100 problemas maravillosos de matemáticas - Libro 12

MARAVILLOSOS
PROBLEMAS DE
MATEMÁTICAS
Libro 12
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Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 construye un número de seis cifras distintas abcdef tal que el
número de tres cifras abc sea múltiplo de 4, el número de tres cifras bcd sea múltiplo de 5, el
número de tres cifras cde sea múltiplo de 3 y el número de tres cifras def sea múltiplo de 11.
SOLUCIÓN
Si es múltiplo de 5 ⇒ = 5
Como es múltiplo de 11 ⇒ − + = 0 pues, dados los dígitos para construir el número, esa suma no
puede ser un múltiplo estricto de 11 ⇒ 5 − + = 0 ⇒ − = 5 ⇒ = 6 y = 1
es múltiplo de 4 ⇒ = 2 y c= 4, pues no hay más posibilidades entre los dígitos restantes no adscritos,
luego = 3 y, en efecto, = 456 es múltiplo de 3
El número que se pide es =
324561

En un concurso de televisión hay tres preguntas de opción múltiple con tres respuestas cada una.
Un concursante contesta al azar y gana si acierta, al menos, dos de las preguntas.
¿Cuál es la probabilidad de que gane?
SOLUCIÓN
La probabilidad de acertar en una pregunta es = , y la de fallo es =
Entonces, la probabilidad de acertar dos preguntas exactamente es:
, , + , , + , , =
1
3
×
1
3
×
2
3
+
1
3
×
2
3
×
1
3
+
2
3
×
1
3
×
1
3
= 3 ×
1
3
×
1
3
×
2
3
=
2
9
La probabilidad de acertar tres preguntas es
, , =
1
3
×
1
3
×
1
3
=
1
27
En conclusión, la probabilidad de ganar es
=
2
9
+
1
27
=
7/27 = 0,259

Sea ABCD un cuadrado de lado 28. Se considera el punto P interior al cuadrado y el
punto E en el lado CD tales que PE es perpendicular a CD y AP = BP = PE
Halla AP
SOLUCIÓN
Por construcción, el punto está en el centro del lado .
Llamamos = = = a la longitud buscada y dibujamos el cuadrado
señalando los datos y la incógnita del problema.
Aplicamos entonces el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo :
= + ⇒ = 14 + 28 − ⇒ = 14 + 28 − 2 × 28 × + ⇒
⇒ = 196 + 784 − 56 + ⇒ 56 = 980 ⇒ =
980
56
=
17,5 unidades

Expresa, en función de α, la proporción entre las áreas del polígono regular de
ángulo interior α y del polígono regular inscrito en él con vértices en los
puntos medios de los lados.
SOLUCIÓN
Señalamos el centro de ambos polígonos regulares, ambos con lados.
, son los radios respectivos de los polígonos exterior e interior y , los lados
respectivos en el mismo orden.
Observemos que la apotema del polígono exterior coincide con el radio del
polígono interior, , por lo que la superficie del polígono exterior es
× ×
Además, = es la apotema del polígono interior.
El área del polígono interior es
× ×
, por lo que la proporción pedida es
× ×
× × =
×
×
Se trata, ahora, de expresar todas las medidas en función de una de ellas y de . Elegimos la medida
En el triángulo rectángulo , como = ⇒ = 90° − y, además, " = = 90° −
Entonces, en el triángulo rectángulo : tan =
&'
('
⇒ tan = ⇒ =
)*+
, ⇒ = 2 × cot
En el triángulo rectángulo : sen " =
2'
&'
⇒ sen390° − 4 = ⇒ cos = ⇒ = 2 × cos
En el triángulo rectángulo : cos " =
&2
&'
⇒ cos 390° − 4 = ⇒ sen = ⇒ = × sen
En resumen,
×
×
=
× ×56)
,
×78
,
× ×56:
, =
;<=
,
>?
,
78
,
×56:
, =
@
78
,
Como cos = ABC − CD = 1 − CD − CD = 1 − 2 × CD ⇒ CD =
@F56:
, se sigue que la
proporción entre las áreas es
×
×
=
@
78
, =
2/(1 – cos α)

Halla todos los números enteros n tales que
es un número entero
SOLUCIÓN
Hacemos = ∈
+ 98
+ 19
= ⇒ + 98 = + 19 ⇒ − = 98 − 19 ⇒ =
98 − 19
− 1
=
79 + 19 − 19
− 1
⇒
⇒ =
79 − 19 × − 1
− 1
⇒ =
79
− 1
− 19
Como 79 es primo, los únicos valores admisibles son
• − 1 = −79 ⇒ = −78 ⇒ = −20
• − 1 = −1 ⇒ = 0 ⇒ = −98
• − 1 = 1 ⇒ = 2 ⇒ = 60
• − 1 = 79 ⇒ = 80 ⇒ = −18
-98; -20; -18; 60

En el conjunto de los números naturales se define la función f tal que f (x×y) = f (x) + f (y), para cualquier para
de naturales x e y
Si f (10) = 14 y f (40) = 20, halla
SOLUCIÓN
40 = 4 × 10 = 4 + 10 ⇒ 4 = 40 − 10 = 20 − 14 ⇒ 4 = 6
4 = 2 × 2 = 2 + 2 ⇒ 4 = 2 × 2 ⇒ 2 =
4
2
⇒ 2 = 3
10 = 2 × 5 = 2 + 5 ⇒ 5 = 10 − 2 = 14 − 3 ⇒ 5 = 11
De lo anterior, 500 = 5 × 100 = 5 + 100 = 5 + 10 × 10 = 5 + 10 + 10 ⇒
⇒ 500 = 5 + 10 + 10 = 11 + 14 + 14 ⇒ 500 =
39

Sean x, y números reales tales que x + y = 26, x3
+ y3
= 5408.
Halla
SOLUCIÓN
+ = + 3 +3 + ⇒ + = + + 3 × + ⇒ 26 = 5408 + 3 × 26 ⇒
⇒ =
26 − 5408
3 × 26
= 156
De lo anterior, + = + 2 + ⇒ + = + − 2 ⇒ + = 26 − 2 × 156 =
364

Rosa recuerda que la clave que puso en la cerradura de su maleta era de cuatro cifras
distintas y sólo dos impares.
¿Cuántas claves, como máximo, deberá introducir para poder abrir la maleta?
SOLUCIÓN
Hacemos todas las combinaciones posibles de dos cifras pares (de cinco: 0, 2, 4, 6, 8) y dos cifras impares ( de
cinco: 1, 3, 5, 7, 9): × = × , y de cada una de las combinaciones formamos todas las variaciones
posibles obteniendo el resultado:
×
5
2
×
5
2
= 4! ×
5
2
×
5
2
= 24 ×
5 × 4
2!
×
5 × 4
2!
= 24 × 10 × 10 =
2400

Antonio, Begoña y Carmelo hicieron exámenes de las mismas asignaturas.
En la primera asignatura las notas fueron tres números naturales distintos y
Begoña fue la que obtuvo la nota más alta. Luego, en cada una de las
demás asignaturas, sacaron esas mismas tres notas en algún orden.
Si Antonio sumó entre todas las materias 18 puntos; Begoña sumó 12 y
Carmelo sumó 9, ¿de cuántas asignaturas se examinaron y qué nota sacó
cada uno en cada uno de los exámenes?
SOLUCIÓN
Es evidente que el total de notas obtenido por los tres es 18 + 12 + 9 = 39 = 13 × 3
Como las notas, en cada examen, son valores distintos se sigue que hicieron 3 exámenes y en cada uno de los
cuales sumaron, en total, 13 puntos.
Si Begoña obtuvo en el primer examen la nota más alta, ésta, necesariamente, tuvo que ser mayor o igual que 6
teniendo en cuenta que todas las notas son diferentes.
Desglosando 13 en 3 sumandos distintos (entre 0 y 10) obtenemos las posibilidades siguientes:
• 13 = 6 + 5 + 2, imposible según las condiciones del problema (Antonio no llega a los puntos totales)
• 13 = 7 + 6 + 0, imposible según las condiciones del problema (Carmelo no llega a los puntos totales)
• 13 = 8 + 3 + 2 ⇒
: 2 + 8 + 8
ñ : 8 + 2 + 2
: 3 + 3 + 3
• 13 = 9 + 4 + 0, imposible según las condiciones del problema (Begoña no llega a los puntos totales)
Se examinaron de 3 asignaturas y obtuvieron:
1er
examen.- Antonio, 2; Begoña, 8; Carmelo, 3
2o
3er

La suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los lados de un triángulo
rectángulo isósceles es 72 cm2
.
¿Cuál es el área de dicho triángulo?
SOLUCIÓN
Sean los catetos y la hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles. Su
superficie es la mitad de la base por la altura:
×
, tomando un cateto como base
y el otro como altura.
Por el teorema de Pitágoras, = + ⇒ = 2
Además, según el enunciado, + + = 72 ⇒ + 2 = 72, luego
2 + 2 = 72 ⇒ 4 = 72 ⇒ = 18 cm2
El área del triángulo es, entonces,
×
= = =
9 cm2
Otra manera más gráfica de resolver el problema es descomponiendo la figura en triángulos iguales al
inicial:
Se observa inmediatamente que hay 8 entre los tres cuadrados, por lo que la superficie del triángulo es
=
9 cm2

Halla el menor cuadrado perfecto que termina en
SOLUCIÓN
Si buscamos , puede acabar en 3 o en 7
1. Suponemos que acaba en 3 ⇒ = ⋯ 3 ⇒ = … 3 × … 3 :
… 3
× … 3
− − − − −
… 3 9
… 3
− − − − −
… 6 9
por lo que 6 = 10
De lo anterior se deduce que = 0 o = 5
11. = 0 ⇒ = ⋯ 03 ⇒ = … 03 × … 03 :
… 0 3
× … 0 3
− − − − − −
… 3 0 9
… 3
− − − − − −
… 6 0 9
por lo que 6 = 10 ⇒
⇒ = 0 o = 5
111. = 0 ⇒ = ⋯ 003 ⇒ = … 003 × … 003 :
… 0 0 3
× … 0 0 3
− − − − − − −
… 3 0 0 9
… 3
− − − − − − −
… 6 0 0 9
luego 6 = 10 + 9,
lo cual es imposible.
112. = 5 ⇒ = ⋯ 503 ⇒ = … 503 × … 503 :
… 5 0 3
× … 5 0 3
− − − − − − − −
… 3 + 1 5 0 9
… 1 5
… 3
− − − − − − − −
… 6 + 3 0 0 9
luego
6 + 3 = 10 + 9 ⇒ = 1 o = 6. De todos los números posibles, 1503 es el menor
12. = 5 ⇒ = ⋯ 53 ⇒ = … 53 × … 53 :
… 5 3
× … 5 3
− − − − − − − −
… 3 + 1 5 9
… 6 5
… 3
− − − − − − − −
… 6 + 8 0 9
por lo que 6 + 8 = 10 ⇒
⇒ = 2 o = 7

121. = 2 ⇒ = ⋯ 253 ⇒ = … 253 × … 253 :
… 2 5 3
× … 2 5 3
− − − − − − −
… 3 7 5 9
… 2 6 5
… 0 6
… 3
− − − − − − −
… 6 + 4 0 0 9
luego
6 + 4 = 10 + 9, lo cual es imposible.
122. = 7 ⇒ = ⋯ 753 ⇒ = … 753 × … 753 :
… 7 5 3
× … 7 5 3
− − − − − − − − −
… 3 + 2 2 5 9
… 7 6 5
… 7 1
… 3
− − − − − − − −
… 6 + 17 0 0 9
luego
6 + 17 = 10 + 9 ⇒ = 2 o = 7, y no se obtienen números menores de 1503
2. Suponemos que acaba en 7 ⇒ = ⋯ 7 ⇒ = … 7 × … 7 :
… 7
× … 7
− − − − − − − −
… 7 + 4 9
… 7
− − − − − − − −
… 14 + 4 9
por lo que
14 + 4 = 10 ⇒ = 4 = 9
21. = 4 ⇒ = ⋯ 47 ⇒ = … 47 × … 47 :
… 4 7
× … 4 7
− − − − − − − −
… 7 + 3 2 9
… 8 8
… 7
− − − − − − − −
… 4 + 12 0 9
por lo que 4 + 12 = 10 ⇒
⇒ = 2 o = 7
211. = 2 ⇒ = ⋯ 247 ⇒ = … 247 × … 247 :
… 2 4 7
× … 2 4 7
− − − − − − − − −
… 7 + 1 7 2 9
… 9 8 8
… 9 4
… 7
− − − − − − − − −
… 14 + 21 0 0 9
luego
14 + 21 = 10 + 9 ⇒ = 2 o = 7, y no se obtienen números menores de 1503
212. = 7 ⇒ = ⋯ 747 ⇒ = … 747 × … 747 :
… 7 4 7
× … 7 4 7
− − − − − − − −
… 7 + 5 2 2 9
… 9 8 8
… 2 9
… 7
− − − − − − − −
… 14 + 18 0 0 9
luego

22. = 9 ⇒ = ⋯ 97 ⇒ = … 97 × … 97 :
… 9 7
× … 9 7
− − − − − − − −
… 7 + 6 7 9
… 7 3
… 7
− − − − − − − −
… 14 + 14 0 9
por lo que 14 + 14 = 10 ⇒
⇒ = 4 o = 9
221. = 4 ⇒ = ⋯ 497 ⇒ = … 497 × … 497 :
… 4 9 7
× … 4 9 7
− − − − − − − − −
… 7 + 3 4 7 9
… 4 7 3
… 8 8
… 7
− − − − − − − − −
… 14 + 17 0 0 9
luego
14 + 17 = 10 + 9 ⇒ = 3 o = 8, y no se obtienen números menores de 1503.
222. = 9 ⇒ = ⋯ 997 ⇒ = … 997 × … 997 :
… 9 9 7
× … 9 9 7
− − − − − − − − −
… 7 + 6 9 7 9
… 9 7 3
… 7 3
… 7
− − − − − − − − −
… 14 + 24 0 0 9
luego
En conclusión, = 1503 ⇒ = 1503 =
2259009

El perímetro de un triángulo equilátero es 2018 cm mayor que el de un cuadrado.
Si el lado del triángulo es a cm mayor que el del cuadrado, ¿cuántos números
naturales no son posibles como valores de a ?
SOLUCIÓN
Si llamamos al lado del cuadrado, el lado del triángulo es +
Por lo tanto, según el enunciado, 3 × + = 4 + 2018 ⇒ 3 + 3 = 4 + 2018 ⇒ 3 − 2018 = ∈
En consecuencia, los valores que no pueden ser posibles para serán aquellos para los que 3 − 2018 < 1 ⇒
⇒ 3 < 2019 ⇒ < ⇒ < 673 cm
De lo anterior se deduce que el número de valores imposibles para es
672

Halla un número natural de cuatro cifras abcd que sea múltiplo de 11 y tal que el número de
dos cifras ac sea múltiplo de 7 y a + b + c + d = d2
SOLUCIÓN
Según el enunciado = 10 + = 7 , siendo ∈
Como − + − es 0 o múltiplo de 11, suponemos que − + − = 0 ⇒ + = +
Por otro lado, + + + = ⇒ 2 + 2 = ⇒ =
Como son cifras, < 6 y, además, es par porque 2 + 2 =
Las posibilidades son, entonces, = 0, = 2 o = 4
1. = 0 ⇒ = 0 ⇒ + = 0 ⇒ = 0, = 0, que no determina una solución válida
2. = 2 ⇒ =
×
= 0 ⇒ + = 0 + 2 = 2, luego
a. = 1, = 1, pero = 11 no es múltiplo de 7
b. = 2, = 0, pero = 20 no es múltiplo de 7
3. = 4 ⇒ =
×
= 4 ⇒ + = 8 ⇒ = 8 −
Entonces, = 10 + = 7 ⇒ 10 + 8 − = 7 ⇒ =
!
"
= + 1 +
#
"
, luego = 3 ⇒
⇒ = 5, = 5 y = 35 que es múltiplo de 7 y el número solicitado es
3454

Un barril lleno al 30% de su capacidad total tiene 30 litros menos que cuando le falta el
30% para estar lleno.
¿Cuántos litros contiene el barril cuando está lleno?
SOLUCIÓN
Sea la capacidad total, en litros, del barril.
Faltarle un 30% para estar lleno equivale a decir que contiene el 70% de su capacidad total. Por lo que, según
el enunciado, 30% × = 70% × −30 ⇒ 0,3 = 0,7 − 30 ⇒ 0,7 − 0,3 = 0,4 = 30 ⇒ = =
75 litros

Sean a, b, c, d, e números naturales consecutivos tales que a + b + c + d + e es un cubo
perfecto y b + c + d es un cuadrado perfecto.
Halla el mínimo valor posible de c.
SOLUCIÓN
Si = ⇒ = + 1, = + 2, = + 3, = + 4, luego
• + + + + = ⇒ + + 1 + + 2 + + 3 + + 4 = ⇒ 5 + 10 = ⇒
⇒ 5 × + 2 = 5 = 5 = 5 = 125 ⇒ = 25
• + + = ⇒ + 1 + + 2 + + 3 = ⇒ 3 + 6 = ⇒
⇒ 3 × + 2 = 3 =
! "
3 = 3# = 9# ⇒ = 3#
Por lo tanto, 3# = 25
%;" '
3 × 5( = 25 × 3) ⇒ 3 × 25( = 25 × 27) ⇒ ( = 9) , siendo
, , , #, ), ( ∈ ,
Los valores más pequeños que cumplen la última igualdad son ) = 1, ( = 3 ⇒ = 3) = 3, # = 5( = 15 ⇒
⇒ = 15, = 45 ⇒ = 25 × 3 = 3 × 15 =
675

En la corona circular de la figura, limitada por dos circunferencias de radios 2 y 14 cm, se
dibuja una circunferencia a trazos, concéntrica con las anteriores, que divide a dicha
corona en dos regiones de igual área.
¿Cuál es el radio de dicha circunferencia?
SOLUCIÓN
Si llamamos al radio de la circunferencia a trazos, la igualdad entre las superficies de las regiones descritas es
× − × 2 = × 14 − × ⇒ − 4 = 196 − ⇒ 2 = 196 + 4 = 200 ⇒ = 100 ⇒ =
10 cm

Sean x, y números reales positivos tales que x, x + 2y, 2x + y
forman una progresión aritmética y (y + 1)2
, xy + 25, (x + 1)2
forman una progresión geométrica.
Halla los valores de x e y.
SOLUCIÓN
Según el enunciado, 2 × + 2 = + 2 + ⇒ 2 + 4 = 3 + ⇒ 3 =
También, + 25 = + 1 × + 1 ⇒ + 25 = + 1 × + 1
Entonces, 3 × + 25 = + 1 × 3 + 1 ⇒ 3 + 25 = 3 + 4 + 1 ⇒ 4 = 24 ⇒ = 6 = 18
x = 18; y = 6

José Luis hace una travesía de 210 km en bicicleta.
Al final ha alcanzado una velocidad media de 5 km/h más de la que había previsto y
ha llegado una hora antes de lo esperado.
¿Qué velocidad media ha alcanzado?
SOLUCIÓN
Llamamos al tiempo previsto en recorrer toda la travesía. La velocidad media prevista es, pues, de km/h
Pero, según el enunciado, ha recorrido los 210 km a una velocidad de + 5 km/h en − 1 horas:
+ 5 × − 1 = 210 ⇒ 210 + 5 × − 1 = 210 ⇒ 210 + 5 − 210 − 5 = 210 ⇒
⇒ 5 − 5 − 210 = 0 ⇒ − − 42 = 0 ⇒ =
±√ ×
=
±
= 7
Resumiendo, ha hecho el recorrido en − 1 = 6 horas a una velocidad media de + 5 =
35 km/h

Utilizando exclusivamente dos dígitos distintos, 2 y a, se forma el siguiente número de 90 cifras:
Si este número de 90 cifras es múltiplo de 9, halla todos los valores posibles del dígito a.
SOLUCIÓN
En primer lugar, debemos determinar el número exactamente. Notemos que hay grupos sucesivos de 2 2 ,
3 22 , 4 222 , … dígitos hasta llegar a un grupo completo de dígitos − 1 y,
posiblemente, un resto de doses.
El número de dígitos con grupos completos será, entonces,
×
≤ 90 ⇒ 2 + × − 1 ≤ 180 ⇒
⇒ 2 − 2 + − ≤ 180 ⇒ + − 182 ≤ 0
Calculamos + − 182 = 0 ⇒ =
±√ !× "
=
± # $%
&'( = 13 ⇒
×
= 90 si = 13
De ahí se sigue que acabará exactamente en un grupo completo de 12 doses y una
Habrá, por tanto, en el número 12 dígitos y 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 12 =
×
= 78 dígitos 2
Para que sea divisible por 9 ⇒ 78 × 2 + 12 = 9+, siendo + ∈ - ⇒ 12 = 9+ − 156 ⇒ 4 = 3+ − 52 ⇒
⇒ =
01 2
!
⇒ =
01
!
− 13
Los valores de + ∈ - para los que es una cifra deben ser múltiplos de 4 y son:
• + = 20 ⇒ =
0× %
!
− 13 = 2
• + = 24 ⇒ =
0× !
!
− 13 = 5
• + = 28 ⇒ =
0× "
!
− 13 = 8
Los valores de para los que el número es divisible por 9 son
2; 5; 8

En un cuadrado de 36 cm2
punteamos algunas zonas como se muestra en la figura.
Si el área punteada es de 27 cm2
, ¿cuánto vale, en cm, la suma p + q + r + s ?
SOLUCIÓN
El lado del cuadrado mide √36 = 6 cm
Si observamos la figura, las superficie punteada se compone de cuatro triángulos cuyas
alturas son todas iguales al lado del cuadrado y las bases son los valores integrantes de
la suma pedida.
El área punteada es la suma de las áreas de todos los triángulos punteados, luego
+ + + = 3 + 3 + 3 + 3 = 27 ⇒ 3 × + + + = 27 ⇒
p + q + r + s = 9 cm

Sea ABCD un rectángulo y AC una diagonal. Se trazan, desde B y desde D,
perpendiculares a la diagonal AC que la intersectan, respectivamente, en P y Q.
Se sabe que los puntos P y Q dividen a AC en tres segmentos iguales, de longitud 1.
Halla el área del rectángulo ABCD.
SOLUCIÓN
Llamamos = ; = a las dimensiones del rectángulo.
Aplicando el teorema del cateto en el triángulo rectángulo obtenemos que
= × = 1 × 3 = 3 ⇒ = √3 y = × = 2 × 3 = 6 ⇒ = √6
Por tanto, la superficie del rectángulo es × = √3 × √6 = √18 =
3×√2 unidades cuadradas

Se escriben en una pizarra varios números naturales distintos entre sí.
Si el producto de los dos más pequeños es 16 y el de los dos más grandes es 225,
calcula la suma de todos ellos.
SOLUCIÓN
Sean , los dos números menores de la lista. Pueden ser = 2, = 8 o = 1, = 16 porque × = 16
Pero si , son los dos mayores tales que × = 225, el menor valor posible de deberá ser = 9 ⇒ = 25
Entonces, = 2, = 8 y solo hay cuatro números en la lista pues y son consecutivos.
De lo anterior, + + + = 2 + 8 + 9 + 25 =
44

Determina los números naturales x, y, z que satisfacen el sistema
SOLUCIÓN
+ = 84
+ = 43
⇒ + − + = 84 − 43 ⇒ − = 41 ⇒ × − = 41
Como 41 es primo, hay dos posibilidades:
1. = 1; − = 41 ⇒ = − 41. Entonces,
+ = 84 ⇒ + × − 41 = 84 ⇒ − 40 − 84 = 0 ⇒ = 20 ± √400 + 84 = 20 ± 22 ⇒
= 42 ⇒ = 1 y se verifica la segunda ecuación + = 43: 1 × 1 + 42 × 1 = 43
2. = 41; − = 1 ⇒ = − 1. Entonces,
+ = 84 ⇒ 41 + × − 1 = 84 ⇒ + 40 − 84 = 0 ⇒ = −20 ± √400 + 84 = −20 ± 22 ⇒
= 2 ⇒ = 1 y se verifica la segunda ecuación + = 43: 41 × 1 + 2 × 1 = 43
Por tanto, la superficie del rectángulo las ternas que verifican el sistema son
x = 1; y = 42; z = 1
x = 41; y = 2; z = 1

En el rectángulo ABCD los puntos P, Q, R, S son los puntos medios de los lados.
Si T es el punto medio de RS, ¿qué fracción del área del rectángulo ocupa el
triángulo PQT ?
SOLUCIÓN
Nombramos = ; = a las dimensiones del rectángulo. El área del rectángulo
es, entonces,
Trazamos, también, el segmento paralelo a y a siendo , por tanto, la
mitad del lado
Dibujando los segmentos y podemos observar que el rombo tiene una
superficie que es la mitad de la del rectángulo.
De otra manera, será igual a la superficie del rectángulo menos la superficie de los cuatro triángulos iguales de
las esquinas: − 4 ×
×
= − = − 4 × =
Además, observemos que el triángulo tiene una superficie igual a la mitad del rombo , pues los
triángulos y tienen igual superficie y los triángulos y también, por lo que la superficie del
triángulo es × = , es decir,
la cuarta parte de la superficie del rectángulo

Consideramos los números naturales N menores que 10000 que tienen el dígito 2 en el
lugar de las decenas.
¿Cuántos de estos números N tienen resto 5 en la división por 12?
SOLUCIÓN
Los números pedidos serán = 12 + 5
Es decir, = 12 + 5 = 4 × 3 + 4 + 1 = 4 × 3 + 1 + 1. Como acaban en 2 , para que den resto 1 al
dividir por 4 deben acabar en 21, 25, 29
Además, = 12 + 5 = 3 × 4 + 3 + 2 = 3 × 4 + 1 + 2 ⇒ ≡ 2 3
Observemos que esos números están construidos por un número entre 0 y 99 seguido por una de las tres
terminaciones indicadas: = 2
Analizamos los tres casos:
• Acaban en 21 que es 21 ≡ 0 3 , por lo que el número a añadir por la izquierda debe ser
≡ 2 3 para que lo sea también, y entre 0 y 99 hay 33 números con esa condición.
Por ejemplo, = 2 ⇒ = 221 da resto 5 al dividirlo por 12; = 5 ⇒ = 521 da resto 5 al dividirlo
por 12…
≡ 1 3 para que sea ≡ 2 3 , y entre 0 y 99 hay 33 números con esa condición.
Por ejemplo, = 1 ⇒ = 125 da resto 5 al dividirlo por 12; = 4 ⇒ = 425 da resto 5 al dividirlo
por 12…
≡ 0 3 para que sea ≡ 2 3 , y entre 0 y 99 hay 34 números con esa condición.
• Por ejemplo, = 0 ⇒ = 29 da resto 5 al dividirlo por 12; = 3 ⇒ = 329 da resto 5 al dividirlo por
12…
En consecuencia hay 33 + 33 + 34 =
100 números

La superficie total de un ortoedro es 22 cm2
y la suma de las longitudes de
todas sus aristas es 24 cm.
¿Cuál es, en centímetros, la máxima distancia entre dos de los vértices de dicho
prisma?
SOLUCIÓN
Sean , , las medidas, en centímetros, de los lados del ortoedro; es la
longitud de la diagonal de la cara inferior del ortoedro y es la longitud de la
diagonal del ortoedro y además la distancia pedida, máxima entre dos
cualesquiera de sus vértices.
Por el teorema de Pitágoras, aplicado en el triángulo rectángulo de lados , ,
(rojo), se sigue que = + ; y por el teorema de Pitágoras aplicado en el triángulo rectángulo de lados
, , (azul), se cumple que = + ⇒ = + +
Según el enunciado,
2 + 2 + 2 = 22
4 + 4 + 4 = 24 ⇒ + + = 6
Por otro lado, el cuadrado de la suma de un trinomio es + + = + + + 2 + 2 + 2 ⇒
⇒ + + = + + − 2 + 2 + 2 ⇒ = 6 − 22 = 14 ⇒ =
√14 cm = 3,74 cm

Una hora después de su partida, el tren se detuvo por un desperfecto
mecánico. Los técnicos lo repararon en media hora y, de ahí en adelante,
el tren continuó su viaje a la mitad de la velocidad normal y llegó a
destino con 2 horas de retraso.
Si el mismo desperfecto hubiese ocurrido 100 km más adelante, el retraso
hubiera sido de sólo de 1 hora.
Determina la longitud del recorrido total del tren sabiendo que, en cada
tramo, la velocidad del tren es constante.
SOLUCIÓN
Usaremos la fórmula =
es la longitud pedida, en kilómetros, e km/h la velocidad normal del tren. El tiempo que tarda en hacer el
recorrido a velocidad normal es, entonces, horas
Según indica el enunciado, después de 1 hora o km de recorrido se produce la avería que dura media hora y
los kilómetros restantes − los hace a una velocidad de km/h en un tiempo de = horas.
Entonces, 1 + + = + 2 ⇒ 2 + + 4 − 4 = 2 + 4 ⇒ 2 = 5
Si la avería hubiera ocurrido 100 km más adelante, el tiempo hecho a velocidad normal sería 1 +
##
horas y el
tiempo a mitad de velocidad normal sería de
$ % ##&
=
##
horas, y se cumpliría entonces que
1 +
##
+ +
##
= + 1
' ( (
( ' '*+
,------------. 200 + + 4 − 4 − 400 = 2 ⇒ 2 = 3 + 200
En resumen, 0
2 = 5
2 = 3 + 200
1 ⇒ 0
2 = 5
5 = 3 + 200
1 ⇒ 0
2 = 5
= 100
1 ⇒ 2 = 500 ⇒ =
250 kilómetros

Sean 1200 puntos amarillos y rojos. Se asigna a cada punto una fracción cuyo numerador es
la cantidad de puntos que hay del color distinto al suyo y cuyo denominador es la cantidad
de puntos que hay de su mismo color, incluido él.
¿Cuál es la suma de las 1200 fracciones así construidas?
SOLUCIÓN
Si es el número de puntos amarillos y es el número de puntos rojos, el enunciado dice que + = 1200
Además, cada punto amarillo lleva asociada la fracción y, como hay puntos amarillos, la suma de todas las
fracciones correspondientes a los puntos amarillos es × =
De manera análoga, cada punto rojo lleva asociada la fracción y, como hay puntos rojos, la suma de todas las
fracciones correspondientes a los puntos rojos es × =
Por tanto, la suma de todas las fracciones es × + × = + =
1200

En un tablero rectangular de p filas y q columnas están escritos todos los números
enteros desde el 1 hasta el pq, en orden creciente, comenzando con el 1 en la casilla
superior izquierda y terminando con pq en la casilla inferior derecha.
Se sabe que 95 está en la tercera fila, 987 está en la vigésimo primera fila (es decir, en
la fila número 21) y 1999 está en la última fila.
Halla las dimensiones p y q del tablero.
SOLUCIÓN
Hay que tener en cuenta que todo número que ocupe el último lugar de la fila debe ser divisible por .
Por lo tanto,
• Si el número 95 está en la tercera fila puede ocupar el primer lugar de esa fila, por lo que = = 47,
hasta puede ocupar el penúltimo de la tercera fila que llegará hasta el 96 ⇒ = = 32, luego de las
dos posibilidades se sigue que 32 ≤ ≤ 47
• Si el número 987 está en la vigésimo primera fila puede ocupar el séptimo lugar de esa fila, por lo que
= = 49, hasta puede ocupar el último de la vigésimo primera fila y = = 47, luego de las dos
posibilidades se sigue que 47 ≤ ≤ 49
Según los dos resultados anteriores se deduce que = 47
Como 1999 = 42 × 47 + 25, si el número 1999 está en la última fila ⇒ = 43
El tablero posee
43 filas y 47 columnas

Hay 18 tarjetas y en cada una de ellas está escrito un número: un 4 o un 5.
Si la suma de todos los números escritos en las 18 tarjetas es divisible por 17, ¿cuántas
tarjetas tienen escrito el número 4?
SOLUCIÓN
Sea el número de tarjetas que llevan escrito el 4. Entonces, 18 − es el número de tarjetas que llevan escrito
el 5.
Según el enunciado, 4 + 5 × 18 − = 17 ⇒ 4 + 90 − 5 = 17 ⇒ = 90 − 17 , siendo ∈
Como además 0 < < 18, el único valor factible es para = 5 ⇒ = 90 − 17 × 5 =
5 tarjetas tienen escrito el número 4

Sean el cuadrado MNOP de lado 1 y la circunferencia de centro O y radio 1.
La recta MO intersecta a la circunferencia en los puntos K, interior al cuadrado, y L,
exterior al cuadrado; y la recta LP intersecta a la prolongación del lado NM en S.
Halla el área del triángulo KMS.
SOLUCIÓN
Dibujamos el esquema del problema, añadimos puntos y segmentos que utilizaremos y
remarcamos en azul el triángulo cuya área se pide y es
×
Vamos a calcular las longitudes de los segmentos anteriores.
La diagonal del cuadrado mide, aplicando el teorema de Pitágoras, = √ + ⇒
⇒ √1 + 1 = √2. Por tanto, = + = 1 + √2
De lo anterior, aplicando otra vez el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo e isósceles
, + = 2 = 1 + √2 ⇒ =
√
⇒ =
√
√
, luego
= =
√
Como los triángulos y son semejantes, = ⇒ × = × + = × ⇒
⇒ × ! − 1# = ⇒ = $
=
%√
%√
$
=
√
√
= 1 + √2
Por otro lado, aplicando también el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo e isósceles & , tenemos que
& + & =
' (
2 & = 1 ⇒ & = ⇒ & =
√
=
√
y & = − & = 1 −
√
=
$√
En resumen, la superficie buscada es
×
=
√ ×
)√
=
$√ √ $√ ×√
*
=
√2/4 unidades cuadradas

¿Para cuántos números naturales n, tales que 1 ≤ n ≤ 100, el número nn
es un cuadrado
perfecto?
SOLUCIÓN
Si es par⇒ = 2 ⇒ = 2 = 2 ⇒ es un cuadrado perfecto.
Si es impar no puede serlo salvo para los casos de cuadrados perfectos menores de 100 de base impar:
1 = 1 , 9 = 3 , 25 = 5 , 49 = 7 , 81 = 9 pues
1 = 1 = 1 , 9 = 3 = 3 , 25 = 5 = 5 , 49 = 7 = 7 , 81 = 9 = 9
En total, entonces, hay 50 + 5 =
55 números

En la pizarra está escrito un número de tres cifras, todas distintas.
Marta intercambia la primera cifra con la última y, entonces, la suma del
número escrito en la pizarra más el número de Marta es igual a 92 veces la
suma de los dígitos del número escrito en la pizarra.
Calcula todos los posibles valores del número escrito en la pizarra.
SOLUCIÓN
En la pizarra está escrito el número . Marta escribe el número ⇒ + = 92 × + + ⇒
⇒ 100 + 10 + + 100 + 10 + = 92 + 92 + 92 ⇒ 9 − 72 + 9 = 0 ⇒ − 8 + = 0 ⇒
⇒ = , y las posibilidades son:
• = 8; = 0 ⇒ = 1
• = 1; = 7 ⇒ = 1 (no válido porque = )
• = 7; = 1 ⇒ = 1 (no válido porque = )
• = 2; = 6 ⇒ = 1
• = 6; = 2 ⇒ = 1
• = 3; = 5 ⇒ = 1
• = 5; = 3 ⇒ = 1
• = 7; = 9 ⇒ = 2
• = 9; = 7 ⇒ = 2
por lo que el número escrito en la pizarra puede ser uno de estos siete:
810; 216; 612; 315; 513; 729; 927

Halla la cantidad de números números enteros que verifican que
SOLUCIÓN
Si + 6 < 6 + ⇒ − 6 − + 6 < 0
Calculamos las raíces del polinomio:
− 6 − + 6 = × − 6 − + 6 = × × − 6 − − 6 = × − 1 × − 6 ⇒
⇒ − 6 − + 6 = × + 1 × − 1 × − 6
Las raíces del polinomio son = −1, 0, 1 6 ⇒el signo del valor numérico del polinomio permanece constante
en los intervalos abiertos −∞ , −1 , −1 , 0 , 0 , 1 , 1 , 6 6 , +∞ y se comprueba, eligiendo un valor real
de de cada intervalo y obteniendo el valor numérico correspondiente del polinomio, que:
− 6 − + 6 > 0 si −∞ , −1
− 6 − + 6 < 0 si −1 , 0 , y no hay valores enteros en el intervalo
− 6 − + 6 > 0 si 0 , 1
− 6 − + 6 < 0 si 1 , 6 ⇒ los valores enteros en el intervalo son 2, 3, 4 5
− 6 − + 6 > 0 si 1 , +∞
por lo que la cantidad de números que cumplen el enunciado es
4

Determina todos los números naturales n tales que n y n + 475 son ambos cuadrados perfectos.
SOLUCIÓN
Sea = y + 475 = ⇒ − = + 475 − = 475 ⇒ + × − = 475 = 5 × 19
Las posibilidades son:
+ = 475
− = 1
2 = 474 ⇒ =
474
2
= 237 ⇒ = 237 = 56169
+ = 5 × 19 = 95
− = 5
2 = 90 ⇒ =
90
2
= 45 ⇒ = 45 = 2025
+ = 5 = 25
− = 19
2 = 6 ⇒ =
6
2
= 3 ⇒ = 3 = 9
Los números son
9; 2025; 56169

Si α verifica que cos α = tg α, halla el valor de
SOLUCIÓN
Si cos = tg ⇒ cos = ⇒ cos = sen ⇒ 1 − sen = sen ⇒ sen = 1 − sen
Entonces se sigue que = + cos = + sen = + 1 − sen ⇒
⇒ = =
!
=
×
⇒ = + cos =
2

Sea n un número natural. Se tiene un rectángulo de 3 x n, cuadriculado en cuadraditos de 1 x 1.
Denominamos puntos de la cuadrícula a los puntos donde se cortan dos líneas del cuadriculado, o una línea
del cuadriculado con un lado del rectángulo, o dos lados del rectángulo.
Si se cuentan todos los cuadrados de todos los tamaños posibles que tienen sus cuatro vértices en puntos de
la cuadrícula, se obtienen 950 cuadrados.
Halla el valor de n teniendo en cuenta que es un múltiplo de 6.
SOLUCIÓN
Vamos a ver todos los tipos de cuadrados existentes, suponiendo que = 6, y la cantidad:
Tipos Núm. Tipos Núm.
3
2
2
− 1
2
2
− 1
3
3
− 1
3
− 1
2 2
− 1
2 2
− 1
3
3
− 1
3
− 1 3
3
− 1 3
− 1
De lo anterior, el número total de cuadrados existentes es
3 + 4 × + 4 × − 1 + 3 × + 6 × − 1 = 3 + 2 + 2 − 4 + + 2 − 6 = 10 − 10 = 950 ⇒
⇒ 10 = 960 ⇒ = ⇒
n = 96

La figura adjunta muestra una circunferencia de centro C y diámetro AE, un
segmento AB perpendicular a dicho diámetro y un segmento BD que contiene
al centro C.
Si α es, en radianes, el ángulo ACB y las dos regiones coloreadas de verde
tienen la misma superficie, calcula la proporción entre el valor de α y el de su
tangente trigonométrica.
SOLUCIÓN
Suponemos la circunferencia de radio unidad sin perder generalidad.
El sector circular tiene de abertura , igual que el sector opuesto, por lo que su superficie es
×
=
unidades cuadradas.
La otra superficie verde posee la misma superficie y, con el sector circular blanco forma el triángulo rectángulo
, por lo que la superficie de este es + =
Es decir,
×
= ⇒
×
= ⇒ = 2
De todo lo anterior, = = =
½

Sea ABCD un rectángulo de lados AB = CD = 37 cm y BC = DA = 10 cm y
sea P el punto del lado AB tal que AP = 13 cm. La paralela a PC trazada
por A intersecta al lado CD en R.
Sean Q en PC y S en AR tales que el cuadrilátero PQRS es un rectángulo.
Halla el área de PQRS.
SOLUCIÓN
Completamos el dibujo y señalamos dimensiones y puntos.
Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo tenemos
que = + = 24 + 10 = 676 ⇒ = 26 cm
Observamos ahora que los triángulos rectángulos y son semejantes porque son iguales los ángulos
= = , ya que sus lados son respectivamente perpendiculares entre sí.
Establecemos, entonces, las siguientes razones de semejanza:
• = ⇒ = ⇒ =
×
= ⇒ = 5 cm
• = ⇒ = ⇒ =
×
= ⇒ = 12 cm ⇒ = − = 26 − 12 ⇒ = 14 cm
La superficie pedida es × = 14 × 5 =
70 cm2

Si a y b son dos números reales tales que a > 1 y b ≠ 0 y se verifica que a×b = ab
y que a/b = a3b
, calcula
SOLUCIÓN
Si
=
=
⇒ × = × ⇒ = ⇒ 4 = 2 ⇒ = =
Si
=
=
⇒
=
=
⇒ = ⇒ × = ⇒ × = 1 ⇒ × = 1 ⇒ = = = 4
Entonces, = = 2 =
16

Dos ciclistas, Joaquín y José Luis, recorren a velocidades constantes
el camino entre A y B y ambos salen al mismo tiempo.
Joaquín sale de A, llega a B y de inmediato regresa a A; y José Luis
sale de B, llega a A y de inmediato regresa a B.
Durante el viaje, se cruzan dos veces: la primera a 9 km de A y una hora más tarde se cruzan por segunda vez
a 7 km de B.
Determina las velocidades de cada uno de los ciclistas.
SOLUCIÓN
Llamamos a la distancia, en kilómetros, entre A y B y el tiempo transcurrido, en horas, desde que el instante
común de salida y el primer cruce.
Los esquemas, que se reproducen a continuación, muestran los dos momentos de cruce:
La velocidad de Joaquín es = = según los dos esquemas, luego =
La velocidad de José Luis es = = según los dos esquemas, luego =
De las dos igualdades anteriores se deduce que = ⇒ + 7 × − 9 = 9 × 2 − 7 ⇒
⇒ − 2 − 63 = 18 − 63 ⇒ = 20 = 20 km
De ahí, = ⇒ = = 3 ⇒ + 1 = 3 ⇒ 2 = 1 ⇒ = horas
Las velocidades son = =
!
= 18 km/h y = =
!
= 22 km/h
Joaquín marcha a 18 km/h y José Luis marcha a 22 km/h

Si
Halla el valor de a×b
SOLUCIÓN
= 6 + 6 + √6 + ⋯ ⇒ = 6 + 6 + √6 + ⋯ = 6 + 6 + √6 + ⋯ = 6 + ⇒ − − 6 = 0 ⇒
=
1 ± −1 − 4 × −6
2
=
1 ± √25
2
=
1 ± 5
2
=
1 + 5
2
⇒ = 3
= 9 − 9 − √9 − ⋯ ⇒ = ! 9 − 9 − √9 − ⋯ " = 9 − 9 − √9 − ⋯ = 9 − ⇒ + − 9 = 0 ⇒
=
−1 ± 1 − 4 × −9
2
=
−1 ± √37
2
$
=
√37 − 1
2
Por lo tanto, × =
% × &√%' − ()
*
= ', ,*-

Halla todas las ternas x, y, z de números reales que satisfacen el sistema
SOLUCIÓN
× + + = 26
× + + = 27
× + + = 28
⇒ × + + + × + + + × + + = 26 + 27 + 28 ⇒
⇒ + + × + + = + + = 81 ⇒ + + = ±9
Entonces, si + + = 9 ⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ × + + = 9 = 26 ⇒ =
× + + = 9 = 27 ⇒ = = 3
× + + = 9 = 28 ⇒ =
Y si + + = −9 ⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ × + + = −9 = 26 ⇒ = −
× + + = −9 = 27 ⇒ = − = −3
× + + = −9 = 28 ⇒ = −
Las ternas, solución del sistema, son
x = 26/9; y = 3; z = 28/9
x = -26/9; y = -3; z = -28/9

Dos de las medianas de un triángulo son perpendiculares entre sí y miden 8 y
12 cm.
Calcula la superficie del triángulo.
SOLUCIÓN
Nombramos vértices e intersecciones de las medianas con los lados del triángulo
y señalamos , intersección de la prolongación de con la paralela a por el
vértice .
Las medianas perpendiculares entre sí son = 8 cm y = 12 cm
Como = y tienen ángulos opuestos por los vértices, los triángulos rectángulos y son
semejantes y con las mismas medidas ⇒ = = 8 − ℎ cm
También, los triángulos y son semejantes ⇒ = ⇒ =
×
= ⇒ 2ℎ = 8 − ℎ ⇒ ℎ = cm
Se observa que el triángulo se puede descomponer en dos triángulos, y , y su área es la suma de
las áreas de ambos.
Si la base común de los dos triángulos es = 12 cm, las alturas respectivas son, ambas, 8 − ℎ cm
Entonces, = + =
×! "
+
×! "
= × !8 − ℎ" = 12 × #8 − $ = 12 ×
%
=
64 cm2

Se dice que un entero mayor que 1 es admisible si cada uno de los resultados de
multiplicar dos divisores del número (positivos y distintos) es mayor que 1/5 del
número.
Por ejemplo, 6 es admisible porque sus divisores son 1, 2, 3 y 6, y los productos
1×2=2, 1×3=3, 1×6=6, 2×3=6, 2×6=12 y 3×6=18 son todos mayores que 6/5.
Determina todos los enteros positivos admisibles.
SOLUCIÓN
Si es par no será admisible si 1 × 2 ≤ , pues 1 y 2 son los divisores menores de ⇒ 10 ≤ y se concluye
que los pares admisibles son, únicamente, 2, 4, 6, 8
Evidentemente si es primo será admisible, pues el único producto de divisores distintos es 1 × >
Por último, revisemos los impares compuestos:
• El 9 es admisible, pues el producto de divisores distintos de menor valor posible es 1 × 3 >
• El 15 no es admisible, porque 1 × 3 = , y tampoco los siguientes múltiplos de 3
• El 25 no es admisible, porque 1 × 5 = , y tampoco los siguientes múltiplos de 5
• El 49 no es admisible, porque 1 × 7 < , y tampoco los siguientes múltiplos de 7
• Si comprobamos cuadrados de primos impares mayores se hará más acusada la desigualdad, por lo que
queda claro que ningún número compuesto impar mayor de 9 es admisible.
Por lo tanto, los números enteros positivos admisibles son
todos los primos y los compuestos 4, 6, 8 y 9

Un triángulo isósceles se descompone en siete triángulos isósceles como se ve en la figura.
Calcula los ángulos de dicho triángulo.
SOLUCIÓN
Nombramos todos los vértices del triángulo y se trata de hallar la medida de los ángulos
del triángulo isósceles
Llamamos =
Entonces, en el triángulo , = ⇒ = 180° − 2
En el triángulo , = 180° − = 180° − 180° − 2 = 2 , luego
= 2 ⇒ = 180° − 4
En el triángulo , = 180° − − = 180° − 180° − 4 − = 3 ,
luego = 3 ⇒ = 180° − 6
En el triángulo , = 180° − − = 180° − 180° − 6 − 2 = 4 ,
luego = 4 ⇒ = 180° − 8
En el triángulo , = 180° − − = 180° − 180° − 8 − 3 = 5 ,
luego = 5 ⇒ = 180° − 10
En el triángulo , = 180° − − = 180° − 180° − 10 − 4 = 6 ,
luego = 6 ⇒ = 180° − 12
En el triángulo , = 180° − − = 180° − 180° − 12 − 5 = 7 ,
luego = 7 ⇒ = 180° − 14
Entonces tenemos que = = 7 ; = + = 180° − 14 + 6 = 180° − 8 ; = ,
ángulos del triángulo isósceles
Como es isósceles, = ⇒ 7 = 180° − 8 ⇒ 15 = 180° ⇒ =
°
!
= 12° ⇒ = 12° y
= = 7 × 12° = 84°
Los ángulos pedidos son
12o
; 84o
; 84o

Diez personas están sentadas alrededor de una mesa redonda.
Cada una piensa un número y se lo dice en secreto a sus dos vecinos, el de
la derecha y el de la izquierda. A continuación, cada persona anuncia el
promedio de los dos números que ha escuchado.
Comenzando por una de las personas y siguiendo el sentido de las agujas
del reloj, las personas anuncian los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, en
ese orden.
Determina qué número ha pensado cada una de las diez personas.
SOLUCIÓN
Suponemos que las personas anuncian los promedios = , donde = 1, … ,10 y han pensado los números
Entonces sucederá siempre que = , ∀ = 2, … ,9 y, además, = , =
Haciendo = , = ⇒ 2 = ⇒ = 4 − ; = !
⇒ 4 =
" !
⇒ # = 4 + ; % = ! &
⇒
⇒ 6 = &
⇒ ( = 8 − ; * = &
⇒ 8 =
*"
⇒ + = 8 + ; = ⇒ 10 =
*
⇒ 2 = 12 ⇒
⇒ = 6, por lo que = 6; = −2; # = 10; ( = 2; + = 14
Haciendo = ,, = -
⇒ 3 =
/ -
⇒ = 6 − ,; # = - 0
⇒ 5 =
%"/ 0
⇒ % = 4 + ,; ( = 0 2
⇒
⇒ 7 =
/ 2
⇒ * = 10 − ,; + = 2
⇒ 9 =
"/
⇒ = 8 + ,; = ⇒ 1 =
* / /
⇒
⇒ 2, = −6 ⇒ , = −3, por lo que = −3; = 9; % = 1; * = 13; = 5
Los números pensados son, por orden,
6; -3; -2; 9; 10; 1; 2; 13; 14; 5

Halla el porcentaje de superficie del cuadrado que está coloreada de azul.
SOLUCIÓN
Tomamos los cuatro cuadrados en que se divide el cuadrado grande, cuya superficie es
Si consideramos todos excepto el de la esquina superior derecha,
El cuadrado inferior izquierdo no tiene parte coloreada
Las parte coloreada del cuadrado superior izquierdo (cuarta parte del cuadrado grande) es de su superficie, por
lo que tendrá una superficie × =
Las parte coloreada del cuadrado superior izquierdo (cuarta parte del cuadrado grande) es de su superficie, por
lo que tendrá una superficie × =
Las parte coloreada del cuadrado inferior derecho (cuarta parte del cuadrado grande) es de su superficie, por lo
que tendrá una superficie × =
En resumen, los tres cuadrados citados tienen una superficie coloreada + = =
Tomando ahora el cuadrado restante (: el superior derecho y con una superficie que es la cuarta parte del
cuadrado original, × ) y repitiendo el proceso anterior (eligiendo tres cuadrados de los cuatro en los que se
descompone, excepto su superior derecho), los tres cuadrados correspondientes tienen una superficie coloreada
×
Iterando el proceso llegamos a que la superficie total coloreada es la suma de todas las superficies coloreadas que
se calculan:
+ × + × × + × × × + ⋯ = × 1 + + × + × × × + ⋯ =⏞
(∗)
× = × = , por lo
que la superficie total coloreada es de la superficie del cuadrado. Es decir, × 100% =
16,67%
(*) La suma que está dentro del paréntesis es la de una progresión geométrica de primer término = 1 y de
razón igual a = , siendo la fórmula aplicada para la suma.

Se deben elegir números naturales, sin repetir, desde 1 hasta 2000 inclusive de modo que ninguno
de los elegidos sea igual al triple de otro de los elegidos.
Determina cuál es la mayor cantidad de números que se pueden elegir.
SOLUCIÓN
Es evidente que todos los números que no sean múltiplos de 3 cumplirán la condición.
Como el último múltiplo de 3, dentro del intervalo, es 1998 = 3 × 666, habrá 2000 − 666 = 1334 números, al
menos, que cumplirán el enunciado.
De los que sean múltiplos de 3 lo pueden cumplir sus potencias a partir de 3 = 9 hasta 3 = 729 (menores que
el valor superior del intervalo), siempre y cuando no estén las potencias previas: verificarán la condición las
potencias 3 = 9; 3 = 81; 3 = 729, así que la cantidad de números que se pueden elegir, de este tipo, son 3
Por la misma razón, también cumplirán el enunciado los múltiplos (con factores no múltiplos de 3 y distintos de 1)
de estas potencias siempre que no estén los múltiplos, con los esos mismos factores, de las potencias de
exponente una unidad inferior a las citadas. Por ejemplo, estará 72 = 8 × 3 porque no estará 24 = 8 × 3.
Múltiplos de 3 con factores no múltiplos de 3 y distintos de 1 hay 1: 2 × 3 = 2 × 729 = 1458
Múltiplos de 3 hay 24: hasta 24 × 3 = 24 × 81 = 1944. De ellos con factores múltiplos de 3 hay 8 pues
3 × 8 = 24. Si además contamos el factor 1, hay 24 − 8 − 1 = 15 múltiplos con factores no múltiplos de 3 y
distintos de 1.
Múltiplos de 3 hay 222: hasta 222 × 3 = 222 × 9 = 1998. De ellos con factores múltiplos de 3 hay 74 pues
3 × 74 = 222. Si además contamos el factor 1, hay 222 − 74 − 1 = 147 múltiplos con factores no múltiplos de 3
y distintos de 1.
En resumen, la cantidad máxima de números elegibles es 1334 + 3 + 1 + 15 + 147 =
1500

Halla todos los números enteros positivos ab de dos cifras tales que
SOLUCIÓN
=
7
4
⇒
10 +
10 +
=
7
4
⇒ 40 + 4 = 70 + 7 ⇒ 40 − 7 = 70 − 4 ⇒ 33 = 66
÷
= 2
Entonces, = 1,2,3,4 ⇒ = 2,4,6,8 y los enteros positivos buscados son
21; 42; 63; 84

Un programa de ordenador genera una sucesión de números con la
siguiente regla: el primer número lo escribe el usuario; a partir de
entonces, el programa calcula la división entera del último número
generado por 18; obtiene así un cociente y un resto. La suma de ese
cociente más ese resto es el siguiente número generado.
Por ejemplo, si el número introducido por el usuario es 5291, el
ordenador hace 5291 = 293×18+17, y genera el 310=293+17. El
siguiente número generado será 21, pues 310=17×18 +4 y 17+4 = 21;
etc…
Cualquiera sea el número inicial de del usuario, a partir de algún
momento el ordenador genera siempre un mismo número.
Determina cuál es ese número que se repetirá indefinidamente si el número inicial introducido por el usuario
es igual a 2110
.
SOLUCIÓN
Suponemos , , … . , los sucesivos cocientes que se obtienen hasta el último, que se repite indefinidamente, y
, , … . , los respectivos restos al realizar el proceso partiendo del número = 2
Las sucesivas operaciones son las que se muestran:
= 18 × +
+ = 18 × +
+ = 18 × +
⋮
+ = 18 × +
+ = 18 × +
Es evidente que , , … . , < 18 y la última igualdad permite deducir fácilmente que = 0 por lo que el
último valor que se repite indefinidamente es
Sumando miembro a miembro las expresiones anteriores obtenemos, teniendo en cuenta el último valor, que
+ + + + + ⋯ + + + = 18 × + + ⋯ + + + + ⋯ + + 2 ⇒
⇒ = 17 × + + ⋯ + + ⇒ ≡ mod 17
Ahora bien, 2 ≡ 4 mod 17 , pues 2 = 1024 = 17 × 60 + 4, por lo que
= 2 = 2 ≡ 4 = 4194304 mod 17 ⇒ ≡ 13 mod 17 porque 4194304 = 17 × 246723 + 13,
luego el valor que se repite indefinidamente es
13

Si a ≠ ±b, simplifica todo lo posible la expresión
SOLUCIÓN
×
×
=
×
× ×
=
×
×
=
×
=
×
=
a – b

En una circunferencia de centro O están marcados los puntos A, B y C, en sentido
antihorario, tales que AOB < BOC y AOC = 76°.
Se marcan en la circunferencia M, N y P tales que OM es la bisectriz de AOB, ON es la
bisectriz de BOC y OP es la bisectriz de MON.
Si BOP = 5°, halla la medida del ángulo BOC.
SOLUCIÓN
Llamamos = , ángulo pedido.
Como = 76° ⇒ = − = 76° −
Por lo tanto, = = ⇒ = − = − 5° y = =
°
⇒
⇒ = + =
°
+ 5°
De lo anterior, = ⇒ − 5° =
°
+ 5° ⇒ −
°
= 10° ⇒
°
= 10° ⇒ − 38° = 10° ⇒ =
48o

Calcula las cuatro últimas cifras de
SOLUCIÓN
3 = 3 = 9 = 10 − 1
Aplicamos el Binomio de Newton:
3 = 10 − 1 = 10 − × 10 + ⋯ + × 10 − × 10 + × 10 −
− × 10 + 1
Notemos que únicamente los cuatro últimos términos determinan las cuatro últimas cifras buscadas, pues los
demás están multiplicados, al menos, por 10 por lo que analizamos esos términos:
− × 10 + × 10 − × 10 + 1 = − × 10 + × 10 − × 10 + 1 =
= −
× ×
×
× 10 +
×
× 10 − 1002 × 10 + 1 =
= −167 × 1001 × 10 + 501 × 1001 × 10 − 1002 × 10 + 1 y, puede verse, que el primer término de estos
cuatro tampoco influirá en el valor pedido por la misma razón que antes.
Tomamos, por tanto, los tres últimos términos y calculamos:
501 × 1001 × 10 − 1002 × 10 + 1 = 50150100 − 10020 + 1 = 50140081
Las últimas cifras de 3 son
0081

Halla el menor número natural que satisface las siguientes tres condiciones
simultáneamente:
• tiene resto 24 en la división por 57
• tiene resto 73 en la división por 106
• tiene resto 126 en la división por 159.
SOLUCIÓN
Sea el número buscado. ∃ , , ∈ ∋
= 57 + 24 [1]
= 106 + 73 [2]
= 159 + 126 [3]
Entonces,
• [3] − [1]: 159 − 57 + 102 = 0 ⇒ =
! "#
$
=
% !%&
⇒ = 2 + 1 +
×( ! )
⇒ = 19* − 1
• [2] − [1]: 106 − 57 + 49 = 0 ⇒ =
"+,!&
$
⇒ = +
& ×(,! )
$
⇒ = 57- − 1
siendo *, - ∈
De lo anterior, hacemos [3] − [2]: 159 − 106 + 53 = 0 ⇒ 159 × (19* − 1) − 106 × (57- − 1) + 53 = 0 ⇒
⇒ 3021* − 159 − 6042- + 106 + 53 = 0 ⇒ 3021* = 6042- ⇒ * = 2-
Por lo tanto, .
= 38- − 1
= 57- − 1
y, haciendo - = 1 ⇒ 0
= 37
= 56
y = +
& ×(,! )
$
= 56 + 49 = 105
Así, 1
= 57 + 24 = 57 × 105 + 24 = 6009
= 106 + 73 = 106 × 56 + 73 = 6009
= 159 + 126 = 159 × 37 + 126 = 6009
El número pedido es
6009

En el hexágono regular DEFGHI se dibuja el triángulo ABC trazando rectas
perpendiculares a los lados del hexágono en los vértices F, D y H y rectas
perpendiculares a estas desde los vértices E, G y I, como se ve en la figura.
Si el área del hexágono es de 196 cm2
, ¿Cuál es el área del triángulo ABC ?
SOLUCIÓN
Trazamos los segmentos auxiliares que se ven y podemos observar que:
• Los triángulos , , y son equiláteros e iguales.
• Los triángulos , y son isósceles e iguales.
Los triángulos isósceles citados anteriormente tienen la misma superficie que
cualquiera de los seis triángulos equiláteros iguales que tiene como vértices el del
hexáono centro y dos vértices consecutivos del mismo, por lo que la superficie de
cada uno de esos triángulos isósceles es = cm2
Como hay tres, la superficie de los cuatro triángulos equiláteros citados en primer lugar es 196 − 3 × = 98 cm2
Por tanto, la superficie del triángulo es =
24,5 cm2

De un trapecio isósceles se sabe que sus diagonales son perpendiculares y su área es
igual a 98 cm2
.
Halla la altura del trapecio.
SOLUCIÓN
Nombramos los vértices , , , , el pie de la altura ℎ del trapecio correspondiente
al vértice y las bases y además del punto , intersección de las dos diagonales.
Como las diagonales son perpendiculares y el trapecio es isósceles, los triángulos
y son rectángulos e isósceles por lo que = 45° ⇒ el triángulo es
también rectángulo e isósceles.
Entonces = = − ⇒ ℎ = − ⇒ ℎ = , y como el área del trapecio es × ℎ = 98 cm2
⇒
⇒ ℎ = 98 ⇒ ℎ = √98 =
7×√2 cm = 9,8995 cm

Halla los números enteros m y n que satisfacen la ecuación
SOLUCIÓN
Es evidente que, como 3 = 1 × 3, 15 = 3 × 5, 35 = 5 × 7, 63 = 7 × 9, en el contexto,
= + 2 ⇒
×
=
×
= ×
×
= × − .
Por lo tanto, + + + + ⋯ +
×
=
×
+
×
+
×
+
×
+ ⋯ +
×
=
= × 1 − + × − + × − + × − + ⋯ + × − =
= × 1 − + − + − + − + ⋯ + − = × 1 − = × =
De ahí, × = ⇒ = 2 × = ⇒ + 1 = 46 ⇒ = 45 ⇒ = + 2 = 47
m = 45; n = 47

Reemplaza cada una de las cinco letras por un dígito distinto para que la siguiente multiplicación sea
correcta:
SOLUCIÓN
debe ser par y menor o igual a 2 debido a los primer y último productos, por lo que
= 2 ⇒ = 8 pues no puede ser 3 según el último producto.
Del primer producto arrastramos 3 al segundo, luego es impar y su
producto con 4 no arrastra ningún valor en el penúltimo producto
⇒ = 1 ⇒ = 7, pues no puede ser 2 al ser este el valor de
Por último, como el tercer producto arrastra 3 al penúltimo, necesariamente Ñ = 9 y
tenemos, ya, el producto completo:

En el colegio de Irene tienen tres botes de pintura blanca para pintar el salón de clase.
Nati vierte 1/3 del primer bote en el segundo. En seguida, Vicky vierte 1/4 del
contenido del segundo bote en el tercero y por último Chus vierte 1/10 del tercer bote
en el primero.
Al final cada bote quedó con 9 litros de pintura. ¿Qué cantidad de pintura había
inicialmente en cada tarro?
SOLUCIÓN
Suponemos que la cantidad inicial pintura en cada bote era, respectivamente, , , litros.
Después de verter Nati de su bote en el segundo, quedan ahora litros en el primer bote.
En el segundo bote hay, en ese momento, + litros y como Vicky vierte del bote en el tercero, en el
segundo quedan × + litros [2]
Ahora, en el tercer bote hay + × + litros. Chus vierte, por último, de este bote en el primero,
quedando en el tercero × + × + litros [3] y en el primero + × + × + litros [1]
En resumen, según el enunciado,
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ + × + × + = 9
× + = 9
× + × + = 9
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ + × + × + = 9
+ = 12
+ × + = 10
⇒
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ + × 10 = 9
+ = 12
+ × + = 10
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ = 8 ⇒ = 12
+ = 12
+ × + = 10
⇒
= 12
+ 4 = 12 ⇒ = 8
+ × 8 + 4 = 10 ⇒ = 7
Las cantidades iniciales en cada bote eran:
bote de Nati: 12 litros
bote de Vicky: 8 litros
bote de Chus: 7 litros

Con tres dígitos distintos se forman los seis números de tres cifras distintas. Si
se suman estos seis números el resultado es 4218, y la suma de los tres
números más grandes menos la suma de los tres más chicos es igual a 792.
Halla los tres dígitos.
SOLUCIÓN
Sean , , los tres dígitos buscados y tales que > >
Entonces,
+ + + + + = 4218
+ + − + + = 792
⇒
+ + + + + = 4218
+ + = = = 2505
⇒
!"#$%&' )*+, ) * + * -./!%&'…
122222222222222222222222222222223
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
222 + 222 + 222 = 4218
210 + 111 + 12 = 2505
ª$"→
:ª;<
===
ª$"→
=ª;<
>
1222223
+ + = 19
70 + 37 + 4 = 835
⇒
Operando 2ª@ − 4 × 1ª@ : 66 + 33 = 759
÷EE
123 2 + = 23 ⇒ = 23 − 2 . Además, = 19 − − con
> > , los tres dígitos.
Posibilidades:
• = 9 ⇒ = 23 − 2 × 9 = 5 ⇒ = 19 − 9 − 5 = 5: no cumple las condiciones por ser =
• = 8 ⇒ = 23 − 2 × 8 = 7 ⇒ = 19 − 8 − 7 = 4
• = 7 ⇒ = 23 − 2 × 7 = 9 ⇒ = 19 − 7 − 9 = 3: no cumple las condiciones por ser >
Por lo tanto, los dígitos son
8 – 7 – 4

Obtén todos los números naturales de 4 cifras que sean iguales al cubo de la
suma de sus cifras.
SOLUCIÓN
Se verifica que = , siendo , , , cifras y = + + + un número natural.
Como posee cuatro cifras, debe cumplirse que 10 ≤ ≤ 21
Entonces, =
+ + + =
⇒ 1000 + 100 + 10 + =
+ + + =
ª ª
999 + 99 + 9 = − ⇒
⇒ 9 × 111 + 11 + = − = + 1 × × − 1 = 9, y esto sucede para los valores, dentro de los
límites citados, de = 10, 17, 18, 19
Estudiamos cada caso:
• = 10 ⇒ = 10 = 1000 # ≠ 1 + 0 + 0 + 0 = 1
• = 17 ⇒ = 17 = 4913 # = 4 + 9 + 1 + 3 = 17
• = 18 ⇒ = 18 = 5832 # = 5 + 8 + 3 + 2 = 18
• = 19 ⇒ = 19 = 6859 # ≠ 6 + 8 + 5 + 9 = 28
Por lo tanto, los números buscados son
4913 y 5832

Si se escribe hoy la edad de Diego y a continuación la edad de Guille se obtiene un número
de cuatro cifras que es un cuadrado perfecto.
Si se hiciera lo mismo dentro de 11 años se tendría de nuevo un cuadrado perfecto de
cuatro cifras.
Halla las edades actuales de Diego y Guille.
SOLUCIÓN
Si es la edad de Diego y es la edad de Guille se cumple que
=
+ 11 + 11 =
, siendo < naturales. Como los cuadrados son de 4 cifras ⇒ 32 ≤ < ≤ 99
=
+ 11 + 11 =
⇒ 1000 + 100 + 10 + =
1000 + 100 + 11 × 100 + 10 + + 11 =
⇒
⇒ 1000 + 100 + 10 + =
1000 + 100 + 10 + + 1111 =
ª ª
! − = 1111 ⇒ + × − = 11 × 101 ⇒
⇒ #
+ = 101
− = 11
⇒ #
= 56
= 45
⇒ = 3136
= 2025
Por lo tanto, = = 45 = 2025 y
Diego tiene 20 años y Guille tiene 25 años

Calcula los números p y q tales que las raíces de la ecuación
sean D y 1 – D, siendo D el discriminante de esta ecuación de segundo grado.
SOLUCIÓN
+ + = 0 ⇒ =
− ± − 4
2
⇒ = − 4
Como y 1 − son las raíces de la ecuación, esta puede escribirse − × − 1 − = 0 ⇒
⇒ − − + + − = 0 ⇒ − + − = 0 ⇒
= −1
− =
De todo lo anterior, − = ⇒ −1 − 4 − −1 − 4 = ⇒ 1 − 4 − 1 + 8 − 16 = ⇒
⇒ 16 − 3 = 0 ⇒
= 0
=
p = -1; q = 0
p = -1; q = 3/16

Se elige un número natural n de dos dígitos y se calcula el número 10n
– n.
Se suman entonces los dígitos del número calculado y se obtiene un múltiplo de
170.
Determina todos los posibles valores del número n de dos dígitos elegido.
SOLUCIÓN
Sea el número = 10 + ⇒ 10 − = 10 − 10 − que contendrá una cantidad inicial de − 2 cifras 9
seguidas del complemento a 9 de y del complemento a 10 de si ≠ 0
Por ejemplo, si = 12 ⇒ 10 − 12 = 1 000000000000 − 12 = 9999999999 88
La suma de los dígitos del número es − 2 × 9 + 9 − + 10 − = 10 + − 2 × 9 + 9 − + 10 − =
= 89 + 8 + 1 = 170" siendo " ∈ $
89 + 8 + 1 = 170" ⇒ 8 = 170" − 89 − 1 ⇒ =
% &'( '
(
⇒ = 21" − 11 +
&' '
(
Como ≠ 0 y ≠ 0 son dígitos, estudiamos los valores admisibles teniendo en cuenta, a la vista de la expresión,
que debe ser " ≤
• = 1; " = 1 ⇒ = 10, imposible
• = 3; " = 2 ⇒ = 42 − 33 = 9 ⇒ = 39
• = 5; " = 3 ⇒ = 63 − 55 = 8 ⇒ = 58
• = 7; " = 4 ⇒ = 84 − 77 = 7 ⇒ = 77
• = 9; " = 5 ⇒ = 105 − 99 = 6 ⇒ = 96
• = 9; " = 1 ⇒ = 21 − 99 − 1 = −79, imposible
Si ≠ 0 y = 0 ⇒ = 10 ⇒ 10 − = 10 − 10 que contendrá una cantidad inicial de − 2 cifras 9
seguidas del complemento a 10 de y un cero final.
La suma de los dígitos del número, en este caso, es − 2 × 9 + 10 − + 0 = 10 − 2 × 9 + 10 − =
= 89 − 8 = 170" siendo " ∈ $ ⇒ =
% &0(
(
= " +
( &0(
(
El único valor admisible es, siendo " ≤ y = 0, = 2; " = 1 ⇒ = 20
El número elegido puede ser 20; 39; 58; 77; 96

¿Qué fórmula representa la región coloreada entre los conjuntos A, B y C de la gráfica
usando únicamente las operaciones de unión, intersección y complementareidad?
SOLUCIÓN
Gráficamente puede observarse de forma diáfana el resultado:
por lo que la solución es
(A ꓴ B) ꓵ C c

Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD y lados no paralelos BC y DA, tal
que BAD = ADC = 90°, AB = 54 cm y CD = 24 cm.
Se sabe además que la bisectriz del ángulo ABC corta a la bisectriz del
ángulo BCD en un punto P del lado DA.
Calcula las medidas de los lados BC y DA.
SOLUCIÓN
Nombramos los elementos necesarios para el cálculo: sean 2 = y 2 =
Los ángulos del trapecio suman 2 + 2 + 90° + 90° = 360° ⇒ + = 90°, por
lo que son complementarios: = 90° − y el triángulo es rectángulo en .
En el triángulo rectángulo , tan 2 = = = = =
!
⇒
⇒ = 30 × tan 2
En el triángulo rectángulo , tan =
#
=
#
⇒ = 24 × tan = 24 × tan%90° − & ⇒ = 24 × cot
En el triángulo rectángulo , tan =
#
=
#
⇒ = 54 × tan
Entonces, = = + ⇒ 30 × tan 2 = 24 × cot + 54 × tan ⇒
!× ×*+,-
. *+,/-
= *+, -
+ 54 × tan
Si tan = 0 ⇒
1!2
. 2/ =
2
+ 540
÷1
45
.!2
. 2/ =
2
+ 90 ⇒ 100 = 4 − 40 + 90 − 90 ⇒ 90 + 50 − 4 = 0 ⇒
0 =
±8 / ×9×% &
×9
=
±.
.:
⇒ 0 =
:
.:
=
9
⇒ tan = en el contexto del problema, ya que 0° < < 90°
Por lo tanto, =
*+, -
+ 54 × tan = /
<
+ 54 × =
=
+
.!:
= 36 + 36 = 72 cm
Aplicando el teorema de Pitágoras en , = + = + % − & = 72 + 30 ⇒
⇒ = 72 + 30 = 6084 ⇒ = 78 cm
Los lados pedidos miden
BC = 78 cm; DA = 72 cm

En un colegio se hace una encuesta a 100 estudiantes sobre las preferencias con respecto
a las asignaturas de matemáticas y de biología.
Al analizar los datos que entrega la encuesta se encuentra que las personas que le gustan
las dos asignaturas son el triple de los que les gustan solo las matemáticas, el doble de los
que les gusta solo la biología y cuatro veces el número de los que no les gustan estas dos
materias.
¿A cuántos estudiantes les agradan las matemáticas?
SOLUCIÓN
Llamamos , , , a la cantidad de alumnos a los que les gusta, respectivamente, las dos asignaturas, solo las
matemáticas, solo la biología y ninguna de ellas.
Según el enunciado, = 3 ⇒ = ; = 2 ⇒ = ; = 4 ⇒ =
De ahí, + + + = 100 ⇒ + + + = 100 ⇒ = 100 ⇒ = = 48
Entonces las dos asignaturas les gustan a = 48 alumnos y las matemáticas solo a = = = 16 alumnos, por
lo que la cantidad de alumnos a los que les gustan las matemáticas es 48 + 16 =
64 alumnos

Halla los 5 números que se deben escribir en cada una de las 5 casillas vacías para obtener
un cuadrado mágico: las tres filas, las tres columnas y las dos diagonales tienen la misma
suma.
SOLUCIÓN
Llamamos , , , , a los valores desconocidos que se muestran en el cuadro.
Por ser cuadrado mágico:
Suma fil. 1 = Suma col. 1: + 39 + = + 33 + 40 ⇒ 39 + = 33 + 40 ⇒ = 34
Suma diag. 1 = Suma col. 1: + + 36 = + 33 + 40 ⇒ + 36 = 33 + 40 ⇒ = 37
Suma fil. 1 = Suma diag. 2: + 39 + = + + 40 ⇒ + 39 = 37 + 40 ⇒ = 38
Suma fil. 2 = Suma diag. 1: 33 + + = + + 36 ⇒ 33 + = 38 + 36 ⇒ = 41
Suma fil. 2 = Suma col. 1: 40 + + 36 = + 33 + 40 ⇒ + 36 = 38 + 33 ⇒ = 35
El cuadrado mágico cuyas líneas suman, todas, 38 + 33 + 40 = 111, es

En mi colegio la razón del número de chicas al número de chicos es de 11 a 9.
Si la edad promedio de las chicas es 16 y la edad promedio de los chicos es 18, ¿cuál es
la edad promedio del colegio?
SOLUCIÓN
Llamamos , ℎ a la cantidad de chicas y chicos respectivamente: = ⇒ =
La media aritmética de las edades de colegio es ̅ = , luego ̅ = =
×
= ⇒
⇒ ̅ = = =
16,9

Dado un triángulo equilátero ABC, consideramos tres rectas: la perpendicular a AB
trazada por A, la perpendicular a BC trazada por B y la perpendicular a CA trazada
por C.
Estas tres rectas determinan un nuevo triángulo equilátero de lado 6 cm.
Calcula el lado del triángulo ABC.
SOLUCIÓN
Marcamos las longitudes correspondientes y vamos a calcular , longitud del lado
del triángulo equilátero
Por el teorema de Pitágoras, aplicándolo a uno de los tres triángulos rectángulos
iguales que aparecen, 6 − = + ⇒ 36 − 12 + = + ⇒
⇒ 36 − 12 = ⇒ 36 − = 12
Por otro lado sabemos que la superficie de un triángulo equilátero de lado es
√
por lo que, calculando la superficie del triángulo de lado 6 cm como suma de
las áreas de los tres triángulos rectángulos y de la del triángulo equilátero , tenemos que
3 ×
2
+
√3
4
=
√3 × 6
4
⇒ 6 = √3 × 36 − ! 6 = √3 × 12 ⇒ =
12 × √3
6
=
2×√3 cm

Simplifica, al máximo, la expresión
SOLUCIÓN
Recordamos las fórmulas sen + sen = 2 × sen × cos ; cos + cos = 2 × cos × cos , y las
aplicamos en la expresión dada:
sen + sen 3 + sen 5
cos + cos3 + cos 5
=
sen3 + sen + sen5
cos 3 + cos + cos 5
=
sen 3 + 2 × sen
5 +
2
× cos
5 −
2
cos 3 + 2 × cos
5 +
2
× cos
5 −
2
=
=
sen3 + 2 × sen3 × cos 2
cos3 + 2 × cos 3 × cos 2
=
sen3 × 1 + 2 × cos 2
cos 3 × 1 + 2 × cos2
=
sen3
cos 3
=
tan 3α

Manolo y Ramón son dos ciclistas que viajan a velocidades constantes por dos
caminos que se cruzan.
Cuando Manolo llega al cruce, a Ramón le faltan todavía 3200 metros para
llegar al cruce .Cuatro minutos más tarde, la distancia de Manolo al cruce es la
misma que la distancia de Ramón al cruce, y 12 minutos más tarde, nuevamente la distancia de Manolo al cruce
es la misma que la distancia de Ramón al cruce.
Calcula las velocidades de cada uno de los ciclistas.
SOLUCIÓN
Sean , las velocidades respectivas, en metros por minuto, de Manolo y
de Ramón.
En la primera situación, = = − ⇒ 4 = 3200 − 4 ⇒
⇒ 4 + 4 = 3200 ⇒ + = 800
Después, en la segunda, = ⇒ + = ′ ′′ − ⇒
⇒ 4 + 12 = 12 − 3200 − 4 ⇒ 16 = 16 − 3200 ⇒ 16 − 16 = 3200 ⇒ − = 200
Por lo tanto,
+ = 800
− = 200
⇒
= 300
= 500
Velocidad de Manolo: 300 metros/minuto
Velocidad de Ramón: 500 metros/minuto

Una calculadora tiene dos teclas especiales A y B. La tecla A transforma el número x
que esté en la pantalla en su inverso. La tecla B transforma el número x que esté en
la pantalla en 1–x.
Carmen comenzó a pulsar las teclas A, B, A, B,... de manera alternativa y, después de
hacer 848 pulsaciones, en la pantalla quedó el número 0,8
¿Qué número estaba inicialmente en la pantalla?
SOLUCIÓN
Sea el número inicial. Las pulsaciones sucesivas lo van convirtiendo de la manera que se muestra:
⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ 1 − = ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ 1 − = ⎯⎯⎯ − − 1 = 1 − ⎯⎯⎯ 1 − 1 − =
resultando, al cabo de seis pasos, el número inicial por lo que este proceso se repite continuamente.
Como 848 = 141 × 6 + 2, el resultado final será el que aparece en el segundo paso de la secuencia, por lo que
= 0,8 ⇒ − 1 = 0,8 ⇒ − 0,8 = 1 ⇒ 0,2 = 1 ⇒ =
,
=
5

Un número natural mayor que 10 se dice bueno si los dígitos del número se pueden dividir en
dos grupos tales que la suma de los dígitos de uno de los grupos es igual a la suma de los
dígitos del otro grupo. Por ejemplo, 22 es bueno, pues 2 = 2; 3454 es bueno pues 3 + 5=4 + 4;
29403 es bueno, pues 9 + 0 = 2 + 3 + 4.
Halla el menor número natural n tal que n es bueno y n + 1 también es bueno.
SOLUCIÓN
Hay que observar que la suma de los dígitos de los números buenos debe ser par para poder ser divididos en dos
grupos de sumas idénticas, pero dos números consecutivos suelen tener la suma citada de distinta paridad salvo
que el primero acabe en 9
Por tanto, los números deben ser ___9 y ___0 con todos los dígitos iguales salvo, al menos, los dos últimos: la
penúltima cifra del primer número es una unidad inferior a la penúltima del segundo número.
Descartamos otros casos de números mayores para intentar obtener, en el caso anterior, un número que cumpla
las condiciones del problema.
Ningún número inferior a 100 verifica las condiciones: 99 9 = 9 es bueno pero 100 no lo es.
El número debe contener, al menos, dos cifras que sumen 9:
• 189 1 + 8 = 9 es bueno pero 190 no lo es
• 549 5 + 4 = 9 es bueno y 550 5 = 5 + 0 también
El número pedido es
549

Las igualdades
se verifican para los números naturales k, m, n.
¿Qué valores puede tomar m ?
SOLUCIÓN
Como = 1024 + 1 = √1024 + 1 = √2 + 1 = 2 + 1 es número natural ⇒ 2 es número natural ⇒
es número natural ⇒ = 1, 2, 5 10
Veamos los casos:
• = 1 ⇒ = 2019 + = 1024 + 1 ⇒ = 1024 + 1 − 2019 = −994 no es número natural
• = 2 ⇒ = 2019 + = 1024 + 1 ⇒ √2019 + = √1024 + 1 ⇒ √2019 + = 32 + 1 ⇒
⇒ √2019 + = 33 ⇒ 2019 + = 33 = 1089 ⇒ = 1089 − 2019 = −930 no es número natural
• = 5 ⇒ = 2019 + = 1024 + 1 ⇒ √2019 + = √1024 + 1 ⇒ √2019 + = 4 + 1 ⇒
⇒ √2019 + = 5 ⇒ 2019 + = 5 = 3125 ⇒ = 3125 − 2019 = 1106
• = 10 ⇒ = 2019 + = 1024 + 1 ⇒ √2019 + = √1024 + 1 ⇒ √2019 + = 2 + 1 ⇒
⇒ √2019 + = 3 ⇒ 2019 + = 3 = 59049 ⇒ = 59049 − 2019 = 57030
m = 1106; m = 57030

Halla todos los números enteros x tales que
es un número entero
SOLUCIÓN
Sea = ∈ ⇒ 11 + 1 = 2 − ⇒ 2 − 11 = + 1 ⇒ =
Evidentemente, para valores negativos de se cumple que, en valor absoluto, el denominador es mayor que el
numerador por lo que no podrá tomar valores enteros salvo que el numerador cero, para = −1
Además debe cumplirse que 2 − 11 ≤ + 1 ⇒ ≤ 12
Los casos posibles son:
• = −1 ⇒ = 0
• = 5 ⇒ = ×
= −6
• = 6 ⇒ =
×
= 7
• = 12 ⇒ =
×
= 1
Por lo tanto, puede tomar los valores
-6; 0; 1; 7

A 9 amigos, chicos y chicas, les encanta el cine.
Cuando 3 de ellos se juntan para ir al cine, la probabilidad de que ninguno sea chico
es de 2/3
¿Cuántas chicas hay en el grupo de amigos?
SOLUCIÓN
La cantidad de grupos de tres amigos que pueden hacerse es , = =
!
!× !
=
× ×
× ×
= 84
Si es la cantidad de chicas, los grupos de tres chicas son , = = × 84 = 56 ⇒
× ×
!
= 56 ⇒
⇒ × − 1 × − 2 = 56 × 3! = 8 × 7 × 6 ⇒ =
8 chicas

En la pizarra hay escritos cuatro números positivos: 7, a, b, 21.
Si los tres números 7, a, b están en progresión geométrica y los tres números a, b, 21
están en progresión aritmética, halla a y b.
SOLUCIÓN
Sean y la razón de la progresión geométrica y la diferencia de la progresión aritmética citadas en el
enunciado.
Entonces, según el enunciado,
= 7 ; = 7
= 21 − 2 ; = 21 −
⇒
21 − 2 = 7
21 − = 7
Restando las dos igualdades, 21 − − 21 − 2 = 7 − 7 ⇒ = 7 − 7 y sustituyendo en la segunda
ecuación, 21 − = 7 ⇒ 21 − 7 − 7 = 7 ⇒ 14 − 7 − 21 = 0 ⇒ 2 − − 3 = 0 ⇒ = ,
desechando el valor negativo ( = −1) por ser positivos los números buscados.
De lo anterior,
= 7 = 7 ×
= 7 = 7 ×
⇒
a = 21/2; b = 63/4

Los vértices de un cubo se numeran de 1 a 8 de manera que el resultado de la
suma de los cuatro vértices de una cara es la misma para todas las caras.
Si los números 1, 4 y 6 ya se encuentran colocados en vértices, como se muestra
en la figura, ¿cuál es el valor de x ?
SOLUCIÓN
La suma de todos los dígitos es 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 =
×
= 36
y, como cada vértice pertenece a tres caras del cubo, la suma de todas las caras
es 36 × 3 = 108
Como hay 6 caras, cada una de ellas suma = 18
Por lo tanto, el vértice que falta en la cara inferior es 18 − 1 − 6 − 4 = 7 y la
cara lateral derecha tiene la suma de valores + + 4 + 7 = 18 ⇒ + = 7
e deben tomar, obligatoriamente, los valores 2 y 5 por ser la única descomposición válida de 7 en dos
sumandos aún no asignados a vértices.
Si fuera = 2, el vértice que falta en la cara frontal valdría 18 − 1 − 4 − 2 = 11, lo cual es imposible, por lo que
= 5 ⇒ =
2

Sea ABC un triángulo tal que el ángulo B es doble del ángulo C y D el punto del
lado BC tal que AD es bisectriz del ángulo A.
Si CD = AB, calcula las medidas de los ángulos del triángulo ABC.
SOLUCIÓN
Llamamos , , a las medidas de los ángulos del triángulo en los vértices
respectivos , ,
Además, sea = ⇒ = 180° −
Por último, llamamos = = y =
Según el enunciado, = 2 luego, en los triángulos y ,
+ + = 180°
+ + 180° − = 180°
⇒
+ 2 + = 180°
+ + 180° − = 180°
!"
#$$$$$% + − &180° − ' = 0 ⇒ 2 = 180° − ⇒
⇒ = 90° −
)
Además, + + = 180° ⇒ = 180° − − = 180° − 2 − ⇒ = 180° − 3 ⇒ = 90° −
+)
Aplicamos ahora el teorema de los senos en los triángulos y : ,
-
./0 1
=
2
./03
-
./0
4
5
=
2
./0 )
⇒ 6
-
2
=
./01
./0 3
-
2
=
./0
4
5
./0 )
⇒
⇒
./0 1
./03
=
./0
4
5
./0 )
⇒ sen × sen = sen × sen ⇒ sen ;90° −
)
< × sen = sen ;90° −
+)
< × sen2 ⇒
⇒ cos
)
× sen = cos
+)
× sen 2
×
#% 2 × sen × cos
)
= 2 × sen 2 × cos
+)
./0 ?./0@A ×./0
BCD
5
×EF.
BGD
5
#$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%
⇒ sin
+)
+ sin
)
= sin
I)
+ sin
)
⇒ sin
+)
= sin
I)
⇒
+)
+
I)
= 180° ⇒ 5 = 180° ⇒ = 36°
De lo anterior, = 180° − 3 = 180° − 3 × 36° ⇒ = 72° y = 2 ⇒ = 2 × 36° ⇒ = 72°
Los ángulos del triángulo son
36o
; 72o
; 72o

Los radios de dos círculos concéntricos están en la razón 1:3
AC es el diámetro del círculo grande, BC es una cuerda del círculo grande que es
tangente al círculo más pequeño y la longitud de la cuerda AB es 12 cm.
Calcula el radio del círculo grande.
SOLUCIÓN
Sean , 3 las medidas respectivas, en centímetros, de los radios de los círculos
pequeño y grande.
Dibujando líneas auxiliares y nombrando puntos y longitudes, se observa que los
triángulos y son semejantes pues tienen un ángulo común y, además, los
lados que parten del vértice común son semejantes en la proporción 1:2
Y, obviamente, son rectángulos por ser perpendicular la tangente al radio en el punto
de tangencia.
Aplicando la razón de semejanza a sus lados, = ⇒ = = ⇒ = = 6 cm
El radio del círculo grande es, entonces, 3 = 3 × 6 =
18 cm

En cada casilla del tablero de 4×4 debe haber un número natural de 1 a 16 inclusive,
sin repetir, de modo que la suma de los cuatro números de cada una de las cuatro
filas, la suma de los cuatro números de cada una de las cuatro columnas y la suma de
los cuatro números de cada una de las dos diagonales sean diez números enteros
consecutivos, en algún orden.
Ya se han escrito nueve de los números. Escribe los siete números que faltan.
SOLUCIÓN
La suma de los números del tablero debe ser tal que todos están repetidos dos veces y los ocho que ocupan las
dos diagonales, tres veces. Por lo tanto es 2 ×
×
+ = 272 + , siendo la suma de los números de las
dos diagonales.
Por otro lado, si es el primero de los diez consecutivos que corresponden a las sumas indicadas, la suma de
todos ellos es
×
= 10 + 45
En ambos casos se ha aplicado la fórmula de la suma de términos de una progresión aritmética.
Entonces, 10 + 45 = 272 + ⇒ = ⇒ = 10 + 3 para que sea un valor entero.
Por otro lado conocemos cinco de los ocho números de las diagonales, que suman 4 + 9 + 10 + 12 + 3 = 38 y
los otros tres valores pueden sumar entre 1 + 2 + 8 = 11 y 14 + 15 + 16 = 45 por lo que los números de las
dos diagonales suman entre 11 + 38 = 49 y 45 + 38 = 83 ⇒ 49 ≤ ≤ 83 !"""""# = 53, 63, 73, 83 ⇒
⇒ = 28, 29, 30, 31 y + 9 = 37, 38, 39, 40
Observando la primera fila, cuya suma de los valores conocidos es 4 + 5 + 7 = 16, y la diagonal secundaria, cuya
suma de los valores conocidos es 10 + 12 + 3 = 25, el número común que falta da lugar a la menor y mayor
suma posible al diferenciarse, ambas sumas, en 25 − 16 = 9 y los valores posibles de esa casilla deben ser
13 o 14 para que puedan entrar dentro de los límites establecidos y no coincidan con otra suma: no puede ser 16
porque la suma de la diagonal secundaria sería 41, y no puede ser 15 porque la primera fila sumaría igual que la
primera columna pues 4 + 5 + 7 + 15 = 4 + 6 + 11 + 10 = 31. Por todo ello, = 63 o 73
Si el valor de la casilla de la primera fila fuera 13, 38 + 13 = 51 y las otras dos casillas de las diagonales sumarían
12 o 22 para que = 63 o 73, únicos valores posibles. Con los números que quedan no asignados, las dos casillas
solo pueden ser 8 y 14 y = 73.
Si el valor de la casilla de la primera fila fuera 14, 38 + 14 = 52 y las otras dos casillas de las diagonales sumarían
11 o 21 para que = 63 o 73, únicos valores posibles. Con los números que quedan no asignados, las dos casillas
solo pueden ser 8 y 13 y = 73.
Entonces, los únicos valores que completan correctamente las ocho casillas de las
diagonales son 8, 13, 14 y así, = 4 + 9 + 10 + 12 + 3 + 8 + 13 + 14 = 73 ⇒ = 30
Las conclusiones que pueden sacarse hasta este momento, a partir de un razonamiento
elemental e inmediato, son:
• Las casillas marcadas en rojo corresponden a los números 8, 13, 14
• Las casillas marcadas en azul corresponden a los números 15, 16
• Las casillas marcadas en verde corresponden a los números 1, 2
Inmediatamente se deduce que la casilla marcada en rojo de la última fila debe ser 8 por las condiciones de la
primera fila y de la segunda columna, la casilla roja de la primera fila debe ser 14 y la otra casilla roja debe ser 13.
Las cuatro casillas restantes, en azul y en verde, se rellenan de manera automática sabiendo que las sumas son
diez números de = 30 a = 39 sin repetirse, obteniéndose el cuadro-solución (con las sumas indicadas)

En un partido de fútbol el equipo ganador recibe 3 puntos, el perdedor recibe 0 puntos,
mientras que en el caso de un empate cada equipo obtiene 1 punto.
Cuatro equipos, Alces, Bisontes, Ciervos, Delfines, participan en un torneo de fútbol y cada
equipo juega tres partidos.
Al final del torneo el equipo Alces obtiene 7 puntos y los equipos Bisontes y Ciervos 4 puntos
cada uno.
¿Cuántos puntos obtiene el equipo Delfines ?
SOLUCIÓN
Como consigue 7 puntos y 7 = 3 + 3 + 1 = 3 × 2 + 1 × 1 + 0 × 0, ha ganado dos partidos y ha
empatado otro.
Si y obtienen 4 puntos cada uno y 4 = 3 + 1 = 3 × 1 + 1 × 1 + 0 × 1, cada uno de ellos ha
ganado un partido, ha empatado otro y ha perdido un tercer partido.
En suma, entre los tres equipos han ganado 4 partidos y han perdido 2 partidos, por lo que ha perdido
4 − 2 = 2 partidos.
Y como hay tres empates entre los tres primeros equipos otro empate debe ser de pues el número de
empates ha de ser par.
En suma, ha empatado un partido y perdido dos, por lo que ha conseguido 3 × 0 + 1 × 1 + 0 × 2 =
1 punto

El número de dos cifras x7 multiplicado por el número de dos cifras y9 es igual al número de cuatro cifras zz33:
Indica todos los posibles valores de los dígitos x, y, z.
SOLUCIÓN
Como 33 es múltiplo de 11, uno de los dos factores debe serlo también.
Por lo tanto caben dos posibilidades:
• = 7 ⇒ 7 = 77 ⇒ 77 × 9 = 33 ⇒ 77 × 10 + 9 = 1000 + 100 + 33 = 1100 + 33 ⇒
⇒ 770 + 693 = 1100 + 33 ⇒ 770 − 1100 + 660 = 0
÷
7 − 10 + 6 = 0 ⇒ = ⇒
⇒ = + ⇒ = = 2, por ser cifras.
• = 9 ⇒ 9 = 99 ⇒ 7 × 99 = 33 ⇒ 10 + 7 × 99 = 1000 + 100 + 33 = 1100 + 33 ⇒
⇒ 990 + 693 = 1100 + 33 ⇒ 990 − 1100 + 660 = 0
÷
9 − 10 + 6 = 0 ⇒ = ⇒
⇒ = + ⇒ = = 6, por ser cifras.
En conclusión, los valores posibles son
x = 7; y = 2; z = 2
x = 6; y = 9; z = 6

Los años de 2014 a 2019 cumplen, cada uno de ellos, que los dígitos son todos
diferentes y, además, el último dígito es mayor que la suma de los otros tres dígitos.
¿Cuántos años hace que ocurrió esto por última vez antes de 2014?
SOLUCIÓN
De 2010 a 2013, el último dígito nunca es mayor que la suma de los otros tres.
De 2000 a 2009, hay siempre dos dígitos iguales.
De 1800 a 1899 y de 1900 a 1999, el último dígito nunca es mayor que la suma de los otros tres.
Finalmente, de 1710 a 1799 sucede lo mismo que en los casos anteriores por lo que el último año antes de 2014
en el que se cumple la condición es 1709, siendo sus dígitos todos diferentes y 1 + 7 + 0 < 9.
Por lo tanto, esto ocurrió hace 2019 − 1709 =
310 años

Joan se entrena en una pista de 3 kilómetros. Hace el primer kilómetro caminando, el segundo
corriendo y el tercero en bicicleta.
Si hubiera hecho los 3 km en bicicleta hubiese tardado 10 minutos menos de los que tardó.
Si corre al doble de la velocidad que camina y anda en bicicleta al triple de la velocidad que
camina, calcula cuánto tarda Joan en correr un kilómetro.
SOLUCIÓN
Sea la velocidad, en kilómetros por minuto, a la que camina Joan. La velocidad a la que corre es 2 y a la que va
en bicicleta es 3 , siempre en kilómetros por minuto.
Como = , el tiempo que tarda en recorrer los tres kilómetros es + + min.
Si hubiera hecho todo el trayecto en bicicleta habría tardado = min.
Según el enunciado, = + + − 10 ⇒ + = 10 ⇒ = 10 ⇒ 60 = 5 ⇒ =
"
= km/min y el
tiempo que tarda en correr un kilómetro es =
×
$
$%
= =
6 minutos

Dos cilindros idénticos se cortan a lo largo de las líneas punteadas
(ver imagen) y se pegan entre sí formando un cilindro más grande.
¿Cuál es la proporción entre el volumen del cilindro construido y el
volumen de uno de los cilindros originales?
SOLUCIÓN
Llamamos , a los radios de los cilindros originales y del cilindro construido respectivamente. La altura de todos,
ℎ, es la misma.
La longitud de la base del cilindro construido es 2 = 2 + 2 ⇒ 2 = 4 ⇒ = 2
Por lo tanto, el volumen del cilindro construido es = ℎ y el de un cilindro original es = ℎ, luego la
proporción pedida es = = = =
4

Sea ABCD un cuadrilátero de lados AB, BC, CD y DA, tal que AB = AC, AD = BD y
ADB = 30o
+ BAC.
Calcula la medida del ángulo CBD.
SOLUCIÓN
Llamamos = ⇒ = 30° + . Además, = es el ángulo
buscado.
Como = , el triángulo es isósceles ⇒ =
° °
=
°
Como = , el triángulo es isósceles y = + ⇒
⇒
°
=
°
+ ⇒ =
°
−
°
=
° °
=
°
=
15o

El una isla remota viven tres tribus con aspecto indistinguible entre ellas: los
unis, que siempre dicen la verdad cuando se les pregunta algo; los disis, de los
que algunos mienten y otros dicen la verdad, y los tresis, que siempre mienten.
Un antropólogo llega a la isla y se encuentra a un grupo de 25 personas de las
tres tribus.
Les pregunta: “¿Es usted disi?”, y 12 de ellos dicen “Sí”. Luego les pregunta:
“¿Es usted un tresi?”, y 8 de ellos dicen: “Sí”.
¿Cuántos unis hay en el grupo?
SOLUCIÓN
Sean , 1, 2, las cantidades respectivas de unis, disis sinceros, disis mentirosos y tresis que hay en el grupo:
+ 1 + 2 + = 25
Con la primera pregunta, los que dicen “Sí” son los disis sinceros y los tresis, por lo que 1 + = 12; y con la
segunda los únicos que contestan afirmativamente son los disis mentirosos, por lo que 2 = 8
De los dos resultados anteriores obtenemos que 1 + + 2 = 12 + 8 = 20 ⇒ + 20 = 25 ⇒ = 25 − 20 =
5 unis

Un cuadrado con lado de longitud entera está dividido en 89 cuadrados más
pequeños, 88 de ellos de lado 1 y el restante de lado de longitud entera, mayor que 1.
Halla los posibles valores del lado del cuadrado inicial.
SOLUCIÓN
Sean la longitud del lado del cuadrado original y > 1 la longitud del lado del cuadrado que es parte del
anterior.
Según el enunciado, = 88 + ⇒ − = 88 ⇒ + × − = 8 × 11 = 2 × 11
Como y son valores enteros, + y − deben ser valores de la misma paridad, por lo que las posibilidades
admisibles son:
• + = 2 × 11
− = 2
⇒
+ = 44
− = 2
⇒
= 23
= 21
•
+ = 2 × 11
− = 2
⇒
+ = 22
− = 4
⇒
= 13
= 9
La medida del lado del cuadrado inicial puede ser
13 o 23

Inés y Eli compiten en la resolución de problemas y a cada una de ellas se les da
la misma lista de 100 problemas. La primera en resolver cualquiera de estos
problemas obtiene 4 puntos, mientras que la segunda en resolverlo obtiene 1
punto.
Tanto Inés como Eli resuelven, cada una, 60 problemas y, entre las dos,
consiguen 312 puntos.
¿Cuántos problemas han sido resueltos por las dos a la vez?
SOLUCIÓN
Sean los problemas que resuelven, a la vez, Inés y Eli.
Inés habrá resuelto sola 60 − problemas y habrá conseguido, con estos, 4 × 60 − puntos.
Igualmente, Eli habrá resuelto sola 60 − problemas y habrá conseguido, con estos, 4 × 60 − puntos.
Por otro lado, los problemas hechos por ambas repartirán 5 puntos cada uno (4 a la que lo resuelve en primer
lugar y 1 a la otra), por lo que, en total, esos problemas darán 5 puntos.
Según lo visto anteriormente, los puntos totales obtenidos son 4 × 60 − + 4 × 60 − + 5 = 312 ⇒
⇒ 8 × 60 − + 5 = 312 ⇒ 480 − 8 + 5 = 312 ⇒ 3 = 480 − 312 = 168 ⇒ = =
56 problemas

Sea ABCD un rectángulo de lados AB = CD = 10 y BC = DA = 15
Llamamos M al punto medio de AB y P al punto del lado BC tal que PC = 5
Trazando por P la perpendicular a DM que corta a DM en Q, calcula la medida
del segmento PQ
SOLUCIÓN
Dibujamos y nombramos todas las líneas y puntos indicados en el problema y
sea = la longitud pedida.
Llamamos = y =
Puede verse que aparece el rectángulo descompuesto en cinco triángulos, todos
rectángulos.
Aplicamos sucesivamente el teorema de Pitágoras:
En el triángulo , = 5 + 10 = 25 + 100 = 125
En el triángulo , = + ⇒ 125 = + ⇒ = 125 −
En el triángulo , = 5 + 10 = 25 + 100 = 125
En el triángulo , = + ⇒ 125 = + ⇒ = 125 − ⇒ =
En el triángulo , = 5 + 15 = 25 + 225 = 250 ⇒ + = 2 = 4 = 250 ⇒ =
Entonces, 125 = + ⇒ = 125 − = 125 − = ⇒ = =
×
=
5×√10/2 = 7,91 unidades lineales

El trapecio rectángulo ABCD está dividido en cuatro triángulos por sus dos
diagonales que se cortan en el punto E.
Las áreas de los triángulos ADE y CDE son 10 y 5 unidades cuadradas
respectivamente.
Halla el área del trapecio.
SOLUCIÓN
Los triángulos y tienen la misma altura ℎ y la misma base =
por lo que las áreas son iguales: Á = Á = 5 + 10 = 15 u.c.
Entonces, Á = Á − Á = 15 − 5 = 10 u.c.
Además, como los triángulos y tienen la misma altura y el área
del primero (10) es el doble que el área del segundo (5), las bases estarán
en la misma proporción, por lo que = 2 ×
Esas bases son las mismas que las de los triángulos respectivos y de altura común , por lo que el área
del primer triángulo será el doble del área del segundo: Á = 2 × Á = 2 × 10 = 20 u.c.
De ahí, el área del trapecio es Á = Á + Á + Á + Á = 10 + 5 + 10 + 20 =
45 unidades cuadradas

Con los dígitos 2, 3, 4, 5 y 6 se forman todos los posibles números de cinco cifras distintas.
Halla cuántos de ellos son múltiplos de 11.
SOLUCIÓN
Un número es múltiplo de 11 si el valor absoluto de la diferencia, entre las sumas de las cifras que ocupan lugar
par y de las que ocupan lugar impar, es igual a 0 o múltiplo de 11.
Como la suma de los dígitos es 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20, la única posibilidad es que el valor calculado sea 0 y
ambas sumas valgan 10.
Y la única posibilidad con las cifras citadas es que las cifras que ocupen lugar impar sea 2, 3, 5 y las que ocupen
lugar par sean 4, 6. Ejemplo: el número 24365 es múltiplo de 11 porque 2 + 3 + 5 − 4 − 6 = 10 − 10 = 0
Los números se formarán con las cifras 2, 3, 5 ocupando los tres lugares impares y las cifras 4, 6 ocupando los dos
lugares pares.
La cantidad de números es, entonces, × = 3! × 2! = 6 × 2 =
12 números

El promedio de dos números positivos es 30% menos que uno de ellos.
¿En qué porcentaje es mayor este promedio que el otro número?
SOLUCIÓN
Sean y los dos números tales que 0 < <
Según el enunciado, = − 30% × = 70% × ⇒ = = ⇒ 10 + 10 = 14 ⇒ 10 = 4 ⇒
⇒ = ⇒ =
Por lo tanto el promedio es = = = =
×
×
= = + = + 75% × , es decir,
75%

Luis lee un cuento que tiene sus páginas numeradas del 22 al 145 y su madre
advierte que la suma de los números de las páginas que ya ha leído es igual a la
suma de los números de las páginas que le falta leer.
Calcula cuál es el número de la página que está leyendo.
SOLUCIÓN
Llamamos al número de la página que está leyendo. El número total de páginas es 145 − 22 + 1 = 124
La suma total de los números de las páginas es
×
= 10354, suma de la progresión aritmética formada
por los números de las páginas.
Entonces, la suma de los números de las páginas que ya ha leído debe ser , igual que la suma de los
números de las páginas que le quedan por leer.
Teniendo en cuenta que ha leído desde la página 22 hasta la página − 1, la suma de los números de páginas
citados es
〈 〉 ×
⇒
×
= ⇒ 21 + × − 22 = 10354 − ⇒
⇒ + 21 − 22 − 462 = 10354 − ⇒ = 10354 + 462 = 10816 ⇒ = √10816 = 104
Las páginas que le quedan por leer van desde la página + 1 a la página 165. Haciendo el mismo razonamiento
que antes llegaríamos también al mismo valor.
Por lo tanto, el número de la página que está leyendo Luis es
104

En la imagen, PT es tangente a una circunferencia con centro O y PB es la
bisectriz del ángulo TPA.
Calcula el ángulo TBP.
SOLUCIÓN
Señalamos ángulos llamando = = al ser isósceles el triángulo
pues = son dos radios de la circunferencia.
También, llamamos = = , al ser la bisectriz del ángulo .
En el triángulo , = 180° − 90° − − = 90° − −
Por otro lado, en el triángulo , = 180° − − ⇒ = 180° − = +
De lo anterior, + = 90° − − ⇒ 2 × + = 90° ⇒ = + =
45o

¿Cuál es el mínimo conjunto de números, de los 24 primeros números naturales, que deben
tacharse para que el producto de los que queden sea un cubo perfecto?
SOLUCIÓN
Descomponiendo factorialmente todos los números de 1 a 24 obtenemos que su producto es igual a
2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23
Es evidente que, para que el producto sea un cubo perfecto, los exponentes de todos los primos debe ser múltiplo
de 3, por lo que los números que hay que eliminar, en principio, son 11, 13, 17, 19, 22 = 2 × 11 y 23,
quedando el producto así:
2 × 3 × 5 × 7
De esos factores sobraría un 3 y un 5 para que todos tuvieran exponentes múltiplos de 3, por lo se deberá
eliminar el 3 × 5 = 15, quedando el producto así:
2 × 3 × 5 × 7 = 2 × 3 × 5 × 7
que es un cubo perfecto.
Por tanto, los números que deben tacharse son
11, 13, 15, 17, 19, 22, 23

Se escriben varios números enteros positivos distintos no superiores a 100 tales que el
producto de todos ellos no es divisible por 18.
¿Cuál es la máxima cantidad de números que pueden escribirse en esas condiciones?
SOLUCIÓN
Sabemos que 18 = 2 × 3
Como hay 33 números divisibles por 3 entre los números 1 y 100, podremos escribir 100 − 33 = 67 números
cuyo producto no sea divisible por 3.
Entonces, basta añadir a la lista el número 3 con la seguridad de que el producto no será divisible por 3 ni, por
tanto, por 18.
Cualquier otro número que añadiésemos sería también múltiplo de 3 y, por tanto, el nuevo producto sería
divisible por 3 y, evidentemente, por 2 pues en la lista ya hay números pares, por lo que el producto sería
divisible por 18.
En conclusión, la máxima cantidad de números en las condiciones establecidas es 67 + 1 =
68

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