de troncos, tiene 24 troncos en la primera capa, 23 en la segunda, 22 en la tercera y así sucesivamente hasta que la última capa contiene 10 troncos. Encuentre ¿CUÁNTOS TRONCOS HAY EN TOTAL? a) 200 b) 255 c) 230 d) 400 e) 300 3. Si el décimo término de una progresión aritmética es 42 y el término vigésimo primero es 75, entonces el término trigésimo primero es: a) 105 b) 108 c) 104 d) 103 e) 100 4. La suma de los primeros 20 múltiplos de 7 es: a) 1470 b) 1460 c) 1473 d) 1465 e) 147 5. Si se suman el cuarto y el sexto término de una progresión aritmética se obtiene 20, pero si se multiplican el tercer con el quinto término de la misma progresión aritmética se obtiene también 20. Entonces la suma de los cinco primeros términos de esta progresión es: a) 0 b) 10 c) 20 d) 24 e) 40 6. La suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética es 440 y el primer término es 35, entonces el DÉCIMO TÉRMINO es: a) 2 b) 125 c)10 d)53 e)100 7. La suma del quinto y décimo termino de la siguiente sucesión aritmética: x-8, x-3, x+2, x+7,.... es: a)2x-49 b) 2x-81 c) 2x-82 d) 2x+82 e) 2x+49 8. Si el producto de tres números en progresión aritmética es igual a 16640, siendo el menor 20, entonces la suma de los otros dos números es: a) 60 b) 58 c) -65 d) 80 e) -68 9. Si el producto de tres números positivos en progresión aritmética es igual a 45360, siendo el mayor 42, entonces la SUMA DE LOS OTROS 2 NÚMEROS es: a) 70 b) 60 c) 78 d) 66 e) 84 10. Un comerciante no pudiendo pagar de una vez una deuda de $12.950, propone al banco acreedor pagarle $600 al final del primer mes, y cada mes $50 más que el mes anterior. El comerciante cancelará toda la deuda en: a) 1 año b) 14 meses c) 10 meses d) 16 meses e) 18 meses 11. Una máquina tiene un valor inicial de $2000 y se desprecia anualmente en $160. Si el valor de desecho de la máquina es de $400, entonces su tiempo de vida útil es igual a: a) 8 años b) 12 años c) 11 años d) 10 años e) 13 años 12. Una compañía manufacturera instala una máquina en un costo de . $1500. Al cabo de 9 años, la máquina tiene un valor de $420. Suponiendo que la depreciación anual es constante, calcule la depreciación anual. 13. La oficina de Ingreso compró un televisor nuevo al precio de $1000. Si se supone una depreciación lineal del 20% del costo original, y si el valor de desecho es $100, entonces el tiempo esperado de vida del televisor, en años, es: a) 5 b) 3.5 c) 4 d) 4.5 e) 5.5 14. Los pagos mensuales de Consuelo al banco ocasionados por un préstamo forman una progresión aritmética. Si el octavo y décimo quinto pagos son de $153 y $181, respectivamente, entonces el vigésimo pago es: a) $202 b) $220 c) $201 d) $210 e) $200
  • 18. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 189 15. En un programa concurso de la televisión, un participante obtiene 5 premios de dinero en efectivo. La suma total de los premios es de $5000. Si hubo una disminución de $100 entre premios sucesivos, entonces el PRIMER PREMIO fue de: a) $12 b) $120 c) $1200 d) $2800 e)$12000 16. Un individuo está de acuerdo en pagar una deuda libre de interés de $5800 en cierto número de pagos, cada uno de ellos (empezando por el segundo) debiendo exceder al anterior por $20. Si el primer pago es de $ 100, calcule cuantos pagos deberá efectuar con objeto de finiquitar la deuda. 17. Se compra una casa a 25 años plazo; el primer año se paga $5000, el segundo se paga $5300 y cada año se pagan $300 más, entonces la deuda total es: a) $215000 b) $220000 c) $225000 d) $230000 e) $235000 18. Un individuo está de acuerdo en saldar una deuda de $1800 en cierto número de pagos, cada uno de ellos (empezando con el segundo) menor que el previo en $10. Si su quinto pago es de $200, ¿cuántos pagos serán necesarios de modo que salde la deuda? 19. El salario de un empleado se incrementó anualmente siguiendo una progresión aritmética. Si el quinto año ganó $440 mensuales, y el vigésimo tercer año ganó $1160 mensuales, entonces su salario mensual inicial fue: a) $120 b) $140 c) $280 d) $ 360 e) $110 20. Una mujer desea pagar un préstamo libre de interés de $1300 cancelando $10 el primer mes y aumentando su pago en $15 cada mes. La cantidad del último pago es de: a) $150 b) $160 c) $170 d) $180 e) $190 21. El término central de una progresión aritmética de "n" términos cuyo primer término es a1 y su diferencia es d, siendo "n" impar y Sn la suma de los "n" términos, es: a) ( )dn Sn 1+ b) n Sn c) ( )1 2 −n Sn d) d Sn e) nS n
  • 19. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 190 8.5.2 PROGRESIÓN GEOMÉTRICA OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:  Infiera la fórmula del término general en una sucesión geométrica.  Aplique la fórmula del término general en ejercicios de sucesiones geométricas.  Infiera la fórmula de la suma de los n términos en una sucesión geométrica.  Aplique la fórmula de la suma n-ésima en ejercicios de sucesiones geométricas.  Aplique las formulaciones de las progresiones geométricas para resolver problemas de aplicación. Supongamos ahora que tenemos una sucesión de términos, cuyo primer término sea “a”; el segundo término sea el primero multiplicado por una constante “r”, el tercer término sea el segundo multiplicado por la misma constante r; y así sucesivamente. Es decir:             ,,,, 4 3 3 2 21 tértértértér ararara Este tipo de sucesión es llamada Progresión Geométrica. Observe que el TÉRMINO“n-ÉSIMO” O GENERAL es de la forma: 1− = n n ara Donde: er a 1≡ término ≡r razón AnteriorTér PosteriorTér . . = Ejemplo 1 Sea la sucesión de números { },54,18,6,2 . Hallar el término cincuenta. SOLUCIÓN: Observe que el primer término es 2=a y luego cada término se forma multiplicando por 3 a cada término anterior, es decir 3 18 54 2 6 ===r Los primeros términos son fáciles de deducir, pero para determinar términos altos, es necesario aplicar la formula 1− = n n ara Reemplazando, tenemos 49 50 150 50 )3(2 )3(2 = = − a a Ejemplo 2 Para esta progresión geométrica       , 16 3 , 8 3 , 4 3 , 2 3 ,3 Tenemos: 3=a y 2 1 3 2 3 ==r . Entonces su término general sería : 1 2 1 3 −       = n na que le permite calcular cualquier término de la progresión.
  • 20. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 191 8.5.2.1 SUMA “n-ÉSIMA” La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica sería: [ ]  +++= ++++= 32 32 1 rraS arararaS n n Entonces         − − = r r aS n n 1 1 ó también         − − = 1 1 r r aS n n Ejemplo 1 Para la progresión geométrica { },54,18,6,2 . Hallar la suma de los cincuenta primeros términos SOLUCIÓN: Reemplazando en         − − = 1 1 r r aS n n tenemos ( )13 13 13 2 50 50 50 −=         − − =S Ejemplo 2 Para la progresión geométrica       , 16 3 , 8 3 , 4 3 , 2 3 ,3 . Hallar la suma de los cincuenta primeros términos SOLUCIÓN: Reemplazando, tenemos               −=⇒               −       − = 50 50 50 50 2 1 16 2 1 1 2 1 1 3 SS 8.5.2.2 SUMA INFINITA Algo interesante ocurre cuando determinamos la suma de una cantidad muy grande de términos de una progresión geométrica con 1<r r a r r aS − ≈         − ∞− =∞ 11 1 donde ≡∞ cantidad muy grande r a S − ≈∞ 1 si 1<r PREGUNTA: ¿QUÉ SUCEDE CON ∞S SI 1>r ? 0
  • 21. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 192 Ejemplo 1 Sea una progresión geométrica infinita con 2=a y 4 3=r , hallar el valor aproximado de ∞S . SOLUCIÓN: Reemplazando en r a S − ≈∞ 1 tenemos 8 4 1 2 4 31 2 == − ≈∞S RESUMEN PROGRESIÓN ARITMÉTICA ( )dnaan 1−+= ( )           −+= dna n Sn 12 2 también:       += término último término imern Sn Pr 2 PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1− = n n ara         − − = r r aS n n 1 1 r a S − ≈∞ 1 si 1<r Ejercicio Resuelto 1 En una progresión geométrica el cuarto y el séptimo término son respectivamente 4 y 12. Entonces el valor del décimo término es: a) 36 b) 40 c) 38 d) 42 e) 34 SOLUCIÓN: DATOS: 44 =a y 127 =a INCOGNITA: ?10 =a DESARROLLO: Empleemos 1− = n n ara para hallar primero a y r 1. 3 3 14 4 4 4 r a ar ar = = = − 2. 6 6 17 12 12 12 r a ar ar = = = − igualando, tenemos 3 4 12 124 3 3 6 63 = = = r r r rr entonces 3 33 3 3 3 = = / / r r por lo tanto ( ) 3 4 3 4 33 = = // a a
  • 22. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 193 Ahora, hallemos el DÉCIMO TÉRMINO: ( ) ( ) ( ) 36 3 3 4 3 3 4 3 3 4 10 3 10 93 10 1103 10 = = = = − a a a a RESPUESTA: Opción "a" Ejercicio Resuelto 2 Sea la sucesión { 96, 48, 24, 12,.....} Entonces el lugar que ocupa el término 16 3 es: a) cuarto lugar b) quinto lugar c) sexto lugar d) octavo lugar e) décimo lugar SOLUCIÓN: DATOS: Progresión geométrica con 96=a y 2 1 96 48 ==r 16 3 ? =a DESARROLLO: Empleemos 1− = n n ara para hallar ?=n Reemplazando: n n n n       = ××       = × −             = × −       = 2 1 23216 1 )2( 2 1 3216 1 1 2 1 2 1 9616 3 1 2 1 96 16 3 10 2 1 10 2 1 2 1 102 1 2 1 25242 1 =       =            =       = ×× n n n n RESPUESTA: 16 3 ocupa el décimo lugar en la progresión dada. Opción “e”
  • 23. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 194 Ejercicio Resuelto 3 En una progresión geométrica, si se conoce que el primer término es igual a 160, la razón igual a 2 3 y la suma de sus “n” primeros términos es 2110, entonces el número de términos es igual a: a) 9 b) 6 c) 7 d) 8 e) 5 SOLUCIÓN: DATOS: 1601 =a , 2 3 =r , 2110=nS INCOGNITA: ?=n DESARROLLO: Reemplazando en         − − = r r aS n n 1 1 tenemos: RESPUESTA: 5=n . Opción “e” Ejercicio Resuelto 4 Una progresión geométrica finita tiene en total diez términos. Si el primer término es 1 y el quinto 16 1 , entonces la suma de los cinco últimos términos de la progresión es igual a: a) 33/512 b) 32/512 c) 31/512 d) 30/512 e) 55/512 SOLUCIÓN: DATOS: 1=a , 16 1 5 =a , 10=n INCÓGNITA: =S suma de los 5 últimos DESARROLLO: Encontremos primero la razón: PRIMER MÉTODO: Desarrollando los términos de la progresión { }512 1, 256 1, 128 1, 64 1, 32 1, 16 1, 8 1, 4 1, 2 1,1 y luego sumando los cinco últimos términos 512 31 512 124816 512 1 256 1 128 1 64 1 32 1 = ++++ =++++                 −−=                 −       − =                 −       − /=/           − − = n n n n n r r S 2 3 132211 2 1 2 3 1 16211 2 3 1 2 3 1 0160211 1 1 160 5 5 5 2 3 2 3 2 3 2 3 32 243 2 3 32 21132 2 3 32 211 1 2 3 2 3 1 32 211       =      =      =      + =      +=            −=− n n n n n n ( ) 2 1 16 1 16 1 1 44 4 4 15 5 = = = = / / − r r r ra
  • 24. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 195 SEGUNDO MÉTODO: Obteniendo 10S y 5S y luego restarlos. Entonces: 92 1102 1 2 . 102 1021 2 1 102 1021 2 1 1 102 1 1 2 1 1 10 2 1 110 − = − −= − − = − − =               − −      =S 42 152 1 2 . 52 521 2 1 1 52 1 1 2 1 1 5 2 1 15 − = − −=             − − =               − −      =S 512 31 92 152 92 521021102 92 152521102 42 152 92 1102 510 = − = +−− =       −−− = − − − =− SS TERCER MÉTODO: Considere una sucesión con 32 1=a y 2 1=r , es decir { }512 1, 256 1, 128 1, 64 1, 32 1 . Luego obtenga 5S aplicando         − − = r r aS n n 1 1 . Entonces reemplazando tenemos: 512 31 92 31 2. 52 31 52 1 2 1 52 152 52 1 2 11 5 2 11 32 1 5 ==         =               − =             −     − =S NOTA:  El primer método no sería práctico si tuviésemos una muy grande cantidad de términos.  El tercer método sería el más adecuado, porque se hacen menos cálculos que en el segundo método. Ejercicio Resuelto 5 El valor aproximado de .....27/199/193/19 ⋅⋅⋅ es: a) 1 b) 3 c) 9 d) 92 e) 31/3 SOLUCIÓN: Por la ley de los exponentes ⋅⋅⋅ 27 1 9 1 3 1 999 = ... 27 1 9 1 3 1 9 ++ . El exponente, no es más que una progresión geométrica infinita con 3 1=a y 3 1 3 1 9 1 ==r , por lo tanto: 3999 2 1 3 2 3 1 3 11 3 1 === − La conversión de un número decimal periódico en su fracción correspondiente, puede también ser realizada considerando el criterio de la progresión geométrica infinita.
  • 25. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 196 Ejercicio Resuelto 6 El número 2,52525252..... se puede escribir como una fracción; entonces cuando se reduce a su expresión mínima ( sin factores comunes ) la suma del numerador y del denominador es igual a: 7 b) 29 c) 141 d) 349 e) 204 SOLUCIÓN: 52525252.2 = 525252.02 + = ++++ 000052.00052.052.02 = +++++ 432 100 52 100 52 100 52 100 52 2 =       +++++  432 100 1 100 1 100 1 100 1 522 La expresión que aparece dentro del corchete es una progresión geométrica infinita con 100 1 =a y 100 1 =r . Por tanto al aproximar su suma, tenemos: 99 250 99 52198 99 1 522 100 99 100 1 522 100 1 1 100 1 522 = + =      +=             +=             − + RESPUESTA: Como la fracción es 99 250 ; entonces al sumar numerador con denominador, tenemos 34999250 =+ . Opción “d”. Ejercicio Resuelto 7 Suponga que el gobierno invierte $1000 millones extras en la economía. Suponga que cada negocio y cada individuo ahorra el 25% de lo que recibe y gasta el resto, de modo que de los $1000 millones iniciales el 75% es vuelto a gastar por individuos y negocios. De esa cantidad, el 75% es gastado y así sucesivamente. Incluyendo los $1000 millones originales, el aumento total en los gastos debido a la acción del gobierno, es: a)$1000 millones b)$2000 millones c)$3000 millones d)$4000 millones e) $5000 millones SOLUCIÓN: Planteemos la situación para los gastos +      ++ )1000( 100 75 100 75 )1000( 100 75 1000 +      +      ++ )1000( 100 75 )1000( 100 75 )1000( 100 75 1000 32         +      +      ++  32 4 3 4 3 4 3 11000 Note que lo que esta en paréntesis es una Progresión Geométrica infinita con 1=a y 4 3=r : 4 4 1 1 4 3 1 1 1 =                         =             − = − ≈∞ r a S entonces [ ] 400041000 = RESPUESTA: Opción “d”
  • 26. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 197 Ejercicios Propuestos 8.4 1. Determine si las siguientes reglas de correspondencias definen una progresión aritmética o una progresión geométrica o ninguna. a) n nf − = 2)( b) ( )!1 !2 )( + = n n nf c) ( ) )!2(3 )23(! 1)( 2 + ++ −= n nnn nf n n d) )2( 65 )( 2 + ++ = n nn nf e) nnf 3)( = 2. En una progresión geométrica se conoce que el primer término y el tercer término son respectivamente 2 1 2 y 6 1 2 , entonces el quinto término es: a) 2 3 2 b) 3 2 2 c) 6 1 2 − d) 6 5 2 e) 2 3. Al sumar un valor constante a los números 20, 50 y 100 resulta una progresión geométrica. La razón en esta progresión así formada es: a) 5/3 b) 4/3 c) 3/2 d) 2 1 e) 1/3 4. Si el noveno término de una progresión geométrica es 2187 64 y la razón es 3 2 ; entonces el primer término es: a) 3/4 b) 9/8 c) 4/3 d) 8/9 e) 2/3 5. El décimo tercer (13º) elemento de una progresión geométrica es 16 y el undécimo (11º) es 8, entonces el QUINTO TÉRMINO es igual a: a) 4 1 b) 2 1 c) 1 d) 4 e) 2 9 2 6. Si en una progresión geométrica el primer término es 9 y el quinto es 81, entonces la suma de los cinco primeros términos es: a) 3120 + b) 240 c) 100 d) 336117 + e)220 7. Si la razón de una progresión geométrica finita de 10 elementos es 24 1 de la suma de los términos segundo y tercero; y el primer término es 16, entonces LA SUMA DE LOS DOS ÚLTIMOS términos es: a) 32 1 b) 64 3 c) 16 1 d) 16 3 e) 32 3 8. En una progresión geométrica de 5 términos positivos, la razón de la misma es igual a la cuarta parte del primer término. Si la suma de los dos primeros términos es 24. Encuentre los términos de la progresión . Resp.: 8, 16, 32, 64, 128 9. En una progresión geométrica cuyos términos son positivos, cualquier término es igual a la suma de los dos términos siguientes. Entonces la razón es: a) 1 b) 2 5 c) 2 15 − d) 2 51− e) 5 2 10. La suma de la serie: 5 2 1 2 2 1 12       ++++  es: a) 8 31 b) 16 63 c) 8 63 d) 63 e) 16 1 11. El valor de la suma infinita de .... 32 27 8 9 2 3 2 ++++ es: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 12. El valor de la suma ....... 16 1 27 1 8 1 9 1 4 1 3 1 2 1 1 +      ++      ++      ++      + es: a) 2 b) 9/4 c) 5/2 d) 3 e) 2 13. El valor de: :........4444 81/127/19/13/1 es⋅⋅⋅⋅ −− a) 4 b) 32 c) 2 d) 22 e) 4
  • 27. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 198 14. La suma de la progresión geométrica infinita: 100 + 10 + 1 + 0.1 + ... es igual a: a) 1000 b)1111.11 c)111.11 d)111 e)120 15. Sea i, a ∈R, 0< i < 1, entonces, el valor de la SUMA INFINITA de: ( ) ( ) ..... 2 11 1 + − ++++ − iaiaa es: a) ( ) i ia +1 b) i a c) ai d) ( )[ ]1 11 − ++ i a e) ( )i a +1 16. Si a, i ∈R, 0 < i < 1 y ( ) ( ) ( ) ,.... 1 , 1 , 1 32 i a i a i a +++ son los términos de una progresión geométrica infinita, entonces la suma de todos sus términos es: a) a2 b) )1( i a + c) i a d) ai e) ∞ 17. La expresión:         +−+− ... 111 1 32 xxx , 10 << x ; es equivalente a: a) 1 b) x c) 1+x d) 1+x x e) 1−x x 18. Dada la crisis actual, el Sr. Generositis, un acaudalado millonario, ha decidido repartir dinero a los ecuatorianos más afectados. Entonces a la primera persona le da $1000, al segundo $500, al tercero $250, al cuarto $125 y así sucesivamente. El Sr. Generositis repartirá, en total, aproximadamente: a)$1500 b)$2000 c)$2500 d)$3000 e)$3500 19. Tres personas Maricela, Gonzalo y Meure dividen una manzana de la siguiente manera. Primero la dividen en cuartos y cada uno toma un cuarto. Después dividen la parte sobrante de nuevo en cuartos y cada quien toma su parte, siguiendo de esta manera con las partes sobrantes. Entonces, en total, cada uno obtiene: a) Un cuarto de la manzana b) La mitad de la manzana c) Un tercio de la manzana d) Dos tercios de la manzana e) Un octavo de la manzana. 20. En un arranque de generosidad un millonario decidió ayudar a todos los mendigos del mundo. Para ello, y con el fin de hacerlo ordenadamente, pidió que se alinearan (los mendigos) uno tras otros para darle al primero 1 dólar; al segundo la mitad de un dólar, al tercero la cuarta parte de un dólar y así sucesivamente. ¿Cuántos dólares necesita el millonario como mínimo para ayudar a los mendigos? a)$1000 b)$2000 c)$2 d)$4 e) No existe dinero en el mundo para pagar lo prometido. 21. El disco de un péndulo se balancea un arco de 24 cm. de largo en su primera oscilación. Si cada balanceo sucesivo es de aproximadamente cinco sexto de la longitud anterior entonces la distancia total aproximada que recorre antes de detenerse, es: a) 120 cm. b) 116 cm. c)140 cm. d) 144 cm. e) 160 cm. 22. Una pelota de goma cae desde un altura de 60 m y rebota en forma repetida hasta alcanzar el reposo. En cada rebote la pelota sube 2/3 de la altura a la que estaba previamente. Entonces, la distancia recorrida por la pelota, expresada en metros, es igual a: a) 180 b) 260 c) 300 d) 420 e) 500 23. (CALCULADORA) Una máquina se deprecia anualmente a una tasa de 10% de su valor. El costo original fue de $10000 y el valor de desecho de $5314,41. Calcule la vida efectiva de la máquina,. esto es, el número de años hasta que el valor depreciado sea menor que el valor de desecho 24. (CALCULADORA) Una máquina se deprecia anualmente a una tasa del 20% de su valor. El costo original fue de $10000 y el valor de desecho es de $3000. Encuentre la vida efectiva de la máquina.
  • 28. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 199 Miscelaneos 1. El VALOR de “ k ” para que el término central del binomio 8 3 2         + k yx xyk tenga como coeficiente a 70 es: a) 5 b) 2− c)1 d) 1− e) 0 2. Para que el término central del binomio 10 2         + k x x k tenga un coeficiente igual a 252, el VALOR de “k” debe ser: a)2 b)1 c)–2 d)–1 e)3 3. El VALOR de “ x ” tal que 1248...29272523 =+++++ x , es: a)70 b)71 c)72 d)73 e)74 4. Se va a construir una escalera de 30 escalones con ladrillos. El escalón inferior requiere de 100 ladrillos y cada escalón sucesivo necesita dos menos que el inmediato anterior. LA CANTIDAD DE LADRILLOS que se necesitan para el escalón superior (último) y la CANTIDAD TOTAL de ladrillos que se necesitan para construir la escalera completa, son respectivamente: a)42 y 630 b)42 y 2130 c)38 y 570 d)2 y 800 e)10 y 700 5. Si el primer término de una progresión geométrica es 3 y el sexto término es –729, entonces su RAZÓN es: a)3 b)–3 c)5 d)–9 e)9 6. La SUMA APROXIMADA de los elementos de la progresión: 1, 2 1 , 2 1 , 22 1 , 4 1 , .......... es: a)2 + 2 b) 21 1 + c) 2 22 + d) 12 − e)2 - 2 7. El término que es independiente de "x" en el desarrollo del binomio 9 2 1       − x x ; es: a)80 b)30 c)10 d)40 e)84 8. El valor de la SUMA 5+9+13+...+49 , es: a)49 b)76 c)243 d)324 e)1260 9. El pago por un trabajo de $1000 se distribuye entre cuatro personas de modo que cada una después de la primera recibe $20 menos que la precedente, entonces cada persona recibe a)$ 280, $300, $320, $340 b)$ 280, $260, $240, $220 c)$ 220, $200, $180, $160 d)$ 260, $240, $220, $200 e)$ 240, $220, $200, $180 10. En una progresión geométrica de términos positivos, la razón de la misma es igual a la mitad del primer término. Si la suma de los 2 primeros términos es 12 entonces el CUARTO TÉRMINO es: a)32 b)512 c)12 d)162 e)603 11. El VALOR de "x" de modo que 2,,1 +− xxx sean los términos de una sucesión geométrica, es: a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 12. El COEFICIENTE del término que contiene a 4 x en el desarrollo de 10 2         − x x es: a)-13440 b) 13440 c)3360 d)-1800 e)-3360 13. Sea la sucesión { },...13,11,9,7,5,3,1 . Entonces una de las siguientes afirmaciones es FALSA. Identifíquela. a) La sucesión es una Progresión Aritmética. b) La diferencia de los términos de la sucesión es 2=d . c) El término n -ésimo es: 12 −= nan d) El décimo término es: 2010 =a e) La Suma n -ésima es: 2 nSn =
  • 29. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 200 14. Patricia tiene que saldar una deuda de $5000. El primer pago será de $275 y luego cada año aumenta sus pagos en $50 más. Entonces EL NÚMERO DE AÑOS que demora en pagar la deuda es: a) 10 años b) 20 años c)12 años d)15 años e)16 años 15. Si el tercer término de una progresión geométrica es 2− y es sexto término es 54 , entonces su RAZÓN es: a)2 b)-2 c) 3 d)-3 e) 3 1− 16. El VALOR APROXIMADO de la suma infinita ...124 4 1 2 1 −+−+−=S es igual a: a) 2 3− b) 3 8− c) 4− d) 3 2− e) 8− 17. El TÉRMINO que contiene 7 a en el desarrollo del binomio 10 9 3       + b a es: a) 37 10 ba b) 37 9 ba c) 37 40 ba d) 37 4 ba e) ba7 90 18. Un apostador cada día pierde el 50% de lo que pierde el día anterior. Si el primer día pierde $100, entonces después de haber apostado una infinita cantidad de veces pierde aproximadamente: a)$50 b)$150 c)$200 d)$250 e)$300 19. En el desarrollo del binomio 6 )14( −x , la SUMA de los coeficientes correspondientes a los dos últimos términos es: a) 25 |b) 24 c)-23 d) 21 e)-26 20. Si la razón de una progresión geométrica finita de 10 elementos es 24 1 de la suma de los términos segundo y tercero; y el primer término es 16, entonces LA SUMA DE LOS DOS ÚLTIMOS términos es: a) 32 1 b) 64 3 c) 16 1 d) 16 3 e) 32 3 21. Un insecto se come una planta; una trucha al insecto; un salmón a la trucha; un venado al salmón y un hombre al venado. Si sólo el 20% de la energía se transforma de un estado al siguiente, entonces la CANTIDAD DE CALORÍAS SUMINISTRADA POR LA PLANTA para que la carne del venado proporcione 2.000 calorías al hombre, es: a) 500.000 b)750.000 c)1'250.000 d)1'000.000 e)1'500.000 22. Un jornalero gana actualmente $5 por día. Cada día que pasa recibe un aumento de $0.10. ¿CUÁNTO TIEMPO tendrá que transcurrir hasta que su sueldo sea de $10? a)49 días b)50 días c)51 días d)2 meses e)4 semanas 23. Sea IR=Re y el predicado ( )( ) xxxp 412...7531:)( ≤−+++++ . Entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN es el intervalo: a) ( ]0,∞− b) ( ]4,4− c)[ )∞,4 d) [ ]4,0 e) ( )∞,1 24. La SUMA de los 6 primeros términos de la progresión       ,... 2 1 , 4 1 , 8 1 , 16 1 es: a)3 b) 6 62 c) 16 64 d)10 e) 16 63 25. El valor aproximado de la suma de +++ 22 1 2 1 2 es: a) 10 b) 9 c) 22 d) 2 e) 2 26. La SUMA DE LOS SEIS primeros términos de la sucesión ,... 2 23 ,3,2 es: a) ( )23 4 19 + b) 8 338265 + c) 8 321253 + d) 3 32 + e) 27 3223 + 27. El COEFICIENTE del término que no contiene a la variable "y" en el desarrollo del binomio 10 2 3 2         + y y es: a)1260 b)13440 c)840 d)630 e)210
  • 30. Moisés Villena Muñoz Números Naturales 201 28. En una progresión geométrica de 8 términos positivos, la razón de la misma es igual a la mitad del primer término. Si la suma de los dos primeros términos es 2 15 entonces el CUARTO TÉRMINO de la progresión es: a) 8 81 b) 2 3 c) 2 9 d) 4 27 e)3 29. Si una pelota cae de una altura de 48 m. y rebota 3 2 de la distancia desde la cual cae. Si continúa cayendo y rebotando de esta forma, entonces la DISTANCIA TOTAL que recorrerá antes de quedar en reposo es: a) 180 m. b) 320 m. c) 360 m. d)220 m. e) 240 m. 30. Si el primer término de una progresión aritmética es 5 y el décimo término es 50 , entonces LA DIFERENCIA común es: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 31. Si se suman el tercer y el quinto término de una progresión aritmética se obtiene 38 y si se suman el cuarto y el sexto término de la misma progresión se obtiene 44 , entonces EL QUINTO TÉRMINO de la progresión es: a) 22 b) 32 c) 24 d) 12 e) 25 32. La SUMA aproximada de los elementos de la progresión , 33 1 , 3 1 , 3 1 ,1,3 es: a) 3 b) 2 333 + c) 2 133 + d) 2 13 + e) 31+ 33. El COEFICIENTE del término que no contiene " y " en el desarrollo del binomio 9 2 2 1 2       − y xy es: a) 2 21 b) 3 70 c) 3 84 d) 3 84 − e) 2 21 − 34. El QUINTO TÉRMINO en el desarrollo del binomio 7 2       + y x es: a) 43 8 35 yx b) 43 16 35 yx c) 34 16 35 yx d) 34 4 35 yx e) 43 5 16 yx 35. La SUMA de los 26 primeros términos de la progresión aritmética: { }...,5,2,1,4,7 −−− es: a) 793 b) 832 c) 182 d)975 e)973